"ทฤษฎีความน่าจะเป็นในงานสอบและโอเกะ". ปัญหาง่าย ๆ ในทฤษฎีความน่าจะเป็น

นำเสนอจนถึงปัจจุบันในธนาคารเปิดของปัญหา USE ในวิชาคณิตศาสตร์ (mathege.ru) ซึ่งวิธีแก้ปัญหานั้นใช้สูตรเดียวเท่านั้นซึ่งเป็นคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น

วิธีที่ง่ายที่สุดในการทำความเข้าใจสูตรคือมีตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 1มีลูกบอลสีแดง 9 ลูก และลูกบอลสีน้ำเงิน 3 ลูกในตะกร้า ลูกบอลมีสีต่างกันเท่านั้น สุ่ม (โดยไม่ดู) เราได้รับหนึ่งในนั้น ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่เลือกในลักษณะนี้จะเป็นสีน้ำเงินเป็นเท่าใด

ความคิดเห็นในปัญหาความน่าจะเป็น มีบางอย่างเกิดขึ้น (ในกรณีนี้คือ การดึงบอลของเรา) ที่สามารถมี ผลลัพธ์ที่แตกต่าง- ผล. ควรสังเกตว่าสามารถดูผลลัพธ์ได้หลายวิธี "เราดึงบอลออกมา" ก็เป็นผล "เราดึงบอลสีน้ำเงินออกมา" เป็นผล "เราดึงลูกบอลนี้ออกจากลูกบอลที่เป็นไปได้ทั้งหมด" - มุมมองทั่วไปที่น้อยที่สุดของผลลัพธ์นี้เรียกว่าผลลัพธ์เบื้องต้น เป็นผลลัพธ์เบื้องต้นที่มีความหมายในสูตรสำหรับคำนวณความน่าจะเป็น

การตัดสินใจ.ตอนนี้เราคำนวณความน่าจะเป็นของการเลือกลูกบอลสีน้ำเงิน
เหตุการณ์ A: "ลูกบอลที่เลือกกลายเป็นสีน้ำเงิน"
จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด: 9+3=12 (จำนวนลูกบอลทั้งหมดที่เราสามารถดึงออกมาได้)
จำนวนผลลัพธ์ที่ดีสำหรับเหตุการณ์ A: 3 (จำนวนของผลลัพธ์ดังกล่าวที่เหตุการณ์ A เกิดขึ้น - นั่นคือจำนวนลูกบอลสีน้ำเงิน)
P(A)=3/12=1/4=0.25
คำตอบ: 0.25

ให้เราคำนวณความน่าจะเป็นของการเลือกลูกบอลสีแดงสำหรับปัญหาเดียวกัน
จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะยังคงเท่าเดิม 12. จำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจ: 9. ความน่าจะเป็นที่ต้องการ: 9/12=3/4=0.75

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ มักจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1
บางครั้งในการพูดในชีวิตประจำวัน (แต่ไม่ใช่ในทฤษฎีความน่าจะเป็น!) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ประมาณเป็นเปอร์เซ็นต์ การเปลี่ยนแปลงระหว่างการประเมินทางคณิตศาสตร์และการสนทนาทำได้โดยการคูณ (หรือหาร) ด้วย 100%
ดังนั้น,
ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นเป็นศูนย์สำหรับเหตุการณ์ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ - ไม่น่าจะเป็นไปได้ ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างของเรา นี่อาจเป็นความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีเขียวออกจากตะกร้า (จำนวนผลดีคือ 0, P(A)=0/12=0 ถ้านับตามสูตร)
ความน่าจะเป็น 1 มีเหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน โดยไม่มีทางเลือก ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นที่ "ลูกบอลที่เลือกจะเป็นสีแดงหรือสีน้ำเงิน" นั้นเป็นปัญหาของเรา (จำนวนผลดี: 12, P(A)=12/12=1)

เราได้ดูตัวอย่างคลาสสิกที่แสดงให้เห็นถึงคำจำกัดความของความน่าจะเป็น คล้ายกันทั้งหมด ใช้งานตามทฤษฎีความน่าจะเป็นจะแก้ได้โดยใช้สูตรนี้
แทนที่จะเป็นลูกบอลสีแดงและสีน้ำเงิน อาจมีแอปเปิ้ลและลูกแพร์ เด็กชายและเด็กหญิง ตั๋วที่เรียนรู้และไม่ได้เรียนรู้ ตั๋วที่มีและไม่มีคำถามในหัวข้อใดหัวข้อหนึ่ง (ต้นแบบ , ) กระเป๋าหรือปั๊มสวนที่มีข้อบกพร่องและมีคุณภาพสูง (ต้นแบบ) , ) - หลักการยังคงเหมือนเดิม

พวกเขาแตกต่างกันเล็กน้อยในการกำหนดปัญหาของทฤษฎีความน่าจะเป็น USE ซึ่งคุณต้องคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในวันใดวันหนึ่ง ( , ) เช่นเดียวกับงานก่อนหน้านี้ คุณต้องพิจารณาว่าผลลัพธ์เบื้องต้นคืออะไร แล้วจึงใช้สูตรเดียวกัน

ตัวอย่าง 2การประชุมกินเวลาสามวัน ในวันแรกและวันที่สองมีวิทยากร 15 คนในวันที่สาม - 20 ความน่าจะเป็นที่รายงานของศาสตราจารย์เอ็มจะตกในวันที่สามเป็นเท่าใดหากลำดับของรายงานกำหนดโดยลอตเตอรี?

อะไรคือผลลัพธ์เบื้องต้นที่นี่? - มอบหมายรายงานของศาสตราจารย์ให้กับหนึ่งในหมายเลขซีเรียลที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับการกล่าวสุนทรพจน์ 15+15+20=50 คนเข้าร่วมในการออกรางวัล ดังนั้นรายงานของศาสตราจารย์เอ็มสามารถรับหนึ่งใน 50 หมายเลข ซึ่งหมายความว่ามีเพียง 50 ผลลัพธ์เบื้องต้น
ผลลัพธ์ที่ดีคืออะไร? - ซึ่งปรากฎว่าอาจารย์จะพูดในวันที่สาม นั่นคือ 20 ตัวเลขสุดท้าย
ตามสูตร ความน่าจะเป็น P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
คำตอบ: 0.4

การจับฉลากที่นี่คือการสร้างการติดต่อแบบสุ่มระหว่างผู้คนและสถานที่ที่มีระเบียบ ในตัวอย่างที่ 2 การจับคู่ได้รับการพิจารณาในแง่ของสถานที่ที่บุคคลใดบุคคลหนึ่งสามารถทำได้ คุณสามารถเข้าถึงสถานการณ์เดียวกันจากอีกด้านหนึ่งได้: คนใดบ้างที่มีความเป็นไปได้ที่จะไปถึงสถานที่ใดสถานที่หนึ่ง (ต้นแบบ , , , ):

ตัวอย่างที่ 3ชาวเยอรมัน 5 คน ชาวฝรั่งเศส 8 คน และชาวเอสโตเนีย 3 คนเข้าร่วมการจับฉลาก ความน่าจะเป็นที่คนแรก (/วินาที/เจ็ด/คนสุดท้าย - ไม่สำคัญ) จะเป็นชาวฝรั่งเศสเป็นเท่าใด

จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นคือจำนวนทั้งหมด คนที่เป็นไปได้ที่สามารถเข้าไปได้ สถานที่ที่กำหนดให้. 5+8+3=16 คน
ผลลัพธ์ที่น่าพอใจ - ฝรั่งเศส 8 คน.
ความน่าจะเป็นที่ต้องการ: 8/16=1/2=0.5
คำตอบ: 0.5

ต้นแบบแตกต่างกันเล็กน้อย มีงานเกี่ยวกับเหรียญ () และลูกเต๋า () ที่ค่อนข้างสร้างสรรค์กว่า วิธีแก้ปัญหาเหล่านี้สามารถพบได้ในหน้าต้นแบบ

ต่อไปนี้คือตัวอย่างการโยนเหรียญหรือการทอยลูกเต๋า

ตัวอย่างที่ 4เมื่อเราโยนเหรียญ ความน่าจะเป็นที่จะได้ก้อยเป็นเท่าไหร่?
ผลลัพธ์ 2 - หัวหรือก้อย (เชื่อกันว่าเหรียญไม่เคยตกขอบ) ผลดี - ก้อย 1.
ความน่าจะเป็น 1/2=0.5
คำตอบ: 0.5.

ตัวอย่างที่ 5ถ้าเราพลิกเหรียญสองครั้งล่ะ? ความน่าจะเป็นที่จะขึ้นหัวทั้งสองครั้งเป็นเท่าไหร่?
สิ่งสำคัญคือการพิจารณาผลลัพธ์เบื้องต้นที่เราจะพิจารณาเมื่อโยนเหรียญสองเหรียญ หลังจากโยนเหรียญสองเหรียญแล้ว อาจเกิดผลอย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้:
1) PP - มันขึ้นทั้งสองครั้ง
2) PO - หางครั้งแรก หัวครั้งที่สอง
3) OP - ครั้งแรกที่หัว ครั้งที่สองก้อย
4) OO - ขึ้นทั้งสองครั้ง
ไม่มีตัวเลือกอื่น หมายความว่ามีผลลัพธ์เบื้องต้น 4 อย่าง อันแรกเท่านั้นที่เป็นมงคล 1.
ความน่าจะเป็น: 1/4=0.25
คำตอบ: 0.25

ความน่าจะเป็นที่จะโยนเหรียญสองครั้งจะตกที่หางเป็นเท่าไหร่?
จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นเท่ากัน 4. ผลลัพธ์ที่น่าพอใจคืออันดับที่สองและสาม 2.
ความน่าจะเป็นที่จะได้หางเดียว: 2/4=0.5

ในปัญหาดังกล่าว สูตรอื่นอาจมีประโยชน์
ถ้าโยนเหรียญครั้งเดียว ตัวเลือกเรามี 2 ผลลัพธ์ จากนั้นสำหรับการโยนสองครั้ง ผลลัพธ์จะเป็น 2 2=2 2 =4 (ดังตัวอย่าง 5) สำหรับการโยนสามครั้ง 2 2 2=2 3 =8 สำหรับสี่: 2 2 2 2 =2 4 = 16, … สำหรับการโยน N มี 2·2·...·2=2 N ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้

ดังนั้น คุณสามารถหาความน่าจะเป็นที่จะได้ 5 หางจากการโยนเหรียญ 5 ครั้ง
จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นทั้งหมด: 2 5 =32
ผลลัพธ์ที่น่าพอใจ: 1. (RRRRRR - หางทั้งหมด 5 ครั้ง)
ความน่าจะเป็น: 1/32=0.03125

เช่นเดียวกับลูกเต๋า ในการโยนครั้งเดียว มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 6 รายการ ดังนั้น สำหรับการโยนสองครั้ง: 6 6=36 สำหรับสามครั้ง 6 6 6=216 เป็นต้น

ตัวอย่างที่ 6เราโยนลูกเต๋า ความน่าจะเป็นที่จะได้เลขคู่เป็นเท่าไหร่?

ผลลัพธ์ทั้งหมด: 6 ตามจำนวนใบหน้า
ข้อดี: 3 ผลลัพธ์ (2, 4, 6)
ความน่าจะเป็น: 3/6=0.5

ตัวอย่าง 7โยนลูกเต๋าสองลูก ความน่าจะเป็นที่จะม้วนทั้งหมด 10 เป็นเท่าไหร่? (ปัดเศษเป็นร้อย)

มี 6 ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สำหรับการตายหนึ่งครั้ง ดังนั้น สำหรับสองคน ตามกฎข้างต้น 6·6=36
ผลลัพธ์ใดจะเป็นที่น่าพอใจสำหรับทั้งหมด 10 ที่จะหลุดออกมา?
10 ต้องถูกแบ่งออกเป็นผลรวมของตัวเลขสองตัวตั้งแต่ 1 ถึง 6 ซึ่งสามารถทำได้สองวิธี: 10=6+4 และ 10=5+5 ดังนั้นสำหรับคิวบ์ ตัวเลือกต่างๆ เป็นไปได้:
(6 ตัวแรก และ 4 ตัวที่สอง)
(4 ตัวแรกและ 6 ตัวที่สอง)
(5 ตัวแรกและ 5 ตัวที่สอง)
ทั้งหมด 3 ตัวเลือก ความน่าจะเป็นที่ต้องการ: 3/36=1/12=0.08
คำตอบ: 0.08

ปัญหา B6 ประเภทอื่นๆ จะกล่าวถึงในบทความ "วิธีแก้ปัญหา" ต่อไปนี้

คำอธิบายของการนำเสนอในแต่ละสไลด์:

1 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

งานหลักในทฤษฎีความน่าจะเป็น การเตรียมการสำหรับ OGE No. 9 MBOU "โรงยิมหมายเลข 4 ตั้งชื่อตาม เช่น. Pushkin” เรียบเรียงโดย: Sofina N.Yu

2 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

ข้อกำหนดที่ตรวจสอบได้ขั้นพื้นฐานสำหรับการเตรียมทางคณิตศาสตร์หมายเลข 9 OGE ในวิชาคณิตศาสตร์ แก้ปัญหาในทางปฏิบัติที่ต้องใช้การแจงนับตัวเลือกอย่างเป็นระบบ เปรียบเทียบโอกาสในการเกิดเหตุการณ์สุ่ม ประเมินความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม เปรียบเทียบและสำรวจแบบจำลองของสถานการณ์จริงโดยใช้เครื่องมือของความน่าจะเป็นและสถิติ ลำดับที่ 9 - งานพื้นฐาน คะแนนสูงสุดสำหรับการทำภารกิจให้สำเร็จคือ 1

3 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A คืออัตราส่วนของจำนวน m ของผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์นี้ต่อ จำนวนทั้งหมด n ของเหตุการณ์ที่ไม่เข้ากันที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นจากการทดลองหรือการสังเกตหนึ่งครั้ง คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น เรียกคืนสูตรสำหรับการคำนวณความน่าจะเป็นแบบคลาสสิกของเหตุการณ์สุ่ม Р = n m

4 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

ความหมายคลาสสิกของความน่าจะเป็น ตัวอย่าง: คณะกรรมการผู้ปกครองซื้อสมุดระบายสี 40 หน้าสำหรับเป็นของขวัญรับปริญญาสำหรับเด็ก ปีการศึกษา. ในจำนวนนี้มี 14 เรื่องที่อิงจากเทพนิยายของ A.S. พุชกินและ 26 ตามเทพนิยายของ G.Kh. Andersen ของขวัญจะถูกสุ่มแจก ค้นหาความน่าจะเป็นที่ Nastya จะได้รับสมุดระบายสีตามนิทานของ A.S. พุชกิน. วิธีแก้ปัญหา: m= 14; n= 14 +26=40 Р= 14/40= 0.35 คำตอบ: 0.35

5 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

ตัวอย่าง: มีคำถาม 60 ข้อสำหรับการสอบ อีวานไม่ได้เรียนรู้ 3 ในนั้น ค้นหาความน่าจะเป็นที่เขาจะเจอคำถามที่ได้เรียนรู้ วิธีแก้ไข: ที่นี่ n=60 อีวานไม่ได้เรียน 3 ดังนั้นเขาจึงเรียนรู้ที่เหลือทั้งหมดนั่นคือ ม=60-3=57. ป=57/60=0.95. ความหมายคลาสสิกของความน่าจะเป็น คำตอบ: 0.95

6 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

“คำสั่งถูกกำหนดโดยการจับฉลาก” ตัวอย่าง: นักกีฬา 20 คนเข้าร่วมในการแข่งขันยิมนาสติก: 8 คนจากรัสเซีย 7 คนจากสหรัฐอเมริกา ส่วนที่เหลือจากประเทศจีน ลำดับการแสดงของนักยิมนาสติกจะถูกกำหนดโดยล็อต หาความน่าจะเป็นที่นักกีฬาคนที่ห้ามาจากประเทศจีน วิธีแก้ปัญหา: ในสภาพของปัญหามีคำว่า "เวทมนต์" "ล็อต" ซึ่งหมายความว่าเราลืมลำดับของการพูด ดังนั้น m= 20-8-7=5 (จากจีน); n=20. P \u003d 5/20 \u003d 0.25 คำตอบ: 0.25

7 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

ตัวอย่าง: การประชุมทางวิทยาศาสตร์จะจัดขึ้นใน 5 วัน มีการวางแผนรายงานทั้งหมด 75 รายการ - 3 วันแรก 17 รายงาน ส่วนที่เหลือจะกระจายเท่าๆ กันระหว่างวันที่ 4 และ 5 ลำดับของรายงานจะถูกกำหนดโดยการเสมอกัน ความน่าจะเป็นที่รายงานของศาสตราจารย์อิวานอฟจะถูกกำหนดในวันสุดท้ายของการประชุมเป็นเท่าใด วิธีแก้ไข: มาใส่ข้อมูลในตารางกัน เราได้ m=12; น=75. P=12/75=0.16. คำตอบ: 0.16 “ลำดับที่กำหนดโดยลอตเตอรี” วันที่ 1 II III IV V จำนวนการนำเสนอทั้งหมด 17 17 17 12 12 75

8 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

ความถี่ของเหตุการณ์ เช่นเดียวกับความน่าจะเป็น ความถี่ของเหตุการณ์ถูกค้นพบ งานที่รวมอยู่ในต้นแบบด้วย อะไรคือความแตกต่าง? ความน่าจะเป็นเป็นค่าที่คาดเดาได้ และความถี่คือข้อความแสดงข้อเท็จจริง ตัวอย่าง: ความน่าจะเป็นที่จะซ่อมแซมแท็บเล็ตใหม่ภายในหนึ่งปีคือ 0.045 ในเมืองหนึ่ง จาก 1,000 เม็ดที่ขายได้ในระหว่างปี 51 ชิ้นมาถึงเวิร์กช็อปการรับประกัน ความถี่ของเหตุการณ์ "การซ่อมแซมการรับประกัน" แตกต่างจากความน่าจะเป็นในเมืองนี้อย่างไร? วิธีแก้ไข: ค้นหาความถี่ของเหตุการณ์: 51/1000=0.051 และความน่าจะเป็นเท่ากับ 0.045 (ตามเงื่อนไข) ซึ่งหมายความว่าในเมืองนี้ "การซ่อมแซมการรับประกัน" เกิดขึ้นบ่อยกว่าที่คาดไว้ มาหาความแตกต่างกัน ∆= 0.051- 0.045= 0.006 ในเวลาเดียวกัน เราต้องคำนึงว่าเครื่องหมายของความแตกต่างนั้นไม่สำคัญสำหรับเรา แต่มีค่าสัมบูรณ์เท่านั้น คำตอบ: 0.006.

9 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

ปัญหาเกี่ยวกับการแจงนับตัวเลือก ("เหรียญ", "การแข่งขัน") ให้ k เป็นจำนวนการโยนเหรียญ แล้วจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้: n = 2k ตัวอย่าง: ในการทดลองแบบสุ่ม จะมีการโยนเหรียญสมมาตรสองครั้ง หาความน่าจะเป็นที่จะขึ้นหัวเพียงครั้งเดียว วิธีแก้ไข: ตัวเลือกการวางเหรียญ: OO; หรือ; อาร์อาร์; ร.ร. ดังนั้น n=4 ผลลัพธ์ที่น่าพอใจ: RR และ RR นั่นคือ m = 2 P = 2/4 = 1/2 = 0.5 คำตอบ: 0.5.

10 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

ตัวอย่าง: ก่อนเริ่ม การแข่งขันฟุตบอลผู้ตัดสินโยนเหรียญเพื่อตัดสินว่าทีมใดจะได้บอลก่อน ทีม "ดาวพุธ" เล่นกับทีม "ดาวอังคาร", "ดาวพฤหัสบดี", "ดาวยูเรนัส" ค้นหาความน่าจะเป็นที่ในทุกแมตช์ที่มีสิทธิ์เป็นเจ้าของบอลจะชนะโดยทีม "เมอร์คิวรี" หรือไม่? ปัญหาเกี่ยวกับการนับตัวเลือก ("เหรียญ", "การแข่งขัน") วิธีแก้ไข: ให้กำหนดสิทธิ์ในการครอบครองบอลลูกแรกของทีม "เมอร์คิวรี" ในการแข่งขันกับหนึ่งในสามทีมที่เหลือเป็น "หาง" แล้วสิทธิ์ครอบครองบอลที่สองของทีมนี้คือ “อินทรี” ลองเขียนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการโยนเหรียญสามครั้ง "O" - หัว "P" - ก้อย ; กล่าวคือ n=8; ม.=1. P=1/8=0.125. คำตอบ: 0.125 n = 23 "ดาวอังคาร" "ดาวพฤหัสบดี" "ดาวยูเรนัส"

11 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

ปัญหาเกี่ยวกับ "ลูกเต๋า" (ลูกเต๋า) ให้ k เป็นจำนวนการโยนลูกเต๋า แล้วจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้: n = 6k ตัวอย่าง: Dasha ทอยลูกเต๋าสองครั้ง หาความน่าจะเป็นที่ยอดรวมของเธอได้ 8 ปัดเศษผลลัพธ์เป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด คำตอบ: 0.14 วิธีแก้ปัญหา: ผลรวมของลูกเต๋าสองลูกต้องเป็น 8 คะแนน เป็นไปได้หากมีชุดค่าผสมต่อไปนี้: 2 และ 6 6 และ 2 3 และ 5 5 และ 3 4 และ 4 ม.= 5 (5 ชุดค่าผสมที่เหมาะสม) n \u003d 36 P \u003d 5/36 \u003d 0.13 (8)

12 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

เหตุการณ์อิสระและกฎการคูณ ความน่าจะเป็นที่จะพบทั้งเหตุการณ์ที่ 1 และ 2 และ n หาได้จากสูตร: Р= Р1*Р2*…*Рn ตัวอย่าง: ไบแอธเลตยิงไปที่เป้าหมายห้าครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายด้วยการยิงครั้งเดียวคือ 0.8 ค้นหาความน่าจะเป็นที่นักชีววิทยาจะโจมตีเป้าหมายในสามครั้งแรกและพลาดสองครั้งสุดท้าย ปัดเศษผลลัพธ์เป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด คำตอบ: 0.02 วิธีแก้ไข: ผลลัพธ์ของช็อตต่อไปแต่ละช็อตไม่ได้ขึ้นอยู่กับช็อตก่อนหน้า ดังนั้นเหตุการณ์ "ตีนัดแรก" "ตีนัดที่สอง" ฯลฯ เป็นอิสระ. ความน่าจะเป็นของการโจมตีแต่ละครั้งคือ 0.8 ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะพลาดคือ 1 - 0.8 = 0.2 1 นัด: 0.8 2 นัด: 0.8 3 นัด: 0.8 4 นัด: 0.2 5 นัด: 0.2 .8 ∙ 0.2 ∙ 0.2 = 0.02048 ≈ 0.02

13 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

การรวมกันของกฎหมาย "และ" และกฎหมาย "หรือ" ตัวอย่าง: สำนักงานซื้อเครื่องเขียนสำหรับพนักงานของบริษัทที่แตกต่างกัน 3 แห่ง นอกจากนี้ผลิตภัณฑ์ของบริษัทที่ 1 คิดเป็น 40% ของการส่งมอบทั้งหมด และบริษัทที่ 2 ที่เหลือก็แบ่งเท่าๆ กัน ปรากฎว่า 2% ของปากกาของบริษัทที่ 2 มีข้อบกพร่อง เปอร์เซ็นต์ของการแต่งงานในบริษัทที่ 1 และ 3 ตามลำดับ คือ 1% และ 3% พนักงาน A หยิบปากกาจากการส่งมอบใหม่ หาความน่าจะเป็นที่จะถูกต้อง วิธีแก้ไข: ผลิตภัณฑ์ของบริษัทที่ 2 และ 3 คือ (100%-40%):2=30% ของวัสดุสิ้นเปลือง P(การแต่งงาน) \u003d 0.4 0.01 + 0.3 0.02 + 0.3 0.03 \u003d 0.019 P (ปากกาที่ใช้งานได้) \u003d 1 - 0.019 \u003d 0.981 คำตอบ: 0.981

งานง่าย

มี 25 พายบนโต๊ะ: 7 - พร้อมแยม, 9 - พร้อมมันฝรั่ง, ที่เหลือมีกะหล่ำปลี ความน่าจะเป็นที่จะสุ่มพายกับกะหล่ำปลีเป็นเท่าใด

0,36

รถแท็กซี่มีพนักงาน 40 คัน: 14 แบรนด์คือแบรนด์ Lada, 8 แบรนด์คือ Renault, 2 แบรนด์คือ Mercedes และแบรนด์ที่เหลือคือแบรนด์ Skoda ความน่าจะเป็นที่ Mercedes จะโทรมาหาคุณคืออะไร?

0,05

กำหนดความน่าจะเป็นที่จำนวนอย่างน้อยสามจะเกิดขึ้นเมื่อโยนลูกเต๋า

Ira, Dima, Vasya, Natasha และ Andrey ผ่านมาตรฐานใน 60 เมตร ความน่าจะเป็นที่ผู้หญิงวิ่งเร็วที่สุดเป็นเท่าไหร่?

ความน่าจะเป็นที่โทรศัพท์ที่ซื้อในอุโมงค์ใต้ดินเป็นของปลอมคือ 0.83 ความน่าจะเป็นที่โทรศัพท์ที่ซื้อในช่วงเปลี่ยนผ่านจะไม่ใช่ของปลอมเป็นเท่าใด

0,17

20 ทีมเข้าร่วมการแข่งขันบาสเก็ตบอล รวมถึงทีม “Guys” ทุกทีมแบ่งออกเป็น 4 กลุ่ม: A, B, C, D ความน่าจะเป็นที่ทีม "Guys" จะอยู่ในกลุ่ม A คืออะไร?

0,25

ถุงลอตเตอรีประกอบด้วยถังที่มีหมายเลขตั้งแต่ 5 ถึง 94 ความน่าจะเป็นที่ถังที่หยิบจากถุงมีตัวเลขสองหลักเป็นเท่าใด ปัดคำตอบของคุณให้เป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด

0,94

ก่อนการสอบ Igor ยื่นมือออกไปรอบสุดท้ายและเรียนรู้ได้เพียง 5 ใบจาก 80 ใบ กำหนดความน่าจะเป็นที่เขาจะเจอตั๋วที่เรียนรู้แล้ว

0,0625

Anya เปิดวิทยุและสุ่มเลือกคลื่นวิทยุ โดยรวมแล้ว เครื่องรับวิทยุของเธอจับคลื่นวิทยุได้ 20 คลื่นและมีเพียง 7 คลื่นใน ช่วงเวลานี้เพลงกำลังเล่น ค้นหาความน่าจะเป็นที่อัญญาจะตกลงไปในคลื่นดนตรี

0,35

ในทุกขวดที่ 20 โซดา รหัสที่มีชัยชนะซ่อนอยู่ใต้ฝา กำหนดความน่าจะเป็นที่ขวดที่ซื้อจะมีรหัสที่ชนะอยู่ใต้ฝา

0,05

งานยากขึ้น

ความน่าจะเป็นที่สุ่มเลือกตัวเลข 3 หลักหารด้วย 5 เป็นเท่าใด

0,2

บันทึกความสูง (ซม.) ของนักเรียน 5 คน: 166, 158, 132, 136, 170 เลขคณิตชุดนี้แตกต่างจากค่ามัธยฐานเท่าใด

จากสถิติของประเทศเล็กๆ แห่งหนึ่ง เป็นที่ทราบกันว่าความน่าจะเป็นที่ทารกเกิดจะเป็นเด็กผู้ชายคือ 0.507 ในปี 2560 มีเด็กผู้หญิงเฉลี่ย 486 คนต่อทารก 1,000 คนที่เกิดในประเทศนี้ ความถี่ของการเกิดของผู้หญิงในปี 2560 ในประเทศนี้แตกต่างจากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อย่างไร?

0,007

ตายถูกโยนสองครั้ง หาความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเลขสองตัวที่ออกมาคือ 3 หรือ 7 ปัดคำตอบของคุณให้เป็นจำนวนเต็มร้อยที่ใกล้ที่สุด

0,22

ความน่าจะเป็นที่สุ่มเลือกตัวเลขสามหลักหารด้วย 2 เป็นเท่าใด

0,5

หาความน่าจะเป็นที่จะโยนเหรียญสองเหรียญออกทางหางครั้งเดียว

0,5

ลูกเต๋าถูกโยนสองครั้ง หาความน่าจะเป็นที่ตัวเลขที่มากกว่าสามจะมาทั้งสองครั้ง ปัดเศษคำตอบของคุณเป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด

0,31

จากสถิติของประเทศเล็กๆ แห่งหนึ่ง เป็นที่ทราบกันว่าความน่าจะเป็นที่ทารกเกิดจะเป็นเด็กผู้ชายคือ 0.594 ในปี 2560 มีเด็กผู้หญิงเฉลี่ย 513 คนต่อทารก 1,000 คนที่เกิดในประเทศนี้ ความถี่ของการเกิดของผู้หญิงในปี 2560 ในประเทศนี้แตกต่างจากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อย่างไร?

0,107

ความสูง (ซม.) ของนักเรียนห้าคนถูกบันทึก: 184, 145, 176, 192, 174 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขชุดนี้แตกต่างจากค่ามัธยฐานเท่าใด

1,8

ความสูงเฉลี่ยของชาวหมู่บ้าน "ยักษ์" คือ 194 ซม. ความสูงของนิโคไล เปโตรวิช คือ 195 ซม. ข้อความใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1) ชาวบ้านคนหนึ่งมีส่วนสูง 194 ซม.

2) Nikolai Petrovich เป็นผู้อยู่อาศัยที่สูงที่สุดในหมู่บ้าน

3) จะมีชายอย่างน้อยหนึ่งคนจากหมู่บ้านนี้ด้านล่าง Nikolai Petrovich

4) จะมีผู้อยู่อาศัยอย่างน้อยหนึ่งคนจากหมู่บ้านนี้ด้านล่าง Nikolai Petrovich

4

งานที่ยาก

มือปืนยิง 4 ครั้งด้วยปืนไปที่เป้าหมาย ความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายอย่างแม่นยำด้วยการยิงครั้งเดียวคือ 0.5 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงจะยิงเป้าหมายในสองครั้งแรกและพลาดสองครั้งสุดท้าย

0,0625

ความน่าจะเป็นที่แบตเตอรี่เสียคือ 0.05 ลูกค้าในร้านค้าเลือกแพ็คเกจแบบสุ่มที่มีแบตเตอรี่สองก้อน หาความน่าจะเป็นที่แบตเตอรี่ทั้งสองก้อนดี

0,9025

มือปืนยิงไปที่เป้าหมาย 5 ครั้งติดต่อกัน ความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายเมื่อยิงคือ 0.7 หาความน่าจะเป็นที่คนยิงโดนเป้าหมายสี่ครั้งแรกและพลาดครั้งสุดท้าย ปัดเศษผลลัพธ์เป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด

เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจริงหรือในจินตนาการของเรา แบ่งออกได้เป็น 3 กลุ่ม เหล่านี้เป็นเหตุการณ์บางอย่างที่ผูกพันที่จะเกิดขึ้น เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ และเหตุการณ์สุ่ม ทฤษฎีความน่าจะเป็นศึกษาเหตุการณ์สุ่ม เช่น เหตุการณ์ที่อาจเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นก็ได้ บทความนี้จะนำเสนอใน สรุปสูตรทฤษฎีความน่าจะเป็นและตัวอย่างการแก้ปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็น ซึ่งจะอยู่ในภารกิจที่ 4 ของ USE ในวิชาคณิตศาสตร์ (ระดับโปรไฟล์)

ทำไมเราต้องใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็น

ในอดีต ความจำเป็นในการศึกษาปัญหาเหล่านี้เกิดขึ้นในศตวรรษที่ 17 โดยเกี่ยวเนื่องกับการพัฒนาและความเป็นมืออาชีพของ การพนันและการถือกำเนิดของคาสิโน มันเป็นปรากฏการณ์ที่แท้จริงที่จำเป็นต้องมีการศึกษาและวิจัย

การเล่นไพ่ ลูกเต๋า รูเล็ต สร้างสถานการณ์ที่เหตุการณ์ที่เป็นไปได้เท่าเทียมกันจำนวนจำกัดอาจเกิดขึ้นได้ มีความจำเป็นต้องให้ตัวเลขประมาณการความเป็นไปได้ของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น

ในศตวรรษที่ 20 เป็นที่ชัดเจนว่าวิทยาศาสตร์ที่ดูเหมือนไร้สาระนี้มีบทบาทสำคัญในการทำความเข้าใจกระบวนการพื้นฐานที่เกิดขึ้นในพิภพเล็ก ถูกสร้าง ทฤษฎีสมัยใหม่ความน่าจะเป็น

แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น

วัตถุประสงค์ของการศึกษาทฤษฎีความน่าจะเป็นคือเหตุการณ์และความน่าจะเป็นของพวกมัน หากเหตุการณ์มีความซับซ้อน ก็สามารถแบ่งออกเป็นองค์ประกอบง่าย ๆ ซึ่งหาได้ง่าย

ผลรวมของเหตุการณ์ A และ B เรียกว่าเหตุการณ์ C ซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าเหตุการณ์ A หรือเหตุการณ์ B หรือเหตุการณ์ A และ B เกิดขึ้นพร้อมกัน

ผลคูณของเหตุการณ์ A และ B คือเหตุการณ์ C ซึ่งประกอบด้วยเหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B เกิดขึ้น

เหตุการณ์ A และ B จะเข้ากันไม่ได้หากไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้

เหตุการณ์ A ถูกกล่าวว่าเป็นไปไม่ได้หากไม่สามารถเกิดขึ้นได้ เหตุการณ์ดังกล่าวแสดงด้วยสัญลักษณ์

เหตุการณ์ A เรียกว่า แน่นอน ถ้ามันจะเกิดขึ้นแน่นอน เหตุการณ์ดังกล่าวแสดงด้วยสัญลักษณ์

ให้แต่ละเหตุการณ์ A ถูกกำหนดเป็นตัวเลข P(A) ตัวเลข P(A) นี้เรียกว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A หากเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้

กรณีเฉพาะที่สำคัญคือสถานการณ์เมื่อมีผลลัพธ์เบื้องต้นที่น่าจะเป็นไปได้เท่ากัน และผลลัพธ์เหล่านี้โดยพลการจากเหตุการณ์ A ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นสามารถกำหนดได้ด้วยสูตร ความน่าจะเป็นที่แนะนำในลักษณะนี้เรียกว่า ความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก. สามารถพิสูจน์ได้ว่าคุณสมบัติ 1-4 ค้างอยู่ในกรณีนี้

ปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็นที่พบในข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ ส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก งานดังกล่าวสามารถทำได้ง่ายมาก ง่ายโดยเฉพาะคือปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็นใน รุ่นสาธิต. ง่ายต่อการคำนวณจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจ จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดจะถูกเขียนโดยตรงในเงื่อนไข

เราได้คำตอบตามสูตร

ตัวอย่างงานจากการสอบวิชาคณิตศาสตร์เพื่อกำหนดความน่าจะเป็น

มี 20 พายบนโต๊ะ - 5 กับกะหล่ำปลี 7 กับแอปเปิ้ลและ 8 กับข้าว มาริน่าอยากกินพาย ความน่าจะเป็นที่เธอจะได้เค้กข้าวเป็นเท่าไหร่?

การตัดสินใจ.

มีผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้ทั้งหมด 20 แบบ นั่นคือ Marina สามารถหยิบพาย 20 อันใดก็ได้ แต่เราต้องประมาณความน่าจะเป็นที่มาริน่าจะเอาข้าวห่อ ที่ A คือทางเลือกของข้าวเปลือก ซึ่งหมายความว่าเรามีผลลัพธ์ที่น่าพอใจทั้งหมด 8 รายการ (การเลือกพายข้าว) จากนั้นความน่าจะเป็นจะถูกกำหนดโดยสูตร:

เหตุการณ์อิสระ ตรงข้าม และตามอำเภอใจ

อย่างไรก็ตาม ในธนาคารเปิดของงาน มากกว่า งานยาก. ดังนั้น ให้เราดึงความสนใจของผู้อ่านไปที่คำถามอื่นๆ ที่ศึกษาในทฤษฎีความน่าจะเป็น

เหตุการณ์ A และ B จะเรียกว่าเป็นอิสระหากความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์อื่นเกิดขึ้นหรือไม่

เหตุการณ์ B ประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่เหตุการณ์ A ไม่เกิดขึ้น กล่าวคือ เหตุการณ์ B อยู่ตรงข้ามกับเหตุการณ์ A ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามเท่ากับหนึ่งลบด้วยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยตรง กล่าวคือ .

ทฤษฎีบทการบวกและการคูณสูตร

สำหรับเหตุการณ์ A และ B ตามอำเภอใจ ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์เหล่านี้จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นโดยไม่มีความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วม กล่าวคือ .

สำหรับเหตุการณ์อิสระ A และ B ความน่าจะเป็นของผลิตภัณฑ์ของเหตุการณ์เหล่านี้เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นนั่นคือ ในกรณีนี้ .

2 ข้อความสุดท้ายเรียกว่าทฤษฎีบทของการบวกและการคูณความน่าจะเป็น

การไม่นับจำนวนผลลัพธ์นั้นง่ายเสมอไป ในบางกรณี จำเป็นต้องใช้สูตรผสม สิ่งสำคัญที่สุดคือการนับจำนวนเหตุการณ์ที่ตรงตามเงื่อนไขบางประการ บางครั้งการคำนวณดังกล่าวอาจกลายเป็นงานอิสระ

นักเรียน 6 คนสามารถนั่งในที่นั่งว่าง 6 ที่นั่งได้กี่วิธี? นักเรียนคนแรกจะได้ตำแหน่งใดก็ได้จากทั้งหมด 6 แห่ง แต่ละตัวเลือกเหล่านี้สอดคล้องกับ 5 วิธีในการจัดนักเรียนคนที่สอง สำหรับนักเรียนคนที่สามมีที่ว่าง 4 แห่งสำหรับที่สี่ - 3 สำหรับที่ห้า - 2 ที่หกจะเป็นที่เดียวที่เหลืออยู่ ในการค้นหาจำนวนตัวเลือกทั้งหมด คุณต้องค้นหาผลิตภัณฑ์ซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์ 6! และอ่านว่า "หกแฟคทอเรียล"

ในกรณีทั่วไป คำตอบสำหรับคำถามนี้มาจากสูตรสำหรับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ n ตัว ในกรณีของเรา .

ลองพิจารณาอีกกรณีหนึ่งกับนักเรียนของเรา นักเรียน 2 คนสามารถนั่งในที่นั่งว่าง 6 ที่นั่งได้กี่วิธี? นักเรียนคนแรกจะได้ตำแหน่งใดก็ได้จากทั้งหมด 6 ตำแหน่ง แต่ละตัวเลือกเหล่านี้สอดคล้องกับ 5 วิธีในการจัดนักเรียนคนที่สอง หากต้องการค้นหาจำนวนตัวเลือกทั้งหมด คุณต้องค้นหาผลิตภัณฑ์

ในกรณีทั่วไป คำตอบสำหรับคำถามนี้มาจากสูตรสำหรับจำนวนตำแหน่งขององค์ประกอบ n รายการโดยองค์ประกอบ k

ในกรณีของเรา.

และตัวสุดท้ายในชุดนี้ มีกี่วิธีในการเลือกนักเรียน 3 คนจาก 6 คน นักเรียนคนแรกสามารถเลือกได้ 6 วิธี ที่สองใน 5 วิธี และที่สามใน 4 วิธี แต่ในบรรดาตัวเลือกเหล่านี้ นักเรียนสามคนเดียวกันเกิดขึ้น 6 ครั้ง ในการหาจำนวนตัวเลือกทั้งหมด คุณต้องคำนวณค่า: ในกรณีทั่วไป คำตอบสำหรับคำถามนี้มาจากสูตรสำหรับจำนวนขององค์ประกอบที่รวมกันโดยองค์ประกอบ:

ในกรณีของเรา.

ตัวอย่างการแก้ปัญหาจากข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์เพื่อกำหนดความน่าจะเป็น

ภารกิจที่ 1 จากการรวบรวม ed. ยาชเชนโก

มี 30 พายบนจาน: 3 กับเนื้อ 18 กับกะหล่ำปลีและ 9 กับเชอร์รี่ Sasha สุ่มเลือกหนึ่งพาย ค้นหาความน่าจะเป็นที่เขาจะจบลงด้วยเชอร์รี่

.

คำตอบ: 0.3.

ปัญหาที่ 2 จากการรวบรวม ed. ยาชเชนโก

ในแต่ละชุดมีหลอดไฟ 1,000 ดวง โดยเฉลี่ยมีหลอดไฟชำรุด 20 ดวง ค้นหาความน่าจะเป็นที่หลอดไฟที่เลือกแบบสุ่มจากชุดงานนั้นดี

วิธีแก้ไข: จำนวนหลอดไฟที่ใช้งานได้คือ 1,000-20=980 ความน่าจะเป็นที่หลอดไฟที่สุ่มมาจากชุดงานจะสามารถใช้งานได้คือ:

คำตอบ: 0.98

ความน่าจะเป็นที่นักเรียน U. สามารถแก้ปัญหาได้มากกว่า 9 ข้อในการทดสอบทางคณิตศาสตร์คือ 0.67 ความน่าจะเป็นที่ U. จะแก้ปัญหาได้อย่างถูกต้องมากกว่า 8 ปัญหาคือ 0.73 หาความน่าจะเป็นที่ U. แก้ปัญหาได้ 9 ข้ออย่างถูกต้อง

หากเราจินตนาการถึงเส้นจำนวนและทำเครื่องหมายจุด 8 และ 9 ไว้บนนั้น เราจะเห็นว่าเงื่อนไข "U. แก้ได้อย่างถูกต้อง 9 ปัญหา” รวมอยู่ในเงื่อนไข “U. แก้ปัญหาได้ถูกต้องมากกว่า 8 ปัญหา" แต่ใช้ไม่ได้กับเงื่อนไข "ว. แก้ปัญหาได้ถูกต้องกว่า 9 ปัญหา

อย่างไรก็ตาม เงื่อนไข “อ. แก้ปัญหาได้ถูกต้องกว่า 9 ปัญหา" อยู่ในเงื่อนไข "U. อย่างถูกต้องแก้ปัญหามากกว่า 8 ปัญหา ดังนั้น หากเรากำหนดเหตุการณ์: “W. แก้ปัญหา 9 ข้อได้อย่างถูกต้อง" - ผ่าน A, "U. แก้ปัญหาได้ถูกต้องมากกว่า 8 ปัญหา" - ผ่าน B, "U. แก้ปัญหาได้มากกว่า 9 ปัญหา” ผ่าน C จากนั้นวิธีแก้ปัญหาจะมีลักษณะดังนี้:

คำตอบ: 0.06

ในการสอบเรขาคณิต นักเรียนจะตอบคำถามหนึ่งข้อจากรายการคำถามในข้อสอบ ความน่าจะเป็นที่จะเป็นคำถามตรีโกณมิติคือ 0.2 ความน่าจะเป็นที่จะเป็นคำถาม Outer Corners คือ 0.15 ไม่มีคำถามที่เกี่ยวข้องกับสองหัวข้อนี้ในเวลาเดียวกัน ค้นหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนจะได้รับคำถามจากหนึ่งในสองหัวข้อนี้ในการสอบ

ลองคิดดูว่าเหตุการณ์ที่เรามีคืออะไร เราได้รับสองเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ นั่นคือคำถามจะเกี่ยวข้องกับหัวข้อ "ตรีโกณมิติ" หรือหัวข้อ "มุมภายนอก" ตามทฤษฎีบทความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้เท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ เราต้องหาผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ นั่นคือ:

คำตอบ: 0.35

ห้องนี้สว่างไสวด้วยโคมไฟสามดวง ความน่าจะเป็นที่หลอดไฟหนึ่งดวงจะดับในหนึ่งปีคือ 0.29 จงหาความน่าจะเป็นที่หลอดไฟอย่างน้อยหนึ่งดวงจะไม่ดับภายในหนึ่งปี

ลองพิจารณาเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ เรามีหลอดไฟสามดวง ซึ่งแต่ละหลอดอาจหรืออาจไม่ดับโดยอิสระจากหลอดไฟอื่นๆ เหล่านี้เป็นเหตุการณ์ที่เป็นอิสระ

จากนั้นเราจะระบุความแตกต่างของเหตุการณ์ดังกล่าว เรายอมรับสัญกรณ์: - หลอดไฟเปิดอยู่ - หลอดไฟหมด และต่อไปเราจะคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทันที ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีเหตุการณ์อิสระสามเหตุการณ์ "หลอดไฟดับ", "เปิดหลอดไฟ", "เปิดหลอดไฟ": โดยที่ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ "เปิดหลอดไฟ" คำนวณจากความน่าจะเป็นของ เหตุการณ์ตรงข้ามกับงาน “หลอดไฟดับ” กล่าวคือ .

โปรดทราบว่ามีเพียง 7 เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สำหรับเรา ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าวเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์: .

คำตอบ: 0.975608

คุณสามารถเห็นปัญหาอื่นในภาพ:

ดังนั้น คุณและฉันเข้าใจว่าทฤษฎีความน่าจะเป็น สูตรและตัวอย่างการแก้ปัญหาที่คุณสามารถพบได้ในข้อสอบคืออะไร

งานนำเสนอนี้นำเสนองานที่พบบ่อยที่สุดในการสอบทฤษฎีความน่าจะเป็น งานระดับพื้นฐาน การนำเสนอจะช่วยทั้งครูผู้สอนในบทเรียนเรื่องการพูดซ้ำๆ และนักเรียนใน ฝึกฝนตนเองไปสอบ

ดาวน์โหลด:

ดูตัวอย่าง:

หากต้องการใช้ตัวอย่างการนำเสนอ ให้สร้างบัญชีสำหรับตัวคุณเอง ( บัญชีผู้ใช้) Google และลงชื่อเข้าใช้: https://accounts.google.com

คำบรรยายสไลด์:

งานหลัก ทฤษฎีความน่าจะเป็น เตรียมพร้อมสำหรับ OGE

โยนเหรียญ

1. โยนเหรียญสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้หนึ่งหัวและหนึ่งหางเป็นเท่าใด คำตัดสิน: เมื่อโยนเหรียญหนึ่งเหรียญ ผลลัพธ์สองอย่างเป็นไปได้ - "หัว" หรือ "ก้อย" เมื่อโยนเหรียญสองเหรียญ - 4 ผลลัพธ์ (2 * 2 \u003d 4): "อินทรี" - "ก้อย" "ก้อย" - "หาง" "หาง" - "อินทรี" "อินทรี" - "อินทรี" หนึ่ง "อินทรี" และหนึ่ง “ ก้อย” จะหลุดออกมาในสองกรณีในสี่กรณี P(A)=2:4=0.5. คำตอบ: 0.5.

2. โยนเหรียญสามครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวสองหัวกับหนึ่งหางเป็นเท่าไหร่? วิธีแก้ไข: เมื่อโยนทิ้ง สามเหรียญเป็นไปได้ 8 ผลลัพธ์ (2*2*2=8): "อินทรี" - "ก้อย" - "ก้อย" "ก้อย" - "ก้อย" - "ก้อย" "ก้อย" - "หัว" - "ก้อย" "หัว" - "อินทรี" - "หาง" "หาง" - "หาง" - "หัว" "หาง" - "อินทรี" - "อินทรี" "อินทรี" - "หาง" - "อินทรี" "อินทรี" - "อินทรี" - " นกอินทรี" » "นกอินทรี" สองตัวและ "หาง" หนึ่งตัวจะหลุดออกมาใน สามกรณีจากแปด P(A)=3:8=0.375. คำตอบ: 0.375

3. ในการทดลองแบบสุ่ม โยนเหรียญสมมาตรสี่ครั้ง หาความน่าจะเป็นที่หัวจะไม่ขึ้นมา วิธีแก้ไข: เมื่อโยนเหรียญสี่เหรียญ ผลลัพธ์เป็นไปได้ 16 อย่าง: (2*2*2*2=16): ผลลัพธ์ที่น่าพอใจ - 1 (สี่หางจะหลุดออกมา) P(A)=1:16=0.0625. คำตอบ: 0.0625

เกมลูกเต๋า

4. กำหนดความน่าจะเป็นที่จะหลุดออกมามากกว่าสามคะแนนเมื่อทอยลูกเต๋า วิธีแก้ไข: มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด 6 รายการ ตัวเลขใหญ่คือ 3 - 4, 5, 6 P(A)=3:6=0.5. คำตอบ: 0.5.

5. ตายถูกโยน หาความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มเป็นจำนวนคู่ วิธีแก้ไข: ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด - 6. 1, 3, 5 - เลขคี่; 2, 4, 6 เป็นเลขคู่ ความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มเป็นจำนวนคู่คือ 3:6=0.5 คำตอบ: 0.5.

6. ในการทดลองสุ่ม โยนลูกเต๋าสองลูก จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มทั้งหมด 8 แต้ม ปัดเศษผลลัพธ์เป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด วิธีแก้ไข: การกระทำนี้ - การโยนลูกเต๋าสองลูกมีทั้งหมด 36 ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ เนื่องจาก 6² = 36 ผลลัพธ์ที่น่าพอใจ: 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 ความน่าจะเป็นที่จะได้แปดแต้มคือ 5:36 ≈ 0.14 คำตอบ: 0.14

7. โยนลูกเต๋าสองครั้ง รวมแล้วหลุดไป 6 แต้ม หาความน่าจะเป็นที่จะได้ 5 ในหนึ่งม้วน การตัดสิน: ผลลัพธ์ทั้งหมด 6 คะแนน - 5: 2 และ 4; 4 และ 2; 3 และ 3; 1 และ 5; 5 และ 1 ผลลัพธ์ที่น่าพอใจ - 2. P(A)=2:5=0.4 คำตอบ: 0.4

8. มีตั๋ว 50 ใบในการสอบ Timofey ไม่ได้เรียนรู้ 5 ใบ ค้นหาความน่าจะเป็นที่เขาจะได้รับตั๋วที่เรียนรู้ วิธีแก้ไข: ทิโมฟีย์เรียนรู้ตั๋ว 45 ใบ พี(เอ)=45:50=0.9. คำตอบ: 0.9.

การแข่งขัน

9. นักกีฬา 20 คนเข้าร่วมการแข่งขันยิมนาสติก: 8 คนจากรัสเซีย 7 คนจากสหรัฐอเมริกา ที่เหลือจากประเทศจีน ลำดับการแสดงจะถูกกำหนดโดยล็อต หาความน่าจะเป็นที่นักกีฬาที่เข้าแข่งขันก่อนมาจากจีน วิธีแก้ไข: ผลลัพธ์ทั้งหมด 20 ผลลัพธ์ที่น่าพอใจ 20-(8+7)=5 P(A)=5:20=0.25. คำตอบ: 0.25

10. นักกีฬาจากฝรั่งเศส 4 คน จากอังกฤษ 5 คน และจากอิตาลี 3 คน เข้าร่วมการแข่งขันขว้างลูก ลำดับการแสดงจะถูกกำหนดโดยการเสมอกัน ค้นหาความน่าจะเป็นที่นักกีฬาคนที่ห้ามาจากอิตาลี วิธีแก้ไข: จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 12 (4 + 5 + 3 = 12) จำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจคือ 3 P(A)=3:12=0.25 คำตอบ: 0.25

11. ก่อนเริ่มการแข่งขันแบดมินตันรอบแรก ผู้เข้าร่วมจะถูกสุ่มแบ่งเป็นคู่เกมโดยการจับสลาก โดยรวมแล้วมีผู้เล่นแบดมินตัน 26 คนเข้าร่วมการแข่งขัน รวมถึงผู้เข้าร่วม 12 คนจากรัสเซีย รวมถึง Vladimir Orlov ค้นหาความน่าจะเป็นที่ในรอบแรก Vladimir Orlov จะเล่นกับผู้เล่นแบดมินตันจากรัสเซียหรือไม่? การตัดสิน: ผลลัพธ์ทั้งหมด - 25 (วลาดิเมียร์ ออร์ลอฟ กับผู้เล่นแบดมินตัน 25 คน) ผลลัพธ์ที่น่าพอใจ - (12-1) = 11 P(A)=11:25=0.44. คำตอบ: 0.44

12. การแข่งขันของนักแสดงจะมีขึ้นใน 5 วัน มีการประกาศการแสดงทั้งหมด 75 รายการ - หนึ่งรายการจากแต่ละประเทศ วันแรกมีการแสดง 27 รอบ ที่เหลือแจกเท่าๆ กันในวันที่เหลือ ลำดับการแสดงจะถูกกำหนดโดยการเสมอกัน ความน่าจะเป็นที่การแสดงของตัวแทนของรัสเซียจะเกิดขึ้นในวันที่สามของการแข่งขันเป็นเท่าใด คำตัดสิน: ผลลัพธ์ทั้งหมด - 75 นักแสดงจากรัสเซียดำเนินการในวันที่สาม ผลลัพธ์ที่น่าพอใจ - (75-27): 4 = 12. P(A)=12: 75=0.16. คำตอบ: 0.16

13. Kolya เลือกตัวเลขสองหลัก หาความน่าจะเป็นที่หารด้วย 5 ลงตัว คำตอบ: ตัวเลขสองหลัก: 10;11;12;…;99 ผลลัพธ์ทั้งหมด - 90 ตัวเลขหารด้วย 5: 10; สิบห้า; 20; 25; …; 90; 95. ผลลัพธ์ที่น่าพอใจ - 18. P(A)=18:90=0.2. คำตอบ: 0.2

งานที่แตกต่างกันในการกำหนดความน่าจะเป็น

14. โรงงานผลิตกระเป๋า โดยเฉลี่ยแล้ว ทุกๆ 170 ถุงที่มีคุณภาพ จะมี 6 ถุงที่มีข้อบกพร่องที่ซ่อนอยู่ ค้นหาความน่าจะเป็นที่กระเป๋าที่ซื้อจะมีคุณภาพสูง ปัดเศษผลลัพธ์เป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด วิธีแก้ไข: ผลลัพธ์ทั้งหมด - 176. ผลลัพธ์ที่น่าพอใจ - 170. Р(А)=170:176 ≈ 0.97. คำตอบ: 0.97

15. โดยเฉลี่ยแล้ว จากทุกๆ 100 ก้อนที่ขายได้ จะมีการชาร์จแบตเตอรี่ 94 ก้อน ค้นหาความน่าจะเป็นที่แบตเตอรี่ที่ซื้อมาจะไม่ถูกชาร์จ วิธีแก้ไข: ผลลัพธ์ทั้งหมด - 100 ผลลัพธ์ที่น่าพอใจ - 100-94=6 P(A)=6:100=0.06. คำตอบ: 0.06

แหล่งที่มา http://mathgia.ru http:// www.schoolmathematics.ru