Нагромадження страшних формул, посібники з вищої математики, які відкриєш і відразу закриєш, болісні пошуки вирішення здавалося б дуже простою задачі. Подібна ситуація не рідкість, особливо коли підручник з математики востаннє відкривався у далекому 11 класі. А тим часом, у ВНЗ навчальні плани багатьох спеціальностей передбачають вивчення всіма улюбленою вищою математикою. І в цій ситуації нерідко відчуваєш себе повним чайником перед нагромадженням жахливої ​​математичної абракадабри. Причому, подібна ситуація може скластися щодо будь-якого предмета, особливо з циклу природничих наук.

Що робити? Для студента-очника все значно простіше, якщо, звичайно, предмет не запущений. Можна проконсультуватися у викладача, одногрупників та й просто списати у сусіда по парті. Навіть повний чайник у вищій математиці за таких розкладів сесію переживе.

А якщо людина навчається на заочному відділенні ВНЗ, і вища математика, м'яко кажучи, навряд чи знадобиться в майбутньому? До того ж немає часу на заняття. Так-то воно, як правило, так, але ніхто не скасовував виконання контрольних робіт і складання іспиту (найчастіше, письмового). З контрольними роботами з вищої математики все простіше, чи чайник, чи не чайник – контрольну роботу з математики можна замовити. Наприклад, у мене. І з інших предметів теж можна замовити. Вже не тут. Але виконання та здавання на рецензію контрольних робіт ще не призведе до заповітного запису в заліковій книжці. Часто буває, що витвір мистецтва, виконаний на замовлення, треба захищати, і пояснити, чому з цих літер слід вона та формула. Крім того, чекають іспити, а там вже доведеться вирішувати визначники, межі та похідні САМОСТІЙНО. Якщо, звичайно, викладач не приймає цінних подарунків, чи ні найнятого доброзичливця за стінами аудиторії.

Дозвольте, дам дуже важливу пораду. На заліках, іспитах з точних та природничих наук ДУЖЕ ВАЖЛИВО ХОЧ ЩОСЬ РОЗУМІТИ. Запам'ятайте, хоч щось. Повна відсутність розумових процесів просто дратує викладача, мені відомі випадки, коли студентів-заочників загортали по 5-6 разів. Пам'ятається, один молодик здавав контрольну роботу 4 рази, і після кожного перездавання звертався до мене за безкоштовною гарантійною консультацією. Зрештою, я помітив, що у відповіді він замість літери «пі» писав літеру «пе», за що й були жорсткі санкції з боку рецензента. Студент НАВІТЬ НЕ ХОТІВ ВНИКАТИ в завдання, яке він недбало переписав

Можна бути повним чайником у вищій математиці, але дуже бажано знати, що похідна константи дорівнює нулю. Тому що, якщо Ви відповісте якусь дурість на елементарне питання, то велика ймовірність того, що на цьому навчання у ВНЗ для Вас закінчиться. Викладачі набагато прихильніше ставляться до того студента, який ХОЧЕ НАМАГАЄТЬСЯ розібратися в предметі, до того, хто, хай і помилково, але намагається щось вирішити, пояснити або довести. І це твердження є справедливим для всіх дисциплін. Тому слід рішуче відсунути позицію «я нічого не знаю, нічого не розумію».

Друга важлива порада – відвідувати лекції, навіть якщо їх небагато. Про це я вже згадував на головній сторінці сайту Математика для заочників. Повторюватися немає сенсу, чому це дуже важливо, читайте там.

Отже, що робити, якщо на носі залік, іспит з вищої математики, а справи плачевні – стан повного, а точніше, порожнього чайника?

Один із варіантів – найняти репетитора. З найбільшою базою репетиторів можна ознайомитись (переважно, Москва) або (переважно, Санкт-Петербург). За пошуковою системою можна знайти репетитора у своєму місті, або подивитися місцеві рекламні газети. Ціна на послуги репетитора може змінюватись від 400 і більше рублів за годину в залежності від кваліфікації викладача. Слід зазначити, що дешево це не означає погано, особливо якщо у Вас непогана математична підготовка. У той же час за 2-3К рублів Ви й отримаєте НЕМАЛО. Даремно таких грошей ніхто не бере, і даремно таких грошей ніхто не платить;-). Єдиний важливий момент – намагайтеся обрати репетитора з профільною педагогічною освітою. І справді, ми ж не ходимо по юридичну допомогу до стоматолога.

