สมการกำลังสองไม่เท่ากับศูนย์ สมการกำลังสอง

แค่. ตามสูตรและกติกาง่ายๆ ในระยะแรก

จำเป็นต้องนำสมการที่กำหนดมาสู่รูปแบบมาตรฐาน กล่าวคือ มุมมอง:

ถ้าสมการนี้มีให้คุณในแบบฟอร์มนี้แล้ว คุณไม่จำเป็นต้องทำขั้นตอนแรก ที่สำคัญคือถูก

กำหนดสัมประสิทธิ์ทั้งหมด เอ, ขและ ค.

สูตรการหารากของสมการกำลังสอง

นิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูตเรียกว่า เลือกปฏิบัติ . อย่างที่คุณเห็น ในการหา x เรา

ใช้ เฉพาะ a, b และ c. เหล่านั้น. อัตราต่อรองจาก สมการกำลังสอง. เพียงแค่ใส่อย่างระมัดระวัง

ค่า a, b และ cลงในสูตรนี้แล้วนับ ทดแทนด้วย ของพวกเขาสัญญาณ!

ตัวอย่างเช่นในสมการ:

เอ =1; ข = 3; ค = -4.

แทนที่ค่าและเขียน:

ตัวอย่างเกือบจะแก้ไขแล้ว:

นี่คือคำตอบ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือความสับสนกับสัญญาณของค่านิยม ก, ขและ กับ. แต่ด้วยการทดแทน

ค่าลบในสูตรคำนวณราก ที่นี่บันทึกสูตรโดยละเอียด

ด้วยตัวเลขเฉพาะ หากมีปัญหาในการคำนวณ ทำเลย!

สมมติว่าเราต้องแก้ตัวอย่างต่อไปนี้:

ที่นี่ เอ = -6; ข = -5; ค = -1

เราทาสีทุกอย่างอย่างละเอียดอย่างระมัดระวังโดยไม่พลาดสิ่งใดด้วยสัญลักษณ์และวงเล็บทั้งหมด:

สมการกำลังสองมักจะแตกต่างกันเล็กน้อย ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

จดเทคนิคที่ใช้ได้จริงซึ่งช่วยลดจำนวนข้อผิดพลาดได้อย่างมาก

การรับครั้งแรก. อย่าขี้เกียจก่อน การแก้สมการกำลังสองนำมาเป็นแบบมาตรฐาน

สิ่งนี้หมายความว่า?

สมมติว่าหลังจากการแปลงใดๆ คุณจะได้สมการต่อไปนี้:

อย่ารีบเร่งที่จะเขียนสูตรของราก! คุณเกือบจะสับสนอย่างแน่นอน ก ข และค

สร้างตัวอย่างอย่างถูกต้อง อย่างแรก x กำลังสอง จากนั้นไม่มีสี่เหลี่ยม จากนั้นจึงเป็นสมาชิกอิสระ แบบนี้:

กำจัดเครื่องหมายลบ ยังไง? เราต้องคูณสมการทั้งหมดด้วย -1 เราได้รับ:

และตอนนี้ คุณสามารถเขียนสูตรสำหรับราก คำนวณการจำแนก และกรอกตัวอย่างได้อย่างปลอดภัย

ตัดสินใจด้วยตัวเอง คุณควรลงเอยด้วยราก 2 และ -1

แผนกต้อนรับที่สองตรวจสอบรากของคุณ! โดย ทฤษฎีบทของเวียตา.

ในการแก้สมการกำลังสองที่ให้มา เช่น ถ้าสัมประสิทธิ์

x2+bx+c=0,

แล้วx 1 x 2 =c

x1 +x2 =−ข

สำหรับสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ซึ่ง ≠1:

x 2 +ขx+ค=0,

หารสมการทั้งหมดด้วย ก:

→ →

ที่ไหน x 1และ x 2 - รากของสมการ

แผนกต้อนรับที่สาม. หากสมการของคุณมีค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วน ให้กำจัดเศษส่วน! คูณ

สมการสำหรับตัวส่วนร่วม

บทสรุป. เคล็ดลับการปฏิบัติ:

1. ก่อนแก้ เรานำสมการกำลังสองมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน สร้างมัน ขวา.

2. หากมีค่าสัมประสิทธิ์ลบนำหน้า x ในช่องสี่เหลี่ยม เราก็กำจัดมันด้วยการคูณทุกอย่าง

สมการสำหรับ -1

3. หากสัมประสิทธิ์เป็นเศษส่วน เราจะกำจัดเศษส่วนด้วยการคูณสมการทั้งหมดด้วยค่าที่สอดคล้องกัน

ปัจจัย.

4. ถ้า x กำลังสอง บริสุทธิ์ สัมประสิทธิ์ของมันจะเท่ากับหนึ่ง สามารถตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาได้อย่างง่ายดายโดย

สูตรหารากของสมการกำลังสอง พิจารณากรณีของรากจริง ทวีคูณ และซับซ้อน การแยกตัวประกอบของพหุนามกำลังสอง การตีความทางเรขาคณิต ตัวอย่างการกำหนดรากและการแยกตัวประกอบ

สูตรพื้นฐาน

พิจารณาสมการกำลังสอง:
(1) .
รากของสมการกำลังสอง(1) ถูกกำหนดโดยสูตร:
; .
สูตรเหล่านี้สามารถรวมกันได้ดังนี้:
.
เมื่อทราบรากของสมการกำลังสองแล้ว พหุนามของดีกรีที่สองสามารถแสดงเป็นผลคูณของปัจจัย (แยกตัวประกอบ):
.

นอกจากนี้ เราถือว่านั่นเป็นจำนวนจริง
พิจารณา จำแนกสมการกำลังสอง:
.
หาก discriminant เป็นค่าบวก สมการกำลังสอง (1) จะมีรากจริงต่างกันสองค่า:
; .
จากนั้นการแยกตัวประกอบของไตรนามสแควร์มีรูปแบบดังนี้
.
หาก discriminant เป็นศูนย์ สมการกำลังสอง (1) จะมีรากจริงหลายเท่า (เท่ากับ) สองค่า:
.
การแยกตัวประกอบ:
.
ถ้า discriminant เป็นค่าลบ สมการกำลังสอง (1) จะมีรากคอนจูเกตที่ซับซ้อนสองราก:
;
.
นี่คือหน่วยจินตภาพ ;
และเป็นส่วนจริงและจินตภาพของราก:
; .
แล้ว

.

การตีความกราฟิก

ถ้าเราสร้างกราฟฟังก์ชัน
,
ซึ่งเป็นพาราโบลาแล้วจุดตัดของกราฟกับแกนจะเป็นรากของสมการ
.
เมื่อ กราฟตัดกับแกน abscissa (แกน) ที่จุดสองจุด
เมื่อ กราฟสัมผัสกับแกน x ที่จุดหนึ่ง
เมื่อ กราฟไม่ตัดกับแกน x

ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างของกราฟดังกล่าว

สูตรที่เป็นประโยชน์ที่เกี่ยวข้องกับสมการกำลังสอง

(f.1) ;
(ฉ.2) ;
(ฉ.3) .

