ตัวเลขจริง II

§ 44 การแสดงทางเรขาคณิตของจำนวนจริง

จำนวนจริงทางเรขาคณิต เช่น จำนวนตรรกยะ จะแสดงด้วยจุดบนเส้นตรง

ปล่อยให้เป็น l - เส้นตรงตามอำเภอใจและ O - บางจุด (รูปที่ 58) ทุกจำนวนจริงบวก α ใส่จดหมายจุด A นอนทางด้านขวาของ O ที่ระยะห่างของ α หน่วยของความยาว

ถ้า ตัวอย่างเช่น α = 2.1356... แล้ว

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

เป็นต้น เป็นที่ชัดเจนว่าจุด A ในกรณีนี้ต้องอยู่บนเส้น l ทางด้านขวาของจุดที่ตรงกับตัวเลข

2; 2,1; 2,13; ... ,

แต่ทางด้านซ้ายของจุดที่ตรงกับตัวเลข

3; 2,2; 2,14; ... .

สามารถแสดงว่าเงื่อนไขเหล่านี้กำหนดในบรรทัด l จุดเดียว A ซึ่งเราถือว่าเป็นภาพเรขาคณิตของจำนวนจริง α = 2,1356... .

ในทำนองเดียวกัน ทุกจำนวนจริงติดลบ β วางจุด B ไว้ทางด้านซ้ายของ O ที่ระยะห่าง | β | หน่วยของความยาว สุดท้ายเรากำหนดจุด O ให้กับตัวเลข "ศูนย์"

ดังนั้นหมายเลข 1 จะแสดงเป็นเส้นตรง l จุด A ซึ่งอยู่ทางด้านขวาของ O ที่ระยะทางหนึ่งหน่วยของความยาว (รูปที่ 59) หมายเลข - √2 - จุด B ซึ่งอยู่ทางด้านซ้ายของ O ที่ระยะทาง √2 หน่วยของความยาว ฯลฯ

เรามาแสดงวิธีการเป็นเส้นตรงกันดีกว่า l โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด คุณสามารถหาจุดที่ตรงกับจำนวนจริง √2, √3, √4, √5 ฯลฯ ในการทำเช่นนี้ ก่อนอื่นเราจะแสดงวิธีสร้างส่วนที่แสดงความยาวโดย ตัวเลขเหล่านี้ ให้ AB เป็นส่วนที่ใช้เป็นหน่วยความยาว (รูปที่ 60)

ที่จุด A เราคืนค่าฉากตั้งฉากกับส่วนนี้และแยกส่วน AC ไว้บนนั้น เท่ากับส่วน AB จากนั้นนำทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC เราจะได้ BC \u003d √AB 2 + AC 2 \u003d √1 + 1 \u003d √2

ดังนั้นเซ็กเมนต์ BC จึงมีความยาว √2 ตอนนี้ให้เราคืนค่าฉากตั้งฉากกับส่วน BC ที่จุด C และเลือกจุด D บนนั้นเพื่อให้ส่วน CD เป็น เท่ากับหนึ่งความยาวเอบี จากนั้นจาก สามเหลี่ยมมุมฉาก BCD ค้นหา:

ВD \u003d √BC 2 + CD 2 \u003d √2 + 1 \u003d √3

ดังนั้นเซ็กเมนต์ BD จึงมีความยาว √3 ดำเนินการต่อตามกระบวนการที่อธิบายไว้เพิ่มเติม เราจะได้ส่วน BE, BF, ... ซึ่งความยาวแสดงด้วยตัวเลข √4, √5 ฯลฯ

ตอนนี้อยู่ในสาย l มันง่ายที่จะหาจุดที่ทำหน้าที่เป็นทางเรขาคณิตของตัวเลข √2, √3, √4, √5 ฯลฯ

ตัวอย่างเช่น การวางทางด้านขวาของจุด O ในส่วน BC (รูปที่ 61) เราจะได้จุด C ซึ่งทำหน้าที่เป็นตัวแทนทางเรขาคณิตของตัวเลข √2 ในทำนองเดียวกัน การเลื่อนเซ็กเมนต์ BD ไปทางขวาของจุด O เราจะได้จุด D" ซึ่งเป็นภาพเรขาคณิตของตัวเลข √3 เป็นต้น

อย่างไรก็ตาม เราไม่ควรคิดว่าด้วยความช่วยเหลือของเข็มทิศและไม้บรรทัดบนเส้นจำนวน l เราสามารถหาจุดที่ตรงกับจำนวนจริงใดๆ ที่ระบุได้ ได้รับการพิสูจน์แล้ว ตัวอย่างเช่น มีเพียงเข็มทิศและไม้บรรทัดเท่านั้น เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างส่วนที่มีความยาวแสดงด้วยตัวเลข π = 3.14 .... . บนเส้นจำนวน l การใช้โครงสร้างดังกล่าวทำให้ไม่สามารถระบุจุดที่สอดคล้องกับตัวเลขนี้ได้ อย่างไรก็ตาม ประเด็นดังกล่าวยังคงมีอยู่

ดังนั้นสำหรับจำนวนจริงทุกจำนวน α เป็นไปได้ที่จะเชื่อมโยงจุดที่กำหนดไว้อย่างดีของเส้น l . จุดนี้จะถูกแยกออกจากจุดเริ่มต้น O ที่ระยะทาง | α | หน่วยของความยาวและอยู่ทางขวาของ O if α > 0 และทางซ้ายของ O if α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две จุดต่างๆตรง l . แท้จริงให้ตัวเลข α ตรงกับจุด A และตัวเลข β - จุด B. ถ้า α > β จากนั้น A จะอยู่ทางด้านขวาของ B (รูปที่ 62, a); ถ้า α < β จากนั้น A จะนอนทางด้านซ้ายของ B (รูปที่ 62, b)