Останнім часом набирає популярності сервіс онлайн репетиторів. Він дуже зручний, коли необхідно терміново вирішити одну-дві задачі, розібратися в темі або підготуватися до іспиту. Безумовною перевагою є ціни, які в кілька разів нижчі, ніж у офлайн репетитора + економія часу на проїзд, що є особливо актуальним для жителів мегаполісів.

У курсі вищої математики деякі речі без репетитора освоїти дуже важко, потрібне саме «живе» пояснення.

Тим не менш, у багатьох типах завдань цілком можна розібратися самостійно, і мета даного розділу сайту – навчити Вас вирішувати типові приклади та завдання, які практично завжди зустрічаються на іспитах. Понад те, для низки завдань існують «жорсткі» алгоритми, де від правильного рішення взагалі «нікуди не подітися». І, в міру моїх знань, я спробую допомогти Вам, тим більше є педагогічна освіта та досвід роботи за спеціальністю.

Почнемо розгрібати математичні абракадабри. Нічого страшного, навіть якщо Ви чайник, вища математика – це справді просто та дійсно доступно.

А розпочати треба з повторення шкільного курсу математики. Повторення – мати муки.

Перш ніж, Ви приступите до вивчення моїх методичних матеріалів, та й взагалі приступите до вивчення будь-яких матеріалів з вищої математики, я насправді рекомендую, прочитати нижченаведене .

Для того щоб успішно вирішувати завдання з вищої математики НЕОБХІДНО:

ЗАПАСІТЬСЯ МІКРОКАЛЬКУЛЯТОРОМ.

З програм - Ексель (відмінний вибір!). Мануал для «чайників» я завантажив до бібліотеки.

Їсти? Вже добре.

– Від перестановки доданків – сума не змінюється: .
А ось це зовсім різні речі:

Переставляти «ікс» та «четвірку» просто так не можна. Заодно згадуємо культову літеру «ікс», яка у математиці позначає невідому чи змінну величину.

– Від перестановки множників – твір не змінюється: .
З поділом такий фокус не пройде, і - це два різні дроби і перестановка чисельника зі знаменником без наслідків не обходиться.
Також згадуємо, що знак множення («точки») найчастіше прийнято не писати: ,

– Згадуємо правила розкриття дужок:
– тут знаки у доданків не змінюються
- А тут міняються на протилежні.
І для множення:

Взагалі, достатньо пам'ятати, що ДВА МІНУСУ ДАЮТЬ ПЛЮС, а ТРИ МІНУСУ – ДАЮТЬ МІНУС. І, постаратися при вирішенні завдань з вищої математики в цьому не заблукати (дуже часта і прикра помилка).

– Згадуємо приведення подібних доданків, Ви повинні добре розуміти таку дію:

– Згадуємо що таке ступінь:

, , , .

Ступінь – це лише звичайне множення.

–Згадуємо, що дроби можна скорочувати: (Скоротили на 2), (Скоротили на п'ять), (Скоротили на ).

– Згадуємо дії з дробами:

а також дуже важливе правило приведення дробів до спільного знаменника:

Якщо ці приклади малозрозумілі, дивіться шкільні підручники.
Без цього ТУГО буде.

ПОРАДА: всі ПРОМІЖНІ обчислення у вищій математиці краще проводити в ЗВИЧАЙНИХ ПРАВИЛЬНИХ І НЕПРАВИЛЬНИХ ДРОБЯХ, навіть якщо будуть виходити страшні дроби на кшталт . Ось цей дріб НЕ ТРЕБА представляти у вигляді , і, тим більше, НЕ ТРЕБА ділити на калькуляторі чисельник на знаменник, отримуючи 4,334552102….

ВИКЛЮЧЕННЯМ з правила є кінцева відповідь завдання, тоді якраз краще записати або .

– Рівняння. У нього є ліва частина та права частина. Наприклад:

Можна перенести будь-яке доданок в іншу частину, змінивши знак:
Перенесемо, наприклад, всі складові в ліву частину:

Або в праву:

New Page 1

Математичний аналіз для чайників. Урок 1. Безліч.

