การกำหนดฟังก์ชันผกผันของคุณสมบัติและกราฟ ฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกัน

ให้เซต $X$ และ $Y$ รวมอยู่ในเซตของจำนวนจริง ให้เราแนะนำแนวคิดของฟังก์ชันย้อนกลับ

คำจำกัดความ 1

ฟังก์ชัน $f:X\to Y$ จับคู่ชุด $X$ ลงในชุด $Y$ เรียกว่า invertible หากองค์ประกอบใด ๆ $x_1,x_2\in X$ เป็นไปตามข้อเท็จจริงที่ว่า $x_1\ne x_2$ นั้น $f(x_1 )\ne f(x_2)$

ตอนนี้เราสามารถแนะนำแนวคิดของฟังก์ชันผกผัน

คำจำกัดความ 2

ให้ฟังก์ชัน $f:X\to Y$ จับคู่ชุด $X$ เข้ากับชุด $Y$ แบบย้อนกลับได้ จากนั้นฟังก์ชัน $f^(-1):Y\to X$ จับคู่ชุด $Y$ เข้ากับชุด $X$ และกำหนดโดยเงื่อนไข $f^(-1)\left(y\right)=x$ เรียกว่าผกผันของ $f( x)$

มากำหนดทฤษฎีบทกัน:

ทฤษฎีบท 1

ให้ฟังก์ชัน $y=f(x)$ ถูกกำหนด เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน (ลดลง) และต่อเนื่องในบางช่วง $X$ จากนั้น ในช่วงเวลาที่สอดคล้องกัน $Y$ ของค่าของฟังก์ชันนี้ มันมีฟังก์ชันผกผัน ซึ่งยังเพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ (ลดลง) และต่อเนื่องกันในช่วง $Y$

ให้เราแนะนำโดยตรงเกี่ยวกับแนวคิดของฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกัน

คำจำกัดความ 3

ภายในกรอบของนิยาม 2 ฟังก์ชัน $f(x)$ และ $f^(-1)\left(y\right)$ ถูกเรียกฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกัน

คุณสมบัติของฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกัน

ให้ฟังก์ชัน $y=f(x)$ และ $x=g(y)$ ผกผันกัน แล้ว

$y=f(g\left(y\right))$ และ $x=g(f(x))$

โดเมนของฟังก์ชัน $y=f(x)$ เท่ากับโดเมนของค่าของฟังก์ชัน $\ x=g(y)$ และโดเมนของฟังก์ชัน $x=g(y)$ เท่ากับโดเมนของค่าของฟังก์ชัน $\ y=f(x)$

กราฟของฟังก์ชัน $y=f(x)$ และ $x=g(y)$ มีความสมมาตรเมื่อเทียบกับเส้นตรง $y=x$

หากฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่งเพิ่มขึ้น (ลดลง) ฟังก์ชันอื่นก็จะเพิ่มขึ้น (ลดลงด้วย)

การหาฟังก์ชันผกผัน

สมการ $y=f(x)$ เทียบกับตัวแปร $x$ ได้รับการแก้ไขแล้ว

จากรากที่ได้รับ จะพบรากที่อยู่ในช่วง $X$

พบ $x$ ถูกกำหนดให้กับหมายเลข $y$

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาฟังก์ชันผกผัน สำหรับฟังก์ชัน $y=x^2$ บนช่วง $X=[-1,0]$

เนื่องจากฟังก์ชันนี้กำลังลดลงและต่อเนื่องกันบนช่วงเวลา $X$ ดังนั้นในช่วง $Y=$ ซึ่งกำลังลดลงและต่อเนื่องกันในช่วงเวลานี้ (ทฤษฎีบท 1)

คำนวณ $x$:

\ \

เลือก $x$ ที่เหมาะสม:

ตอบ:ฟังก์ชันผกผัน $y=-\sqrt(x)$

ปัญหาในการค้นหาฟังก์ชันผกผัน

ในส่วนนี้ เราจะพิจารณาฟังก์ชันผกผันสำหรับฟังก์ชันพื้นฐานบางฟังก์ชัน งานจะได้รับการแก้ไขตามรูปแบบที่ระบุข้างต้น

ตัวอย่าง 2

ค้นหาฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชัน $y=x+4$

ค้นหา $x$ จากสมการ $y=x+4$:

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชัน $y=x^3$

การตัดสินใจ.

