สมการระนาบ จะเขียนสมการระนาบได้อย่างไร?
การจัดการร่วมกันเครื่องบิน งาน

เรขาคณิตเชิงพื้นที่ไม่ได้ซับซ้อนกว่าเรขาคณิต "แบน" มากนัก และเที่ยวบินของเราในอวกาศเริ่มต้นด้วยบทความนี้ การจะเข้าใจหัวข้อนั้น ต้องมีความเข้าใจที่ดีเกี่ยวกับ เวกเตอร์นอกจากนี้ยังเป็นที่พึงปรารถนาที่จะทำความคุ้นเคยกับเรขาคณิตของระนาบ - จะมีความคล้ายคลึงกันมากมายการเปรียบเทียบมากมายดังนั้นข้อมูลจะถูกย่อยได้ดีขึ้นมาก ในชุดบทเรียนของฉัน โลก 2D เปิดขึ้นพร้อมกับบทความ สมการของเส้นตรงบนระนาบ. แต่ตอนนี้แบทแมนได้ก้าวออกจากทีวีจอแบนและกำลังเปิดตัวจาก Baikonur Cosmodrome

เริ่มจากภาพวาดและสัญลักษณ์กันก่อน แผนผังสามารถวาดระนาบเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งให้ความรู้สึกของพื้นที่:

เครื่องบินไม่มีที่สิ้นสุด แต่เรามีโอกาสที่จะพรรณนาเพียงบางส่วนเท่านั้น ในทางปฏิบัติ นอกจากรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแล้ว ยังวาดวงรีหรือแม้แต่ก้อนเมฆด้วย ด้วยเหตุผลทางเทคนิค ฉันสะดวกกว่าที่จะพรรณนาเครื่องบินในลักษณะนี้และในตำแหน่งนี้ เครื่องบินจริงที่เราจะพิจารณาใน ตัวอย่างการใช้งานจริง, จัดเรียงได้ตามใจชอบ - วาดรูปด้วยมือแล้วบิดในอวกาศ ให้ระนาบมีความลาดเอียง ทุกมุม

สัญกรณ์: เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดระนาบด้วยตัวอักษรกรีกตัวเล็ก ๆ เพื่อไม่ให้สับสนกับ ตรงขึ้นเครื่องบินหรือกับ ตรงไปในอวกาศ. ฉันเคยชินกับการใช้ตัวอักษร ในภาพวาด มันคือตัวอักษร "ซิกม่า" ไม่ใช่รูแต่อย่างใด แม้ว่าระนาบที่มีรูพรุน แต่ก็เป็นเรื่องตลกมาก

ในบางกรณีก็สะดวกที่จะใช้เหมือนกัน ตัวอักษรกรีกด้วยตัวห้อยเช่น .

เห็นได้ชัดว่าเครื่องบินถูกกำหนดโดยสาม จุดต่างๆไม่ได้นอนอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ดังนั้นการกำหนดเครื่องบินสามตัวอักษรจึงเป็นที่นิยม - ตามคะแนนที่เป็นของพวกเขาเป็นต้น มักมีตัวอักษรอยู่ในวงเล็บ: เพื่อไม่ให้สับสนระนาบกับรูปทรงเรขาคณิตอื่น

สำหรับผู้อ่านที่มีประสบการณ์ฉันจะให้ เมนูทางลัด:

• จะเขียนสมการระนาบโดยใช้จุดและเวกเตอร์สองตัวได้อย่างไร
• จะเขียนสมการระนาบโดยใช้จุดและเวกเตอร์ปกติได้อย่างไร

และเราจะไม่อ่อนระโหยโรยแรงในการรอคอยนาน

สมการทั่วไปของระนาบ

สมการทั่วไปของระนาบมีรูปแบบ โดยที่สัมประสิทธิ์ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

การคำนวณเชิงทฤษฎีและปัญหาเชิงปฏิบัติจำนวนหนึ่งใช้ได้สำหรับทั้งแบบธรรมดาและแบบธรรมดาและสำหรับพื้นฐานความผูกพันของพื้นที่ (ถ้าน้ำมันคือน้ำมัน ให้กลับไปที่บทเรียน การพึ่งพาเวกเตอร์เชิงเส้น (ไม่) พื้นฐานเวกเตอร์). เพื่อความง่าย เราจะถือว่าเหตุการณ์ทั้งหมดเกิดขึ้นแบบออร์โธนอร์มัลและระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน

และตอนนี้เรามาฝึกจินตนาการเชิงพื้นที่กันเถอะ ไม่เป็นไรถ้าคุณมีมันแย่ ตอนนี้เราจะพัฒนามันเล็กน้อย แม้แต่การเล่นประสาทก็ต้องฝึกฝน

ในกรณีทั่วไปส่วนใหญ่ เมื่อตัวเลขไม่เท่ากับศูนย์ เครื่องบินจะตัดกันทั้งสามแกน ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

ฉันขอย้ำอีกครั้งว่าเครื่องบินยังคงดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนดในทุกทิศทาง และเรามีโอกาสแสดงภาพเพียงบางส่วนเท่านั้น

พิจารณาสมการระนาบที่ง่ายที่สุด:

จะเข้าใจได้อย่างไร สมการที่กำหนด? ลองคิดดู: "Z" เสมอ สำหรับค่าใด ๆ ของ "X" และ "Y" เท่ากับศูนย์ นี่คือสมการของระนาบพิกัด "ดั้งเดิม" ที่จริงแล้ว สมการอย่างเป็นทางการสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: จากที่เห็นได้ชัดว่าเราไม่สนใจ ค่า "x" และ "y" ใช้อะไรเป็นสิ่งสำคัญที่ "z" เท่ากับศูนย์

