รูปทรงเรขาคณิตที่ง่ายที่สุด: จุด เส้นตรง ส่วน เรย์ เส้นหัก บทเรียน "ตรง"
หน้า 1 จาก 3
§หนึ่ง. คำถามทดสอบ
คำถาม 1.
ยกตัวอย่างรูปทรงเรขาคณิต
ตอบ.ตัวอย่างของรูปทรงเรขาคณิต: สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม วงกลม
คำถามที่ 2อะไรคือหลัก ตัวเลขทางเรขาคณิตบนพื้นผิว
ตอบ.รูปทรงเรขาคณิตหลักบนเครื่องบินคือจุดและเส้น
คำถามที่ 3จุดและเส้นกำหนดอย่างไร?
ตอบ.คะแนนจะถูกระบุด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ ด้วยอักษรละติน: เอบีซีดี, … . เส้นตรงแสดงด้วยตัวอักษรละตินตัวพิมพ์เล็ก: a, b, c, d, ....
เส้นสามารถแสดงด้วยจุดสองจุดที่วางอยู่บนเส้นนั้น ตัวอย่างเช่น บรรทัด a ในรูปที่ 4 สามารถระบุว่าเป็น AC และบรรทัด b อาจระบุว่าเป็น BC
คำถามที่ 4กำหนดคุณสมบัติพื้นฐานของสมาชิกภาพของคะแนนและเส้น
ตอบ.ไม่ว่าเส้นไหนก็มีจุดที่เป็นของเส้นนี้และจุดที่ไม่ได้เป็นของเส้นนั้น
คุณสามารถลากเส้นผ่านจุดสองจุดใดก็ได้และมีเพียงจุดเดียว
คำถามที่ 5.อธิบายว่าส่วนที่มีจุดสิ้นสุด ณ จุดที่กำหนดคืออะไร
ตอบ.ส่วนเป็นส่วนหนึ่งของเส้นตรงที่ประกอบด้วยจุดทั้งหมดของเส้นตรงที่อยู่ระหว่างจุดที่กำหนดสองจุด จุดเหล่านี้เรียกว่าจุดสิ้นสุดของส่วน ส่วนจะถูกระบุโดยระบุจุดสิ้นสุด เมื่อพวกเขาพูดหรือเขียน: "กลุ่ม AB" หมายถึงส่วนที่สิ้นสุดที่จุด A และ B
คำถามที่ 6กำหนดคุณสมบัติหลักของตำแหน่งของจุดบนเส้นตรง
ตอบ.จากสามจุดบนเส้นหนึ่ง จุดหนึ่งอยู่ระหว่างอีกสองจุด
คำถามที่ 7กำหนดคุณสมบัติหลักของส่วนการวัด
ตอบ.แต่ละส่วนมีความยาวที่แน่นอนมากกว่าศูนย์ ความยาวของส่วนนั้นเท่ากับผลรวมของความยาวของชิ้นส่วนที่หารด้วยจุดใดๆ ของมัน
คำถามที่ 8ระยะห่างระหว่างสองจุดที่กำหนดคืออะไร?
ตอบ.ความยาวของส่วน AB เรียกว่าระยะห่างระหว่างจุด A และ B
คำถามที่ 9คุณสมบัติของการแบ่งระนาบออกเป็นสองระนาบครึ่งคืออะไร?