เมื่อพูดถึง § 37 เกี่ยวกับการแทนค่าทางเรขาคณิตของจำนวนตรรกยะ เราตั้งคำถามว่า จุดใดๆ ของเส้นตรงสามารถถือเป็นภาพเรขาคณิตของบางจุดได้หรือไม่ มีเหตุผลตัวเลข? ในเวลานั้นเราไม่สามารถให้คำตอบสำหรับคำถามนี้ได้ ตอนนี้เราสามารถตอบได้ค่อนข้างแน่นอน มีจุดบนเส้นตรงที่ใช้เป็นภาพเรขาคณิต จำนวนอตรรกยะ(เช่น √2 ). ดังนั้น ไม่ใช่ทุกจุดบนเส้นตรงที่แสดงถึงจำนวนตรรกยะ แต่ในกรณีนี้ มีคำถามอีกประการหนึ่งว่า จุดใดๆ ของเส้นจริงสามารถถือเป็นภาพเรขาคณิตของบางส่วนได้หรือไม่ ถูกต้องตัวเลข? ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขแล้วในเชิงบวก

อันที่จริงให้ A เป็นจุดใดก็ได้บนเส้น l , นอนทางด้านขวาของ O (รูปที่ 63).

ความยาวของเซกเมนต์ OA แสดงด้วยจำนวนจริงบวกจำนวนหนึ่ง α (ดู§ 41) ดังนั้นจุด A จึงเป็นภาพเรขาคณิตของตัวเลข α . ในทำนองเดียวกัน เป็นที่ยอมรับว่าแต่ละจุด B ซึ่งอยู่ทางด้านซ้ายของ O ถือได้ว่าเป็นภาพเรขาคณิตของจำนวนจริงเชิงลบ - β , ที่ไหน β - ความยาวของเซ็กเมนต์ VO สุดท้าย จุด O ทำหน้าที่เป็นตัวแทนทางเรขาคณิตของจำนวนศูนย์ เป็นที่ชัดเจนว่าจุดสองจุดที่แตกต่างกันของเส้น l ไม่สามารถเป็นภาพเรขาคณิตของจำนวนจริงเดียวกันได้

ด้วยเหตุผลที่กล่าวข้างต้น จะเรียกเส้นตรงซึ่งบางจุด O ถูกระบุว่าเป็นจุด "เริ่มต้น" (สำหรับหน่วยความยาวที่กำหนด) เส้นจำนวน.

บทสรุป. เซตของจำนวนจริงทั้งหมดและเซตของจุดทั้งหมดของเส้นจริงอยู่ในการติดต่อกันแบบหนึ่งต่อหนึ่ง

ซึ่งหมายความว่าจำนวนจริงแต่ละจำนวนจะสัมพันธ์กับจุดหนึ่งจุดที่กำหนดไว้อย่างดีของเส้นจำนวน และในทางกลับกัน กับจุดแต่ละจุดของเส้นจำนวนที่มีความสอดคล้องกัน จะมีจำนวนจริงที่กำหนดไว้อย่างดีหนึ่งจำนวน

การออกกำลังกาย

320. ค้นหาว่าจุดใดในสองจุดที่อยู่บนเส้นจำนวนทางซ้ายและจุดไหนทางขวา หากจุดเหล่านี้ตรงกับตัวเลข:

ก) 1.454545... และ 1.455454...; ค) 0 และ - 1.56673...;

b) - 12.0003... และ - 12.0002...; ง) 13.24... และ 13.00 น....

321. ค้นหาว่าจุดใดในสองจุดที่ไกลจากจุดเริ่มต้น O บนเส้นจำนวน หากจุดเหล่านี้ตรงกับตัวเลข:

ก) 5.2397... และ 4.4996...; .. ค) -0.3567... และ 0.3557... .

ง) - 15.0001 และ - 15.1000...;

322. ในส่วนนี้แสดงให้เห็นว่าการสร้างส่วนของความยาว √ น โดยใช้เข็มทิศและเส้นตรง คุณสามารถทำสิ่งต่อไปนี้: ขั้นแรกให้สร้างส่วนที่มีความยาว √2 จากนั้นจึงสร้างส่วนที่มีความยาว √3 เป็นต้น จนกว่าเราจะไปถึงส่วนที่มีความยาว √ น . แต่สำหรับการซ่อมทุกครั้ง พี > 3 กระบวนการนี้สามารถเร่งได้ ตัวอย่างเช่น คุณจะเริ่มสร้างส่วนที่มีความยาว √10 ได้อย่างไร

323*. วิธีใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดหาจุดบนเส้นจำนวนที่ตรงกับตัวเลข 1 / α , ถ้าตำแหน่งของจุดที่ตรงกับตัวเลข α , เป็นที่รู้จัก?

เส้นจำนวน แกนตัวเลข คือเส้นที่แสดงตัวเลขจริง บนเส้นตรง เลือกจุดเริ่มต้น - จุด O (จุด O แทน 0) และจุด L แทนหน่วย จุด L มักจะยืนอยู่ทางด้านขวาของจุด O ส่วน OL เรียกว่าส่วนของหน่วย

จุดทางด้านขวาของจุด O แทนจำนวนบวก จุดทางด้านซ้ายของจุด โอ้ แสดงตัวเลขติดลบ หากจุด X แทนจำนวนบวก x แล้วระยะทาง OX = x หากจุด X แทนจำนวนลบ x แล้วระยะทาง OX = - x

ตัวเลขที่แสดงตำแหน่งของจุดบนเส้นตรงเรียกว่าพิกัดของจุดนี้

จุด V ที่แสดงในรูปมีพิกัด 2 และจุด H มีพิกัด -2.6

โมดูลัสของจำนวนจริงคือระยะทางจากจุดกำเนิดถึงจุดที่สัมพันธ์กับจำนวนนี้ กำหนดโมดูลัสของจำนวน x ดังนั้น: | x |. แน่นอน | 0 | = 0.

หากจำนวน x มากกว่า 0 ดังนั้น | x | = x และถ้า x น้อยกว่า 0 แล้ว | x | = - x. ในคุณสมบัติเหล่านี้ของโมดูล การแก้สมการและความไม่เท่าเทียมกันหลายอย่างกับโมดูลจะขึ้นอยู่กับการแก้สมการ

ตัวอย่าง: แก้สมการ | x - 3 | = 1

วิธีแก้ไข: พิจารณาสองกรณี - กรณีแรกเมื่อ x -3 > 0 และกรณีที่สอง เมื่อ x - 3 0

1. x - 3 > 0, x > 3

ในกรณีนี้ | x - 3 | = x - 3

สมการอยู่ในรูปแบบ x - 3 \u003d 1, x \u003d 4. 4\u003e 3 - เป็นไปตามเงื่อนไขแรก

2. x -3 0, x 3

ในกรณีนี้ | x - 3 | = - x + 3

สมการอยู่ในรูปแบบ x + 3 \u003d 1, x \u003d - 2 -2 3 - เป็นไปตามเงื่อนไขที่สอง

คำตอบ: x = 4, x = -2

นิพจน์ตัวเลข

นิพจน์ตัวเลขคือชุดของตัวเลขและฟังก์ชันตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปที่เชื่อมต่อกันด้วยตัวดำเนินการเลขคณิตและวงเล็บ
ตัวอย่างของนิพจน์ตัวเลข:

ค่าของนิพจน์ตัวเลขคือตัวเลข
การดำเนินการในนิพจน์ตัวเลขจะดำเนินการในลำดับต่อไปนี้:

1. การดำเนินการในวงเล็บ

2. การคำนวณฟังก์ชัน

3. การยกกำลัง

4. การคูณและการหาร

5. การบวกและการลบ

6. การดำเนินการประเภทเดียวกันจะดำเนินการจากซ้ายไปขวา

ดังนั้นค่าของนิพจน์แรกจะเป็นตัวเลขเอง 12.3
ในการคำนวณค่าของนิพจน์ที่สอง เราจะดำเนินการตามลำดับต่อไปนี้:

1. ดำเนินการในวงเล็บตามลำดับต่อไปนี้ - ก่อนอื่นเราเพิ่ม 2 ยกกำลังสาม จากนั้นลบ 11 ออกจากจำนวนผลลัพธ์:

3 4 + (23 - 11) = 3 4 + (8 - 11) = 3 4 + (-3)

2. คูณ 3 ด้วย 4:

3 4 + (-3) = 12 + (-3)

3. ดำเนินการตามลำดับจากซ้ายไปขวา:

12 + (-3) = 9.
นิพจน์ที่มีตัวแปรคือชุดของตัวเลข ตัวแปร และฟังก์ชันตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปที่เชื่อมต่อกันด้วยตัวดำเนินการเลขคณิตและวงเล็บ ค่าของนิพจน์ที่มีตัวแปรขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น ลำดับของการดำเนินการที่นี่เหมือนกับนิพจน์ตัวเลข บางครั้งอาจมีประโยชน์ในการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นด้วยตัวแปรโดยดำเนินการต่างๆ เช่น วงเล็บ การขยายวงเล็บ การจัดกลุ่ม การลดเศษส่วน การลดจำนวนที่คล้ายกัน ฯลฯ นอกจากนี้ เพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ มักใช้สูตรต่างๆ เช่น สูตรคูณแบบย่อ คุณสมบัติของฟังก์ชันต่างๆ เป็นต้น

นิพจน์พีชคณิต.

นิพจน์พีชคณิตคือปริมาณเชิงพีชคณิตตั้งแต่หนึ่งรายการขึ้นไป (ตัวเลขและตัวอักษร) ที่เชื่อมต่อกันด้วยสัญญาณของการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต: การบวก การลบ การคูณและการหาร รวมถึงการดึงรากและการยกกำลังเป็นจำนวนเต็ม (ยิ่งไปกว่านั้น รูตและเลขชี้กำลังจะต้องจำเป็น เป็นจำนวนเต็ม) และสัญญาณของลำดับของการกระทำเหล่านี้ (โดยปกติคือวงเล็บ ชนิดที่แตกต่าง). จำนวนปริมาณที่รวมอยู่ใน นิพจน์พีชคณิตควรเป็นที่สิ้นสุด

ตัวอย่างของนิพจน์พีชคณิต:

"นิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิต" เป็นแนวคิดเกี่ยวกับวากยสัมพันธ์ กล่าวคือ บางอย่างเป็นนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตก็ต่อเมื่อเป็นไปตามกฎไวยากรณ์บางอย่างเท่านั้น (ดู ไวยากรณ์ทางการ) หากตัวอักษรในนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตถือเป็นตัวแปร นิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตจะได้รับความหมายของฟังก์ชันพีชคณิต

จากหลากหลาย ชุดที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือสิ่งที่เรียกว่า ชุดตัวเลขนั่นคือ ชุดที่มีองค์ประกอบเป็นตัวเลข เป็นที่ชัดเจนว่าเพื่อการทำงานที่สะดวกสบายกับพวกเขา คุณต้องสามารถจดบันทึกไว้ได้ ด้วยสัญกรณ์และหลักการเขียนเซตตัวเลข เราจะเริ่มบทความนี้ จากนั้นเราจะพิจารณาว่าชุดตัวเลขแสดงบนเส้นพิกัดอย่างไร

การนำทางหน้า

การเขียนชุดตัวเลข

เริ่มจากสัญกรณ์ที่ยอมรับกันก่อน ดังที่ทราบกันดีว่าตัวพิมพ์ใหญ่ของอักษรละตินใช้เพื่อกำหนดชุด ชุดตัวเลขเช่น กรณีพิเศษชุดจะแสดงด้วย ตัวอย่างเช่น เราสามารถพูดถึงชุดตัวเลข A , H , W ฯลฯ สิ่งที่สำคัญเป็นพิเศษคือชุดของจำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็ม ตรรกยะ จำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน ฯลฯ ซึ่งใช้การกำหนดของตนเอง:

• N คือเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด
• Z คือเซตของจำนวนเต็ม
• Q คือเซตของจำนวนตรรกยะ
• J คือเซตของจำนวนอตรรกยะ
• R คือเซตของจำนวนจริง
• C คือเซตของจำนวนเชิงซ้อน

จากนี้ เป็นที่ชัดเจนว่าไม่จำเป็นต้องระบุเซตที่ประกอบด้วย ตัวอย่างเช่น ของตัวเลขสองตัว 5 และ −7 เป็น Q การกำหนดนี้จะทำให้เข้าใจผิด เนื่องจากตัวอักษร Q มักจะหมายถึงเซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมด ในการกำหนดชุดตัวเลขที่ระบุ ควรใช้ตัวอักษร "เป็นกลาง" อื่น เช่น A

เนื่องจากเรากำลังพูดถึงสัญกรณ์ ในที่นี้เรายังจำสัญกรณ์ของเซตว่าง นั่นคือ ชุดที่ไม่มีองค์ประกอบ มันเขียนแทนด้วยเครื่องหมาย ∅

ให้เราระลึกถึงการกำหนดสมาชิกภาพและการไม่เป็นสมาชิกขององค์ประกอบในชุด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้เครื่องหมาย ∈ - เป็นของ และ ∉ - ไม่เป็นของ ตัวอย่างเช่น รายการ 5∈N หมายความว่าหมายเลข 5 เป็นของชุดของตัวเลขธรรมชาติ และ 5.7∉Z - เศษส่วนทศนิยม 5.7 ไม่ได้อยู่ในชุดของจำนวนเต็ม

ขอให้เราระลึกถึงสัญกรณ์ที่นำมาใช้เพื่อรวมชุดหนึ่งไว้ในชุดอื่น เป็นที่ชัดเจนว่าองค์ประกอบทั้งหมดของเซต N รวมอยู่ในเซต Z ดังนั้น ชุดตัวเลข N รวมอยู่ใน Z ซึ่งแสดงเป็น N⊂Z คุณยังสามารถใช้สัญกรณ์ Z⊃N ได้ ซึ่งหมายความว่าเซตของจำนวนเต็ม Z รวมเซต N ความสัมพันธ์ที่ไม่รวมและไม่รวมจะแสดงด้วยเครื่องหมาย ⊄ และ ตามลำดับ นอกจากนี้ยังใช้เครื่องหมายการรวมที่ไม่เข้มงวดของรูปแบบ ⊆ และ ⊇ ซึ่งหมายถึง ตามลำดับ รวมหรือจับคู่และรวมหรือตรงกัน

เราพูดถึงสัญกรณ์แล้ว มาดูคำอธิบายของเซตตัวเลขกัน ในกรณีนี้ เราจะพูดถึงเฉพาะกรณีหลักที่มักใช้ในทางปฏิบัติเท่านั้น

เริ่มต้นด้วยชุดตัวเลขที่มีองค์ประกอบจำนวนจำกัดและน้อย ชุดตัวเลขที่ประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนจำกัดสามารถอธิบายได้อย่างสะดวกโดยการแสดงรายการองค์ประกอบทั้งหมด องค์ประกอบตัวเลขทั้งหมดเขียนโดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาคและอยู่ใน , ซึ่งสอดคล้องกับ common ตั้งกฎคำอธิบาย. ตัวอย่างเช่น ชุดที่ประกอบด้วยตัวเลขสามตัว 0 , −0.25 และ 4/7 สามารถอธิบายได้ว่าเป็น (0, −0.25, 4/7)

บางครั้ง เมื่อจำนวนขององค์ประกอบของชุดตัวเลขมีขนาดใหญ่เพียงพอ แต่องค์ประกอบนั้นเป็นไปตามรูปแบบบางอย่าง จุดไข่ปลาถูกใช้เพื่ออธิบาย ตัวอย่างเช่น ชุดของเลขคี่ทั้งหมดตั้งแต่ 3 ถึง 99 สามารถเขียนเป็น (3, 5, 7, ..., 99)

ดังนั้นเราจึงเข้าหาคำอธิบายของเซตตัวเลขอย่างราบรื่น ซึ่งจำนวนขององค์ประกอบนั้นไม่มีที่สิ้นสุด บางครั้งสามารถอธิบายได้โดยใช้จุดไข่ปลาเดียวกันทั้งหมด ตัวอย่างเช่น อธิบายเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด: N=(1, 2. 3, …)

พวกเขายังใช้คำอธิบายของชุดตัวเลขโดยระบุคุณสมบัติขององค์ประกอบ ในกรณีนี้ จะใช้สัญกรณ์ (x| คุณสมบัติ) ตัวอย่างเช่น สัญกรณ์ (n| 8 n+3, n∈N) กำหนดเซตของจำนวนธรรมชาติที่เมื่อหารด้วย 8 ให้เหลือเศษ 3 ชุดเดียวกันสามารถอธิบายได้ว่า (11,19, 27, ...)

ในกรณีพิเศษ ชุดตัวเลขที่มีองค์ประกอบจำนวนอนันต์เป็นที่รู้จัก ชุด N , Z , R ฯลฯ หรือช่องว่างของตัวเลข และโดยทั่วไป ชุดตัวเลขจะแสดงเป็น ยูเนี่ยนช่วงตัวเลขแต่ละช่วงที่ประกอบขึ้นเป็นชุดและชุดตัวเลขที่มีองค์ประกอบจำนวนจำกัด (ซึ่งเราพูดถึงสูงกว่านี้เล็กน้อย)

มาแสดงตัวอย่างกัน ให้ชุดตัวเลขเป็นตัวเลข −10 , −9 , −8.56 , 0 , ตัวเลขทั้งหมดของช่วง [-5, −1.3] และตัวเลขของรังสีตัวเลขเปิด (7, +∞) โดยอาศัยคำจำกัดความของการรวมกันของเซต ชุดตัวเลขที่ระบุสามารถเขียนเป็น {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . สัญกรณ์ดังกล่าวหมายถึงชุดที่มีองค์ประกอบทั้งหมดของชุด (-10, −9, −8.56, 0) , [−5, −1.3] และ (7, +∞)

ในทำนองเดียวกัน การรวมช่วงตัวเลขต่างๆ และชุดของตัวเลขแต่ละตัวเข้าด้วยกัน ทำให้สามารถอธิบายชุดตัวเลขใดๆ (ที่ประกอบด้วยจำนวนจริง) ได้ เป็นที่ชัดเจนว่าเหตุใดประเภทของช่วงตัวเลขเช่นช่วงเวลา, ครึ่งช่วง, เซ็กเมนต์, open คานตัวเลขและรังสีตัวเลข: ทั้งหมดนี้ พร้อมด้วยสัญกรณ์ของเซตของตัวเลขแต่ละตัว ทำให้สามารถอธิบายชุดตัวเลขใดๆ ผ่านการรวมตัวของพวกมันได้

โปรดทราบว่าเมื่อเขียนชุดตัวเลข หมายเลขส่วนประกอบและช่วงตัวเลขจะเรียงลำดับจากน้อยไปมาก นี่ไม่ใช่เงื่อนไขบังคับ แต่เป็นเงื่อนไขที่พึงประสงค์ เนื่องจากชุดตัวเลขที่เรียงลำดับนั้นง่ายต่อการแสดงและวาดภาพบนเส้นพิกัด โปรดทราบด้วยว่าบันทึกดังกล่าวไม่ใช้ช่วงเวลาที่เป็นตัวเลขกับ องค์ประกอบทั่วไปเนื่องจากรายการดังกล่าวสามารถแทนที่ด้วยการรวมกันของช่วงตัวเลขโดยไม่มีองค์ประกอบทั่วไป ตัวอย่างเช่น การรวมกันของเซตตัวเลขที่มีองค์ประกอบร่วม [-10, 0] และ (−5, 3) เป็นครึ่งช่วง [-10, 3) เช่นเดียวกับการรวมช่วงตัวเลขที่มีจำนวนขอบเขตเดียวกัน ตัวอย่างเช่น (3, 5]∪(5, 7] เป็นเซต (3, 7] เราจะพูดถึงสิ่งนี้แยกกันเมื่อเราเรียนรู้ที่จะ หาจุดตัดและการรวมกันของชุดตัวเลข

ภาพชุดตัวเลขบนเส้นพิกัด

ในทางปฏิบัติ จะสะดวกที่จะใช้ภาพเรขาคณิตของชุดตัวเลข - ภาพบน ตัวอย่างเช่น เมื่อ การแก้ความไม่เท่าเทียมกันซึ่งจำเป็นต้องคำนึงถึง ODZ จำเป็นต้องแสดงชุดตัวเลขเพื่อค้นหาจุดตัดและ / หรือการรวม ดังนั้นจะเป็นประโยชน์ที่จะเข้าใจความแตกต่างทั้งหมดของการแสดงชุดตัวเลขบนเส้นพิกัดเป็นอย่างดี

เป็นที่ทราบกันดีว่าระหว่างจุดของเส้นพิกัดและจำนวนจริงมีการติดต่อกันแบบหนึ่งต่อหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าเส้นพิกัดนั้นเป็นแบบจำลองทางเรขาคณิตของเซตของจำนวนจริงทั้งหมด R ดังนั้น เพื่อที่จะพรรณนาเซตของจำนวนจริงทั้งหมด จำเป็นต้องวาดเส้นพิกัดที่มีการฟักออกตามความยาวทั้งหมด:

และบ่อยครั้งที่พวกเขาไม่ได้ระบุที่มาและส่วนเดียว:

ทีนี้ มาพูดถึงภาพของเซตตัวเลข ซึ่งเป็นจำนวนจำกัดของตัวเลขแต่ละตัว ตัวอย่างเช่น ลองวาดชุดตัวเลข (−2, −0.5, 1.2) ภาพเรขาคณิตของชุดนี้ประกอบด้วยตัวเลขสามตัว -2, -0.5 และ 1.2 จะเป็นสามจุดของเส้นพิกัดที่มีพิกัดที่สอดคล้องกัน:

โปรดทราบว่าโดยปกติสำหรับความต้องการฝึกฝน ไม่จำเป็นต้องทำการวาดภาพอย่างถูกต้อง บ่อยครั้งที่การวาดแผนผังก็เพียงพอแล้ว ซึ่งหมายความว่าไม่จำเป็นต้องรักษามาตราส่วน ในขณะที่การรักษาไว้ซึ่งเป็นสิ่งสำคัญเท่านั้น การจัดการร่วมกันจุดที่สัมพันธ์กัน: จุดใดๆ ที่มีพิกัดน้อยกว่าจะต้องอยู่ทางซ้ายของจุดที่มีพิกัดใหญ่กว่า รูปวาดก่อนหน้านี้จะมีลักษณะดังนี้:

แยกความแตกต่างจากชุดตัวเลขที่เป็นไปได้ทั้งหมด ช่วงตัวเลข (ช่วงเวลา ครึ่งช่วง รังสี ฯลฯ) ซึ่งเป็นตัวแทนของภาพเรขาคณิต เราได้ตรวจสอบรายละเอียดในส่วนนี้ เราจะไม่ทำซ้ำตัวเองที่นี่

และยังคงเป็นเพียงการจ้องที่ภาพของชุดตัวเลข ซึ่งเป็นการรวมกันของช่วงตัวเลขและชุดตัวเลขหลายชุดที่ประกอบด้วยตัวเลขแต่ละตัว ไม่มีอะไรยุ่งยากที่นี่: ตามความหมายของสหภาพ ในกรณีเหล่านี้ บนเส้นพิกัด คุณต้องแสดงส่วนประกอบทั้งหมดของชุดของชุดตัวเลขที่กำหนด ยกตัวอย่าง ให้แสดงภาพชุดตัวเลข (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (บันทึก 2 5, 5)∪(17, +∞) :

และมาพูดถึงกรณีทั่วไปกันเมื่อชุดตัวเลขที่แสดงเป็นชุดของจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจุดหนึ่งจุดขึ้นไป เซตดังกล่าวมักถูกกำหนดโดยเงื่อนไขเช่น x≠5 หรือ x≠−1 , x≠2 , x≠3,7 เป็นต้น ในกรณีเหล่านี้ ในทางเรขาคณิต พวกมันเป็นตัวแทนของเส้นพิกัดทั้งหมด ยกเว้นจุดที่เกี่ยวข้อง กล่าวอีกนัยหนึ่ง จุดเหล่านี้ต้อง "เจาะ" จากเส้นพิกัด พวกเขาจะปรากฎเป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ว่างเปล่า เพื่อความชัดเจน ลองวาดชุดตัวเลข เป็นไปตามเงื่อนไข (ชุดนี้เป็นหลัก ):

สรุป. ตามหลักการแล้ว ข้อมูลของย่อหน้าก่อนหน้าควรอยู่ในมุมมองเดียวกันของการบันทึกและการแสดงชุดตัวเลขเป็นมุมมองของช่วงตัวเลขแต่ละช่วง: การบันทึกชุดตัวเลขควรให้ภาพบนเส้นพิกัดทันที และจากภาพบน เส้นพิกัด เราควรพร้อมที่จะอธิบายชุดตัวเลขที่สอดคล้องกันโดยง่ายผ่านการรวมกันของช่องว่างแต่ละช่องและชุดที่ประกอบด้วยตัวเลขแต่ละตัว

บรรณานุกรม.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับ 8 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [อ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S.A. Telyakovsky. - ครั้งที่ 16 - ม. : การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9
• มอร์ดโควิช เอ. จี.พีชคณิต. เกรด 9 เวลา 14.00 น. ตอนที่ 1 ตำรานักเรียน สถาบันการศึกษา/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - ค.ศ. 13 ซีเนียร์ - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ไอ 978-5-346-01752-3

รูปร่างตัวเลข

ในอุปกรณ์ดิจิทัล รูปภาพของตัวเลขมีสองรูปแบบ: ด้วยค่าคงที่ і อาการโคม่าลอย.

ที่ย่อหน้าแรก มีเพียงตัวเลขที่เป็นบวกเท่านั้นที่มองเห็นได้ สูตร (1.14) ให้ความเป็นไปได้ในการแสดงจำนวนคู่ที่มีจำนวนเต็มและเศษส่วนและอาการโคม่าคงที่ เครื่องหมายของตัวเลขสองหลักที่มีอาการโคม่าคงที่ถูกกำหนดโดยอันดับเพิ่มเติมซึ่งอยู่ข้างหน้าตัวเลข สำหรับตัวเลขเพิ่มเติม มูลค่าการสั่งซื้อเพิ่มเติมจะเท่ากับ “ 0 ” สำหรับภาพ - “ 1 ”.

ที่โต๊ะ 1.3 มีสามตัวเลือกสำหรับการเข้ารหัสตัวเลขสุดท้ายและตัวที่สองด้วยรหัสคู่

ตาราง 1.3.

ในตัวแปรแรกดังที่ปรากฎจากตารางในลำดับคู่ที่มีรหัส อาจมีตำแหน่งของศูนย์เพิ่มเติมและศูนย์สุดท้าย ซึ่งอาจนำไปสู่ปัญหาเมื่อดำเนินการเลขคณิตของ vikonann

การแสดงตัวเลขที่ระบุในรหัสประตูไม่สามารถแก้ปัญหาข้างต้นได้ ไม่ผิดครั้งเดียวถ้าเห็นตัวเลข รหัสเพิ่มเติมซึ่งคำนวณโดยสูตร:

ในรูป 1.12 แสดงการตีความแบบกราฟิกของรูปภาพของตัวเลขบวกและลบที่คล้ายกับศูนย์แทนทางเลือกของรหัสโดยตรงและรหัสเสริม ดังที่จะแสดงในภายหลัง รูปแบบของการแสดงตัวเลขที่สิบจะทำให้การดำเนินการเลขคณิตง่ายขึ้น

ตัวอย่าง 1.10.รู้รหัสเสริมเป็นตัวเลขที่สิบ: 0 10 , 17 10 , -127 10

รอซเวียซานเนียเรารู้สองตัวเลขที่ให้มาเทียบเท่ากัน:

0 10 = 00000000 2 ; 17 10 = 00010001 2 ; -127 10 = 10000001 2 .

เรารู้รหัสzvorotnіdvіykovim - vіdpovіdno: 11111111; 11101110; 01111110.

เป็นที่ทราบกันดีว่าเสริมรหัสของตัวเลขที่กำหนด: 11111111 + 1 = 100000000 2 = 0 10;

11101110 + 1 = 11101111 2 = -17 10 ; 01111110 + 1 = 01111111 2 = 127 10 .

ตอนนี้เราอธิบายสาระสำคัญของการบันทึกตัวเลขด้วยอาการโคม่าคงที่ ไม่ว่าตัวเลขในระบบดิจิทัลจะถูกใช้โดยอุปกรณ์หน่วยความจำพิเศษหรือไม่ แถวของสกินจะถูกสร้างขึ้นจากองค์ประกอบจำนวนคงที่ อาการโคม่าซึ่งรวมอยู่ในจำนวนช็อตซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของจำนวนช็อตนั้นอยู่ในตำแหน่งที่แน่นอนในแถวของหน่วยความจำ - ต่อหน้าผู้อาวุโสหรือหลังเด็ก

สำหรับประเภทแรก ค่าสัมบูรณ์ของตัวเลขจะน้อยกว่าหนึ่ง ตัวอย่างเช่น 0.110101 2 1.13 อันดับสุดท้ายของ leviy แสดงเครื่องหมายของตัวเลขและ reshta - อันดับของโมดูล การปลดปล่อยของ Vilni รุ่นเยาว์เต็มไปด้วยศูนย์ Oskіlkiใน vipadku ที่ตรวจสอบแล้วในแถวของหน่วยความจำจะถูกถ่ายโอนเพื่อบันทึกเฉพาะเศษส่วนของตัวเลขจากนั้นผลลัพธ์ของการดำเนินการทั้งหมดเกิดจากค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าหนึ่งค่า Wikonnannya tsієїต้องแน่ใจว่าได้เลือกปัจจัยด้านสเกลที่เหมาะสมซึ่งข้อมูลภายนอกจะถูกคูณ หากค่าสัมประสิทธิ์สเกลของการสั่นสะเทือนไม่ถูกต้อง อาจมีการจัดลำดับการคายประจุและลักษณะของชิ้นส่วนทั้งหมด ราวกับว่ามันจะถูกใช้ไป เศษในตารางการคายประจุจะไม่ถูกถ่ายโอนไปยังลักษณะที่ปรากฏ เช่นเดียวกันฉันจะนำคุณไปสู่นรกในผลลัพธ์ซึ่งขาดวิธีการดังกล่าว

ในอีกอารมณ์หนึ่ง หากอาการโคม่าคงที่หลังจากลำดับที่อายุน้อยที่สุด ก็อาจใช้ตัวเลขจำนวนเต็มได้ ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 10011 2 ในแถวหน่วยความจำจะมองเห็นได้ชัดเจน 1.14 ยศ de livy เป็นเครื่องหมาย และตามด้วยด้านขวา ตัวเลขที่ว่างจะถูกเติมด้วยศูนย์ ด้วยวิธีนี้ ค่าของโมดูลจะเป็นแถวของหน่วยความจำที่มีรั้วกั้น

ตัวเลขที่มีอาการโคม่าลอยตัวจะถ่ายโอนรูปภาพของตัวเลขไปยังตั๊กแตนตำข้าวซึ่งคูณด้วยพื้นฐานของระบบตัวเลขที่สเตจซึ่งกำหนดไว้ตามลำดับ ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 200 เขียนเป็น 0.2 × 10 3 และตัวเลข 0.000312 - เป็น 0.312 × 10 -3 หมายเลข Vidpovidno zapisyutsya และdvіykovі ตั๊กแตนตำข้าวและลำดับจะแสดงเป็นรหัสคู่และพื้นฐานคือสอง ตัวอย่างเช่น หมายเลข 0.111 × 2 10 \u003d 11.10 2 ในระบบที่สิบจะแสดงเป็น 0.875 × 2 2 \u003d 3.5 10 ในแถวของหน่วยความจำ ตัวเลขดังกล่าวนำมาจากตัวเลขสองกลุ่ม: กลุ่มแรก - ตั๊กแตนตำข้าว - กำหนดหมายเลขเอง อีกกลุ่มหนึ่ง - ลำดับ - ตำแหน่งของโคมิในตัวเลข (รูปที่ 1.15)

ที่องค์ประกอบศูนย์ของแถวหน่วยความจำ เครื่องหมายของตัวเลขจะปรากฏขึ้น (สำหรับหมายเลขคู่ที่ระบุ ซึ่งเขียนอยู่ในแถวหน่วยความจำ - “ 0 ”). ระยะทางถูกกำหนดตามลำดับของตัวเลข (stowpts 1…8) หากได้รับจากจำนวนแถวที่น้อยกว่า องค์ประกอบหน่วยความจำทางด้านขวาของตัวเลขจะเต็มไปด้วยศูนย์ ในลำดับที่เก้า สัญลักษณ์ของคำสั่งจะปรากฏขึ้น และในลำดับที่เก้า โดยการเปรียบเทียบกับ mantissa ซึ่งเป็นตัวเลขที่แสดงถึงคำสั่งซื้อ ด้วยบันทึกดังกล่าว ค่าของตัวเลขจะถูกกำหนดในลักษณะที่ตัวเลขนัยสำคัญแรกของตั๊กแตนตำข้าวไม่เท่ากับ " 0 ". แบบฟอร์มนี้เรียกว่า ปกติ.

จำนวนเพิ่มเติมขั้นต่ำที่สามารถเขียนในรูปแบบปกติในแถวหน่วยความจำถูกกำหนดโดย mantissa ขั้นต่ำ 0.1000..0 2 และลำดับภาพสูงสุด 111..1 2 ด้วยปริมาณ kในลำดับขั้นต่ำสิบ จำนวนที่สามารถเขียนได้ถูกกำหนดโดยสูตร:

. (1.15)

จำนวน matimemos สูงสุดที่ค่าสูงสุดของตั๊กแตนตำข้าว (0.111 ... 1) 2 และลำดับเพิ่มเติมสูงสุด (111 ... 1 2) = 2 k– 1 จากนั้น

พิสัย ดีตัวเลขที่แสดงในรูปแบบปกติเนื่องจากปรากฎจากสูตร (1.15) และ (1.16) หมายถึงตัวเลขเท่านั้น k. ตัวอย่างเช่น สำหรับ k= 6 เป็นที่รู้จัก:

; .

ความแม่นยำในการบันทึกหมายเลขถูกกำหนดโดยจำนวนคำสั่งซื้อ มมันติซี หากจำนวนลำดับของตัวเลขกลับด้านจำนวนตำแหน่งที่ป้อนลงในตั๊กแตนตำข้าว ตัวเลขนั้นจะถูกปัดขึ้นเป็นจำนวนที่ต้องการ กฎสำหรับการปัดเศษตัวเลขสองจำนวนด้วยวิธีนี้มีดังนี้: หากลำดับอาวุโสของส่วนของคำที่เห็นเป็นหนึ่ง จะถูกเพิ่มเข้าไปในลำดับที่อายุน้อยที่สุดของตั๊กแตนตำข้าว ด้วยรูปร่างที่โค้งมนเช่นนี้ รูปภาพของตั๊กแตนตำข้าวไม่เกินครึ่งหนึ่งของค่าสัมประสิทธิ์ของหมวดหมู่ตั๊กแตนตำข้าวหนุ่มซึ่งถ่ายไว้ tobto:

Vrakhovuchi ว่าในรูปแบบปกติของบันทึกตั๊กแตนตำข้าวต้องไม่น้อยกว่า 0.5 ซึ่งเป็นข้อผิดพลาดที่ชัดเจน η:

ตัวอย่างเช่น เมื่อ ม= 24 เดือน:

.

ในระบบดิจิทัลในปัจจุบันสำหรับการแสดงตัวเลขที่มีอาการโคม่าลอยตัว จะใช้แถวของไบต์ dozhinoy chotiri ด้วยการปล่อย 23 ให้ตั้งตั๊กแตนตำข้าวและ 7 - ขนาดของคำสั่ง ช่วงของตัวเลขที่แสดงจะถูกพับจาก ± 2 127 ถึง ± 2 -127

การแปรผันของตัวเลขที่มีอาการโคม่าแบบลอยตัวจะขยายและทำให้การแสดงตัวเลขง่ายขึ้น แต่ความเก่งกาจของการดำเนินการกับตัวเลขดังกล่าวมีการทำงานร่วมกันมากกว่า โดยที่ตัวเลขที่มีอาการโคม่าคงที่ลดลง

การแสดงทางเรขาคณิตที่แสดงออกของระบบจำนวนตรรกยะสามารถหาได้ดังนี้

ข้าว. 8. แกนตัวเลข

บนเส้นตรงบางเส้น "แกนตัวเลข" เราทำเครื่องหมายส่วนจาก 0 ถึง 1 (รูปที่ 8) สิ่งนี้กำหนดความยาวของส่วนของหน่วย ซึ่งโดยทั่วไปแล้ว สามารถเลือกได้ตามอำเภอใจ จำนวนเต็มบวกและลบจะแสดงเป็นชุดของจุดที่เว้นระยะเท่ากันบนแกนตัวเลข กล่าวคือ ตัวเลขบวกจะถูกทำเครื่องหมายทางด้านขวา และจำนวนลบทางด้านซ้ายของจุด 0 เพื่อแสดงตัวเลขที่มีตัวส่วน เราแบ่งแต่ละจำนวน ของส่วนที่ได้รับของความยาวหน่วยเป็นส่วนเท่า ๆ กัน จุดหารจะแสดงเศษส่วนด้วย ตัวส่วน หากเราทำสิ่งนี้สำหรับค่าที่สอดคล้องกับจำนวนธรรมชาติทั้งหมดแล้วจำนวนตรรกยะแต่ละจุดจะถูกวาดโดยจุดบางจุดบนแกนตัวเลข เราจะตกลงเรียกประเด็นเหล่านี้ว่า "มีเหตุผล" โดยทั่วไป คำว่า "จำนวนตรรกยะ" และ "จุดตรรกยะ" จะถูกใช้เป็นคำพ้องความหมาย

ในบทที่ 1 § 1 มีการกำหนดความสัมพันธ์อสมการสำหรับจำนวนธรรมชาติ บนแกนจำนวน อัตราส่วนนี้จะแสดงดังนี้: if ตัวเลขธรรมชาติ A น้อยกว่าจำนวนธรรมชาติ B จากนั้นจุด A จะอยู่ทางด้านซ้ายของจุด B เนื่องจากความสัมพันธ์ทางเรขาคณิตที่ระบุถูกสร้างขึ้นสำหรับจุดตรรกยะคู่ใดๆ จึงเป็นเรื่องปกติที่จะพยายามสรุปความสัมพันธ์ที่ไม่เท่าเทียมกันทางคณิตศาสตร์ใน a ดังกล่าว วิธีที่จะรักษาลำดับทางเรขาคณิตนี้สำหรับจุดที่อยู่ระหว่างการพิจารณา เป็นไปได้ถ้าเรายอมรับคำจำกัดความต่อไปนี้: เราบอกว่าจำนวนตรรกยะ A น้อยกว่า จำนวนตรรกยะหรือว่าจำนวน B มากกว่าจำนวนถ้าผลต่างเป็นบวก จากนี้ (สำหรับ ) ว่าจุด (ตัวเลข) ระหว่างนั้นคือที่

พร้อมกัน แต่ละจุดคู่ดังกล่าวพร้อมกับจุดทั้งหมดระหว่างกัน เรียกว่าส่วน (หรือส่วน) และแสดงแทน (และชุดของจุดกลางเพียงอย่างเดียวเรียกว่าช่วง (หรือช่วง) ซึ่งแสดงโดย

ระยะห่างของจุด A โดยพลการจากจุดกำเนิด 0 ถือเป็นจำนวนบวก เรียกว่าค่าสัมบูรณ์ของ A และแสดงด้วยสัญลักษณ์

แนวคิดของ "ค่าสัมบูรณ์" ถูกกำหนดดังนี้: if แล้ว if แล้ว เป็นที่ชัดเจนว่าหากตัวเลขมีเครื่องหมายเหมือนกัน ความเสมอภาคจะเป็นจริงหากมี สัญญาณต่างๆ, แล้ว . เมื่อรวมผลลัพธ์ทั้งสองนี้เข้าด้วยกัน เราก็มาถึงความไม่เท่าเทียมกันทั่วไป

ซึ่งใช้ได้โดยไม่คำนึงถึงสัญญาณ

ข้อเท็จจริงของความสำคัญพื้นฐานแสดงโดยข้อเสนอต่อไปนี้ จุดตรรกยะมีอยู่ทุกหนทุกแห่งบนเส้นจำนวน ความหมายของข้อความนี้คือภายในช่วงใด ๆ ไม่ว่าจะเล็กแค่ไหน ก็มีจุดที่มีเหตุผล ในการตรวจสอบความถูกต้องของข้อความสั่งที่ระบุ ก็เพียงพอที่จะใช้ตัวเลขที่มีขนาดใหญ่จนเป็นช่วง ( จะน้อยกว่าช่วงเวลาที่กำหนด ; จากนั้นจุดของแบบฟอร์มอย่างน้อยหนึ่งจุดจะอยู่ภายในช่วงเวลานี้ ดังนั้นจึงมี ไม่มีช่วงดังกล่าวบนแกนตัวเลข (แม้น้อยที่สุด ซึ่งสามารถจินตนาการได้) ซึ่งภายในนั้นจะไม่มีจุดตรรกยะ จากนี้ไป มีผลสืบเนื่องเพิ่มเติม: ทุกช่วงมีจำนวนจุดตรรกยะเป็นอนันต์ แท้จริง ถ้ามีช่วงบางช่วง เพียงจำนวนจุดตรรกยะจำนวนจำกัด จากนั้นในช่วงเวลาที่เกิดจากจุดดังกล่าวสองจุดที่อยู่ใกล้เคียงกัน ก็จะไม่มีจุดที่เป็นเหตุเป็นผลอีกต่อไป และสิ่งนี้ขัดแย้งกับสิ่งที่เพิ่งได้รับการพิสูจน์แล้ว