ในทำนองเดียวกัน:
คือ สมการระนาบพิกัด ;
คือสมการระนาบพิกัด

มาทำให้ปัญหาซับซ้อนขึ้นหน่อย พิจารณาระนาบ (ที่นี่และเพิ่มเติมในย่อหน้าที่เราคิดว่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขไม่เท่ากับศูนย์) ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ: . จะเข้าใจได้อย่างไร? "X" เสมอ สำหรับค่าใด ๆ ของ "y" และ "z" เท่ากับจำนวนที่แน่นอน ระนาบนี้ขนานกับระนาบพิกัด ตัวอย่างเช่น เครื่องบินขนานกับระนาบและผ่านจุดหนึ่ง

ในทำนองเดียวกัน:
- สมการระนาบซึ่งขนานกับระนาบพิกัด
- สมการระนาบที่ขนานกับระนาบพิกัด

เพิ่มสมาชิก: . สมการสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: นั่นคือ "Z" สามารถเป็นอะไรก็ได้ มันหมายความว่าอะไร? "X" และ "Y" เชื่อมต่อกันด้วยอัตราส่วนที่ลากเส้นตรงในระนาบ (คุณจะจำได้ สมการเส้นตรงในระนาบ?) เนื่องจาก Z สามารถเป็นอะไรก็ได้ บรรทัดนี้จึง "จำลอง" ที่ความสูงเท่าใดก็ได้ ดังนั้น สมการจึงกำหนดระนาบขนานกับแกนพิกัด

ในทำนองเดียวกัน:
- สมการระนาบซึ่งขนานกับแกนพิกัด
- สมการระนาบซึ่งขนานกับแกนพิกัด

หากเงื่อนไขอิสระเป็นศูนย์ เครื่องบินจะผ่านแกนที่เกี่ยวข้องโดยตรง ตัวอย่างเช่น "สัดส่วนโดยตรง" แบบคลาสสิก: ลากเส้นตรงในระนาบแล้วคูณด้วยใจขึ้นและลง (เพราะ "z" เป็นใดๆ) สรุป: ระนาบที่กำหนดโดยสมการผ่านแกนพิกัด

เราสรุปการทบทวน: สมการของระนาบ ผ่านแหล่งกำเนิด ตรงนี้ค่อนข้างชัดเจนว่าจุดนั้นตรงกับสมการที่กำหนด

และสุดท้าย กรณีที่แสดงในภาพวาด: - เครื่องบินเป็นเพื่อนกับแกนพิกัดทั้งหมด ในขณะที่มันมักจะ "ตัด" สามเหลี่ยมที่สามารถอยู่ในแปดอ็อกเทนต์ตัวใดก็ได้

ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นในอวกาศ

เพื่อให้เข้าใจข้อมูล จำเป็นต้องศึกษาให้ดี ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นในระนาบเพราะหลายๆ อย่างก็จะคล้ายๆ กัน ย่อหน้าจะเป็นภาพรวมโดยสังเขปพร้อมตัวอย่างบางส่วน เนื่องจากเนื้อหาค่อนข้างหายากในทางปฏิบัติ

หากสมการกำหนดระนาบ แสดงว่าอสมการ
ถาม ครึ่งช่องว่าง. หากความไม่เท่าเทียมกันไม่เข้มงวด (สองรายการสุดท้ายในรายการ) วิธีแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันนอกเหนือจากครึ่งสเปซจะรวมระนาบด้วย

ตัวอย่างที่ 5

หาเวกเตอร์ปกติหน่วยของระนาบ .

วิธีการแก้: เวกเตอร์หน่วยคือเวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับหนึ่ง ลองแทนเวกเตอร์นี้ด้วย ค่อนข้างชัดเจนว่าเวกเตอร์เป็นแบบ collinear:

อันดับแรก เราลบเวกเตอร์ตั้งฉากออกจากสมการของระนาบ: .

จะหาเวกเตอร์หน่วยได้อย่างไร? ในการหาเวกเตอร์หน่วย คุณต้องมี ทั้งหมดพิกัดเวกเตอร์หารด้วยความยาวเวกเตอร์.

ลองเขียนเวกเตอร์ปกติใหม่ในรูปแบบและหาความยาวของมัน:

ตามข้างต้น:

ตอบ:

ตรวจสอบ: ซึ่งจำเป็นต้องตรวจสอบ

ท่านผู้อ่านที่ศึกษาย่อหน้าสุดท้ายของบทเรียนอย่างรอบคอบแล้วคงสังเกตว่า พิกัดของเวกเตอร์หน่วยคือทิศทางของโคไซน์ของเวกเตอร์:

ลองพูดนอกเรื่องจากปัญหาการถอดประกอบ: เมื่อคุณได้รับคำสั่งโดยพลการ เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ , และโดยเงื่อนไข มันจะต้องค้นหาทิศทางของโคไซน์ (ดูภารกิจสุดท้ายของบทเรียน ผลิตภัณฑ์ Dot ของเวกเตอร์) ที่จริงแล้ว คุณยังหาเวกเตอร์หน่วย collinear กับเวกเตอร์ที่กำหนดด้วย อันที่จริง สองงานในขวดเดียว

ความจำเป็นในการหาเวกเตอร์ปกติของหน่วยเกิดขึ้นในปัญหาบางอย่างของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

เราหาการตกปลาของเวกเตอร์ปกติแล้ว ตอนนี้เราจะตอบคำถามตรงข้าม:

จะเขียนสมการระนาบโดยใช้จุดและเวกเตอร์ปกติได้อย่างไร

โครงสร้างที่เข้มงวดของเวกเตอร์ปกติและจุดนี้เป็นที่รู้จักกันดีโดยเป้าหมายปาเป้า โปรดเหยียดมือไปข้างหน้าและเลือกจุดที่ต้องการในอวกาศเช่นแมวตัวเล็กในตู้ข้าง เห็นได้ชัดว่า ผ่านจุดนี้ คุณสามารถวาดระนาบเดียวตั้งฉากกับมือของคุณ

สมการของระนาบที่ผ่านจุดตั้งฉากกับเวกเตอร์นั้นแสดงโดยสูตร:

บทความนี้ให้แนวคิดเกี่ยวกับวิธีการเขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดในปริภูมิสามมิติที่ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด ให้เราวิเคราะห์อัลกอริธึมข้างต้นโดยใช้ตัวอย่างการแก้ปัญหาทั่วไป

