Теорія функцій однієї змінної. Математичний аналіз

Нехай змінна величина x nнабуває нескінченної послідовності значень

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

причому відомий закон зміни змінної x n, тобто. для кожного натурального числа nможна вказати відповідне значення x n. Таким чином, передбачається, що змінна x nє функцією від n:

x n = f(n)

Визначимо одне з найважливіших понять математичного аналізу - межа послідовності, або, що те саме, межа змінної величини x n, що пробігає послідовність x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

Визначення.Постійне число aназивається межею послідовності x 1 , x 2 , ..., x n , ... . або межею змінної x n, якщо для будь-якого малого позитивного числа e знайдеться таке натуральне число N(тобто номер N), що всі значення змінної x n, починаючи з x N, відрізняються від aпо абсолютній величині менше, ніж e. Дане визначення коротко записується так:

| x n - a |< (2)

при всіх n  N, або, що те саме,

Визначення межі по Коші. Число A називається межею функції f (x) у точці a, якщо ця функція визначена в деякій околиці точки a за винятком, можливо, самої точки a, і для кожного ε > 0 існує δ > 0 таке, що для всіх x, що задовольняють умові | x - a |< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Визначення межі за Гейном. Число A називається межею функції f (x) у точці a, якщо ця функція визначена в деякій околиці точки a за винятком, можливо, самої точки a, і для будь-якої послідовності такий, що схожій до a, відповідна послідовність значень функції сходиться до A.

Якщо функція f (x) має межу в точці a, то ця межа єдина.

Число A 1 називається межею функції f(x) ліворуч у точці a, якщо для кожного ε > 0 існує δ >

Число A 2 називається межею функції f(x) праворуч у точці a, якщо для кожного ε > 0 існує δ > 0 таке, що для всіх виконується нерівність

Межа зліва позначається межа праворуч – ці межі характеризують поведінку функції зліва та праворуч від точки a. Їх часто називають односторонніми межами. У позначенні односторонніх меж при x → 0 зазвичай опускають перший нуль: і . Так, для функції

Якщо кожного ε > 0 існує така δ-околиця точки a, що всіх x, задовольняють умові |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, то кажуть, що функція f(x) має у точці a нескінченну межу:

Так, функція має у точці x = 0 нескінченну межу Часто розрізняють межі, рівні +∞ та –∞. Так,

Якщо кожного ε > 0 існує таке δ > 0, що з будь-якого x > δ виконується нерівність |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Теорема про існування точної верхньої грані

Визначення:АR mR, m - верхня (нижня) грань А, якщо аА аm (аm).

Визначення:Безліч A обмежена зверху (знизу), якщо існує таке m, що аА, виконується аm (аm).

Визначення: SupA=m, якщо 1) m - верхня грань A

2) m’: m’ m’ не верхня грань A

InfA = n, якщо 1) n – нижня грань A

2) n': n'>n => n' не нижня грань A

Визначення: SupA=m називається число, таке що: 1)  aA am

2) >0 a  A, таке, що a  a-

InfA = nназивається число, таке що: 1) 1)  aA an

2) >0 a  A, таке, що a E a+

Теорема:Будь-яка, непуста обмежена зверху безліч АR, має точну верхню грань, причому єдину.

Доведення:

Побудуємо на числовий прямий число m і доведемо, що це точна верхня грань А.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - верхня грань A

Відрізок [[m],[m]+1] – розбиваємо на 10 частин

m 1 =max:aA)]

m 2 =max,m 1:aA)]

m до =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K – верхня грань A

Доведемо, що m=[m],m 1 ...m K - точна верхня грань і що вона єдина:

к: .

Рис. 11. Графік функції y arc sin x.

Введемо тепер поняття складної функції ( композиції відображень). Нехай дані три множини D, E, M і нехай f: D→E, g: E→M. Очевидно, можна побудувати нове відображення h: D→M, яке називається композицією відображень f і g або складною функцією (мал. 12).

Складна функція позначається так: z = h (x) = g (f (x)) або h = f o g.

Рис. 12. Ілюстрація до поняття складної функції.

Функція f(x) при цьому називається внутрішньою функцією, а функція g (y) - зовнішньою функцією.

1. Внутрішня функція f(x)= x², зовнішня g(y) sin y. Складна функція z = g (f (x)) = sin (x²)

2 . Тепер навпаки. Внутрішня функція f(x) = sinx, зовнішня g(y) y2. u=f(g(x))=sin²(x)