Геометрична схема визначення ймовірності. Геометричне визначення ймовірності події
Як було показано в розділі «Класичне визначення ймовірності», у випадкових експериментах з кінцевим числом рівноможливих елементарних результатівзастосовується класичне визначення ймовірності.
Для введення ймовірності подій у випадкових експериментах, можливі результати яких (елементарні результати) також є рівноможливимиі повністю заповнюють відрізокпрямої лінії, фігуруна площині або областьу просторі, застосовується геометричне визначення ймовірності. У таких експериментах кількість елементарних результатів не є кінцевимі тому класичне визначення ймовірності до них застосовувати не можна.
Проілюструємо запровадження геометричного визначення ймовірності на прикладах.
Приклад 1 . На відрізок числової прямої навмання кинута точка. Знайти можливість того, що точка потрапила на відрізок (рис.1).
Відповідь:
Приклад 2 . Діагоналі KM і LN квадрата KLMN перетинають вписане в квадрат коло в точках E і F , точка O - центр кола (рис. 2).
У квадрат KLMN навмання кинуто крапку. Знайти ймовірність того, що точка потрапить у сектор EOF, позначений малюнку 2 рожевим кольором.
Відповідь:
3 . У конус з вершиною S і центром основи O навмання кинуто крапку. Знайти ймовірність того, що точка потрапить у усічений конус , отриманий при перерізі конуса площиною, що проходить через середину O висоти конуса і паралельної основи конуса (рис. 3).
Рішення . Багато елементарних результатів Ω випадкового експерименту з кидання точки служить безліч всіх точок конуса з вершиною S і центром основи O .
Попадання точки в усічений конус є однією з випадкових подій, яку ми позначимо літерою A .
При геометричне визначення ймовірність події A обчислюється за формулою
Позначимо літерою R радіус основи конуса з вершиною S і центром основи O, а літерою H - висоту цього конуса. Тоді радіус основи та висота конуса з вершиною S та центром основи O" будуть рівні
відповідно.
Об'єм конуса з вершиною S і центром основи O дорівнює
Класичне визначення ймовірності має обмеження щодо його застосування. Передбачається, що безліч елементарних подій Ω звичайно або лічильне, тобто. Ω = ( ω 1 , ω 2 , … , ω n, …), а всі ω i – рівноможливі елементарні події. Проте, практично зустрічаються випробування, котрим безліч елементарних результатів нескінченно. Наприклад, при виготовленні на верстаті деякі деталі потрібно витримати певний розмір. Тут точність виготовлення деталі залежить від майстерності робітника, якості ріжучого інструменту, досконалості верстата тощо. Якщо під випробуванням розуміти виготовлення деталі, то в результаті такого випробування можлива безліч результатів, в даному випадку отримання деталей необхідного розміру.
Щоб подолати нестачу класичного визначення ймовірності, іноді використовують деякі поняття геометрії (якщо, звичайно, дозволяють обставини випробування). У всіх таких випадках передбачається можливість проведення (хоча б теоретично) будь-якої кількості випробувань та поняття рівноможливостітакож приділяється головна роль.
Нехай розглядається випробування з простором подій, елементарні наслідки яких представляються у вигляді точок, що заповнюють деяку область Ω (в тривимірному просторі R 3). Нехай подія Аполягає у попаданні кинутої випадковим чином точки в підобласть Dобласті Ω. Події Асприяють елементарні події, у яких крапка потрапляє у деяку підобласть D. Тоді під ймовірністюподії Абудемо розуміти відношення обсягу підобласті D(Виділена область на рис. 1.11) до обсягу області Ω, Р(А) = V(D) / V(Ω).
|
Рис.1. 11 |
Тут, за аналогією з поняттям сприятливого результату, область Dназиватимемо сприятливою появі події А. Аналогічно визначається ймовірність події А,коли безліч Ω є деякою ділянкою на площині або відрізок на прямій лінії. У таких випадках обсяги областей замінюються відповідно площами фігур чи довжинами відрізків.
Таким чином, ми приходимо до нового визначення ‒ геометричної ймовірностідля випробувань з нескінченним незліченним безліччю елементарних подій, що формулюється в такий спосіб.
Геометричною ймовірністю події А називається відношення міри підобласті, сприятливої появі цієї події, до всієї області, тобто.
р(А) =mesD / mesΩ,
де mes– міра областей Dі Ω , D Ì Ω.
Геометрична ймовірність події має всі властивості, властиві класичному визначенню ймовірності. Наприклад, 4-а властивість буде такою: р(А+ В) = р(А) + р(В).