ที่มาของสูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง

เราทำการแปลงและใช้สูตร (f.1) และ (f.3):




,
ที่ไหน
; .

ดังนั้นเราจึงได้สูตรพหุนามของดีกรีที่สองในรูปแบบ:
.
จากนี้จะเห็นได้ว่าสมการ

ดำเนินการที่
และ .
นั่นคือและเป็นรากของสมการกำลังสอง
.

ตัวอย่างการหารากของสมการกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 1

(1.1) .

การตัดสินใจ

.
เมื่อเปรียบเทียบกับสมการของเรา (1.1) เราจะพบค่าสัมประสิทธิ์:
.
ค้นหาการเลือกปฏิบัติ:
.
เนื่องจาก discriminant เป็นค่าบวก สมการจึงมีรากที่แท้จริงสองราก:
;
;
.

จากที่นี่ เราจะได้การสลายตัวของไตรโนเมียลกำลังสองเป็นปัจจัย:

.

กราฟของฟังก์ชัน y = 2 x 2 + 7 x + 3ตัดผ่านแกน x สองจุด

มาพลอตฟังก์ชันกัน
.
กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลา มันข้ามแกน x (แกน) ที่จุดสองจุด:
และ .
จุดเหล่านี้เป็นรากของสมการดั้งเดิม (1.1)

ตอบ

;
;
.

ตัวอย่าง 2

ค้นหารากของสมการกำลังสอง:
(2.1) .

การตัดสินใจ

เราเขียนสมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไป:
.
เมื่อเปรียบเทียบกับสมการเดิม (2.1) เราจะพบค่าสัมประสิทธิ์:
.
ค้นหาการเลือกปฏิบัติ:
.
เนื่องจาก discriminant เป็นศูนย์ สมการจึงมีรากทวีคูณ (เท่ากัน) สองตัว:
;
.

จากนั้นการแยกตัวประกอบของไตรนามมีรูปแบบ:
.

กราฟของฟังก์ชัน y = x 2 - 4 x + 4สัมผัสแกน x ณ จุดหนึ่ง

มาพลอตฟังก์ชันกัน
.
กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลา มันสัมผัสแกน x (แกน) ณ จุดหนึ่ง:
.
จุดนี้เป็นรากของสมการเดิม (2.1) เนื่องจากรูทนี้แยกตัวประกอบสองครั้ง:
,
จากนั้นรูตดังกล่าวจะเรียกว่าทวีคูณ นั่นคือพวกเขาคิดว่ามีสองรากที่เท่ากัน:
.

ตอบ

;
.

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหารากของสมการกำลังสอง:
(3.1) .

การตัดสินใจ

เราเขียนสมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไป:
(1) .
ให้เราเขียนสมการเดิม (3.1):
.
เมื่อเปรียบเทียบกับ (1) เราพบค่าสัมประสิทธิ์:
.
ค้นหาการเลือกปฏิบัติ:
.
การเลือกปฏิบัติเป็นลบ, . ดังนั้นจึงไม่มีรากที่แท้จริง

คุณสามารถค้นหารากที่ซับซ้อนได้:
;
;
.

แล้ว


.

กราฟของฟังก์ชันไม่ตัดกับแกน x ไม่มีรากที่แท้จริง

มาพลอตฟังก์ชันกัน
.
กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลา ไม่ข้าม abscissa (แกน) ดังนั้นจึงไม่มีรากที่แท้จริง

ตอบ

ไม่มีรากที่แท้จริง รากที่ซับซ้อน:
;
;
.

สมการกำลังสอง - แก้ง่าย! *เพิ่มเติมในข้อความ "KU".เพื่อน ๆ ดูเหมือนว่าในทางคณิตศาสตร์จะง่ายกว่าการแก้สมการดังกล่าว แต่มีบางอย่างบอกฉันว่าหลายคนมีปัญหากับเขา ฉันตัดสินใจดูจำนวนการแสดงผลที่ยานเดกซ์ให้ต่อคำขอต่อเดือน นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น ลองดูสิ:

มันหมายความว่าอะไร? ซึ่งหมายความว่าประมาณ 70,000 คนต่อเดือนกำลังมองหาข้อมูลนี้ และนี่คือช่วงฤดูร้อน และสิ่งที่จะเกิดขึ้นระหว่างปีการศึกษา - จะมีการร้องขอมากเป็นสองเท่า ไม่น่าแปลกใจเลย เพราะทั้งชายและหญิงที่จบการศึกษาจากโรงเรียนมานานและกำลังเตรียมตัวสอบกำลังมองหาข้อมูลนี้ และเด็กนักเรียนก็พยายามฟื้นฟูความทรงจำเช่นกัน

แม้ว่าจะมีไซต์มากมายที่บอกวิธีแก้สมการนี้ แต่ฉันตัดสินใจร่วมให้ข้อมูลและเผยแพร่เนื้อหาด้วย ประการแรก ฉันต้องการให้ผู้เยี่ยมชมมาที่ไซต์ของฉันตามคำขอนี้ ประการที่สองในบทความอื่น ๆ เมื่อคำพูด "KU" ปรากฏขึ้นฉันจะให้ลิงก์ไปยังบทความนี้ ประการที่สาม ฉันจะบอกคุณเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาของเขามากกว่าที่มักจะระบุไว้ในเว็บไซต์อื่นๆ มาเริ่มกันเลย!เนื้อหาของบทความ:

สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบ:

โดยที่สัมประสิทธิ์ a,ขและด้วยตัวเลขตามอำเภอใจด้วย a≠0

ในหลักสูตรของโรงเรียนเนื้อหาจะได้รับในรูปแบบต่อไปนี้ - การแบ่งสมการออกเป็นสามชั้นเรียนทำแบบมีเงื่อนไข:

1. มีสองราก

2. * มีรากเดียวเท่านั้น

3. ไม่มีราก เป็นที่น่าสังเกตว่าพวกเขาไม่มีรากที่แท้จริง

รากคำนวณอย่างไร? แค่!

เราคำนวณการเลือกปฏิบัติ ภายใต้คำที่ "แย่มาก" นี้มีสูตรง่ายๆ อยู่:

สูตรรากมีดังนี้:

*สูตรนี้ต้องรู้ใจ

คุณสามารถจดและตัดสินใจได้ทันที:

ตัวอย่าง:

1. ถ้า D > 0 สมการจะมีรากที่สอง

2. ถ้า D = 0 สมการจะมีหนึ่งรูท

3. ถ้า D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

ลองดูสมการ:

ในโอกาสนี้ เมื่อผู้เลือกปฏิบัติเป็นศูนย์ หลักสูตรของโรงเรียนบอกว่าได้รากหนึ่งมาแล้ว ที่นี่จะเท่ากับเก้า ถูกต้อง มันคือ แต่...