เนื่องจากฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและต่อเนื่องในโดเมนทั้งหมดของคำจำกัดความ ดังนั้นตามทฤษฎีบท 1 ฟังก์ชันจึงมีฟังก์ชันต่อเนื่องแบบผกผันและเพิ่มขึ้น

ค้นหา $x$ จากสมการ $y=x^3$:

การหาค่าที่เหมาะสมของ $x$

ค่าในกรณีของเราเหมาะสม (เนื่องจากขอบเขตเป็นตัวเลขทั้งหมด)

กำหนดตัวแปรใหม่เราได้รับว่าฟังก์ชันผกผันมีรูปแบบ

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชัน $y=cosx$ ในช่วงเวลา $$

การตัดสินใจ.

พิจารณาฟังก์ชัน $y=cosx$ ในชุด $X=\left$ มันต่อเนื่องและลดลงในชุด $X$ และแมปชุด $X=\left$ เข้ากับชุด $Y=[-1,1]$ ดังนั้น โดยทฤษฎีบทของการมีอยู่ของฟังก์ชันโมโนโทนต่อเนื่องผกผัน ฟังก์ชั่น $y=cosx$ ในชุด $ Y$ มีฟังก์ชันผกผัน ซึ่งยังต่อเนื่องและเพิ่มขึ้นในชุด $Y=[-1,1]$ และแมปชุด $[-1,1]$ ไปที่ชุด $\left$

ค้นหา $x$ จากสมการ $y=cosx$:

การหาค่าที่เหมาะสมของ $x$

กำหนดตัวแปรใหม่เราได้รับว่าฟังก์ชันผกผันมีรูปแบบ

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาฟังก์ชันผกผันสำหรับฟังก์ชัน $y=tgx$ ในช่วง $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$

การตัดสินใจ.

พิจารณาฟังก์ชัน $y=tgx$ ในชุด $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ มันต่อเนื่องและเพิ่มขึ้นในชุด $X$ และแมปชุด $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ กับชุด $Y =R$ ดังนั้น ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับการมีอยู่ของฟังก์ชันโมโนโทนต่อเนื่องผกผัน ฟังก์ชัน $y=tgx$ ในชุด $Y$ มีฟังก์ชันผกผัน ซึ่งต่อเนื่องกันและเพิ่มขึ้นในเซต $Y=R $ และแมปชุด $R$ กับชุด $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$

ค้นหา $x$ จากสมการ $y=tgx$:

การหาค่าที่เหมาะสมของ $x$

กำหนดตัวแปรใหม่เราได้รับว่าฟังก์ชันผกผันมีรูปแบบ

ฟังก์ชันผกผันคืออะไร? จะค้นหาฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันที่กำหนดได้อย่างไร

คำนิยาม .

ให้ฟังก์ชัน y=f(x) ถูกกำหนดในชุด D และ E เป็นเซตของค่าของมัน ฟังก์ชันผกผันเทียบกับฟังก์ชัน y=f(x) คือฟังก์ชัน x=g(y) ซึ่งถูกกำหนดในชุด E และกำหนดค่าให้กับแต่ละ y∈E เช่น ค่า x∈D ที่ f(x)=y

ดังนั้น โดเมนของฟังก์ชัน y=f(x) คือโดเมนของฟังก์ชันผกผัน และโดเมนของ y=f(x) คือโดเมนของฟังก์ชันผกผัน

ในการหาฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันที่กำหนด y=f(x) ต้อง :

1) ในสูตรฟังก์ชัน แทน y แทน x แทน x - y:

2) จากผลลัพธ์ที่เท่ากัน ให้แสดง y ในรูปของ x:

ค้นหาฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชัน y=2x-6

ฟังก์ชัน y=2x-6 และ y=0.5x+3 นั้นผกผันกัน

กราฟของฟังก์ชันตรงและผกผันมีความสมมาตรเทียบกับเส้นตรง y=x(แบ่งครึ่งของไตรมาสพิกัด I และ III)

y=2x-6 และ y=0.5x+3 - . กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นคือ ในการวาดเส้นตรง เราใช้สองจุด



เป็นไปได้ที่จะแสดงค่า y อย่างเฉพาะเจาะจงในรูปของ x เมื่อสมการ x=f(y) มีคำตอบเฉพาะ สิ่งนี้สามารถทำได้หากฟังก์ชัน y=f(x) รับค่าแต่ละค่าที่จุดเดียวของโดเมนของคำจำกัดความ (ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่า ย้อนกลับได้).

ทฤษฎีบท (เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับฟังก์ชันที่จะย้อนกลับได้)

ถ้าฟังก์ชัน y=f(x) ถูกกำหนดและต่อเนื่องในช่วงเวลาที่เป็นตัวเลข ดังนั้นสำหรับฟังก์ชันที่จะย้อนกลับได้ จำเป็นและเพียงพอที่ f(x) จะเป็นโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัด

นอกจากนี้ ถ้า y=f(x) เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา ฟังก์ชันผกผันกับค่านั้นจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลานี้ด้วย ถ้า y=f(x) ลดลง ฟังก์ชันผกผันก็จะลดลงเช่นกัน

หากเงื่อนไขการย้อนกลับไม่เป็นที่พอใจทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความ เราสามารถแยกช่วงที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นหรือลดลงเท่านั้น และในช่วงเวลานี้ ให้ค้นหาฟังก์ชันผกผันกับช่วงที่กำหนด

ตัวอย่างคลาสสิกคือ . ในระหว่าง

E (y) \u003d [-π / 2; π / 2]

y (-x) \u003d arcsin (-x) \u003d - arcsin x - ฟังก์ชันคี่ กราฟมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุด O (0; 0)

อาร์คซิน x = 0 ที่ x = 0

arcsin x > 0 ที่ x є (0; 1]

อาร์คซิน x< 0 при х є [-1;0)

y \u003d arcsin x เพิ่มขึ้นสำหรับ x є [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>อาร์คซิน x 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.

อาร์คโคไซน์

ฟังก์ชันโคไซน์ลดลงบนเซ็กเมนต์และรับค่าทั้งหมดจาก -1 ถึง 1 ดังนั้นสำหรับจำนวนใดๆ ที่ |a|1 จะมีรูทเดียวในสมการ cosx=a บนเซ็กเมนต์ ตัวเลข in นี้เรียกว่าอาร์คโคไซน์ของจำนวน a และเขียนแทนด้วยอาร์โคส a

คำนิยาม . อาร์คโคไซน์ของจำนวน a โดยที่ -1 a 1 เป็นตัวเลขจากเซกเมนต์ที่มีโคไซน์เท่ากับ a

คุณสมบัติ.

1. อี(y) =

   y (-x) \u003d arccos (-x) \u003d π - arccos x - ฟังก์ชันไม่เป็นเลขคู่หรือคี่

   arccos x = 0 ที่ x = 1

   arccos x > 0 ที่ x є [-1; 1)

arccos x< 0 – нет решений

y \u003d arccos x ลดลงสำหรับ x є [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1 ≥ arcsin x 2 - ลดลง

อาร์คแทนเจนต์

ฟังก์ชันแทนเจนต์เพิ่มขึ้นในส่วน -
ดังนั้น ตามทฤษฎีบทรูท สมการ tgx \u003d a โดยที่ a เป็นจำนวนจริงใดๆ จะมีรูท x เฉพาะในช่วงเวลา - รูตนี้เรียกว่าอาร์คแทนเจนต์ของจำนวน a และเขียนแทนด้วยอาร์คกา

คำนิยาม. อาร์คแทนเจนต์ของตัวเลข เอR หมายเลขนี้เรียกว่า x , ซึ่งมีแทนเจนต์คือ

คุณสมบัติ.

E (y) \u003d (-π / 2; π / 2)

y(-x) \u003d y \u003d arctg (-x) \u003d - arctg x - ฟังก์ชันเป็นเลขคี่ กราฟมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุด O (0; 0)

arctg x = 0 ที่ x = 0

ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นสำหรับ x є R . ใด ๆ

-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>arctg x 1< arctg х 2

อาร์คแทนเจนต์

ฟังก์ชันโคแทนเจนต์บนช่วงเวลา (0;) จะลดลงและรับค่าทั้งหมดจาก R ดังนั้นสำหรับตัวเลข a ใดๆ ในช่วงเวลา (0;) จะมีรากเดียวของสมการ ctg x = a จำนวนนี้เรียกว่าอาร์คแทนเจนต์ของจำนวน a และแสดงโดย arcctg a

คำนิยาม. อาร์คแทนเจนต์ของตัวเลข a โดยที่ R คือตัวเลขดังกล่าวจากช่วง (0;) , ซึ่งมีโคแทนเจนต์คือ

คุณสมบัติ.

E(y) = (0; π)

y (-x) \u003d arcctg (-x) \u003d π - arcctg x - ฟังก์ชันไม่เป็นเลขคู่หรือคี่

arcctg x = 0- ไม่ได้อยู่.

การทำงาน y = arcctg xลดลงสำหรับใดๆ х є R

-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>arcctg x 1 > arcctg x 2

ฟังก์ชั่นนี้ต่อเนื่องสำหรับ x є R

2.3 การแปลงเอกลักษณ์ของนิพจน์ที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

ตัวอย่างที่ 1 . ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

ก)
ที่ไหน

การตัดสินใจ. มาใส่กัน
. แล้ว
และ
การค้นหา
, เราใช้ความสัมพันธ์
เราได้รับ
แต่ . ในส่วนนี้ โคไซน์ใช้เฉพาะค่าบวกเท่านั้น ดังนั้น,
, เช่น
ที่ไหน
.

ข)

การตัดสินใจ.

ใน)

การตัดสินใจ. มาใส่กัน
. แล้ว
และ
ให้เราหาก่อนซึ่งเราใช้สูตร
, ที่ไหน
เนื่องจากโคไซน์ใช้เฉพาะค่าบวกในช่วงเวลานี้ ดังนั้น
.

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

เกี่ยวกับการศึกษา:

• เพื่อสร้างความรู้ในหัวข้อใหม่ตามเนื้อหาของโปรแกรม
• เพื่อศึกษาคุณสมบัติของการพลิกกลับของฟังก์ชันและสอนวิธีค้นหาฟังก์ชันผกผันกับฟังก์ชันที่กำหนด

กำลังพัฒนา:

• พัฒนาทักษะการควบคุมตนเอง การพูดในหัวข้อ
• ฝึกฝนแนวคิดของฟังก์ชันผกผันและเรียนรู้วิธีค้นหาฟังก์ชันผกผัน

การศึกษา: เพื่อสร้างความสามารถในการสื่อสาร

อุปกรณ์:คอมพิวเตอร์ โปรเจ็กเตอร์ หน้าจอ กระดานไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ SMART Board เอกสารแจก (งานอิสระ) สำหรับงานกลุ่ม

ระหว่างเรียน.

1. ช่วงเวลาขององค์กร

เป้า – การเตรียมนักเรียนให้พร้อมสำหรับการทำงานในห้องเรียน:

คำจำกัดความของการขาด

ทัศนคติของนักศึกษาต่อการทำงาน การจัดระเบียบความสนใจ

ข้อความเกี่ยวกับหัวข้อและวัตถุประสงค์ของบทเรียน

2. อัพเดทความรู้พื้นฐานของนักเรียนแบบสำรวจความคิดเห็นด้านหน้า

เป้า - เพื่อสร้างความถูกต้องและความตระหนักรู้ของเนื้อหาทางทฤษฎีที่ศึกษา การทำซ้ำของเนื้อหาที่ครอบคลุม<Приложение 1 >

กราฟของฟังก์ชันจะแสดงบนกระดานไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบสำหรับนักเรียน ครูกำหนดงาน - เพื่อพิจารณากราฟของฟังก์ชันและแสดงรายการคุณสมบัติที่ศึกษาของฟังก์ชัน นักศึกษาแสดงรายการคุณสมบัติของฟังก์ชันตามแบบงานวิจัย ครูทางด้านขวาของกราฟของฟังก์ชัน จดคุณสมบัติที่มีชื่อไว้ด้วยเครื่องหมายบนไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ

คุณสมบัติของฟังก์ชัน:

ในตอนท้ายของการศึกษา ครูรายงานว่าวันนี้ในบทเรียน พวกเขาจะได้ทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติอีกอย่างหนึ่งของฟังก์ชัน - การย้อนกลับได้ สำหรับการศึกษาเนื้อหาใหม่อย่างมีความหมาย ครูเชื้อเชิญให้เด็กทำความคุ้นเคยกับคำถามหลักที่นักเรียนต้องตอบเมื่อจบบทเรียน คำถามถูกเขียนบนกระดานธรรมดาและนักเรียนแต่ละคนมีเอกสารแจก (แจกก่อนบทเรียน)

1. ฟังก์ชั่นย้อนกลับคืออะไร?
2. ทุกฟังก์ชั่นย้อนกลับได้หรือไม่?
3. ฟังก์ชันผกผันที่กำหนดคืออะไร?
4. โดเมนของคำจำกัดความและชุดของค่าของฟังก์ชันและฟังก์ชันผกผันเกี่ยวข้องกันอย่างไร
5. หากฟังก์ชันได้รับการวิเคราะห์ คุณจะกำหนดฟังก์ชันผกผันด้วยสูตรอย่างไร
6. หากฟังก์ชันได้รับแบบกราฟิก จะพล็อตฟังก์ชันผกผันได้อย่างไร

3. คำอธิบายของวัสดุใหม่

เป้า - เพื่อสร้างความรู้ในหัวข้อใหม่ตามเนื้อหาของโปรแกรม เพื่อศึกษาคุณสมบัติของการพลิกกลับของฟังก์ชันและสอนวิธีค้นหาฟังก์ชันผกผันกับฟังก์ชันที่กำหนด พัฒนาเรื่อง

ครูดำเนินการนำเสนอเนื้อหาตามเนื้อหาของย่อหน้า บนกระดานแบบโต้ตอบ ครูจะเปรียบเทียบกราฟของฟังก์ชันสองฟังก์ชันที่มีโดเมนของคำจำกัดความและชุดของค่าเหมือนกัน แต่ฟังก์ชันหนึ่งเป็นแบบโมโนโทนิกและอีกฟังก์ชันหนึ่งไม่ใช่ ซึ่งทำให้นักเรียนอยู่ภายใต้แนวคิดของฟังก์ชันย้อนกลับ .

จากนั้นครูจะกำหนดคำจำกัดความของฟังก์ชันย้อนกลับและดำเนินการพิสูจน์ทฤษฎีบทฟังก์ชันย้อนกลับโดยใช้กราฟของฟังก์ชันโมโนโทนิกบนไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ

นิยาม 1: ฟังก์ชัน y=f(x), x X เรียกว่า ย้อนกลับได้หากใช้ค่าใดค่าหนึ่งที่จุดหนึ่งของเซต X เท่านั้น

ทฤษฎีบท: หากฟังก์ชัน y=f(x) เป็นโมโนโทนในชุด X แสดงว่าฟังก์ชันนี้กลับด้านได้

การพิสูจน์:

1. ให้ฟังก์ชั่น y=f(x)เพิ่มขึ้นโดย Xปล่อยมันไป x 1 ≠ x 2- สองแต้มของเซต X.
2. เพื่อความชัดเจนให้ x 1< x2.
   แล้วจากอะไร x 1< x2ตามนั้น ฉ(x 1) < ฉ(x 2).
3. ดังนั้นค่าต่าง ๆ ของอาร์กิวเมนต์จึงสอดคล้องกับค่าต่าง ๆ ของฟังก์ชันเช่น ฟังก์ชันนี้ย้อนกลับได้

(ระหว่างการพิสูจน์ทฤษฎีบท ครูให้คำอธิบายที่จำเป็นทั้งหมดเกี่ยวกับภาพวาดด้วยปากกามาร์กเกอร์)

ก่อนกำหนดนิยามของฟังก์ชันผกผัน ครูขอให้นักเรียนพิจารณาว่าฟังก์ชันใดที่เสนอสามารถย้อนกลับได้ กระดานไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบแสดงกราฟของฟังก์ชันและฟังก์ชันต่างๆ ที่กำหนดไว้ในเชิงวิเคราะห์ถูกเขียนขึ้น:

ข)

ช) y = 2x + 5

ง) y = -x 2 + 7

ครูแนะนำคำจำกัดความของฟังก์ชันผกผัน

คำจำกัดความ 2: ให้ฟังก์ชันพลิกกลับได้ y=f(x)ที่กำหนดไว้ในชุด Xและ E(f)=Y. มาจับคู่กัน yจาก Yแล้วความหมายเดียว Xซึ่ง f(x)=y.จากนั้นเราจะได้ฟังก์ชันที่กำหนดบน Y, แ Xคือช่วงของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันนี้แสดงไว้ x=f -1 (y)และเรียกว่าผกผันของฟังก์ชัน y=f(x).

นักเรียนได้รับเชิญให้ทำการสรุปเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างโดเมนของคำจำกัดความและชุดของค่าของฟังก์ชันผกผัน

ในการพิจารณาคำถามว่าจะหาฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันที่ให้มาได้อย่างไร ครูจึงใช้นักเรียนสองคน วันก่อน เด็กๆ ได้รับงานจากครูให้วิเคราะห์วิธีการวิเคราะห์และกราฟิกเพื่อค้นหาฟังก์ชันผกผันที่กำหนดอย่างอิสระ ครูทำหน้าที่เป็นที่ปรึกษาในการเตรียมนักเรียนสำหรับบทเรียน

ข้อความจากนักเรียนคนแรก

หมายเหตุ: ความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันคือ เพียงพอเงื่อนไขการมีอยู่ของฟังก์ชันผกผัน แต่มัน ไม่ใช่เงื่อนไขที่จำเป็น

นักเรียนยกตัวอย่างสถานการณ์ต่างๆ เมื่อฟังก์ชันไม่โมโนโทนิก แต่ย้อนกลับได้ เมื่อฟังก์ชันไม่โมโนโทนิกและย้อนกลับไม่ได้ เมื่อเป็นแบบโมโนโทนิกและย้อนกลับได้

จากนั้นนักเรียนแนะนำให้นักเรียนรู้จักวิธีการหาฟังก์ชันผกผันที่ให้การวิเคราะห์

ค้นหาอัลกอริทึม

1. ตรวจสอบให้แน่ใจว่าฟังก์ชันเป็นแบบโมโนโทนิก
2. แสดง x ในรูปของ y
3. เปลี่ยนชื่อตัวแปร แทนที่จะเป็น x \u003d f -1 (y) พวกเขาเขียน y \u003d f -1 (x)

จากนั้นจึงแก้ตัวอย่างสองตัวอย่างเพื่อหาฟังก์ชันผกผันของค่าที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 1:แสดงว่ามีฟังก์ชันผกผันสำหรับฟังก์ชัน y=5x-3 และค้นหานิพจน์การวิเคราะห์

การตัดสินใจ. ฟังก์ชันเชิงเส้น y=5x-3 ถูกกำหนดบน R เพิ่มขึ้นบน R และพิสัยของมันคือ R ดังนั้น ฟังก์ชันผกผันจึงมีอยู่บน R ในการหานิพจน์เชิงวิเคราะห์ เราแก้สมการ y=5x-3 เทียบกับ x; เราได้ นี่คือฟังก์ชันผกผันที่ต้องการ ถูกกำหนดและเพิ่มขึ้นโดย R.

ตัวอย่างที่ 2:แสดงว่ามีฟังก์ชันผกผันสำหรับฟังก์ชัน y=x 2 , x≤0 และค้นหานิพจน์การวิเคราะห์

ฟังก์ชันเป็นแบบต่อเนื่อง เสียงเดียวในขอบเขตของคำจำกัดความ ดังนั้นจึงไม่สามารถย้อนกลับได้ เมื่อวิเคราะห์โดเมนของคำจำกัดความและชุดของค่าของฟังก์ชันแล้ว จะมีการสรุปที่สอดคล้องกันเกี่ยวกับนิพจน์เชิงวิเคราะห์สำหรับฟังก์ชันผกผัน

นักเรียนคนที่สองนำเสนอเกี่ยวกับ กราฟิกวิธีหาฟังก์ชันผกผัน ในระหว่างการอธิบาย นักเรียนใช้ความสามารถของไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ

เพื่อให้ได้กราฟของฟังก์ชัน y=f -1 (x) ผกผันกับฟังก์ชัน y=f(x) จำเป็นต้องแปลงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) แบบสมมาตรเทียบกับเส้นตรง y=x

ในระหว่างการอธิบายบนไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ งานต่อไปนี้จะถูกดำเนินการ:

สร้างกราฟของฟังก์ชันและกราฟของฟังก์ชันผกผันในระบบพิกัดเดียวกัน เขียนนิพจน์การวิเคราะห์สำหรับฟังก์ชันผกผัน

4. การตรึงเบื้องต้นของวัสดุใหม่

เป้า - เพื่อสร้างความถูกต้องและความตระหนักในความเข้าใจของเนื้อหาที่ศึกษา เพื่อระบุช่องว่างในความเข้าใจเบื้องต้นของเนื้อหา เพื่อแก้ไขให้ถูกต้อง

นักเรียนแบ่งออกเป็นคู่ พวกเขาได้รับแผ่นงานที่พวกเขาทำงานเป็นคู่ เวลาในการทำงานมีจำกัด (5-7 นาที) นักเรียนคู่หนึ่งทำงานบนคอมพิวเตอร์ คราวนี้โปรเจ็กเตอร์ปิดอยู่ และเด็กที่เหลือจะมองไม่เห็นว่านักเรียนทำงานอย่างไรบนคอมพิวเตอร์

เมื่อสิ้นสุดเวลา (สันนิษฐานว่านักเรียนส่วนใหญ่ทำงานเสร็จแล้ว) กระดานไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ (เปิดโปรเจ็กเตอร์อีกครั้ง) จะแสดงงานของนักเรียน ซึ่งจะมีการชี้แจงระหว่างการทดสอบว่างานเสร็จสมบูรณ์ใน คู่ หากจำเป็น ครูจะดำเนินการแก้ไขและอธิบาย

ทำงานอิสระเป็นคู่<ภาคผนวก 2 >

5. ผลลัพธ์ของบทเรียนเกี่ยวกับคำถามที่ถามก่อนการบรรยาย ประกาศเกรดสำหรับบทเรียน

การบ้าน §10. №№ 10.6(а,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10 ใน 2 ส่วนสำหรับสถาบันการศึกษา (ระดับโปรไฟล์) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova และอื่น ๆ เอ็ด A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

ฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกัน

ให้ฟังก์ชันเป็นโมโนโทนอย่างเคร่งครัด (เพิ่มขึ้นหรือลดลง) และต่อเนื่องในโดเมนของคำจำกัดความช่วงของฟังก์ชันนี้จากนั้นในช่วงเวลาจะมีการกำหนดฟังก์ชันโมโนโทนแบบต่อเนื่องอย่างเคร่งครัดพร้อมช่วงของค่าซึ่ง ผกผันสำหรับ .

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เป็นเรื่องสมเหตุสมผลที่จะพูดถึงฟังก์ชันผกผันสำหรับฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่งๆ ถ้ามันเพิ่มขึ้นหรือลดลงในช่วงเวลานี้

ฟังก์ชั่น ฉ และ g เรียกว่าซึ่งกันและกัน

เหตุใดจึงพิจารณาแนวคิดของฟังก์ชันผกผันเลย?

ซึ่งเกิดจากการแก้สมการ คำตอบเขียนในรูปของฟังก์ชันผกผัน

พิจารณา ตัวอย่างการหาฟังก์ชันผกผัน .

มาเริ่มกันที่ฟังก์ชันผกผันเชิงเส้นตรงกัน

ค้นหาฟังก์ชันผกผันของ

ฟังก์ชันนี้เป็นเส้นตรง กราฟของมันคือเส้นตรง ดังนั้น ฟังก์ชันนี้เป็นเสียงเดียวในโดเมนทั้งหมดของคำจำกัดความ ดังนั้น เราจะมองหาฟังก์ชันผกผันกับมันในโดเมนทั้งหมดของคำจำกัดความ

.

ด่วน x ผ่าน y (กล่าวอีกนัยหนึ่งให้แก้สมการสำหรับ x ).

- นี่คือฟังก์ชันผกผัน ความจริงอยู่ที่นี่ y เป็นข้อโต้แย้งและ x เป็นหน้าที่ของอาร์กิวเมนต์นี้ เพื่อไม่ให้เสียนิสัยในสัญกรณ์ (นี่ไม่ใช่ความสำคัญพื้นฐาน) การจัดเรียงตัวอักษรใหม่ x และ y ,จะเขียน .

ดังนั้น และ เป็นฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกัน

ให้ภาพประกอบกราฟิกของฟังก์ชันเชิงเส้นผกผันซึ่งกันและกัน

เห็นได้ชัดว่ากราฟมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับเส้นตรง (แบ่งครึ่งของไตรมาสที่หนึ่งและสาม) นี่เป็นหนึ่งในคุณสมบัติของฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกัน ซึ่งจะกล่าวถึงด้านล่าง

หาฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันนี้เป็นกำลังสอง กราฟคือพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุดหนึ่ง

.

ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตามและลดลงเป็น ซึ่งหมายความว่าเราสามารถค้นหาฟังก์ชันผกผันสำหรับค่าหนึ่งในสองช่วง

ให้แล้วและแลกเปลี่ยน x และ y เราได้รับฟังก์ชันผกผันในช่วงเวลาที่กำหนด:

หาฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันนี้คือลูกบาศก์ กราฟคือลูกบาศก์พาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุดหนึ่ง

.

ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นที่ ซึ่งหมายความว่าเป็นไปได้ที่จะค้นหาฟังก์ชันผกผันสำหรับฟังก์ชันที่กำหนดในโดเมนทั้งหมดของคำจำกัดความ

และโดยการแลกเปลี่ยน x กับ y เราได้ฟังก์ชันผกผัน

ลองแสดงสิ่งนี้บนกราฟ

มาลงรายการกัน คุณสมบัติของฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกัน และ.

และ.

จะเห็นได้จากคุณสมบัติแรกที่ขอบเขตของฟังก์ชันตรงกับขอบเขตของฟังก์ชันและในทางกลับกัน

กราฟของฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกันมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับเส้นตรง

ถ้าเพิ่มก็เพิ่ม ถ้าลดก็ลด

สำหรับฟังก์ชันที่กำหนด ให้ค้นหาฟังก์ชันผกผัน:

สำหรับฟังก์ชันที่กำหนด ให้ค้นหาฟังก์ชันผกผันและพล็อตฟังก์ชันที่กำหนดและฟังก์ชันผกผัน: ค้นหาว่ามีฟังก์ชันผกผันสำหรับฟังก์ชันที่กำหนดหรือไม่ ถ้าใช่ ให้กำหนดฟังก์ชันผกผันเชิงวิเคราะห์ พล็อตฟังก์ชันที่กำหนดและฟังก์ชันผกผัน: ค้นหาโดเมนและพิสัยของฟังก์ชันผกผันกับฟังก์ชันหาก:

1. หาพิสัยของฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกันแต่ละฟังก์ชัน และหากกำหนดช่วงของฟังก์ชันดังกล่าว:

เป็นฟังก์ชันผกผันกันถ้า:

1. ค้นหาฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันที่กำหนด พล็อตบนระบบพิกัดเดียวกันกราฟของฟังก์ชันผกผันร่วมกันเหล่านี้:

   ฟังก์ชันนี้ผกผันกับตัวเองหรือไม่: กำหนดฟังก์ชันผกผันกับฟังก์ชันที่กำหนดและพล็อตกราฟ: