โอ้โอ้โอ้โอ้โอ้ ... มันไม่เล็กราวกับว่าคุณอ่านประโยคให้ตัวเอง =) อย่างไรก็ตามการผ่อนคลายจะช่วยได้โดยเฉพาะตั้งแต่วันนี้ฉันซื้ออุปกรณ์เสริมที่เหมาะสม ดังนั้น ไปต่อกันที่ส่วนแรกกันเลย ฉันหวังว่าบทความจะจบลงด้วยอารมณ์ร่าเริง

การจัดเรียงกันของเส้นตรงสองเส้น

กรณีที่ห้องโถงร้องพร้อมกัน สองบรรทัดสามารถ:

1) การแข่งขัน;

2) ขนานกัน: ;

3) หรือตัดกันที่จุดเดียว: .

ความช่วยเหลือสำหรับหุ่น : โปรดจำเครื่องหมายทางคณิตศาสตร์ของทางแยก มันจะเกิดขึ้นบ่อยมาก รายการหมายความว่าเส้นตัดกับเส้นที่จุด

จะกำหนดตำแหน่งสัมพัทธ์ของสองบรรทัดได้อย่างไร?

เริ่มจากกรณีแรก:

สองบรรทัดจะตรงกันก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ตามลำดับเป็นสัดส่วนนั่นคือมีจำนวน "แลมบ์ดา" ที่ความเท่าเทียมกัน

ลองพิจารณาเส้นตรงและเขียนสมการสามสมการจากสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน: จากสมการแต่ละสมการจะเป็นไปตามนั้น ดังนั้น เส้นเหล่านี้จึงตรงกัน

แน่นอนถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการ คูณด้วย -1 (เครื่องหมายเปลี่ยน) และสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการ ลดลง 2 คุณจะได้สมการเดียวกัน:

กรณีที่สองเมื่อเส้นขนานกัน:

เส้นสองเส้นขนานกันก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ของพวกมันที่ตัวแปรเป็นสัดส่วน: , แต่.

ตัวอย่างเช่น พิจารณาเส้นตรงสองเส้น เราตรวจสอบสัดส่วนของสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันสำหรับตัวแปร :

อย่างไรก็ตาม เป็นที่ชัดเจนว่า

และกรณีที่สาม เมื่อเส้นตัดกัน:

เส้นสองเส้นตัดกันก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ของตัวแปรไม่เป็นสัดส่วนนั่นคือไม่มีค่าของ "แลมบ์ดา" ที่เท่าเทียมกัน

ดังนั้นสำหรับเส้นตรง เราจะสร้างระบบ:

จากสมการแรกจะเป็นไปตามนั้น และจากสมการที่สอง: ดังนั้น ระบบไม่สอดคล้องกัน(ไม่มีวิธีแก้ปัญหา) ดังนั้นสัมประสิทธิ์ของตัวแปรจึงไม่เป็นสัดส่วน

สรุป: เส้นตัดกัน

ในปัญหาในทางปฏิบัติ สามารถใช้รูปแบบการแก้ปัญหาที่เพิ่งพิจารณาได้ อย่างไรก็ตาม มันคล้ายกับอัลกอริธึมในการตรวจสอบเวกเตอร์สำหรับความสอดคล้อง ซึ่งเราพิจารณาในบทเรียน แนวคิดของการพึ่งพาเวกเตอร์เชิงเส้น (ไม่) พื้นฐานเวกเตอร์. แต่มีแพ็คเกจอารยะมากกว่า:

ตัวอย่าง 1

ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น:

วิธีการแก้จากการศึกษาเวกเตอร์กำกับเส้นตรง:

ก) จากสมการ เราพบเวกเตอร์ทิศทางของเส้น: .

ดังนั้นเวกเตอร์ไม่ขนานกันและเส้นตัดกัน

เผื่อว่าฉันจะวางก้อนหินที่มีตัวชี้ที่ทางแยก:

ที่เหลือกระโดดข้ามหินแล้วเดินต่อไปตรงไปยัง Kashchei the Deathless =)

b) ค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้น:

เส้นมีเวกเตอร์ทิศทางเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าทั้งสองขนานหรือเท่ากัน ที่นี่ไม่จำเป็นต้องใช้ดีเทอร์มีแนนต์

เห็นได้ชัดว่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จักนั้นเป็นสัดส่วน ในขณะที่ .

มาดูกันว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่:

ทางนี้,

c) ค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้น:

ลองคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ซึ่งประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้:
ดังนั้นเวกเตอร์ทิศทางจึงเป็นแนวร่วม เส้นจะขนานหรือตรง

ปัจจัยด้านสัดส่วน "แลมบ์ดา" นั้นง่ายต่อการดูโดยตรงจากอัตราส่วนของเวกเตอร์ทิศทางแนวร่วม อย่างไรก็ตาม ยังสามารถพบได้ผ่านสัมประสิทธิ์ของสมการด้วย: .

ทีนี้ลองดูว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่ เงื่อนไขฟรีทั้งสองเป็นศูนย์ ดังนั้น:

ผลลัพธ์ที่ได้คือความพึงพอใจ สมการนี้(มันเหมาะกับตัวเลขใด ๆ โดยทั่วไป).

ดังนั้นเส้นจึงตรงกัน

ตอบ:

ในไม่ช้า คุณจะได้เรียนรู้ (หรือเรียนรู้ไปแล้ว) เพื่อแก้ปัญหาที่พิจารณาด้วยวาจาอย่างแท้จริงภายในเวลาไม่กี่วินาที ในเรื่องนี้ ฉันไม่เห็นเหตุผลที่จะเสนอบางอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ เป็นการดีกว่าที่จะวางอิฐที่สำคัญอีกหนึ่งก้อนในรากฐานทางเรขาคณิต:

จะวาดเส้นขนานกับเส้นที่กำหนดได้อย่างไร?

เพื่อความไม่รู้ของงานที่ง่ายที่สุดนี้ Nightingale the Robber ลงโทษอย่างรุนแรง

ตัวอย่าง 2

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ เขียนสมการเส้นขนานที่ลากผ่านจุดนั้น

วิธีการแก้: ระบุบรรทัดที่ไม่รู้จักด้วยตัวอักษร เงื่อนไขบอกอะไรเกี่ยวกับเรื่องนี้? เส้นผ่านจุด และถ้าเส้นขนานกัน ก็เห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์กำกับของเส้น "ce" ก็เหมาะสำหรับการสร้างเส้น "de" เช่นกัน

เรานำเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการ:

ตอบ:

เรขาคณิตของตัวอย่างดูเรียบง่าย:

การตรวจสอบเชิงวิเคราะห์ประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

1) เราตรวจสอบว่าเส้นมีเวกเตอร์ทิศทางเดียวกัน (หากสมการของเส้นไม่ได้ทำให้ง่ายขึ้นอย่างเหมาะสม เวกเตอร์จะเป็นเส้นตรง)

2) ตรวจสอบว่าจุดตรงกับสมการผลลัพธ์หรือไม่

การตรวจสอบเชิงวิเคราะห์ในกรณีส่วนใหญ่นั้นง่ายต่อการดำเนินการด้วยวาจา ดูสมการทั้งสองนี้ แล้วหลายๆ คนจะเข้าใจได้อย่างรวดเร็วว่าเส้นขนานกันอย่างไรโดยไม่ต้องวาด

ตัวอย่างสำหรับการแก้ปัญหาตัวเองในวันนี้จะมีความคิดสร้างสรรค์ เพราะคุณยังต้องแข่งขันกับ Baba Yaga และเธอก็เป็นคนรักปริศนาทุกประเภท

ตัวอย่างที่ 3

เขียนสมการของเส้นที่ลากผ่านจุดขนานกับเส้น if

มีวิธีแก้ที่มีเหตุผลและไม่สมเหตุสมผลมาก วิธีที่สั้นที่สุดคือเมื่อสิ้นสุดบทเรียน

เราทำงานเล็ก ๆ น้อย ๆ กับเส้นขนานและจะกลับมาหาพวกเขาในภายหลัง กรณีของเส้นประจวบกันนั้นไม่ค่อยน่าสนใจ ดังนั้นให้พิจารณาปัญหาที่คุณรู้จักเป็นอย่างดีจาก หลักสูตรโรงเรียน:

จะหาจุดตัดของสองเส้นได้อย่างไร?

ถ้าตรง ตัดกันที่จุด จากนั้นพิกัดคือคำตอบ ระบบสมการเชิงเส้น

จะหาจุดตัดของเส้นได้อย่างไร? แก้ระบบ.

นี่เพื่อคุณ ความหมายทางเรขาคณิตสอง สมการเชิงเส้นกับสองสิ่งที่ไม่รู้จักเป็นเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน (ส่วนใหญ่) บนระนาบ

ตัวอย่างที่ 4

หาจุดตัดของเส้น

วิธีการแก้: มีสองวิธีในการแก้ปัญหา - แบบกราฟิกและเชิงวิเคราะห์

วิธีแบบกราฟิกคือการวาดเส้นที่กำหนดและหาจุดตัดโดยตรงจากรูปวาด:

นี่คือประเด็นของเรา: . ในการตรวจสอบ คุณควรแทนที่พิกัดของมันในแต่ละสมการของเส้นตรง โดยให้พอดีทั้งสองที่นั่นและที่นั่น กล่าวอีกนัยหนึ่ง พิกัดของจุดคือคำตอบของระบบ อันที่จริง เราพิจารณาวิธีแก้ไขแบบกราฟิก ระบบสมการเชิงเส้นด้วยสองสมการ สองนิรนาม

แน่นอนว่าวิธีการแบบกราฟิกนั้นไม่เลว แต่มีข้อเสียที่เห็นได้ชัดเจน ไม่ ประเด็นไม่ใช่ว่านักเรียนชั้น ป.7 ตัดสินใจแบบนี้ ประเด็นคือ ถูกและ ภาพวาดที่แน่นอนเวลาจะผ่านไป นอกจากนี้ เส้นบางเส้นสร้างได้ไม่ง่ายนัก และจุดตัดเองก็อาจอยู่ที่ไหนสักแห่งในอาณาจักรที่ 30 นอกแผ่นสมุด

ดังนั้นจึงควรมองหาจุดตัดกัน วิธีการวิเคราะห์. มาแก้ระบบกัน:

ในการแก้ระบบ ใช้วิธีการบวกเชิงระยะของสมการ เพื่อพัฒนาทักษะที่เกี่ยวข้อง เยี่ยมชมบทเรียน จะแก้ระบบสมการได้อย่างไร?

ตอบ:

การตรวจสอบเป็นเรื่องเล็กน้อย - พิกัดของจุดตัดต้องเป็นไปตามสมการแต่ละข้อของระบบ

ตัวอย่างที่ 5

หาจุดตัดของเส้นตรงหากตัดกัน

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง งานสามารถแบ่งออกเป็นหลายขั้นตอนได้อย่างสะดวก การวิเคราะห์เงื่อนไขแสดงให้เห็นว่ามีความจำเป็น:
1) เขียนสมการเส้นตรง
2) เขียนสมการของเส้นตรง
3) ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น
4) ถ้าเส้นตัดกัน ให้หาจุดตัดกัน

การพัฒนาอัลกอริธึมการดำเนินการเป็นเรื่องปกติสำหรับปัญหาทางเรขาคณิตหลายอย่าง และฉันจะเน้นเรื่องนี้ซ้ำๆ

วิธีแก้ปัญหาและคำตอบทั้งหมดในตอนท้ายของบทช่วยสอน:

รองเท้าคู่หนึ่งยังไม่สึกเมื่อเรามาถึงส่วนที่สองของบทเรียน:

เส้นตั้งฉาก. ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง
มุมระหว่างเส้น

เริ่มจากงานทั่วไปและสำคัญมาก ในส่วนแรก เราเรียนรู้วิธีสร้างเส้นตรงขนานกับเส้นที่กำหนดและตอนนี้กระท่อมบนขาไก่จะเปลี่ยนเป็น 90 องศา:

วิธีการวาดเส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด?

ตัวอย่างที่ 6

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ เขียนสมการเส้นตั้งฉากผ่านจุด

วิธีการแก้: เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า คงจะดีถ้าหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง เนื่องจากเส้นตั้งฉาก เคล็ดลับจึงง่าย:

จากสมการ เรา "ลบ" เวกเตอร์ตั้งฉาก: ซึ่งจะเป็นเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง

เราเขียนสมการของเส้นตรงโดยจุดและเวกเตอร์กำกับ:

ตอบ:

มาแฉร่างเรขาคณิตกัน:

อืม...ฟ้าส้ม ทะเลส้ม อูฐสีส้ม

การตรวจสอบเชิงวิเคราะห์ของโซลูชัน:

1) แยกเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการ และด้วยความช่วยเหลือ ผลคูณดอทของเวกเตอร์เราสรุปได้ว่าเส้นนั้นตั้งฉากกันจริง ๆ : .

อย่างไรก็ตาม คุณสามารถใช้เวกเตอร์ปกติได้ มันง่ายยิ่งขึ้นไปอีก

2) ตรวจสอบว่าจุดตรงกับสมการผลลัพธ์หรือไม่ .

การยืนยันอีกครั้งทำได้ง่ายด้วยวาจา

ตัวอย่าง 7

หาจุดตัดของเส้นตั้งฉาก ถ้าทราบสมการ และจุด

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง มีการดำเนินการหลายอย่างในงาน ดังนั้นจึงสะดวกในการจัดเรียงโซลูชันทีละจุด

ของเรา การเดินทางที่น่าขบขันดำเนินการต่อ:

ระยะทางจากจุดถึงเส้น

ก่อนที่เราจะเป็นแนวตรงของแม่น้ำและหน้าที่ของเราคือไปให้ถึงในวิธีที่สั้นที่สุด ไม่มีสิ่งกีดขวาง และเส้นทางที่เหมาะสมที่สุดคือการเคลื่อนที่ในแนวตั้งฉาก นั่นคือระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งคือความยาวของส่วนตั้งฉาก

ระยะทางในเรขาคณิตมักใช้แทน อักษรกรีก"ro" เช่น: - ระยะทางจากจุด "em" ถึงเส้นตรง "de"

ระยะทางจากจุดถึงเส้น แสดงโดยสูตร

ตัวอย่างที่ 8

หาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง

วิธีการแก้: สิ่งที่คุณต้องทำคือแทนที่ตัวเลขลงในสูตรอย่างระมัดระวังและคำนวณ:

ตอบ:

มาวาดรูปกันเถอะ:

ระยะทางจากจุดหนึ่งถึงเส้นตรงคือความยาวของส่วนสีแดงพอดี หากคุณวาดภาพบนกระดาษตาหมากรุกในระดับ 1 หน่วย \u003d 1 ซม. (2 เซลล์) จากนั้นสามารถวัดระยะทางด้วยไม้บรรทัดธรรมดา

พิจารณางานอื่นตามรูปวาดเดียวกัน:

ภารกิจคือการหาพิกัดของจุด ซึ่งสมมาตรกับจุดที่เทียบกับเส้น . ฉันเสนอให้ดำเนินการด้วยตัวเอง อย่างไรก็ตาม ฉันจะร่างอัลกอริทึมโซลูชันพร้อมผลลัพธ์ระดับกลาง:

1) หาเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นตรง

2) ค้นหาจุดตัดของเส้น: .

การกระทำทั้งสองจะกล่าวถึงในรายละเอียดในบทเรียนนี้

3) จุดคือจุดกึ่งกลางของส่วน เราทราบพิกัดของจุดกึ่งกลางและปลายด้านหนึ่ง โดย สูตรพิกัดกึ่งกลางเซกเมนต์หา .

มันจะไม่ฟุ่มเฟือยที่จะตรวจสอบว่าระยะทางเท่ากับ 2.2 หน่วย

ความยากลำบากที่นี่อาจเกิดขึ้นในการคำนวณ แต่ในหอคอย ไมโครแคลคูเลเตอร์ช่วยได้มาก ช่วยให้คุณนับได้ เศษส่วนทั่วไป. ได้แนะนำหลายครั้งแล้วและจะแนะนำอีกครั้ง

จะหาระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานสองเส้นได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 9

จงหาระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานสองเส้น

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของโซลูชันอิสระ คำแนะนำเล็กน้อย: มีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน การซักถามในตอนท้ายของบทเรียน แต่ควรลองเดาด้วยตัวคุณเอง ฉันคิดว่าคุณสามารถแยกย้ายกันไปความเฉลียวฉลาดของคุณได้ดี

มุมระหว่างสองเส้น

ไม่ว่ามุมไหนก็วงกบ:


ในเรขาคณิต มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นจะถูกนำมาเป็นมุมที่เล็กกว่า ซึ่งจะตามมาโดยอัตโนมัติเพื่อไม่ให้เป็นมุมป้าน ในรูป มุมที่ระบุด้วยส่วนโค้งสีแดงไม่ถือเป็นมุมระหว่างเส้นตัดกัน และเพื่อนบ้าน "สีเขียว" หรือ ตรงกันข้ามมุมแดง

หากเส้นตั้งฉาก มุมทั้ง 4 มุมใดๆ ก็สามารถนำมาเป็นมุมระหว่างพวกมันได้

มุมต่างกันอย่างไร? ปฐมนิเทศ. ประการแรก ทิศทางของ "การเลื่อน" มุมนั้นมีความสำคัญอย่างยิ่ง ประการที่สอง มุมเชิงลบเขียนด้วยเครื่องหมายลบ ตัวอย่างเช่น ถ้า .