Поняття множини

Безліч- Це сукупність деяких об'єктів. Які можуть бути множини? По-перше, кінцеві чи нескінченні. Наприклад, безліч сірників у коробці - це кінцева множина, їх можна взяти і порахувати. Кількість піщин на пляжі порахувати набагато важче, але, в принципі, можливо. І ця кількість виражається якимось кінцевим числом. Так що безліч піщинок на пляжі також звичайно. А ось безліч точок на це безліч нескінченне. Так як по-перше, пряма сама по собі нескінченна і на ній можна поставити скільки завгодно точок. Безліч точок відрізка прямої теж нескінченне. Тому що теоретично точка може бути як завгодно маленька. Звичайно, ми фізично не зможемо намалювати точку, розміром, наприклад, меншою за розмір атома, але, з точки зору математики точка не має розміру. Її розмір дорівнює нулю. А що виходить, якщо поділити на нуль якесь число? Правильно, нескінченність. І хоча безліч точок на прямій і на відрізку прагне нескінченності, це не одне й теж. Безліч - це не кількість чогось там, а сукупність будь-яких об'єктів. І рівними вважаються лише ті множини, які містять абсолютно однакові об'єкти. Якщо в одному безліч містить ті ж об'єкти, що й інше безліч, але плюс ще один якийсь "лівий" об'єкт, то це вже не рівні множини.

Розглянемо приклад. Нехай у нас є дві множини. Перше - сукупність всіх точок на прямій. Друге – сукупність усіх точок на відрізку прямої. Чому вони не рівні? По-перше, відрізок та пряма можуть навіть не перетинатися. Тоді вони вже точно не рівні, тому що містять абсолютно різні точки. Якщо вони перетинаються, то вони мають лише одну спільну точку. Решта також різні. А якщо відрізок лежить на прямій? Тоді всі точки відрізка є і точками прямої. Не всі точки прямої є точками відрізка. Так що і в цьому випадку множини не можна вважати рівними (однаковими).

Кожна множина задається правилом, яке однозначно визначає, належить елемент до цієї множини чи ні. Які можуть бути ці правила? Наприклад, якщо безліч кінцеве, можна тупо перерахувати його об'єкти. Можна встановити діапазон. Наприклад, всі цілі числа від 1 до 10. Це буде також кінцеве безліч, але ми не перераховуємо його елементи, а формулюємо правило. Або нерівність, наприклад, усі числа, більші за 10. Це буде вже нескінченна безліч, оскільки не можна назвати найбільше число - які б число ми не називали, завжди є це число плюс 1.

Як правило, множини позначаються великими літерами латинського алфавіту A, B, C і так далі. Якщо безліч складається з конкретних елементів і хочемо задати його списком цих елементів, ми можемо укласти цей перелік у фігурні дужки, наприклад A=(a, b, c, d). Якщо a є елемент множини A, це записують так: a Î A. Якщо ж a не є елементом множини A, то пишуть a Ï A. Однією з важливих множин є безліч N всіх натуральних чисел N=(1,2,3,...,) . Існує також спеціальна, так звана порожня множина, яка не містить жодного елемента. Порожня множина позначається символом Æ .

Визначення 1 (визначення рівності множин). Безліч Аі B рівні, якщо вони складаються з одних і тих же елементів, тобто якщо з xÎ A слідує x Î B і назад, з x Î B випливає x Î A.

Формально рівність двох множин записується наступним чином:

(А = В) := " x (( x Î A ) Û (x Î B )),

Це означає, що для будь-якого об'єкта x співвідношення xÎ A та xÎ B рівносильні.

Тут " - Квантор загальності (" xчитається як "для кожного x").

Визначення 2 (визначення підмножини). Безліч Ає підмножиною безлічі Вякщо будь-яке хщо належить безлічі А, належить безлічі Ст.Формальне це можна у вигляді виразу:

(A Ì B) := " x((x Î A) Þ (x Î B))

Якщо A Ì B, але A ¹ B, то A – власне підмножина множини Ст.Як приклад можна навести знову ж таки пряму і відрізок. Якщо відрізок лежить на прямій, то безліч його точок є підмножиною точок цієї прямої. Або інший приклад. Багато цілих чисел, які діляться без залишку на 3, є підмножиною безлічі цілих чисел.

