Ta'rif.To'g'ri uchburchak - uchburchak, uning burchaklaridan biri to'g'ri (teng).

To'g'ri burchakli uchburchak oddiy uchburchakning maxsus holatidir. Shuning uchun to'rtburchaklar uchun oddiy uchburchaklarning barcha xususiyatlari saqlanib qoladi. Ammo to'g'ri burchakning mavjudligi sababli ba'zi o'ziga xos xususiyatlar mavjud.

Umumiy belgi (1-rasm):

- to'g'ri burchak;

- gipotenuza;

- oyoqlar;

.

Guruch. bitta.

Bilanto'g'ri burchakli uchburchakning xususiyatlari.

Mulk 1. Burchaklar va to'g'ri burchakli uchburchaklar yig'indisi.

Isbot. Eslatib o'tamiz, har qanday uchburchakning burchaklarining yig'indisi . ni hisobga olsak, qolgan ikki burchakning yig'indisi ya'ni,

Mulk 2. To'g'ri uchburchakda gipotenuza har qandayidan ko'proq oyoqlar(eng katta tomoni).

Isbot. Eslatib o'tamiz, katta burchakka qarama-qarshi uchburchakda kattaroq tomon yotadi (va aksincha). Yuqorida isbotlangan 1-xususiyatdan kelib chiqadiki, burchaklar va to'g'ri burchaklar yig'indisi ga teng. Uchburchakning burchagi 0 ga teng bo'lmagani uchun ularning har biri dan kichik. Bu uning eng katta ekanligini anglatadi, ya'ni uchburchakning eng katta tomoni unga qarama-qarshi yotadi. Demak, gipotenuza to'g'ri burchakli uchburchakning eng katta tomonidir, ya'ni:.

Mulk 3. To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuza oyoqlarning yig'indisidan kichikdir.

Isbot. Agar eslasak, bu xususiyat aniq bo'ladi uchburchak tengsizligi.

uchburchak tengsizligi

Har qanday uchburchakda ikkala tomonning yig'indisi uchinchi tomondan kattaroqdir.

Bu tengsizlikdan 3-xususiyat darhol kelib chiqadi.

Eslatma: oyoqlarning har biri alohida gipotenuzadan kichik bo'lishiga qaramay, ularning yig'indisi kattaroq bo'lib chiqadi. Raqamli misolda u quyidagicha ko'rinadi: , lekin.

ichida:

1-belgi (2 tomonda va ular orasidagi burchakda): agar ikkita uchburchakning tomonlari va ular orasidagi burchak teng bo'lsa, unda bunday uchburchaklar tengdir.

2-belgi (yon va ikkita qo'shni burchakda): agar uchburchaklar teng tomonlarga va berilgan tomonga tutashgan ikkita burchakka ega bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi. Eslatma: uchburchak burchaklarining yig’indisi doimiy va ga teng ekanligidan foydalanib, burchaklarning “qo’shnilik” sharti shart emasligini isbotlash oson, ya’ni quyidagi formulada belgi to’g’ri bo’ladi: "... tomon va ikkita burchak teng, keyin ...".

3-belgi (3 tomonda): agar uchburchakning uch tomoni teng bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi.

Tabiiyki, bu belgilarning barchasi to'g'ri burchakli uchburchaklar uchun haqiqiy bo'lib qoladi. Biroq, to'g'ri burchakli uchburchaklar bitta muhim xususiyatga ega - ular har doim teng to'g'ri burchakli juftlikka ega. Shuning uchun bu belgilar ular uchun soddalashtirilgan. Shunday qilib, to'g'ri burchakli uchburchaklarning tenglik belgilarini tuzamiz:

1-belgi (ikki oyoqda): agar to'g'ri burchakli uchburchaklarning oyoqlari juft bo'lsa, unda bunday uchburchaklar bir-biriga teng bo'ladi (2-rasm).

Berilgan:

Guruch. 2. To‘g‘ri burchakli uchburchaklar tengligining birinchi belgisining tasviri

Isbot qiling:

Isbot: to'g'ri uchburchaklarda: . Shunday qilib, biz uchburchaklar tengligining birinchi belgisidan (2 tomonda va ular orasidagi burchakda) foydalanamiz va quyidagilarni olamiz: .

2-chi belgi (oyoq va burchakda): agar bitta to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i va o'tkir burchagi boshqa to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i va o'tkir burchagiga teng bo'lsa, unda bunday uchburchaklar bir-biriga teng bo'ladi (3-rasm).

Berilgan:

Guruch. 3. To‘g‘ri burchakli uchburchaklar tengligining ikkinchi belgisining tasviri

Isbot qiling:

Isbot: biz darhol ta'kidlaymizki, teng oyoqlarga ulashgan burchaklar teng bo'lishi asosiy emas. Haqiqatan ham, to'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchaklarining yig'indisi (1-xususiyat bo'yicha) ga teng. Demak, agar bu burchaklarning bir jufti teng bo'lsa, ikkinchisi teng bo'ladi (chunki ularning yig'indilari bir xil).

Bu xususiyatning isboti foydalanishga to'g'ri keladi uchburchaklar tengligining ikkinchi belgisi(2 burchakda va yon tomonda). Darhaqiqat, shartga ko'ra, oyoqlar va ularga ulashgan bir juft burchak tengdir. Lekin ularga qo'shni burchaklarning ikkinchi juftligi burchaklardan iborat . Shunday qilib, biz uchburchaklar tengligi uchun ikkinchi mezondan foydalanamiz va quyidagilarni olamiz: .

3-belgi (gipotenuza va burchak bo'yicha): agar bitta to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi va o'tkir burchagi boshqa to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasiga va o'tkir burchagiga teng bo'lsa, bunday uchburchaklar bir-biriga teng bo'ladi (4-rasm).

Berilgan:

Guruch. 4. To‘g‘ri burchakli uchburchaklar tengligining uchinchi belgisining tasviri

Isbot qiling:

Isbot: Ushbu belgini isbotlash uchun siz darhol foydalanishingiz mumkin uchburchaklar tengligining ikkinchi belgisi- yon tomonda va ikkita burchakda (aniqrog'i, burchaklar yon tomonga qo'shni bo'lishi shart emasligini bildiradigan natija bo'yicha). Haqiqatan ham, shart bo'yicha: , , va to'g'ri burchakli uchburchaklar xossalaridan shunday xulosa chiqadi . Shunday qilib, biz uchburchaklar tengligi uchun ikkinchi mezondan foydalanishimiz mumkin va quyidagilarni olamiz: .

4-belgi (gipotenuza va oyoq bilan): agar bitta to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi va oyog'i mos ravishda boshqa to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi va oyog'iga teng bo'lsa, bunday uchburchaklar bir-biriga teng bo'ladi (5-rasm).

Berilgan:

Guruch. 5. To‘g‘ri burchakli uchburchaklar tengligining to‘rtinchi belgisining tasviri

Isbot qiling:

Isbot: Bu belgini isbotlash uchun biz oxirgi darsda shakllantirgan va isbotlagan uchburchaklarning tenglik belgisidan foydalanamiz, ya'ni: agar uchburchaklarning ikki tomoni teng va burchaklari kattaroq bo'lsa, bunday uchburchaklar tengdir. Darhaqiqat, shartga ko'ra, bizda ikkita teng tomon bor. Bundan tashqari, to'g'ri burchakli uchburchaklar xususiyatiga ko'ra: . To'g'ri burchak uchburchakdagi eng katta ekanligini isbotlash uchun qoladi. Faraz qilaylik, bunday emas, ya'ni kamida bittadan kattaroq burchak bo'lishi kerak. Ammo keyin uchburchak burchaklarining yig'indisi allaqachon kattaroq bo'ladi. Ammo bu mumkin emas, demak, bunday burchak uchburchakda bo'lishi mumkin emas. Demak, to'g'ri burchak to'g'ri burchakli uchburchakdagi eng katta burchakdir. Shunday qilib, siz yuqorida keltirilgan belgidan foydalanishingiz va quyidagilarni olishingiz mumkin: .

Endi biz faqat to'g'ri burchakli uchburchaklar uchun xos bo'lgan yana bir xususiyatni shakllantiramiz.

Mulk

Burchakka qarama-qarshi turgan oyoq gipotenuzadan 2 marta kichik(6-rasm).

Berilgan:

Guruch. 6.

Isbot qiling:AB

Isbot: qo'shimcha qurilishni bajaring: chiziqni nuqtadan tashqariga teng bo'lgan segment bilan kengaytiring. Keling, bir fikrni olaylik. Burchaklar qo'shni bo'lgani uchun ularning yig'indisi ga teng. , keyin burchak.

Shunday qilib, to'g'ri uchburchaklar (ikki oyog'i bilan: - umumiy, - qurilish bo'yicha) - to'g'ri burchakli uchburchaklar tengligining birinchi belgisi.

Uchburchaklar tengligidan barcha mos keladigan elementlarning tengligi kelib chiqadi. Ma'nosi, . Qaerda: . Bundan tashqari, (barcha bir xil uchburchaklarning tengligidan). Bu uchburchak teng yonli ekanligini anglatadi (chunki u asosda teng burchaklarga ega), lekin burchaklaridan biri teng bo'lgan teng yonli uchburchak teng yonli. Bundan, xususan, shundan kelib chiqadi .

In burchakka qarama-qarshi oyoqning xususiyati

Shuni ta'kidlash kerakki, qarama-qarshi fikr ham to'g'ri: agar to'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuza oyoqlarning biridan ikki baravar katta bo'lsa, u holda bu oyoqqa qarama-qarshi o'tkir burchak teng bo'ladi.

Eslatma: belgisi degani, agar ba'zi bir bayonot to'g'ri bo'lsa, u holda uchburchak to'g'ri burchakli uchburchakdir. Ya'ni, xususiyat sizga to'g'ri burchakli uchburchakni aniqlash imkonini beradi.

Belgini bilan aralashtirmaslik muhimdir mulk- ya'ni, agar uchburchak to'g'ri burchakli bo'lsa, unda u shunday xususiyatlarga ega ... Ko'pincha belgilar va xususiyatlar o'zaro teskari, lekin har doim emas. Masalan, teng yonli uchburchakning xossasi: teng yonli uchburchakning burchagi bor. Ammo bu teng qirrali uchburchakning belgisi bo'lmaydi, chunki burchakka ega bo'lgan har bir uchburchak emas, teng tomonli.

Geometrik masalalarni yechish juda katta bilim talab qiladi. Ushbu fanning asosiy ta'riflaridan biri to'g'ri burchakli uchburchakdir.

Bu kontseptsiya uchta burchakdan iborat degan ma'noni anglatadi va

tomonlar, va burchaklardan birining qiymati 90 daraja. To'g'ri burchakni tashkil etuvchi tomonlar oyoqlar deb ataladi, unga qarama-qarshi bo'lgan uchinchi tomon esa gipotenuza deb ataladi.

Agar bunday shakldagi oyoqlar teng bo'lsa, u teng yonli to'g'ri burchakli uchburchak deyiladi. Bunda ikkitaga mansublik bor, ya'ni ikkala guruhning xossalari kuzatiladi. Eslatib o'tamiz, teng yonli uchburchakning poydevoridagi burchaklar har doim tengdir, shuning uchun bunday raqamning o'tkir burchaklari har biri 45 gradusni o'z ichiga oladi.

Quyidagi xususiyatlardan birining mavjudligi bitta to'g'ri burchakli uchburchak boshqasiga teng ekanligini tasdiqlashga imkon beradi:

1. ikkita uchburchakning oyoqlari teng;
2. raqamlar bir xil gipotenuza va oyoqlardan biriga ega;
3. gipotenuza va har qanday o'tkir burchak teng;
4. oyoq va o'tkir burchakning tenglik sharti kuzatiladi.

To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni standart formulalar yordamida ham, oyoqlari mahsulotining yarmiga teng qiymat sifatida ham osonlik bilan hisoblanishi mumkin.

To'g'ri burchakli uchburchakda quyidagi munosabatlar kuzatiladi:

1. oyog'i gipotenuzaga va uning proyeksiyasiga o'rtacha proportsionaldan boshqa narsa emas;
2. agar siz to'g'ri burchakli uchburchak atrofida aylana tasvirlasangiz, uning markazi gipotenuzaning o'rtasida bo'ladi;
3. to'g'ri burchakdan chizilgan balandlik uchburchak oyoqlarining uning gipotenuzasiga proyeksiyalariga o'rtacha proportsionaldir.

Qizig'i shundaki, to'g'ri burchakli uchburchak qanday bo'lishidan qat'i nazar, bu xususiyatlar doimo kuzatiladi.

Pifagor teoremasi

Yuqoridagi xususiyatlarga qo'shimcha ravishda, to'g'ri burchakli uchburchaklar quyidagi shartlar bilan tavsiflanadi:

Bu teorema uning asoschisi - Pifagor teoremasi sharafiga nomlangan. U kvadratlarning xossalarini o'rganayotganda bu munosabatni aniqladi

Teoremani isbotlash uchun ABC uchburchagini quramiz, uning oyoqlarini a va b, gipotenuzani esa c belgilaymiz. Keyinchalik, biz ikkita kvadrat quramiz. Bir tomoni gipotenuza, ikkinchisi ikki oyoqning yig'indisi bo'ladi.

Keyin birinchi kvadratning maydonini ikki yo'l bilan topish mumkin: to'rtta ABC uchburchak va ikkinchi kvadrat maydonlarining yig'indisi yoki tomonning kvadrati sifatida, tabiiyki, bu nisbatlar teng bo'ladi. Ya'ni:

2 + 4 (ab/2) = (a + b) 2 bilan hosil bo'lgan ifodani o'zgartiramiz:

c 2 +2 ab = a 2 + b 2 + 2 ab

Natijada, biz quyidagilarni olamiz: c 2 \u003d a 2 + b 2

Shunday qilib, to'g'ri burchakli uchburchakning geometrik shakli nafaqat uchburchaklarga xos bo'lgan barcha xususiyatlarga mos keladi. To'g'ri burchakning mavjudligi raqamning boshqa o'ziga xos munosabatlarga ega bo'lishiga olib keladi. Ularni o'rganish nafaqat fanda, balki kundalik hayotda ham foydalidir, chunki to'g'ri burchakli uchburchak kabi raqam hamma joyda uchraydi.

O'rtacha darajasi

To'g'ri uchburchak. Toʻliq tasvirlangan qoʻllanma (2019)

O‘ng uchburchak. BIRINCHI DARAJA.

Muammolarda to'g'ri burchak umuman kerak emas - pastki chap burchak, shuning uchun siz ushbu shaklda to'g'ri burchakli uchburchakni qanday tanib olishni o'rganishingiz kerak,

va shunga o'xshash

va shunga o'xshash

To'g'ri burchakli uchburchakning nimasi yaxshi? Xo'sh... birinchi navbatda, uning ziyofatlari uchun maxsus chiroyli nomlar mavjud.

Chizmaga diqqat!

Eslab qoling va chalkashtirmang: oyoqlari - ikkita, gipotenuz esa - faqat bitta(yagona, noyob va eng uzun)!

Xo'sh, biz nomlarni muhokama qildik, endi eng muhimi: Pifagor teoremasi.

Pifagor teoremasi.

Bu teorema to'g'ri burchakli uchburchak bilan bog'liq ko'plab muammolarni hal qilishning kalitidir. Bu Pifagor tomonidan butunlay qadim zamonlarda isbotlangan va o'shandan beri u buni biladiganlarga ko'p foyda keltirdi. Va uning eng yaxshi tomoni shundaki, u sodda.

Shunday qilib, Pifagor teoremasi:

Hazilni eslaysizmi: "Pifagor shimlari har tomondan tengdir!"?

Keling, bu Pifagor shimlarini chizamiz va ularga qaraylik.

Bu haqiqatan ham shortilarga o'xshaydimi? Xo'sh, ular qaysi tomonlarda va qayerda teng? Hazil nima uchun va qaerdan paydo bo'ldi? Va bu hazil Pifagor teoremasi bilan, aniqrog'i Pifagorning o'zi teoremasini shakllantirish usuli bilan bog'liq. Va u buni shunday tuzatdi:

"sum kvadratlar maydoni, oyoqlarda qurilgan, tengdir kvadrat maydon gipotenuzaga qurilgan.

Bu biroz boshqacha eshitilmaydi, shunday emasmi? Shunday qilib, Pifagor o'z teoremasining bayonotini chizganida, xuddi shunday rasm paydo bo'ldi.

Ushbu rasmda kichik kvadratlar maydonlarining yig'indisi katta kvadratning maydoniga teng. Va bolalar oyoq kvadratlarining yig'indisi gipotenuzaning kvadratiga teng ekanligini yaxshiroq eslab qolishlari uchun kimdir Pifagor shimlari haqida bu hazilni o'ylab topdi.

Nega endi biz Pifagor teoremasini shakllantirmoqdamiz?

Pifagor azob chekib, kvadratlar haqida gapirganmi?

Ko'ryapsizmi, qadimda ... algebra yo'q edi! Hech qanday belgilar va boshqalar yo'q edi. Hech qanday yozuv yo'q edi. Tasavvur qila olasizmi, qadimda kambag'al o'quvchilar hamma narsani so'z bilan yodlashlari qanchalik dahshatli edi??! Va bizda Pifagor teoremasining oddiy formulasi borligidan xursand bo'lishimiz mumkin. Yaxshi eslash uchun yana takrorlaymiz:

Endi bu oson bo'lishi kerak:

Gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng.

To'g'ri burchakli uchburchak haqidagi eng muhim teorema muhokama qilindi. Agar siz buning qanday isbotlangani bilan qiziqsangiz, nazariyaning keyingi darajalarini o'qing va endi trigonometriyaning qorong'u o'rmoniga o'tamiz! Sinus, kosinus, tangens va kotangens degan dahshatli so'zlarga.

To'g'ri burchakli uchburchakda sinus, kosinus, tangens, kotangens.

Aslida, hamma narsa unchalik qo'rqinchli emas. Albatta, maqolada sinus, kosinus, tangens va kotangensning "haqiqiy" ta'rifini ko'rib chiqish kerak. Lekin siz haqiqatan ham xohlamaysiz, shunday emasmi? Biz quvonishimiz mumkin: to'g'ri burchakli uchburchak bilan bog'liq muammolarni hal qilish uchun siz quyidagi oddiy narsalarni to'ldirishingiz mumkin:

Nima uchun hamma narsa burchak bilan bog'liq? Burchak qayerda? Buni tushunish uchun siz 1 - 4 gaplarning so'zlarda qanday yozilishini bilishingiz kerak. Qarang, tushuning va eslang!

1.
Bu aslida shunday eshitiladi:

Burchak haqida nima deyish mumkin? Burchakka qarama-qarshi, ya'ni qarama-qarshi (burchak uchun) oyog'i bormi? Albatta bor! Bu katet!

Ammo burchak haqida nima deyish mumkin? Yaqindan qarang. Qaysi oyoq burchakka ulashgan? Albatta, mushuk. Shunday qilib, burchak uchun oyoq qo'shni va

Va endi, diqqat! Qarang, bizda nima bor:

Bu qanchalik ajoyib ekanligini ko'ring:

Endi tangens va kotangensga o'tamiz.

Endi buni so'z bilan qanday ifodalash mumkin? Burchakka nisbatan oyoq nima? Albatta, qarama-qarshi - burchakka qarama-qarshi "yotadi". Va katet? Burchakka ulashgan. Xo'sh, biz nima oldik?

Hisob va maxraj qanday teskari bo'lishini ko'rasizmi?

Va endi yana burchaklar va almashinuvni amalga oshirdi:

Xulosa

Keling, o'rganganlarimizni qisqacha yozamiz.