ทำไมฉันถึงพูดแบบนี้? ดูเหมือนว่าคุณสามารถผ่านแนวคิดปกติของมุมได้ ความจริงก็คือในสูตรที่เราใช้หามุม ผลลัพธ์เชิงลบสามารถหาได้ง่าย และสิ่งนี้ไม่ควรทำให้คุณแปลกใจ มุมที่มีเครื่องหมายลบไม่ได้แย่ไปกว่านั้น และมีความหมายทางเรขาคณิตที่เฉพาะเจาะจงมาก ในการวาดภาพสำหรับมุมลบ จำเป็นต้องระบุทิศทาง (ตามเข็มนาฬิกา) ด้วยลูกศร

จะหามุมระหว่างสองเส้นได้อย่างไร?มีสองสูตรการทำงาน:

ตัวอย่าง 10

หามุมระหว่างเส้น

วิธีการแก้และ วิธีที่หนึ่ง

พิจารณาเส้นตรงสองเส้นที่กำหนดโดยสมการในรูปแบบทั่วไป:

ถ้าตรง ไม่ตั้งฉาก, แล้ว มุ่งเน้นมุมระหว่างพวกเขาสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

มาใส่ใจกับตัวส่วนกันให้ดี - นี่แหละ ผลิตภัณฑ์สเกลาร์เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:

ถ้า จากนั้นตัวส่วนของสูตรจะหายไป และเวกเตอร์จะเป็นมุมฉากและเส้นจะตั้งฉาก นั่นคือเหตุผลที่ทำการจองเกี่ยวกับการไม่ตั้งฉากของเส้นในสูตร

จากที่กล่าวมาข้างต้น โซลูชันนี้ถูกทำให้เป็นทางการโดยสะดวกในสองขั้นตอน:

1) คำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์กำกับเส้นตรง:
เส้นจึงไม่ตั้งฉาก

2) เราหามุมระหว่างเส้นโดยสูตร:

โดยใช้ ฟังก์ชันผกผันหามุมได้ง่าย ในกรณีนี้ เราใช้ความแปลกของอาร์คแทนเจนต์ (ดูรูปที่ กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้น):

ตอบ:

ในคำตอบ ให้ระบุ ค่าที่แน่นอนรวมทั้งค่าโดยประมาณ (ควรเป็นทั้งองศาและเรเดียน) ที่คำนวณโดยใช้เครื่องคิดเลข

ลบ ก็ได้ ลบก็ได้ นี่คือภาพประกอบทางเรขาคณิต:

ไม่น่าแปลกใจที่มุมกลายเป็นแนวลบเพราะในสภาพของปัญหาตัวเลขแรกเป็นเส้นตรงและ "การบิด" ของมุมเริ่มต้นอย่างแม่นยำจากมัน

หากคุณต้องการได้มุมบวกจริงๆ คุณต้องสลับเส้นตรง นั่นคือ หาค่าสัมประสิทธิ์จากสมการที่สอง และหาสัมประสิทธิ์จากสมการแรก ในระยะสั้นคุณต้องเริ่มต้นด้วยโดยตรง .

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งคือความยาวของเส้นตั้งฉากจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง ในเรขาคณิตเชิงพรรณนา จะกำหนดแบบกราฟิกตามอัลกอริทึมด้านล่าง

อัลกอริทึม

1. เส้นตรงจะถูกโอนไปยังตำแหน่งที่จะขนานกับระนาบการฉายภาพใดๆ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้วิธีการแปลงของการฉายภาพมุมฉาก
2. วาดเส้นตั้งฉากจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง โครงสร้างนี้ใช้ทฤษฎีบทการฉายภาพมุมฉาก
3. ความยาวของเส้นตั้งฉากถูกกำหนดโดยการแปลงการฉายภาพหรือใช้วิธีสามเหลี่ยมมุมฉาก

รูปต่อไปนี้แสดงให้เห็น การวาดภาพที่ซับซ้อนจุด M และบรรทัด b กำหนดโดยส่วนซีดี คุณต้องหาระยะห่างระหว่างพวกเขา

ตามอัลกอริทึมของเรา สิ่งแรกที่ต้องทำคือการย้ายเส้นไปยังตำแหน่งที่ขนานกับระนาบการฉาย สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าหลังจากการแปลงแล้ว ไม่ควรเปลี่ยนระยะห่างจริงระหว่างจุดและเส้น ด้วยเหตุนี้จึงสะดวกที่จะใช้วิธีการเปลี่ยนเครื่องบินที่นี่ ซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนไหวในอวกาศ

ผลลัพธ์ของขั้นตอนแรกของการก่อสร้างแสดงไว้ด้านล่าง รูปภาพแสดงให้เห็นว่ามีการนำระนาบด้านหน้าเพิ่มเติม P 4 ขนานกับ b อย่างไร ที่ ระบบใหม่(P 1 , P 4) จุด C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 อยู่ห่างจากแกน X 1 เท่ากับ C"", D"", M"" จากแกน X

ดำเนินการในส่วนที่สองของอัลกอริทึมจาก M"" 1 เราลดฉากตั้งฉาก M"" 1 N"" 1 ถึงเส้น b"" 1 เนื่องจากมุมฉาก MND ระหว่าง b และ MN ถูกฉายบนระนาบ P 4 ใน ขนาดเต็ม เรากำหนดตำแหน่งของจุด N" ตามเส้นการสื่อสารและวาดเส้นโครง M"N" ของส่วน MN

บน ขั้นตอนสุดท้ายจำเป็นต้องกำหนดค่าของกลุ่ม MN โดยประมาณการ M"N" และ M"" 1 N"" 1 . สำหรับสิ่งนี้เราสร้าง สามเหลี่ยมมุมฉาก M"" 1 N"" 1 N 0 ซึ่งขา N"" 1 N 0 เท่ากับความแตกต่าง (Y M 1 – Y N 1) ของการลบจุด M" และ N" จากแกน X 1 ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก M"" 1 N 0 ของสามเหลี่ยม M"" 1 N"" 1 N 0 สอดคล้องกับระยะทางที่ต้องการจาก M ถึง b

วิธีที่สองในการแก้ปัญหา

• ขนานกับซีดี เราแนะนำระนาบหน้าผากใหม่ П 4 . มันตัด P 1 ตามแกน X 1 และ X 1 ∥C"D" ตามวิธีการเปลี่ยนเครื่องบินเรากำหนดเส้นโครงของจุด C "" 1, D"" 1 และ M"" 1 ดังแสดงในรูป
• ตั้งฉากกับ C "" 1 D "" 1 เราสร้างระนาบแนวนอนเพิ่มเติม P 5 ซึ่งเส้นตรง b ถูกฉายไปยังจุด C" 2 \u003d b" 2
• ระยะห่างระหว่างจุด M และเส้นตรง b ถูกกำหนดโดยความยาวของส่วน M "2 C" 2 ที่มีเครื่องหมายสีแดง

งานที่เกี่ยวข้อง:

บทความนี้จะพูดถึงเรื่อง « ระยะทางจากจุดถึงเส้น », คำจำกัดความของระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งได้รับการพิจารณาด้วยตัวอย่างที่แสดงโดยวิธีการพิกัด แต่ละช่วงของทฤษฎีในตอนท้ายได้แสดงตัวอย่างการแก้ปัญหาที่คล้ายคลึงกัน

Yandex.RTB R-A-339285-1

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งสามารถหาได้จากการกำหนดระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง ลองพิจารณาในรายละเอียดเพิ่มเติม

ให้มีเส้น a และจุด M 1 ที่ไม่อยู่ในเส้นที่กำหนด ลากเส้นผ่านมัน blocated ตั้งฉากกับเส้น a. หาจุดตัดของเส้นตรงเป็น H 1 เราได้ M 1 H 1 เป็นแนวตั้งฉากซึ่งถูกลดระดับจากจุด M 1 ถึงเส้น a

คำจำกัดความ 1

ระยะทางจากจุด M 1 ถึงเส้นตรง aเรียกว่าระยะห่างระหว่างจุด M 1 และ H 1 .

มีบันทึกคำจำกัดความพร้อมตัวเลขความยาวของเส้นตั้งฉาก

คำจำกัดความ 2

ระยะทางจากจุดถึงเส้นคือ ความยาวของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดที่กำหนดไปยังเส้นที่กำหนด

คำจำกัดความที่เทียบเท่ากัน พิจารณารูปด้านล่าง

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรงนั้นน้อยที่สุดเท่าที่จะทำได้ ลองดูสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง

หากเราเอาจุด Q นอนอยู่บนเส้น a ไม่ตรงกับจุด M 1 เราก็จะได้ส่วน M 1 Q เรียกว่าเฉียง ลดลงจาก M 1 ถึงเส้น a จำเป็นต้องระบุว่าเส้นตั้งฉากจากจุด M 1 นั้นน้อยกว่าเส้นเฉียงที่ลากจากจุดไปยังเส้นตรง

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ให้พิจารณาสามเหลี่ยม M 1 Q 1 H 1 โดยที่ M 1 Q 1 คือด้านตรงข้ามมุมฉาก เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าความยาวของมันมากกว่าความยาวของขาข้างใดข้างหนึ่งเสมอ ดังนั้นเราจึงได้ M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

ข้อมูลเบื้องต้นสำหรับการค้นหาจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นตรงช่วยให้สามารถใช้วิธีการแก้ปัญหาได้หลายวิธี: ผ่านทฤษฎีบทพีทาโกรัส คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ของมุม และอื่นๆ งานประเภทนี้ส่วนใหญ่ได้รับการแก้ไขที่โรงเรียนในบทเรียนเรขาคณิต

เมื่อค้นหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง เป็นไปได้ที่จะเข้าสู่ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม จากนั้นจึงใช้วิธีพิกัด ในย่อหน้านี้ เราพิจารณาสองวิธีหลักในการค้นหาระยะทางที่ต้องการจากจุดที่กำหนด

วิธีแรกเกี่ยวข้องกับการหาระยะทางโดยลากเส้นตั้งฉากจาก M 1 ถึงเส้นตรง a วิธีที่สองใช้สมการตั้งฉากของเส้นตรง a เพื่อหาระยะทางที่ต้องการ

หากมีจุดบนระนาบที่มีพิกัด M 1 (x 1, y 1) อยู่ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมเส้นตรง a และคุณจำเป็นต้องค้นหาระยะทาง M 1 H 1 คุณสามารถคำนวณได้สองวิธี ลองพิจารณาพวกเขา

วิธีแรก

หากมีพิกัดของจุด H 1 เท่ากับ x 2, y 2 ระยะทางจากจุดถึงเส้นจะคำนวณจากพิกัดจากสูตร M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

ทีนี้มาดูการหาพิกัดของจุด H 1 กัน

เป็นที่ทราบกันว่าเส้นตรงใน O x y สอดคล้องกับสมการของเส้นตรงในระนาบ ลองใช้วิธีกำหนดเส้นตรง a โดยการเขียนสมการทั่วไปของเส้นตรงหรือสมการที่มีความชัน เราเขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด M 1 ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด a ให้แสดงเส้นโดย beech b . H 1 เป็นจุดตัดของเส้น a และ b ดังนั้น ในการหาพิกัด คุณต้องใช้บทความที่ ในคำถามบนพิกัดจุดตัดของสองเส้น

จะเห็นได้ว่าอัลกอริธึมในการหาระยะทางจากจุดที่กำหนด M 1 (x 1, y 1) ถึงเส้นตรง a ดำเนินการตามจุด:

คำจำกัดความ 3

• การหาสมการทั่วไปของเส้นตรง a มีรูปแบบ A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 หรือสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์ความชันซึ่งมีรูปแบบ y \u003d k 1 x + b 1;
• รับสมการทั่วไปของเส้น b ซึ่งมีรูปแบบ A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 หรือสมการที่มีความชัน y \u003d k 2 x + b 2 ถ้าเส้น b ตัดกับจุด M 1 และตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด a;
• กำหนดพิกัด x 2, y 2 ของจุด H 1 ซึ่งเป็นจุดตัด a และ b สำหรับสิ่งนี้ ระบบของสมการเชิงเส้นจะได้รับการแก้ไข A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 หรือ y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• การคำนวณระยะทางที่ต้องการจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรง โดยใช้สูตร M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

วิธีที่สอง

ทฤษฎีบทสามารถช่วยตอบคำถามในการค้นหาระยะทางจากจุดที่กำหนดไปยังเส้นที่กำหนดบนระนาบ

ทฤษฎีบท

ระบบพิกัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามี O x y มีจุด M 1 (x 1, y 1) ซึ่งลากเส้นตรงไปยังระนาบ โดยกำหนดโดยสมการปกติของระนาบ โดยมีรูปแบบ cos α x + cos β y - p \u003d 0, เท่ากับค่าโมดูโลที่ได้รับทางด้านซ้ายของสมการเส้นตรงปกติ คำนวณที่ x \u003d x 1, y \u003d y 1 หมายความว่า M 1 H 1 \u003d cos α · x 1 + cos β · y 1 - หน้า

การพิสูจน์

เส้น a สอดคล้องกับสมการปกติของระนาบซึ่งมีรูปแบบ cos α x + cos β y - p = 0 จากนั้น n → = (cos α , cos β) ถือเป็นเวกเตอร์ปกติของเส้น a ที่ a ระยะทางจากจุดกำเนิดถึงเส้น a ด้วย p หน่วย . จำเป็นต้องแสดงข้อมูลทั้งหมดในรูป เพิ่มจุดที่มีพิกัด M 1 (x 1, y 1) โดยที่เวกเตอร์รัศมีของจุด M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . จำเป็นต้องวาดเส้นตรงจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งซึ่งเราจะแสดงด้วย M 1 H 1 . จำเป็นต้องแสดงเส้นโครง M 2 และ H 2 ของจุด M 1 และ H 2 บนเส้นตรงที่ผ่านจุด O ด้วยเวกเตอร์กำกับของรูปแบบ n → = (cos α , cos β) และเส้นโครงที่เป็นตัวเลข ของเวกเตอร์จะแสดงเป็น OM 1 → = (x 1 , y 1) ไปยังทิศทาง n → = (cos α , cos β) เป็น n p n → O M 1 →

รูปแบบต่างๆ ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด M 1 เอง พิจารณารูปด้านล่าง

เราแก้ไขผลลัพธ์โดยใช้สูตร M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . จากนั้นเรานำความเท่าเทียมกันมาสู่รูปแบบนี้ M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p เพื่อให้ได้ n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ส่งผลให้เกิดการแปลงสูตรในรูปแบบ n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → ซึ่งเป็นผลคูณในรูปแบบพิกัดของ รูปแบบ n → , OM 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . ดังนั้นเราจึงได้รับว่า n p n → OM 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . ตามด้วย M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

เราพบว่าในการหาระยะทางจากจุด M 1 (x 1, y 1) ถึงเส้นตรง a บนระนาบ ต้องดำเนินการหลายอย่าง:

คำจำกัดความ 4

• ได้สมการตั้งฉากของเส้นตรง a cos α · x + cos β · y - p = 0 โดยที่ไม่ได้อยู่ในภารกิจ
• การคำนวณนิพจน์ cos α · x 1 + cos β · y 1 - p โดยที่ค่าผลลัพธ์จะใช้ M 1 H 1

ลองใช้วิธีการเหล่านี้ในการแก้ปัญหาการหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกระนาบ

ตัวอย่าง 1

หาระยะทางจากจุดที่มีพิกัด M 1 (-1 , 2) ถึงเส้นตรง 4 x - 3 y + 35 = 0 .

วิธีการแก้

ลองใช้วิธีแรกในการแก้ปัญหา

ในการทำเช่นนี้ คุณต้องหาสมการทั่วไปของเส้น b ซึ่งผ่านจุดที่กำหนด M 1 (- 1 , 2) ตั้งฉากกับเส้น 4 x - 3 y + 35 = 0 สังเกตได้จากเงื่อนไขว่าเส้น b ตั้งฉากกับเส้น a แล้วเวกเตอร์ทิศทางจะมีพิกัดเท่ากับ (4, - 3) ดังนั้นเราจึงมีโอกาสเขียนสมการบัญญัติของเส้น b บนระนาบ เนื่องจากมีพิกัดของจุด M 1 อยู่ในเส้น b ลองหาพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง b กัน เราได้สิ่งนั้น x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . สมการบัญญัติที่ได้ผลลัพธ์จะต้องแปลงเป็นสมการทั่วไป แล้วเราจะได้สิ่งนั้น

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

ลองหาพิกัดของจุดตัดของเส้นที่เราจะใช้เป็นชื่อ H 1 การแปลงมีลักษณะดังนี้:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

จากข้างต้น เรามีพิกัดของจุด H 1 คือ (- 5; 5) .

จำเป็นต้องคำนวณระยะทางจากจุด M 1 ถึงเส้นตรง a เรามีพิกัดของจุด M 1 (- 1, 2) และ H 1 (- 5, 5) แล้วเราแทนสูตรการหาระยะทางแล้วได้ค่านั้น

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

ทางออกที่สอง

ในการแก้ด้วยวิธีอื่น จำเป็นต้องได้สมการปกติของเส้นตรง เราคำนวณค่าของตัวประกอบการทำให้เป็นมาตรฐานและคูณทั้งสองข้างของสมการ 4 x - 3 y + 35 = 0 . จากที่นี่เราจะได้ตัวประกอบการทำให้เป็นมาตรฐานคือ - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 และสมการตั้งฉากจะเป็นรูปแบบ - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

ตามอัลกอริธึมการคำนวณจำเป็นต้องได้รับสมการปกติของเส้นตรงและคำนวณด้วยค่า x = - 1 , y = 2 . แล้วเราจะได้สิ่งนั้น

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

จากตรงนี้เราจะได้ระยะทางจากจุด M 1 (-1 , 2) ถึงเส้นตรงที่กำหนด 4 x - 3 y + 35 = 0 มีค่า - 5 = 5

ตอบ: 5 .

จะเห็นได้ว่าในวิธีนี้ สิ่งสำคัญคือต้องใช้สมการปกติของเส้นตรง เนื่องจากวิธีนี้สั้นที่สุด แต่วิธีแรกสะดวกตรงที่มันสอดคล้องและสมเหตุสมผล แม้ว่าจะมีคะแนนการคำนวณมากกว่า

ตัวอย่าง 2

บนเครื่องบินมีระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y ที่มีจุด M 1 (8, 0) และเส้นตรง y = 1 2 x + 1 หาระยะทางจากจุดที่กำหนดถึงเส้นตรง

วิธีการแก้

การแก้ปัญหาในทางแรกหมายถึงการลดลง สมการที่กำหนดมีความชันเป็นสมการ ปริทัศน์. เพื่อลดความซับซ้อน คุณสามารถทำอย่างอื่นได้

หากผลคูณของความชันของเส้นตั้งฉากมีค่าเป็น - 1 แล้ว ความลาดชันเส้นตั้งฉากกับค่า y = 1 2 x + 1 มีค่า 2 . ตอนนี้เราได้สมการของเส้นตรงผ่านจุดที่มีพิกัด M 1 (8, 0) . เรามีว่า y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

เราดำเนินการค้นหาพิกัดของจุด H 1 นั่นคือจุดตัด y \u003d - 2 x + 16 และ y \u003d 1 2 x + 1 เราสร้างระบบสมการและรับ:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

ตามด้วยระยะทางจากจุดที่มีพิกัด M 1 (8 , 0) ถึงเส้น y = 1 2 x + 1 เท่ากับระยะทางจากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดด้วยพิกัด M 1 (8 , 0) และ H 1 (6, 4) . ลองคำนวณแล้วได้ M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

วิธีแก้ปัญหาในวิธีที่สองคือส่งผ่านจากสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์ให้อยู่ในรูปแบบปกติ นั่นคือเราได้รับ y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0 จากนั้นค่าของตัวประกอบการทำให้เป็นมาตรฐานจะเป็น - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . สมการตั้งฉากของเส้นตรงอยู่ในรูป - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 ลองคำนวณจากจุด M 1 8 , 0 ถึงเส้นตรงของแบบฟอร์ม - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . เราได้รับ:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

ตอบ: 2 5 .

ตัวอย่างที่ 3

จำเป็นต้องคำนวณระยะทางจากจุดที่มีพิกัด M 1 (- 2 , 4) ถึงเส้นตรง 2 x - 3 = 0 และ y + 1 = 0 .

วิธีการแก้

เราได้สมการของรูปแบบปกติของเส้นตรง 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

จากนั้นเราดำเนินการคำนวณระยะทางจากจุด M 1 - 2, 4 ถึงเส้นตรง x - 3 2 = 0 เราได้รับ:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

สมการเส้นตรง y + 1 = 0 มีตัวประกอบการทำให้เป็นมาตรฐานด้วยค่า -1 ซึ่งหมายความว่าสมการจะอยู่ในรูปแบบ - y - 1 = 0 . เราดำเนินการคำนวณระยะทางจากจุด M 1 (- 2 , 4) ถึงเส้นตรง - y - 1 = 0 . เราพบว่ามันเท่ากับ - 4 - 1 = 5

ตอบ: 3 1 2 และ 5 .

ให้เราพิจารณารายละเอียดการกำหนดระยะทางจากจุดที่กำหนดของระนาบไปยังแกนพิกัด O x และ O y

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม แกน O y มีสมการเส้นตรงซึ่งไม่สมบูรณ์และมีรูปแบบ x \u003d 0 และ O x - y \u003d 0 สมการเป็นเรื่องปกติสำหรับแกนพิกัด จากนั้นจึงจำเป็นต้องหาระยะทางจากจุดที่มีพิกัด M 1 x 1 , y 1 ถึงเส้นตรง ทำได้โดยใช้สูตร M 1 H 1 = x 1 และ M 1 H 1 = y 1 พิจารณารูปด้านล่าง

ตัวอย่างที่ 4

หาระยะทางจากจุด M 1 (6, - 7) ถึงเส้นพิกัดที่อยู่ในระนาบ O x y

วิธีการแก้

เนื่องจากสมการ y \u003d 0 หมายถึงเส้น O x คุณสามารถค้นหาระยะทางจาก M 1 ด้วยพิกัดที่กำหนดไปยังเส้นนี้โดยใช้สูตร เราได้ 6 = 6

เนื่องจากสมการ x \u003d 0 หมายถึงเส้น O y คุณจึงสามารถหาระยะทางจาก M 1 ถึงเส้นนี้ได้โดยใช้สูตร จากนั้นเราจะได้สิ่งนั้น - 7 = 7 .

ตอบ:ระยะทางจาก M 1 ถึง O x มีค่าเป็น 6 และจาก M 1 ถึง O y มีค่าเท่ากับ 7

เมื่ออยู่ในพื้นที่สามมิติ เรามีจุดที่มีพิกัด M 1 (x 1, y 1, z 1) จำเป็นต้องหาระยะทางจากจุด A ถึงเส้น a

พิจารณาสองวิธีที่ช่วยให้คุณสามารถคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรงที่ตั้งอยู่ในอวกาศ กรณีแรกพิจารณาระยะทางจากจุด M 1 ถึงเส้นตรง โดยที่จุดบนเส้นเรียกว่า H 1 และเป็นฐานของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุด M 1 ถึงเส้น a กรณีที่สองชี้ให้เห็นว่าจะต้องค้นหาจุดของระนาบนี้เป็นความสูงของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

วิธีแรก

จากคำจำกัดความ เราได้ระยะทางจากจุด M 1 ที่อยู่บนเส้นตรง a คือ ความยาวของเส้นตั้งฉาก M 1 H 1 แล้วเราจะได้พิกัดที่หาได้จากจุด H 1 แล้วเราจะหาระยะทาง ระหว่าง M 1 (x 1, y 1, z 1 ) และ H 1 (x 1, y 1, z 1) ตามสูตร M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

เราได้คำตอบทั้งหมดเพื่อหาพิกัดของฐานของเส้นตั้งฉากที่ลากจาก M 1 ถึงเส้น a ทำได้ดังนี้ H 1 คือจุดที่เส้น a ตัดกับระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนด

ซึ่งหมายความว่าอัลกอริทึมสำหรับกำหนดระยะห่างจากจุด M 1 (x 1, y 1, z 1) ถึงเส้นตรง a ของช่องว่างหมายถึงหลายจุด:

คำจำกัดความ 5

• วาดสมการของระนาบ χ เป็นสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดในแนวตั้งฉากกับเส้น
• การกำหนดพิกัด (x 2 , y 2 , z 2) ของจุด H 1 ซึ่งเป็นจุดตัดของเส้น a และระนาบ χ ;
• การคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นโดยใช้สูตร M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

วิธีที่สอง

จากเงื่อนไขที่เรามีเส้น a จากนั้นเราสามารถกำหนดเวกเตอร์ทิศทาง a → = a x, a y, a z ที่มีพิกัด x 3, y 3, z 3 และจุด M 3 ที่เป็นของเส้น a รับพิกัดของจุด M 1 (x 1 , y 1) และ M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → สามารถคำนวณได้:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

มีความจำเป็นต้องเลื่อนเวกเตอร์ a → \u003d a x, a y, a z และ M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 จากจุด M 3 เชื่อมต่อและรับ รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน M 1 H 1 คือความสูงของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

พิจารณารูปด้านล่าง

เรามีความสูง M 1 H 1 คือระยะทางที่ต้องการ จากนั้นคุณต้องหาโดยใช้สูตร นั่นคือเรากำลังมองหา M 1 H 1 .

ระบุพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานด้วยตัวอักษร S พบโดยสูตรโดยใช้เวกเตอร์ a → = (a x , a y , a z) และ M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . สูตรพื้นที่มีรูปแบบ S = a → × M 3 M 1 → นอกจากนี้ พื้นที่ของรูปจะเท่ากับผลคูณของความยาวด้านข้างและความสูง เราได้ S \u003d a → M 1 H 1 กับ a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2 ซึ่งเป็นความยาวของเวกเตอร์ a → \u003d (a x, a y, a z) เป็น ด้านเท่ากันสี่เหลี่ยมด้านขนาน. ดังนั้น M 1 H 1 คือระยะทางจากจุดไปยังเส้นตรง มันถูกพบโดยสูตร M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

ในการค้นหาระยะทางจากจุดที่มีพิกัด M 1 (x 1, y 1, z 1) ถึงเส้นตรง a ในช่องว่าง คุณต้องดำเนินการหลายจุดของอัลกอริทึม:

คำจำกัดความ 6

• การกำหนดเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง a - a → = (a x , a y , a z) ;
• การคำนวณความยาวของเวกเตอร์ทิศทาง a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• รับพิกัด x 3 , y 3 , z 3 ของจุด M 3 ที่อยู่บนเส้น a;
• การคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ M 3 M 1 → ;
• การหาผลคูณของเวกเตอร์ a → (a x, a y, a z) และ M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 เป็น a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 เพื่อให้ได้ความยาวตามสูตร a → × M 3 M 1 → ;
• การคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งถึงเส้น M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

การแก้ปัญหาการหาระยะทางจากจุดที่กำหนดไปยังเส้นตรงที่กำหนดในอวกาศ

ตัวอย่างที่ 5

หาระยะทางจากจุดที่มีพิกัด M 1 2 , - 4 , - 1 ถึงเส้นตรง x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

วิธีการแก้

วิธีแรกเริ่มต้นด้วยการเขียนสมการของระนาบ χ ผ่าน M 1 และตั้งฉากกับจุดที่กำหนด เราได้รับนิพจน์เช่น:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

จำเป็นต้องหาพิกัดของจุด H 1 ซึ่งเป็นจุดตัดกับระนาบ χ ไปยังเส้นตรงที่กำหนดโดยเงื่อนไข จำเป็นต้องย้ายจากรูปแบบบัญญัติไปสู่รูปแบบที่ตัดกัน จากนั้นเราจะได้ระบบสมการของรูปแบบ:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

จำเป็นต้องคำนวณระบบ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 โดยวิธีของ Cramer เราจะได้:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

ดังนั้นเราจึงมีว่า H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

วิธีที่สองต้องเริ่มต้นด้วยการค้นหาพิกัดในสมการบัญญัติ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใส่ใจกับตัวส่วนของเศษส่วน จากนั้น a → = 2 , - 1 , 5 คือเวกเตอร์ทิศทางของเส้น x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 จำเป็นต้องคำนวณความยาวโดยใช้สูตร a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30

เป็นที่ชัดเจนว่าเส้น x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ตัดกับจุด M 3 (- 1 , 0 , - 5) ดังนั้นเราจึงได้เวกเตอร์ที่มีจุดกำเนิด M 3 (-1 , 0 , - 5) และสิ้นสุดที่จุด M 1 2 , - 4 , - 1 คือ M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . ค้นหาผลคูณเวกเตอร์ a → = (2, - 1, 5) และ M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) .

เราได้นิพจน์ของรูปแบบ a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

เราได้ความยาวของผลคูณเป็น a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

เรามีข้อมูลทั้งหมดเพื่อใช้สูตรในการคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งเป็นเส้นตรง ดังนั้นเราจึงนำมันมาประยุกต์ใช้:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

ตอบ: 11 .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ระดับแรก

พิกัดและเวกเตอร์ คู่มือที่ครอบคลุม (2019)

ในบทความนี้ คุณและฉันจะเริ่มต้นการสนทนาเกี่ยวกับ "ไม้เท้าวิเศษ" หนึ่งอันที่จะช่วยให้คุณลดปัญหามากมายในเรขาคณิตเป็นเลขคณิตอย่างง่าย “ไม้กายสิทธิ์” นี้จะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อคุณรู้สึกไม่ปลอดภัยในการสร้างหุ่นเชิงพื้นที่ ส่วนต่างๆ ฯลฯ ทั้งหมดนี้ต้องใช้จินตนาการและทักษะเชิงปฏิบัติ วิธีการที่เราจะเริ่มพิจารณาในที่นี้จะช่วยให้คุณสรุปได้เกือบทั้งหมดจากโครงสร้างทางเรขาคณิตและการให้เหตุผลทุกประเภท วิธีการนี้เรียกว่า "วิธีการประสานงาน". ในบทความนี้ เราจะพิจารณาคำถามต่อไปนี้:

1. พิกัดเครื่องบิน
2. จุดและเวกเตอร์บนเครื่องบิน
3. การสร้างเวกเตอร์จากสองจุด
4. ความยาวเวกเตอร์ (ระยะห่างระหว่างสองจุด)​
5. พิกัดจุดกึ่งกลาง
6. ผลิตภัณฑ์ดอทของเวกเตอร์​
7. มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว

ฉันคิดว่าคุณเดาแล้วว่าทำไมวิธีพิกัดจึงถูกเรียกว่า? มันเป็นความจริงที่มีชื่อดังกล่าว เนื่องจากมันไม่ได้ทำงานกับวัตถุเรขาคณิต แต่มีลักษณะเชิงตัวเลข (พิกัด) และการแปลงเองซึ่งทำให้สามารถย้ายจากเรขาคณิตเป็นพีชคณิตได้นั้นประกอบด้วยการแนะนำระบบพิกัด หากรูปต้นฉบับเป็นแบบแบน พิกัดจะเป็นแบบสองมิติ และถ้ารูปนั้นเป็นแบบสามมิติ พิกัดจะเป็นแบบสามมิติ ในบทความนี้เราจะพิจารณาเฉพาะกรณีสองมิติเท่านั้น และจุดประสงค์หลักของบทความนี้คือเพื่อสอนวิธีใช้เทคนิคพื้นฐานบางประการของวิธีการพิกัด (บางครั้งอาจมีประโยชน์เมื่อแก้ปัญหาในการวัดระดับระนาบในส่วน B ของการสอบ Unified State) สองส่วนต่อไปนี้ในหัวข้อนี้มีไว้สำหรับการอภิปรายเกี่ยวกับวิธีการแก้ปัญหา C2 (ปัญหาของสเตอริโอเมทรี)

จะเริ่มอภิปรายวิธีการประสานงานที่ไหน น่าจะเป็นด้วยแนวคิดของระบบพิกัด จำไว้เมื่อคุณพบเธอครั้งแรก สำหรับฉันดูเหมือนว่าในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เมื่อคุณเรียนรู้เกี่ยวกับการมีอยู่ของฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นต้น ฉันขอเตือนคุณว่าคุณสร้างมันทีละจุด คุณจำได้ไหม? คุณเลือกหมายเลขที่ต้องการ แทนที่ลงในสูตรแล้วคำนวณด้วยวิธีนี้ ตัวอย่างเช่น if แล้ว if ดังนั้น เป็นต้น ผลลัพธ์ที่ได้คืออะไร? และคุณได้รับคะแนนพร้อมพิกัด: และ. จากนั้นคุณวาด "กากบาท" (ระบบพิกัด) เลือกมาตราส่วนบนนั้น (จำนวนเซลล์ที่คุณจะมีเป็นส่วนเดียว) และทำเครื่องหมายจุดที่คุณได้รับบนนั้นซึ่งคุณเชื่อมต่อกับเส้นตรงซึ่งเป็นเส้นผลลัพธ์ คือกราฟของฟังก์ชัน

มีบางสิ่งที่ต้องอธิบายให้คุณฟังอย่างละเอียดมากขึ้น:

1. คุณเลือกส่วนเดียวเพื่อความสะดวก เพื่อให้ทุกอย่างพอดีและกระชับในภาพ

2. สมมติว่าแกนไปจากซ้ายไปขวา และแกนไปจากล่างขึ้นบน

3. ตัดกันเป็นมุมฉากและจุดตัดเรียกว่าจุดกำเนิด มันถูกทำเครื่องหมายด้วยตัวอักษร

4. ในบันทึกพิกัดของจุด ตัวอย่างเช่น ทางด้านซ้ายในวงเล็บคือพิกัดของจุดตามแนวแกน และทางด้านขวา ตามแกน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หมายความง่ายๆ ว่า ประเด็น

5. ในการตั้งจุดใดๆ บนแกนพิกัด คุณต้องระบุพิกัด (2 ตัวเลข)

6. สำหรับจุดใด ๆ ที่วางอยู่บนแกน

7. สำหรับจุดใด ๆ ที่วางอยู่บนแกน

8. แกนเรียกว่าแกน x

9. แกนเรียกว่าแกน y

ตอนนี้ ไปขั้นตอนต่อไปกับคุณ: ทำเครื่องหมายสองจุด เชื่อมต่อจุดทั้งสองนี้ด้วยเส้น และลองวางลูกศรราวกับว่าเรากำลังวาดส่วนจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง นั่นคือเราจะกำหนดส่วนของเรา!

จำชื่ออื่นสำหรับส่วนกำกับได้หรือไม่? ใช่แล้ว มันถูกเรียกว่าเวกเตอร์!

ดังนั้น หากเราเชื่อมจุดกับจุด และจุดเริ่มต้นจะเป็นจุด A และจุดสิ้นสุดจะเป็นจุด Bแล้วเราจะได้เวกเตอร์ คุณทำการก่อสร้างนี้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 จำได้ไหม?

ปรากฎว่าเวกเตอร์เช่นจุดสามารถเขียนแทนด้วยตัวเลขสองตัว: ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าพิกัดของเวกเตอร์ คำถาม: คุณคิดว่าเรารู้พิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์เพื่อหาพิกัดเพียงพอหรือไม่ ปรากฎว่าใช่! และทำได้ง่ายมาก:

ดังนั้น เนื่องจากในเวกเตอร์ จุดคือจุดเริ่มต้น และจุดสิ้นสุด เวกเตอร์จึงมีพิกัดดังต่อไปนี้:

ตัวอย่างเช่น ถ้า แล้วพิกัดของเวกเตอร์

ทีนี้ลองทำตรงกันข้าม หาพิกัดของเวกเตอร์ เราต้องเปลี่ยนแปลงอะไรในเรื่องนี้? ใช่ คุณต้องสลับจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด: ตอนนี้จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์จะอยู่ที่จุดหนึ่ง และสิ้นสุดที่จุดหนึ่ง แล้ว:

ดูให้ดีว่าเวกเตอร์กับเวกเตอร์ต่างกันอย่างไร? ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวของพวกเขาคือสัญญาณในพิกัด พวกเขาอยู่ตรงข้าม ข้อเท็จจริงนี้เขียนดังนี้:

บางครั้ง หากไม่ได้ระบุอย่างเฉพาะเจาะจงว่าจุดใดเป็นจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์และจุดสิ้นสุด เวกเตอร์นั้นไม่ได้แสดงด้วยอักษรตัวพิมพ์ใหญ่สองตัว แต่เป็นตัวพิมพ์เล็กหนึ่งตัว ตัวอย่างเช่น เป็นต้น

ตอนนี้นิดหน่อย ฝึกฝนและหาพิกัดของเวกเตอร์ต่อไปนี้:

การตรวจสอบ:

ตอนนี้แก้ปัญหายากขึ้นเล็กน้อย:

พรูเวกเตอร์ที่มีเศษซากที่จุดมีส่วนสัมพันธ์กับคุณ ค้นหาจุด abs-cis-su

ทั้งหมดเหมือนกันค่อนข้างน่าเบื่อ: ให้ เป็นพิกัดของจุด แล้ว

ฉันรวบรวมระบบโดยกำหนดว่าพิกัดของเวกเตอร์คืออะไร จากนั้นจุดจะมีพิกัด เรามีความสนใจใน abscissa แล้ว

ตอบ:

คุณสามารถทำอะไรกับเวกเตอร์ได้อีก? ใช่ เกือบทุกอย่างเหมือนกับตัวเลขธรรมดา (ยกเว้นว่าคุณไม่สามารถหารได้ แต่คุณสามารถคูณได้สองวิธี ซึ่งเราจะพูดถึงที่นี่ในภายหลังเล็กน้อย)

1. เวกเตอร์สามารถซ้อนกันได้
2. เวกเตอร์สามารถลบออกจากกัน
3. เวกเตอร์สามารถคูณ (หรือหาร) ด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์โดยพลการ
4. เวกเตอร์สามารถคูณกันได้

การดำเนินการทั้งหมดนี้มีการแสดงทางเรขาคณิตที่ค่อนข้างชัดเจน ตัวอย่างเช่น กฎสามเหลี่ยม (หรือสี่เหลี่ยมด้านขนาน) สำหรับการบวกและการลบ:

เวกเตอร์ยืดหรือหดหรือเปลี่ยนทิศทางเมื่อคูณหรือหารด้วยตัวเลข:

อย่างไรก็ตาม เราจะมาสนใจคำถามที่ว่าเกิดอะไรขึ้นกับพิกัด

1. เมื่อบวก (ลบ) เวกเตอร์สองตัว เราจะบวก (ลบ) องค์ประกอบพิกัดของพวกมันทีละองค์ประกอบ นั่นคือ:

2. เมื่อคูณ (หาร) เวกเตอร์ด้วยตัวเลข พิกัดทั้งหมดจะถูกคูณ (หาร) ด้วยตัวเลขนี้:

ตัวอย่างเช่น:

· ค้นหาผลรวมของ ko-or-di-nat ศตวรรษต่อรา

เรามาหาพิกัดของเวกเตอร์แต่ละตัวกันก่อน ทั้งสองมีต้นกำเนิดเดียวกัน - จุดกำเนิด ปลายของพวกเขาแตกต่างกัน แล้ว, . ตอนนี้เราคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ จากนั้นผลรวมของพิกัดของเวกเตอร์ที่ได้จะเท่ากับ

ตอบ:

ตอนนี้แก้ปัญหาต่อไปนี้ด้วยตัวคุณเอง:

· ค้นหาผลรวมของพิกัดของเวกเตอร์

เราตรวจสอบ:

ลองพิจารณาปัญหาต่อไปนี้: เรามีจุดสองจุดบนระนาบพิกัด จะหาระยะห่างระหว่างพวกเขาได้อย่างไร? ให้จุดแรกเป็นและจุดที่สอง แสดงว่าระยะห่างระหว่างพวกเขาเป็น . ลองทำรูปวาดต่อไปนี้เพื่อความชัดเจน:

ฉันทำอะไรลงไป? ฉันเชื่อมต่อครั้งแรก คะแนนและ, aก็ลากเส้นขนานกับแกนจากจุดนั้น และลากเส้นขนานกับแกนจากจุดนั้น พวกเขาตัดกันที่จุดหนึ่งเพื่อสร้างร่างที่ยอดเยี่ยมหรือไม่? ทำไมเธอถึงยอดเยี่ยม ใช่ คุณกับฉันเกือบจะรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉากแล้ว แน่นอน ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ส่วนที่ต้องการคือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมนี้ และส่วนคือขา พิกัดของจุดคืออะไร? ใช่ หาได้ง่ายจากภาพ: เนื่องจากเซ็กเมนต์ขนานกับแกนและตามลำดับความยาวของพวกมันจึงหาได้ง่าย: หากเราแสดงความยาวของเซ็กเมนต์ตามลำดับผ่านแล้ว

ทีนี้ ลองใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกัน เรารู้ความยาวของขา เราจะพบด้านตรงข้ามมุมฉาก:

ดังนั้น ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดคือผลรวมรากของผลต่างกำลังสองจากพิกัด หรือ - ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดคือความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อกัน สังเกตได้ง่ายว่าระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับทิศทาง แล้ว:

จากนี้เราได้ข้อสรุปสามประการ:

มาฝึกการคำนวณระยะห่างระหว่างจุดสองจุดกัน:

ตัวอย่างเช่น ถ้า แล้ว ระยะห่างระหว่าง และ คือ

หรือต่างออกไป: หาพิกัดของเวกเตอร์

และหาความยาวของเวกเตอร์:

อย่างที่คุณเห็นมันเหมือนกัน!