Зауваження.Порожня множина є підмножиною будь-якої множини.

Операції над множинами

Над множинами можливі наступні операції:

Об'єднання.Суть цієї операції полягає в тому, щоб дві множини об'єднати в одну, що містить елементи кожної з множин, що об'єднуються. Формально це виглядає так:

C=AÈ B: = {x:x Î A або xÎ B}

приклад. Вирішимо нерівність | 2 x+ 3 | > 7.

З нього випливає чи нерівність 2x+3 >7, для 2x+3≥0, тоді x>2

або нерівність 2x+3<-7, для 2x+3 <0, тогда x<-5.

Безліч рішень даної нерівності є об'єднання множин (-∞,-5) È (2, ∞).

Давайте перевіримо. Порахуємо значення вираз | 2 x+ 3 | для кількох точок, що лежать і не лежать у даному діапазоні:

x	| 2 x+ 3 |
-10	17
-6	9
-5	7
-4	5
-2	1
0	3
1	5
2	7
3	9
5	13

Як бачимо, все вирішено правильно (червоним позначені прикордонні діапазони).

Перетин.Перетином називається операція створення нової множини з двох, що містять елементи, які входять в обидва ці множини. Щоб зобразити це наочно, давайте уявимо, що у нас є дві множини точок на площині, а саме фігура A і фігура B. Їх перетин позначає фігуру C - це і є результат операції перетину множин:

Формально операція перетину множин записується так:

C=A Ç B:= (x: x Î A і x Î B )

приклад.Нехай у нас є безліч C=A Ç B = {5,6,7}

Віднімання.Віднімання множин - це виняток з віднімається множини тих елементах, які містяться у віднімається і відчитувачі:

Формально віднімання множини записується так:

A\B: ={x:x Î A та xÏ B}

приклад.Нехай у нас є безліч A=(1,2,3,4,5,6,7), B=(5,6,7,8,9,10).Тоді C=A \ B = { 1,2,3,4}

Доповнення.Доповнення - це унарна операція (операція над двома, а над одним безліччю). Ця операція є результатом віднімання даної множини з повної універсальної множини (множини, яка включає всі інші множини).

A : = (x:x Î U та x Ï A) = U \ A

Графічно це можна зобразити у вигляді:

Симетрична різниця.На відміну від звичайної різниці при симетричній різниці множин елементи залишаються тільки ті, що присутні або в одному або іншому множині. Або, говорячи простою мовою, з двох множин створюється, але з нього виключаються ті елементи, які є і в тій і в іншій множині:

Математично це можна сказати так:

A D B:= (A\B) È ( B\A) = (A È B) \ (A Ç B)

Властивості операцій над множинами.

З визначень об'єднання і перетину множин випливає, що операції перетину та об'єднання мають такі властивості:

1. Комутативність.

A È B=BÈ A
AÇ B=BÇ A

1. Асоціативність.

(A È B) È C=AÈ ( B È C)
(A Ç B) Ç C=AÇ ( B Ç C)

Нагромадження страшних формул, посібники з вищої математики, які відкриєш і відразу закриєш, болісні пошуки вирішення здавалося б дуже простою задачі. Подібна ситуація не рідкість, особливо коли підручник з математики востаннє відкривався у далекому 11 класі. А тим часом, у ВНЗ навчальні плани багатьох спеціальностей передбачають вивчення всіма улюбленою вищою математикою. І в цій ситуації нерідко відчуваєш себе повним чайником перед нагромадженням жахливої ​​математичної абракадабри. Причому, подібна ситуація може скластися щодо будь-якого предмета, особливо з циклу природничих наук.

Що робити? Для студента-очника все значно простіше, якщо, звичайно, предмет не запущений. Можна проконсультуватися у викладача, одногрупників та й просто списати у сусіда по парті. Навіть повний чайник у вищій математиці за таких розкладів сесію переживе.