Pifagor teoremasi:

To'g'ri burchakli uchburchakning asosiy teoremasi Pifagor teoremasi.

Pifagor teoremasi

Aytgancha, oyoq va gipotenuzaning nima ekanligini yaxshi eslaysizmi? Agar yo'q bo'lsa, unda rasmga qarang - bilimingizni yangilang

Siz allaqachon Pifagor teoremasidan ko'p marta foydalangan bo'lishingiz mumkin, lekin nima uchun bunday teorema to'g'ri ekanligi haqida hech o'ylab ko'rganmisiz? Buni qanday isbotlagan bo'lardingiz? Qadimgi yunonlar kabi qilaylik. Keling, bir tomoni bilan kvadrat chizamiz.

Ko'ryapsizmi, biz uning tomonlarini qanday qilib ayyorlik bilan uzunlikdagi segmentlarga ajratganimizni va!

Endi belgilangan nuqtalarni bog'laymiz

Bu erda biz yana bir narsani ta'kidladik, lekin siz o'zingiz rasmga qaraysiz va nima uchun bunday bo'lganligi haqida o'ylaysiz.

Kattaroq kvadratning maydoni qancha?

To'g'ri, .

Kichikroq maydon haqida nima deyish mumkin?

Albatta, .

To'rt burchakning umumiy maydoni qoladi. Tasavvur qiling-a, biz ulardan ikkitasini oldik va gipotenuslar bilan bir-biriga suyanib qoldik.

Nima bo'ldi? Ikki to'rtburchaklar. Shunday qilib, "kesish" maydoni teng.

Keling, hozir hammasini birlashtiramiz.

Keling, aylantiramiz:

Shunday qilib, biz Pifagorga tashrif buyurdik - biz uning teoremasini qadimgi usulda isbotladik.

To'g'ri uchburchak va trigonometriya

To'g'ri burchakli uchburchak uchun quyidagi munosabatlar mavjud:

O'tkir burchakning sinusi qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng

O'tkir burchakning kosinusu qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng.

O'tkir burchakning tangensi qarama-qarshi oyoqning qo'shni oyoqqa nisbatiga teng.

O'tkir burchakning kotangensi qo'shni oyoqning qarama-qarshi oyoqqa nisbatiga teng.

Va yana bir bor, bularning barchasi plastinka shaklida:

Bu juda qulay!

To'g'ri burchakli uchburchaklar tenglik belgilari

I. Ikki oyoqda

II. Oyoq va gipotenuza bilan

III. Gipotenuza va o'tkir burchak bilan

IV. Oyoq va o'tkir burchak bo'ylab

a)

b)

Diqqat! Bu erda oyoqlarning "tegishli" bo'lishi juda muhimdir. Masalan, agar u shunday bo'lsa:

SHUNDA UCHBURCHAKLAR TENG EMAS, ular bir xil o'tkir burchakka ega bo'lishiga qaramay.

Kerak ikkala uchburchakda oyoq qo'shni yoki ikkalasida - qarama-qarshi edi.

To'g'ri burchakli uchburchaklarning tenglik belgilari uchburchaklar tengligining odatiy belgilaridan qanday farq qilishini payqadingizmi?

Mavzuni ko'rib chiqing va "oddiy" uchburchaklarning tengligi uchun ularning uchta elementining tengligi kerakligiga e'tibor bering: ikki tomon va ular orasidagi burchak, ikkita burchak va ular orasidagi bir tomon yoki uch tomon.

Ammo to'g'ri burchakli uchburchaklarning tengligi uchun faqat ikkita mos keladigan element etarli. Bu ajoyib, to'g'rimi?

To'g'ri uchburchaklarning o'xshashlik belgilari bilan taxminan bir xil holat.

To'g'ri burchakli uchburchaklarning o'xshashlik belgilari

I. O'tkir burchak

II. Ikki oyoqda

III. Oyoq va gipotenuza bilan

To'g'ri uchburchakdagi median

Nega bunday?

To'g'ri uchburchak o'rniga butun to'rtburchakni ko'rib chiqing.

Keling, diagonal chizamiz va nuqtani ko'rib chiqamiz - diagonallarning kesishish nuqtasi. To'rtburchakning diagonallari haqida nimalarni bilasiz?

Va bundan nima kelib chiqadi?

Shunday bo'ldi

1. - median:

Bu haqiqatni unutmang! Ko'p yordam beradi!

Bundan ham ajablanarlisi shundaki, buning aksi ham haqiqatdir.

Gipotenuzaga chizilgan mediana gipotenuzaning yarmiga teng bo'lishidan qanday foyda olish mumkin? Keling, rasmga qaraylik

Yaqindan qarang. Bizda: , ya'ni nuqtadan uchburchakning barcha uch uchlarigacha bo'lgan masofalar teng bo'lib chiqdi. Ammo uchburchakda faqat bitta nuqta mavjud bo'lib, uning masofalari uchburchakning barcha uchlari teng bo'ladi va bu tasvirlangan AYLANMA MARKAZI. Xo'sh, nima bo'ldi?