ตอนนี้ฝึกฝนเล็กน้อยด้วยตัวคุณเอง:

งาน: ค้นหาระยะห่างระหว่างจุดที่กำหนด:

เราตรวจสอบ:

ต่อไปนี้คือปัญหาอีกสองสามข้อสำหรับสูตรเดียวกัน แม้ว่าจะฟังดูแตกต่างกันเล็กน้อย:

1. หาค่ากำลังสองของความยาวของเปลือกตาถึงรา

2. นัยน์ตาสี่เหลี่ยมยาวถึงระ

ฉันเดาว่าคุณสามารถจัดการกับพวกเขาได้อย่างง่ายดาย? เราตรวจสอบ:

1. และนี่เพื่อความใส่ใจ) เราเคยพบพิกัดของเวกเตอร์มาก่อนแล้ว: . แล้วเวกเตอร์ก็มีพิกัด กำลังสองของความยาวของมันจะเป็น:

2. ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์

แล้วความยาวของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับ

ไม่มีอะไรซับซ้อนใช่ไหม เลขคณิตง่ายๆ ไม่มีอะไรมาก

งานต่อไปนี้ไม่สามารถจำแนกได้อย่างชัดเจนว่างานเหล่านี้ค่อนข้าง ความรู้ทั่วไปและความสามารถในการวาดภาพอย่างง่าย

1. ค้นหาได-ไซน์เหล่านั้นของมุมบน-clo-on-from-cut, ต่อจุดหนึ่ง-n-th-th กับแกน abscissa

และ

เราจะทำอย่างไรที่นี่? คุณต้องหาไซน์ของมุมระหว่างกับแกน และเราจะหาไซน์ได้จากที่ไหน? ถูกแล้ว ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แล้วเราต้องทำอย่างไร? สร้างสามเหลี่ยมนี้!

เนื่องจากพิกัดของจุดแล้วส่วนนั้นเท่ากันและส่วนนั้น เราต้องหาไซน์ของมุม ผมขอเตือนคุณว่าไซน์คืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก แล้ว

เราเหลืออะไรให้ทำ? หาด้านตรงข้ามมุมฉาก คุณสามารถทำได้สองวิธี: โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส (ขาเป็นที่รู้จัก!) หรือโดยสูตรสำหรับระยะห่างระหว่างจุดสองจุด (ที่จริงแล้วเหมือนกับวิธีแรก!) ฉันจะไปทางที่สอง:

ตอบ:

งานต่อไปจะดูง่ายยิ่งขึ้นสำหรับคุณ เธอ - บนพิกัดของจุด

ภารกิจที่ 2จากจุดนั้น per-pen-di-ku-lar จะถูกลดระดับลงบนแกน abs-ciss Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

มาวาดรูปกันเถอะ:

ฐานของเส้นตั้งฉากคือจุดที่มันตัดกับแกน x (แกน) สำหรับฉัน นี่คือจุด จากรูปแสดงว่ามีพิกัด: . เราสนใจ abscissa นั่นคือองค์ประกอบ "X" เธอมีความเท่าเทียมกัน

ตอบ: .

ภารกิจที่ 3ภายใต้เงื่อนไขของปัญหาก่อนหน้า ให้หาผลรวมของระยะทางจากจุดไปยังแกนพิกัด

งานนี้เป็นงานพื้นฐานถ้าคุณรู้ว่าระยะห่างจากจุดหนึ่งไปยังแกนคืออะไร คุณรู้? ฉันหวังว่า แต่ฉันยังคงเตือนคุณ:

ดังนั้นในภาพวาดของฉันซึ่งอยู่สูงขึ้นเล็กน้อยฉันได้วาดภาพแนวตั้งฉากหนึ่งแล้วหรือยัง มันคือแกนอะไร? ไปที่แกน แล้วความยาวของมันคือเท่าไหร่? เธอมีความเท่าเทียมกัน วาดเส้นตั้งฉากกับแกนด้วยตัวคุณเองแล้วหาความยาวของมัน มันจะเท่ากันไม่ใช่เหรอ? แล้วผลรวมของพวกเขาจะเท่ากัน

ตอบ: .

ภารกิจที่ 4ในเงื่อนไขของปัญหาที่ 2 ให้หาพิกัดของจุดสมมาตรกับจุดรอบแกน x

ฉันคิดว่าคุณเข้าใจอย่างสังหรณ์ใจว่าสมมาตรคืออะไร? วัตถุจำนวนมากมีอยู่: อาคารจำนวนมาก โต๊ะ เครื่องบิน รูปทรงเรขาคณิตจำนวนมาก: ลูกบอล ทรงกระบอก สี่เหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ฯลฯ พูดคร่าวๆ สมมาตรสามารถเข้าใจได้ดังนี้: รูปประกอบด้วยสอง (หรือมากกว่า) แบ่งเท่าๆ กัน ความสมมาตรนี้เรียกว่าแนวแกน แล้วแกนคืออะไร? นี่คือเส้นตรงที่ร่างนั้นสามารถ "ตัด" ออกเป็นครึ่งๆ เดียวกันได้ (ในภาพนี้ แกนสมมาตรจะเป็นเส้นตรง):

ตอนนี้กลับไปที่งานของเรา เรารู้ว่าเรากำลังมองหาจุดที่สมมาตรเกี่ยวกับแกน จากนั้นแกนนี้คือแกนสมมาตร ดังนั้น เราจำเป็นต้องทำเครื่องหมายจุดหนึ่งเพื่อให้แกนตัดส่วนนั้นออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน พยายามทำเครื่องหมายจุดดังกล่าวด้วยตัวเอง ตอนนี้เปรียบเทียบกับโซลูชันของฉัน:

คุณทำเช่นเดียวกันหรือไม่? ดี! ที่จุดพบ เราสนใจในพิกัด เธอเท่าเทียมกัน

ตอบ:

ทีนี้ บอกฉันที หลังจากที่คิดอยู่ครู่หนึ่ง แล้ว abscissa ของจุดสมมาตรที่ชี้ A เกี่ยวกับแกน y คืออะไร? คำตอบของคุณคืออะไร? คำตอบที่ถูกต้อง: .

โดยทั่วไป กฎสามารถเขียนได้ดังนี้:

จุดสมมาตรถึงจุดรอบแกน x มีพิกัดดังนี้

จุดสมมาตรถึงจุดรอบแกน y มีพิกัด:

ตอนนี้มันน่ากลัวจริงๆ งาน: ค้นหาพิกัดของจุดที่สมมาตรกับจุดซึ่งสัมพันธ์กับจุดกำเนิด คิดเอาเองก่อน แล้วค่อยดูภาพวาดของฉัน!

ตอบ:

ตอนนี้ ปัญหาด้านสี่เหลี่ยมด้านขนาน:

งาน 5: ประเด็นคือ ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma หาจุดดีเต้หรือดีออนตู

คุณสามารถแก้ปัญหานี้ได้สองวิธี: ตรรกะและวิธีพิกัด ฉันจะใช้วิธีพิกัดก่อน จากนั้นฉันจะบอกคุณว่าคุณจะตัดสินใจอย่างอื่นได้อย่างไร

ค่อนข้างชัดเจนว่า abscissa ของจุดนั้นเท่ากัน (อยู่บนเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดไปยังแกน x) เราต้องหาพิกัด ลองใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่า ตัวเลขของเราเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งหมายความว่า ค้นหาความยาวของส่วนโดยใช้สูตรสำหรับระยะห่างระหว่างจุดสองจุด:

เราลดจุดเชื่อมต่อตั้งฉากกับแกน จุดตัดแสดงด้วยตัวอักษร

ความยาวของส่วนเท่ากัน (ค้นหาปัญหาด้วยตัวเองที่เราพูดถึงในขณะนี้) จากนั้นเราจะหาความยาวของส่วนโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ความยาวของส่วนนั้นเท่ากันทุกประการกับการกำหนด

ตอบ: .

วิธีแก้ปัญหาอื่น (ฉันจะให้รูปภาพที่แสดงมันเท่านั้น)

ความคืบหน้าของโซลูชัน:

1. ใช้จ่าย

2. ค้นหาพิกัดจุดและความยาว

3. พิสูจน์ว่า

อีกคน ปัญหาความยาวตัด:

ประเด็นคือ-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka หาความยาวของเส้นกึ่งกลางของเขา par-ral-lel-noy

คุณจำได้ไหมว่าเส้นกลางของรูปสามเหลี่ยมคืออะไร? สำหรับคุณแล้ว งานนี้เป็นงานระดับประถมศึกษา หากคุณจำไม่ได้ ฉันจะเตือนคุณว่า เส้นกลางของสามเหลี่ยมคือเส้นที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม ขนานกับฐานและเท่ากับครึ่งหนึ่ง

ฐานเป็นส่วน เราต้องดูความยาวก่อนว่าเท่ากัน จากนั้นความยาวของเส้นกึ่งกลางจะยาวและเท่ากันครึ่งหนึ่ง

ตอบ: .

ความคิดเห็น: ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ในอีกทางหนึ่งซึ่งเราจะพูดถึงในภายหลัง

ในระหว่างนี้ นี่เป็นงานสองสามอย่างสำหรับคุณ ฝึกฝนกับมัน พวกมันค่อนข้างง่าย แต่ช่วย "เติมเต็มมือของคุณ" โดยใช้วิธีการประสานงาน!

1. คะแนนปรากฏ-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion หาความยาวของเส้นกลาง.

2. คะแนนและ yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma หาจุดดีเต้หรือดีออนตู

3. หาความยาวจากการตัด ต่อจุดที่สองและ

4. ค้นหาพื้นที่สำหรับ-the-red-shen-noy fi-gu-ry บนเครื่องบิน ko-or-di-nat-noy

5. วงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่นาชะเล โกออร์ดีแนท ผ่านจุดหนึ่ง ค้นหา-de-te ra-di-mustache ของเธอ

6. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, อธิบาย-san-noy ใกล้มุมขวา-no-ka, tops-shi-ny ของบางสิ่งบางอย่าง-ro-go มี co-or - di-na-you co-from-reply-but

โซลูชั่น:

1. เป็นที่ทราบกันว่าเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐาน ฐานเท่ากันแต่ฐาน. แล้ว

ตอบ:

2. วิธีที่ง่ายที่สุดในการแก้ปัญหานี้คือสังเกตว่า (กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน) คำนวณพิกัดของเวกเตอร์และไม่ยาก: . เมื่อเพิ่มเวกเตอร์ พิกัดจะถูกเพิ่ม แล้วมีพิกัด จุดมีพิกัดเดียวกัน เนื่องจากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์เป็นจุดที่มีพิกัด เรามีความสนใจในการบวช เธอมีความเท่าเทียมกัน

ตอบ:

3. เราดำเนินการทันทีตามสูตรระยะห่างระหว่างจุดสองจุด:

ตอบ:

4. ดูภาพแล้วพูดว่า พื้นที่แรเงา "ถูกบีบ" ระหว่างตัวเลขใด? มันถูกประกบระหว่างสองสี่เหลี่ยม จากนั้นพื้นที่ของรูปที่ต้องการจะเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ลบด้วยพื้นที่ของสี่เหลี่ยมเล็ก ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กเป็นส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดต่างๆ และมีความยาวเท่ากับ

แล้วพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กคือ

เราทำเช่นเดียวกันกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่: ด้านข้างเป็นส่วนเชื่อมจุดต่างๆ และความยาวเท่ากับ

แล้วพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่คือ

พื้นที่ของตัวเลขที่ต้องการหาได้จากสูตร:

ตอบ:

5. หากวงกลมมีจุดกำเนิดเป็นจุดศูนย์กลางและผ่านจุดใดจุดหนึ่ง รัศมีของวงกลมจะเท่ากับความยาวของส่วน (วาดรูปแล้วคุณจะเข้าใจว่าเหตุใดจึงชัดเจน) ค้นหาความยาวของส่วนนี้:

ตอบ:

6. เป็นที่ทราบกันว่ารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสี่เหลี่ยมผืนผ้านั้นมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุม หาความยาวของเส้นทแยงมุมสองเส้น (ในสี่เหลี่ยมมันเท่ากัน!)

ตอบ:

คุณจัดการทุกอย่างแล้วเหรอ? มันไม่ยากเลยที่จะคิดออก ใช่ไหม? มีกฎข้อเดียวอยู่ที่นี่ - เพื่อให้สามารถสร้างภาพที่มองเห็นได้และเพียงแค่ "อ่าน" ข้อมูลทั้งหมดจากมัน

เราเหลือน้อยมาก มีอีกสองประเด็นที่ฉันอยากจะพูดถึง

ลองแก้ปัญหาง่ายๆนี้กัน ให้สองคะแนนและได้รับ หาพิกัดตรงกลางเซกเมนต์ วิธีแก้ปัญหามีดังนี้ ให้จุดอยู่ตรงกลางที่ต้องการ จากนั้นก็มีพิกัด:

นั่นคือ: พิกัดตรงกลางของเซกเมนต์ = ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดที่สอดคล้องกันของปลายเซกเมนต์

กฎนี้ง่ายมากและมักจะไม่ทำให้นักเรียนลำบาก มาดูกันว่ามีปัญหาอะไรและใช้งานอย่างไร:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-th-th และ

2. คะแนนคือ yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka Find-di-te or-di-na-tu จุด re-re-se-che-niya ของ dia-go-on-lei ของเขา

3. ค้นหา-di-te abs-cis-su ของจุดศูนย์กลางของวงกลม, อธิบาย-san-noy ใกล้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า-no-ka, ยอด-ชิ-เรามีบางอย่าง-ro-go co-or-di- na-you co-from-vet-stvenno-but.

โซลูชั่น:

1. งานแรกเป็นเพียงงานคลาสสิก เราดำเนินการทันทีโดยกำหนดจุดกึ่งกลางของกลุ่ม เธอมีพิกัด พิกัดเท่ากัน

ตอบ:

2. มันง่ายที่จะเห็นว่ารูปสี่เหลี่ยมที่ให้มานั้นเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (แม้กระทั่งรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน!) คุณสามารถพิสูจน์ได้ด้วยตัวเองโดยการคำนวณความยาวของด้านและเปรียบเทียบกัน ฉันรู้อะไรเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมด้านขนาน? เส้นทแยงมุมของมันถูกแบ่งครึ่งโดยจุดสี่แยก! อ้า! แล้วจุดตัดของเส้นทแยงมุมคืออะไร? นี่คือจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม! ฉันจะเลือกโดยเฉพาะเส้นทแยงมุม จากนั้นจุดจะมีพิกัด พิกัดของจุด เท่ากับ

ตอบ:

3. จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสี่เหลี่ยมจัตุรัสคืออะไร? มันเกิดขึ้นพร้อมกับจุดตัดของเส้นทแยงมุมของมัน คุณรู้อะไรเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าบ้าง? เท่ากันและจุดตัดแบ่งครึ่ง ลดงานลงเป็นงานก่อนหน้า ใช้ตัวอย่างเช่นเส้นทแยงมุม แล้วถ้าเป็นจุดศูนย์กลางของวงรอบวง แสดงว่าอยู่ตรงกลาง ฉันกำลังมองหาพิกัด: abscissa เท่ากัน

ตอบ:

ตอนนี้ฝึกฝนด้วยตัวเองเล็กน้อยฉันจะให้คำตอบสำหรับแต่ละปัญหาเพื่อให้คุณตรวจสอบตัวเอง

1. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, อธิบาย-san-noy ใกล้รูปสามเหลี่ยม-no-ka, ยอดของ someone-ro-go มี ko-or-di -no Misters

2. Find-di-te or-di-na-tu ศูนย์กลางของวงกลม อธิบาย san-noy ใกล้รูปสามเหลี่ยม-no-ka, tops-shi-we มีพิกัดบางอย่าง-ro-go

๓. รัศมีแบบใดควรมีวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางตรงจุดจนแตะแกน abs-ciss?

4. ค้นหา-di-te หรือ-di-on-จุด re-re-se-che-ing ของแกนและจาก-cut จุดเชื่อมต่อ-nya-yu-th-th และ

คำตอบ:

ทุกอย่างได้ผลหรือไม่? ฉันหวังว่ามันจริงๆ! ตอนนี้ - ดันสุดท้าย ตอนนี้ควรระมัดระวังเป็นพิเศษ เนื้อหาที่ฉันจะอธิบายตอนนี้เกี่ยวข้องโดยตรงไม่เพียงแต่กับ งานง่ายๆถึงวิธีการพิกัดจากส่วน B แต่ยังเกิดขึ้นทุกที่ในปัญหา C2

ฉันยังไม่ได้รักษาสัญญาใด จำได้ไหมว่าการดำเนินการใดกับเวกเตอร์ที่ฉันสัญญาว่าจะแนะนำและอันไหนที่ฉันแนะนำในที่สุด ฉันแน่ใจว่าฉันไม่ได้ลืมอะไร? ลืม! ฉันลืมอธิบายว่าการคูณเวกเตอร์หมายถึงอะไร

มีสองวิธีในการคูณเวกเตอร์ด้วยเวกเตอร์ เราจะได้วัตถุที่มีลักษณะแตกต่างกันขึ้นอยู่กับวิธีที่เลือก:

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ค่อนข้างยุ่งยาก จะทำอย่างไรและเหตุใดจึงจำเป็นเราจะหารือกับคุณในบทความถัดไป และในเรื่องนี้เราจะเน้นที่ผลคูณสเกลาร์

มีสองวิธีที่ทำให้เราคำนวณได้อยู่แล้ว:

อย่างที่คุณเดาผลลัพธ์ควรจะเหมือนกัน! มาดูวิธีแรกกันก่อน:

จุดสินค้าผ่านพิกัด

ค้นหา: - การกำหนดทั่วไป สินค้าจุด

สูตรการคำนวณมีดังนี้:

นั่นคือผลคูณดอท = ผลรวมของผลิตภัณฑ์พิกัดของเวกเตอร์!

ตัวอย่าง:

Find-dee-te

วิธีการแก้:

ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์แต่ละตัว:

เราคำนวณผลคูณสเกลาร์ตามสูตร:

ตอบ:

คุณเห็นไหมว่าไม่มีอะไรซับซ้อนอย่างแน่นอน!

ทีนี้ลองด้วยตัวคุณเอง:

Find-di-te scalar-noe pro-from-ve-de-nie ศตวรรษสู่คูและ

คุณจัดการ? บางทีเขาอาจสังเกตเห็นเคล็ดลับเล็กน้อย? มาตรวจสอบกัน:

พิกัดเวกเตอร์เหมือนในงานที่แล้ว! ตอบ: .

นอกจากพิกัดแล้ว ยังมีอีกวิธีในการคำนวณผลคูณของสเกลาร์ กล่าวคือ ผ่านความยาวของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน:

หมายถึงมุมระหว่างเวกเตอร์กับ

นั่นคือผลคูณสเกลาร์เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน

ทำไมเราต้องมีสูตรที่สองนี้ ถ้าเรามีสูตรแรก ซึ่งง่ายกว่ามาก อย่างน้อยก็ไม่มีโคไซน์อยู่ในนั้น และเราต้องการมันเพื่อที่ว่าจากสูตรแรกและสูตรที่สอง เราสามารถอนุมานได้ว่าจะหามุมระหว่างเวกเตอร์ได้อย่างไร!

ให้ แล้ว จำสูตรสำหรับความยาวของเวกเตอร์!

ถ้าฉันเสียบข้อมูลนี้ลงในสูตรดอทผลิตภัณฑ์ ฉันจะได้รับ:

แต่อีกด้านหนึ่ง:

แล้วเราได้อะไร? ตอนนี้เรามีสูตรคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวแล้ว! บางครั้ง เพื่อความกระชับ ก็เขียนแบบนี้เช่นกัน:

นั่นคืออัลกอริทึมสำหรับการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์มีดังนี้:

1. เราคำนวณผลคูณสเกลาร์ผ่านพิกัด
2. หาความยาวของเวกเตอร์แล้วคูณมัน
3. หารผลลัพธ์ของจุดที่ 1 ด้วยผลลัพธ์ของจุดที่ 2

มาฝึกกันด้วยตัวอย่าง:

1. หามุมระหว่างเปลือกตากับรัศมี ให้คำตอบเป็นองศา

2. ภายใต้เงื่อนไขของปัญหาก่อนหน้า ให้หาโคไซน์ระหว่างเวกเตอร์

มาทำกัน: ฉันจะช่วยคุณแก้ปัญหาแรก และลองทำปัญหาที่สองด้วยตัวเอง! ฉันเห็นด้วย? เริ่มกันเลย!

1. เวกเตอร์เหล่านี้เป็นเพื่อนเก่าของเรา เราได้พิจารณาผลคูณของสเกลาร์แล้วและมีค่าเท่ากัน พิกัดคือ , . จากนั้นเราจะพบความยาวของมัน:

จากนั้นเรากำลังมองหาโคไซน์ระหว่างเวกเตอร์:

โคไซน์ของมุมคืออะไร? นี่คือมุม

ตอบ:

ตอนนี้แก้ปัญหาที่สองด้วยตัวคุณเองแล้วเปรียบเทียบ! ฉันจะให้วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ :

2. มีพิกัด มีพิกัด

อนุญาต เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์กับ, แล้ว

ตอบ:

ควรสังเกตว่างานโดยตรงบนเวกเตอร์และวิธีการพิกัดในส่วนB งานสอบค่อนข้างหายาก อย่างไรก็ตาม ปัญหา C2 ส่วนใหญ่สามารถแก้ไขได้ง่ายด้วยการแนะนำระบบพิกัด ดังนั้นคุณสามารถพิจารณาบทความนี้เป็นพื้นฐานโดยเราจะสร้างโครงสร้างที่ค่อนข้างยุ่งยากซึ่งเราต้องแก้ไข งานที่ท้าทาย.

พิกัดและเวกเตอร์ ระดับกลาง

คุณและฉันศึกษาวิธีการพิกัดต่อไป ในส่วนสุดท้าย เราได้รับสูตรสำคัญหลายประการที่ช่วยให้:

1. ค้นหาพิกัดเวกเตอร์
2. หาความยาวของเวกเตอร์ (อีกทางหนึ่งคือ ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด)
3. บวกลบเวกเตอร์ คูณด้วยจำนวนจริง
4. หาจุดกึ่งกลางของกลุ่ม
5. คำนวณผลคูณดอทของเวกเตอร์
6. หามุมระหว่างเวกเตอร์

แน่นอนว่าวิธีการพิกัดทั้งหมดไม่เข้ากับ 6 จุดเหล่านี้ มันรองรับวิทยาศาสตร์เช่นเรขาคณิตวิเคราะห์ซึ่งคุณจะได้ทำความคุ้นเคยที่มหาวิทยาลัย ฉันแค่ต้องการสร้างรากฐานที่จะช่วยให้คุณแก้ปัญหาได้ในสถานะเดียว การสอบ. เราค้นพบงานของภาค B ในตอนนี้ ได้เวลาก้าวไปสู่คุณภาพแล้ว ระดับใหม่! บทความนี้จะกล่าวถึงวิธีการแก้ปัญหา C2 ซึ่งควรเปลี่ยนไปใช้วิธีพิกัดอย่างเหมาะสม ความสมเหตุสมผลนี้กำหนดโดยสิ่งที่ต้องพบในปัญหาและตัวเลขที่ให้มา ดังนั้น ฉันจะใช้วิธีพิกัดหากคำถามคือ:

1. หามุมระหว่างระนาบสองระนาบ
2. หามุมระหว่างเส้นกับระนาบ
3. หามุมระหว่างเส้นสองเส้น
4. หาระยะทางจากจุดหนึ่งถึงระนาบ
5. หาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง
6. หาระยะทางจากเส้นตรงถึงระนาบ
7. จงหาระยะห่างระหว่างสองเส้น

หากร่างที่กำหนดในสภาพของปัญหาเป็นร่างของการปฏิวัติ (บอล, กระบอก, กรวย ... )

ตัวเลขที่เหมาะสมสำหรับวิธีการพิกัดคือ:

1. ทรงลูกบาศก์
2. พีระมิด (สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม หกเหลี่ยม)

จากประสบการณ์ของผมด้วย ไม่เหมาะสมที่จะใช้วิธีการประสานงานสำหรับ:

1. การหาพื้นที่ของส่วนต่างๆ
2. การคำนวณปริมาตรของร่างกาย

อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตทันทีว่าสถานการณ์ "เสียเปรียบ" สามสถานการณ์สำหรับวิธีการประสานงานนั้นค่อนข้างหายากในทางปฏิบัติ ในงานส่วนใหญ่ มันสามารถเป็นผู้กอบกู้ของคุณได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณไม่แข็งแกร่งมากในโครงสร้างสามมิติ (ซึ่งบางครั้งก็ค่อนข้างซับซ้อน)

ตัวเลขทั้งหมดที่ฉันได้ระบุไว้ข้างต้นคืออะไร? พวกมันไม่แบนอีกต่อไปแล้ว เช่น สี่เหลี่ยม สามเหลี่ยม วงกลม แต่ใหญ่โต! ดังนั้นเราจึงต้องพิจารณาไม่ใช่ระบบพิกัดสองมิติ แต่เป็นระบบพิกัดสามมิติ มันถูกสร้างขึ้นค่อนข้างง่าย: นอกจาก abscissa และ ordinates แล้ว เราจะแนะนำแกนอื่น แกน applicate รูปแผนผังแสดงตำแหน่งสัมพัทธ์:

ทั้งหมดตั้งฉากกันโดยตัดกันที่จุดหนึ่งซึ่งเราจะเรียกว่าจุดกำเนิด แกน abscissa จะแสดงแทนแกนพิกัด - และแกนแอ็พพลิเคชั่นที่แนะนำ - เหมือนเดิม

ถ้าก่อนหน้านี้ แต่ละจุดบนเครื่องบินถูกกำหนดด้วยตัวเลขสองตัว - abscissa และ ordinate แต่ละจุดในอวกาศจะถูกอธิบายด้วยตัวเลขสามตัวแล้ว - abscissa, the ordinate, applicate ตัวอย่างเช่น:

ดังนั้น abscissa ของจุดจะเท่ากัน ลำดับคือ และ applicate คือ .

บางครั้ง abscissa ของจุดเรียกอีกอย่างว่าการฉายภาพของจุดบนแกน abscissa, การบวชคือการฉายภาพของจุดบนแกนพิกัด และ applicate คือการฉายภาพของจุดบนแกน applicate ดังนั้น หากกำหนดจุดนั้น จุดที่มีพิกัด:

เรียกว่าการฉายจุดบนระนาบ

เรียกว่าการฉายจุดบนระนาบ

คำถามที่เป็นธรรมชาติเกิดขึ้น: สูตรทั้งหมดมาจากกรณีสองมิติในอวกาศหรือไม่? คำตอบคือใช่ พวกเขาเป็นเพียงและมีลักษณะเหมือนกัน สำหรับรายละเอียดปลีกย่อย ฉันคิดว่าคุณเดาได้แล้วว่าอันไหน ในทุกสูตร เราจะต้องเพิ่มอีกหนึ่งเทอมที่รับผิดชอบแกนของแอปพลิเคชัน กล่าวคือ

1. หากได้รับสองคะแนน: แล้ว:

• พิกัดเวกเตอร์:
• ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด (หรือความยาวเวกเตอร์)
• ตรงกลางเซกเมนต์มีพิกัด

2. หากได้รับเวกเตอร์สองตัว: และแล้ว:

• ผลิตภัณฑ์จุดของพวกเขาคือ:
• โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์คือ:

อย่างไรก็ตาม พื้นที่ไม่ง่ายนัก ตามที่คุณเข้าใจ การเพิ่มพิกัดอีกหนึ่งตัวจะแนะนำความหลากหลายที่สำคัญในสเปกตรัมของตัวเลข "มีชีวิต" ในพื้นที่นี้ และสำหรับการบรรยายเพิ่มเติม ฉันต้องแนะนำ "ลักษณะทั่วไป" ของเส้นตรงที่พูดคร่าวๆ "ลักษณะทั่วไป" นี้จะเป็นเครื่องบิน คุณรู้อะไรเกี่ยวกับเครื่องบิน? ลองตอบคำถาม เครื่องบินคืออะไร? มันยากมากที่จะพูด อย่างไรก็ตาม เราทุกคนโดยสัญชาตญาณว่าหน้าตาเป็นอย่างไร:

กล่าวโดยคร่าว ๆ นี่เป็น "ใบไม้" ที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งถูกผลักเข้าสู่อวกาศ "อินฟินิตี้" ควรเข้าใจว่าเครื่องบินขยายออกไปทุกทิศทางนั่นคือพื้นที่ของมันเท่ากับอินฟินิตี้ อย่างไรก็ตาม คำอธิบาย "บนนิ้ว" นี้ไม่ได้ให้แนวคิดเกี่ยวกับโครงสร้างของเครื่องบินแม้แต่น้อย และเราจะสนใจมัน

มาจดจำสัจพจน์พื้นฐานของเรขาคณิตอย่างใดอย่างหนึ่ง:

• ในสอง จุดต่างๆบนเครื่องบินมีเส้นตรงและมีเพียงเส้นเดียวเท่านั้น:

หรืออนาล็อกในอวกาศ:

แน่นอน คุณจำได้ว่าจะหาสมการของเส้นตรงจากจุดที่กำหนดสองจุดได้อย่างไร มันไม่ยากเลย: หากจุดแรกมีพิกัด และจุดที่สอง สมการของเส้นตรงจะเป็นดังนี้:

คุณผ่านสิ่งนี้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ในอวกาศ สมการของเส้นตรงจะมีลักษณะดังนี้: ให้เรามีสองจุดที่มีพิกัด: จากนั้นสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจะมีรูปแบบดังนี้:

ตัวอย่างเช่น เส้นผ่านจุด:

เรื่องนี้ควรเข้าใจอย่างไร? สิ่งนี้ควรเข้าใจดังนี้: จุดอยู่บนเส้นหากพิกัดเป็นไปตามระบบต่อไปนี้:

เราจะไม่สนใจสมการของเส้นตรงมากนัก แต่เราต้องให้ความสนใจกับแนวคิดที่สำคัญมากของเวกเตอร์การกำกับของเส้นตรง - ใดๆ เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์นอนอยู่บนเส้นที่กำหนดหรือขนานกับมัน

ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์ทั้งสองเป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง อนุญาต ให้เป็นจุดที่วางอยู่บนเส้นตรง, และเป็นเวกเตอร์กำกับของมัน จากนั้นสมการของเส้นตรงสามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้:

อีกครั้ง ผมจะไม่สนใจสมการของเส้นตรงมากนัก แต่ผมต้องการให้คุณจำว่าเวกเตอร์ทิศทางคืออะไร! อีกครั้ง: มันคือเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ที่วางอยู่บนเส้นตรงหรือขนานกับมัน

ถอน สมการสามจุดของระนาบไม่ใช่เรื่องเล็กน้อยอีกต่อไป และโดยปกติแล้ว ปัญหานี้จะไม่ได้รับการพิจารณาในหลักสูตร มัธยม. แต่เปล่าประโยชน์! เทคนิคนี้มีความสำคัญเมื่อเราใช้วิธีพิกัดเพื่อแก้ปัญหาที่ซับซ้อน อย่างไรก็ตาม ฉันคิดว่าคุณเต็มไปด้วยความปรารถนาที่จะเรียนรู้สิ่งใหม่ ๆ หรือไม่? นอกจากนี้ คุณจะสามารถสร้างความประทับใจให้อาจารย์ที่มหาวิทยาลัยได้ เมื่อปรากฏว่าคุณรู้วิธีใช้เทคนิคที่มักจะศึกษาในหลักสูตรเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์อยู่แล้ว มาเริ่มกันเลยดีกว่า

สมการระนาบไม่แตกต่างจากสมการเส้นตรงบนระนาบมากนัก กล่าวคือ มีรูปแบบดังนี้

บางตัวเลข (ไม่ทั้งหมด ศูนย์) และตัวแปร เช่น เป็นต้น อย่างที่คุณเห็น สมการของระนาบไม่แตกต่างจากสมการของเส้นตรง (ฟังก์ชันเชิงเส้น) มากนัก อย่างไรก็ตาม จำสิ่งที่เราโต้เถียงกับคุณได้ไหม เราบอกว่าถ้าเรามีจุดสามจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว สมการของระนาบก็จะกลับคืนมาอย่างเฉพาะตัวจากจุดเหล่านั้น แต่อย่างไร? ฉันจะพยายามอธิบายให้คุณฟัง

เนื่องจากสมการระนาบคือ:

และจุดต่าง ๆ เป็นของระนาบนี้ เมื่อแทนพิกัดของแต่ละจุดเป็นสมการระนาบ เราควรจะได้เอกลักษณ์ที่ถูกต้อง:

ดังนั้นจึงมีความจำเป็นต้องแก้สมการสามสมการที่ไม่ทราบค่าอยู่แล้ว! ภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออก! อย่างไรก็ตาม เราสามารถสันนิษฐานได้เสมอว่า (สำหรับสิ่งนี้เราต้องหารด้วย) ดังนั้นเราจึงได้สมการสามสมการที่ไม่ทราบค่าสามค่า:

อย่างไรก็ตาม เราจะไม่แก้ระบบดังกล่าว แต่เขียนนิพจน์ที่เป็นความลับที่ตามมา:

สมการของระนาบที่ผ่านสามจุดที่กำหนด

\"ซ้าย| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

หยุด! นี่อะไรอีก? โมดูลที่ผิดปกติมาก! อย่างไรก็ตาม วัตถุที่คุณเห็นต่อหน้าคุณไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับโมดูล วัตถุนี้เรียกว่าดีเทอร์มีแนนต์อันดับสาม จากนี้ไป เมื่อคุณจัดการกับวิธีพิกัดบนระนาบ คุณมักจะเจอดีเทอร์มิแนนต์เหล่านี้ ดีเทอร์มีแนนต์ลำดับที่สามคืออะไร? น่าแปลกที่มันเป็นเพียงตัวเลข ยังคงต้องเข้าใจว่าเราจะเปรียบเทียบจำนวนใดกับดีเทอร์มีแนนต์

ก่อนอื่นเรามาเขียนดีเทอร์มีแนนต์อันดับสามในรูปแบบทั่วไปกันก่อน:

มีเบอร์ไหน. นอกจากนี้ โดยดัชนีแรก เราหมายถึงหมายเลขแถว และโดยดัชนี - หมายเลขคอลัมน์ ตัวอย่างเช่น หมายความว่าตัวเลขที่ระบุอยู่ที่จุดตัดของแถวที่สองและคอลัมน์ที่สาม มาตั้งคำถามต่อไปนี้: เราจะคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ได้อย่างไร? นั่นคือเราจะเปรียบเทียบตัวเลขเฉพาะกับอะไร? สำหรับดีเทอร์มีแนนต์ของลำดับที่สามอย่างแม่นยำ มีกฎรูปสามเหลี่ยมฮิวริสติก (ภาพ) มีลักษณะดังนี้:

1. ผลคูณขององค์ประกอบหลักในแนวทแยง (จากซ้ายบนไปขวาล่าง) ผลคูณขององค์ประกอบที่ก่อตัวเป็นสามเหลี่ยมแรก "ตั้งฉาก" กับแนวทแยงหลัก ผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบที่ก่อตัวเป็นสามเหลี่ยมที่สอง "ตั้งฉาก" กับหลัก เส้นทแยงมุม
2. ผลคูณขององค์ประกอบในแนวทแยงทุติยภูมิ (จากขวาบนไปซ้ายล่าง) ผลคูณขององค์ประกอบที่ก่อตัวเป็นสามเหลี่ยมแรก "ตั้งฉาก" ถึงเส้นทแยงมุมรอง ผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบที่ก่อตัวเป็นรูปสามเหลี่ยมที่สอง "ตั้งฉาก" ถึง เส้นทแยงมุมรอง
3. จากนั้นดีเทอร์มีแนนต์จะเท่ากับความแตกต่างระหว่างค่าที่ได้รับในขั้นตอนและ

ถ้าเราเขียนทั้งหมดนี้เป็นตัวเลข เราก็จะได้นิพจน์ต่อไปนี้:

อย่างไรก็ตาม คุณไม่จำเป็นต้องจำวิธีการคำนวณในแบบฟอร์มนี้ แค่เก็บสามเหลี่ยมไว้ในหัวและคิดให้ดีว่ามีอะไรเพิ่มเข้าไปในอะไร แล้วอะไรจะถูกหักออกจากอะไร)

ลองอธิบายวิธีสามเหลี่ยมด้วยตัวอย่าง:

1. คำนวณดีเทอร์มีแนนต์:

มาดูกันว่าเราเพิ่มอะไรและลบอะไร:

คำศัพท์ที่มาพร้อมกับ "บวก":

นี่คือเส้นทแยงมุมหลัก: ผลคูณขององค์ประกอบคือ

สามเหลี่ยมแรก "ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลัก: ผลคูณขององค์ประกอบคือ

สามเหลี่ยมที่สอง "ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลัก: ผลคูณขององค์ประกอบคือ

เราเพิ่มตัวเลขสามตัว:

คำศัพท์ที่มาพร้อมกับ "ลบ"

นี่คือเส้นทแยงมุม: ผลคูณขององค์ประกอบคือ

สามเหลี่ยมแรก "ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมรอง: ผลคูณขององค์ประกอบคือ

สามเหลี่ยมที่สอง "ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมรอง: ผลคูณขององค์ประกอบคือ

เราเพิ่มตัวเลขสามตัว:

สิ่งที่ต้องทำคือลบผลบวกของเทอมบวกกับผลบวกลบ:

ทางนี้,

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อนและเหนือธรรมชาติในการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์อันดับสาม สิ่งสำคัญคือต้องจำเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและอย่าทำผิดพลาดทางคณิตศาสตร์ ตอนนี้ลองคำนวณตัวเอง:

เราตรวจสอบ:

1. สามเหลี่ยมแรกตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลัก:
2. สามเหลี่ยมที่สองตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลัก:
3. ผลรวมของเงื่อนไขบวก:
4. สามเหลี่ยมแรกตั้งฉากกับแนวทแยงด้าน:
5. สามเหลี่ยมที่สองตั้งฉากกับแนวทแยงด้าน:
6. ผลรวมของเทอมที่มีเครื่องหมายลบ:
7. ผลรวมของเทอมบวกลบผลบวกลบเทอม:

ต่อไปนี้คือตัวกำหนดอีกสองสามตัวสำหรับคุณ คำนวณค่าของพวกมันด้วยตัวเองและเปรียบเทียบกับคำตอบ:

คำตอบ:

ดีทุกอย่างตรงกันหรือไม่? ดีมาก แล้วไปต่อได้! หากมีปัญหาคำแนะนำของฉันคือ: บนอินเทอร์เน็ตมีโปรแกรมมากมายสำหรับคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ออนไลน์ สิ่งที่คุณต้องมีคือสร้างดีเทอร์มีแนนต์ของคุณเอง คำนวณด้วยตัวเอง แล้วเปรียบเทียบกับสิ่งที่โปรแกรมคำนวณ ไปเรื่อยๆ จนกว่าผลการแข่งขันจะเริ่มตรงกัน ฉันแน่ใจว่าช่วงเวลานี้จะไม่นานมานี้!

ทีนี้กลับไปที่ดีเทอร์มีแนนต์ที่ผมเขียนไว้ตอนพูดถึงสมการระนาบที่ผ่านสาม คะแนนที่ได้รับ:

สิ่งที่คุณต้องทำคือคำนวณค่าของมันโดยตรง (โดยใช้วิธีสามเหลี่ยม) และตั้งค่าผลลัพธ์ให้เท่ากับศูนย์ โดยธรรมชาติแล้ว เนื่องจากพวกมันเป็นตัวแปร คุณจะได้นิพจน์ที่ขึ้นอยู่กับพวกมัน นิพจน์นี้จะเป็นสมการของระนาบที่ผ่านสามจุดที่กำหนดซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว!

มาอธิบายเรื่องนี้ด้วยตัวอย่างง่ายๆ กัน:

1. สร้างสมการระนาบผ่านจุด

เราเขียนดีเทอร์มีแนนต์สำหรับสามจุดเหล่านี้:

ลดความซับซ้อน:

ตอนนี้เราคำนวณโดยตรงตามกฎของสามเหลี่ยม:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ right| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

ดังนั้น สมการของระนาบที่ผ่านจุดคือ

ตอนนี้พยายามแก้ปัญหาด้วยตัวเองแล้วเราจะพูดถึงเรื่องนี้:

2. หาสมการระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ

ทีนี้มาพูดถึงวิธีแก้ปัญหากันตอนนี้:

เราทำดีเทอร์มีแนนต์:

และคำนวณมูลค่าของมัน:

จากนั้นสมการของระนาบจะมีรูปแบบดังนี้

หรือลดลงโดยเราได้รับ:

ตอนนี้มีสองงานสำหรับการควบคุมตนเอง:

1. สร้างสมการของระนาบที่ผ่านสามจุด:

คำตอบ:

ทุกอย่างตรงกันหรือไม่? อีกครั้งหากมีปัญหาบางอย่างคำแนะนำของฉันคือ: คุณเอาสามคะแนนจากหัวของคุณ (ด้วยความน่าจะเป็นสูงที่พวกเขาจะไม่อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว) สร้างเครื่องบินบนนั้น แล้วตรวจสอบตัวเองออนไลน์ ตัวอย่างเช่นบนเว็บไซต์:

อย่างไรก็ตาม ด้วยความช่วยเหลือของดีเทอร์มีแนนต์ เราจะไม่เพียงสร้างสมการของระนาบเท่านั้น จำไว้, ฉันบอกคุณแล้วว่าสำหรับเวกเตอร์, ไม่ใช่แค่ดอทโปรดัคที่ถูกนิยามไว้ นอกจากนี้ยังมีเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์ผสม และถ้าผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวจะเป็นตัวเลข ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวจะเป็นเวกเตอร์ และเวกเตอร์นี้จะตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่ให้มา:

และโมดูลของมันจะเป็น เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์และ. เราจะต้องใช้เวกเตอร์นี้ในการคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง เราจะคำนวณผลคูณของเวกเตอร์ได้อย่างไรและถ้าให้พิกัดของพวกมัน? ดีเทอร์มิแนนต์ของลำดับที่สามมาช่วยเหลือเราอีกครั้ง อย่างไรก็ตาม ก่อนที่ฉันจะไปที่อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณผลคูณ ฉันต้องพูดนอกเรื่องเล็กน้อย

การพูดนอกเรื่องนี้เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์พื้นฐาน

แผนผังจะแสดงในรูป:

ทำไมคุณถึงคิดว่าพวกเขาเรียกว่าพื้นฐาน? ความจริงก็คือ:

หรือในภาพ:

ความถูกต้องของสูตรนี้ชัดเจนเพราะ:

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ตอนนี้ฉันสามารถเริ่มแนะนำผลิตภัณฑ์ข้ามได้:

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวคือเวกเตอร์ที่คำนวณตามกฎต่อไปนี้:

ทีนี้มายกตัวอย่างการคำนวณผลคูณกัน:

ตัวอย่างที่ 1: ค้นหาผลคูณของเวกเตอร์:

วิธีแก้ปัญหา: ฉันสร้างดีเทอร์มีแนนต์:

และฉันคำนวณ:

ตอนนี้ จากการเขียนถึงเวกเตอร์พื้นฐาน ฉันจะกลับไปที่สัญกรณ์เวกเตอร์ปกติ:

ทางนี้:

ตอนนี้ลอง

พร้อม? เราตรวจสอบ:

และตามธรรมเนียมสอง งานในการควบคุม:

1. ค้นหาผลคูณของเวกเตอร์ต่อไปนี้:
2. ค้นหาผลคูณของเวกเตอร์ต่อไปนี้:

คำตอบ:

ผลคูณของเวกเตอร์สามตัว

โครงสร้างสุดท้ายที่ฉันต้องการคือผลคูณของเวกเตอร์สามตัว ก็เหมือนสเกลาร์ มันคือตัวเลข มีสองวิธีในการคำนวณ - ผ่านดีเทอร์มิแนนต์ - ผ่านผลิตภัณฑ์ผสม

สมมุติว่าเรามีเวกเตอร์สามตัว:

จากนั้นผลคูณของเวกเตอร์สามตัวเขียนแทนด้วยสามารถคำนวณได้ดังนี้:

1. - นั่นคือ ผลคูณผสมเป็นผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ และผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์อื่นอีกสองตัว

ตัวอย่างเช่น ผลคูณผสมของเวกเตอร์สามตัวคือ:

ลองคำนวณด้วยตัวเองโดยใช้ผลคูณของเวกเตอร์และตรวจดูให้แน่ใจว่าผลลัพธ์ตรงกัน!

และอีกครั้ง - สองตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:

คำตอบ:

ทางเลือกของระบบพิกัด

ตอนนี้ เรามีพื้นฐานความรู้ที่จำเป็นในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตที่ซับซ้อนแล้ว อย่างไรก็ตาม ก่อนดำเนินการแก้ไขตัวอย่างและอัลกอริทึมโดยตรง ฉันเชื่อว่าจะเป็นประโยชน์หากต้องอาศัยคำถามต่อไปนี้ เลือกระบบพิกัดสำหรับตัวเลขเฉพาะท้ายที่สุด มันเป็นทางเลือกของตำแหน่งสัมพัทธ์ของระบบพิกัดและตัวเลขในอวกาศที่จะเป็นตัวกำหนดว่าการคำนวณจะยุ่งยากเพียงใด

ฉันเตือนคุณว่าในส่วนนี้ เรากำลังพิจารณารูปร่างต่อไปนี้:

1. ทรงลูกบาศก์
2. ปริซึมตรง (สามเหลี่ยม หกเหลี่ยม…)
3. พีระมิด (สามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยม)
4. จัตุรมุข (เหมือนกับปิรามิดสามเหลี่ยม)

สำหรับทรงลูกบาศก์หรือลูกบาศก์ ฉันแนะนำการก่อสร้างต่อไปนี้:

นั่นคือฉันจะวางร่าง "ในมุม" ลูกบาศก์และกล่องเป็นตัวเลขที่ดีมาก สำหรับพวกเขา คุณสามารถค้นหาพิกัดของจุดยอดได้อย่างง่ายดายเสมอ เช่น ถ้า (ตามภาพ)

จากนั้นพิกัดจุดยอดคือ:

แน่นอน คุณไม่จำเป็นต้องจำสิ่งนี้ แต่การจดจำวิธีที่ดีที่สุดในการวางตำแหน่งลูกบาศก์หรือกล่องสี่เหลี่ยมนั้นเป็นสิ่งที่พึงปรารถนา

ปริซึมตรง

ปริซึมเป็นตัวเลขที่เป็นอันตรายมากกว่า คุณสามารถจัดเรียงในช่องว่างได้หลายวิธี อย่างไรก็ตาม ฉันคิดว่าตัวเลือกต่อไปนี้เป็นตัวเลือกที่ดีที่สุด:

ปริซึมสามเหลี่ยม:

นั่นคือ เราวางด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมไว้บนแกนทั้งหมด และจุดยอดจุดหนึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับจุดกำเนิด

ปริซึมหกเหลี่ยม:

นั่นคือจุดยอดจุดหนึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับจุดกำเนิดและด้านใดด้านหนึ่งอยู่บนแกน

ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมและหกเหลี่ยม:

สถานการณ์ที่คล้ายกับลูกบาศก์: เรารวมสองด้านของฐานเข้ากับแกนพิกัด เรารวมจุดยอดจุดหนึ่งเข้ากับจุดกำเนิด ความยากเพียงเล็กน้อยเท่านั้นคือการคำนวณพิกัดของจุด

สำหรับปิรามิดหกเหลี่ยม - เช่นเดียวกับปริซึมหกเหลี่ยม งานหลักอีกครั้งคือการหาพิกัดของจุดยอด

จัตุรมุข (พีระมิดสามเหลี่ยม)

สถานการณ์คล้ายกันมากกับสถานการณ์ที่ฉันให้ไว้สำหรับปริซึมสามเหลี่ยม: จุดยอดหนึ่งจุดตรงกับจุดกำเนิด ด้านหนึ่งอยู่บนแกนพิกัด

ตอนนี้คุณและฉันใกล้จะเริ่มแก้ปัญหาแล้ว จากที่ผมพูดไปในตอนต้นของบทความ คุณสามารถสรุปได้ดังนี้: ปัญหา C2 ส่วนใหญ่แบ่งออกเป็น 2 หมวดหมู่: ปัญหาสำหรับมุมและปัญหาสำหรับระยะทาง อันดับแรก เราจะพิจารณาปัญหาในการหามุม ในทางกลับกันพวกเขาถูกแบ่งออกเป็นหมวดหมู่ต่อไปนี้ (เมื่อความซับซ้อนเพิ่มขึ้น):

ปัญหาในการหามุม

1. การหามุมระหว่างเส้นสองเส้น
2. การหามุมระหว่างระนาบสองระนาบ

ลองพิจารณาปัญหาเหล่านี้ตามลำดับ: เริ่มจากการหามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น จำไว้นะ คุณกับฉันเคยแก้ตัวอย่างที่คล้ายกันมาก่อนหรือไม่? คุณจำได้ เพราะเรามีสิ่งที่คล้ายกันอยู่แล้ว ... เรากำลังมองหามุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว ฉันเตือนคุณว่าถ้าให้เวกเตอร์สองตัว: และพบมุมระหว่างพวกมันจากความสัมพันธ์:

ตอนนี้เรามีเป้าหมายแล้ว - การหามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น หันมาที่ "ภาพแบน":

เราจะได้มุมกี่มุมเมื่อเส้นสองเส้นตัดกัน? ของอยู่แล้ว. จริงอยู่เพียงสองคนเท่านั้นที่ไม่เท่ากันในขณะที่คนอื่นอยู่ในแนวตั้ง (และดังนั้นจึงตรงกับพวกเขา) แล้วมุมใดที่เราควรพิจารณามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น: หรือ? นี่คือกฎ: มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นเสมอกันไม่เกินองศา. นั่นคือ จากสองมุม เราจะเลือกมุมที่มีหน่วยวัดองศาที่เล็กที่สุดเสมอ นั่นคือ ในภาพนี้ มุมระหว่างสองเส้นเท่ากัน เพื่อไม่ให้รบกวนการหามุมที่เล็กที่สุดของทั้งสองทุกครั้ง นักคณิตศาสตร์ที่ฉลาดแกมโกงแนะนำให้ใช้โมดูลนี้ ดังนั้นมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นจึงถูกกำหนดโดยสูตร:

คุณในฐานะผู้อ่านที่ใส่ใจควรมีคำถาม: อันที่จริง เราได้ตัวเลขเหล่านี้ที่เราต้องคำนวณโคไซน์ของมุมจากที่ใด คำตอบ: เราจะเอามันมาจากเวกเตอร์ทิศทางของเส้น! ดังนั้นอัลกอริธึมในการหามุมระหว่างสองเส้นจึงเป็นดังนี้:

1. เราใช้สูตร 1

หรือรายละเอียดเพิ่มเติม:

1. เรากำลังมองหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงเส้นแรก
2. เรากำลังมองหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นที่สอง
3. คำนวณโมดูลัสของผลิตภัณฑ์สเกลาร์
4. เรากำลังมองหาความยาวของเวกเตอร์แรก
5. เรากำลังมองหาความยาวของเวกเตอร์ที่สอง
6. คูณผลลัพธ์ของจุดที่ 4 ด้วยผลลัพธ์ของจุด 5
7. เราหารผลลัพธ์ของจุดที่ 3 ด้วยผลลัพธ์ของจุดที่ 6 เราได้โคไซน์ของมุมระหว่างเส้น
8. ถ้า ผลที่ได้รับช่วยให้คุณคำนวณมุมได้อย่างแม่นยำเรากำลังมองหา
9. มิฉะนั้นเราจะเขียนผ่านอาร์คโคไซน์

ตอนนี้ได้เวลาไปยังงานแล้ว: ฉันจะสาธิตวิธีแก้ปัญหาของสองข้อแรกโดยละเอียดฉันจะนำเสนอวิธีแก้ปัญหาของอีกอันใน สรุปและสำหรับสองปัญหาสุดท้าย ฉันจะให้คำตอบเท่านั้น คุณต้องทำการคำนวณทั้งหมดด้วยตัวเอง

งาน:

1. ใน tet-ra-ed-re ทางขวา ให้ค้นหามุมระหว่าง you-so-that tet-ra-ed-ra และด้าน me-di-a-noy bo-ko-how

2. ทางขวาไปข้างหน้า six-coal-pi-ra-mi-de ร้อย-ro-na-os-no-va-niya จะเท่ากัน และซี่โครงด้านข้างเท่ากัน หามุมระหว่างเส้นตรง เส้นและ.