А якщо людина навчається на заочному відділенні ВНЗ, і вища математика, м'яко кажучи, навряд чи знадобиться в майбутньому? До того ж немає часу на заняття. Так-то воно, як правило, так, але ніхто не скасовував виконання контрольних робіт і складання іспиту (найчастіше, письмового). З контрольними роботами з вищої математики все простіше, чи чайник, чи не чайник – контрольну роботу з математики можна замовити. Наприклад, у мене. І з інших предметів теж можна замовити. Вже не тут. Але виконання та здавання на рецензію контрольних робіт ще не призведе до заповітного запису в заліковій книжці. Часто буває, що витвір мистецтва, виконаний на замовлення, треба захищати, і пояснити, чому з цих літер слід вона та формула. Крім того, чекають іспити, а там вже доведеться вирішувати визначники, межі та похідні САМОСТІЙНО. Якщо, звичайно, викладач не приймає цінних подарунків, чи ні найнятого доброзичливця за стінами аудиторії.

Дозвольте, дам дуже важливу пораду. На заліках, іспитах з точних та природничих наук ДУЖЕ ВАЖЛИВО ХОЧ ЩОСЬ РОЗУМІТИ. Запам'ятайте, хоч щось. Повна відсутність розумових процесів просто дратує викладача, мені відомі випадки, коли студентів-заочників загортали по 5-6 разів. Пам'ятається, один молодик здавав контрольну роботу 4 рази, і після кожного перездавання звертався до мене за безкоштовною гарантійною консультацією. Зрештою, я помітив, що у відповіді він замість літери «пі» писав літеру «пе», за що й були жорсткі санкції з боку рецензента. Студент НАВІТЬ НЕ ХОТІВ ВНИКАТИ в завдання, яке він недбало переписав

Можна бути повним чайником у вищій математиці, але дуже бажано знати, що похідна константи дорівнює нулю. Тому що, якщо Ви відповісте якусь дурість на елементарне питання, то велика ймовірність того, що на цьому навчання у ВНЗ для Вас закінчиться. Викладачі набагато прихильніше ставляться до того студента, який ХОЧЕ НАМАГАЄТЬСЯ розібратися в предметі, до того, хто, хай і помилково, але намагається щось вирішити, пояснити або довести. І це твердження є справедливим для всіх дисциплін. Тому слід рішуче відсунути позицію «я нічого не знаю, нічого не розумію».

Друга важлива порада – відвідувати лекції, навіть якщо їх небагато. Про це я вже згадував на головній сторінці сайту Математика для заочників. Повторюватися немає сенсу, чому це дуже важливо, читайте там.

Отже, що робити, якщо на носі залік, іспит з вищої математики, а справи плачевні – стан повного, а точніше, порожнього чайника?

Один із варіантів – найняти репетитора. З найбільшою базою репетиторів можна ознайомитись (переважно, Москва) або (переважно, Санкт-Петербург). За пошуковою системою можна знайти репетитора у своєму місті, або подивитися місцеві рекламні газети. Ціна на послуги репетитора може змінюватись від 400 і більше рублів за годину в залежності від кваліфікації викладача. Слід зазначити, що дешево це не означає погано, особливо якщо у Вас непогана математична підготовка. У той же час за 2-3К рублів Ви й отримаєте НЕМАЛО. Даремно таких грошей ніхто не бере, і даремно таких грошей ніхто не платить;-). Єдиний важливий момент – намагайтеся обрати репетитора з профільною педагогічною освітою. І справді, ми ж не ходимо по юридичну допомогу до стоматолога.

Останнім часом набирає популярності сервіс онлайн репетиторів. Він дуже зручний, коли необхідно терміново вирішити одну-дві задачі, розібратися в темі або підготуватися до іспиту. Безумовною перевагою є ціни, які в кілька разів нижчі, ніж у офлайн репетитора + економія часу на проїзд, що є особливо актуальним для жителів мегаполісів.

У курсі вищої математики деякі речі без репетитора освоїти дуже важко, потрібне саме «живе» пояснення.

Тим не менш, у багатьох типах завдань цілком можна розібратися самостійно, і мета даного розділу сайту – навчити Вас вирішувати типові приклади та завдання, які практично завжди зустрічаються на іспитах. Понад те, для низки завдань існують «жорсткі» алгоритми, де від правильного рішення взагалі «нікуди не подітися». І, в міру моїх знань, я спробую допомогти Вам, тим більше є педагогічна освіта та досвід роботи за спеціальністю.

Почнемо розгрібати математичні абракадабри. Нічого страшного, навіть якщо Ви чайник, вища математика – це справді просто та дійсно доступно.

А розпочати треба з повторення шкільного курсу математики. Повторення – мати муки.

Перш ніж, Ви приступите до вивчення моїх методичних матеріалів, та й взагалі приступите до вивчення будь-яких матеріалів з вищої математики, я насправді рекомендую, прочитати нижченаведене .

Для того щоб успішно вирішувати завдання з вищої математики НЕОБХІДНО:

ЗАПАСІТЬСЯ МІКРОКАЛЬКУЛЯТОРОМ.

З програм - Ексель (відмінний вибір!). Мануал для «чайників» я завантажив до бібліотеки.

Їсти? Вже добре.

– Від перестановки доданків – сума не змінюється: .
А ось це зовсім різні речі:

Переставляти «ікс» та «четвірку» просто так не можна. Заодно згадуємо культову літеру «ікс», яка у математиці позначає невідому чи змінну величину.

– Від перестановки множників – твір не змінюється: .
З поділом такий фокус не пройде, і - це два різні дроби і перестановка чисельника зі знаменником без наслідків не обходиться.
Також згадуємо, що знак множення («точки») найчастіше прийнято не писати: ,

– Згадуємо правила розкриття дужок:
– тут знаки у доданків не змінюються
- А тут міняються на протилежні.
І для множення:

Взагалі, достатньо пам'ятати, що ДВА МІНУСУ ДАЮТЬ ПЛЮС, а ТРИ МІНУСУ – ДАЮТЬ МІНУС. І, постаратися при вирішенні завдань з вищої математики в цьому не заблукати (дуже часта і прикра помилка).

– Згадуємо приведення подібних доданків, Ви повинні добре розуміти таку дію:

– Згадуємо що таке ступінь:

, , , .

Ступінь – це лише звичайне множення.

–Згадуємо, що дроби можна скорочувати: (Скоротили на 2), (Скоротили на п'ять), (Скоротили на ).

– Згадуємо дії з дробами:

а також дуже важливе правило приведення дробів до спільного знаменника:

Якщо ці приклади малозрозумілі, дивіться шкільні підручники.
Без цього ТУГО буде.

ПОРАДА: всі ПРОМІЖНІ обчислення у вищій математиці краще проводити в ЗВИЧАЙНИХ ПРАВИЛЬНИХ І НЕПРАВИЛЬНИХ ДРОБЯХ, навіть якщо будуть виходити страшні дроби на кшталт . Ось цей дріб НЕ ТРЕБА представляти у вигляді , і, тим більше, НЕ ТРЕБА ділити на калькуляторі чисельник на знаменник, отримуючи 4,334552102….

ВИКЛЮЧЕННЯМ з правила є кінцева відповідь завдання, тоді якраз краще записати або .

– Рівняння. У нього є ліва частина та права частина. Наприклад:

Можна перенести будь-яке доданок в іншу частину, змінивши знак:
Перенесемо, наприклад, всі складові в ліву частину:

Або в праву:

Межі завдають всім студентам, які вивчають математику, чимало клопоту. Щоб вирішити межу, часом доводиться застосовувати масу хитрощів і вибирати з безлічі способів вирішення саме той, який підійде для конкретного прикладу.

У цій статті ми не допоможемо вам зрозуміти межі своїх можливостей або осягнути межі контролю, але спробуємо відповісти на запитання: як зрозуміти межі у вищій математиці? Розуміння приходить з досвідом, тому зараз наведемо кілька докладних прикладів вирішення меж з поясненнями.

Поняття межі математики

Перше питання: що це взагалі за межу та межу чого? Можна говорити про межі числових послідовностей та функцій. Нас цікавить поняття межі функції, оскільки саме із нею найчастіше стикаються студенти. Але спочатку - загальне визначення межі:

Припустимо, є певна змінна величина. Якщо ця величина у процесі зміни необмежено наближається до певного числа a , то a - Межа цієї величини.

Для певної в певному інтервалі функції f(x)=y межею називається таке число A , якого прагне функція при х , що прагне до певної точки а . Крапка а належить інтервалу, у якому визначено функція.

Звучить громіздко, але записується дуже просто:

Lim- від англійської limit- Межа.