Shunday qilib, keling, "bundan tashqari ..." bilan boshlaylik.

Keling, i ni ko'rib chiqaylik.

Ammo shunga o'xshash uchburchaklarda barcha burchaklar tengdir!

Xuddi shu narsani va haqida ham aytish mumkin

Endi uni birga chizamiz:

Ushbu "uchlik" o'xshashlikdan qanday foydalanish mumkin.

Xo'sh, masalan - to'g'ri burchakli uchburchakning balandligi uchun ikkita formula.

Tegishli tomonlarning munosabatlarini yozamiz:

Balandlikni topish uchun biz nisbatni yechib, olamiz birinchi formula "To'g'ri burchakli uchburchakdagi balandlik":

Shunday qilib, keling, o'xshashlikni qo'llaymiz: .

Endi nima bo'ladi?

Yana proportsiyani yechib, ikkinchi formulani olamiz:

Ushbu ikkala formulani ham juda yaxshi eslab qolish kerak va ulardan foydalanish qulayroqdir.

Keling, ularni yana yozamiz.

Pifagor teoremasi:

To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng:.

To'g'ri burchakli uchburchaklar tengligining belgilari:

• ikki oyoqda:
• oyoq va gipotenuz bo'ylab: yoki
• oyoq va qo'shni o'tkir burchak bo'ylab: yoki
• oyoq bo'ylab va qarama-qarshi o'tkir burchak: yoki
• gipotenuza va o'tkir burchak bilan: yoki.

To'g'ri burchakli uchburchaklarning o'xshashlik belgilari:

• bitta o'tkir burchak: yoki
• ikki oyoqning mutanosibligidan:
• oyoq va gipotenuzaning proportsionalligidan: yoki.

To'g'ri burchakli uchburchakda sinus, kosinus, tangens, kotangens

• To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining sinusi qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbati:
• To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining kosinusu qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati:
• To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining tangensi qarama-qarshi oyoqning qo'shnisiga nisbati:
• To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining kotangensi qo'shni oyoqning qarama-qarshi qismiga nisbati:.

To'g'ri burchakli uchburchakning balandligi: yoki.

To'g'ri burchakli uchburchakda to'g'ri burchakning tepasidan chizilgan mediana gipotenuzaning yarmiga teng: .

To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni:

• kateterlar orqali:
• oyoq va o'tkir burchak orqali: .

Xo'sh, mavzu tugadi. Agar siz ushbu satrlarni o'qiyotgan bo'lsangiz, unda siz juda zo'rsiz.

Chunki odamlarning atigi 5 foizi o‘zlari biror narsani o‘zlashtira oladi. Va agar siz oxirigacha o'qigan bo'lsangiz, unda siz 5% ga kirgansiz!

Endi eng muhimi.

Siz ushbu mavzu bo'yicha nazariyani aniqladingiz. Va takror aytaman, bu ... shunchaki ajoyib! Siz allaqachon tengdoshlaringizning aksariyatidan yaxshiroqsiz.

Muammo shundaki, bu etarli bo'lmasligi mumkin ...

Sabab?

Imtihonni muvaffaqiyatli topshirganlik uchun, institutga byudjet bo'yicha va eng muhimi, umrbod kirish uchun.

Men sizni hech narsaga ishontirmayman, faqat bitta narsani aytaman ...

Yaxshi ma'lumotga ega bo'lgan odamlar, olmaganlarga qaraganda ko'proq maosh oladi. Bu statistika.

Lekin bu asosiy narsa emas.

Asosiysi, ular ko'proq BAXTLI (bunday tadqiqotlar mavjud). Ehtimol, ularning oldida ko'proq imkoniyatlar ochilib, hayot yanada yorqinroq bo'ladimi? Bilmayman...

Lekin o'zingiz o'ylab ko'ring...

Imtihonda boshqalardan yaxshiroq bo'lish va oxir-oqibat ... baxtli bo'lish uchun nima qilish kerak?

SHU MAVZU BO'YICHA MUAMMOLARNI YECHIB QO'LINGIZNI TO'LDIRING.

Imtihonda sizdan nazariya so'ralmaydi.

Sizga kerak bo'ladi muammolarni o'z vaqtida hal qilish.

Va agar siz ularni hal qilmagan bo'lsangiz (KO'P!), Agar biror joyda ahmoqona xatoga yo'l qo'yasiz yoki o'z vaqtida qilolmaysiz.

Bu xuddi sportdagidek - aniq g'alaba qozonish uchun ko'p marta takrorlash kerak.

To'plamni istalgan joydan toping albatta yechimlar, batafsil tahlillar bilan va qaror qiling, qaror qiling, qaror qiling!

Siz bizning vazifalarimizdan foydalanishingiz mumkin (kerak emas) va biz ularni albatta tavsiya qilamiz.

Bizning topshiriqlarimiz yordamida yordam berish uchun siz hozir o'qiyotgan YouClever darsligining ishlash muddatini uzaytirishga yordam berishingiz kerak.

Qanday? Ikkita variant mavjud:

1. Ushbu maqoladagi barcha yashirin vazifalarga kirishni oching - 299 rub.
2. Qo'llanmaning barcha 99 ta maqolasidagi barcha yashirin vazifalarga kirishni oching - 499 rub.

Ha, bizda darslikda 99 ta shunday maqola bor va barcha topshiriqlarga kirish va ulardagi barcha yashirin matnlarni darhol ochish mumkin.

Barcha yashirin vazifalarga kirish saytning butun umri davomida taqdim etiladi.

Xulosa...

Bizning vazifalarimiz sizga yoqmasa, boshqalarni toping. Faqat nazariya bilan to'xtamang.

"Tushundim" va "Men qanday hal qilishni bilaman" - bu mutlaqo boshqa ko'nikmalar. Sizga ikkalasi ham kerak.

Muammolarni toping va hal qiling!

Yon a sifatida aniqlash mumkin B burchagiga ulashgan va qarama-qarshi burchak A, va tomoni b- Qanday A burchagiga ulashgan va qarama-qarshi burchak B.

To'g'ri burchakli uchburchaklar turlari

• Agar to'g'ri burchakli uchburchakning barcha uch tomonining uzunligi butun son bo'lsa, u holda uchburchak deyiladi. Pifagor uchburchagi, va uning tomonlari uzunligi deb atalmish hosil qiladi Pifagor uchligi.

Xususiyatlari

Balandligi

To'g'ri burchakli uchburchakning balandligi.

Trigonometrik munosabatlar

Bo'lsin h va s (h>s) gipotenuzali to'g'ri burchakli uchburchak ichiga chizilgan ikkita kvadratning tomonlari tomonidan c. Keyin:

To'g'ri burchakli uchburchakning perimetri chizilgan aylana va uchta aylana radiuslarining yig'indisiga teng.

Eslatmalar

Havolalar

• Vaysshteyn, Erik V. Wolfram MathWorld veb-saytida o'ng uchburchak (inglizcha).
• Wentworth G.A. Geometriya bo'yicha darslik. - Ginn va Ko., 1895 yil.

Wikimedia fondi. 2010 yil.

• kubsimon
• To'g'ridan-to'g'ri xarajatlar

Boshqa lug'atlarda "To'g'ri uchburchak" nima ekanligini ko'ring:

to'g'ri uchburchak- — Mavzular neft va gaz sanoati EN to'g'ri burchakli uchburchak ... Texnik tarjimon uchun qo'llanma

Uchburchak- va (oddiy) uchburchak, uchburchak, er. 1. Uchta ichki burchak hosil qiluvchi oʻzaro kesishuvchi uchta toʻgʻri chiziq bilan chegaralangan geometrik figura (mat.). To'g'ri uchburchak. O'tkir uchburchak. To'g'ri uchburchak ... ... Ushakovning izohli lug'ati

TO'RT burchak- TO'G'RIBURCHLI, to'rtburchak, to'rtburchak (geom.). To'g'ri burchakka (yoki to'g'ri burchakka) ega bo'lish. To'g'ri uchburchak. To'rtburchak shakllar. Ushakovning izohli lug'ati. D.N. Ushakov. 1935 1940 ... Ushakovning izohli lug'ati

Uchburchak- Bu atamaning boshqa maʼnolari ham bor, qarang: Uchburchak (maʼnolari). Uchburchak (Yevklid fazosida) uchta chiziqli bo'lmagan nuqtani bog'laydigan uchta chiziq segmentidan hosil bo'lgan geometrik figuradir. Uch nuqta, ... ... Vikipediya

uchburchak- ▲, uchta burchakli uchburchakka ega bo'lgan ko'pburchak eng oddiy ko'pburchakdir; bir to'g'ri chiziqda yotmaydigan 3 nuqta bilan berilgan. uchburchak. o'tkir burchak. o'tkir burchakli. to'g'ri uchburchak: oyoq. gipotenuza. teng yonli uchburchak. ▼…… Rus tilining ideografik lug'ati

Uchburchak- UCHBURCHAK, a, er. 1. Geometrik shakl uchta burchakli ko'pburchak, shuningdek, har qanday ob'ekt, ushbu shakldagi qurilma. Toʻrtburchak t.Yogʻoch t.(chizish uchun). Askar t. (konvertsiz, burchakda buklangan askar xati; soʻzlashuv tili). 2… Ozhegovning izohli lug'ati

Uchburchak (ko'pburchak)- uchburchaklar: 1 o'tkir, to'rtburchak va o'tmas; 2 muntazam (teng tomonli) va teng yonli; 3 bissektrisa; 4 mediana va og'irlik markazi; 5 balandlik; 6 ortomarkaz; 7 o'rta chiziq. Uchburchak, 3 tomoni boʻlgan koʻpburchak. Ba'zan ostida ... Illustrated entsiklopedik lug'at

uchburchak ensiklopedik lug'at

uchburchak- lekin; m.1) a) uchta ichki burchak hosil qiluvchi, kesishuvchi to‘g‘ri chiziq bilan chegaralangan geometrik figura. To'rtburchaklar, teng yonli uchburchak / zig'ir. Uchburchakning maydonini hisoblang. b) javob. nima yoki def bilan. Bunday shakldagi rasm yoki ob'ekt ... ... Ko'p iboralar lug'ati