การแสดงนี้ค่อนข้างไม่ถูกต้อง อันที่จริงมีสองราก ใช่ใช่ไม่ต้องแปลกใจมันกลับกลายเป็นสองรากที่เท่ากันและเพื่อให้ถูกต้องทางคณิตศาสตร์จากนั้นควรเขียนสองรากในคำตอบ:

x 1 = 3 x 2 = 3

แต่นี่เป็นเช่นนั้น - การพูดนอกเรื่องเล็กน้อย ที่โรงเรียนคุณสามารถเขียนและบอกว่ามีเพียงรูทเดียวเท่านั้น

ตอนนี้ตัวอย่างต่อไปนี้:

ดังที่เราทราบ รากของจำนวนลบจะไม่ถูกแยกออกมา ดังนั้นจึงไม่มีวิธีแก้ปัญหาในกรณีนี้

นั่นคือกระบวนการตัดสินใจทั้งหมด

ฟังก์ชันกำลังสอง

นี่คือวิธีที่โซลูชันมีลักษณะทางเรขาคณิต นี่เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งที่จะต้องเข้าใจ (ในอนาคตในบทความใดบทความหนึ่ง เราจะวิเคราะห์โดยละเอียดถึงวิธีแก้ปัญหาของอสมการกำลังสอง)

นี่คือฟังก์ชันของแบบฟอร์ม:

โดยที่ x และ y เป็นตัวแปร

a, b, c เป็นตัวเลข โดยที่ a ≠ 0

กราฟเป็นพาราโบลา:

นั่นคือ ปรากฎว่าโดยการแก้สมการกำลังสองด้วย "y" เท่ากับศูนย์ เราจะพบจุดตัดของพาราโบลากับแกน x อาจมีสองจุดเหล่านี้ (การเลือกปฏิบัติเป็นค่าบวก) หนึ่งจุด (การเลือกปฏิบัติเป็นศูนย์) หรือไม่มีเลย (การเลือกปฏิบัติเป็นค่าลบ) ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับฟังก์ชันกำลังสอง คุณสามารถดูบทความโดย อินนา เฟลด์แมน

พิจารณาตัวอย่าง:

ตัวอย่างที่ 1: ตัดสินใจ 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = ข 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

คำตอบ: x 1 = 8 x 2 = -12

* คุณสามารถหารด้านซ้ายและด้านขวาของสมการด้วย 2 ได้ทันที นั่นคือ ลดความซับซ้อนของสมการ การคำนวณจะง่ายขึ้น

ตัวอย่างที่ 2: ตัดสินใจ x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

เราได้ x 1 \u003d 11 และ x 2 \u003d 11

ในคำตอบ อนุญาตให้เขียน x = 11

คำตอบ: x = 11

ตัวอย่างที่ 3: ตัดสินใจ x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

ดิสคริมิแนนต์เป็นค่าลบ ไม่มีคำตอบในจำนวนจริง

คำตอบ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

การเลือกปฏิบัติเป็นลบ มีทางแก้!

ที่นี่เราจะพูดถึงการแก้สมการในกรณีที่ได้รับการเลือกปฏิบัติเชิงลบ คุณรู้อะไรเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนหรือไม่? ฉันจะไม่ลงรายละเอียดที่นี่เกี่ยวกับสาเหตุและที่มาและบทบาทเฉพาะและความจำเป็นในวิชาคณิตศาสตร์ นี่คือหัวข้อสำหรับบทความแยกขนาดใหญ่

แนวคิดของจำนวนเชิงซ้อน

ทฤษฎีเล็กน้อย

จำนวนเชิงซ้อน z คือจำนวนของรูปแบบ

z = a + bi

โดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริง i คือหน่วยจินตภาพที่เรียกว่า

a+bi เป็นเลขตัวเดียว ไม่ใช่ส่วนเสริม

หน่วยจินตภาพเท่ากับรูทของลบหนึ่ง:

ตอนนี้ให้พิจารณาสมการ:

รับสองรากคอนจูเกต

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์

พิจารณากรณีพิเศษ นี่คือเมื่อสัมประสิทธิ์ "b" หรือ "c" เท่ากับศูนย์ (หรือทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์) พวกเขาจะแก้ไขได้อย่างง่ายดายโดยไม่ต้องเลือกปฏิบัติ

กรณีที่ 1 สัมประสิทธิ์ b = 0

สมการจะอยู่ในรูปแบบ:

มาแปลงร่างกันเถอะ:

ตัวอย่าง:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

กรณีที่ 2 สัมประสิทธิ์ c = 0

สมการจะอยู่ในรูปแบบ:

แปลงร่างแยกตัวประกอบ:

*ผลคูณเท่ากับศูนย์เมื่อตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์

ตัวอย่าง:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 หรือ x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

กรณีที่ 3 สัมประสิทธิ์ b = 0 และ c = 0

เป็นที่ชัดเจนว่าคำตอบของสมการจะเป็น x = 0 เสมอ

คุณสมบัติที่เป็นประโยชน์และรูปแบบของสัมประสิทธิ์

มีคุณสมบัติที่ช่วยให้แก้สมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์สูงได้

เอx 2 + bx+ ค=0 ความเท่าเทียมกัน

เอ + ข+ ค = 0,แล้ว

— ถ้าสำหรับสัมประสิทธิ์ของสมการ เอx 2 + bx+ ค=0 ความเท่าเทียมกัน

เอ+ กับ =ข, แล้ว

คุณสมบัติเหล่านี้ช่วยแก้สมการบางประเภทได้

ตัวอย่างที่ 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

ผลรวมของสัมประสิทธิ์คือ 5001+( – 4995)+(– 6) = 0 ดังนั้น

ตัวอย่างที่ 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

ความเท่าเทียมกัน เอ+ กับ =ข, วิธี

ความสม่ำเสมอของสัมประสิทธิ์

1. หากในสมการ ax 2 + bx + c \u003d 0 สัมประสิทธิ์ "b" คือ (a 2 +1) และสัมประสิทธิ์ "c" เป็นตัวเลขเท่ากับสัมประสิทธิ์ "a" แสดงว่ารากของมันคือ

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 6x 2 +37x+6 = 0

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6

2. ถ้าในสมการขวาน 2 - bx + c \u003d 0 สัมประสิทธิ์ "b" คือ (a 2 +1) และสัมประสิทธิ์ "c" เท่ากับตัวเลขของสัมประสิทธิ์ "a" แล้วรากของมันคือ

ขวาน 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 15x 2 –226x +15 = 0

x 1 = 15 x 2 = 1/15

3. ถ้าอยู่ในสมการขวาน 2 + bx - c = 0 สัมประสิทธิ์ "b" เท่ากับ (a2 – 1) และสัมประสิทธิ์ “c” ตัวเลขเท่ากับสัมประสิทธิ์ "a", แล้วรากของมันก็เท่ากัน

ขวาน 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 17x 2 + 288x - 17 = 0

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. หากในสมการขวาน 2 - bx - c \u003d 0 สัมประสิทธิ์ "b" เท่ากับ (a 2 - 1) และสัมประสิทธิ์ c เท่ากับตัวเลขเท่ากับสัมประสิทธิ์ "a" แสดงว่ารากของมันคือ

ขวาน 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 10x2 - 99x -10 = 0

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

ทฤษฎีบทของเวียตา

ทฤษฎีบทของ Vieta ตั้งชื่อตาม Francois Vieta นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสที่มีชื่อเสียง การใช้ทฤษฎีบทของ Vieta เราสามารถแสดงผลรวมและผลิตภัณฑ์ของรากของ KU โดยพลการในแง่ของสัมประสิทธิ์

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

โดยสรุปแล้ว ตัวเลข 14 ให้เพียง 5 และ 9 เท่านั้น นี่คือรากเหง้า ด้วยทักษะบางอย่าง โดยใช้ทฤษฎีบทที่นำเสนอ คุณสามารถแก้สมการกำลังสองจำนวนมากได้ทันทีด้วยวาจา

ทฤษฎีบทของเวียตาด้วย สะดวกเพราะหลังจากแก้สมการกำลังสองตามปกติ (ผ่าน discriminant) สามารถตรวจสอบรากผลลัพธ์ได้ ฉันแนะนำให้ทำเช่นนี้ตลอดเวลา

วิธีการโอน

ด้วยวิธีนี้สัมประสิทธิ์ "a" จะถูกคูณด้วยพจน์อิสระราวกับว่า "โอน" ไปที่มันซึ่งเป็นสาเหตุที่เรียกว่า วิธีการโอนวิธีนี้จะใช้เมื่อหารากของสมการได้ง่ายโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา และที่สำคัญที่สุดคือเมื่อ discriminant เป็นกำลังสองที่แน่นอน

ถ้า เอ± b+c≠ 0 จากนั้นจึงใช้เทคนิคการถ่ายโอนเช่น:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

ตามทฤษฎีบทเวียตาในสมการ (2) มันง่ายที่จะตัดสินว่า x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

รากที่ได้จากสมการจะต้องหารด้วย 2 (เนื่องจากทั้งสองถูก "โยน" จาก x 2) เราจึงได้

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5

เหตุผลคืออะไร? ดูว่าเกิดอะไรขึ้น

การเลือกปฏิบัติของสมการ (1) และ (2) คือ:

หากคุณดูที่รากของสมการ ก็จะได้ตัวส่วนต่างกันเท่านั้น และผลลัพธ์จะขึ้นอยู่กับสัมประสิทธิ์ที่ x 2:

รากที่สอง (แก้ไข) มีขนาดใหญ่กว่า 2 เท่า

ดังนั้นเราจึงหารผลลัพธ์ด้วย 2

*ถ้าเราทอยสามเท่า เราก็หารผลลัพธ์ด้วย 3 ไปเรื่อยๆ

คำตอบ: x 1 = 5 x 2 = 0.5

ตร. ur-ie และการสอบ

ฉันจะพูดสั้น ๆ เกี่ยวกับความสำคัญของมัน - คุณควรจะสามารถตัดสินใจได้อย่างรวดเร็วและไม่ต้องคิด คุณต้องรู้สูตรของรากและการแบ่งแยกด้วยใจ งานจำนวนมากที่เป็นส่วนหนึ่งของงาน USE มาจากการแก้สมการกำลังสอง (รวมถึงงานเรขาคณิต)

สิ่งที่ควรค่าแก่การสังเกต!

1. รูปแบบของสมการสามารถเป็น "โดยปริยาย" ได้ ตัวอย่างเช่น รายการต่อไปนี้เป็นไปได้:

15+ 9x 2 - 45x = 0 หรือ 15x+42+9x 2 - 45x=0 หรือ 15 -5x+10x 2 = 0

คุณต้องนำไปไว้ในรูปแบบมาตรฐาน (เพื่อไม่ให้สับสนเมื่อแก้ไข)

2. จำไว้ว่า x เป็นค่าที่ไม่รู้จักและสามารถเขียนแทนด้วยตัวอักษรอื่น ๆ - t, q, p, h และอื่น ๆ

หัวข้อนี้อาจดูซับซ้อนในตอนแรกเนื่องจากมีสูตรที่ไม่ง่ายมากมาย สมการกำลังสองไม่เพียงแต่มีรายการยาว แต่รากยังพบผ่านการเลือกปฏิบัติ มีทั้งหมดสามสูตรใหม่ จำไม่ค่อยได้. สิ่งนี้เป็นไปได้หลังจากการแก้สมการดังกล่าวบ่อยครั้งเท่านั้น จากนั้นสูตรทั้งหมดจะถูกจดจำด้วยตัวเอง

มุมมองทั่วไปของสมการกำลังสอง

ที่นี่มีการเสนอสัญกรณ์ที่ชัดเจนเมื่อเขียนระดับที่ใหญ่ที่สุดก่อนแล้วจึงเรียงลำดับจากมากไปน้อย มักจะมีสถานการณ์ที่เงื่อนไขแตกต่างออกไป จะดีกว่าถ้าเขียนสมการใหม่โดยเรียงจากมากไปหาน้อยของดีกรีของตัวแปร

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ แสดงในตารางด้านล่าง

ถ้าเรายอมรับสัญกรณ์เหล่านี้ สมการกำลังสองทั้งหมดจะลดลงเป็นสัญกรณ์ต่อไปนี้

ยิ่งกว่านั้นสัมประสิทธิ์ a ≠ 0 ให้สูตรนี้แทนด้วยเลขหนึ่ง

เมื่อให้สมการมา จะไม่ชัดเจนว่าคำตอบจะมีรากกี่ตัว เพราะหนึ่งในสามตัวเลือกนั้นเป็นไปได้เสมอ:

• สารละลายจะมีสองราก
• คำตอบจะเป็นตัวเลขเดียว
• สมการไม่มีรากเลย

และในขณะที่การตัดสินใจไม่สิ้นสุด เป็นการยากที่จะเข้าใจว่าตัวเลือกใดจะหลุดออกไปในบางกรณี

ประเภทของบันทึกสมการกำลังสอง

งานอาจมีรายการที่แตกต่างกัน พวกเขาจะไม่เหมือนสูตรทั่วไปของสมการกำลังสองเสมอไป บางครั้งก็ขาดเงื่อนไขบางอย่าง สิ่งที่เขียนข้างต้นเป็นสมการที่สมบูรณ์ หากคุณลบเทอมที่สองหรือสามออกไป คุณจะได้อย่างอื่น บันทึกเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่าสมการกำลังสอง ไม่สมบูรณ์เท่านั้น

นอกจากนี้ เฉพาะเงื่อนไขที่สัมประสิทธิ์ "b" และ "c" เท่านั้นที่สามารถหายไปได้ ตัวเลข "a" ไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ไม่ว่ากรณีใดๆ เพราะในกรณีนี้สูตรจะกลายเป็นสมการเชิงเส้น สูตรสำหรับสมการที่ไม่สมบูรณ์จะเป็นดังนี้:

ดังนั้น มีเพียงสองประเภทเท่านั้น นอกเหนือจากแบบสมบูรณ์แล้ว ยังมีสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์อีกด้วย ให้สูตรแรกเป็นเลขสองและเลขสองสาม

การเลือกปฏิบัติและการพึ่งพาจำนวนรากตามมูลค่า

ต้องรู้ตัวเลขนี้เพื่อคำนวณรากของสมการ มันสามารถคำนวณได้เสมอ ไม่ว่าสูตรของสมการกำลังสองจะเป็นอะไรก็ตาม ในการคำนวณการเลือกปฏิบัติ คุณต้องใช้ความเท่าเทียมกันที่เขียนไว้ด้านล่าง ซึ่งจะมีเลขสี่

หลังจากแทนค่าสัมประสิทธิ์ลงในสูตรแล้ว คุณจะได้ตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกัน ถ้าคำตอบคือใช่ คำตอบของสมการจะเป็นรากที่สองต่างกัน ด้วยจำนวนลบ รากของสมการกำลังสองจะหายไป ถ้าเท่ากับศูนย์ คำตอบจะเป็นหนึ่ง

สมการกำลังสองสมบูรณ์แก้ได้อย่างไร?

อันที่จริงการพิจารณาเรื่องนี้ได้เริ่มขึ้นแล้ว เพราะก่อนอื่นคุณต้องค้นหาการเลือกปฏิบัติ หลังจากที่ชี้แจงว่ามีรากของสมการกำลังสองและทราบจำนวนแล้ว คุณต้องใช้สูตรสำหรับตัวแปร หากมีสองรูทคุณต้องใช้สูตรดังกล่าว

เนื่องจากมีเครื่องหมาย “±” อยู่ จึงมี 2 ค่า นิพจน์ภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์คือการแบ่งแยก ดังนั้นสูตรจึงสามารถเขียนใหม่ได้ในลักษณะที่ต่างออกไป

สูตรห้า. จากบันทึกเดียวกันจะเห็นได้ว่าหาก discriminant เป็นศูนย์ รากทั้งสองก็จะรับค่าเดียวกัน

หากการแก้สมการกำลังสองยังไม่ได้ผล จะเป็นการดีกว่าที่จะเขียนค่าของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดก่อนที่จะใช้สูตรจำแนกและตัวแปร ภายหลังช่วงเวลานี้จะไม่ทำให้เกิดปัญหา แต่ในตอนแรกมีความสับสน

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์แก้ไขได้อย่างไร?

ทุกอย่างง่ายกว่ามากที่นี่ แม้จะไม่ต้องการสูตรเพิ่มเติมก็ตาม และคุณไม่จำเป็นต้องมีสิ่งที่เขียนไว้แล้วสำหรับการเลือกปฏิบัติและสิ่งที่ไม่รู้จัก

อันดับแรก ให้พิจารณาสมการที่ไม่สมบูรณ์ข้อที่สอง ในความเท่าเทียมกันนี้ ควรจะเอาค่าที่ไม่รู้จักออกจากวงเล็บและแก้สมการเชิงเส้น ซึ่งจะยังคงอยู่ในวงเล็บ คำตอบจะมีสองราก อันแรกจำเป็นต้องเท่ากับศูนย์ เพราะมีตัวประกอบที่ประกอบด้วยตัวแปรเอง ประการที่สองได้จากการแก้สมการเชิงเส้น

สมการที่ไม่สมบูรณ์ที่หมายเลขสามแก้ไขได้โดยการโอนหมายเลขจากด้านซ้ายของสมการไปทางขวา จากนั้นคุณต้องหารด้วยสัมประสิทธิ์หน้าค่านิรนาม เหลือเพียงการแยกรากที่สองออกและอย่าลืมเขียนสองครั้งด้วยเครื่องหมายตรงข้าม

ต่อไปนี้คือการดำเนินการบางอย่างที่ช่วยให้คุณเรียนรู้วิธีแก้ความเท่าเทียมกันทุกประเภทที่เปลี่ยนเป็นสมการกำลังสอง พวกเขาจะช่วยให้นักเรียนหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดเนื่องจากการไม่ตั้งใจ ข้อบกพร่องเหล่านี้เป็นสาเหตุของคะแนนไม่ดีเมื่อศึกษาหัวข้อ "สมการกำลังสอง (เกรด 8)" อย่างละเอียด ต่อจากนั้น การกระทำเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องดำเนินการอย่างต่อเนื่อง เพราะจะมีนิสัยที่มั่นคง

• ก่อนอื่นคุณต้องเขียนสมการในรูปแบบมาตรฐาน นั่นคือ ขั้นแรก เทอมที่มีดีกรีดีกรีมากที่สุดของตัวแปร และจากนั้น - ไม่มีดีกรีและตัวสุดท้าย - ก็แค่ตัวเลข

• หากเครื่องหมายลบปรากฏขึ้นก่อนสัมประสิทธิ์ "a" ก็อาจทำให้งานสำหรับผู้เริ่มต้นศึกษาสมการกำลังสองซับซ้อนขึ้นได้ ดีกว่าที่จะกำจัดมัน เพื่อจุดประสงค์นี้ ความเท่าเทียมกันทั้งหมดจะต้องคูณด้วย "-1" ซึ่งหมายความว่าเงื่อนไขทั้งหมดจะเปลี่ยนเป็นเครื่องหมายตรงกันข้าม

• ในทำนองเดียวกัน ขอแนะนำให้กำจัดเศษส่วน แค่คูณสมการด้วยตัวประกอบที่เหมาะสมเพื่อให้ตัวส่วนตัดกัน

ตัวอย่าง

จำเป็นต้องแก้สมการกำลังสองต่อไปนี้:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

สมการแรก: x 2 - 7x \u003d 0 ยังไม่สมบูรณ์ ดังนั้นจึงแก้ไขตามที่อธิบายไว้สำหรับสูตรหมายเลขสอง

หลังจากถ่ายคร่อมแล้วปรากฎว่า: x (x - 7) \u003d 0

รูทแรกรับค่า: x 1 \u003d 0 ตัวที่สองจะหาได้จากสมการเชิงเส้น: x - 7 \u003d 0 ง่ายที่จะเห็นว่า x 2 \u003d 7

สมการที่สอง: 5x2 + 30 = 0 ไม่สมบูรณ์อีกครั้ง เท่านั้นจะแก้ไขตามที่อธิบายไว้สำหรับสูตรที่สาม

หลังจากโอน 30 ไปทางด้านขวาของสมการแล้ว: 5x 2 = 30 ตอนนี้คุณต้องหารด้วย 5 ปรากฎว่า: x 2 = 6 คำตอบจะเป็นตัวเลข: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