Існує також геометричне пояснення визначення межі, але тут ми не лізтимемо в теорію, тому що нас більше цікавить практична, ніж теоретична сторона питання. Коли ми говоримо, що х прагне якогось значення, це означає, що змінна не приймає значення числа, але нескінченно близько до нього наближається.

Наведемо конкретний приклад. Завдання – знайти межу.

Щоб вирішити такий приклад, підставимо значення x=3 у функцію. Отримаємо:

До речі, якщо Вас цікавлять базові операції над матрицями, читайте окрему статтю на цю тему.

У прикладах х може прагнути будь-якого значення. Це може бути будь-яке число чи нескінченність. Ось приклад, коли х прагне нескінченності:

Інтуїтивно зрозуміло, що чим більше число в знаменнику, тим менше значення прийматиме функція. Так, за необмеженого зростання х значення 1/х буде зменшуватися та наближатися до нуля.

Як бачимо, щоб вирішити межу, потрібно просто підставити на функцію значення, якого прагнути х . Однак це найпростіший випадок. Часто перебування межі негаразд очевидне. У межах зустрічаються невизначеності типу 0/0 або нескінченність/нескінченність . Що робити у таких випадках? Вдаватися до хитрощів!

Невизначеності в межах

Невизначеність виду нескінченність/нескінченність

Нехай є межа:

Якщо спробуємо у функцію підставити нескінченність, то отримаємо нескінченність як у чисельнику, і у знаменнику. Взагалі варто сказати, що у вирішенні таких невизначеностей є певний елемент мистецтва: слід зазначити, як можна перетворити функцію таким чином, щоб невизначеність пішла. У нашому випадку розділимо чисельник і знаменник на х старшою мірою. Що вийде?

З уже розглянутого вище прикладу ми знаємо, що члени, які містять у знаменнику х, прагнутимуть нуля. Тоді рішення межі:

Для розкриття невизначеностей типу нескінченність/нескінченністьділимо чисельник і знаменник на ху найвищому ступені.

До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на будь-який вид роботи

Ще один вид невизначеностей: 0/0

Як завжди, підстановка у функцію значення х=-1 дає 0 у чисельнику та знаменнику. Подивіться трохи уважніше і Ви помітите, що у чисельнику у нас є квадратне рівняння. Знайдемо коріння та запишемо:

Скоротимо та отримаємо:

Отже, якщо ви стикаєтеся з невизначеністю типу 0/0 - Розкладайте чисельник і знаменник на множники.

Щоб Вам було простіше вирішувати приклади, наведемо таблицю за межами деяких функцій:

Правило Лопіталя в межах

Ще один потужний спосіб, що дозволяє усунути невизначеність обох типів. У чому полягає суть методу?

Якщо межі є невизначеність, беремо похідну від чисельника і знаменника до того часу, поки невизначеність не зникне.

Наочно правило Лопіталя виглядає так:

Важливий момент : межа, в якій замість чисельника та знаменника стоять похідні від чисельника та знаменника, має існувати.

А тепер – реальний приклад:

В наявності типова невизначеність 0/0 . Візьмемо похідні від чисельника та знаменника:

Вуаля, невизначеність усунена швидко та елегантно.

Сподіваємося, що Ви зможете з користю застосувати цю інформацію на практиці та знайти відповідь на питання "як вирішувати межі у вищій математиці". Якщо потрібно обчислити межу послідовності або межу функції в точці, а часу на цю роботу немає від слова «зовсім», зверніться до професійного студентського сервісу за швидким та докладним рішенням.

У категорії Математичний аналіз зібрані безкоштовні онлайн відео уроки на цю тему. Математичний аналіз – це сукупність розділів математики, що займаються вивченням функцій та їх узагальнень методами диференціального та інтегрального обчислення. Сюди відносяться: функціональний аналіз, включаючи теорію інтеграла Лебега, комплексний аналіз (ТФКП), що вивчає функції, задані на комплексній площині, теорія рядів та багатовимірних інтегралів, нестандартний аналіз, що вивчає нескінченно малі та нескінченно великі числа, векторний аналіз, а також варіаційне числення. Вивчення математичного аналізу з відео уроків буде корисно як для початківців, так більш досвідчених математиків. Відеоуроки з рубрики Математичний аналіз Ви можете дивитися безкоштовно у будь-який зручний час. До деяких відео уроків з математичного аналізу додано додаткові матеріали, які можна завантажити. Приємного навчання!