Yandex.RTB R-A-339285-1

การหาสมการระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดในอวกาศตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนด

ให้พื้นที่สามมิติและระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z อยู่ในนั้น จุด M 1 (x 1, y 1, z 1) เส้นตรง a และระนาบ α ที่ผ่านจุด M 1 ตั้งฉากกับเส้นตรง a ก็จะได้รับเช่นกัน จำเป็นต้องเขียนสมการของระนาบ α

ก่อนดำเนินการแก้ไขปัญหานี้ ให้ระลึกถึงทฤษฎีบทเรขาคณิตจากโปรแกรมสำหรับเกรด 10 - 11 ซึ่งอ่านว่า:

คำจำกัดความ 1

ระนาบเดียวผ่านจุดที่กำหนดในปริภูมิสามมิติและตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

ตอนนี้ให้พิจารณาวิธีหาสมการของระนาบเดี่ยวนี้ที่ผ่านจุดเริ่มต้นและตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

เป็นไปได้ที่จะเขียนสมการทั่วไปของระนาบถ้าทราบพิกัดของจุดที่เป็นของระนาบนี้ เช่นเดียวกับพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบ

ตามเงื่อนไขของปัญหาเราได้รับพิกัด x 1, y 1, z 1 ของจุด M 1 ที่ระนาบ α ผ่าน หากเรากำหนดพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ α เราก็จะสามารถเขียนสมการที่ต้องการได้

เวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ α เนื่องจากมันไม่ใช่ศูนย์และอยู่บนเส้น a ซึ่งตั้งฉากกับระนาบ α จะเป็นเวกเตอร์กำกับใดๆ ของเส้น a ดังนั้น ปัญหาในการหาพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบ α จึงกลายเป็นปัญหาในการกำหนดพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง a .

การกำหนดพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง a สามารถทำได้ วิธีการต่างๆ: ขึ้นอยู่กับตัวเลือกในการระบุเส้นตรง a ในเงื่อนไขเริ่มต้น ตัวอย่างเช่น ถ้าเส้น a ในเงื่อนไขของปัญหาถูกกำหนดโดยสมการบัญญัติของรูปแบบ

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

หรือสมการพาราเมตริกของแบบฟอร์ม:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

จากนั้นเวกเตอร์กำกับของเส้นตรงจะมีพิกัด a x, a y และ a z ในกรณีที่เส้นตรง a แทนด้วยจุดสองจุด M 2 (x 2, y 2, z 2) และ M 3 (x 3, y 3, z 3) พิกัดของเวกเตอร์ทิศทางจะถูกกำหนดเป็น (x3 - x2, y3 - y2 , z3 - z2).

คำจำกัดความ 2

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด:

กำหนดพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง a: a → = (a x, a y, a z) ;

เรากำหนดพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบ α เป็นพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง a:

n → = (A , B , C) โดยที่ A = a x , B = a y , C = a z;

เราเขียนสมการระนาบที่ผ่านจุด M 1 (x 1, y 1, z 1) และมีเวกเตอร์ตั้งฉาก n→=(A, B, C) ในรูปแบบ A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 นี่จะเป็นสมการที่ต้องการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดในอวกาศและตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

สมการทั่วไปที่เป็นผลลัพธ์ของระนาบ: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 ทำให้สามารถรับสมการของระนาบในส่วนต่างๆ หรือสมการปกติของระนาบได้

ลองแก้ตัวอย่างโดยใช้อัลกอริทึมที่ได้รับด้านบน

ตัวอย่างที่ 1

ให้จุด M 1 (3, - 4, 5) ซึ่งเครื่องบินผ่านและระนาบนี้ตั้งฉากกับเส้นพิกัด O z

วิธีการแก้

เวกเตอร์ทิศทางของเส้นพิกัด O z จะเป็นเวกเตอร์พิกัด k ⇀ = (0 , 0 , 1) ดังนั้นเวกเตอร์ปกติของระนาบจึงมีพิกัด (0 , 0 , 1) . ลองเขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนด M 1 (3, - 4, 5) ซึ่งเวกเตอร์ปกติมีพิกัด (0, 0, 1) :

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

ตอบ: z - 5 = 0 .

พิจารณาวิธีอื่นในการแก้ปัญหานี้:

ตัวอย่าง 2

ระนาบที่ตั้งฉากกับเส้น O z จะได้รับจากสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ของระนาบของรูปแบบ С z + D = 0 , C ≠ 0 . มากำหนดค่าของ C และ D: ค่าที่เครื่องบินผ่านจุดที่กำหนด แทนที่พิกัดของจุดนี้ในสมการ C z + D = 0 เราได้รับ: C · 5 + D = 0 . เหล่านั้น. ตัวเลข C และ D สัมพันธ์กันโดย - D C = 5 . รับ C \u003d 1 เราได้ D \u003d - 5

แทนที่ค่าเหล่านี้ลงในสมการ C z + D = 0 และรับสมการที่จำเป็นสำหรับระนาบที่ตั้งฉากกับเส้น O z และผ่านจุด M 1 (3, - 4, 5) .

จะมีลักษณะดังนี้: z - 5 = 0

ตอบ: z - 5 = 0 .