Класичне визначення ймовірності
Основним поняттям теорії ймовірностей є поняття випадкової події. Випадковою подією прийнято називати подію, яка при здійсненні деяких умов може статися або не відбутися. Наприклад, потрапляння у певний об'єкт чи промах під час стрільби з цього об'єкту з цієї зброї є випадковим подією.
Подія прийнято називати достовірною, якщо в результаті випробування вона обов'язково відбувається. Неможливим прийнято називати подію, яка в результаті випробування відбутися не може.
Випадкові події називаються несумісними в даному випробуванні, якщо жодні з них не можуть з'явитися разом.
Випадкові події утворюють повну групу, якщо при кожному випробуванні може з'явитися будь-яке з них і не може з'явитися будь-яка інша подія, несумісна з ними.
Розглянемо повну групу рівноможливих несумісних випадкових подій. Такі події називатимемо результатами. Результат прийнято називати сприятливим появі події А, якщо поява цієї події тягне у себе поява події А.
Геометричне визначення ймовірності
Нехай випадкове випробування можна уявити як кидання точки навмання в деяку геометричну область G (на прямій, площині або просторі). Елементарні результати - це окремі точки G, будь-яка подія - це підмножина цієї області, простору елементарних результатів G. Можна вважати, що всі точки G «рівноправні» і тоді ймовірність попадання точки в невелику міру (наприклад, , об'єму) і не залежить від його розташування та форми.
Геометрична ймовірністьподії А визначається ставленням: , де m(G), m(A) - геометричні заходи (довжини, площі або об'єми) всього простору елементарних результатів та події А.
приклад.На площину, розграфлену паралельними смугами шириною 2d, відстань між осьовими лініями яких дорівнює 2D, навмання кинуто коло радіусу r (). Знайти ймовірність того, що коло перетне деяку смугу.
Рішення.Як елементарний результат цього випробування будемо вважати відстань xвід центру кола до осьової лінії найближчої до кола смуги. Тоді весь простір елементарних результатів - це відрізок. Перетин кола зі смугою відбудеться у тому випадку, якщо його центр потрапить у смугу, тобто. , або буде від краю смуги з відривом меншому ніж радіус, тобто. .
Для шуканої ймовірності отримуємо: .
5. Відносною частотою події називають відношення числа випробувань, у яких подія з'явилася, до загального числа практично виконаних випробувань. Відповідна частота А визначається формулою:
(2)де m-число появи події, n-загальна кількість випробувань. Зіставляючи визначення ймовірності та відносної частоти, укладаємо: визначення ймовірності не вимагає, щоб випробування проводилися насправді; визначення ж відносної частоти передбачає, що випробування було зроблено фактично. Іншими словами, ймовірність обчислюють до досвіду, а відносну частоту - після досвіду.
Приклад 2. З 80 випадково обраних працівників 3 особи мають серйозні порушення серцевої діяльності. Відносна частота появи людей із хворим серцем
Як статичну ймовірність приймають відносну частоту або число, близьке до неї.
ВИЗНАЧЕННЯ (статистичним визначенням ймовірності). Число, якого прагне стійка відносна частота, прийнято називати статистичною ймовірністю цієї події.
6. СумоюА+В двох подійА і В називають подію, що полягає у появі події А, або події, або обох цих подій. Наприклад, якщо з зброї зроблено два постріли і А - потрапляння при першому пострілі, В - потрапляння при другому пострілі, то А + В - потрапляння при першому пострілі, або при другому, або в обох пострілах .
Зокрема, якщо дві події А і В - несумісні, то А + В - подія, що полягає в появі однієї з цих подій, байдуже до якої. Сумою кількох подійназивають подія, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ полягає в появі хоча б однієї з цих подій. Наприклад, подія А + В + З полягає у появі однієї з наступних подій: А, В, С, А і В, А і С, В і С, А і В і С. Нехай події A і В - несумісні, причому ймовірність цих подій відомі. Як визначити ймовірність того, що настане або подія A, або подія? Відповідь це питання дає теорема складання. Теорема. Імовірність появи однієї з двох несумісних подій, байдуже до якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:
Р (А + В) = Р (А) + Р (В). Доказ
Слідкість. Імовірність появи однієї з кількох попарно несумісних подій, байдуже якого, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:
Р (A 1 + A 2 + ... + A n) = Р (A 1) + Р (A 2) + ... + Р (A n).
Геометричне визначення ймовірності - поняття та види. Класифікація та особливості категорії "Геометричне визначення ймовірності" 2017, 2018.