Усього матеріалів: 12
Показано матеріалів: 1-10

Що таке похідна функції

Хочете дізнатися, що таке похідна функція в математиці? Ти звичайно багато разів чув про похідну і навіть, напевно, брав цю похідну в школі, зовсім не розуміючи сенсу своїх дій. У цьому відео я не навчатиму тебе формул, а поясню сенс похідної на пальцях так, щоб навіть круглому чайнику було зрозуміло. Але спочатку тобі краще подивитися моє попереднє відео, де я також доступно розповідаю про функції. У цьому відеоуроці ми просто, зрозуміло та наочних життєвих прикладах.

Введення у аналіз. Потужність множин

Онлайн урок «Вступ до аналізу. Потужність множин» присвячений питанню такого поняття як потужність множин. Це питання стосується кількісної характеристики множин. Якщо безліч звичайно, можна говорити про кількість його елементів. Але як бути з нескінченними множинами? Адже в цьому випадку не буде поняття більше чи менше. Для вирішення цього завдання вводиться таке поняття, як потужність. Потужність - це інструмент кількісного порівняння нескінченних множин. У цьому занятті...

Межа функції у точці - визначення, приклади

У цьому онлайн уроці розповідається про таке поняття як межа функції у точці – визначення, приклади. Більшість елементів дослідження функцій спираються на поняття межі функції. Тут буде розглянуто межу функції у точці на простому прикладі, після чого буде дано суворе визначення межі функції у точці з детальною ілюстрацією на графіку для кращого засвоєння матеріалу. На даному занятті також розглядаються інші приклади, і сформульовано суворе визначення односторонніх...

Збіжність статечних рядів - приклад як знайти область збіжності, дослідження

У цьому відео уроці розповідається про таке поняття як збіжність статечних рядів, як знайти область збіжності, дослідження. Ступіньовий ряд - це окремий випадок функціонального ряду, коли його членами є статечні функції аргументу x. Область збіжності є всі значення змінної x, у яких відповідні числові ряди сходяться. Для дослідження можна використати ознаку Даламбера і за допомогою нього показати, що статечний ряд сходиться або розходиться, і при...

Що таке первісна

У цьому відео я розповім тобі про первісну, яка є близькою родичкою похідною. Насправді ти про неї і так уже майже все знаєш, якщо подивився мої попередні відео, і нам залишилося лише розставити крапки над i. Первісна - це «батьківська» функція для похідної. Знайти первісну - це означає відповісти на запитання: а чия дитина? Якщо відома донька, то ми маємо знайти маму. Раніше ми, навпаки, шукали доньку по заданій мамі. Зараз ми робимо зворотний перехід - від...

Геометричний сенс похідної

У цьому відео я розповім про геометричне значення похідної. Ти дізнаєшся, що геометричний сенс похідної полягає в тому, що похідна та кут нахилу дотичної – це майже одне й те саме. Я говорю «майже» тому що похідна дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної. Можна вважати, що похідна та нахил дотичної – вони тісно пов'язані. Якщо кут нахилу великий, те й похідна велика, а функція у цій точці різко зростає. Якщо кут нахилу маленький, то й похідна...

Що таке функція в математиці

Бажаєте дізнатися, що таке функція в математиці? У цьому відеоуроці ми просто і зрозуміло, з використанням графічних ілюстрацій та наочних життєвих прикладах розповімо, що таке функція, що таке її аргумент, які бувають функції (зростаючі, спадні, змішані), як можна задати функцію (за допомогою графіка, таблиці, формули). Ви побачите, що залежність, яка показує як одна величина пов'язана з іншою величиною, називається функцією. Будь-яка функція – це зв'язок між величинами...

Межа функції на нескінченності - визначення, приклади

Урок "Межа функції на нескінченності - визначення, приклади" присвячений питанню про те, що таке межі на нескінченності. Більшість елементарних функцій визначено для будь-якого великого значення аргументу. І тут важливо знати поведінку функції на нескінченності. Один із елементів дослідження такої поведінки є знаходження межі функції на нескінченності. Хоча нескінченність не є числом, і їй не відповідає жодна точка на числовій прямій, визначення межі на...