ตัวอย่างที่ 3

เขียนสมการระนาบที่ผ่านจุดกำเนิดและตั้งฉากกับเส้นตรง x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

วิธีการแก้

ตามเงื่อนไขของปัญหา เป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่าเวกเตอร์นำทางของเส้นตรงที่กำหนดนั้นสามารถใช้เป็นเวกเตอร์ปกติ n → ของระนาบที่กำหนดได้ ดังนั้น: n → = (- 3 , - 7 , 2) . ลองเขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุด O (0, 0, 0) และมีเวกเตอร์ปกติ n → \u003d (- 3, - 7, 2) :

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

เราได้รับสมการที่จำเป็นสำหรับระนาบที่ผ่านจุดกำเนิดที่ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

ตอบ:- 3x - 7y + 2z = 0

ตัวอย่างที่ 4

ให้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z ในพื้นที่สามมิติ มันมีจุดสองจุด A (2 , - 1 , - 2) และ B (3 , - 2 , 4) ระนาบ α ผ่านจุด A ตั้งฉากกับเส้น AB จำเป็นต้องเขียนสมการของระนาบ α เป็นส่วนๆ

วิธีการแก้

ระนาบ α ตั้งฉากกับเส้น AB จากนั้นเวกเตอร์ AB → จะเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ α พิกัดของเวกเตอร์นี้พิจารณาจากความแตกต่างระหว่างพิกัดที่สอดคล้องกันของจุด B (3, - 2, 4) และ A (2, - 1, - 2):

AB → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ AB → = (1 , - 1 , 6)

สมการทั่วไปของระนาบจะถูกเขียนในรูปแบบต่อไปนี้:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

ตอนนี้เราเขียนสมการที่ต้องการของระนาบในส่วนต่างๆ:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

ตอบ:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

ควรสังเกตด้วยว่ามีปัญหาที่ต้องเขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดและตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดสองระนาบ โดยทั่วไป การแก้ปัญหานี้คือการเขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดในแนวตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด เนื่องจาก ระนาบตัดกันสองระนาบกำหนดเส้นตรง

ตัวอย่างที่ 5

ให้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z ในนั้นคือจุด M 1 (2, 0, - 5) . สมการของระนาบสองระนาบ 3 x + 2 y + 1 = 0 และ x + 2 z - 1 = 0 ซึ่งตัดกันตามเส้นตรง a จำเป็นต้องเขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุด M 1 ตั้งฉากกับเส้น a

วิธีการแก้

ลองหาพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง a มันตั้งฉากกับทั้งเวกเตอร์ตั้งฉาก n 1 → (3 , 2 , 0) ของระนาบ n → (1 , 0 , 2) และเวกเตอร์ตั้งฉาก 3 x + 2 y + 1 = 0 ของระนาบ x + 2 z - 1 = 0 .

จากนั้นเวกเตอร์กำกับ α → เส้นตรง a เราใช้ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ n 1 → และ n 2 → :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

ดังนั้นเวกเตอร์ n → = (4, - 6, - 2) จะเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบตั้งฉากกับเส้น a เราเขียนสมการที่ต้องการของระนาบ:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

ตอบ: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ให้จำเป็นต้องหาสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดสามจุดซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว แทนเวกเตอร์รัศมีของพวกมัน และเวกเตอร์รัศมีปัจจุบันโดย เราสามารถหาสมการที่ต้องการในรูปแบบเวกเตอร์ได้อย่างง่ายดาย อันที่จริง เวกเตอร์ จะต้องเป็นระนาบเดียวกัน (พวกมันทั้งหมดอยู่ในระนาบที่ต้องการ) ดังนั้นผลคูณเวกเตอร์-สเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้จะต้องเท่ากับศูนย์:

นี่คือสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดสามจุด ในรูปเวกเตอร์

เมื่อหันไปหาพิกัด เราจะได้สมการเป็นพิกัด:

ถ้าสามจุดที่กำหนดให้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน เวกเตอร์ก็จะเป็นเส้นตรง ดังนั้นองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของสองแถวสุดท้ายของดีเทอร์มีแนนต์ในสมการ (18) จะเป็นสัดส่วนและดีเทอร์มีแนนต์จะเท่ากับศูนย์เหมือนกัน ดังนั้นสมการ (18) จะกลายเป็นเอกลักษณ์ของค่าใด ๆ ของ x, y และ z ในทางเรขาคณิต นี่หมายความว่าระนาบผ่านแต่ละจุดของอวกาศ ซึ่งจุดที่กำหนดสามจุดก็อยู่เช่นกัน

หมายเหตุ 1. ปัญหาเดียวกันสามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องใช้เวกเตอร์

ระบุพิกัดของจุดที่กำหนดสามจุดตามลำดับ โดยเราเขียนสมการของระนาบใดๆ ที่ผ่านจุดแรก:

เพื่อให้ได้สมการของระนาบที่ต้องการ เราต้องกำหนดให้สมการ (17) เป็นไปตามพิกัดของอีกสองจุดที่เหลือ:

จากสมการ (19) จำเป็นต้องกำหนดอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์สองตัวต่อตัวที่สามและป้อนค่าที่พบลงในสมการ (17)

ตัวอย่างที่ 1 เขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ

สมการของระนาบที่ผ่านจุดแรกจะเป็นดังนี้

เงื่อนไขสำหรับเครื่องบิน (17) ที่จะผ่านอีกสองจุดและจุดแรกคือ:

เมื่อบวกสมการที่สองเข้ากับสมการแรก เราจะได้:

แทนสมการที่สอง เราจะได้:

แทนสมการ (17) แทน A, B, C ตามลำดับ 1, 5, -4 (ตัวเลขตามสัดส่วน) เราจะได้:

ตัวอย่างที่ 2 เขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุด (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2)

สมการของระนาบใดๆ ที่ผ่านจุด (0, 0, 0) จะเป็น]

เงื่อนไขในการส่งเครื่องบินลำนี้ผ่านจุด (1, 1, 1) และ (2, 2, 2) คือ:

เมื่อลดสมการที่สองลง 2 เราจะเห็นว่าการหาค่าไม่ทราบค่าทั้งสองนั้น ความสัมพันธ์มีสมการเดียวด้วย

จากนี้ไปเราจะได้ ตอนนี้แทนค่าในสมการระนาบแทนค่า เราจะพบว่า:

นี่คือสมการของระนาบที่ต้องการ มันขึ้นอยู่กับพล

ปริมาณ B, C (กล่าวคือ จากอัตราส่วน กล่าวคือ มีเครื่องบินจำนวนอนันต์ผ่านจุดที่กำหนดสามจุด (สามจุดที่กำหนดให้อยู่บนเส้นตรงหนึ่งเส้น)