Насправді дуже часто зустрічаються такі випробування, число можливих результатів яких нескінченно. Іноді у разі можна скористатися методом обчислення ймовірності, у якому як і основну роль грає поняття рівноможливості деяких подій.... .
У деякому квадраті випадковим чином вибирається точка, яка ймовірність того, що ця точка виявиться всередині області Д. , де SД - площа області Д, S - площа всього квадрата. При класичному певну нульову можливість мало... .
Щоб подолати нестачу класичного визначення ймовірності, що полягає в тому, що воно не застосовується до випробувань з нескінченним числом результатів, вводять геометричні ймовірності - ймовірність попадання точки в область. Нехай плоска фігура g (відрізок або тіло)... .
Класичне визначення ймовірності ЛЕКЦІЯ 1. ТЕОРІЇ МОЖЛИВОСТЕЙ. ІСТОРІЯ ВИНИКНЕННЯ. КЛАСИЧНЕ ВИЗНАЧЕННЯ МОЖЛИВОСТІ А.А. Халафян БІБЛІОГРАФІЧНІ ПОСИЛАННЯ 1. Колемаєв В.А., Староверов О.В., Турундаєвський В.Б. Теорія... .[читати докладніше] .
Це визначення використовується, коли досвід має незліченну кількість рівноможливих результатів. І тут простір елементарних подій можна як деякої області G. Кожна точка цієї області відповідає елементарному події. Влучення... .
Геометричне визначення ймовірності є розширенням поняття класичної ймовірності на випадок незліченної множини елементарних подій. Якщо є незліченним безліччю, ймовірність визначається не так на елементарних подіях, але в їх множинах.... .
Класичне визначення ймовірності ВІРОЯТНІСТЬ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ Теоретико-множинна інтерпретація операцій над подіями Нехай проводиться певний досвід із випадковим результатом. Безліч &... .
Формула P(A)=m/n втрачає сенс, якщо число всіх рівноможливих несумісних випадків необмежено (утворює безліч). Однак можливо іноді всієї сукупності нескінченних рівноможливих несумісних випадків дати кількісну характеристику S в деяких заходах довжини, площі, об'єму, часу і так далі, а частини цієї сукупності, що сприяє настанню події A - характеристику S б в тих же заходах. Тоді ймовірність появи події A визначається співвідношенням:
Приклад №1. З проміжку навмання вибрано два числа x і y. Знайдіть ймовірність того, що ці числа задовольняють нерівності x 2 ≤ 4y ≤ 4x.
Рішення.Випробування полягає у випадковому виборі із проміжку пари чисел x та y. Будемо це інтерпретувати як вибір наугоду точки M(x;y) з безлічі всіх точок квадрата, сторона якого дорівнює двом. Розглянемо фігуру Ф, яка є безліччю всіх точок квадрата, координати яких задовольняють системі нерівностей x 2 ≤ 4y ≤ 4x. Цікава подія відбувається і тоді, коли обрана точка M(x;y) належить фігурі Ф. 
За формулою (8) шукана ймовірність дорівнює відношенню площі фігури Ф до площі квадрата: 
Приклад №2. Двоє домовилися про зустріч у певному місці. Кожен з них приходить в обумовлене місце незалежно один від одного у випадковий момент часу і чекає не більше ніж час . Якою є ймовірність зустрічі на таких умовах? 
Рішення.Позначимо через x час приходу першого в обумовлене місце, а через y час приходу туди другої особи. З умови випливає, що x та y незалежно один від одного пробігають проміжок часу . Випробування полягає у фіксації часу приходу вказаних осіб до місця зустрічі. Тоді простір елементарних результатів даного випробування інтерпретується як сукупність всіх точок M(x;y) квадрата Ω=((x;y) : 0 ≤ x ≤ T, 0 ≤ y ≤ T). Що цікавить нас подія A - “зустріч відбулася” настає у тому разі, коли обрана точка M(x;y) виявиться всередині фігури Ф, що є безліч всіх точок квадрата, координати яких задовольняють нерівності |x – y| ≤ t. За формулою (8) шукана ймовірність
є відношенням площі фігури Ф до площі квадрата Ω:
Аналізуючи отриманий у цій задачі результат, бачимо, що зі зростанням збільшується ймовірність зустрічі. Нехай, наприклад, T = 1 год, t = 20 хв тоді
, тобто частіше, ніж у половині випадків зустрічі відбуватимуться, якщо багаторазово домовлятися на зазначених вище умовах. Приклад №3. На відрізку l навмання вибрано дві точки.
P(0 
Приклад №4. У коло радіуса r випадковим чином кинуто точку так, що будь-яке її розташування в колі рівноможливе. Знайти ймовірність того, що вона опиниться всередині квадрата, що знаходиться в колі, зі стороною a.
Рішення. Імовірність того, що точка опиниться всередині квадрата, що лежить у колі, зі стороною адорівнюватиме відношенню площі квадрат до площі кола.
Площа квадрата: Sкв = a2.
Площа кола: S = πr 2
Тоді ймовірність становитиме: p = Sкв / S = a 2 / πr 2
Приклад №5. З проміжку вибирають навмання два дійсні числа. Знайдіть ймовірність того, що їх сума буде більшою за 4, а твір - меншою за 4.
Рішення.
Усього чисел 5: 0,1,2,3,4. Можливість їх появи p=1/5 = 0.2
а) ймовірність того, що їх сума буде більшою за 4
Усього кількість таких результатів дорівнює 8:
1+4, 2+3, 2+4, 3+4 та 4+1, 3+2, 4+2, 4+3
P = 0.2 * 0.2 * 8 = 0.32
б) твір – менше 4.
Усього кількість таких результатів дорівнює 13:
0*1, 0*2, 0*3, 0*4, 1*1, 1*2,1*3 та 1*0, 2*0, 3*0, 4*0, 2*1, 3* 1
P = 0.2 * 0.2 * 13 = 0.52
Завдання для самостійного вирішення
4.3. Після бурі на ділянці між 40-м та 70-м кілометрами телефонної лінії стався обрив дроту. Яка ймовірність того, що розрив стався між 45-м та 50-м кілометром лінії? (Вірогідність обриву дроту будь-де вважати однакової).
Відповідь: 1/6.
4.4. У коло радіуса r навмання кинуто крапку. Знайдіть ймовірність того, що ця точка опиниться всередині вписаного в коло правильного трикутника.
Відповідь:
4.5. Знайдіть ймовірність того, що сума двох випадково вибраних чисел із проміжку [-1; 1] більше нуля, які твір негативно.
Відповідь: 0;25.
4.6. Під час бойового навчання н-ська ескадрилья бомбардувальників отримала завдання атакувати нафтобазу "противника". На території нафтобази, що має форму прямокутника зі сторонами 30 і 50 м, знаходяться чотири круглі нафтобаки діаметром 10 м кожен. Знайдіть ймовірність прямого ураження нафтобаків бомбою, що потрапила на територію нафтобази, якщо попадання бомби в будь-яку точку цієї бази є рівноймовірним.
Відповідь: π/15.
4.7. Два дійсні числа x і y вибираються навмання так, що сума їх квадратів менша за 100. Яка ймовірність, що сума квадратів цих чисел виявиться більшою за 64?
Відповідь: 0; 36.
4.8. Двоє друзів домовилися зустрітися між 13 та 14 годинами. Той, хто прийшов першим, чекає другого протягом 20 хвилин, після чого йде. Визначте ймовірність зустрічі друзів, якщо моменти їхнього приходу у вказаному проміжку часу рівноможливі.
Відповідь: 5/9.
4.9. Два пароплави повинні підійти до одного і того ж причалу. Час приходу обох пароплавів рівноможливий протягом доби. Визначте ймовірність того, що одному з пароплавів доведеться чекати звільнення причалу, якщо час стоянки першого пароплава дорівнює одній годині, а другої - на дві години.
Відповідь: ≈ 0;121.
4.10. Наудачу взято два позитивні числа x і y, кожне з яких не перевищує двох. Знайдіть ймовірність того, що добуток x · y буде не більше одиниці, а приватне y/x не більше двох.
Відповідь: ≈ 0;38.
4.11. В області G, обмеженою еліпсоїдом 
, навмання зафіксована точка. Якою є ймовірність того, що координати (x; y; z) цієї точки задовольнятимуть нерівності x 2 +y 2 +z 2 ≤4?
Відповідь: 1/3.
4.12. У прямокутник з вершинами R(-2;0), L(-2;9), M(4;9), N(4;0) кинута точка. Знайдіть ймовірність того, що її координати задовольнятимуть нерівності 0 ≤ y ≤ 2x – x 2 +8.
Відповідь: 2/3.
4.13. Область G обмежена колом x 2 + y 2 = 25, а область g - цим колом і параболою 16x - 3y 2 > 0. Знайдіть ймовірність влучення в область g.
Відповідь: ≈ 0;346.
4.14. Наудачу взято два позитивні числа x і y, кожне з яких не перевищує одиниці. Знайдіть ймовірність того, що сума x + y не перевищує одиниці, а добуток x · y не менший за 0,09.
Відповідь: ≈ 0;198.
Рекомендуємо також
Loading...