Kasrning hosilasi nima. Kasrning hosilasini qanday topish mumkin

Matematikada fizik masalalar yoki misollarni hosila va uni hisoblash usullarini bilmasdan yechish mutlaqo mumkin emas. Hosila eng muhim tushunchalardan biridir matematik tahlil. Biz bugungi maqolani ushbu asosiy mavzuga bag'ishlashga qaror qildik. hosila nima, uning jismoniy va nima geometrik ma'no funktsiyaning hosilasini qanday hisoblash mumkin? Bu savollarning barchasini bittaga birlashtirish mumkin: lotinni qanday tushunish kerak?

Hosilning geometrik va fizik ma'nosi

Funktsiya bo'lsin f(x) , ba'zi bir intervalda berilgan (a,b) . X va x0 nuqtalari shu intervalga tegishli. X o'zgarganda, funktsiyaning o'zi o'zgaradi. Argument o'zgarishi - uning qiymatlari farqi x-x0 . Bu farq quyidagicha yoziladi delta x va argument ortishi deyiladi. Funktsiyaning o'zgarishi yoki ortishi - bu funktsiyaning ikki nuqtadagi qiymatlari orasidagi farq. Hosila ta'rifi:

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi - bu funksiyaning ma'lum nuqtadagi o'sishining argumentning o'sishiga nisbati chegarasi, bu nolga moyil bo'lganda.

Aks holda shunday yozilishi mumkin:

Bunday chegarani topishning nima keragi bor? Lekin qaysi biri:

nuqtadagi funktsiyaning hosilasi OX o'qi orasidagi burchak tangensiga va berilgan nuqtadagi funksiya grafigiga teginishga teng.

jismoniy ma'no hosila: yo'lning vaqt hosilasi to'g'ri chiziqli harakat tezligiga teng.

Darhaqiqat, maktab davridan beri hamma tezlik shaxsiy yo'l ekanligini biladi. x=f(t) va vaqt t . o'rtacha tezlik bir muncha vaqt uchun:

Bir vaqtning o'zida harakat tezligini bilish uchun t0 limitni hisoblashingiz kerak:

Birinchi qoida: doimiyni chiqarib tashlang

Konstantani hosilaning belgisidan chiqarish mumkin. Bundan tashqari, buni qilish kerak. Matematikadan misollarni echishda, qoida tariqasida, oling - ifodani soddalashtira olsangiz, soddalashtirishga ishonch hosil qiling .

Misol. Keling, hosilani hisoblaylik:

Ikkinchi qoida: funktsiyalar yig'indisining hosilasi

Ikki funktsiya yig'indisining hosilasi bu funksiyalarning hosilalari yig'indisiga teng. Xuddi shu narsa funksiyalar farqining hosilasi uchun ham amal qiladi.

Biz bu teoremaning isbotini keltirmaymiz, balki amaliy misolni ko'rib chiqamiz.

Funktsiyaning hosilasini toping:

Uchinchi qoida: funksiyalar mahsulotining hosilasi

Ikki differentsiallanuvchi funktsiyaning hosilasi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Misol: funktsiyaning hosilasini toping:

Qaror:

Bu erda murakkab funktsiyalarning hosilalarini hisoblash haqida gapirish muhimdir. Murakkab funktsiyaning hosilasi ushbu funktsiyaning oraliq argumentga nisbatan hosilasining mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan hosilasi bilan teng.

Yuqoridagi misolda biz quyidagi iboraga duch kelamiz:

Bunday holda, oraliq argument beshinchi darajaga 8x. Bunday ifodaning hosilasini hisoblash uchun birinchi navbatda tashqi funktsiyaning oraliq argumentga nisbatan hosilasini ko'rib chiqamiz, so'ngra mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan oraliq argumentning hosilasiga ko'paytiramiz.

To'rtinchi qoida: Ikki funktsiyaning qismining hosilasi

Ikki funktsiyaning bo'linmasining hosilasini aniqlash formulasi:

Biz noldan dummies uchun derivativlar haqida gapirishga harakat qildik. Bu mavzu ko'rinadigan darajada oddiy emas, shuning uchun ogohlantiring: misollarda ko'pincha tuzoqlar mavjud, shuning uchun lotinlarni hisoblashda ehtiyot bo'ling.

Ushbu va boshqa mavzular bo'yicha har qanday savol bilan siz talabalar xizmatiga murojaat qilishingiz mumkin. Qisqa vaqt ichida biz sizga eng qiyin nazoratni hal qilishda va vazifalarni hal qilishda yordam beramiz, hatto siz ilgari lotinlarni hisoblash bilan shug'ullanmagan bo'lsangiz ham.

Ta'rif.\(y = f(x) \) funksiyasi ichidagi \(x_0 \) nuqtani o'z ichiga olgan oraliqda aniqlansin. Ushbu intervalni qoldirmaslik uchun argumentga \(\Delta x \) ni oshiramiz. \(\Delta y \) (\(x_0 \) nuqtadan \(x_0 + \Delta x \) nuqtaga o'tishda) funksiyaning mos o'sishini toping va \(\frac(\Delta y) munosabatini tuzing. )(\Delta x) \). Agar bu munosabatning chegarasi \(\Delta x \o'ng ko'rsatkich 0 \) bo'lsa, u holda belgilangan chegara deyiladi. hosila funksiyasi\(y=f(x) \) nuqtada \(x_0 \) va \(f"(x_0) \) ni belgilang.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

y belgisi ko'pincha hosilani belgilash uchun ishlatiladi. y" = f(x) ekanligini unutmang yangi xususiyat, lekin tabiiy ravishda yuqoridagi chegara mavjud bo'lgan x barcha nuqtalarda aniqlangan y = f (x) funktsiyasi bilan bog'liq. Bu funktsiya shunday deb ataladi: y \u003d f (x) funktsiyasining hosilasi.

Hosilning geometrik ma'nosi quyidagilardan iborat. Agar y o'qiga parallel bo'lmagan tangensni y \u003d f (x) funktsiyasining grafigiga abscissa x \u003d a nuqtada chizish mumkin bo'lsa, u holda f (a) tangensning qiyaligini ifodalaydi:
\(k = f"(a)\)

\(k = tg(a) \) bo'lgani uchun \(f"(a) = tg(a) \) tengligi to'g'ri.

Endi esa hosila ta’rifini taxminiy tenglik nuqtai nazaridan izohlaymiz. \(y = f(x) \) funksiyasi \(x \) nuqtada hosilaga ega bo'lsin:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Bu shuni anglatadiki, x nuqtasi yaqinida taxminan tenglik \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \taxminan f"(x) \), ya'ni \(\Delta y \taxminan f"(x) \cdot. \Deltaks\). Olingan taxminiy tenglikning mazmunli ma'nosi quyidagicha: funktsiyaning o'sishi argumentning o'sishiga "deyarli proportsional" va proportsionallik koeffitsienti hosila qiymatida. berilgan nuqta X. Masalan, \(y = x^2 \) funktsiyasi uchun \(\Delta y \taxminan 2x \cdot \Delta x \) taxminiy tengligi to'g'ri. Agar hosila ta'rifini sinchkovlik bilan tahlil qilsak, unda uni topish algoritmi borligini bilib olamiz.

Keling, uni shakllantiramiz.

y \u003d f (x) funktsiyasining hosilasini qanday topish mumkin?

1. \(x \) qiymatini aniqlang, \(f(x) \) toping.
2. \(x \) argumentini \(\Delta x \) oshiring, yangi nuqtaga o'ting \(x+ \Delta x \), \(f(x+ \Delta x) \) toping.
3. Funksiya o‘sishini toping: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) munosabatini tuzing.
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ ni hisoblang.
Bu chegara funksiyaning x dagi hosilasidir.

Agar y = f(x) funksiyaning x nuqtada hosilasi bo'lsa, u x nuqtada differentsiallanuvchi deyiladi. Y \u003d f (x) funktsiyasining hosilasini topish tartibi deyiladi farqlash y = f(x) funktsiyalari.

Keling, quyidagi savolni muhokama qilaylik: nuqtadagi funktsiyaning uzluksizligi va differentsialligi qanday bog'liq?

y = f(x) funksiya x nuqtada differentsiallanuvchi bo'lsin. U holda funksiya grafigiga M (x; f (x)) nuqtada tangens chizish mumkin va esda tutingki, tangensning qiyaligi f "(x) ga teng. Bunday grafik "buzilmaydi". nuqta M, ya'ni funksiya x da uzluksiz bo'lishi kerak.

Bu "barmoqlar ustida" mulohaza yuritardi. Keling, yanada jiddiyroq dalil keltiraylik. Agar y = f(x) funksiya x nuqtada differensiallansa, u holda taqribiy tenglik \(\Delta y \taxminan f"(x) \cdot \Delta x \) bajariladi. nolga teng, u holda \(\Delta y \ ) ham nolga intiladi va bu nuqtada funksiyaning uzluksizligi sharti.

Shunday qilib, agar funktsiya x nuqtada differentsiallanadigan bo'lsa, u holda u shu nuqtada ham uzluksizdir.

Qarama-qarshilik to'g'ri emas. Masalan: y = |x| funksiyasi hamma joyda, xususan, x = 0 nuqtada uzluksizdir, lekin funksiya grafigiga “boʻgʻin nuqtasi”da (0; 0) teginish mavjud emas. Agar biron bir nuqtada funktsiya grafigiga teginish mumkin bo'lmasa, u holda bu nuqtada hosila yo'q.

Yana bir misol. \(y=\sqrt(x) \) funksiya butun son chizigʻida, shu jumladan x = 0 nuqtada uzluksizdir. Funktsiya grafigiga tegish har qanday nuqtada, shu jumladan x = 0 nuqtada ham mavjud. Ammo bu nuqtada tangens y o'qiga to'g'ri keladi, ya'ni u abscissa o'qiga perpendikulyar, uning tenglamasi x \u003d 0 ko'rinishga ega. Bunday to'g'ri chiziq uchun qiyalik yo'q, ya'ni \ ( f "(0) \) ham mavjud emas

Shunday qilib, biz funktsiyaning yangi xossasi - differentsiallik bilan tanishdik. Funksiya grafigidan funktsiya farqlanishi mumkinligini qanday aniqlash mumkin?

Javob aslida yuqorida berilgan. Agar biror nuqtada x o'qiga perpendikulyar bo'lmagan funksiya grafigiga teginish mumkin bo'lsa, u holda bu nuqtada funktsiya differentsiallanadi. Agar biror nuqtada funksiya grafigining tangensi mavjud bo‘lmasa yoki u x o‘qiga perpendikulyar bo‘lsa, bu nuqtada funksiya differentsiallanmaydi.

Farqlash qoidalari

Hosilini topish operatsiyasi deyiladi farqlash. Ushbu amalni bajarishda siz ko'pincha bo'linmalar, yig'indilar, funktsiyalarning mahsuloti, shuningdek, "funktsiyalar funktsiyalari", ya'ni murakkab funktsiyalar bilan ishlashingiz kerak bo'ladi. Hosila ta'rifiga asoslanib, biz ushbu ishni osonlashtiradigan farqlash qoidalarini olishimiz mumkin. Agar C doimiy son va f=f(x), g=g(x) ba’zi differensiallanuvchi funksiyalar bo‘lsa, unda quyidagilar to‘g‘ri bo‘ladi. farqlash qoidalari:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Murakkab funksiya hosilasi:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Ayrim funksiyalarning hosilalari jadvali

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \o'ng) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \o'ng) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $ Hosilalarni hisoblash differensial hisoblashdagi eng muhim operatsiyalardan biridir. Quyida lotinlarni topish uchun jadval keltirilgan oddiy funktsiyalar. Murakkab farqlash qoidalari uchun boshqa darslarga qarang:

• Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalarning hosilalari jadvali

Berilgan formulalardan mos yozuvlar qiymatlari sifatida foydalaning. Ular differentsial tenglamalar va muammolarni hal qilishda yordam beradi. Rasmda, oddiy funktsiyalarning hosilalari jadvalida, hosilani foydalanish uchun tushunarli shaklda topishning asosiy holatlari "cheat varaq" mavjud, uning yonida har bir holat uchun tushuntirishlar mavjud.

Oddiy funksiyalarning hosilalari

1. Raqamning hosilasi nol
s´ = 0
Misol:
5' = 0

Tushuntirish:
Hosila argument o'zgarganda funktsiya qiymatining o'zgarishi tezligini ko'rsatadi. Raqam hech qanday sharoitda hech qanday tarzda o'zgarmasligi sababli, uning o'zgarish tezligi doimo nolga teng.

2. O‘zgaruvchining hosilasi birga teng
x' = 1

Tushuntirish:
(x) argumentining har bir ortishi bilan funksiyaning qiymati (hisoblash natijasi) bir xil miqdorga ortadi. Shunday qilib, y = x funksiya qiymatining o'zgarish tezligi argument qiymatining o'zgarish tezligiga to'liq tengdir.

3. O‘zgaruvchi va omilning hosilasi shu ko‘rsatkichga teng
sx´ = s
Misol:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Tushuntirish:
Bunday holda, har safar funktsiya argumenti ( X) uning qiymati (y) ichida o'sadi bilan bir marta. Shunday qilib, argumentning o'zgarish tezligiga nisbatan funktsiya qiymatining o'zgarish tezligi qiymatga to'liq tengdir. bilan.

Bundan kelib chiqadi
(cx + b)" = c
ya’ni y=kx+b chiziqli funksiyaning differensiali ga teng burchak koeffitsienti to'g'ri chiziqning qiyaligi (k).

4. Oʻzgaruvchining modul hosilasi bu o'zgaruvchining moduliga bo'lgan qismiga teng
|x|"= x / |x| x ≠ 0 bo'lishi sharti bilan
Tushuntirish:
O'zgaruvchining hosilasi (2-formulaga qarang) birga teng bo'lganligi sababli, modul hosilasi faqat boshlang'ich nuqtasini kesib o'tishda funktsiyaning o'zgarish tezligining qiymati teskari tomonga o'zgarishi bilan farqlanadi (grafik chizishga harakat qiling). y = |x| funksiyasini aniqlang va o'zingiz ko'ring.Bu aniq qiymat va x / |x| ifodasini qaytaradi.< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - bitta. Ya'ni, at salbiy qiymatlar x o'zgaruvchisi, argument o'zgarishining har bir ortishi bilan funktsiyaning qiymati aynan bir xil qiymatga kamayadi va ijobiy bo'lganlar uchun, aksincha, ortadi, lekin aynan bir xil qiymatga.

5. O‘zgaruvchining quvvat hosilasi bu kuchning soni va quvvatdagi o'zgaruvchining ko'paytmasiga teng bo'lib, bittaga kamayadi
(x c)"= cx c-1, x c va cx c-1 aniqlangan va c ≠ 0 bo'lishi sharti bilan
Misol:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Formulani eslab qolish uchun:
Ko'paytma sifatida "pastga" o'zgaruvchisining ko'rsatkichini oling va keyin ko'rsatkichni bittaga kamaytiring. Misol uchun, x 2 uchun - ikkitasi x dan oldinda edi, keyin esa kamaytirilgan quvvat (2-1 = 1) bizga faqat 2x berdi. Xuddi shu narsa x 3 uchun sodir bo'ldi - biz uchlikni pasaytiramiz, uni bir marta kamaytiramiz va kub o'rniga biz kvadratga ega bo'lamiz, ya'ni 3x 2 . Bir oz "ilmiy emas", lekin eslash juda oson.

6.Kasr hosilasi 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Misol:
Chunki kasrni salbiy kuchga ko'tarish sifatida ifodalash mumkin
(1/x)" = (x -1)" bo'lsa, hosilalar jadvalining 5-qoidasidan formulani qo'llashingiz mumkin.
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Kasr hosilasi ixtiyoriy darajadagi o'zgaruvchan bilan maxrajda
(1/x c)" = - c / x c+1
Misol:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. ildiz hosilasi(ostidagi oʻzgaruvchining hosilasi kvadrat ildiz)
(√x)" = 1 / (2√x) yoki 1/2 x -1/2
Misol:
(√x)" = (x 1/2)" shuning uchun siz 5-qoidadagi formulani qo'llashingiz mumkin
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Ixtiyoriy darajadagi ildiz ostidagi o'zgaruvchining hosilasi
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)