Uchburchak- lekin; m 1. Uchta ichki burchak hosil qiluvchi, kesishuvchi uchta to‘g‘ri chiziq bilan chegaralangan geometrik figura. To'rtburchaklar, teng yonli m. Uchburchakning maydonini hisoblang. // nima yoki def bilan. Bunday shakldagi rasm yoki ob'ekt. T. tomi. T.…… ensiklopedik lug'at

To'g'ri burchakli uchburchak - bir burchagi to'g'ri bo'lgan uchburchak (90 0 ga teng). Demak, qolgan ikki burchakning qo‘shilishi 90 0 ga teng.

To'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari

To'qson graduslik burchakka qarama-qarshi tomon gipotenuza deb ataladi. Qolgan ikki tomon oyoqlar deb ataladi. Gipotenuza har doim oyoqlardan uzunroq, lekin ularning yig'indisidan qisqaroq.

To'g'ri uchburchak. Uchburchak xossalari

Agar oyoq o'ttiz graduslik burchakka qarama-qarshi bo'lsa, unda uning uzunligi gipotenuzaning yarmiga to'g'ri keladi. Bundan kelib chiqadiki, uzunligi gipotenuzaning yarmiga to'g'ri keladigan oyoqqa qarama-qarshi burchak o'ttiz darajaga teng. Oyoq gipotenuzaga proportsional o'rtacha va oyoqning gipotenuzaga beradigan proyeksiyasiga teng.

Pifagor teoremasi

Har qanday to'g'ri burchakli uchburchak Pifagor teoremasiga bo'ysunadi. Bu teorema shuni ko'rsatadiki, oyoqlarning kvadratlari yig'indisi gipotenuzaning kvadratiga teng. Agar oyoqlar a va b ga teng va gipotenuza c deb hisoblasak, biz yozamiz: a 2 + b 2 \u003d c 2. Pifagor teoremasi to'g'ri burchakli uchburchaklar paydo bo'lgan barcha geometrik muammolarni hal qilish uchun ishlatiladi. Bundan tashqari, zarur vositalar yo'q bo'lganda, to'g'ri burchakni chizishga yordam beradi.

Balandligi va median

To'g'ri burchakli uchburchak, uning ikki balandligi oyoqlari bilan birlashtirilganligi bilan tavsiflanadi. Uchinchi tomonni topish uchun oyoqlarning gipotenuzaga proyeksiyalari yig'indisini topib, ikkiga bo'lish kerak. Agar siz to'g'ri burchakning tepasidan mediana chizsangiz, u uchburchak atrofida tasvirlangan aylananing radiusi bo'lib chiqadi. Bu doiraning markazi gipotenuzaning o'rta nuqtasi bo'ladi.

To'g'ri uchburchak. Maydoni va uni hisoblash

To'g'ri uchburchaklar maydoni uchburchakning maydonini topish uchun har qanday formuladan foydalanib hisoblanadi. Bundan tashqari, siz boshqa formuladan foydalanishingiz mumkin: S \u003d a * b / 2, bu maydonni topish uchun oyoq uzunligi mahsulotini ikkiga bo'lish kerakligini aytadi.

Kosinus, sinus va tangens to'g'ri uchburchak

O'tkir burchakning kosinusu - burchakka ulashgan oyoqning gipotenuzaga nisbati. U har doim bittadan kamroq. Sinus - burchakka qarama-qarshi bo'lgan oyoqning gipotenuzaga nisbati. Tangent - burchakka qarama-qarshi bo'lgan oyoqning bu burchakka ulashgan oyoqqa nisbati. Kotangent - burchakka ulashgan oyoqning burchakka qarama-qarshi oyog'iga nisbati. Kosinus, sinus, tangens va kotangens uchburchakning kattaligiga bog'liq emas. Ularning qiymatiga faqat burchakning daraja o'lchovi ta'sir qiladi.

Uchburchak yechimi

Burchakka qarama-qarshi bo'lgan oyoqning qiymatini hisoblash uchun siz gipotenuzaning uzunligini bu burchakning sinusiga yoki ikkinchi oyoqning o'lchamini burchakning tangensiga ko'paytirishingiz kerak. Burchakka ulashgan oyoqni topish uchun gipotenuzaning mahsulotini va burchakning kosinusini hisoblash kerak.

Izosceles to'g'ri burchakli uchburchak

Agar uchburchak to'g'ri burchakli va oyoqlari teng bo'lsa, u teng burchakli to'g'ri burchakli uchburchak deyiladi. Bunday uchburchakning o'tkir burchaklari ham teng - har biri 45 0. To'g'ri burchakli to'g'ri burchakli uchburchakning medianasi, bissektrisasi va balandligi bir xil.