ตอบ.การแบ่งระนาบออกเป็นสองระนาบครึ่งมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ หากปลายของส่วนใดอยู่ในครึ่งระนาบเดียวกัน ส่วนนั้นจะไม่ตัดกับเส้น หากจุดปลายของส่วนนั้นเป็นของครึ่งระนาบที่ต่างกัน ส่วนนั้นจะตัดกับเส้น
แม้ว่าเรขาคณิตจะเป็นหนึ่งในศาสตร์ที่แน่นอน แต่นักวิทยาศาสตร์ก็ไม่สามารถให้คำจำกัดความคำว่า "เส้นตรง" ได้อย่างแจ่มชัด ในทาง ปริทัศน์สามารถให้คำจำกัดความนี้ได้: "เส้นตรงคือเส้นตรงที่เส้นทางมีค่าเท่ากับระยะห่างระหว่างจุดสองจุด"
เส้นตรงในวิชาคณิตศาสตร์คืออะไร? คำจำกัดความของเส้นตรงในวิชาคณิตศาสตร์: เส้นตรงไม่มีจุดสิ้นสุดและสามารถดำเนินต่อไปได้ทั้งสองทิศทางจนถึงอนันต์
แนวคิดพื้นฐานของเรขาคณิตประกอบด้วยจุด เส้น และระนาบ โดยให้โดยไม่มีคำจำกัดความ แต่ให้คำจำกัดความของรูปทรงเรขาคณิตอื่นๆ ผ่านแนวคิดเหล่านี้ เครื่องบินก็เหมือนเส้นตรงเป็นแนวคิดหลักที่ไม่มีคำจำกัดความ ข้อความนี้กำหนดขึ้นโดยสัจพจน์ต่อไปนี้: หากจุดสองจุดอยู่ในระนาบหนึ่ง จุดทั้งหมดของเส้นนี้จะอยู่ในระนาบนี้ และข้อความที่พิสูจน์แล้วนั้นเรียกว่าทฤษฎีบท คำสั่งของทฤษฎีบทมักจะประกอบด้วยสองส่วน
ภารกิจ: เส้น, รังสี, เซ็กเมนต์, เส้นโค้งอยู่ที่ไหน ส่วนบนของโพลิไลน์ (คล้ายกับยอดของภูเขา) คือจุดที่โพลิไลน์เริ่มต้น จุดที่ส่วนที่ประกอบเป็นโพลิไลน์นั้นเชื่อมต่อกัน จุดที่โพลิไลน์สิ้นสุดลง งาน: เส้นใดยาวกว่าและมีจุดยอดมากกว่า? ด้านที่อยู่ติดกันของรูปหลายเหลี่ยมคือลิงก์ที่อยู่ติดกันของเส้นที่ขาด จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมคือจุดยอดของโพลิไลน์ จุดยอดข้างเคียงเป็นจุดสิ้นสุดของด้านหนึ่งของรูปหลายเหลี่ยม
ในบทเรียนคณิตศาสตร์ คุณจะได้ยินคำอธิบายต่อไปนี้: ส่วนทางคณิตศาสตร์มีความยาวและสิ้นสุด เซ็กเมนต์ในวิชาคณิตศาสตร์คือเซตของจุดทั้งหมดที่วางอยู่บนเส้นตรงระหว่างปลายของเซกเมนต์
ต่อไปจะมีคำจำกัดความของ ตัวเลขต่างๆยกเว้นสองจุดและเส้น ดังนั้นบางครั้งเราสามารถกำหนดเส้นตรงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่สองตัว ตัวอย่างเช่น เส้นตรง\(AB\) เนื่องจากไม่มีเส้นตรงอื่นใดที่สามารถลากผ่านจุดสองจุดนี้ได้ เราเขียนเซ็กเมนต์ \(AB\) ในเชิงสัญลักษณ์
จุดในวิชาคณิตศาสตร์คืออะไร?
ทฤษฎีบท: เส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยมขนานกับด้านใดด้านหนึ่งและเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านนั้น ค. ความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ลากจากจุดยอด มุมฉาก, แบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสองส่วนที่คล้ายกัน สามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งแต่ละอันจะคล้ายกับสามเหลี่ยมที่กำหนด ค. มุมที่จารึกบนครึ่งวงกลมเป็นมุมฉาก นี่คือการรวบรวมคำจำกัดความหลัก ทฤษฎีบท คุณสมบัติของตัวเลขบนระนาบ
เวกเตอร์ที่มีพิกัดของจุดเรียกว่าเวกเตอร์ปกติซึ่งตั้งฉากกับเส้นตรง
ในการอธิบายเรขาคณิตอย่างเป็นระบบ มักใช้เส้นตรงเป็นหนึ่งในแนวคิดเบื้องต้น ซึ่งถูกกำหนดโดยอ้อมจากสัจพจน์ของเรขาคณิตเท่านั้น