3. ความยาวของขอบทั้งหมดของผู้ถนัดขวา four-you-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy เท่ากัน จงหามุมระหว่างเส้นตรงและถ้า from-re-zok - you-so- that given pi-ra-mi-dy, the point is se-re-di-on her bo-ko-th rib

4. บนขอบของลูกบาศก์จาก-me-che-ไปยังจุดหนึ่ง เพื่อที่ ค้นหา-di-te มุมระหว่างเส้นตรงกับ

5. จุด - se-re-di-on ที่ขอบของลูกบาศก์ Nai-di-te มุมระหว่างเส้นตรงและ

ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ฉันวางงานตามลำดับนี้ ในขณะที่คุณยังไม่มีเวลาเริ่มสำรวจวิธีการพิกัด ตัวฉันเองจะวิเคราะห์ตัวเลขที่ "มีปัญหา" มากที่สุด และฉันจะปล่อยให้คุณจัดการกับลูกบาศก์ที่ง่ายที่สุด! คุณต้องค่อยๆ เรียนรู้วิธีการทำงานกับตัวเลขทั้งหมด ฉันจะเพิ่มความซับซ้อนของงานจากหัวข้อหนึ่งไปอีกหัวข้อหนึ่ง

มาเริ่มแก้ปัญหากันเลย:

1. วาดจัตุรมุข วางไว้ในระบบพิกัดตามที่ฉันแนะนำไว้ก่อนหน้านี้ เนื่องจากจัตุรมุขเป็นปกติ ใบหน้าทั้งหมด (รวมถึงฐาน) จึงเป็นสามเหลี่ยมปกติ เนื่องจากเราไม่มีความยาวของด้าน ผมจึงใส่ได้เท่ากัน ฉันคิดว่าคุณเข้าใจว่ามุมจะไม่ขึ้นอยู่กับว่าจัตุรมุขของเราจะ "ยืด" มากแค่ไหน? ฉันจะวาดความสูงและค่ามัธยฐานในจัตุรมุขด้วย ระหว่างทางฉันจะวาดฐานของมัน (มันจะมีประโยชน์สำหรับเราด้วย)

ต้องหามุมระหว่าง and เรารู้อะไร? เรารู้แค่พิกัดของจุดเท่านั้น เลยต้องหาพิกัดของจุดเพิ่มเติม ตอนนี้เราคิดว่า: จุดเป็นจุดตัดของความสูง (หรือแบ่งครึ่งหรือค่ามัธยฐาน) ของรูปสามเหลี่ยม จุดเป็นจุดยกระดับ จุดคือจุดกึ่งกลางของส่วน ในที่สุด เราก็ต้องหาพิกัดของจุดต่างๆ : .

เริ่มจากที่ง่ายที่สุด: พิกัดจุด ดูรูป: เห็นได้ชัดว่าการใช้จุดมีค่าเท่ากับศูนย์ (จุดอยู่บนระนาบ) พิกัดเท่ากัน (เพราะเป็นค่ามัธยฐาน) เป็นการยากที่จะหา abscissa ของมัน อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ทำได้ง่ายๆ โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: พิจารณารูปสามเหลี่ยม ด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากัน และขาข้างหนึ่งเท่ากัน จากนั้น:

ในที่สุดเราก็มี:

ทีนี้ลองหาพิกัดของจุดกัน เป็นที่ชัดเจนว่าแอปพลิเคชันมีค่าเท่ากับศูนย์อีกครั้งและลำดับของมันก็เหมือนกับของจุดนั่นคือ มาหาเรื่องไร้สาระกันเถอะ นี้จะทำค่อนข้างเล็กน้อยถ้าใครจำได้ว่า ความสูงของสามเหลี่ยมด้านเท่าหารด้วยจุดตัดตามสัดส่วนนับจากด้านบน ตั้งแต่: ดังนั้น abscissa ที่ต้องการของจุดซึ่งเท่ากับความยาวของส่วนจะเท่ากับ: ดังนั้นพิกัดของจุดคือ:

มาหาพิกัดของจุดกัน เป็นที่ชัดเจนว่า abscissa และ ordinate นั้นตรงกับ abscissa และ ordinate ของจุด และ applique เท่ากับความยาวของเซ็กเมนต์ - นี่คือขาข้างหนึ่งของสามเหลี่ยม ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมคือส่วน - ขา มีการค้นหาเหตุผลที่ฉันเน้นด้วยตัวหนา:

จุดคือจุดกึ่งกลางของส่วน จากนั้นเราต้องจำสูตรพิกัดของส่วนกลางของเซกเมนต์:

เพียงเท่านี้ เราก็สามารถหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางได้แล้ว:

ทุกอย่างพร้อมแล้ว: เราแทนที่ข้อมูลทั้งหมดลงในสูตร:

ทางนี้,

ตอบ:

คุณไม่ควรกลัวคำตอบที่ "แย่มาก" สำหรับปัญหา C2 นี่เป็นวิธีปฏิบัติทั่วไป ฉันค่อนข้างจะประหลาดใจกับคำตอบที่ "สวย" ในส่วนนี้ อย่างที่คุณสังเกตด้วย ฉันไม่ได้หันไปใช้อะไรอื่นนอกจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสและคุณสมบัติของความสูงของสามเหลี่ยมด้านเท่า นั่นคือ เพื่อแก้ปัญหาสเตอริโอเมทริก ผมใช้มิติที่น้อยที่สุด กำไรในส่วนนี้จะ "ดับ" บางส่วนโดยการคำนวณที่ค่อนข้างยุ่งยาก แต่พวกมันค่อนข้างอัลกอริธึม!

2. วาดพีระมิดหกเหลี่ยมปกติพร้อมกับระบบพิกัดเช่นเดียวกับฐาน:

เราต้องหามุมระหว่างเส้นกับ ดังนั้นงานของเราจึงลดลงเพื่อค้นหาพิกัดของจุด: เราจะหาพิกัดของสามตัวสุดท้ายจากรูปวาดเล็กๆ และเราจะหาพิกัดของจุดยอดผ่านพิกัดของจุดนั้น งานเยอะแต่ต้องเริ่ม!

ก) พิกัด: เป็นที่ชัดเจนว่าการสมัครและการกำหนดเป็นศูนย์ มาหา abscissa กันเถอะ ในการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก อนิจจา เรารู้แค่ด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งเท่ากับ เราจะพยายามหาขา (เพราะเห็นได้ชัดว่าความยาวของขาสองเท่าจะทำให้เรามีจุดสิ้นสุด) เราจะมองหาเธอได้อย่างไร? จำกันได้ไหมว่าเรามีรูปร่างแบบใดที่ฐานปิรามิด? นี่คือรูปหกเหลี่ยมปกติ มันหมายความว่าอะไร? ซึ่งหมายความว่าทุกด้านและทุกมุมเท่ากัน เราต้องหามุมแบบนั้นให้ได้ ความคิดใด ๆ? มีความคิดมากมาย แต่มีสูตร:

ผลรวมของมุมของ n-gon ปกติคือ .

ดังนั้น ผลรวมของมุมของรูปหกเหลี่ยมปกติคือองศา แล้วแต่ละมุมจะเท่ากับ:

มาดูรูปกันอีกที เป็นที่ชัดเจนว่าเซ็กเมนต์เป็นครึ่งเสี้ยวของมุม จากนั้นมุมคือองศา แล้ว:

แล้วที่.

จึงมีพิกัด

b) ตอนนี้เราสามารถหาพิกัดของจุดได้อย่างง่ายดาย: .

c) ค้นหาพิกัดของจุด เนื่องจาก abscissa ของมันตรงกับความยาวของส่วนจึงเท่ากัน การหาพิกัดก็ไม่ยากเช่นกัน หากเราเชื่อมต่อจุดต่างๆ และระบุจุดตัดของเส้น ให้พูดแทน (ทำเองก่อสร้างง่ายๆ). ดังนั้น พิกัดของจุด B เท่ากับผลรวมของความยาวของส่วน ลองดูสามเหลี่ยมอีกครั้ง แล้ว

จากนั้นจุดก็มีพิกัด

d) ค้นหาพิกัดของจุด พิจารณาสี่เหลี่ยมแล้วพิสูจน์ว่า ดังนั้นพิกัดของจุดคือ:

จ) ยังคงต้องหาพิกัดของจุดยอด เป็นที่ชัดเจนว่า abscissa และ ordinate นั้นตรงกับ abscissa และ ordinate ของจุด มาหาแอปกัน ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก. โดยสภาพของปัญหาขอบด้านข้าง นี่คือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมของฉัน จากนั้นความสูงของปิรามิดคือขา

จากนั้นจุดจะมีพิกัด:

แค่นั้นแหละ ฉันมีพิกัดของจุดสนใจทั้งหมดให้ฉัน ฉันกำลังมองหาพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง:

เรากำลังมองหามุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้:

ตอบ:

อีกครั้ง เมื่อแก้ปัญหานี้ ฉันไม่ได้ใช้กลอุบายที่ซับซ้อนใดๆ ยกเว้นสูตรสำหรับผลรวมของมุมของ n-gon ปกติ เช่นเดียวกับคำจำกัดความของโคไซน์และไซน์ของสามเหลี่ยมมุมฉาก

3. เนื่องจากเราไม่ได้รับความยาวของขอบในปิรามิดอีกต่อไปฉันจะนับมัน เท่ากับหนึ่ง. ดังนั้นเนื่องจากขอบทั้งหมดและไม่ใช่แค่ด้านข้างเท่านั้นที่เท่ากันดังนั้นที่ฐานของปิรามิดและฉันจึงมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสและใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ ลองวาดภาพปิรามิดดังกล่าวเช่นเดียวกับฐานบนเครื่องบินโดยทำเครื่องหมายข้อมูลทั้งหมดที่ระบุในข้อความของปัญหา:

เรากำลังมองหามุมระหว่างและ ฉันจะทำการคำนวณสั้นๆ เมื่อฉันกำลังมองหาพิกัดของจุดต่างๆ คุณจะต้อง "ถอดรหัส" พวกเขา:

b) - ตรงกลางของส่วน พิกัดของเธอ:

c) ฉันจะหาความยาวของส่วนโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในรูปสามเหลี่ยม ฉันจะหาโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสในรูปสามเหลี่ยม

พิกัด:

d) - ตรงกลางของส่วน พิกัดคือ

จ) พิกัดเวกเตอร์

f) พิกัดเวกเตอร์

g) มองหามุม:

คิวบ์ - รูปที่ง่ายที่สุด. ฉันแน่ใจว่าคุณสามารถคิดออกด้วยตัวคุณเอง คำตอบของปัญหาที่ 4 และ 5 มีดังนี้:

การหามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ

หมดเวลาไขปริศนาง่ายๆ แล้ว! ตอนนี้ตัวอย่างจะยิ่งยากขึ้น ในการหามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ เราจะดำเนินการดังนี้:

1. ใช้สามจุดเราสร้างสมการของระนาบ
   ,
   โดยใช้ดีเทอร์มีแนนต์ลำดับที่สาม
2. สองจุดเรากำลังมองหาพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง:
3. เราใช้สูตรในการคำนวณมุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ:

อย่างที่คุณเห็น สูตรนี้คล้ายกันมากกับสูตรที่เราใช้ในการหามุมระหว่างสองบรรทัด โครงสร้างทางด้านขวาก็เหมือนเดิม และทางซ้ายเรากำลังมองหาไซน์ ไม่ใช่โคไซน์เหมือนเมื่อก่อน มีการเพิ่มการกระทำที่น่ารังเกียจอย่างหนึ่ง - การค้นหาสมการของระนาบ

อย่าให้ชั้น แก้ตัวอย่าง:

1. Os-no-va-ni-em straight-my reward-we are-la-et-xia equal-but-ยากจน-ren-ny triangle-nick you-with- that Prize-เราเท่าเทียมกัน หามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ

2. ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า pa-ral-le-le-pi-pe-de จากทิศตะวันตกของ Nai-di-te ทำมุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ

3. ในปริซึมหกถ่านหินทางขวา ขอบทั้งหมดเท่ากัน หามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ.

4. ใน pi-ra-mi-de สามเหลี่ยมมุมฉากกับ os-but-va-ni-em จากทิศตะวันตกของมุมซี่โครง Nai-di-te, ob-ra-zo-van -ny ระนาบของ os -โน-วา-นิยะและสตรง-มี, ผ่านเส-เร-ดี-นาของซี่โครงและ

5. ความยาวของขอบทั้งหมดของ pi-ra-mi-dy สี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านขวาที่มีส่วนบนเท่ากัน หามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ ถ้าจุดนั้นอยู่บนขอบ bo-ko-in-th ของ pi-ra-mi-dy

อีกครั้ง ฉันจะแก้ปัญหาสองข้อแรกโดยละเอียด ข้อที่สาม - สั้น ๆ และฉันปล่อยให้สองข้อสุดท้ายให้คุณแก้เอง นอกจากนี้คุณต้องจัดการกับสามเหลี่ยมและ .แล้ว ปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมแต่ด้วยปริซึม - ยังไม่มี

โซลูชั่น:

1. วาดปริซึมรวมทั้งฐานของมัน มารวมกับระบบพิกัดและทำเครื่องหมายข้อมูลทั้งหมดที่ระบุในคำสั่งปัญหา:

ฉันขอโทษสำหรับการไม่ปฏิบัติตามสัดส่วน แต่สำหรับการแก้ปัญหานี้ อันที่จริง ไม่สำคัญ เครื่องบินก็แค่” ผนังด้านหลัง» ปริซึมของฉัน แค่เดาว่าสมการของระนาบดังกล่าวมีรูปแบบดังนี้:

อย่างไรก็ตาม สามารถแสดงข้อมูลนี้ได้โดยตรง:

เราเลือกสามจุดโดยพลการบนระนาบนี้: ตัวอย่างเช่น .

มาสร้างสมการระนาบกันเถอะ:

แบบฝึกหัดสำหรับคุณ: คำนวณดีเทอร์มิแนนต์นี้ด้วยตัวเอง คุณประสบความสำเร็จหรือไม่? จากนั้นสมการของระนาบจะมีรูปแบบดังนี้

หรือง่ายๆ

ทางนี้,

ในการแก้ตัวอย่าง ฉันต้องหาพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง พิกัดของเวกเตอร์ก็จะตรงกับพิกัดของจุดนั้น ๆ ในการทำเช่นนี้ อันดับแรก ให้หาพิกัดของจุดนั้นก่อน

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้พิจารณารูปสามเหลี่ยม ลองวาดความสูง (เป็นค่ามัธยฐานและครึ่งวงกลมด้วย) จากด้านบนกัน เนื่องจากจากนั้นพิกัดของจุดจะเท่ากัน ในการหา abscissa ของจุดนี้ เราต้องคำนวณความยาวของส่วนนั้น โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสเรามี:

จากนั้นจุดจะมีพิกัด:

จุดคือ "ยก" บนจุด:

จากนั้นพิกัดของเวกเตอร์:

ตอบ:

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรยากโดยพื้นฐานในการแก้ปัญหาดังกล่าว อันที่จริง "ความตรง" ของตัวเลข เช่น ปริซึม ทำให้กระบวนการง่ายขึ้นอีกเล็กน้อย ทีนี้มาต่อกันที่ตัวอย่างต่อไป:

2. เราวาดเส้นขนานวาดระนาบและเส้นตรงและแยกฐานล่าง:

อันดับแรก เราพบสมการของระนาบ: พิกัดของจุดสามจุดที่อยู่ในนั้น:

(ได้สองพิกัดแรกมา ทางที่ชัดเจนและคุณสามารถค้นหาพิกัดสุดท้ายจากรูปภาพจากจุดนั้นได้อย่างง่ายดาย) จากนั้นเราเขียนสมการของระนาบ:

เราคำนวณ:

เรากำลังมองหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง เป็นที่ชัดเจนว่าพิกัดของมันตรงกับพิกัดของจุดนั้นใช่ไหม จะหาพิกัดได้อย่างไร? นี่คือพิกัดของจุดที่ยกขึ้นตามแกนแอปพลิเคชันทีละหนึ่ง! . จากนั้นเรากำลังมองหามุมที่ต้องการ:

ตอบ:

3. วาดพีระมิดหกเหลี่ยมปกติแล้ววาดระนาบและเส้นตรงเข้าไป

นี่มันเป็นปัญหาแม้กระทั่งการวาดระนาบ ไม่ต้องพูดถึงวิธีแก้ปัญหานี้ แต่วิธีการพิกัดไม่สนใจ! มันอยู่ในความเก่งกาจที่ข้อได้เปรียบหลักอยู่!

เครื่องบินผ่านสามจุด: . เรากำลังมองหาพิกัดของพวกเขา:

หนึ่ง) . แสดงพิกัดของสองจุดสุดท้ายด้วยตัวเอง คุณจะต้องแก้ปัญหาด้วยปิรามิดหกเหลี่ยมเพื่อสิ่งนี้!

2) เราสร้างสมการของระนาบ:

เรากำลังมองหาพิกัดของเวกเตอร์: (ดูปัญหาพีระมิดสามเหลี่ยมอีกครั้ง!)

