คำนิยาม. ปริซึม- นี่คือรูปทรงหลายเหลี่ยม ซึ่งจุดยอดทั้งหมดนั้นอยู่ในระนาบคู่ขนานกันสองระนาบ และในระนาบเดียวกันนั้นมีสองหน้าของปริซึม ซึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมเท่ากันโดยมีด้านขนานกันตามลำดับ และขอบทั้งหมดที่ไม่อยู่ในสิ่งเหล่านี้ เครื่องบินขนานกัน

สองหน้าเท่ากันเรียกว่า ฐานปริซึม(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

หน้าอื่นของปริซึมเรียกว่า ใบหน้าด้านข้าง(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A)

ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดรูปแบบ พื้นผิวด้านข้างของปริซึม .

ใบหน้าด้านข้างของปริซึมทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน .

ขอบที่ไม่ได้อยู่ที่ฐานเรียกว่าขอบด้านข้างของปริซึม ( AA 1, บี.บี.1, CC 1, DD 1, EE1).

ปริซึมเส้นทแยงมุม ส่วนที่เรียกว่าส่วนปลายซึ่งเป็นจุดยอดสองจุดของปริซึมที่ไม่อยู่บนใบหน้าด้านใดด้านหนึ่ง (AD 1)

ความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อฐานของปริซึมและตั้งฉากกับฐานทั้งสองในเวลาเดียวกันเรียกว่า ความสูงของปริซึม .

การกำหนด:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (ประการแรก ตามลำดับบายพาส จุดยอดของฐานหนึ่งจะถูกระบุ จากนั้นในลำดับเดียวกัน จุดยอดของอีกฐานหนึ่ง ปลายของขอบแต่ละด้านถูกกำหนดด้วยตัวอักษรเดียวกัน เฉพาะจุดยอดที่วางอยู่ในฐานเดียวเท่านั้น ถูกระบุด้วยตัวอักษรที่ไม่มีดัชนีและอื่น ๆ - พร้อมดัชนี)

ชื่อของปริซึมสัมพันธ์กับจำนวนมุมในรูปนอนอยู่ที่ฐาน เช่น ในรูปที่ 1 ฐานเป็นรูปห้าเหลี่ยมจึงเรียกปริซึม ปริซึมห้าเหลี่ยม. แต่ตั้งแต่ ปริซึมดังกล่าวมี 7 หน้า แล้วก็ ทรง heptahedron(2 หน้าเป็นฐานของปริซึม 5 หน้าเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน เป็นหน้าด้านข้าง)

ในบรรดาปริซึมตรงมีความโดดเด่น มุมมองส่วนตัว: ปริซึมปกติ

ปริซึมตรงเรียกว่า ถูกต้อง,ถ้าฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ

ขนานกัน

ทรงลูกบาศก์- รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานด้านขวาซึ่งมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

คุณสมบัติและทฤษฎีบท:

,

โดยที่ d คือเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
เอ - ด้านของสี่เหลี่ยม

แนวคิดของปริซึมถูกกำหนดโดย:

• โครงสร้างทางสถาปัตยกรรมต่างๆ
• ของเล่นเด็ก;
• กล่องบรรจุ;
• รายการออกแบบ ฯลฯ

พื้นที่ผิวทั้งหมดและด้านข้างของปริซึม

S เต็ม \u003d S ด้าน + 2S หลัก,

ที่ไหน อิ่ม- พื้นที่ผิวทั้งหมด ด้านเอส- พื้นที่ผิวด้านข้าง S หลัก- พื้นที่ฐาน

พื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมตรงเท่ากับผลคูณของเส้นรอบวงฐานและความสูงของปริซึม.

ด้านเอส\u003d P หลัก * h,

ที่ไหน ด้านเอสคือ พื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมตรง

P main - ปริมณฑลของฐานของปริซึมตรง

h คือความสูงของปริซึมตรง เท่ากับขอบด้านข้าง

ปริมาณปริซึม

ปริมาตรของปริซึมเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง

คำนิยาม.

นี่คือรูปหกเหลี่ยม ฐานที่มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอันเท่ากัน และหน้าด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากัน

ซี่โครงข้างเป็นด้านร่วมของใบหน้าสองด้านที่อยู่ติดกัน

ปริซึมสูงเป็นส่วนของเส้นตรงตั้งฉากกับฐานของปริซึม

ปริซึมเส้นทแยงมุม- ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดของฐานที่ไม่อยู่ในหน้าเดียวกัน

ระนาบแนวทแยง- ระนาบที่ผ่านแนวทแยงของปริซึมและขอบด้านข้าง

ส่วนทแยงมุม- ขอบเขตของจุดตัดของปริซึมและระนาบแนวทแยง ส่วนในแนวทแยงที่ถูกต้อง ปริซึมสี่เหลี่ยมเป็นสี่เหลี่ยม

ส่วนตั้งฉาก (ส่วนมุมฉาก)- นี่คือจุดตัดของปริซึมกับระนาบที่ตั้งฉากกับขอบด้านข้าง

องค์ประกอบของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ

รูปแสดงปริซึมสี่เหลี่ยมปกติสองอัน ซึ่งทำเครื่องหมายด้วยตัวอักษรที่เกี่ยวข้องกัน:

• ฐาน ABCD และ A 1 B 1 C 1 D 1 เท่ากันและขนานกัน
• ใบหน้าด้านข้าง AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C และ CC 1 D 1 D ซึ่งแต่ละอันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
• พื้นผิวด้านข้าง - ผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมดของปริซึม
• พื้นผิวทั้งหมด - ผลรวมของพื้นที่ของฐานทั้งหมดและใบหน้าด้านข้าง (ผลรวมของพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างและฐาน)
• ซี่โครงข้าง AA 1 , BB 1 , CC 1 และ DD 1 .
• เส้นทแยงมุม B 1 D
• ฐานทแยงมุม BD
• ส่วนแนวทแยง BB 1 D 1 D
• ส่วนตั้งฉาก A 2 B 2 C 2 D 2 .

คุณสมบัติของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ

• ฐานเป็นสองสี่เหลี่ยมเท่ากัน
• ฐานขนานกัน
• ด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
• หน้าด้านข้างเท่ากัน
• ใบหน้าด้านข้างตั้งฉากกับฐาน
• ซี่โครงด้านข้างขนานกันและเท่ากัน
• ส่วนตั้งฉากตั้งฉากกับซี่โครงด้านข้างทั้งหมดและขนานกับฐาน
• มุมฉากตั้งฉาก - ขวา
• ส่วนทแยงมุมของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติคือ สี่เหลี่ยมผืนผ้า
• ตั้งฉาก (ส่วนมุมฉาก) ขนานกับฐาน

สูตรสำหรับปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ

คำแนะนำในการแก้ปัญหา

ปริซึมที่ถูกต้อง- ปริซึมที่ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ และขอบด้านข้างตั้งฉากกับระนาบของฐาน นั่นคือปริซึมสี่เหลี่ยมปกติอยู่ที่ฐาน สี่เหลี่ยม. (ดูคุณสมบัติของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติด้านบน) บันทึก. นี่เป็นส่วนหนึ่งของบทเรียนที่มีงานในเรขาคณิต (ส่วนเรขาคณิตทึบ - ปริซึม) นี่คืองานที่ทำให้เกิดปัญหาในการแก้ปัญหา หากคุณต้องการแก้ปัญหาในเรขาคณิตซึ่งไม่ได้อยู่ที่นี่ - เขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในฟอรัม. เพื่อบ่งบอกถึงการกระทำของการสกัด รากที่สองสัญลักษณ์ที่ใช้ในการแก้ปัญหา√ .

งาน.

เส้นทแยงมุมของปริซึมปกติมีเส้นทแยงมุมของฐานและความสูงของปริซึม สามเหลี่ยมมุมฉาก. ดังนั้น ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เส้นทแยงมุมของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติที่กำหนดจะเท่ากับ:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 ซม.

ตอบ: 22 ซม.

งาน

วิธีการแก้.
เนื่องจากฐานของปริซึมสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนั้นด้านข้างของฐาน (แสดงเป็น a) จึงถูกค้นพบโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
ก = √12.5

ความสูงของใบหน้าด้านข้าง (แสดงเป็น h) จะเท่ากับ:

H 2 + 12.5 \u003d 4 2
ชั่วโมง 2 + 12.5 = 16
ชั่วโมง 2 \u003d 3.5
ชั่วโมง = √3.5

พื้นที่ผิวทั้งหมดจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ผิวด้านข้างและสองเท่าของพื้นที่ฐาน

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
S = 25 + 4√43.75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51.46 ซม. 2

คำตอบ: 25 + 10√7 ≈ 51.46 ซม. 2

สาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาคุณสมบัติของรูปทรงต่างๆ (จุด เส้น มุม วัตถุสองมิติและสามมิติ) ขนาดและ ตำแหน่งสัมพัทธ์. เพื่อความสะดวกในการสอน เรขาคณิตแบ่งออกเป็นแบบแผนและเรขาคณิตแบบทึบ ที่… … สารานุกรมถ่านหิน

เรขาคณิตของช่องว่างของมิติที่มากกว่าสาม คำนี้ใช้กับช่องว่างเหล่านั้นซึ่งเดิมมีการพัฒนารูปทรงเรขาคณิตสำหรับกรณีสามมิติ แล้วขยายไปสู่จำนวนมิติ n> 3 เท่านั้น โดยหลักแล้ว พื้นที่แบบยุคลิด ... ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

การวางนัยทั่วไปทางเรขาคณิตแบบยุคลิดมิติ N ของเรขาคณิตแบบยุคลิดสู่อวกาศ มากกว่าการวัด แม้ว่าพื้นที่ทางกายภาพจะเป็นสามมิติ และประสาทสัมผัสของมนุษย์ได้รับการออกแบบมาเพื่อรับรู้สามมิติ แต่ N เป็นมิติ ... ... Wikipedia

คำนี้มีความหมายอื่น ดู พีระมิดัตสึ (ความหมาย) ความน่าเชื่อถือของส่วนนี้ของบทความนี้ถูกตั้งคำถาม จำเป็นต้องตรวจสอบความถูกต้องของข้อเท็จจริงที่ระบุไว้ในส่วนนี้ หน้าพูดคุยอาจมีคำอธิบาย ... Wikipedia

- (Constructive Solid Geometry, CSG) เทคโนโลยีที่ใช้ในการสร้างแบบจำลอง ของแข็ง. เรขาคณิตของบล็อกโครงสร้างมักเป็นเทคนิคการสร้างแบบจำลองในกราฟิก 3 มิติและ CAD แต่ไม่เสมอไป ช่วยให้คุณสร้างฉากที่ซับซ้อนหรือ ... Wikipedia

Constructive Solid Geometry (CSG) เป็นเทคโนโลยีที่ใช้ในการสร้างแบบจำลองของแข็ง เรขาคณิตของบล็อกโครงสร้างมักเป็นเทคนิคการสร้างแบบจำลองในกราฟิก 3 มิติและ CAD แต่ไม่เสมอไป เธอ ... ... Wikipedia

คำนี้มีความหมายอื่น ดูขอบเขต (ความหมาย) ปริมาตรเป็นฟังก์ชันเสริมของชุด (การวัด) ที่กำหนดลักษณะความจุของพื้นที่ของพื้นที่ที่มันครอบครอง เริ่มแรกมันเกิดขึ้นและถูกนำไปใช้โดยไม่เข้มงวด ... ... Wikipedia

Cube Type Regular polyhedron Face square Vertices Edges Faces ... Wikipedia

ปริมาตรเป็นฟังก์ชันเสริมของชุด (การวัด) ที่กำหนดลักษณะความจุของพื้นที่ของพื้นที่ที่มันครอบครอง ในขั้นต้น มันเกิดขึ้นและถูกนำไปใช้โดยไม่มีคำจำกัดความที่เข้มงวดเกี่ยวกับวัตถุสามมิติของอวกาศแบบยุคลิดสามมิติ ... ... Wikipedia

ส่วนของช่องว่างที่ล้อมรอบด้วยคอลเลกชั่นของรูปหลายเหลี่ยมระนาบจำนวนจำกัด (ดู GEOMETRY) เชื่อมต่อกันในลักษณะที่แต่ละด้านของรูปหลายเหลี่ยมเป็นด้านของรูปหลายเหลี่ยมอีกอันหนึ่ง (เรียกว่า ... ... สารานุกรมถ่านหิน

หนังสือ

• ชุดโต๊ะ. เรขาคณิต. เกรด 10 14 ตาราง + วิธีการ, . โต๊ะพิมพ์บนกระดาษแข็งโพลีกราฟิกหนา ขนาด 680 x 980 มม. โบรชัวร์กับ แนวทางสำหรับครู อัลบั้มเรียน 14 แผ่น…

ปริซึม. ขนานกัน

ปริซึมเรียกว่า ทรงหลายหน้าสองหน้าเท่ากัน น-กอน (สนาม) , นอนในระนาบขนาน, และใบหน้า n ที่เหลือเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (หน้าด้านข้าง) . ซี่โครงข้าง ปริซึมคือด้านของใบหน้าด้านข้างที่ไม่อยู่ในฐาน

ปริซึมที่มีขอบด้านข้างตั้งฉากกับระนาบของฐานเรียกว่า ตรง ปริซึม (รูปที่ 1). ถ้าขอบด้านข้างไม่ตั้งฉากกับระนาบของฐาน เรียกว่าปริซึม เฉียง . ถูกต้อง ปริซึมเป็นปริซึมตรงที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ

ส่วนสูงปริซึมเรียกว่าระยะห่างระหว่างระนาบของฐาน เส้นทแยงมุม ปริซึมเป็นส่วนเชื่อมต่อจุดยอดสองจุดที่ไม่อยู่ในหน้าเดียวกัน ส่วนทแยงมุม ส่วนของปริซึมโดยระนาบผ่านขอบสองด้านที่ไม่อยู่ในหน้าเดียวกันเรียกว่า ส่วนตั้งฉาก เรียกว่าส่วนของปริซึมโดยระนาบตั้งฉากกับขอบด้านข้างของปริซึม

พื้นที่ผิวด้านข้าง ปริซึมคือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมด พื้นที่ผิวเต็ม เรียกผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าทั้งหมดของปริซึม (กล่าวคือ ผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างและพื้นที่ฐาน)

สำหรับปริซึมตามอำเภอใจ สูตรเป็นจริง:

ที่ไหน lคือความยาวของซี่โครงด้านข้าง

ชม- ความสูง;

พี

คิว

ด้านเอส

อิ่ม

S หลักคือพื้นที่ฐาน

วีคือปริมาตรของปริซึม

สำหรับปริซึมตรง สูตรต่อไปนี้เป็นจริง:

ที่ไหน พี- ปริมณฑลของฐาน

lคือความยาวของซี่โครงด้านข้าง

ชม- ความสูง.

ขนานกันปริซึมที่มีฐานเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานเรียกว่า ขนานที่มีขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐานเรียกว่า โดยตรง (รูปที่ 2). ถ้าขอบด้านข้างไม่ตั้งฉากกับฐาน เรียกว่า ขอบขนาน เฉียง . รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเรียกว่า สี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีขอบเท่ากันเรียกว่า ลูกบาศก์

ใบหน้าของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ไม่มีจุดยอดร่วมกันเรียกว่า ตรงข้าม . ความยาวของขอบที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดหนึ่งเรียกว่า การวัด ขนานกัน เนื่องจากกล่องเป็นปริซึม องค์ประกอบหลักของกล่องจึงถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับที่กำหนดไว้สำหรับปริซึม

ทฤษฎีบท

1. เส้นทแยงมุมของเส้นทแยงมุมตัดกันที่จุดหนึ่งแล้วผ่าครึ่ง

2. ในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ความยาวของเส้นทแยงมุมเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสในสามมิติ:

3. เส้นทแยงมุมทั้งสี่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นเท่ากัน

สำหรับ Parallepiped โดยพลการ สูตรต่อไปนี้เป็นจริง:

ที่ไหน lคือความยาวของซี่โครงด้านข้าง

ชม- ความสูง;

พีคือปริมณฑลของส่วนตั้งฉาก

คิว– พื้นที่ส่วนตั้งฉาก

ด้านเอสคือพื้นที่ผิวข้าง

อิ่มคือพื้นที่ผิวทั้งหมด

S หลักคือพื้นที่ฐาน

วีคือปริมาตรของปริซึม

สำหรับ Parallepiped ที่ถูกต้อง สูตรต่อไปนี้เป็นจริง:

ที่ไหน พี- ปริมณฑลของฐาน

lคือความยาวของซี่โครงด้านข้าง

ชมคือความสูงของด้านขนานด้านขวา

สำหรับสี่เหลี่ยมด้านขนาน สูตรต่อไปนี้เป็นจริง:

(3)

ที่ไหน พี- ปริมณฑลของฐาน

ชม- ความสูง;

d- เส้นทแยงมุม;

a,b,c– การวัดของ Parallepiped

สูตรที่ถูกต้องสำหรับลูกบาศก์คือ:

ที่ไหน เอคือความยาวของซี่โครง

dคือเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์

ตัวอย่างที่ 1เส้นทแยงมุมของทรงลูกบาศก์สี่เหลี่ยมคือ 33 dm และการวัดนั้นสัมพันธ์กันเป็น 2:6:9 จงหาการวัดของทรงลูกบาศก์

วิธีการแก้.ในการหาขนาดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เราใช้สูตร (3) นั่นคือ ความจริงที่ว่ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากของทรงลูกบาศก์เท่ากับผลรวมของกำลังสองของมิติของมัน แสดงโดย kสัมประสิทธิ์สัดส่วน จากนั้นขนาดของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากับ2 k, 6kและ 9 k. เราเขียนสูตร (3) สำหรับข้อมูลปัญหา:

การแก้สมการนี้สำหรับ k, เราได้รับ:

ดังนั้นขนาดของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 6 dm, 18 dm และ 27 dm

ตอบ: 6 ม. 18 ม. 27 ม.

ตัวอย่าง 2หาปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมเอียงซึ่งมีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้านยาว 8 ซม. ถ้าขอบด้านข้างเท่ากับด้านข้างของฐานและเอียงทำมุม 60 องศากับฐาน

วิธีการแก้ . มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 3)

ในการหาปริมาตรของปริซึมเอียง คุณจำเป็นต้องรู้พื้นที่ของฐานและความสูงก่อน พื้นที่ฐานของปริซึมนี้คือพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้านยาว 8 ซม. ลองคำนวณกัน:

ความสูงของปริซึมคือระยะห่างระหว่างฐานของมัน จากด้านบน แต่ 1 ของฐานบนเราลดแนวตั้งฉากกับระนาบของฐานล่าง แต่ 1 ดี. ความยาวของมันจะเป็นความสูงของปริซึม พิจารณาD แต่ 1 AD: เนื่องจากนี่คือมุมเอียงของซี่โครงด้านข้าง แต่ 1 แต่สู่ระนาบฐาน แต่ 1 แต่= 8 ซม. จากสามเหลี่ยมนี้เราพบว่า แต่ 1 ดี:

ตอนนี้เราคำนวณปริมาตรโดยใช้สูตร (1):

ตอบ: 192 ซม.3

ตัวอย่างที่ 3ขอบด้านข้างของปริซึมหกเหลี่ยมปกติคือ 14 ซม. พื้นที่ส่วนทแยงที่ใหญ่ที่สุดคือ 168 ซม. 2 หาพื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม

วิธีการแก้.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 4)

ส่วนแนวทแยงที่ใหญ่ที่สุดคือสี่เหลี่ยมผืนผ้า AA 1 DD 1 ตั้งแต่เส้นทแยงมุม ADหกเหลี่ยมปกติ ABCDEFที่ใหญ่ที่สุด. ในการคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึม จำเป็นต้องทราบด้านข้างของฐานและความยาวของซี่โครงด้านข้าง

เมื่อทราบพื้นที่ของส่วนในแนวทแยง (สี่เหลี่ยมผืนผ้า) เราจะพบเส้นทแยงมุมของฐาน

ตั้งแต่นั้นมา

ตั้งแต่นั้นมา AB= 6 ซม.

แล้วปริมณฑลของฐานคือ:

หาพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึม:

พื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมปกติที่มีด้าน 6 ซม. คือ:

ค้นหาพื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม:

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 4ฐานของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานด้านขวาเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน พื้นที่ของส่วนในแนวทแยงคือ 300 ซม. 2 และ 875 ซม. 2 หาพื้นที่ผิวด้านข้างของด้านขนาน

วิธีการแก้.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 5)

แสดงถึงด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนโดย เอ, เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน d 1 และ d 2 , ความสูงของกล่อง ชม.. ในการหาพื้นที่ผิวด้านข้างของเส้นตรงขนานกัน จำเป็นต้องคูณปริมณฑลของฐานด้วยความสูง: (สูตร (2)) ปริมณฑลฐาน p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, เพราะ เอบีซีดี- รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน H = AA 1 = ชม.. ที่. ต้องหาให้เจอ เอและ ชม..

พิจารณาส่วนในแนวทแยง AA 1 SS 1 - สี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านหนึ่งเป็นเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน AC = d 1 , ขอบด้านที่สอง AA 1 = ชม., แล้ว

ในทำนองเดียวกันสำหรับส่วน BB 1 DD 1 เราได้รับ:

โดยใช้คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนานเพื่อให้ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมเท่ากับผลรวมของกำลังสองของทุกด้าน เราจะได้ความเท่าเทียมกัน เราได้ค่าต่อไปนี้

รูปทรงหลายเหลี่ยม

วัตถุประสงค์หลักของการศึกษา stereometry คือวัตถุสามมิติ ร่างกายเป็นส่วนหนึ่งของอวกาศที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวบางส่วน

รูปทรงหลายเหลี่ยมร่างกายที่มีพื้นผิวประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมระนาบจำนวน จำกัด เรียกว่า รูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่านูนหากอยู่บนด้านหนึ่งของระนาบของรูปหลายเหลี่ยมแบนทุกอันบนพื้นผิวของมัน ส่วนร่วมของระนาบดังกล่าวและพื้นผิวของรูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่า ขอบ. ใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนแบน ด้านข้างของใบหน้าเรียกว่า ขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมและจุดยอด จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม.

ตัวอย่างเช่น ลูกบาศก์ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมหกอันที่เป็นหน้าของมัน ประกอบด้วยขอบ 12 ด้าน (ด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส) และจุดยอด 8 จุด (จุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัส)

รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุดคือปริซึมและปิรามิดซึ่งเราจะศึกษาเพิ่มเติม

ปริซึม

ความหมายและคุณสมบัติของปริซึม

ปริซึมเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมซึ่งประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมแบนสองรูปที่วางอยู่ในระนาบคู่ขนานรวมกันโดยการแปลแบบคู่ขนาน และทุกส่วนเชื่อมต่อจุดที่สอดคล้องกันของรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้ รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่า ฐานปริซึมและส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดที่สอดคล้องกันของรูปหลายเหลี่ยมคือ ขอบด้านข้างของปริซึม.

ความสูงของปริซึมเรียกว่าระยะห่างระหว่างระนาบของฐาน () ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดของปริซึมที่ไม่อยู่ในหน้าเดียวกันเรียกว่า ปริซึมเส้นทแยงมุม(). ปริซึมเรียกว่า n-ถ่านหินถ้าฐานของมันคือ n-gon

ปริซึมใด ๆ มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ซึ่งตามความจริงที่ว่าฐานของปริซึมถูกรวมโดยการแปลแบบคู่ขนาน:

1. ฐานของปริซึมเท่ากัน

2. ขอบด้านข้างของปริซึมขนานกันและเท่ากัน

พื้นผิวของปริซึมประกอบด้วยฐานและ พื้นผิวด้านข้าง. พื้นผิวด้านข้างของปริซึมประกอบด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนาน (ตามมาจากคุณสมบัติของปริซึม) พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปริซึมคือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้าง

ปริซึมตรง

ปริซึมเรียกว่า ตรงถ้าขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน มิฉะนั้นจะเรียกว่าปริซึม เฉียง.

ใบหน้าของปริซึมตรงเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ความสูงของปริซึมตรงเท่ากับใบหน้าด้านข้าง

เต็มพื้นผิวปริซึมคือ ผลรวมของพื้นที่ผิวข้างกับพื้นที่ฐาน

ปริซึมที่ถูกต้อง เรียกว่าปริซึมขวาที่มีรูปหลายเหลี่ยมปกติที่ฐาน

ทฤษฎีบท 13.1. พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปริซึมตรงเท่ากับผลคูณของเส้นรอบวงและความสูงของปริซึม (หรือเทียบเท่ากับขอบด้านข้าง)

การพิสูจน์. ใบหน้าด้านข้างของปริซึมตรงคือรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีฐานเป็นด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมที่ฐานของปริซึม และความสูงคือขอบด้านข้างของปริซึม ตามคำจำกัดความ พื้นที่ผิวด้านข้างคือ:

,

โดยปริมณฑลของฐานของปริซึมตรงอยู่ที่ไหน

ขนานกัน

ถ้าสี่เหลี่ยมด้านขนานอยู่ที่ฐานของปริซึม เรียกว่า ขนานกัน. ใบหน้าทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ในกรณีนี้ ด้านตรงข้ามของด้านขนานคู่ขนานกันและเท่ากัน

ทฤษฎีบท 13.2. เส้นทแยงมุมของจุดตัดคู่ขนานที่จุดหนึ่งและจุดตัดแบ่งครึ่ง

การพิสูจน์. พิจารณาเส้นทแยงมุมตามอำเภอใจสองเส้น ตัวอย่างเช่น และ เพราะ ใบหน้าของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน จากนั้น และ ซึ่งหมายความว่าตาม T มีเส้นตรงสองเส้นขนานกับเส้นที่สาม นอกจากนี้ยังหมายความว่าเส้นและอยู่ในระนาบเดียวกัน (ระนาบ) ระนาบนี้ตัดกับระนาบคู่ขนานและตามเส้นคู่ขนาน และ ดังนั้น รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน และด้วยคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เส้นทแยงมุมและจุดตัดของรูปสี่เหลี่ยม และจุดตัดกันจะถูกแบ่งครึ่ง ซึ่งจำเป็นต้องพิสูจน์

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเรียกว่า ทรงลูกบาศก์. ใบหน้าของทรงลูกบาศก์ทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ความยาวของขอบไม่ขนานของทรงลูกบาศก์เรียกว่ามัน มิติเชิงเส้น(การวัด). มีสามขนาด (กว้าง สูง ยาว)

ทฤษฎีบท 13.3. ในรูปลูกบาศก์ สี่เหลี่ยมจัตุรัสของเส้นทแยงมุมใดๆ เท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสในสามมิติ (พิสูจน์โดยทาพีทาโกรัส T สองครั้ง)

สี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีขอบเท่ากันเรียกว่า ลูกบาศก์.

งาน

13.1 เส้นทแยงมุมมีกี่เส้น น- ปริซึมคาร์บอน

13.2 ในปริซึมสามเหลี่ยมเอียง ระยะห่างระหว่างขอบด้านข้างคือ 37, 13 และ 40 หาระยะห่างระหว่างหน้าด้านที่ใหญ่กว่ากับขอบด้านตรงข้าม

13.3 ผ่านด้านข้างของฐานด้านล่างของปริซึมสามเหลี่ยมปกติ ระนาบถูกวาดที่ตัดหน้าด้านข้างตามส่วนต่างๆ มุมระหว่างซึ่งคือ . หามุมเอียงของระนาบนี้กับฐานของปริซึม