หมายเหตุ 2. ปัญหาการวาดระนาบผ่านจุดที่กำหนดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียวแก้ไขได้ง่ายใน ปริทัศน์ถ้าคุณใช้ดีเทอร์มีแนนต์ อันที่จริง เนื่องจากในสมการ (17) และ (19) สัมประสิทธิ์ A, B, C ไม่สามารถเท่ากับศูนย์พร้อมกันได้ ดังนั้น เมื่อพิจารณาสมการเหล่านี้เป็นระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันโดยไม่ทราบค่า A, B, C สามตัว เราจึงเขียนสมการที่จำเป็นและเพียงพอ เงื่อนไขสำหรับการมีอยู่ของโซลูชันของระบบนี้ นอกเหนือจากศูนย์ (ตอนที่ 1, ch. VI, § 6):

การขยายดีเทอร์มิแนนต์นี้โดยองค์ประกอบของแถวแรก เราจะได้สมการของระดับแรกเทียบกับพิกัดปัจจุบัน ซึ่งจะเป็นที่พอใจโดยเฉพาะโดยพิกัดของสามจุดที่กำหนด

หลังนี้สามารถตรวจสอบได้โดยตรงหากเราแทนที่พิกัดของจุดใดจุดหนึ่งเหล่านี้แทนในสมการที่เขียนโดยใช้ดีเทอร์มีแนนต์ ทางด้านซ้ายจะได้รับดีเทอร์มีแนนต์ซึ่งองค์ประกอบของแถวแรกเป็นศูนย์หรือมีสองแถวที่เหมือนกัน ดังนั้น สมการที่กำหนดขึ้นนี้จึงแทนระนาบที่ผ่านสามจุดที่กำหนด

13. มุมระหว่างระนาบ ระยะห่างจากจุดหนึ่งถึงระนาบ

ให้ระนาบ α และ β ตัดกันตามเส้น c
มุมระหว่างระนาบคือมุมระหว่างฉากตั้งฉากกับเส้นของทางแยกที่วาดในระนาบเหล่านี้

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในระนาบ α เราวาดเส้นตั้งฉากกับ c ในระนาบ β - เส้น b ตั้งฉากกับ c ด้วย มุมระหว่างระนาบ α และ β เท่ากับมุมระหว่างเส้น a และ b

โปรดทราบว่าเมื่อระนาบสองระนาบตัดกัน มุมทั้งสี่จะเกิดขึ้นจริง เห็นพวกเขาในภาพ? เป็นมุมระหว่างระนาบที่เราใช้ เผ็ดมุม.

ถ้ามุมระหว่างระนาบเท่ากับ 90 องศา แสดงว่าระนาบ ตั้งฉาก,

นี่คือนิยามของความตั้งฉากของระนาบ เมื่อแก้ปัญหาใน stereometry เรายังใช้ เครื่องหมายความตั้งฉากของระนาบ:

ถ้าระนาบ α ผ่านฉากตั้งฉากกับระนาบ β ระนาบ α และ β จะตั้งฉาก.

ชี้ไปที่ระยะทางระนาบ

พิจารณาจุด T ที่กำหนดโดยพิกัด:

T \u003d (x 0, y 0, z 0)

พิจารณาระนาบ α ด้วย กำหนดโดยสมการ:

ขวาน + โดย + Cz + D = 0

จากนั้นระยะทาง L จากจุด T ถึงระนาบ α สามารถคำนวณได้โดยสูตร:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราแทนพิกัดของจุดเป็นสมการของระนาบ แล้วหารสมการนี้ด้วยความยาวของเวกเตอร์ตั้งฉาก n กับระนาบ:

จำนวนผลลัพธ์คือระยะทาง ลองดูว่าทฤษฎีบทนี้ทำงานอย่างไรในทางปฏิบัติ

เราได้สมการพาราเมทริกของเส้นตรงในระนาบแล้ว ลองหาสมการพาราเมทริกของเส้นตรง ซึ่งกำหนดไว้ในระบบพิกัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าในปริภูมิสามมิติ

ให้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมได้รับการแก้ไขในพื้นที่สามมิติ Oxyz. มากำหนดเส้นตรงกัน เอ(ดูหัวข้อวิธีการกำหนดเส้นตรงในช่องว่าง) โดยการระบุเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง และพิกัดของบางจุดบนเส้น . เราจะเริ่มจากข้อมูลเหล่านี้เมื่อรวบรวมสมการพาราเมตริกของเส้นตรงในอวกาศ

อนุญาต เป็นจุดใดก็ได้ในปริภูมิสามมิติ ถ้าเราลบออกจากพิกัดของจุด เอ็มพิกัดจุดที่สอดคล้องกัน M 1จากนั้นเราจะได้พิกัดของเวกเตอร์ (ดูบทความการค้นหาพิกัดของเวกเตอร์โดยพิกัดของจุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้น) นั่นคือ .

แน่นอน ชุดของจุดกำหนดเส้น เอถ้าหากเวกเตอร์และเป็นแบบ collinear

ให้เราเขียนเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเวกเตอร์ที่จะเชื่อมโยงกัน และ : ที่ไหนสักแห่ง เบอร์จริง. สมการผลลัพธ์เรียกว่า สมการเวกเตอร์-พาราเมทริกของเส้นตรงในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyzในพื้นที่สามมิติ สมการเวกเตอร์-พาราเมตริกของเส้นตรงในรูปแบบพิกัดมีรูปแบบ และเป็นตัวแทน สมการพาราเมทริกของเส้นตรง เอ. ชื่อ "พาราเมตริก" ไม่ได้ตั้งใจ เนื่องจากมีการระบุพิกัดของทุกจุดของเส้นโดยใช้พารามิเตอร์

ให้เรายกตัวอย่างสมการพาราเมทริกของเส้นตรงในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyzในที่ว่าง: . ที่นี่

15. มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ จุดตัดของเส้นกับระนาบ

สมการของดีกรีที่หนึ่งเทียบกับพิกัด x, y, z

ขวาน + โดย + Cz +D = 0 (3.1)

กำหนดระนาบ และในทางกลับกัน: ระนาบใดๆ สามารถแทนด้วยสมการ (3.1) ซึ่งเรียกว่า สมการระนาบ.

เวกเตอร์ น(A, B, C) ตั้งฉากกับระนาบเรียกว่า เวกเตอร์ปกติเครื่องบิน ในสมการ (3.1) สัมประสิทธิ์ A, B, C ไม่เท่ากับ 0 ในเวลาเดียวกัน

กรณีพิเศษของสมการ (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - เครื่องบินผ่านจุดกำเนิด

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - ระนาบขนานกับแกน Oz

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - เครื่องบินผ่านแกน Oz

4. B = C = 0, Axe + D = 0 - ระนาบขนานกับระนาบ Oyz

สมการระนาบพิกัด: x = 0, y = 0, z = 0

สามารถกำหนดเส้นตรงในช่องว่างได้:

1) เป็นเส้นตัดของระนาบสองระนาบ คือ ระบบสมการ:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) สองจุดของมัน M 1 (x 1, y 1, z 1) และ M 2 (x 2, y 2, z 2) จากนั้นเส้นตรงที่ผ่านพวกมันจะได้รับจากสมการ:

3) จุด M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ที่เป็นของมันและเวกเตอร์ เอ(m, n, p), s collinear จากนั้นเส้นตรงจะถูกกำหนดโดยสมการ:

. (3.4)

สมการ (3.4) เรียกว่า สมการบัญญัติของเส้น.

เวกเตอร์ เอเรียกว่า คู่มือเวกเตอร์ตรง.

เราได้รับสมการพาราเมทริกของเส้นตรงโดยการเทียบความสัมพันธ์แต่ละอัน (3.4) กับพารามิเตอร์ t:

x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + pt. (3.5)

แก้ระบบ (3.2) เป็นระบบ สมการเชิงเส้นค่อนข้างไม่รู้จัก xและ y, เรามาถึงสมการของเส้นตรงใน ประมาณการหรือถึง ลดสมการเส้นตรง:

x = mz + a, y = nz + b (3.6)

จากสมการ (3.6) สามารถส่งต่อไปยังสมการบัญญัติได้ หา zจากสมการแต่ละสมการและเท่ากับค่าผลลัพธ์:

.

เราสามารถส่งต่อจากสมการทั่วไป (3.2) ไปเป็นสมการบัญญัติในอีกทางหนึ่ง หากพบจุดใดๆ ของเส้นนี้และเวกเตอร์ทิศทางของมัน น= [น 1 , น 2] โดยที่ น 1 (A 1 , B 1 , C 1) และ น 2 (A 2 , B 2 , C 2) - เวกเตอร์ปกติของระนาบที่กำหนด ถ้าตัวส่วนใดตัวหนึ่ง ม.นหรือ Rในสมการ (3.4) จะเป็น ศูนย์จากนั้นตัวเศษของเศษส่วนที่เกี่ยวข้องจะต้องตั้งค่าให้เท่ากับศูนย์นั่นคือ ระบบ

เท่ากับระบบ ; เส้นดังกล่าวตั้งฉากกับแกน x

ระบบ เทียบเท่ากับระบบ x = x 1 , y = y 1 ; เส้นตรงขนานกับแกนออนซ์

ตัวอย่าง 1.15. เขียนสมการของระนาบ โดยรู้ว่าจุด A (1, -1,3) ทำหน้าที่เป็นฐานของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดกำเนิดไปยังระนาบนี้

วิธีการแก้.โดยเงื่อนไขของปัญหาเวกเตอร์ OA(1,-1,3) เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ แล้วสมการของมันสามารถเขียนได้เป็น
x-y+3z+D=0. แทนที่พิกัดของจุด A(1,-1,3) ที่เป็นของระนาบ เราจะพบว่า D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11 ดังนั้น x-y+3z-11=0

ตัวอย่าง 1.16. เขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านแกน Oz และสร้างมุม 60 องศาด้วยระนาบ 2x+y-z-7=0

วิธีการแก้.ระนาบที่ผ่านแกน Oz ถูกกำหนดโดยสมการ Ax+By=0 โดยที่ A และ B ไม่หายไปพร้อมกัน ให้บีไม่
คือ 0, A/Bx+y=0 ตามสูตรโคไซน์ของมุมระหว่างระนาบสองระนาบ

.

กำลังตัดสินใจ สมการกำลังสอง 3m 2 + 8m - 3 = 0 หารากของมัน
m 1 = 1/3, m 2 = -3, จากนั้นเราจะได้ระนาบสองระนาบ 1/3x+y = 0 และ -3x+y = 0

ตัวอย่าง 1.17เขียนสมการบัญญัติของเส้นตรง:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0

วิธีการแก้.สมการมาตรฐานของเส้นตรงมีรูปแบบดังนี้

ที่ไหน ม. น. พี- พิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง x1, y1, z1- พิกัดของจุดใด ๆ ที่เป็นของเส้น เส้นตรงถูกกำหนดให้เป็นเส้นตัดของระนาบสองระนาบ ในการหาจุดที่เป็นของเส้นตรง พิกัดตัวใดตัวหนึ่งได้รับการแก้ไข (วิธีที่ง่ายที่สุดคือใส่ x=0) และระบบผลลัพธ์จะแก้ไขเป็นระบบสมการเชิงเส้นที่มีสองไม่ทราบค่า ดังนั้น ให้ x=0 แล้ว y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, โดยที่ y=-1, z=1 เราพบพิกัดของจุด M (x 1, y 1, z 1) ที่อยู่ในเส้นนี้: M (0,-1,1) เวกเตอร์การกำกับของเส้นตรงนั้นหาง่าย โดยรู้เวกเตอร์ปกติของระนาบเดิม น 1 (5,1,1) และ น 2(2,3,-2). แล้ว