สมการที่สาม: 15 - 2x - x 2 \u003d 0 ที่นี่และด้านล่าง การแก้สมการกำลังสองจะเริ่มต้นด้วยการเขียนใหม่ให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0 ตอนนี้ได้เวลาใช้สมการที่สองแล้ว เคล็ดลับที่เป็นประโยชน์และคูณทุกอย่างด้วยลบหนึ่ง ปรากฎ x 2 + 2x - 15 \u003d 0 ตามสูตรที่สี่คุณต้องคำนวณการจำแนก: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. มันคือ จำนวนบวก จากที่กล่าวข้างต้น ปรากฎว่าสมการมีสองราก ต้องคำนวณตามสูตรที่ห้า ตามนั้นปรากฎว่า x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2 จากนั้น x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5

สมการที่สี่ x 2 + 8 + 3x \u003d 0 ถูกแปลงเป็นสิ่งนี้: x 2 + 3x + 8 \u003d 0 การเลือกปฏิบัติเท่ากับค่านี้: -23 เนื่องจากตัวเลขนี้เป็นค่าลบ คำตอบของงานนี้จึงเป็นรายการต่อไปนี้: "ไม่มีราก"

สมการที่ห้า 12x + x 2 + 36 = 0 ควรเขียนใหม่ดังนี้: x 2 + 12x + 36 = 0 หลังจากใช้สูตรสำหรับการเลือกปฏิบัติ จะได้เลขศูนย์ ซึ่งหมายความว่าจะมีหนึ่งรูทคือ: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6

สมการที่หก (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) ต้องมีการแปลง ซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าคุณจำเป็นต้องนำพจน์ที่เหมือนกันมา ก่อนเปิดวงเล็บ แทนที่อันแรกจะมีนิพจน์ดังกล่าว: x 2 + 2x + 1 หลังจากความเท่าเทียมกัน รายการนี้จะปรากฏขึ้น: x 2 + 3x + 2 หลังจากนับคำศัพท์ที่คล้ายกันแล้ว สมการจะอยู่ในรูปแบบ: x ​​2 - x \u003d 0 มันไม่สมบูรณ์ คล้ายกับได้รับการพิจารณาให้สูงขึ้นเล็กน้อยแล้ว รากของสิ่งนี้จะเป็นตัวเลข 0 และ 1

ในสังคมสมัยใหม่ ความสามารถในการทำงานกับสมการที่มีตัวแปรกำลังสองนั้นมีประโยชน์ในหลาย ๆ ด้านของกิจกรรม และมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการพัฒนาทางวิทยาศาสตร์และทางเทคนิค สิ่งนี้สามารถพิสูจน์ได้จากการออกแบบเรือเดินทะเลและแม่น้ำ เครื่องบิน และขีปนาวุธ ด้วยความช่วยเหลือของการคำนวณดังกล่าวจะกำหนดวิถีการเคลื่อนที่ของวัตถุต่าง ๆ รวมถึงวัตถุอวกาศ ตัวอย่างที่มีการแก้สมการกำลังสองไม่เพียงใช้ในการพยากรณ์ทางเศรษฐกิจเท่านั้น ในการออกแบบและการก่อสร้างอาคารเท่านั้น แต่ยังใช้ในสถานการณ์ประจำวันที่ธรรมดาที่สุดด้วย อาจจำเป็นสำหรับการเดินทางไปแคมป์ปิ้ง ที่งานกีฬา ในร้านค้าเมื่อซื้อของ และในสถานการณ์ทั่วไปอื่นๆ

แบ่งนิพจน์ออกเป็นปัจจัยส่วนประกอบ

ระดับของสมการถูกกำหนดโดยค่าสูงสุดของระดับของตัวแปรที่มีอยู่ในนิพจน์ที่กำหนด หากมีค่าเท่ากับ 2 สมการดังกล่าวจะเรียกว่าสมการกำลังสอง

หากเราพูดในภาษาของสูตร นิพจน์เหล่านี้ไม่ว่าจะมีลักษณะอย่างไร ก็สามารถนำมาสู่แบบฟอร์มได้เสมอเมื่อด้านซ้ายของนิพจน์ประกอบด้วยคำศัพท์สามคำ ในหมู่พวกเขา: ax 2 (นั่นคือตัวแปรยกกำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์), bx (ไม่ทราบโดยไม่มีกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์) และ c (องค์ประกอบอิสระนั่นคือตัวเลขธรรมดา) ทั้งหมดนี้ทางด้านขวาเท่ากับ 0 ในกรณีที่พหุนามดังกล่าวไม่มีพจน์ที่เป็นส่วนประกอบ ยกเว้น ax 2 จะเรียกว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ตัวอย่างการแก้ปัญหาดังกล่าวซึ่งหาค่าของตัวแปรได้ไม่ยากควรพิจารณาก่อน

หากนิพจน์มีลักษณะในลักษณะที่มีคำศัพท์สองคำทางด้านขวาของนิพจน์ ให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือ ax 2 และ bx จะเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการค้นหา x โดยการใส่ตัวแปรในวงเล็บ ตอนนี้สมการของเราจะมีลักษณะดังนี้: x(ax+b) นอกจากนี้ จะเห็นได้ชัดว่า x=0 หรืองานถูกลดขนาดลงเพื่อค้นหาตัวแปรจากนิพจน์ต่อไปนี้: ax+b=0 สิ่งนี้ถูกกำหนดโดยคุณสมบัติอย่างหนึ่งของการคูณ กฎบอกว่าผลคูณของสองปัจจัยส่งผลให้เป็น 0 ต่อเมื่อตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์

ตัวอย่าง

x=0 หรือ 8x - 3 = 0

เป็นผลให้เราได้รากของสมการสองราก: 0 และ 0.375

สมการประเภทนี้สามารถอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุภายใต้การกระทำของแรงโน้มถ่วง ซึ่งเริ่มเคลื่อนจากจุดหนึ่งซึ่งถือเป็นจุดกำเนิด สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์อยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: y = v 0 t + gt 2 /2 โดยการแทนที่ค่าที่จำเป็น ให้เท่ากันทางด้านขวาเป็น 0 และค้นหาค่าที่ไม่ทราบค่าที่เป็นไปได้ คุณสามารถค้นหาเวลาที่ผ่านไปตั้งแต่ช่วงเวลาที่ร่างกายเพิ่มขึ้นจนถึงช่วงเวลาที่มันตกลงมา ตลอดจนปริมาณอื่นๆ อีกมากมาย แต่เราจะพูดถึงเรื่องนี้ในภายหลัง

การแยกตัวประกอบนิพจน์

กฎที่อธิบายไว้ข้างต้นทำให้สามารถแก้ไขปัญหาเหล่านี้ได้ในกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้น พิจารณาตัวอย่างด้วยการแก้สมการกำลังสองประเภทนี้

X2 - 33x + 200 = 0

ไตรโนเมียลกำลังสองนี้เสร็จสมบูรณ์แล้ว อันดับแรก เราแปลงนิพจน์และแยกออกเป็นปัจจัย มีสองตัว: (x-8) และ (x-25) = 0 เป็นผลให้เรามีรากที่สอง 8 และ 25

ตัวอย่างที่มีการแก้สมการกำลังสองในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ช่วยให้วิธีนี้สามารถค้นหาตัวแปรในนิพจน์ได้ ไม่เพียงแต่ในนิพจน์ที่สองเท่านั้น แต่ยังรวมถึงลำดับที่สามและสี่ด้วย

ตัวอย่างเช่น: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0 เมื่อแยกตัวประกอบทางด้านขวาเป็นตัวประกอบด้วยตัวแปร จะมีสามตัว นั่นคือ (x + 1), (x-3) และ (x + 3).

เป็นผลให้เห็นได้ชัดว่าสมการนี้มีสามราก: -3; -หนึ่ง; 3.

การแยกรากที่สอง

อีกกรณีหนึ่งของสมการอันดับสองที่ไม่สมบูรณ์คือนิพจน์ที่เขียนด้วยภาษาของตัวอักษรในลักษณะที่ด้านขวาถูกสร้างขึ้นจากส่วนประกอบ ax 2 และ c ในที่นี้ เพื่อให้ได้ค่าของตัวแปร เทอมอิสระจะถูกโอนไปทางด้านขวา และหลังจากนั้น สแควร์รูทจะถูกดึงออกมาจากทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกัน ควรสังเกตว่าในกรณีนี้มักจะมีรากของสมการอยู่สองราก ข้อยกเว้นเพียงอย่างเดียวคือความเท่าเทียมกันที่ไม่มีคำว่า c โดยที่ตัวแปรมีค่าเท่ากับศูนย์ เช่นเดียวกับตัวแปรของนิพจน์เมื่อด้านขวากลายเป็นค่าลบ ในกรณีหลังนี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหาเลย เนื่องจากการกระทำข้างต้นไม่สามารถทำได้ด้วยรูท ควรพิจารณาตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองประเภทนี้

ในกรณีนี้ รากของสมการจะเป็นตัวเลข -4 และ 4

การคำนวณพื้นที่ที่ดิน

ความจำเป็นในการคำนวณประเภทนี้ปรากฏขึ้นในสมัยโบราณ เนื่องจากการพัฒนาทางคณิตศาสตร์ในยุคที่ห่างไกลนั้นส่วนใหญ่มาจากความจำเป็นในการกำหนดพื้นที่และปริมณฑลของแปลงที่ดินด้วยความแม่นยำสูงสุด

เราควรพิจารณาตัวอย่างด้วยการแก้สมการกำลังสองที่รวบรวมจากปัญหาประเภทนี้

สมมุติว่ามีที่ดินผืนหนึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ยาวกว่าความกว้าง 16 เมตร คุณควรหาความยาว ความกว้าง และปริมณฑลของไซต์ ถ้าทราบว่ามีพื้นที่ 612 ม. 2

เริ่มต้นธุรกิจในตอนแรกเราจะสร้างสมการที่จำเป็น กำหนดความกว้างของส่วนเป็น x แล้วความยาวของมันจะเป็น (x + 16) จากที่เขียนว่าพื้นที่ถูกกำหนดโดยนิพจน์ x (x + 16) ซึ่งตามเงื่อนไขของปัญหาของเราคือ 612 ซึ่งหมายความว่า x (x + 16) \u003d 612

คำตอบของสมการกำลังสองสมบูรณ์ และพจน์นี้ก็คือว่า ไม่สามารถทำได้ในลักษณะเดียวกัน ทำไม แม้ว่าด้านซ้ายของมันยังประกอบด้วยสองปัจจัย แต่ผลคูณของปัจจัยเหล่านั้นไม่ใช่ 0 เลย ดังนั้นจึงใช้วิธีการอื่นที่นี่

เลือกปฏิบัติ

ก่อนอื่น เราจะทำการแปลงที่จำเป็น จากนั้นรูปลักษณ์ของนิพจน์นี้จะมีลักษณะดังนี้: x 2 + 16x - 612 = 0 ซึ่งหมายความว่าเราได้รับนิพจน์ในรูปแบบที่สอดคล้องกับมาตรฐานที่ระบุก่อนหน้านี้โดยที่ a=1, b=16, c= -612.

นี้สามารถเป็นตัวอย่างของการแก้สมการกำลังสองผ่านการเลือกปฏิบัติ นี่คือการคำนวณที่จำเป็นตามรูปแบบ: D = b 2 - 4ac ค่าเสริมนี้ไม่เพียงแต่ทำให้สามารถค้นหาค่าที่ต้องการในสมการอันดับสองเท่านั้น แต่ยังเป็นตัวกำหนดจำนวนของตัวเลือกที่เป็นไปได้ ในกรณี D>0 มีสองตัว; สำหรับ D=0 มีหนึ่งรูท ในกรณีที่D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

เกี่ยวกับรากและสูตรของมัน

ในกรณีของเรา การเลือกปฏิบัติคือ: 256 - 4(-612) = 2704 ซึ่งบ่งชี้ว่าปัญหาของเรามีคำตอบ หากคุณทราบถึงการแก้สมการกำลังสองจะต้องดำเนินการต่อโดยใช้สูตรด้านล่าง ช่วยให้คุณสามารถคำนวณราก

ซึ่งหมายความว่าในกรณีที่นำเสนอ: x 1 =18, x 2 =-34 ตัวเลือกที่สองในภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออกนี้ไม่สามารถแก้ปัญหาได้ เนื่องจากขนาดของที่ดินไม่สามารถวัดเป็นค่าลบได้ ซึ่งหมายความว่า x (นั่นคือ ความกว้างของแปลง) คือ 18 ม. จากที่นี่ เราจะคำนวณความยาว: 18+16=34 และปริมณฑล 2(34+ 18) = 104 (m 2)

ตัวอย่างและงาน

เราศึกษาสมการกำลังสองต่อไป ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดของหลายรายการจะได้รับด้านล่าง

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

ลองย้ายทุกอย่างไปทางซ้ายของความเท่าเทียมกัน แปลงร่าง นั่นคือ เราได้รูปแบบของสมการ ซึ่งปกติเรียกว่าสมการมาตรฐาน และให้เท่ากับศูนย์

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

เมื่อเพิ่มสิ่งที่คล้ายคลึงกันแล้วเราจะพิจารณาการเลือกปฏิบัติ: D \u003d 49 - 48 \u003d 1 ดังนั้นสมการของเราจะมีสองราก เราคำนวณตามสูตรข้างต้น ซึ่งหมายความว่าอันแรกจะเท่ากับ 4/3 และอันที่สองคือ 1

2) ตอนนี้เราจะเปิดเผยปริศนาประเภทอื่น

มาดูกันว่ามี root x 2 - 4x + 5 = 1 ไหม? เพื่อให้ได้คำตอบที่ละเอียดถี่ถ้วน เรานำพหุนามมาอยู่ในรูปแบบที่คุ้นเคยและคำนวณตัวแบ่งแยก ในตัวอย่างนี้ ไม่จำเป็นต้องแก้สมการกำลังสอง เพราะสาระสำคัญของปัญหาไม่มีอยู่ในนี้ ในกรณีนี้ D \u003d 16 - 20 \u003d -4 ซึ่งหมายความว่าไม่มีรากจริงๆ

ทฤษฎีบทของเวียตา

สะดวกในการแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรข้างต้นและตัวจำแนกประเภท เมื่อรากที่สองถูกแยกจากค่าของตัวหลัง แต่สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นเสมอไป อย่างไรก็ตาม มีหลายวิธีในการรับค่าของตัวแปรในกรณีนี้ ตัวอย่าง: การแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา ได้รับการตั้งชื่อตามชายคนหนึ่งที่อาศัยอยู่ในฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 16 และมีอาชีพที่ยอดเยี่ยมด้วยความสามารถทางคณิตศาสตร์และความสัมพันธ์ที่ศาล ภาพเหมือนของเขาสามารถเห็นได้ในบทความ

รูปแบบที่ชาวฝรั่งเศสผู้โด่งดังสังเกตเห็นมีดังนี้ เขาพิสูจน์ว่าผลรวมของรากของสมการเท่ากับ -p=b/a และผลิตภัณฑ์ของสมการนั้นสอดคล้องกับ q=c/a

ทีนี้มาดูงานเฉพาะกันบ้าง

3x2 + 21x - 54 = 0

เพื่อความง่าย ให้แปลงนิพจน์:

x 2 + 7x - 18 = 0

เมื่อใช้ทฤษฎีบทเวียตา จะได้ผลดังนี้ ผลรวมของรากคือ -7 และผลคูณของรากคือ -18 จากที่นี่เราได้ว่ารากของสมการคือตัวเลข -9 และ 2 เมื่อทำการตรวจสอบแล้ว เราจะตรวจสอบให้แน่ใจว่าค่าของตัวแปรเหล่านี้พอดีกับนิพจน์จริงๆ

กราฟและสมการพาราโบลา

แนวคิดของฟังก์ชันกำลังสองและสมการกำลังสองมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด ตัวอย่างนี้ได้รับไปแล้วก่อนหน้านี้ ตอนนี้เรามาดูปริศนาทางคณิตศาสตร์ในรายละเอียดเพิ่มเติมกันเล็กน้อย สมการใด ๆ ของประเภทที่อธิบายไว้สามารถแสดงได้ด้วยสายตา การพึ่งพาอาศัยกันซึ่งวาดในรูปของกราฟเรียกว่าพาราโบลา ประเภทต่างๆ ดังรูปด้านล่าง

พาราโบลาใด ๆ มีจุดยอดนั่นคือจุดที่กิ่งก้านของมันออกมา ถ้า a>0 พวกมันขึ้นไปถึงอนันต์ และเมื่อ a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

การแสดงฟังก์ชันแบบเห็นภาพช่วยในการแก้สมการใดๆ รวมทั้งสมการกำลังสอง วิธีนี้เรียกว่ากราฟิก และค่าของตัวแปร x คือพิกัด abscissa ที่จุดที่เส้นกราฟตัดกับ 0x พิกัดของจุดยอดสามารถพบได้โดยสูตรที่ให้ x 0 = -b / 2a และการแทนที่ค่าผลลัพธ์ลงในสมการดั้งเดิมของฟังก์ชัน คุณจะพบว่า y 0 นั่นคือพิกัดที่สองของพาราโบลาจุดยอดที่เป็นของแกน y

จุดตัดของกิ่งก้านของพาราโบลากับแกน abscissa

มีตัวอย่างมากมายเกี่ยวกับการแก้สมการกำลังสอง แต่ก็มีรูปแบบทั่วไปเช่นกัน ลองพิจารณาพวกเขา เป็นที่ชัดเจนว่าจุดตัดของกราฟที่มีแกน 0x สำหรับ a>0 เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ y 0 รับค่าลบ และสำหรับ<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. มิฉะนั้น D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

จากกราฟของพาราโบลา คุณยังสามารถกำหนดรากได้อีกด้วย สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน กล่าวคือ หากไม่ง่ายที่จะได้การแสดงฟังก์ชันกำลังสองเป็นภาพ คุณสามารถทำให้ด้านขวาของนิพจน์เท่ากับ 0 และแก้สมการผลลัพธ์ได้ และเมื่อรู้จุดตัดกับแกน 0x ก็จะพล็อตได้ง่ายขึ้น

จากประวัติศาสตร์

ด้วยความช่วยเหลือของสมการที่มีตัวแปรกำลังสองในสมัยก่อนไม่เพียง แต่ทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์และกำหนดพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตเท่านั้น คนโบราณต้องการการคำนวณดังกล่าวสำหรับการค้นพบที่ยิ่งใหญ่ในด้านฟิสิกส์และดาราศาสตร์ เช่นเดียวกับการพยากรณ์ทางโหราศาสตร์

ตามที่นักวิทยาศาสตร์สมัยใหม่แนะนำ ชาวบาบิโลนเป็นกลุ่มแรกที่แก้สมการกำลังสอง มันเกิดขึ้นสี่ศตวรรษก่อนการมาถึงของยุคของเรา แน่นอนว่าการคำนวณของพวกเขานั้นแตกต่างจากที่ยอมรับในปัจจุบันและกลายเป็นแบบดั้งเดิมมากขึ้น ตัวอย่างเช่น นักคณิตศาสตร์ชาวเมโสโปเตเมียไม่มีความคิดเกี่ยวกับการมีอยู่ของจำนวนลบ พวกเขาไม่คุ้นเคยกับรายละเอียดปลีกย่อยอื่น ๆ ของผู้ที่รู้จักนักเรียนในยุคของเรา

บางทีอาจจะเร็วกว่านักวิทยาศาสตร์ของบาบิโลน ปราชญ์จากอินเดีย บาธยามะ ได้ใช้คำตอบของสมการกำลังสอง สิ่งนี้เกิดขึ้นประมาณแปดศตวรรษก่อนการมาถึงของยุคของพระคริสต์ จริงอยู่ สมการอันดับสอง ซึ่งเป็นวิธีการแก้ที่เขาให้นั้นง่ายที่สุด นอกจากเขาแล้ว นักคณิตศาสตร์ชาวจีนยังสนใจคำถามที่คล้ายกันในสมัยก่อนอีกด้วย ในยุโรป สมการกำลังสองเริ่มถูกแก้เมื่อต้นศตวรรษที่ 13 เท่านั้น แต่ต่อมานักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่อย่างนิวตัน เดส์การตส์ และคนอื่นๆ อีกหลายคนก็ใช้สมการนี้ในงานของพวกเขา