4. เส้นตรงสองเส้นที่ไม่ประกบกันในระนาบตัดกันที่จุดเดียวหรือขนานกัน รังสีเป็นส่วนหนึ่งของเส้นตรงที่ล้อมรอบด้านใดด้านหนึ่ง ส่วน เช่น เส้นตรง ระบุด้วยตัวอักษรหนึ่งตัวหรือสองตัว ในกรณีหลัง ตัวอักษรเหล่านี้ระบุจุดสิ้นสุดของส่วน
จุดคือวัตถุนามธรรมที่ไม่มีลักษณะการวัด: ไม่มีความสูง ไม่มีความยาว ไม่มีรัศมี ภายในกรอบงาน ตำแหน่งเท่านั้นที่สำคัญ
จุดนี้ระบุด้วยตัวเลขหรืออักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ (ใหญ่) หลายจุด - ตัวเลขต่างกันหรือ ตัวอักษรต่างๆเพื่อให้แยกแยะได้
จุด A จุด B จุด C
เอ บี ซีจุดที่ 1 จุดที่ 2 จุดที่ 3
1 2 3คุณสามารถวาดจุด "A" สามจุดบนกระดาษแล้วเชิญให้เด็กลากเส้นผ่านจุด "A" สองจุด แต่จะเข้าใจได้อย่างไรโดยที่? เอ เอ เอ
เส้นคือชุดของจุด เธอวัดความยาวเท่านั้น ไม่มีความกว้างหรือความหนา
ระบุด้วยอักษรละตินตัวเล็ก (เล็ก)
สาย a, สาย b, สาย c
a b cเส้นอาจเป็น
- ปิดหากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดอยู่ที่จุดเดียวกัน
- เปิดถ้าจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดไม่ได้เชื่อมต่อ
เส้นปิด
สายเปิด
คุณออกจากอพาร์ตเมนต์ ซื้อขนมปังในร้านค้าและกลับไปที่อพาร์ตเมนต์ รับสายอะไรคะ? ถูกต้องครับปิด คุณได้กลับมายังจุดเริ่มต้น คุณออกจากอพาร์ตเมนต์ ซื้อขนมปังในร้านค้า ไปที่ทางเข้าและพูดคุยกับเพื่อนบ้านของคุณ รับสายอะไรคะ? เปิด. คุณยังไม่ได้กลับไปที่จุดเริ่มต้น คุณออกจากอพาร์ตเมนต์ ซื้อขนมปังในร้าน รับสายอะไรคะ? เปิด. คุณยังไม่ได้กลับไปที่จุดเริ่มต้น- ตัดกันเอง
- โดยไม่ต้องแยกตัวเอง
เส้นตัดกัน
เส้นที่ไม่มีจุดตัดกัน
- ตรง
- เส้นหัก
- คดเคี้ยว
เส้นตรง
เส้นแตก
เส้นโค้ง
เส้นตรง คือ เส้นที่ไม่โค้ง ไม่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด ขยายได้ไม่จำกัดทั้งสองทิศทาง
ทั้งที่เคยเห็น แปลงเล็กทางตรงก็ถือว่าไปต่อไม่มีกำหนดทั้งสองทิศทาง
มันเขียนแทนด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์เล็ก (เล็ก) หรืออักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ (ใหญ่) สองตัว - จุดอยู่บนเส้นตรง
เส้นตรง
เอเส้นตรง AB
บีเอเส้นตรงสามารถ
- ตัดกันหากมีจุดร่วม สองเส้นสามารถตัดกันได้ที่จุดเดียวเท่านั้น
- ตั้งฉากหากตัดกันเป็นมุมฉาก (90°)
- ขนานกัน ถ้าไม่ตัดกัน ก็ไม่มีจุดร่วม
เส้นขนาน
เส้นตัดกัน
เส้นตั้งฉาก
รังสีเป็นส่วนหนึ่งของเส้นตรงที่มีจุดเริ่มต้นแต่ไม่มีจุดสิ้นสุด ยืดออกได้เพียงทิศทางเดียวอย่างไม่มีกำหนด
จุดเริ่มต้นของลำแสงในภาพคือดวงอาทิตย์
ดวงอาทิตย์
จุดแบ่งเส้นออกเป็นสองส่วน - สองรังสี A A
ลำแสงแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์เล็ก (เล็ก) หรืออักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่สองตัว โดยที่ตัวแรกคือจุดที่รังสีเริ่มต้น และตัวที่สองคือจุดที่อยู่บนรังสี
บีม a
เอบีม AB
บีเอคานตรงกันถ้า
- อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
- เริ่มต้นที่จุดหนึ่ง