สมการบัญญัติของเส้นตรงคือ: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

ตัวอย่าง 1.18. ในลำแสงที่กำหนดโดยระนาบ 2x-y+5z-3=0 และ x+y+2z+1=0 ค้นหาระนาบตั้งฉากสองระนาบ ซึ่งหนึ่งในนั้นผ่านจุด M(1,0,1)

วิธีการแก้.สมการของลำแสงที่กำหนดโดยระนาบเหล่านี้คือ u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0 โดยที่ u และ v ไม่หายไปพร้อมกัน เราเขียนสมการคานใหม่ดังนี้:

(2u + v)x + (- u + v)y + (5u + 2v)z - 3u + v = 0

ในการเลือกระนาบที่ผ่านจุด M จากลำแสง เราแทนที่พิกัดของจุด M ลงในสมการลำแสง เราได้รับ:

(2u+v)×1 + (-u + v)×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0 หรือ v = - u

จากนั้นเราจะหาสมการของระนาบที่มี M โดยการแทน v = - u ลงในสมการคาน:

ยู(2x-y +5z - 3) - u(x + y +2z +1) = 0

เพราะ u¹0 (มิฉะนั้น v=0 และสิ่งนี้ขัดแย้งกับคำจำกัดความของลำแสง) จากนั้นเราจะได้สมการของระนาบ x-2y+3z-4=0 ระนาบที่สองที่เป็นของลำแสงจะต้องตั้งฉากกับระนาบ เราเขียนเงื่อนไขสำหรับมุมฉากของระนาบ:

(2u + v)×1 + (v - u)×(-2) + (5u + 2v)×3 = 0 หรือ v = - 19/5u

ดังนั้น สมการของระนาบที่สองจึงมีรูปแบบดังนี้

ยู(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 หรือ 9x +24y + 13z + 34 = 0

ในบทนี้เราจะมาดูวิธีการใช้ดีเทอร์มีแนนต์ในการแต่ง สมการระนาบ. หากคุณไม่ทราบว่าดีเทอร์มีแนนต์คืออะไร ให้ไปที่ส่วนแรกของบทเรียน - " เมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์». มิฉะนั้น คุณเสี่ยงที่จะไม่เข้าใจอะไรในเนื้อหาวันนี้

สมการระนาบด้วยสามจุด

ทำไมเราถึงต้องการสมการของระนาบเลย? ง่ายมาก: เมื่อรู้แล้ว เราสามารถคำนวณมุม ระยะทาง และอึอื่นๆ ในปัญหา C2 ได้อย่างง่ายดาย โดยทั่วไปสมการนี้จะขาดไม่ได้ ดังนั้นเราจึงกำหนดปัญหา:

งาน. ช่องว่างมีสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน พิกัด:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

จำเป็นต้องเขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดสามจุดนี้ และสมการควรมีลักษณะดังนี้:

ขวาน + โดย + Cz + D = 0

โดยที่ตัวเลข A , B , C และ D เป็นสัมประสิทธิ์ที่คุณต้องการหา

แล้วจะได้สมการของระนาบได้อย่างไรถ้ารู้พิกัดของจุดเท่านั้น? วิธีที่ง่ายที่สุดคือแทนที่พิกัดลงในสมการ Ax + By + Cz + D = 0 คุณจะได้ระบบสมการสามสมการที่แก้ได้ง่าย

นักเรียนหลายคนพบว่าวิธีแก้ปัญหานี้น่าเบื่อและไม่น่าเชื่อถืออย่างยิ่ง การสอบวิชาคณิตศาสตร์ของปีที่แล้วพบว่ามีความเป็นไปได้สูงที่จะเกิดข้อผิดพลาดในการคำนวณ

ดังนั้นครูที่ก้าวหน้าที่สุดจึงเริ่มมองหาความเรียบง่ายและ โซลูชั่นที่หรูหรา. และพวกเขาก็พบมัน! จริงการรับสัญญาณที่ได้รับมีแนวโน้มที่จะ คณิตศาสตร์ชั้นสูง. โดยส่วนตัวแล้ว ฉันต้องค้นหารายชื่อหนังสือเรียนของรัฐบาลกลางทั้งหมด เพื่อให้แน่ใจว่าเรามีสิทธิ์ที่จะใช้เทคนิคนี้โดยไม่มีเหตุผลและหลักฐานใดๆ

สมการระนาบผ่านดีเทอร์มีแนนต์

โวยวายพอแล้ว ลงไปทำธุรกิจกันเถอะ เริ่มต้นด้วย ทฤษฎีบทว่าดีเทอร์มีแนนต์เมทริกซ์และสมการของระนาบมีความสัมพันธ์กันอย่างไร

ทฤษฎีบท. ให้พิกัดของสามจุดที่เครื่องบินจะต้องวาด: M = (x 1 , y 1 , z 1); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3) จากนั้นสมการของระนาบนี้สามารถเขียนในรูปของดีเทอร์มีแนนต์ได้:

ตัวอย่างเช่น ลองหาคู่ของระนาบที่เกิดขึ้นจริงในปัญหา C2 ดูว่าทุกอย่างนับเร็วแค่ไหน:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

เราเขียนดีเทอร์มีแนนต์และเท่ากับศูนย์:

การเปิดดีเทอร์มิแนนต์:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (-1) 1 x + 0 1 (z -1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

อย่างที่คุณเห็นเมื่อคำนวณตัวเลข d ฉัน "ปัด" สมการเล็กน้อยเพื่อให้ตัวแปร x , y และ z เข้าไป ลำดับที่ถูกต้อง. นั่นคือทั้งหมด! สมการระนาบพร้อมแล้ว!

