Перетином двох множин називають безліч, що складається з усіх загальних елементівцих множин.

Приклад:
Візьмемо числа 12 і 18. Знайдемо їх дільники, позначивши всі ці дільники відповідно літерами А і B:
А = (1, 2, 3, 4, 6, 12),
B = (1, 2, 3, 6, 9, 18).

Ми бачимо, що у чисел 12 і 18 є спільні дільники: 1, 2, 3, 6. Позначимо їх літерою C:
C = (1, 2, 3, 6).

Багато C і є перетином множин А і B. Пишуть це так:
А ∩B =C.

Якщо дві множини не мають спільних елементів, то перетином цих множин є порожнє безліч.
Порожня множина позначають знаком Ø, а використовують такий запис:

X ∩Y = Ø.

Об'єднання двох множин - Це безліч, що складається з усіх елементів цих множин.

Для прикладу повернемося до числа 12 і 18 і безлічі їх елементів A і B. Випишемо спочатку елементи множини А, потім додамо до них ті елементи множини B, яких немає в множині А. Ми отримаємо безліч елементів, які мають А і B в сукупності. Позначимо його літерою D:

D = (1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18).

Багато D і є об'єднанням множин A і B. Пишеться це так:

D =A U B.

Основними операціями, що здійснюються над множинами, є додавання (об'єднання), множення (перетин) та віднімання . Ці операції, як побачимо далі, не тотожні однойменним операціям, які проводяться над числами.

Визначення : Об'єднанням(або сумою) двох множин A і B називається безліч, що містить всі такі і тільки такі елементи, які є елементами хоча б однієї з цих множин. Об'єднання множин A та B позначають як A  B.

Це визначення означає, що додавання множин A і B є об'єднання всіх їх елементів в одну множину A  B. Якщо одні й ті самі елементи містяться в обох множинах, то в об'єднання ці елементи входять лише по одному разу.

Аналогічно визначається об'єднання трьох і більше множин.

Визначення : Перетином(або множенням) двох множин A і B називається безліч, що складається з тих і тільки тих елементів, які належать безлічі A і безлічі одночасно. Перетин множин A та B позначають як A  B.

Аналогічно визначається перетин трьох і більше множин.

Визначення : Різницею множин A і B називається безліч, що складається з тих і тільки тих елементів множини A і які не належать множині В. Різниця множин A і B позначають як A \ B. Операція, за допомогою якої знаходиться різницю множин, називається відніманням.

Якщо В  А, то різниця A \ B називається доповненням множини B до множини A. Якщо множина B є підмножиною універсальної множини U, то доповнення B до U позначається , тобто = U\B.

Вправи :

Розглянемо три множини N={0,2,4,5,6,7}, M=(1,3,5,7,9) та P= (1,3,9,11). Знайти

1. A= N  M

   B = N M

   C =N P

Дайте відповідь, якими з операцій над заданими множинами слід скористатися для отримання множин, описаних нижче.

1. Дано: А– безліч усіх студентів факультету, В- Багато студентів, які мають академічні заборгованості. Визначити З– безліч успішних студентів факультету.

   Дано: А– безліч усіх відмінників факультету, В- безліч студентів, які не мають академічних заборгованостей, З- Багато встигаючих студентів, які мають хоча б одну трійку. Визначити D- Багато студентів факультету, що встигають без трійок.

   Дано: U– безліч усіх студентів навчальної групи, А- безліч студентів цієї групи, які отримали залік з фізкультури, В– безліч студентів тієї ж групи, які успішно склали залік з історії Вітчизни. Визначити З- безліч студентів тієї ж навчальної групи, які досягли успіху в обох дисциплінах, D– безліч студентів тієї ж групи, які «завалили» хоча б один із заліків.

1. Властивості об'єднання та перетину множин

З визначень об'єднання та перетину множин випливають властивості цих операцій, представлені у вигляді рівностей, справедливих для будь-яких множин A , B і З .

A  B = B  A - Комутативність об'єднання;

A  B = B  A - комутативність перетину;

A  (B  З ) = (A  B )  З - асоціативність об'єднання;

A  (B  З ) = (A  B )  З - асоціативність перетину;

A  (B  З ) = (A  B )  (A  С) - дистрибутивність перетину щодо об'єднання;

A  (B  З ) = (A  B )  (A  С) - дистрибутивність об'єднання щодо перетину;

Закони поглинання:

A  A = A

A  A = A

A  Ø = A

A  Ø = Ø

A  U = U

A  U = A

Слід зазначити, що різниця не має властивостей комутативності та асоціативності, тобто A \ B ≠ B \ A і A \ (B \ З ) ≠ (A \ B ) \ З . У цьому легко переконатися, побудувавши діаграми Ейлера – Венна.

Безліч. Операції над множинами.
Відображення множин. Потужність множини

Вітаю вас на першому уроці з вищої алгебри, який з'явився напередодні п'ятиріччя сайту, після того, як я вже створив понад 150 статей з математики, і мої матеріали почали оформлятися в завершений курс. Втім, сподіватимусь, що не запізнився – адже багато студентів починають вникати в лекції тільки до державних іспитів.

Вузовський курс вышмата традиційно базується на трьох китах:

– математичному аналізі (межі, похідніі т.д.)

- І, нарешті, сезон 2015/16 учбового рокувідкривається уроками Алгебра для чайників, Елементи математичної логіки, На яких ми розберемо основи розділу, а також познайомимося з базовими математичними поняттями та поширеними позначеннями. Треба сказати, що в інших статтях я не зловживаю «закорючками» , однак то лише стиль, і, звичайно ж, їх потрібно впізнавати у будь-якому стані =). Знову прибулим читачам повідомляю, що мої уроки орієнтовані на практику, і наведений нижче матеріал буде представлений саме в цьому ключі. За більш повною та академічною інформацією, будь ласка, звертайтесь до навчальної літератури. Поїхали:

Безліч. Приклади множин

Безліч – це фундаментальне поняття як математики, а й усього навколишнього світу. Візьміть зараз у руку будь-який предмет. Ось вам і безліч, що складається з одного елемента.

В широкому значенні, безліч - це сукупність об'єктів (елементів), які розуміються як єдине ціле(за тими чи іншими ознаками, критеріями чи обставинами). Причому це не лише матеріальні об'єкти, а й літери, цифри, теореми, думки, емоції тощо.

Зазвичай множини позначаються великими латинськими літерами (як варіант, з підрядковими індексами: і т.п.), а його елементи записуються у фігурних дужках, наприклад:

- Багато букв російського алфавіту;
- безліч натуральних чисел;

ну що ж, настав час трохи познайомитися:
– безліч студентів у 1-му ряду

… я радий бачити ваші серйозні та зосереджені особи =)

Багато і є кінцевими(що складаються з кінцевого числа елементів), а безліч – це приклад нескінченногомножини. Крім того, в теорії та на практиці розглядається так зване порожня безліч:

- безліч, у якому немає жодного елемента.

Приклад вам добре відомий - безліч на іспиті часто буває пусто =)

Приналежність елемента множині записується значком , наприклад:

– літера «бе» належить множині букв російського алфавіту;
– літера «бета» неналежить безлічі букв російського алфавіту;
- Число 5 належить безлічі натуральних чисел;
- А ось число 5,5 - вже немає;
– Вольдемар не сидить у першому ряду (і тим більше, не належить множині або =)).

В абстрактній і не дуже алгебрі елементи множини позначають маленькими латинськими літерами і, відповідно, факт власності оформляється у такому стилі:

- Елемент належить безлічі .

Вищенаведені множини записані прямим перерахуваннямелементів, але це не єдиний спосіб. Багато множин зручно визначати за допомогою деякого ознаки (ів), який властивий усім його елементам. Наприклад:

- Багато всіх натуральних чисел, менших ста.

Запам'ятайте: довга вертикальна палиця висловлює словесний оборот «які», «таких, що». Досить часто замість неї використовується двокрапка: – давайте прочитаємо запис більш формально: «Більшість елементів, що належать безлічі натуральних чисел, таких, що » . Молодці!

Дане безліч можна записати і прямим перерахуванням:

Ще приклади:
- і якщо і студентів в 1-му ряду досить багато, то такий запис набагато зручніший, ніж їхнє пряме перерахування.

- Багато чисел, що належать відрізку . Зверніть увагу, що тут мається на увазі безліч дійснихчисел (про них пізніше), які перерахувати через кому вже неможливо.

Слід зазначити, що елементи множини нічого не винні бути «однорідними» чи логічно взаимосвязанными. Візьміть великий пакет і почніть навмання складати в нього різні предмети. У цьому немає ніякої закономірності, проте мова йде про безліч предметів. Образно кажучи, безліч – це і є відокремлений «пакет», у якому «волею долі» виявилася певна сукупність об'єктів.

Підмножини

Практично все зрозуміло із самої назви: безліч є підмножиноюмножини, якщо кожен елемент множини належить множині. Іншими словами, безліч міститься в безлічі:

Значок називають значком включення.

Повернемося наприклад, у якому – це багато літер російського алфавіту. Позначимо через - безліч його голосних букв. Тоді:

Також можна виділити підмножину приголосних букв і взагалі - довільне підмножина, що складається з будь-якої кількості випадково (або невипадково) взятих кириличних букв. Зокрема, будь-яка буква кирилиці є підмножиною множини.

Відносини між підмножинами зручно зображати за допомогою умовної геометричної схеми, яка називається колами Ейлера.

Нехай – безліч студентів у 1-му ряду, – безліч студентів групи, – безліч студентів університету. Тоді відношення включень можна зобразити так:

Безліч студентів іншого ВНЗ слід зобразити колом, яке не перетинає зовнішнє коло; безліч студентів країни – колом, що містить у собі обидва ці кола, тощо.

Типовий прикладвключень ми спостерігаємо під час розгляду числових множин. Повторимо шкільний матеріал, який важливо тримати на замітці та при вивченні вищої математики:

Числові множини

Як відомо, історично першими з'явилися натуральні числа, призначені для підрахунку матеріальних об'єктів (людей, курей, овець, монет тощо). Це безліч вже зустрілося у статті, єдине, ми зараз трохи модифікуємо його позначення. Справа в тому, що числові множини прийнято позначати жирними, стилізованими або потовщеними літерами. Мені зручніше використовувати жирний шрифт:

Іноді до множини натуральних чисел відносять нуль.

Якщо до безлічі приєднати ті самі числа з протилежним знаком і нуль, то вийде безліч цілих чисел:

Раціоналізатори та ледарі записують його елементи зі значками "плюс мінус":))

Цілком зрозуміло, що безліч натуральних чисел є підмножиною безлічі цілих чисел:
- Оскільки кожен елемент множини належить множині . Таким чином, будь-яке натуральне число можна назвати і цілим числом.

Назва множини теж «розмовляє»: цілі числа – це означає, жодних дробів.

І якщо цілі, то відразу ж згадаємо важливі ознаки їх ділимості на 2, 3, 4, 5 і 10, які будуть вимагатися в практичних обчисленнях чи не кожен день:

Ціла кількість ділиться на 2 без залишкуякщо воно закінчується на 0, 2, 4, 6 або 8 (тобто будь-якою парною цифрою). Наприклад, числа:
400, -1502, -24, 66996, 818 - діляться на 2 без залишку.

І давайте тут же розберемо «родинну» ознаку: ціле число ділиться на 4якщо число, складене з двох його останніх цифр (У порядку їх прямування)ділиться на 4.

400 – ділиться на 4 (т.к. 00 (нуль) ділиться на 4);
-1502 – не ділиться на 4 (Т.к. 02 (двійка) не ділиться на 4);
-24, зрозуміло, поділяється на 4;
66996 – ділиться на 4 (Т.к. 96 ділиться на 4);
818 – не ділиться на 4 (Т.к. 18 не ділиться на 4).

Самостійно проведіть нескладне обґрунтування цього факту.

З подільність на 3 трохи складніше: ціле число ділиться на 3 без залишку, якщо сума цифр, що входять до ньогоділиться на 3.

Перевіримо, чи ділиться на 3 число 27901. Для цього підсумуємо його цифри:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 - не поділяється на 3
Висновок: 27901 не поділяється на 3.

Підсумуємо цифри числа -825432:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 - ділиться на 3
Висновок: число -825432 поділяється на 3

Ціла кількість ділиться на 5, Якщо воно закінчується п'ятіркою або нулем:
775 -2390 - діляться на 5

Ціла кількість ділиться на 10, якщо воно закінчується на нуль:
798400 – ділиться на 10 (і, очевидно, на 100). Ну і, напевно, всі пам'ятають – для того, щоб поділити на 10, потрібно просто забрати один нуль: 79840

Також існують ознаки подільності на 6, 8, 9, 11 і т.д., але практичного толку від них практично ніякого =)

Слід зазначити, що ці ознаки (здавалося б, такі прості) суворо доводяться в теорії чисел. Цей розділ алгебри взагалі досить цікавий, проте його теореми ... прямо сучасна китайська страта =) А Вольдемару за останньою партою і того вистачило ..., але нічого страшного, скоро ми займемося цілющими фізичними вправами =)

Наступною числовою множиною йде безліч раціональних чисел :
- тобто, будь-яке раціональне число представимо у вигляді дробу з цілим чисельникомта натуральним знаменником.

Очевидно, що безліч цілих чисел є підмножиноюбезлічі раціональних чисел:

І справді – будь-яке ціле число можна уявити у вигляді раціонального дробу, наприклад: і т.д. Таким чином, ціле число можна цілком законно назвати раціональним числом.

Характерним «розпізнавальним» ознакою раціонального числа і те обставина, що з розподілі чисельника на знаменник виходить чи
- ціле число,

або
– кінцевадесятковий дріб,

або
- нескінченна періодичнадесятковий дріб (повтор може початися не відразу).

Помилуйте діленням і постарайтеся виконувати цю дію якомога рідше! В організаційній статті Вища математика для чайниківі на інших уроках я неодноразово повторював, повторюю, і повторюватиму цю мантру:

В вищої математикивсі дії прагнемо виконувати у звичайних (правильних та неправильних) дробах

Погодьтеся, що мати справу з дробом значно зручніше, ніж з десятковим числом 0,375 (не кажучи вже про нескінченні дроби).

Їдемо далі. Крім раціональних існує безліч ірраціональних чисел, кожне з яких представимо у вигляді нескінченної НЕперіодичноюдесяткового дробу. Іншими словами, у «нескінченних хвостах» ірраціональних чисел немає жодної закономірності:
(«Рік народження Льва Толстого» двічі)
і т.д.

Про знаменитих константів «пі» та «е» інформації достатньо, тому на них я не зупиняюся.

Об'єднання раціональних та ірраціональних чисел утворює безліч дійсних (речових) чисел:

– значок об'єднаннямножин.

Геометрична інтерпретація множини вам добре знайома - це числова пряма:


Кожному дійсному числу відповідає певна точка числової прямої, і навпаки – кожній точці числової прямої обов'язково відповідає деяке дійсне число. По суті, зараз я сформулював властивість безперервності дійсних чиселщо хоч і здається очевидним, але суворо доводиться в курсі математичного аналізу.

Числову пряму також позначають нескінченним інтервалом , а запис або еквівалентний запис символізує той факт, що належить безлічі дійсних чисел (або просто «ікс» – дійсне число).

Із вкладеннями все прозоро: безліч раціональних чисел – це підмножинабезлічі дійсних чисел:
Таким чином, будь-яке раціональне число можна сміливо назвати і дійсним числом.

Безліч ірраціональних чисел – це також підмножинадійсних чисел:

При цьому підмножини та не перетинаються- тобто жодне ірраціональне число неможливо уявити у вигляді раціонального дробу.

Чи існують якісь інші числові системи? Існують! Це, наприклад, комплексні числа, з якими я рекомендую ознайомитися буквально найближчими днями або навіть годинником.

Ну а поки що ми переходимо до вивчення операцій над множинами, дух яких уже матеріалізувався наприкінці цього параграфу:

Події над множинами. Діаграми Венна

Діаграми Венна (за аналогією з колами Ейлера) – це схематичне зображення процесів з множинами. Знову ж таки попереджаю, що я розгляну не всі операції:

1) Перетин Іі позначається значком

Перетином множин і називається безліч, кожен елемент якого належить ібезлічі , ібезлічі. Грубо кажучи, перетин - це загальна частина множин:

Так, наприклад, для множин:

Якщо у множин немає однакових елементів, їх перетин пусто. Такий приклад нам щойно зустрівся при розгляді числових множин:

Безліч раціональних і ірраціональних чисел можна схематично зобразити двома колами, що не перетинаються.

Операція перетину застосовна і для великої кількостімножин, зокрема у Вікіпедії є хороший приклад перетину множини літер трьох алфавітів.

2) Об'єднаннямножин характеризується логічним зв'язуванням АБОі позначається значком

Об'єднанням множин і називається безліч, кожен елемент якого належить множині абобезлічі:

Запишемо об'єднання множин:
- Власне кажучи, тут потрібно перерахувати всі елементи множин і, причому однакові елементи (В даному випадку одиниця на перетині множин)слід вказати один раз.

Але безлічі, зрозуміло, можуть і не перетинатися, як це має бути з раціональними та ірраціональними числами:

У цьому випадку можна зобразити два заштрихованих кола, що не перетинаються.

Операція об'єднання застосовна і для великої кількості множин, наприклад, якщо , то:

При цьому числа зовсім не обов'язково розташовувати в порядку зростання (це я зробив виключно з естетичних міркувань). Не мудруючи лукаво, результат можна записати і так:

3) Різниця іне належить безлічі:

Різниця читаються так: «а без бе». І міркувати можна так само: розглянемо множини. Щоб записати різницю, потрібно з безлічі «викинути» всі елементи, які є в безлічі:

Приклад із числовими множинами:
– тут з множини цілих чисел виключені всі натуральні, та й сам запис так і читається: «безліч цілих чисел без множини натуральних».

Дзеркально: різницеюмножин і називають безліч, кожен елемент якого належить множині іне належить безлічі:

Для тих же множин
– з множини «викинуто» те, що є в множині .

А ось ця різниця виявляється порожньою: . І справді – якщо з безлічі натуральних чисел виключити цілі числа, то, власне, нічого не залишиться:)

Крім того, іноді розглядають симетричнурізниця, яка об'єднує обидва «півмісяці»:
- Іншими словами, це "все, крім перетину множин".

