Kvadrat grafiklarni yechish. Matematik amallar yordamida minimal yoki maksimalni qanday hisoblash mumkin

Parabola nima ekanligini hamma biladi. Ammo uni turli xil amaliy muammolarni hal qilishda qanday qilib to'g'ri, malakali ishlatish kerak, biz quyida tushunamiz.

Birinchidan, algebra va geometriya bu atamaga beradigan asosiy tushunchalarni belgilaylik. Hamma narsani o'ylab ko'ring mumkin bo'lgan turlari bu diagramma.

Biz ushbu funktsiyaning barcha asosiy xususiyatlarini o'rganamiz. Keling, egri chiziq (geometriya) qurish asoslarini tushunamiz. Keling, ushbu turdagi grafikning yuqori va boshqa asosiy qiymatlarini qanday topishni bilib olaylik.

Biz bilib olamiz: kerakli egri chiziq tenglama bo'yicha qanday qilib to'g'ri tuzilgan, nimaga e'tibor berish kerak. Keling, asosiysini ko'rib chiqaylik amaliy foydalanish inson hayotidagi bu noyob qadriyat.

Parabola nima va u nimaga o'xshaydi

Algebra: bu atama grafikga ishora qiladi kvadratik funktsiya.

Geometriya: Bu ikkinchi darajali egri chiziq bo'lib, bir qator o'ziga xos xususiyatlarga ega:

Kanonik parabola tenglamasi

Rasmda to'rtburchaklar koordinatalar tizimi (XOY), ekstremum, abscissa o'qi bo'ylab novdalar chizilgan funktsiya yo'nalishi ko'rsatilgan.

Kanonik tenglama:

y 2 \u003d 2 * p * x,

bu erda p koeffitsienti parabolaning fokus parametri (AF).

Algebrada u boshqacha yoziladi:

y = a x 2 + b x + c (taniqli naqsh: y = x 2).

Kvadrat funksiyaning xossalari va grafigi

Funktsiya simmetriya o'qi va markazga (ekstremum) ega. Ta'rif sohasi x o'qining barcha qiymatlari.

Funktsiya qiymatlari diapazoni - (-∞, M) yoki (M, +∞) egri novdalar yo'nalishiga bog'liq. Bu yerda M parametri satrning yuqori qismidagi funksiyaning qiymatini bildiradi.

Parabola shoxlari qayerga yo'naltirilganligini qanday aniqlash mumkin

Ifodadan bu turdagi egri chiziq yo'nalishini topish uchun birinchi parametr oldidagi belgini ko'rsatish kerak. algebraik ifoda. Agar a ˃ 0 bo'lsa, ular yuqoriga yo'naltiriladi. Aks holda, pastga.

Formuladan foydalanib parabolaning uchini qanday topish mumkin

Ekstremumni topish ko'plab amaliy muammolarni hal qilishda asosiy qadamdir. Albatta, siz maxsus ochishingiz mumkin onlayn kalkulyatorlar lekin buni o'zingiz qilishingiz yaxshiroq.

Uni qanday aniqlash mumkin? Maxsus formula mavjud. Agar b 0 ga teng bo'lmasa, biz ushbu nuqtaning koordinatalarini izlashimiz kerak.

Yuqorini topish uchun formulalar:

x 0 \u003d -b / (2 * a);
y 0 = y (x 0).

Misol.

y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25 funktsiyasi mavjud. Keling, ushbu funktsiyaning uchlarini topamiz.

Bunday qator uchun:

x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Biz cho'qqining koordinatalarini olamiz (-2, -41).

Parabola ofset

Klassik holat - kvadratik funktsiyada y = a x 2 + b x + c, ikkinchi va uchinchi parametrlar 0, va = 1 - cho'qqi (0; 0) nuqtada bo'lganda.

Abscissa yoki ordinata o'qlari bo'ylab harakat mos ravishda b va c parametrlarining o'zgarishi bilan bog'liq. Samolyotdagi chiziqning siljishi parametr qiymatiga teng bo'lgan birliklar soni bo'yicha aniq amalga oshiriladi.

Misol.

Bizda: b = 2, c = 3.

Bu shuni anglatadiki, egri chiziqning klassik ko'rinishi abscissa o'qi bo'ylab 2 birlik segmentga va ordinat o'qi bo'ylab 3 taga siljiydi.

Kvadrat tenglama yordamida parabolani qanday qurish mumkin

Maktab o'quvchilari uchun berilgan parametrlar bo'yicha parabolani to'g'ri chizishni o'rganish muhimdir.

Ifodalar va tenglamalarni tahlil qilib, quyidagilarni ko'rishingiz mumkin:

Kerakli chiziqning ordinata vektori bilan kesishish nuqtasi c ga teng qiymatga ega bo'ladi.
Grafikning barcha nuqtalari (x o'qi bo'ylab) funktsiyaning asosiy ekstremumiga nisbatan simmetrik bo'ladi.

Bundan tashqari, OX bilan kesishishlarni bunday funktsiyaning diskriminantini (D) bilish orqali topish mumkin:

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Buning uchun ifodani nolga tenglashtirish kerak.

Parabola ildizlarining mavjudligi natijaga bog'liq:

D ˃ 0, keyin x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
D \u003d 0, keyin x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
D ˂ 0, u holda OX vektori bilan kesishish nuqtalari mavjud emas.

Biz parabolani qurish algoritmini olamiz:

filiallarning yo'nalishini aniqlash;
uchining koordinatalarini toping;
y o'qi bilan kesishuvni toping;
x o'qi bilan kesishgan joyni toping.

1-misol

y \u003d x 2 - 5 * x + 4 funktsiyasi berilgan. Parabola qurish kerak. Biz algoritmga muvofiq harakat qilamiz:

a \u003d 1, shuning uchun novdalar yuqoriga yo'naltirilgan;
ekstremum koordinatalari: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
y o'qi bilan y = 4 qiymatida kesishadi;
diskriminantni toping: D = 25 - 16 = 9;
ildizlarni qidiradi

X 1 \u003d (5 + 3) / 2 \u003d 4; (4, 0);
X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (10).

2-misol

y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1 funktsiyasi uchun siz parabola qurishingiz kerak. Biz yuqoridagi algoritmga muvofiq harakat qilamiz:

a \u003d 3, shuning uchun novdalar yuqoriga yo'naltirilgan;
ekstremum koordinatalari: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
y o'qi bilan y \u003d -1 qiymatida kesishadi;
diskriminantni toping: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Shunday qilib, ildizlar:

X 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1;0);
X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

Olingan nuqtalardan siz parabola qurishingiz mumkin.

Direktriks, ekssentriklik, parabolaning fokusi

Kanonik tenglamaga asoslanib, fokus F koordinatalariga ega (p/2, 0).

AB to'g'ri chiziq direktrisa (ma'lum uzunlikdagi parabola akkordning bir turi). Uning tenglamasi x = -p/2.

Eksantriklik (doimiy) = 1.

Xulosa

Biz talabalar tahsil oladigan mavzuni ko'rib chiqdik o'rta maktab. Endi siz parabolaning kvadratik funksiyasiga qarab, uning cho'qqisini qanday topishni, shoxlari qaysi yo'nalishda yo'naltirilishini, o'qlar bo'ylab siljish bor-yo'qligini va qurilish algoritmiga ega bo'lgan holda, uning grafigini chizishingiz mumkinligini bilasiz.