งาน. เขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

แทนที่พิกัดของจุดในดีเทอร์มีแนนต์ทันที:

ขยายดีเทอร์มีแนนต์อีกครั้ง:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

ดังนั้น จะได้สมการระนาบอีกครั้ง! อีกครั้งในขั้นตอนสุดท้ายฉันต้องเปลี่ยนป้ายเพื่อให้ได้สูตรที่ "สวย" มากขึ้น ไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ในโซลูชันนี้ แต่ยังคงแนะนำ - เพื่อลดความซับซ้อนในการแก้ปัญหาเพิ่มเติม

อย่างที่คุณเห็น ตอนนี้การเขียนสมการระนาบง่ายกว่ามาก เราแทนจุดต่างๆ ลงในเมทริกซ์ คำนวณดีเทอร์มีแนนต์ - และนั่นแหล่ะ สมการก็พร้อม

นี่อาจเป็นจุดสิ้นสุดของบทเรียน อย่างไรก็ตาม นักเรียนหลายคนมักลืมสิ่งที่อยู่ภายในดีเทอร์มีแนนต์ ตัวอย่างเช่น บรรทัดใดมี x 2 หรือ x 3 และบรรทัดใดมีเพียง x เพื่อจัดการกับสิ่งนี้ในที่สุด เรามาติดตามว่าแต่ละหมายเลขมาจากไหน

สูตรที่มีดีเทอร์มีแนนต์มาจากไหน?

ลองหาว่าสมการรุนแรงกับดีเทอร์มีแนนต์มาจากไหน วิธีนี้จะช่วยให้คุณจำและนำไปใช้ได้สำเร็จ

ระนาบทั้งหมดที่เกิดขึ้นในปัญหา C2 ถูกกำหนดโดยสามจุด จุดเหล่านี้จะถูกทำเครื่องหมายบนภาพวาดเสมอ หรือแม้แต่ระบุโดยตรงในข้อความปัญหา ไม่ว่าในกรณีใด ในการคอมไพล์สมการ เราต้องเขียนพิกัดของมัน:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3)

พิจารณาอีกจุดหนึ่งบนเครื่องบินของเราด้วยพิกัดตามอำเภอใจ:

T = (x, y, z)

เรานำจุดใดก็ได้จากสามจุดแรก (เช่น จุด M ) และวาดเวกเตอร์จากจุดนั้นไปยังจุดที่เหลือทั้งสามจุด เราได้เวกเตอร์สามตัว:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1)

ทีนี้ มาสร้างเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจตุรัสจากเวกเตอร์เหล่านี้กัน และหาดีเทอร์มีแนนต์ของมันเป็นศูนย์ พิกัดของเวกเตอร์จะกลายเป็นแถวของเมทริกซ์ - และเราจะได้รับดีเทอร์มีแนนต์เดียวกับที่ระบุไว้ในทฤษฎีบท:

สูตรนี้หมายความว่าปริมาตรของกล่องที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ MN , MK และ MT เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเวกเตอร์ทั้งสามจึงอยู่ในระนาบเดียวกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จุดใดจุดหนึ่ง T = (x, y, z) คือสิ่งที่เรากำลังมองหา

การแทนที่จุดและแถวของดีเทอร์มีแนนต์

ดีเทอร์มิแนนต์มีคุณสมบัติที่ยอดเยี่ยมที่ทำให้ง่ายต่อการ การแก้ปัญหาC2. ตัวอย่างเช่น ไม่สำคัญสำหรับเราว่าจะวาดเวกเตอร์จากจุดใด ดังนั้น ดีเทอร์มิแนนต์ต่อไปนี้จึงให้สมการระนาบเดียวกับสมการข้างต้น:

คุณยังสามารถสลับเส้นของดีเทอร์มีแนนต์ได้ สมการจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ตัวอย่างเช่น หลายคนชอบเขียนเส้นที่มีพิกัดของจุด T = (x; y; z) อยู่ด้านบนสุด ได้โปรด ถ้าสะดวกสำหรับคุณ:

ทำให้สับสนว่าบรรทัดใดบรรทัดหนึ่งมีตัวแปร x , y และ z ซึ่งจะไม่หายไปเมื่อแทนที่จุด แต่ไม่ควรหายไป! โดยการแทนที่ตัวเลขลงในดีเทอร์มีแนนต์ คุณควรได้โครงสร้างต่อไปนี้:

จากนั้นดีเทอร์มีแนนต์จะถูกขยายตามแบบแผนที่ให้ไว้ตอนต้นบทเรียน และได้สมการมาตรฐานของระนาบ:

ขวาน + โดย + Cz + D = 0

ลองดูตัวอย่าง เขาเป็นคนสุดท้ายในบทเรียนของวันนี้ ฉันจะสลับบรรทัดโดยเจตนาเพื่อให้แน่ใจว่าคำตอบจะเป็นสมการเดียวกันกับระนาบ

งาน. เขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

ดังนั้นเราจึงพิจารณา 4 คะแนน:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

ขั้นแรก มาสร้างดีเทอร์มีแนนต์มาตรฐานและจัดให้เท่ากับศูนย์:

การเปิดดีเทอร์มิแนนต์:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (-1) 1 (x − 1) + 1 (-1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

เท่านี้ก็ได้คำตอบ x + y + z − 2 = 0 .

ทีนี้ ลองจัดเรียงเส้นสองสามบรรทัดใหม่ในดีเทอร์มีแนนต์แล้วดูว่าเกิดอะไรขึ้น ตัวอย่างเช่น ลองเขียนบรรทัดด้วยตัวแปร x, y, z ไม่ใช่ด้านล่าง แต่อยู่ด้านบน:

มาขยายดีเทอร์มีแนนต์ที่ได้อีกครั้ง:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

เราได้สมการระนาบเดียวกันทุกประการ: x + y + z − 2 = 0 จริงๆ แล้วมันไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับของแถว มันยังคงเขียนคำตอบ

เราได้เห็นว่าสมการของระนาบไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับของเส้นตรง เราสามารถคำนวณที่คล้ายกันและพิสูจน์ว่าสมการของระนาบไม่ได้ขึ้นอยู่กับจุดที่เราลบพิกัดออกจากจุดอื่น

ในปัญหาที่พิจารณาข้างต้น เราใช้จุด B 1 = (1, 0, 1) แต่ค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะใช้ C = (1, 1, 0) หรือ D 1 = (0, 1, 1) โดยทั่วไป จุดใดๆ ที่มีพิกัดที่ทราบอยู่บนระนาบที่ต้องการ