4) Декартовим (прямим) твороммножин і називається безліч всіх упорядкованихпар , у яких елемент , а елемент

Запишемо декартове твір множин:
– перерахування пар зручно здійснювати за наступним алгоритмом: «спочатку до 1-го елемента множини послідовно приєднуємо кожен елемент множини, потім до 2-го елемента множини приєднуємо кожен елемент множини, потім до 3-го елемента множини приєднуємо кожен елемент множини»:

Дзеркально: декартовим твороммножин і називається безліч всіх упорядкованихпар, у яких. У нашому прикладі:
– тут схема запису аналогічна: спочатку до «мінус одиниці» послідовно приєднуємо всі елементи множини, потім до «де» – ті самі елементи:

Але це чисто для зручності - і в тому, і в іншому випадку пари можна перерахувати в будь-якому порядку - тут важливо записати Усеможливі пари.

А тепер цвях програми: декартовий твір – це не що інше, як безліч точок нашої рідної декартової системи координат .

Завданнядля самостійного закріплення матеріалу:

Виконати операції, якщо:

Безліч зручно розписати перерахуванням його елементів.

І пунктик із проміжками дійсних чисел:

Нагадую, що квадратна дужка означає включеннячисла у проміжок, а кругла – його невключення, тобто «мінус одиниця» належить множині , а «трійка» неналежить безлічі. Постарайтеся розібратися, що є декартовим добутком цих множин. Якщо виникнуть труднощі, виконайте креслення;)

Коротке рішеннязавдання наприкінці уроку.

Відображення множин

Відображеннямножини в безліч - це правило, За яким кожному елементу множини ставиться у відповідність елемент (або елементи) множини . Якщо у відповідність ставиться єдинийелемент, то це правило називається однозначно визначеноюфункцією чи просто функцією.

Функцію, як багато хто знає, найчастіше позначають буквою – вона ставить у відповідність кожномуелементу єдине значення, що належить множині.

Ну а зараз я знову потурбую безліч студентів 1-го ряду і запропоную їм 6 тем для рефератів.

Встановлене (добровільно чи примусово =))правило ставить у відповідність кожному студенту множини єдину тему реферату множини.

…а ви, напевно, і уявити не могли, що зіграєте роль аргументу функції =) =)

Елементи множини утворюють область визначенняфункції (позначається через ), а елементи множини – область значеньфункції (позначається через ).

Побудоване відображення множин має дуже важливу характеристику: воно є взаємно-однозначнимабо бієктивним(Бієкцією). В даному прикладіце означає, що кожномустуденту поставлено у відповідність одна унікальнатема реферату, і назад за кожноютемою реферату закріплений один і лише один студент.

Однак не слід думати, що будь-яке відображення є бієктивним. Якщо на 1-й ряд (до множини) додати 7-го студента, то взаємно-однозначна відповідність пропаде - або один зі студентів залишиться без теми (Відображення не буде взагалі), або якась тема дістанеться відразу двом студентам. Зворотна ситуація: якщо до безлічі додати сьому тему, то взаємнооднозначність відображення теж буде втрачена – одна з тем залишиться незатребуваною.

Шановні студенти на 1-му ряду, не засмучуйтесь - решта 20 людей після пар підуть прибирати територію університету від осіннього листя. Завгосп видасть двадцять голиків, після чого буде встановлена ​​взаємно-однозначна відповідність між основною частиною групи та мітлами…, а Вольдемар ще й у магазин збігати встигне =)). унікальний«Ігрек», і навпаки – за будь-яким значенням «Ігрек» ми зможемо однозначно відновити «ікс». Отже, це бієктивна функція.

! Про всяк випадок ліквідую можливе непорозуміння: моє постійне застереження про область визначення не випадкове! Функція може бути визначена далеко не за всіх «ікс», і, крім того, може бути однозначною і в цьому випадку. Типовий приклад:

А ось у квадратичної функціїне спостерігається нічого подібного, по-перше:
- тобто, різні значення"ікс" відобразилися в одне і тежзначення «гравець»; і по-друге: якщо хтось обчислив значення функції і повідомив нам, що , то не зрозуміло – цей «гравець» отримано за або при ? Що й казати, взаємною однозначністю тут навіть не пахне.

Завдання 2: переглянути графіки основних елементарних функційта виписати на листок бієктивні функції. Список для звіряння наприкінці цього уроку.

Потужність множини

Інтуїція нагадує, що термін характеризує розмір множини, саме кількість його елементів. І інтуїція нас не дурить!

Потужність порожньої множини дорівнює нулю.

Потужність множини дорівнює шести.

Потужність безлічі букв російського алфавіту дорівнює тридцяти трьох.

І взагалі – потужність будь-якого кінцевогомножини дорівнює кількості елементів даної множини.

...Можливо, не всі до кінця розуміють, що таке кінцевебезліч – якщо почати перераховувати елементи цієї множини, то рано чи пізно рахунок завершиться. Що називається, і китайці колись закінчаться.

Само собою, множини можна порівнювати за потужністю та їх рівність у цьому сенсі називається рівнопотужністю. Рівнопотужність визначається так:

Дві множини є рівносильними, якщо між ними можна встановити взаємно-однозначну відповідність.

Безліч студентів рівномірно безлічі тем рефератів, безліч букв російського алфавіту рівномірно будь-якій безлічі з 33 елементів і т.д. Зауважте, що саме будь-комубезлічі з 33 елементів – у разі має значення лише їх кількість. Літери російського алфавіту можна порівняти не лише з безліччю номерів
1, 2, 3, …, 32, 33, але й взагалі зі стадом у 33 корови.

Набагато цікавіше справи з нескінченними множинами. Нескінченності теж бувають різними! ...зеленими і червоними «найменші» нескінченні множини – це рахунковімножини. Якщо дуже просто, елементи такої множини можна пронумерувати. Еталонний приклад – це безліч натуральних чисел . Так - воно нескінченне, однак у кожного його елемента в принципі є номер.

Прикладів дуже багато. Зокрема, лічильним є безліч всіх парних натуральних чисел. Як це довести? Потрібно встановити його взаємно-однозначну відповідність з безліччю натуральних чисел або просто пронумеровувати елементи:

Взаємно-однозначне відповідність встановлено, отже, множини рівносильні і безліч лічильно. Парадоксально, але з погляду потужності – парних натуральних чисел стільки ж, скільки й натуральних!

Безліч цілих чисел теж лічимо. Його елементи можна занумерувати, наприклад, так:

Більше того, лічимо і безліч раціональних чисел . Оскільки чисельник – це ціле число (а їх, як щойно показано, можна пронумерувати), а знаменник – натуральне число, то рано чи пізно ми «доберемося» до будь-якого раціонального дробу і надамо їй номер.

А ось безліч дійсних чисел уже незліченно, тобто. його елементи пронумерувати неможливо. Цей фактхоч і очевидний, проте суворо доводиться теоретично множин. Потужність безлічі дійсних чисел також називають континуумом, і в порівнянні з лічильними множинами це «безкінечне» безліч.

Оскільки між безліччю та числовою прямою існує взаємно-однозначна відповідність (див. вище), то безліч точок числової прямої теж незліченно. І більше того, що на кілометровому, що на міліметровому відрізку – точок стільки ж! Класичний приклад:


Повертаючи промінь проти годинникової стрілки до його суміщення з променем, ми встановимо взаємно-однозначну відповідність між точками синіх відрізків. Таким чином, на відрізку стільки ж точок, скільки і на відрізку і !

Цей парадокс, мабуть, пов'язаний із загадкою нескінченності… але ми зараз не забиватимемо голову проблемами світобудови, бо на черзі

Завдання 2 Взаємно-однозначні функції на ілюстраціях уроку

Цілі уроку:

• освітні: формування умінь виділяти множини, підмножини; формування навичок знаходити на зображеннях область перетину та об'єднання множин і називати елементи з цієї галузі, вирішувати завдання;
• розвиваючі: розвиток пізнавального інтересуучнів; розвиток інтелектуальної сфери особистості, розвиток умінь порівнювати та узагальнювати.
• виховні: виховувати акуратність та уважність при вирішенні.

Хід уроку.

1. Організаційний момент.

2. Вчитель повідомляє тему уроку, разом із учнями формулює цілі та завдання.

3. Вчитель разом із учнями згадує матеріал, вивчений на тему «Множества» у 7 класі, запроваджує нові поняття та визначення, формули на вирішення завдань.

«Багато є багато, мислиме нами як єдине» (Засновник теорії множин - Георг Кантор). КАНТОР (Cantor) Георг (1845-1918) - німецький математик, логік, теолог, творець теорії трансфінітних (нескінченних) множин, що надала визначальний вплив на розвиток математичних наук на рубежі 19-20 ст.

Безліч - одне з основних понять сучасної математики, що використовується майже у всіх її розділах.

На жаль, основним поняттям теорії - поняттям безлічі - не можна дати строгого визначення. Зрозуміло, можна сказати, що безліч - це "сукупність", "збори", "ансамбль", "колекція", "сімейство", "система", "клас" і т. д. проте все це було б не математичним визначенням, а скоріше зловживанням словниковим багатством російської.

Для того щоб визначити яке - або поняття, потрібно, перш за все, вказати, окремим випадком якого більше загального поняття, воно є, для поняття множини зробити це неможливо, тому що більш загального поняття, ніж безліч, у математиці немає.

Часто доводиться говорити про кілька речей, об'єднаних деякою ознакою. Так, можна говорити про безліч всіх стільців у кімнаті, про безліч всіх клітин людського тіла, Про безліч всіх картоплин в даному мішку, про безліч всіх риб в океані, про безліч всіх квадратів на площині, про безліч всіх точок на цьому колі і т.д.

Предмети, що становлять це безліч, називаються його елементами.

Наприклад, багато днів тижня складається з елементів: понеділок, вівторок, середа, четвер, п'ятниця, субота, неділя.

Багато місяців – з елементів: січень, лютий, березень, квітень, травень, червень, липень, серпень, вересень, жовтень, листопад, грудень.

Безліч арифметичних дій- З елементів: додавання, віднімання, множення, розподіл.

Наприклад, якщо А означає множину всіх натуральних чисел, то 6 належить до А, а 3 не належить до А.

Якщо А - багато місяців на рік, то травень належить до А, а середовище не належить до А.

Якщо безліч містить кінцеве число елементів, його називають кінцевим, і якщо в ньому нескінченно багато елементів, то нескінченним. Так безліч дерев у лісі звичайно, а безліч точок на колі нескінченно.

Парадокс у логіці- це суперечність, що має статус логічно коректного висновку і, водночас, є міркуванням, що призводить до взаємно виключних висновків.

Як згадувалося, поняття множини лежить в основі математики. Використовуючи найпростіші множини та різні математичні конструкції, можна побудувати практично будь-який математичний об'єкт. Ідею побудови всієї математики з урахуванням теорії множин активно пропагував Г.Кантор. Проте, за всієї своєї простоті, поняття безлічі таїть у собі небезпека появи протиріч чи, як і кажуть, парадоксів. Поява парадоксів пов'язана з тим, що далеко не всякі конструкції та не всілякі множини можна розглядати.

Найпростіший із парадоксів - це " парадокс цирульника".

Одному солдату було наказано голити тих і лише тих його взводу, які самі себе не голять. Невиконання наказу в армії, як відомо, найтяжчий злочин. Проте постало питання, чи голити цьому солдатові самого себе. Якщо він поголиться, то його слід віднести до безлічі солдатів, які самі голять, а таких голити він не має права. Якщо ж він голити себе не буде, то потрапить у безліч солдатів, які самі себе не голять, а таких солдатів згідно з наказом він зобов'язаний голити. Парадокс.

Над множинами, як і над багатьма іншими математичними об'єктами, можна здійснювати різні операції, які іноді називають теоретико-множинними операціями або сет-операціями. В результаті операцій з вихідних множин виходять нові. Безліч позначаються великими латинськими літерами, які елементи – малими. Запис a Rозначає, що елемент аналежить безлічі R, тобто а R. Інакше, коли ане належить безлічі R, пишуть a R .

Дві множини Аі Вназиваються рівними (А =В), якщо вони складаються з одних і тих же елементів, тобто кожен елемент множини Ає елементом множини Ві навпаки, кожен елемент множини Вє елементом множини А .

Порівняння множин.

Багато A міститься в безлічі B (множина B включає безліч A), якщо кожен елемент A є елемент В:

Кажуть, що безліч Аміститься у безлічі Вабо безліч Ає підмножиною множини В(у цьому випадку пишуть А В), якщо кожен елемент множини Аодночасно є елементом множини В. Ця залежність між множинами називається включенням . Для будь-якої множини Амають місце включення: Ø Аі А А

В цьому випадку Aназивається підмножиною B, B - надмножиною A. Якщо , то Aназивається власним підмножиною В. Зауважимо, що ,

За визначенням ,

Дві множини називаються рівнимиякщо вони є підмножинами один одного

Операції над множинами

Перетин.

Об'єднання.

Властивості.

1. Операція об'єднання множин коммутативна

2. Операція об'єднання множин транзитивна

3. Порожня множина X є нейтральним елементом операції об'єднання множин

1. Нехай A = (1,2,3,4), B = (3,4,5,6,7). Тоді

2. А = (2,4,6,8,10), В = (3,6,9,12). Знайдемо об'єднання та перетин цих множин:

{2,4,6,8, 10,3,6,9,12}, = {6}.

3. Безліч дітей є підмножиною всього населення

4. Перетином безлічі цілих чисел з безліччю позитивних чисел є безліч натуральних чисел.

5. Об'єднанням множини раціональних чисел з безліччю ірраціональних чисел є безліч позитивних чисел.

6.Нуль є доповненням безлічі натуральних чисел щодо безлічі невід'ємних цілих чисел.

Діаграми Венна(Venn diagrams) - загальна назвацілого ряду методів візуалізації та способів графічної ілюстрації, що широко використовуються в різних галузях науки і математики: теорія множин, власне «Діаграма Венна»показує все можливі відносиниміж множинами чи подіями із деякої родини; різновидами діаграм Веннаслужать: діаграми Ейлера,

Діаграма Венна чотирьох множин.

Власне «Діаграма Венна»показує всі можливі відносини між множинами чи подіями з певної родини. Звичайна діаграма Венна має три множини. Сам Венн намагався знайти витончений спосіб із симетричними фігурами, що представляє на діаграмі більша кількістьмножин, але він зміг це зробити тільки для чотирьох множин (див. малюнок праворуч), використовуючи еліпси.

Діаграми Ейлера

Діаграми Ейлера аналогічні діаграмам Венна. Діаграми Ейлера можна використовувати для того, щоб оцінювати правдоподібність теоретико-множинних тотожностей.

Завдання 1.У класі 30 осіб, кожен із яких співає чи танцює. Відомо, що співають 17 людей, а танцювати вміють 19 людей. Скільки людей співає і танцює одночасно?

Рішення:Спочатку зауважимо, що з 30 людей не вміють співати 30 – 17 = 13 осіб.

Усі вони можуть танцювати, т.к. за умовою кожен учень класу співає чи танцює. Усього вміють танцювати 19 осіб, з них 13 не вміють співати, отже, танцювати та співати одночасно вміють 19-13 = 6 осіб.

Завдання на перетин та об'єднання множин.

1. Дані множини А = (3,5, 0, 11, 12, 19), В = (2,4, 8, 12, 18,0).
   Знайдіть безліч AU В,
2. Складіть не менше семи слів, літери яких утворюють підмножини множини
   А -(к, а, р, у, с, е, л, ь).
3. Нехай A - це безліч натуральних чисел, що діляться на 2, а В - безліч натуральних чисел, що діляться на 4. Який висновок можна зробити щодо даних множин?
4. На фірмі працюють 67 людей. З них 47 знають англійська мова, 35 – німецька мова, а 23 – обидві мови. Скільки людей фірми не знають ні англійської, ні німецької мов?
5. З 40 учнів нашого класу 32 люблять молоко, 21 – лимонад, а 15 – і молоко, і лимонад. Скільки дітей у нашому класі не люблять ні молоко, ні лимонад?
6. 12 моїх однокласників люблять читати детективи, 18 - фантастику, троє із задоволенням читають і те, й інше, а один взагалі нічого не читає. Скільки учнів у нашому класі?
7. З тих 18 моїх однокласників, які люблять дивитися трилери, тільки 12 не проти подивитися і мультфільми. Скільки моїх однокласників дивляться одні «мультики», якщо всього в нашому класі 25 учнів, кожен із яких любить дивитися чи трилери, чи мультфільми, чи те й інше?
8. Із 29 хлопчиків нашого двору лише двоє не займаються спортом, а решта відвідують футбольну чи тенісну секції, а то й обидві. Футболом займається 17 хлопчиків, а тенісом – 19. Скільки футболістів грає у теніс? Скільки тенісистів грає у футбол?
9. 65% бабусиних кроликів люблять морквину, 10% люблять і моркву, і капусту. Скільки відсотків кроликів не проти поласувати капустою?
10. В одному класі 25 учнів. З них 7 люблять груші, 11 -черешню. Двоє люблять груші та черешню; 6 - груші та яблука; 5-яблука та черешню. Але є в класі два учні, які люблять усі та четверо таких, що не люблять фруктів взагалі. Скільки учнів цього класу люблять яблука?
11. У конкурсі краси брали участь 22 дівчата. З них 10 було красивих, 12 розумних і 9 добрих. Тільки дві дівчини були і красивими, і розумними; 6 дівчат були розумними та водночас добрими. Визначте, скільки було гарних і водночас добрих дівчат, якщо я скажу вам, що серед учасниць не виявилося жодної розумної, доброї та водночас красива дівчина?
12. У нашому класі 35 учнів. За першу чверть п'ятірки з української мови мали 14 учнів; з математики – 12; з історії - 23. З російської та математики - 4; з математики та історії - 9; з російської мови та історії - 5. Скільки учнів мають п'ятірки з усіх трьох предметів, якщо в класі немає жодного учня, який не має п'ятірки хоча б по одному з цих предметів?
13. Зі 100 осіб 85 знають англійську мову, 80 – іспанську, 75 – німецьку. Усі володіють принаймні однією іноземною мовою. Серед них немає таких, які знають дві іноземні мови, але є володіють трьома мовами. Скільки людей із цих 100 знають три мови?
14. Зі співробітників фірми 16 побували у Франції, 10 -в Італії, 6 - в Англії; в Англії та Італії - 5; в Англії та Франції – 6; у всіх трьох країнах – 5 співробітників. Скільки людей відвідали і Італію, і Францію, якщо загалом у фірмі працюють 19 осіб, і кожен із них побував хоча б в одній із названих країн?

5. Підбиття підсумків уроку.

6. Рефлексія.

• Мені найбільше вдалося.
• Для мене було відкриттям те, що …
• За що ти можеш похвалити себе?
• Що на вашу думку не вдалося? Чому? Що зважити на майбутнє?
• Мої здобутки на уроці.

7. Домашнє завдання.

1. Макарів. Пункт 13. №263, №264, №265, №266, №271, №272.
2. Скласти завдання застосування теорії множин.
3. За групами підготувати презентації на тему «Багато».