- มุ่งไปด้านใดด้านหนึ่ง
รังสี AB และ AC ตรงกัน
รังสี CB และ CA ตรงกัน
ซี บี เอส่วนเป็นส่วนหนึ่งของเส้นตรงที่ล้อมรอบด้วยจุดสองจุด นั่นคือ มีทั้งจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด ซึ่งหมายความว่าสามารถวัดความยาวได้ ความยาวของส่วนคือระยะห่างระหว่างจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด
สามารถลากเส้นจำนวนเท่าใดก็ได้ผ่านจุดเดียว รวมทั้งเส้นตรง
ผ่านสองจุด - ไม่จำกัดจำนวนโค้ง แต่มีเส้นตรงเพียงเส้นเดียว
เส้นโค้งผ่านสองจุด
บีเอเส้นตรง AB
บีเอชิ้นส่วนถูก "ตัด" จากเส้นตรงและเหลืออีกส่วน จากตัวอย่างข้างต้น คุณจะเห็นว่าความยาวของมันคือระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุด ✂ บี เอ ✂
ส่วนจะแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ (ใหญ่) สองตัว โดยตัวแรกคือจุดที่ส่วนเริ่มต้น และตัวที่สองคือจุดที่ส่วนนั้นสิ้นสุด
เซ็กเมนต์ AB
บีเอภารกิจ: เส้น, รังสี, เซ็กเมนต์, เส้นโค้งอยู่ที่ไหน
เส้นหัก คือ เส้นที่ประกอบด้วยส่วนที่ต่อกันเป็นลำดับไม่ทำมุม 180°
ส่วนที่ยาว "แตก" เป็นส่วนที่สั้นหลายส่วน
ลิงค์ของโพลิไลน์ (คล้ายกับลิงค์ของเชน) คือส่วนที่ประกอบเป็นโพลิไลน์ ลิงค์ที่อยู่ติดกันคือลิงค์ที่จุดสิ้นสุดของลิงค์หนึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของลิงค์อื่น ลิงค์ที่อยู่ติดกันไม่ควรอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
ส่วนบนของโพลิไลน์ (คล้ายกับยอดของภูเขา) คือจุดที่โพลิไลน์เริ่มต้น จุดที่ส่วนที่ประกอบเป็นโพลิไลน์นั้นเชื่อมต่อกัน จุดที่โพลิไลน์สิ้นสุดลง
เส้นแบ่งจะแสดงโดยแสดงรายการจุดยอดทั้งหมด
เส้นหัก ABCDE
จุดยอดของโพลิไลน์ A, จุดยอดของโพลิไลน์ B, จุดยอดของโพลิไลน์ C, จุดยอดของโพลิไลน์ D, จุดยอดของโพลิไลน์ E
ลิงค์ของไลน์เสีย AB, ลิงค์ของไลน์ที่เสีย BC, ลิงค์ของซีดีที่เสีย, ลิงค์ของไลน์ที่เสีย DE
ลิงค์ AB และ ลิงค์ BC อยู่ติดกัน
ลิงค์ BC และลิงค์ CD อยู่ติดกัน
ลิงค์ซีดีและลิงค์ DE อยู่ติดกัน
A B C D E 64 62 127 52ความยาวของโพลิไลน์เป็นผลรวมของความยาวของลิงก์: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305
งาน: เส้นไหนขาดยาวกว่า, แ อันไหนมียอดกว่ากัน? ที่บรรทัดแรก ลิงค์ทั้งหมดมีความยาวเท่ากัน คือ 13 ซม. บรรทัดที่สองมีลิงค์ทั้งหมดที่มีความยาวเท่ากันคือ 49 ซม. บรรทัดที่สามมีลิงค์ทั้งหมดที่มีความยาวเท่ากันคือ 41 ซม.
รูปหลายเหลี่ยมคือรูปหลายเหลี่ยมปิด
ด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม (มันจะช่วยให้คุณจำสำนวน: "ไปทั้งสี่ด้าน", "วิ่งไปที่บ้าน", "คุณจะนั่งโต๊ะด้านไหน?") คือลิงค์ของเส้นที่ขาด ด้านที่อยู่ติดกันของรูปหลายเหลี่ยมคือลิงก์ที่อยู่ติดกันของเส้นที่ขาด
จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมคือจุดยอดของโพลิไลน์ จุดยอดข้างเคียงเป็นจุดสิ้นสุดของด้านหนึ่งของรูปหลายเหลี่ยม
รูปหลายเหลี่ยมแสดงโดยการแสดงรายการจุดยอดทั้งหมด
เส้นตรงแบบปิดไม่มีจุดตัด ABCDEF
รูปหลายเหลี่ยม ABCDEF
จุดยอดรูปหลายเหลี่ยม A, จุดยอดรูปหลายเหลี่ยม B, จุดยอดรูปหลายเหลี่ยม C, จุดยอดรูปหลายเหลี่ยม D, จุดยอดรูปหลายเหลี่ยม E, จุดยอดรูปหลายเหลี่ยม F
จุดยอด A และจุดยอด B อยู่ติดกัน
จุดยอด B และจุดยอด C อยู่ติดกัน
จุดยอด C และจุดยอด D อยู่ติดกัน
จุดยอด D และจุดยอด E อยู่ติดกัน
จุดยอด E และจุดยอด F อยู่ติดกัน
จุดยอด F และจุดยอด A อยู่ติดกัน
ด้านรูปหลายเหลี่ยม AB, ด้านรูปหลายเหลี่ยม BC, ซีดีด้านรูปหลายเหลี่ยม, ด้าน DE ด้านรูปหลายเหลี่ยม, ด้านรูปหลายเหลี่ยม EF
ด้าน AB และด้าน BC อยู่ติดกัน
ด้าน BC และด้าน CD อยู่ติดกัน
ซีดีด้านและด้าน DE อยู่ติดกัน
ด้าน DE และด้าน EF อยู่ติดกัน
ด้าน EF และด้าน FA อยู่ติดกัน
A B C D E F 120 60 58 122 98 141ปริมณฑลของรูปหลายเหลี่ยมคือความยาวของรูปหลายเหลี่ยม: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599
รูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดสามจุดเรียกว่ารูปสามเหลี่ยมที่มีสี่รูปสี่เหลี่ยมมีห้าเหลี่ยมและอื่น ๆ
ในเรขาคณิต ตัวเลขทางเรขาคณิตหลักคือจุดและเส้น ในการกำหนดจุด เป็นเรื่องปกติที่จะใช้ตัวอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่: A, B, C, D, E, F .... ในการกำหนดเส้นตรงจะใช้ตัวอักษรละตินตัวพิมพ์เล็ก: a, b, c, d, e, f .... รูปด้านล่างแสดงเส้นตรง a และหลายจุด A, B, C, D
ในการวาดเส้นตรงในภาพ เราใช้ไม้บรรทัด แต่ไม่ได้พรรณนาทั้งเส้น แต่เป็นเพียงส่วนหนึ่งเท่านั้น เนื่องจากเส้นในมุมมองของเราขยายไปถึงอนันต์ในทั้งสองทิศทาง เส้นนั้นจึงไม่มีที่สิ้นสุด
จากรูปด้านบน เราจะเห็นว่าจุด A และ C อยู่บนเส้นตรง เอ. ในกรณีเช่นนี้ เราบอกว่าจุด A และ C อยู่ในเส้น a หรือพวกเขาบอกว่าเส้นผ่านจุด A และ C เมื่อเขียน การเป็นเจ้าของจุดต่อบรรทัดจะแสดงด้วยไอคอนพิเศษ และความจริงที่ว่าจุดที่ไม่ได้อยู่ในบรรทัดนั้นถูกทำเครื่องหมายด้วยไอคอนเดียวกันโดยขีดฆ่าเท่านั้น
ในกรณีของเรา จุด B และ D ไม่อยู่ในเส้น a
ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ในรูป จุด A และ C เป็นของเส้น a ส่วนของเส้นที่ประกอบด้วยจุดทั้งหมดบนเส้นนั้นที่อยู่ระหว่างจุดสองจุดที่กำหนดเรียกว่า เซ็กเมนต์. กล่าวอีกนัยหนึ่ง เซ็กเมนต์เป็นส่วนหนึ่งของเส้นตรงที่ล้อมรอบด้วยจุดสองจุด
ในกรณีของเรา เรามีเซ็กเมนต์ AB. จุด A และ B เรียกว่าจุดสิ้นสุดของส่วน เพื่อกำหนดเซ็กเมนต์ ในกรณีของเราคือ AB หนึ่งในคุณสมบัติหลักของการเป็นสมาชิกของจุดและเส้นมีดังต่อไปนี้ คุณสมบัติ: คุณสามารถลากเส้นผ่านจุดใดจุดหนึ่งได้ และยิ่งกว่านั้น คุณสามารถลากเส้นได้เพียงเส้นเดียว
ถ้าเส้นสองเส้นมีจุดร่วม แสดงว่าเส้นทั้งสองตัดกัน ในรูป เส้น a และ b ตัดกันที่จุด A เส้น a และ c ไม่ตัดกัน
สองบรรทัดใด ๆ มีจุดร่วมเพียงจุดเดียวหรือไม่มีจุดร่วม หากเราถือว่าตรงกันข้าม เส้นสองเส้นนั้นมีสองจุดที่เหมือนกัน แล้วเส้นสองเส้นจะผ่านพวกมัน แต่นี่เป็นไปไม่ได้ เนื่องจากมีเพียงหนึ่งบรรทัดเท่านั้นที่สามารถลากผ่านจุดสองจุดได้
กำลังโหลด...