3) เรากำลังมองหามุม:

ตอบ:

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรยากเหนือธรรมชาติในงานเหล่านี้ คุณเพียงแค่ต้องระวังให้มากกับราก สำหรับปัญหาสองข้อสุดท้ายฉันจะให้คำตอบเท่านั้น:

อย่างที่คุณเห็น เทคนิคในการแก้ปัญหาจะเหมือนกันทุกที่ ภารกิจหลักคือค้นหาพิกัดของจุดยอดและแทนที่มันลงในสูตรบางสูตร เรายังคงต้องพิจารณาปัญหาอีกประเภทหนึ่งในการคำนวณมุม กล่าวคือ:

การคำนวณมุมระหว่างระนาบสองระนาบ

อัลกอริทึมการแก้ปัญหาจะเป็นดังนี้:

1. สำหรับสามจุดเรากำลังมองหาสมการของระนาบแรก:
2. สำหรับอีกสามจุดที่เหลือ เรากำลังหาสมการของระนาบที่สอง:
3. เราใช้สูตร:

อย่างที่คุณเห็น สูตรนี้คล้ายกันมากกับสองสูตรก่อนหน้า โดยเรากำลังมองหามุมระหว่างเส้นตรงและระหว่างเส้นตรงกับระนาบ แล้วคุณจะจำสิ่งนี้ไม่ได้ งานพิเศษ. ข้ามไปที่ปัญหากันเลย:

1. ร้อย ro- บนพื้นฐานของปริซึมสามเหลี่ยมด้านขวามีค่าเท่ากันและไดอะโกนัลของใบหน้าด้านข้างเท่ากัน หามุมระหว่างระนาบกับระนาบของฐานของรางวัล

2. ทางขวาโฟร์ยูรีโคลนอยปีระมีเด ขอบทุกคนเท่ากัน หาไซน์ของมุมระหว่างระนาบกับระนาบโกสตู ผ่าน ประเด็นของ per-pen-di-ku-lyar-but straight-my

3. ในปริซึมสี่ถ่านหินปกติ ด้านข้างของ os-no-va-nia เท่ากัน และขอบด้านข้างเท่ากัน บนขอบจาก-me-che-ถึงจุดนั้น หามุมระหว่างระนาบกับ

4. ในปริซึมสี่เหลี่ยมด้านขวา ด้านข้างของฐานเท่ากัน และขอบด้านข้างเท่ากัน บนขอบจาก-me-che-ถึงจุดนั้น จงหามุมระหว่างระนาบกับ

5. ในลูกบาศก์ จงหา co-si-nus ของมุมระหว่างระนาบกับ

การแก้ปัญหา:

1. ฉันวาดอันที่ถูกต้อง (ที่ฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า) ปริซึมสามเหลี่ยมและฉันทำเครื่องหมายบนเครื่องบินที่ปรากฏในสภาพของปัญหา:

เราจำเป็นต้องหาสมการของระนาบสองระนาบ: สมการฐานได้มาเล็กน้อย: คุณสามารถสร้างดีเทอร์มีแนนต์ที่สอดคล้องกันสำหรับจุดสามจุด แต่ฉันจะสร้างสมการขึ้นมาทันที:

ทีนี้ลองหาสมการ จุดมีพิกัด จุด - เนื่องจาก - ค่ามัธยฐานและความสูงของสามเหลี่ยม มันหาง่ายโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสในรูปสามเหลี่ยม แล้วจุดมีพิกัด: หา applicate ของจุด ในการทำเช่นนี้ให้พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก

จากนั้นเราจะได้พิกัดต่อไปนี้ เราเขียนสมการของระนาบ

เราคำนวณมุมระหว่างระนาบ:

ตอบ:

2. การวาดภาพ:

สิ่งที่ยากที่สุดคือการเข้าใจว่ามันคือระนาบลึกลับประเภทใด โดยผ่านจุดในแนวตั้งฉาก สิ่งสำคัญคือมันคืออะไร? สิ่งสำคัญคือความใส่ใจ! อันที่จริงเส้นนั้นตั้งฉาก เส้นยังตั้งฉาก จากนั้นเครื่องบินที่ผ่านสองเส้นนี้จะตั้งฉากกับเส้นและจะผ่านจุดนั้น เครื่องบินลำนี้บินผ่านยอดพีระมิดด้วย จากนั้นเครื่องบินที่ต้องการ - และเครื่องบินก็มอบให้เราแล้ว เรากำลังมองหาพิกัดของจุด

เราหาพิกัดของจุดผ่านจุด ง่ายที่จะอนุมานจากรูปวาดเล็กๆ ว่าพิกัดของจุดจะเป็นดังนี้: ตอนนี้ยังเหลืออะไรให้ค้นหาเพื่อหาพิกัดของยอดปิรามิด? ยังต้องคำนวนส่วนสูง ทำได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเดียวกัน ขั้นแรก ให้พิสูจน์ว่า เนื่องจากตามเงื่อนไข เรามี:

ตอนนี้ทุกอย่างพร้อมแล้ว: พิกัดจุดสุดยอด:

เราเขียนสมการของระนาบ:

คุณเป็นผู้เชี่ยวชาญในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์อยู่แล้ว คุณจะได้รับ:

หรืออย่างอื่น (ถ้าเราคูณทั้งสองส่วนด้วยรากของสอง)

ทีนี้ลองหาสมการของระนาบ:

(คุณคงไม่ลืมว่าเราได้สมการของระนาบมาได้อย่างไรใช่ไหม ถ้าคุณไม่เข้าใจว่าลบหนึ่งนี่มาจากไหน ก็กลับไปที่นิยามสมการของระนาบ! มันกลับกลายเป็นก่อนหน้านั้นเสมอ ว่าเครื่องบินของฉันเป็นของต้นทาง!)

เราคำนวณดีเทอร์มีแนนต์:

(คุณอาจสังเกตเห็นว่าสมการระนาบใกล้เคียงกับสมการเส้นตรงที่ผ่านจุดต่างๆ และคิดว่าทำไม!)

ตอนนี้เราคำนวณมุม:

เราต้องหาไซน์:

ตอบ:

3. คำถามที่ยุ่งยาก: คืออะไร ปริซึมสี่เหลี่ยม, คุณคิดว่า? มันเป็นเพียงเกมขนานที่รู้จักกันดีสำหรับคุณ! วาดทันที! คุณไม่สามารถวาดภาพฐานแยกจากกันได้ มีประโยชน์เพียงเล็กน้อยจากที่นี่:

ระนาบดังที่เราได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้เขียนเป็นสมการ:

ตอนนี้เราสร้างเครื่องบิน

เราเขียนสมการของระนาบทันที:

มองหามุม

ตอนนี้คำตอบของปัญหาสองข้อสุดท้าย:

ตอนนี้เป็นเวลาที่จะหยุดพักเพราะคุณกับฉันทำได้ดีและทำได้ดีมาก!

พิกัดและเวกเตอร์ ระดับสูง

ในบทความนี้ เราจะพูดถึงปัญหาอีกประเภทหนึ่งที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีการพิกัด: ปัญหาระยะทาง กล่าวคือเราจะพิจารณากรณีต่อไปนี้:

1. การคำนวณระยะห่างระหว่างเส้นเอียง

ฉันได้สั่งงานที่กำหนดเมื่อความซับซ้อนเพิ่มขึ้น ง่ายที่สุดคือหา ชี้ไปที่ระยะทางระนาบและส่วนที่ยากที่สุดคือการค้นหา ระยะห่างระหว่างเส้นตัดกัน. แม้ว่าแน่นอนว่าไม่มีอะไรที่เป็นไปไม่ได้! อย่าผัดวันประกันพรุ่งและดำเนินการพิจารณาปัญหาชั้นหนึ่งทันที:

การคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งถึงระนาบ

เราต้องแก้ปัญหานี้อย่างไร?

1. พิกัดจุด

ดังนั้น ทันทีที่เราได้รับข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมด เราจะใช้สูตร:

คุณน่าจะรู้วิธีที่เราสร้างสมการระนาบจากปัญหาก่อนหน้าที่ผมวิเคราะห์ในส่วนที่แล้ว มาลงมือทำธุรกิจกันเถอะ โครงการมีดังนี้: 1, 2 - ฉันช่วยคุณตัดสินใจและในรายละเอียด 3, 4 - เฉพาะคำตอบเท่านั้นที่คุณตัดสินใจด้วยตัวเองและเปรียบเทียบ เริ่ม!

งาน:

1. ให้ลูกบาศก์ ความยาวขอบของลูกบาศก์คือ Find-di-te ระยะทางจาก se-re-di-ny จากการตัดไปยังแฟลต

2. ให้สิทธิ vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe edge ร้อย ro-on os-no-va-nia เท่ากัน ค้นหาระยะทางเหล่านั้นจากจุดหนึ่งไปยังระนาบโดยที่ - se-re-di-on ที่ขอบ

3. ในรูปสามเหลี่ยมขวา pi-ra-mi-de ที่มี os-but-va-ni-em ขอบอีกด้านเท่ากัน และหนึ่งร้อย ro-on os-no-va-ni-em เท่ากัน ค้นหาระยะทางเหล่านั้นจากด้านบนถึงเครื่องบิน

4. ในปริซึมหกถ่านหินทางขวา ขอบทั้งหมดเท่ากัน หาระยะทางเหล่านั้นจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ

โซลูชั่น:

1. วาดลูกบาศก์ที่มีขอบด้านเดียว สร้างส่วนและระนาบ ระบุตรงกลางของส่วนด้วยตัวอักษร

.

ก่อนอื่น มาเริ่มกันด้วยวิธีง่ายๆ กัน: หาพิกัดของจุด ตั้งแต่นั้นมา (จำพิกัดตรงกลางเซกเมนต์!)

ตอนนี้เราเขียนสมการระนาบสามจุด

\"ซ้าย| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

ตอนนี้ฉันสามารถเริ่มหาระยะทางได้แล้ว:

2. เราเริ่มต้นอีกครั้งด้วยการวาดภาพซึ่งเราทำเครื่องหมายข้อมูลทั้งหมด!

สำหรับปิรามิด จะเป็นประโยชน์ในการวาดฐานแยกจากกัน

ถึงแม้จะวาดเหมือนตีนไก่ก็ไม่สามารถแก้ปัญหานี้ได้ง่ายๆ!

ตอนนี้หาพิกัดของจุดได้ง่ายแล้ว

เนื่องจากพิกัดของจุด

2. เนื่องจากพิกัดของจุด a อยู่ตรงกลางของส่วน ดังนั้น

เราสามารถหาพิกัดของจุดอีก 2 จุดบนระนาบได้อย่างง่ายดาย เราเขียนสมการของระนาบและทำให้ง่ายขึ้น:

\"ซ้าย| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

เนื่องจากจุดมีพิกัด: เราจึงคำนวณระยะทาง:

คำตอบ (หายากมาก!):

อืม เข้าใจมั้ย? สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าทุกอย่างที่นี่เป็นเพียงเทคนิคเช่นเดียวกับในตัวอย่างที่เราพิจารณากับคุณในส่วนที่แล้ว ดังนั้นฉันแน่ใจว่าถ้าคุณเชี่ยวชาญเนื้อหานั้นแล้ว การแก้ปัญหาอีกสองข้อที่เหลือจะไม่ยากสำหรับคุณ ฉันจะให้คำตอบกับคุณ:

การคำนวณระยะทางจากเส้นถึงเครื่องบิน

อันที่จริง ไม่มีอะไรใหม่ที่นี่ เส้นและระนาบจะสัมพันธ์กันได้อย่างไร? พวกมันมีความเป็นไปได้ทั้งหมด ที่จะตัดกัน หรือเส้นตรงขนานกับระนาบ คุณคิดว่าระยะทางจากเส้นตรงถึงระนาบที่เส้นที่กำหนดตัดกันคือเท่าใด สำหรับฉันดูเหมือนว่าชัดเจนว่าระยะทางดังกล่าวเท่ากับศูนย์ กรณีที่ไม่น่าสนใจ

กรณีที่สองนั้นยากกว่า: ที่นี่ระยะทางไม่เป็นศูนย์แล้ว อย่างไรก็ตาม เนื่องจากเส้นตรงขนานกับระนาบ ดังนั้นแต่ละจุดของเส้นจึงอยู่ห่างจากระนาบนี้เท่ากัน:

ทางนี้:

และนี่หมายความว่างานของฉันถูกลดขนาดไปเป็นงานก่อนหน้า: เรากำลังมองหาพิกัดของจุดใดๆ บนเส้น เรากำลังมองหาสมการของระนาบ เราคำนวณระยะทางจากจุดนั้นไปยังระนาบ อันที่จริงงานดังกล่าวในการสอบนั้นหายากมาก ฉันจัดการเพื่อค้นหาปัญหาเพียงข้อเดียวและข้อมูลในนั้นทำให้วิธีการพิกัดไม่สามารถใช้ได้กับมันมากนัก!

ตอนนี้เรามาดูปัญหาอื่นที่สำคัญกว่ากันมาก:

การคำนวณระยะทางของจุดหนึ่งไปยังเส้นตรง

เราต้องการอะไร?

1. พิกัดของจุดที่เราต้องการหาระยะทาง:

2. พิกัดของจุดใดๆ ที่วางอยู่บนเส้นตรง

3. พิกัดเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

เราใช้สูตรอะไร?

ตัวส่วนของเศษส่วนนี้มีความหมายต่อคุณอย่างไร และควรมีความชัดเจน: นี่คือความยาวของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง นี่เป็นตัวเศษที่ยุ่งยากมาก! นิพจน์หมายถึงโมดูล (ความยาว) ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์และวิธีคำนวณผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เราศึกษาในส่วนก่อนหน้าของงาน รีเฟรชความรู้ของคุณจะเป็นประโยชน์กับเราในขณะนี้!

ดังนั้นอัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาจะเป็นดังนี้:

1. เรากำลังมองหาพิกัดของจุดที่เราต้องการหาระยะทาง:

2. เรากำลังมองหาพิกัดของจุดใด ๆ บนเส้นที่เรากำลังมองหาระยะทาง:

3. การสร้างเวกเตอร์

4. เราสร้างเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

5. คำนวณผลคูณ

6. เรากำลังมองหาความยาวของเวกเตอร์ผลลัพธ์:

7. คำนวณระยะทาง:

เรามีงานมากมายและตัวอย่างจะค่อนข้างซับซ้อน! ดังนั้นตอนนี้เน้นความสนใจของคุณทั้งหมด!

1. Dana เป็นปิรามิดาสามเหลี่ยมมือขวาที่มีจุดยอด หนึ่งร้อยโรออน os-no-va-niya pi-ra-mi-dy เท่ากัน you-so-ta เท่ากัน หาระยะทางเหล่านั้นจากเซเรดินีของขอบโบโคถึงเส้นตรง โดยที่จุดและคือซีเรดินีของซี่โครงและโคจาก -stven-แต่.

2. ความยาวของซี่โครงและมุมฉาก-no-para-ral-le-le-pi-pe-da เท่ากันตามลำดับ และระยะ Find-di-te จาก top-shi-ny ถึง straight-my

3. ในปริซึมหกถ่านหินทางขวา ขอบทั้งหมดของฝูงมีระยะห่างเท่ากันจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรง

โซลูชั่น:

1. เราวาดรูปอย่างเรียบร้อยซึ่งเราทำเครื่องหมายข้อมูลทั้งหมด:

เรามีงานมากมายให้คุณ! ก่อนอื่นฉันขออธิบายเป็นคำพูดว่าเราจะมองหาอะไรและเรียงลำดับอย่างไร:

1. พิกัดของจุดและ

2. พิกัดจุด

3. พิกัดของจุดและ

4. พิกัดของเวกเตอร์และ

5. ผลิตภัณฑ์ข้ามของพวกเขา

6. ความยาวของเวกเตอร์

7. ความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

8. ระยะทางจากถึง

เรามีงานต้องทำมากมาย! มาพับแขนเสื้อกันเถอะ!

1. ในการหาพิกัดความสูงของปิรามิดนั้น เราต้องรู้พิกัดของจุดนั้นเสียก่อน โดยมีค่า 0 และค่าพิกัดเท่ากับ abscissa ในที่สุด เราก็ได้พิกัด:

พิกัดจุด

2. - กลางเซกเมนต์

3. - ตรงกลางของกลุ่ม

จุดกึ่งกลาง

4.พิกัด

พิกัดเวกเตอร์

5. คำนวณผลคูณของเวกเตอร์:

6. ความยาวของเวกเตอร์: วิธีที่ง่ายที่สุดคือการแทนที่ส่วนนั้นเป็นเส้นกลางของสามเหลี่ยม ซึ่งหมายความว่ามันเท่ากับครึ่งหนึ่งของฐาน ดังนั้น.

7. เราพิจารณาความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

8. สุดท้าย หาระยะทาง:

วุ้ย นั่นคือทั้งหมด! บอกตามตรง ฉันจะบอกคุณว่า การแก้ปัญหานี้ด้วยวิธีการแบบเดิม (ผ่านโครงสร้าง) จะเร็วกว่ามาก แต่ที่นี่ฉันลดทุกอย่างให้เป็นอัลกอริธึมสำเร็จรูป! ฉันคิดว่าอัลกอริทึมการแก้ปัญหานั้นชัดเจนสำหรับคุณ? ดังนั้นฉันจะขอให้คุณแก้ปัญหาที่เหลืออีกสองปัญหาด้วยตัวคุณเอง เปรียบเทียบคำตอบ?

ฉันขอย้ำอีกครั้งว่า ง่ายกว่า (เร็วกว่า) ในการแก้ปัญหาเหล่านี้ผ่านโครงสร้าง แทนที่จะหันไปใช้วิธีพิกัด ฉันแสดงวิธีการแก้ปัญหานี้เพื่อแสดงให้คุณเห็นถึงวิธีการที่เป็นสากลซึ่งช่วยให้คุณ "ทำอะไรไม่เสร็จ"

สุดท้าย ให้พิจารณาปัญหาชั้นสุดท้าย:

การคำนวณระยะห่างระหว่างเส้นเอียง

ที่นี่อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาจะคล้ายกับก่อนหน้านี้ สิ่งที่เรามี:

3. เวกเตอร์ใด ๆ ที่เชื่อมต่อจุดของบรรทัดแรกและบรรทัดที่สอง:

เราจะหาระยะห่างระหว่างเส้นได้อย่างไร?

สูตรคือ:

ตัวเศษเป็นโมดูลของผลิตภัณฑ์ผสม (เราแนะนำในส่วนก่อนหน้า) และตัวส่วน - เช่นเดียวกับในสูตรก่อนหน้า (โมดูลของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์กำกับของเส้น ระยะห่างระหว่างที่เรากำลังมองหา สำหรับ).

ฉันจะเตือนเธอว่า

แล้ว สูตรระยะทางสามารถเขียนใหม่เป็น:

หารดีเทอร์มีแนนต์นี้ด้วยดีเทอร์มีแนนต์! แม้ว่าตามจริงแล้ว ฉันไม่มีอารมณ์จะเล่นตลกที่นี่! สูตรนี้อันที่จริงมีความยุ่งยากมากและนำไปสู่การคำนวณที่ค่อนข้างซับซ้อน ถ้าฉันเป็นเธอ ฉันจะใช้มันเป็นทางเลือกสุดท้าย!

ลองแก้ปัญหาเล็กน้อยโดยใช้วิธีการข้างต้น:

1. ในปริซึมสามเหลี่ยมด้านขวา ขอบทั้งหมดเท่ากัน จงหาระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับ

2. จากปริซึมสามเหลี่ยมหน้าขวา ขอบทั้งหมดของ os-no-va-niya ของใครบางคนมีค่าเท่ากับ Se-che-tion ผ่านซี่โครงอีกอันและซี่โครง se-re-di-nu คือ yav-la-et-sya สแควร์-รา-ทอม Find-di-te dis-sto-I-nie ระหว่าง straight-we-mi และ

ฉันตัดสินใจอย่างแรก และคุณตัดสินใจครั้งที่สอง!

1. ฉันวาดปริซึมและทำเครื่องหมายเส้นและ

พิกัดจุด C: แล้ว

พิกัดจุด

พิกัดเวกเตอร์

พิกัดจุด

พิกัดเวกเตอร์

พิกัดเวกเตอร์

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

เราพิจารณาผลคูณระหว่างเวกเตอร์กับ

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

ตอนนี้เราพิจารณาความยาวของมัน:

ตอบ:

ตอนนี้พยายามทำงานที่สองให้เสร็จอย่างระมัดระวัง คำตอบก็คือ:.

พิกัดและเวกเตอร์ คำอธิบายสั้น ๆ และสูตรพื้นฐาน

เวกเตอร์เป็นส่วนกำกับ - จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ - จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์
เวกเตอร์แสดงด้วยหรือ

ค่าสัมบูรณ์ vector - ความยาวของส่วนที่แทนเวกเตอร์ กำหนดให้เป็น

พิกัดเวกเตอร์:

,
จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ \displaystyle a อยู่ที่ไหน

ผลรวมของเวกเตอร์: .

ผลคูณของเวกเตอร์:

ผลคูณดอทของเวกเตอร์: