สิ่งที่เรียกว่าเศษส่วน เศษส่วนร่วม

ตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน ประเภทของเศษส่วน มาต่อกันที่เศษส่วน ประการแรก ข้อแม้เล็ก ๆ - เราพิจารณาเศษส่วนและตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกัน สำหรับตอนนี้ เราจะใช้การแทนค่าตัวเลขเท่านั้น นอกจากนี้ยังมีเศษส่วน นิพจน์ตามตัวอักษร(มีและไม่มีตัวเลข)อย่างไรก็ตาม "หลักการ" และกฎเกณฑ์ทั้งหมดก็มีผลบังคับใช้เช่นกัน แต่เราจะพูดถึงสำนวนดังกล่าวแยกกันในอนาคต ผมแนะนำให้เยี่ยมชมและศึกษา (จำ) หัวข้อเศษส่วนทีละขั้นตอน

สิ่งสำคัญที่สุดคือต้องเข้าใจ จดจำ และตระหนักว่าเศษส่วนเป็นตัวเลข!!!

เศษส่วนร่วมเป็นตัวเลขในรูปแบบ:

หมายเลขที่อยู่ "ด้านบน" (ในกรณีนี้ m) เรียกว่าตัวเศษ ตัวเลขที่อยู่ด้านล่าง (หมายเลข n) เรียกว่าตัวส่วน คนที่เพิ่งสัมผัสกับหัวข้อมักจะสับสน - ชื่ออะไร

นี่คือเคล็ดลับสำหรับคุณ วิธีจดจำตลอดไป - ตัวเศษอยู่ที่ไหน และตัวส่วนอยู่ที่ไหน เทคนิคนี้เกี่ยวข้องกับการเชื่อมโยงทางวาจาและเป็นรูปเป็นร่าง ลองนึกภาพขวดที่มีน้ำขุ่น เป็นที่ทราบกันดีว่าเมื่อน้ำตกลงมา น้ำสะอาดยังคงอยู่ด้านบน และความขุ่น (สิ่งสกปรก) ตกตะกอน จำไว้ว่า:

CHISSS ละลายน้ำด้านบน (CHISSS เทน้ำด้านบน)

โคลน ZZZNNN th ด้านล่างน้ำ (ZZZNN Amenator ด้านล่าง)

ดังนั้นทันทีที่จำเป็นต้องจำได้ว่าตัวเศษอยู่ที่ไหนและตัวส่วนอยู่ที่ไหนจากนั้นพวกเขาก็นำเสนอขวดน้ำที่ตกลงมาทันทีซึ่งในนั้น น้ำบริสุทธิ์และด้านล่าง น้ำสกปรก. มีเคล็ดลับอื่น ๆ ที่ต้องจำไว้หากพวกเขาช่วยคุณได้ก็ดี

ตัวอย่างของเศษส่วนสามัญ:

เส้นแนวนอนระหว่างตัวเลขหมายความว่าอย่างไร นี่ไม่ใช่แค่เครื่องหมายหาร ปรากฎว่าเศษส่วนถือได้ว่าเป็นตัวอย่างด้วยการหาร การดำเนินการนี้จะถูกบันทึกอย่างง่ายในแบบฟอร์มนี้ นั่นคือจำนวนบน (ตัวเศษ) หารด้วยตัวเลขล่าง (ตัวส่วน):

นอกจากนี้ยังมีการบันทึกรูปแบบอื่น - สามารถเขียนเศษส่วนได้ดังนี้ (ผ่านเครื่องหมายทับ):

1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 และอื่นๆ...

เราสามารถเขียนเศษส่วนข้างต้นได้ดังนี้:

ผลลัพธ์ของการหารดังที่คุณทราบคือตัวเลข

ชี้แจง - เศษส่วนจำนวนนี้ !!!

ดังที่คุณสังเกตแล้ว ในเศษส่วนธรรมดา ตัวเศษอาจน้อยกว่าตัวส่วน อาจมากกว่าตัวส่วน และอาจเท่ากับตัวส่วนนั้น ที่นี่มีหลายอย่าง จุดสำคัญซึ่งสามารถเข้าใจได้โดยสัญชาตญาณโดยไม่มีความหรูหราทางทฤษฎีใดๆ ตัวอย่างเช่น:

1. เศษส่วนที่ 1 และ 3 เขียนได้เป็น 0.5 และ 0.01 ไปข้างหน้าหน่อย - พวกนี้คือเศษส่วนทศนิยม เราจะพูดถึงมันให้ต่ำกว่านี้หน่อย

2. เศษส่วน 4 และ 6 ส่งผลให้จำนวนเต็ม 45:9=5, 11:1 = 11

3. เศษส่วน 5 ให้หน่วย 155:155 = 1

ข้อสรุปอะไรแนะนำตัวเอง? ดังต่อไปนี้:

1. ตัวเศษเมื่อหารด้วยตัวส่วนสามารถให้จำนวนจำกัดได้ อาจใช้ไม่ได้ผล หารด้วยคอลัมน์ 7 คูณ 13 หรือ 17 ด้วย 11 - ไม่มีทาง! คุณสามารถแบ่งได้ไม่จำกัด แต่เราจะพูดถึงเรื่องนี้ให้น้อยลงด้วย

2. เศษส่วนสามารถทำให้เกิดจำนวนเต็มได้ ดังนั้น เราสามารถแทนจำนวนเต็มใดๆ ในรูปเศษส่วน หรือจะเรียกว่าเป็นอนุกรมของเศษส่วนก็ได้ ดูสิ เศษส่วนทั้งหมดเหล่านี้มีค่าเท่ากับ 2:

ยัง! เราสามารถเขียนจำนวนเต็มใดๆ เป็นเศษส่วนได้เสมอ - ตัวเลขนี้อยู่ในตัวเศษ หนึ่งในตัวส่วน:

3. เราสามารถแสดงหน่วยเป็นเศษส่วนด้วยตัวส่วนใดก็ได้:

*คะแนนที่ระบุมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการทำงานกับเศษส่วนในการคำนวณและการแปลง

ประเภทของเศษส่วน

และตอนนี้เกี่ยวกับการหารทฤษฏีของเศษส่วนธรรมดา แบ่งออกเป็น ถูกและผิด.

เศษส่วนที่มีตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วนเรียกว่าเศษส่วนที่เหมาะสม ตัวอย่าง:

เศษส่วนที่ตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วนเรียกว่าเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม ตัวอย่าง:

เศษส่วนผสม(จำนวนคละ).

เศษส่วนคละคือเศษส่วนที่เขียนเป็นจำนวนเต็มและเศษส่วนที่เหมาะสม และเข้าใจว่าเป็นผลรวมของจำนวนนี้กับเศษส่วน ตัวอย่าง:

เศษส่วนผสมสามารถแสดงเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมได้เสมอและในทางกลับกัน ไปต่อกันเลย!

ทศนิยม

เราได้กล่าวถึงข้างต้นแล้ว นี่คือตัวอย่าง (1) และ (3) ที่มีรายละเอียดมากขึ้น ต่อไปนี้คือตัวอย่างทศนิยม: 0.3 0.89 0.001 5.345

เศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นกำลัง 10 เช่น 10, 100, 1000 เป็นต้น เรียกว่าทศนิยม การเขียนเศษส่วนสามตัวแรกที่ระบุเป็นเศษส่วนธรรมดาไม่ใช่เรื่องยาก:

ที่สี่คือเศษส่วนคละ (จำนวนคละ):

เศษส่วนทศนิยมมีสัญกรณ์ต่อไปนี้ - withส่วนจำนวนเต็มเริ่มต้น จากนั้นตัวคั่นของจำนวนเต็มและส่วนที่เป็นเศษส่วนคือจุดหรือเครื่องหมายจุลภาคและส่วนที่เป็นเศษส่วน จำนวนหลักของส่วนที่เป็นเศษส่วนจะถูกกำหนดโดยขนาดของส่วนที่เป็นเศษส่วนอย่างเคร่งครัด: หากเป็นส่วนที่สิบ ส่วนที่เป็นเศษส่วนเขียนเป็นตัวเลขเดียว ถ้าในพัน - สาม; หมื่น - สี่ ฯลฯ

เศษส่วนเหล่านี้มีขอบเขตและไม่มีที่สิ้นสุด

ตัวอย่างทศนิยมสิ้นสุด: 0.234; 0.87; 34.00005; 5.765.

ตัวอย่างไม่มีที่สิ้นสุด ตัวอย่างเช่น จำนวน Pi เป็นเศษส่วนทศนิยมอนันต์ แต่ - 0.3333333333333…... 0.1666666666…. และคนอื่น ๆ. อีกทั้งผลการถอนรากถอนโคนจากตัวเลข 3, 5, 7 เป็นต้น จะเป็นเศษส่วนอนันต์

ส่วนที่เป็นเศษส่วนสามารถเป็นวงกลมได้ (มีวงจรอยู่ในนั้น) ตัวอย่างสองตัวอย่างข้างต้นเหมือนกันทุกประการ ตัวอย่างเพิ่มเติม:

0.123123123123……รอบ 123

0.781781781718…… รอบ 781

0.0250102501…. รอบ 02501

สามารถเขียนได้เป็น 0, (123) 0, (781) 0, (02501)

จำนวน Pi ไม่ใช่เศษส่วนตามวัฏจักร เช่น รากของสาม

ด้านล่างนี้ในตัวอย่าง คำต่างๆ เช่น "พลิก" เศษส่วนจะดังขึ้น - ซึ่งหมายความว่าตัวเศษและตัวส่วนจะแลกเปลี่ยนกัน อันที่จริงเศษส่วนดังกล่าวมีชื่อ - เศษส่วนส่วนกลับ ตัวอย่างของเศษส่วนซึ่งกันและกัน:

สรุปเล็ก! เศษส่วนคือ:

สามัญ (ถูกและผิด).

ทศนิยม (จำกัด และอนันต์)

ผสม (ตัวเลขผสม).

นั่นคือทั้งหมด!

ขอแสดงความนับถือ Alexander

ตัวเศษและตัวหารด้วยตัวหาร

ในการเขียนเศษส่วน ขั้นแรกให้เขียนตัวเศษ จากนั้นลากเส้นแนวนอนใต้ตัวเลขนี้ แล้วเขียนตัวส่วนใต้เส้น เส้นแนวนอนที่คั่นระหว่างตัวเศษและตัวส่วนเรียกว่าแถบเศษส่วน บางครั้งก็แสดงเป็นเฉียง "/" หรือ "∕" ในกรณีนี้ ตัวเศษจะถูกเขียนทางด้านซ้ายของบรรทัด และตัวส่วนทางด้านขวา ตัวอย่างเช่น เศษส่วน "สองในสาม" จะเขียนเป็น 2/3 เพื่อความชัดเจน ตัวเศษมักจะเขียนไว้บนสุดของบรรทัด และตัวส่วนอยู่ด้านล่าง นั่นคือแทนที่จะเป็น 2/3 คุณจะพบ: ⅔

ในการคำนวณผลคูณของเศษส่วน ขั้นแรกให้คูณตัวเศษของหนึ่ง เศษส่วนถึงตัวเศษอื่น เขียนผลลัพธ์ไปยังตัวเศษของใหม่ เศษส่วน. แล้วคูณตัวส่วนด้วย ระบุค่าสุดท้ายในใหม่ เศษส่วน. ตัวอย่างเช่น 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15)

ในการหารเศษส่วนด้วยอีกเศษหนึ่ง ขั้นแรกให้คูณตัวเศษของตัวแรกด้วยตัวส่วนของวินาที ทำเช่นเดียวกันกับเศษส่วนที่สอง (ตัวหาร) หรือก่อนทำตามขั้นตอนทั้งหมด ให้ "พลิก" ตัวหารก่อน ถ้าสะดวกสำหรับคุณ: ตัวส่วนควรอยู่แทนตัวเศษ จากนั้นคูณตัวส่วนของเงินปันผลด้วยตัวหารใหม่ของตัวหารแล้วคูณตัวเศษ ตัวอย่างเช่น 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3)

ที่มา:

• งานพื้นฐานสำหรับเศษส่วน

ตัวเลขเศษส่วนช่วยให้คุณแสดงออกใน รูปแบบที่แตกต่าง ค่าที่แน่นอนปริมาณ คุณสามารถทำเช่นเดียวกันกับเศษส่วน การดำเนินการทางคณิตศาสตร์เช่นเดียวกับจำนวนเต็ม: การลบ การบวก การคูณ และการหาร เพื่อเรียนรู้วิธีตัดสินใจ เศษส่วนจำเป็นต้องจำคุณลักษณะบางอย่างไว้ ขึ้นอยู่กับประเภท เศษส่วน, การมีอยู่ของส่วนจำนวนเต็ม, ตัวส่วนร่วม บาง การดำเนินการเลขคณิตหลังจากดำเนินการแล้ว พวกเขาต้องการการลดเศษส่วนของผลลัพธ์

คุณจะต้องการ

• - เครื่องคิดเลข

การเรียนการสอน

ดูตัวเลขอย่างระมัดระวัง หากมีเศษส่วนทศนิยมและเศษส่วนไม่ปกติในเศษส่วน บางครั้งก็สะดวกกว่าที่จะดำเนินการกับทศนิยมก่อนแล้วจึงแปลงเป็นรูปแบบที่ไม่ถูกต้อง คุณแปลได้ไหม เศษส่วนในรูปแบบนี้ในขั้นต้น เขียนค่าหลังจุดทศนิยมในตัวเศษและใส่ 10 ในตัวส่วน หากจำเป็น ให้ลดเศษส่วนด้วยการหารตัวเลขด้านบนและด้านล่างด้วยตัวหารหนึ่งตัว เศษส่วนที่ทำให้ส่วนทั้งหมดโดดเด่น นำไปสู่รูปแบบที่ไม่ถูกต้องโดยการคูณมันด้วยตัวส่วนแล้วบวกตัวเศษเข้ากับผลลัพธ์ ค่าที่ได้รับจะกลายเป็นตัวเศษใหม่ เศษส่วน. เพื่อแยกส่วนทั้งหมดจากส่วนที่ไม่ถูกต้องเบื้องต้น เศษส่วน, หารตัวเศษด้วยตัวส่วน เขียนผลลัพธ์ทั้งหมดจาก เศษส่วน. และเศษที่เหลือให้เป็นตัวเศษใหม่ ตัวส่วน เศษส่วนในขณะที่ไม่เปลี่ยนแปลง สำหรับเศษส่วนที่มีส่วนจำนวนเต็ม สามารถทำการดำเนินการแยกกันได้ อันดับแรกสำหรับจำนวนเต็มและส่วนที่เป็นเศษส่วน ตัวอย่างเช่น สามารถคำนวณผลรวมของ 1 2/3 และ 2 ¾ ได้:
- การแปลงเศษส่วนเป็นรูปแบบที่ไม่ถูกต้อง:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- การรวมแยกส่วนของจำนวนเต็มและเศษส่วนของเงื่อนไข:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

สำหรับเศษส่วน ทำเช่นเดียวกันสำหรับตัวส่วน เมื่อแบ่งหนึ่ง เศษส่วนเขียนเศษส่วนอีกส่วนหนึ่งแล้วคูณตัวเศษด้วยตัวส่วนของวินาที ในขณะเดียวกัน ตัวส่วนของตัวแรก เศษส่วนคูณด้วยตัวเศษของวินาที ในเวลาเดียวกัน การกลับตัวของวินาที เศษส่วน(ตัวแบ่ง). เศษส่วนสุดท้ายจะมาจากผลคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสอง เรียนง่าย เศษส่วน, เขียนในสภาพเป็น "สี่เรื่อง" เศษส่วน. ถ้ามันแยกสอง เศษส่วนให้เขียนใหม่ด้วยตัวคั่น ":" และดำเนินการต่อด้วยการหารปกติ

เพื่อให้ได้ผลลัพธ์สุดท้าย ให้ลดเศษส่วนที่ได้โดยการหารตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนเต็มหนึ่งจำนวน ซึ่งมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ในกรณีนี้ ในกรณีนี้ จะต้องมีตัวเลขจำนวนเต็มอยู่ด้านบนและด้านล่างของบรรทัด

บันทึก

อย่าคิดเลขคณิตกับเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน เลือกตัวเลขที่เมื่อตัวเศษและตัวหารของเศษส่วนแต่ละส่วนคูณด้วยตัวหารนั้น ตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสองจะเท่ากัน

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

เมื่อเขียนตัวเลขเศษส่วน เงินปันผลจะถูกเขียนเหนือเส้น ปริมาณนี้เรียกว่าตัวเศษของเศษส่วน ใต้บรรทัด ตัวหารหรือตัวส่วนของเศษจะถูกเขียน ตัวอย่างเช่น ข้าวหนึ่งกิโลกรัมครึ่งในรูปเศษส่วนจะถูกเขียนดังนี้: ข้าว 1 ½ กิโลกรัม ถ้าตัวส่วนของเศษเป็น 10 เรียกว่าเศษส่วนทศนิยม ในกรณีนี้ ตัวเศษ (เงินปันผล) จะเขียนทางด้านขวาของทั้งส่วนโดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค: ข้าว 1.5 กก. เพื่อความสะดวกในการคำนวณ เศษส่วนดังกล่าวสามารถเขียนในรูปแบบที่ไม่ถูกต้องเสมอ: มันฝรั่ง 1 2/10 กก. เพื่อลดความซับซ้อน คุณสามารถลดค่าตัวเศษและตัวส่วนได้โดยการหารด้วยจำนวนเต็มเดียว ใน ตัวอย่างนี้หารด้วย 2 ได้ ผลที่ได้คือมันฝรั่ง 1 1/5 กก. ตรวจสอบให้แน่ใจว่าตัวเลขที่คุณจะคิดเลขอยู่ในรูปแบบเดียวกัน

ส่วนแบ่งของหน่วยและแสดงเป็น \frac(a)(b).

ตัวเศษเศษส่วน (a)- ตัวเลขเหนือเส้นเศษและแสดงจำนวนหุ้นที่แยกหน่วย

ตัวส่วนเศษส่วน (b)- ตัวเลขใต้เส้นเศษและแสดงจำนวนหุ้นที่แบ่งหน่วย

ซ่อนการแสดง

คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน

ถ้า ad=bc แล้วเศษส่วนสองส่วน \frac(a)(b)และ \frac(c)(ง)ถือว่าเท่าเทียมกัน เช่น เศษส่วนจะเท่ากับ \frac35และ \frac(9)(15)ตั้งแต่ 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7)และ \frac(24)(14)ตั้งแต่ 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24

จากนิยามความเท่าเทียมกันของเศษส่วน เศษส่วนจะเท่ากัน \frac(a)(b)และ \frac(น)(bm)เนื่องจาก a(bm)=b(am) เป็นตัวอย่างที่ชัดเจนของการใช้คุณสมบัติการเชื่อมโยงและการสลับของการคูณ ตัวเลขธรรมชาติในการดำเนินการ

วิธี \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- หน้าตาประมาณนี้ คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน.

อีกนัยหนึ่ง เราได้เศษส่วนที่เท่ากับเศษส่วนที่ให้มาโดยการคูณหรือหารตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนเดิมด้วยจำนวนธรรมชาติเดียวกัน

การลดเศษส่วนเป็นกระบวนการแทนที่เศษส่วน โดยที่เศษส่วนใหม่มีค่าเท่ากับเศษส่วนเดิม แต่มีตัวเศษและตัวส่วนน้อยกว่า

เป็นเรื่องปกติที่จะลดเศษส่วนตามคุณสมบัติหลักของเศษส่วน

ตัวอย่างเช่น, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(ตัวเศษและตัวส่วนหารด้วยเลข 3 ลงตัว); เศษส่วนผลลัพธ์สามารถลดลงได้อีกครั้งโดยหารด้วย 5 นั่นคือ \frac(15)(20)=\frac 34.

เศษส่วนลดไม่ได้เป็นเศษส่วนของรูปแบบ \frac34โดยที่ตัวเศษและตัวส่วนเป็นจำนวนเฉพาะ จุดประสงค์หลักของการลดเศษส่วนคือการทำให้เศษส่วนนั้นลดไม่ได้

การนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม

ยกตัวอย่างเศษส่วนสองส่วน: \frac(2)(3)และ \frac(5)(8)ที่มีตัวส่วนต่างกัน 3 และ 8 . เพื่อนำเศษส่วนเหล่านี้มาเป็นตัวส่วนร่วมและคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนก่อน \frac(2)(3)โดย 8 . เราได้รับผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). แล้วคูณทั้งเศษและส่วนของเศษส่วน \frac(5)(8)โดย 3 . เราได้รับผลลัพธ์: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). ดังนั้น เศษส่วนดั้งเดิมจึงลดลงเป็นตัวส่วนร่วม 24

การคำนวณทางคณิตศาสตร์ของเศษส่วนสามัญ

การบวกเศษส่วนธรรมดา

ก) เมื่อ ตัวส่วนเท่ากันตัวเศษของเศษส่วนแรกจะถูกบวกเข้ากับตัวเศษของเศษส่วนที่สอง โดยปล่อยให้ตัวส่วนเหมือนกัน ดังที่เห็นในตัวอย่าง:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

ข) เมื่อ ตัวหารที่แตกต่างกันเศษส่วนจะถูกลดจำนวนลงเป็นตัวส่วนร่วมก่อน จากนั้นจึงบวกตัวเศษตามกฎ a):

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

การลบเศษส่วนธรรมดา

ก) ด้วยตัวส่วนเดียวกัน ให้ลบตัวเศษของเศษส่วนที่สองออกจากตัวเศษของเศษส่วนแรก ปล่อยให้ตัวส่วนเหมือนกัน:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

ข) หากตัวส่วนของเศษส่วนต่างกัน ให้ลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วมก่อน แล้วจึงทำตามขั้นตอนดังในย่อหน้า a)

การคูณเศษส่วนธรรมดา

การคูณเศษส่วนเป็นไปตามกฎต่อไปนี้:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

นั่นคือ คูณทั้งเศษและส่วนแยกจากกัน

ตัวอย่างเช่น:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

การหารเศษส่วนธรรมดา

เศษส่วนแบ่งออกเป็นวิธีต่อไปนี้:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

นั่นคือเศษส่วน \frac(a)(b)คูณด้วยเศษส่วน \frac(d)(c).

ตัวอย่าง: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

ตัวเลขซึ่งกันและกัน

ถ้า ab=1 แล้วจำนวน b คือ เลขย้อนกลับสำหรับหมายเลข a

ตัวอย่าง: สำหรับหมายเลข 9 กลับเป็น \frac(1)(9), เพราะ 9 \cdot \frac(1)(9)=1, สำหรับหมายเลข 5 - \frac(1)(5), เพราะ 5 \cdot \frac(1)(5)=1.

ทศนิยม

ทศนิยมเป็นเศษส่วนที่เหมาะสมซึ่งมีตัวส่วนเป็น 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n

ตัวอย่างเช่น: \frac(6)(10)=0.6;\enspace \frac(44)(1000)=0.044.

ในทำนองเดียวกัน มีการเขียนตัวเลขที่ไม่ถูกต้องซึ่งมีตัวส่วน 10 ^ n หรือตัวเลขคละ

ตัวอย่างเช่น: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.

ในรูปของเศษส่วนทศนิยม เศษส่วนธรรมดาใดๆ ที่มีตัวส่วนเป็นตัวหารของเลขยกกำลังจำนวน 10 จะถูกแสดง

ตัวอย่าง: 5 เป็นตัวหารของ 100 ดังนั้นเศษส่วน \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0.2.

การดำเนินการเลขคณิตของเศษส่วนทศนิยม

การบวกทศนิยม

ในการบวกเศษส่วนทศนิยมสองส่วน คุณต้องจัดเรียงพวกมันเพื่อให้ตัวเลขเดียวกันและเครื่องหมายจุลภาคที่อยู่ใต้เครื่องหมายจุลภาคปรากฏใต้กัน แล้วจึงบวกเศษส่วนเป็นตัวเลขธรรมดา

การลบทศนิยม

มันทำงานในลักษณะเดียวกับการเพิ่ม

การคูณทศนิยม

เมื่อคูณ เลขทศนิยมแค่คูณ ให้ตัวเลขโดยไม่สนใจเครื่องหมายจุลภาค (เป็นจำนวนธรรมชาติ) และในคำตอบที่ได้รับ เครื่องหมายจุลภาคทางด้านขวาจะแยกตัวเลขจำนวนมากตามหลังเครื่องหมายจุลภาคในปัจจัยทั้งสองทั้งหมด

ลองคูณ 2.7 กับ 1.3 กัน เรามี 27 \cdot 13=351 เราแยกตัวเลขสองหลักจากด้านขวาด้วยเครื่องหมายจุลภาค (ตัวเลขตัวแรกและตัวที่สองมีหนึ่งหลักหลังจุดทศนิยม 1+1=2) เป็นผลให้เราได้รับ 2.7 \cdot 1.3=3.51

หากผลลัพธ์มีตัวเลขน้อยกว่าที่จำเป็นในการแยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค เลขศูนย์ที่หายไปจะถูกเขียนไว้ข้างหน้า ตัวอย่างเช่น

ในการคูณด้วย 10, 100, 1,000 จำเป็นต้องย้ายจุดทศนิยม 1, 2, 3 หลักไปทางขวาในเศษทศนิยม (ถ้าจำเป็น ตัวเลขที่แน่นอนศูนย์)

ตัวอย่างเช่น: 1.47 \cdot 10\,000 = 14,700

ทศนิยม

การหารเศษส่วนทศนิยมด้วยจำนวนธรรมชาติทำได้ในลักษณะเดียวกับการหารจำนวนธรรมชาติด้วยจำนวนธรรมชาติ เครื่องหมายจุลภาคในไพรเวตจะถูกวางหลังจากการแบ่งส่วนของจำนวนเต็มเสร็จสิ้น

หากส่วนจำนวนเต็มของเงินปันผลน้อยกว่าตัวหาร คำตอบคือจำนวนเต็มศูนย์ เช่น

พิจารณาการหารทศนิยมด้วยทศนิยม สมมุติว่าเราต้องหาร 2.576 ด้วย 1.12 ก่อนอื่น เราคูณเงินปันผลและตัวหารของเศษส่วนด้วย 100 นั่นคือ เราย้ายเครื่องหมายจุลภาคไปทางขวาในตัวปันส่วนและตัวหารด้วยอักขระมากที่สุดเท่าที่มีในตัวหารหลังจุดทศนิยม (ในตัวอย่างนี้ , สอง). จากนั้นคุณต้องหารเศษส่วน 257.6 ด้วยจำนวนธรรมชาติ 112 นั่นคือปัญหาจะลดลงตามกรณีที่พิจารณาแล้ว:

มันเกิดขึ้นที่เศษทศนิยมสุดท้ายไม่ได้รับเสมอเมื่อหารจำนวนหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่ง ผลที่ได้คือทศนิยมอนันต์ ในกรณีเช่นนี้ ไปที่เศษส่วนธรรมดา

2.8: 0.09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31 \frac( 1)(9).

บทความนี้เกี่ยวกับ เศษส่วนร่วม. เราจะทำความคุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องเศษส่วนทั้งหมด ซึ่งจะนำเราไปสู่คำจำกัดความของเศษส่วนธรรมดา ต่อไป เราจะพูดถึงสัญกรณ์ที่ยอมรับสำหรับเศษส่วนธรรมดาและยกตัวอย่างเศษส่วน พูดถึงตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน หลังจากนั้นเราจะให้คำจำกัดความของเศษส่วนที่ถูกต้องและไม่ถูกต้อง บวกและลบ และพิจารณาตำแหน่งของตัวเลขเศษส่วนบนรังสีพิกัดด้วย โดยสรุป เราแสดงรายการการกระทำหลักด้วยเศษส่วน

การนำทางหน้า

ส่วนแบ่งทั้งหมด

ก่อนอื่นเราขอแนะนำ แบ่งปันแนวคิด.

สมมติว่าเรามีวัตถุบางอย่างที่ประกอบด้วยส่วนที่เหมือนกันทุกประการ (นั่นคือ เท่ากัน) หลายส่วน เพื่อความชัดเจน คุณสามารถจินตนาการได้ ตัวอย่างเช่น แอปเปิ้ลหั่นเป็นชิ้นๆ ส่วนที่เท่ากันหรือส้มที่ประกอบด้วยหลายชิ้นเท่าๆ กัน แต่ละส่วนที่เท่ากันซึ่งประกอบเป็นวัตถุทั้งหมดเรียกว่า ส่วนแบ่งทั้งหมดหรือง่ายๆ หุ้น.

สังเกตว่าหุ้นต่างกัน มาอธิบายเรื่องนี้กัน สมมุติว่าเรามีแอปเปิ้ลสองลูก แบ่งแอปเปิ้ลลูกแรกออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน และอันที่สองเป็น 6 ส่วนเท่า ๆ กัน เป็นที่ชัดเจนว่าส่วนแบ่งของแอปเปิ้ลแรกจะแตกต่างจากส่วนแบ่งของแอปเปิ้ลที่สอง

ขึ้นอยู่กับจำนวนหุ้นที่ประกอบเป็นออบเจกต์ทั้งหมด การแชร์เหล่านี้มีชื่อของตัวเอง มาวิเคราะห์กัน ชื่อร่วมกัน. ถ้าวัตถุประกอบด้วยสองส่วน ส่วนใดส่วนหนึ่งเรียกว่าส่วนที่สองของวัตถุทั้งหมด ถ้าวัตถุประกอบด้วยสามส่วนแล้วส่วนใดส่วนหนึ่งจะเรียกว่าส่วนที่สามเป็นต้น

จังหวะหนึ่งวินาทีมีชื่อพิเศษ - ครึ่ง. หนึ่งในสามเรียกว่า ที่สามและหนึ่งในสี่ - หนึ่งในสี่.

เพื่อความกระชับ ดังต่อไปนี้ แบ่งปันการกำหนด. หุ้นหนึ่งวินาทีถูกกำหนดเป็นหรือ 1/2 หนึ่งในสามหุ้น - หรือ 1/3; แชร์หนึ่งในสี่ - ไลค์หรือ 1/4 และอื่นๆ โปรดทราบว่ามีการใช้สัญกรณ์ที่มีแถบแนวนอนบ่อยขึ้น ในการรวมเนื้อหา ให้อีกตัวอย่างหนึ่ง: รายการหมายถึงหนึ่งร้อยหกสิบเจ็ดของทั้งหมด

แนวคิดของการแบ่งปันนั้นขยายจากวัตถุไปสู่ขนาดโดยธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น การวัดความยาวอย่างหนึ่งคือเมตร ในการวัดความยาวน้อยกว่าหนึ่งเมตร สามารถใช้เศษส่วนของเมตรได้ ดังนั้น คุณสามารถใช้ ตัวอย่างเช่น ครึ่งเมตร หรือหนึ่งในสิบหรือหนึ่งในพันของเมตร ส่วนแบ่งของปริมาณอื่น ๆ จะใช้ในทำนองเดียวกัน

เศษส่วนร่วม ความหมาย และตัวอย่างเศษส่วน

เพื่ออธิบายจำนวนหุ้นที่ใช้ เศษส่วนร่วม. มายกตัวอย่างที่จะทำให้เราสามารถหาคำจำกัดความของเศษส่วนธรรมดาได้

ให้ส้มประกอบด้วย 12 ส่วน ส่วนแบ่งในกรณีนี้หมายถึงหนึ่งในสิบสองของสีส้มทั้งหมด นั่นคือ ให้แสดงสองจังหวะเป็น สามจังหวะเป็น และต่อๆ ไป 12 จังหวะเป็น แต่ละรายการเหล่านี้เรียกว่าเศษส่วนธรรมดา

ตอนนี้ให้นายพล คำจำกัดความของเศษส่วนร่วม.

คำจำกัดความของเศษส่วนธรรมดาที่เปล่งออกมาทำให้เราสามารถนำ ตัวอย่างเศษส่วนร่วม: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . และนี่คือบันทึก ไม่เข้ากับคำนิยามของเศษส่วนธรรมดาที่เปล่งออกมานั่นคือไม่ใช่เศษส่วนธรรมดา

ตัวเศษและตัวส่วน

เพื่อความสะดวกในเศษส่วนธรรมดาเราแยกแยะ ตัวเศษและตัวส่วน.

คำนิยาม.

เศษเศษส่วนธรรมดา (m / n) เป็นจำนวนธรรมชาติ m

คำนิยาม.

ตัวส่วนเศษส่วนธรรมดา (m / n) เป็นจำนวนธรรมชาติ n

ดังนั้น ตัวเศษจึงอยู่เหนือแถบเศษส่วน (ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายทับ) และตัวส่วนจะอยู่ใต้แถบเศษส่วน (ทางด้านขวาของเครื่องหมายทับ) ตัวอย่างเช่น ลองใช้เศษส่วนธรรมดา 17/29 ตัวเศษของเศษส่วนนี้คือเลข 17 และตัวส่วนคือเลข 29

ยังคงต้องพูดถึงความหมายที่มีอยู่ในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนธรรมดา ตัวส่วนของเศษส่วนจะแสดงจำนวนหุ้นที่รายการประกอบด้วย ตัวเศษจะระบุจำนวนหุ้นดังกล่าว ตัวอย่างเช่น ตัวส่วน 5 ของเศษส่วน 12/5 หมายความว่ารายการหนึ่งประกอบด้วยห้าส่วน และตัวเศษ 12 หมายความว่าใช้ 12 ส่วนดังกล่าว

จำนวนธรรมชาติเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วน 1

ตัวส่วนของเศษส่วนร่วมสามารถเป็น เท่ากับหนึ่ง. ในกรณีนี้ เราสามารถสรุปได้ว่าวัตถุนั้นแบ่งไม่ได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เป็นสิ่งที่ทั้งหมด ตัวเศษของเศษส่วนดังกล่าวจะระบุจำนวนรายการทั้งหมดที่ถูกนำมา ดังนั้นเศษส่วนสามัญของรูปแบบ m/1 จึงมีความหมายว่าเป็นจำนวนธรรมชาติ m นี่คือวิธีที่เราพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน m/1=m .

ลองเขียนความเท่าเทียมกันสุดท้ายใหม่ดังนี้: m=m/1 ความเท่าเทียมกันนี้ทำให้เราสามารถแทนจำนวนธรรมชาติใดๆ m เป็นเศษส่วนธรรมดาได้ ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 4 คือเศษส่วน 4/1 และตัวเลข 103498 คือเศษส่วน 103498/1

ดังนั้น, จำนวนธรรมชาติใดๆ m สามารถแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดาที่มีตัวส่วน 1 เป็น m/1 และเศษส่วนสามัญใดๆ ของรูปแบบ m/1 สามารถแทนที่ด้วยจำนวนธรรมชาติ m.

แถบเศษส่วนเป็นเครื่องหมายหาร

การเป็นตัวแทนของวัตถุดั้งเดิมในรูปแบบของการแบ่งปัน n ครั้งนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าการแบ่งออกเป็น n ส่วนเท่า ๆ กัน หลังจากที่รายการถูกแบ่งออกเป็น n หุ้น เราสามารถแบ่งมันเท่า ๆ กันระหว่าง n คน - แต่ละคนจะได้รับหนึ่งหุ้น

หากในตอนแรกเรามี m วัตถุเหมือนกัน แต่ละอันแบ่งออกเป็น n ส่วน เราก็สามารถแบ่ง m object เหล่านี้ออกเป็น n คน โดยให้แต่ละคนแบ่งจาก m แต่ละรายการ ในกรณีนี้ แต่ละคนจะมี m หุ้น 1/n และ m หุ้น 1/n ให้เศษสามัญ m/n ดังนั้น เศษส่วนร่วม m/n สามารถใช้แทนการหารของ m รายการระหว่างคน n คนได้

ดังนั้นเราจึงได้ความเชื่อมโยงที่ชัดเจนระหว่างเศษส่วนธรรมดากับการหาร (ดูแนวคิดทั่วไปของการหารจำนวนธรรมชาติ) ความสัมพันธ์นี้แสดงดังต่อไปนี้: แท่งของเศษส่วนสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นเครื่องหมายหาร นั่นคือ m/n=m:n.

ด้วยความช่วยเหลือของเศษส่วนธรรมดา คุณสามารถเขียนผลลัพธ์ของการหารตัวเลขธรรมชาติสองตัวที่ไม่มีการหารด้วยจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น ผลของการหารผลแอปเปิล 5 ผล หาร 8 คน สามารถเขียนเป็น 5/8 นั่นคือ ผลแอปเปิลแต่ละผลจะได้ผลแอปเปิลห้าผลในแปด: 5:8=5/8

เศษส่วนสามัญเท่ากันและไม่เท่ากัน การเปรียบเทียบเศษส่วน

การกระทำที่ค่อนข้างเป็นธรรมชาติคือ การเปรียบเทียบเศษส่วนร่วมเนื่องจากเป็นที่ชัดเจนว่า 1/12 ของส้มแตกต่างจาก 5/12 และ 1/6 ของแอปเปิ้ลจะเหมือนกับ 1/6 ของแอปเปิ้ลอื่น

จากการเปรียบเทียบเศษส่วนธรรมดาสองเศษส่วน จะได้ผลลัพธ์อย่างใดอย่างหนึ่ง: เศษส่วนจะเท่ากันหรือไม่เท่ากัน ในกรณีแรกเรามี เศษส่วนร่วมเท่ากันและในวินาที เศษส่วนร่วมไม่เท่ากัน. ให้คำจำกัดความของเศษส่วนสามัญที่เท่ากันและไม่เท่ากัน

คำนิยาม.

เท่ากันถ้าความเท่าเทียมกัน a d=b c เป็นจริง

คำนิยาม.

เศษส่วนร่วมสองส่วน a/b และ c/d ไม่เท่ากับ, ถ้าความเท่าเทียมกัน a d=b c ไม่เป็นที่พอใจ

ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของเศษส่วนที่เท่ากัน ตัวอย่างเช่น เศษส่วนร่วม 1/2 เท่ากับเศษส่วน 2/4 เนื่องจาก 1 4=2 2 (หากจำเป็น ให้ดูกฎและตัวอย่างการคูณจำนวนธรรมชาติ) เพื่อความชัดเจน คุณสามารถจินตนาการถึงแอปเปิลที่เหมือนกันสองผล อันแรกผ่าครึ่ง และอันที่สองแบ่งเป็น 4 ส่วน เห็นได้ชัดว่าสองในสี่ของแอปเปิ้ลมี 1/2 ส่วนแบ่ง ตัวอย่างอื่นๆ ของเศษส่วนร่วมที่เท่ากัน ได้แก่ เศษส่วน 4/7 และ 36/63 และเศษส่วนคู่ 81/50 และ 1620/1000

และเศษส่วนธรรมดา 4/13 กับ 5/14 ไม่เท่ากัน เนื่องจาก 4 14=56 และ 13 5=65 นั่นคือ 4 14≠13 5 อีกตัวอย่างหนึ่งของเศษส่วนร่วมไม่เท่ากันคือเศษส่วน 17/7 และ 6/4

ถ้าเทียบเศษส่วนธรรมดาสองเศษส่วนแล้วปรากฎว่าไม่เท่ากัน คุณอาจต้องหาว่าเศษส่วนธรรมดาส่วนใดของเศษส่วนเหล่านี้ น้อยอื่นๆ และซึ่ง มากกว่า. เพื่อหาว่าจะใช้กฎการเปรียบเทียบเศษส่วนธรรมดา สาระสำคัญคือการนำเศษส่วนที่เปรียบเทียบมาเป็นตัวส่วนร่วมแล้วเปรียบเทียบตัวเศษ ข้อมูลโดยละเอียดในหัวข้อนี้รวบรวมไว้ในบทความเปรียบเทียบเศษส่วน: กฎ ตัวอย่าง วิธีแก้ปัญหา

เศษส่วน

เศษส่วนแต่ละส่วนเป็นบันทึก เศษส่วน. นั่นคือ เศษส่วนเป็นเพียง “เปลือก” ของจำนวนเศษส่วน ของมัน รูปร่างและโหลดความหมายทั้งหมดเป็นจำนวนเศษส่วนอย่างแม่นยำ อย่างไรก็ตาม เพื่อความกระชับและสะดวก แนวคิดของเศษส่วนและจำนวนเศษส่วนจะรวมกันและเรียกง่ายๆ ว่าเศษส่วน เป็นการเหมาะสมที่จะถอดความคำพูดที่รู้จักกันดี: เราพูดเศษส่วน - เราหมายถึง เศษส่วนเราบอกว่าจำนวนเศษส่วน - เราหมายถึงเศษส่วน

เศษส่วนบนคานพิกัด

เศษส่วนทั้งหมดที่ตรงกับเศษส่วนสามัญมีของตัวเอง สถานที่ที่ไม่ซ้ำใครบน นั่นคือมีการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเศษส่วนและจุดของรังสีพิกัด

เพื่อให้ได้จุดที่สอดคล้องกับเศษส่วน m / n บนรังสีพิกัด จำเป็นต้องเลื่อน m ส่วนจากจุดกำเนิดไปในทิศทางบวก ซึ่งมีความยาว 1 / n ของส่วนของหน่วย ส่วนดังกล่าวสามารถรับได้โดยการแบ่งส่วนเดียวออกเป็น n ส่วนเท่าๆ กัน ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดเสมอ

ตัวอย่างเช่น ให้แสดงจุด M บนรังสีพิกัดที่สอดคล้องกับเศษส่วน 14/10 ความยาวของส่วนที่มีจุดสิ้นสุดที่จุด O และจุดที่ใกล้ที่สุดซึ่งมีเครื่องหมายขีดเล็กๆ คือ 1/10 ของส่วนของหน่วย จุดที่มีพิกัด 14/10 จะถูกลบออกจากจุดเริ่มต้นโดย 14 ส่วนดังกล่าว

เศษส่วนเท่ากันสอดคล้องกับจำนวนเศษส่วนเดียวกันนั่นคือ เศษส่วนเท่ากันคือพิกัดของจุดเดียวกันบนรังสีพิกัด ตัวอย่างเช่น จุดหนึ่งสอดคล้องกับพิกัด 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 บนรังสีพิกัด เนื่องจากเศษส่วนที่เขียนทั้งหมดมีค่าเท่ากัน (ตั้งอยู่ที่ระยะครึ่งส่วนของหน่วยวางลง จากแหล่งกำเนิดในทิศทางบวก)

บนรังสีพิกัดแนวนอนและทิศทางขวา จุดที่มีพิกัดเป็นเศษส่วนขนาดใหญ่จะตั้งอยู่ทางด้านขวาของจุดที่พิกัดเป็นเศษส่วนที่มีขนาดเล็กกว่า ในทำนองเดียวกัน จุดที่มีพิกัดน้อยกว่าจะอยู่ทางด้านซ้ายของจุดที่มีพิกัดที่ใหญ่กว่า

เศษส่วนที่เหมาะสมและไม่เหมาะสม คำจำกัดความ ตัวอย่าง

ในบรรดาเศษส่วนสามัญมี เศษส่วนที่เหมาะสมและไม่เหมาะสม. การหารนี้มีการเปรียบเทียบทั้งตัวเศษและส่วน

ให้คำจำกัดความของเศษส่วนสามัญที่เหมาะสมและไม่เหมาะสม

คำนิยาม.

เศษส่วนที่เหมาะสมเป็นเศษส่วนธรรมดา ตัวเศษ ซึ่งน้อยกว่าตัวส่วน นั่นคือ ถ้า m

คำนิยาม.

เศษส่วนไม่ถูกต้องเป็นเศษส่วนธรรมดาที่ตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วน นั่นคือ ถ้า m≥n แสดงว่าเศษส่วนธรรมดานั้นไม่เหมาะสม

ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของเศษส่วนที่เหมาะสม: 1/4 , , 32 765/909 003 อันที่จริง ในแต่ละเศษส่วนธรรมดาที่เขียนไว้ ตัวเศษจะน้อยกว่าตัวส่วน (หากจำเป็น ให้ดูบทความเปรียบเทียบจำนวนธรรมชาติ) ดังนั้นจึงถูกต้องตามคำจำกัดความ

และนี่คือตัวอย่างเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม: 9/9, 23/4, อันที่จริง ตัวเศษของเศษส่วนธรรมดาที่เขียนครั้งแรกมีค่าเท่ากับตัวส่วน และในเศษที่เหลือ ตัวเศษจะมากกว่าตัวส่วน

นอกจากนี้ยังมีคำจำกัดความของเศษส่วนที่เหมาะสมและเศษส่วนที่ไม่ถูกต้องตามการเปรียบเทียบเศษส่วนกับเศษส่วน

คำนิยาม.

ถูกต้องถ้าน้อยกว่าหนึ่ง.

คำนิยาม.

เศษส่วนร่วมเรียกว่า ผิดหากมีค่าเท่ากับหนึ่งหรือมากกว่า 1

ดังนั้นเศษส่วนสามัญ 7/11 จึงถูกต้องตั้งแต่ 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 และ 27/27=1 .

ลองคิดดูว่าเศษส่วนธรรมดาที่มีตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วนสมควรได้รับชื่อดังกล่าวอย่างไร - "ผิด"

ลองนำเศษส่วนที่เกิน 9/9 มาเป็นตัวอย่าง เศษส่วนนี้หมายความว่ามีการจับวัตถุเก้าส่วนซึ่งประกอบด้วยเก้าส่วน นั่นคือ จากจำนวนหุ้นที่มีอยู่เก้าหุ้น เราสามารถประกอบเป็นหัวเรื่องทั้งหมดได้ นั่นคือเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม 9/9 ให้วัตถุทั้งหมด นั่นคือ 9/9=1 โดยทั่วไป เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมซึ่งมีตัวเศษเท่ากับตัวส่วนแสดงถึงวัตถุทั้งหมดหนึ่งชิ้น และเศษส่วนดังกล่าวสามารถแทนที่ด้วยจำนวนธรรมชาติ 1

พิจารณาเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม 7/3 และ 12/4 เห็นได้ชัดว่าจากเจ็ดในสามนี้ เราสามารถสร้างวัตถุทั้งหมดได้สองรายการ (วัตถุทั้งหมดหนึ่งรายการคือการแชร์ 3 รายการ จากนั้นในการจัดทำวัตถุทั้งหมดสองรายการ เราต้องการ 3 + 3 = 6 การแชร์) และจะยังคงมีการแบ่งปันหนึ่งในสาม นั่นคือเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม 7/3 โดยพื้นฐานแล้วหมายถึง 2 รายการและ 1/3 ของส่วนแบ่งของรายการดังกล่าว และจากสิบสองในสี่ เราสามารถสร้างวัตถุทั้งหมดสามชิ้น (วัตถุสามชิ้นโดยแต่ละส่วนสี่ส่วน) นั่นคือ เศษส่วน 12/4 หมายถึงวัตถุทั้งหมด 3 ชิ้น

ตัวอย่างที่พิจารณาแล้วนำเราไปสู่ข้อสรุปดังต่อไปนี้: เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมสามารถแทนที่ด้วยจำนวนธรรมชาติก็ได้ เมื่อตัวเศษหารด้วยตัวส่วนทั้งหมด (เช่น 9/9=1 และ 12/4=3) หรือผลรวมของ จำนวนธรรมชาติและเศษส่วนที่เหมาะสม เมื่อตัวเศษหารด้วยตัวส่วนไม่ลงตัว (เช่น 7/3=2+1/3 ) บางทีนี่อาจเป็นสิ่งที่เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมสมควรได้รับชื่อดังกล่าว - "ผิด"

สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือการแทนเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมเป็นผลรวมของจำนวนธรรมชาติและเศษส่วนที่เหมาะสม (7/3=2+1/3) กระบวนการนี้เรียกว่าการแยกส่วนจำนวนเต็มออกจากเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม และสมควรได้รับการพิจารณาแยกจากกันและระมัดระวังมากขึ้น

นอกจากนี้ยังเป็นที่น่าสังเกตว่ามีความสัมพันธ์ที่ใกล้ชิดมากระหว่างเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมกับจำนวนคละ

เศษส่วนบวกและลบ

เศษส่วนธรรมดาแต่ละส่วนสอดคล้องกับจำนวนเศษส่วนบวก (ดูบทความ ตัวเลขบวกและลบ) นั่นคือ เศษส่วนธรรมดาคือ เศษส่วนบวก. ตัวอย่างเช่น เศษส่วนธรรมดา 1/5, 56/18, 35/144 เป็นเศษส่วนบวก เมื่อจำเป็นต้องเน้นด้านบวกของเศษส่วน เครื่องหมายบวกจะถูกวางไว้ข้างหน้า ตัวอย่างเช่น +3/4, +72/34

หากคุณใส่เครื่องหมายลบหน้าเศษส่วนธรรมดา รายการนี้จะตรงกับจำนวนเศษส่วนติดลบ ในกรณีนี้สามารถพูดถึง เศษส่วนติดลบ. ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของเศษส่วนติดลบ: −6/10 , −65/13 , −1/18 .

เศษส่วนบวกและลบ m/n และ −m/n เป็นตัวเลขตรงข้าม ตัวอย่างเช่น เศษส่วน 5/7 และ −5/7 เป็นเศษส่วนตรงข้าม

เศษส่วนบวก เช่น จำนวนบวกโดยทั่วไป แสดงถึงการเพิ่มขึ้น รายได้ การเปลี่ยนแปลงของค่าบางอย่างที่ขึ้นไป เป็นต้น เศษส่วนติดลบ หมายถึง ค่าใช้จ่าย หนี้ การเปลี่ยนแปลงมูลค่าใด ๆ ในทิศทางที่ลดลง ตัวอย่างเช่น เศษส่วนติดลบ -3/4 สามารถตีความได้ว่าเป็นหนี้ ซึ่งมีค่าเท่ากับ 3/4

เศษส่วนติดลบทางแนวนอนและทางขวาจะอยู่ทางด้านซ้ายของจุดอ้างอิง จุดของเส้นพิกัดที่มีพิกัดเป็นเศษส่วนบวก m/n และเศษส่วนลบ −m/n นั้นอยู่ห่างจากจุดกำเนิดเท่ากัน แต่อยู่ด้านตรงข้ามของจุด O

ตรงนี้ควรพูดถึงเศษส่วนของรูปแบบ 0/n เศษส่วนเหล่านี้เท่ากับเลขศูนย์ นั่นคือ 0/n=0 .

เศษส่วนบวก เศษส่วนติดลบ และเศษส่วน 0/n รวมกันเป็นจำนวนตรรกยะ

การกระทำที่มีเศษส่วน

หนึ่งการกระทำกับเศษส่วนธรรมดา - การเปรียบเทียบเศษส่วน - เราได้พิจารณาข้างต้นแล้ว มีการกำหนดเลขคณิตอีกสี่ชุด การดำเนินการกับเศษส่วน- บวก ลบ คูณ หารเศษส่วน มาอาศัยอยู่กับแต่ละคนกันเถอะ

สาระสำคัญทั่วไปของการกระทำที่มีเศษส่วนคล้ายกับสาระสำคัญของการกระทำที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขธรรมชาติ มาวาดการเปรียบเทียบกัน

การคูณเศษส่วนถือได้ว่าเป็นการกระทำในการหาเศษส่วนจากเศษส่วน ลองมาดูตัวอย่างกัน สมมุติว่าเรามีแอปเปิ้ล 1/6 ลูก และเราต้องเอา 2/3 ของมัน. ส่วนที่เราต้องการคือผลลัพธ์ของการคูณเศษส่วน 1/6 และ 2/3 ผลของการคูณเศษส่วนสามัญสองเศษส่วนเป็นเศษส่วนธรรมดา (ซึ่งในกรณีใดกรณีหนึ่งจะเท่ากับจำนวนธรรมชาติ) นอกจากนี้ เราแนะนำให้ศึกษาข้อมูลของการคูณเศษส่วนบทความ - กฎ ตัวอย่าง และวิธีแก้ปัญหา

บรรณานุกรม.

• Vilenkin N.Ya. , Zhokhov V.I. , Chesnokov A.S. , Shvartburd S.I. คณิตศาสตร์: ตำราเรียนสำหรับ 5 เซลล์ สถาบันการศึกษา.
• Vilenkin N.Ya. เป็นต้น คณิตศาสตร์. ป.6 ตำราเรียนสำหรับสถานศึกษา
• Gusev V.A. , Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้สมัครเข้าโรงเรียนเทคนิค)

ส่วนของหน่วยหรือหลายส่วนเรียกว่าเศษส่วนธรรมดาหรือเศษส่วนธรรมดา จำนวนส่วนเท่าๆ กันที่หน่วยถูกแบ่งออกเรียกว่า ตัวส่วน และจำนวนส่วนที่รับจะเรียกว่า ตัวเศษ เศษส่วนเขียนเป็น:

ในกรณีนี้ a เป็นตัวเศษ b เป็นตัวส่วน

ถ้าตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน ให้เศษนั้นมีค่าน้อยกว่า 1 และเรียกว่าเศษส่วนที่เหมาะสม หากตัวเศษมากกว่าตัวส่วน เศษส่วนนั้นมีค่ามากกว่า 1 แสดงว่าเศษส่วนนั้นเรียกว่าเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม

ถ้าตัวเศษและตัวส่วนของเศษเท่ากัน เศษส่วนจะเท่ากัน

1. หากตัวเศษสามารถหารด้วยตัวส่วนได้ เศษส่วนนี้จะเท่ากับผลหารของการหาร:

หากทำการหารด้วยเศษที่เหลือ เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมนี้สามารถแทนด้วยจำนวนคละได้ ตัวอย่างเช่น

จากนั้น 9 คือผลหารที่ไม่สมบูรณ์ (ส่วนจำนวนเต็มของจำนวนคละ)
1 - เศษ (ตัวเศษของเศษส่วน)
5 เป็นตัวส่วน

ในการแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วน ให้คูณส่วนจำนวนเต็มของจำนวนคละด้วยตัวส่วนแล้วบวกตัวเศษของส่วนที่เป็นเศษส่วน

ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นตัวเศษของเศษส่วนธรรมดา และตัวส่วนจะยังคงเหมือนเดิม

การกระทำที่มีเศษส่วน

การขยายเศษส่วนค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลงหากตัวเศษและตัวส่วนคูณด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์เดียวกัน
ตัวอย่างเช่น:

การลดเศษส่วนค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลงหากตัวเศษและตัวส่วนหารด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์เดียวกัน
ตัวอย่างเช่น:

การเปรียบเทียบเศษส่วนจากเศษส่วนสองส่วนที่มีตัวเศษเท่ากัน เศษที่ใหญ่กว่าคือเศษที่มีตัวส่วนน้อยกว่า:

จากเศษส่วนสองส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน เศษที่มีตัวเศษมากกว่าจะมากกว่า:

เพื่อเปรียบเทียบเศษส่วนที่มีตัวเศษและตัวส่วนต่างกัน จำเป็นต้องขยายออก กล่าวคือ นำมาเป็นตัวส่วนร่วม พิจารณาตัวอย่างเช่นเศษส่วนต่อไปนี้:

การบวกและการลบเศษส่วนหากตัวส่วนของเศษส่วนเท่ากัน ในการบวกเศษส่วน จำเป็นต้องบวกตัวเศษ และการลบเศษส่วน จำเป็นต้องลบตัวเศษ ผลรวมหรือผลต่างที่ได้จะเป็นตัวเศษของผลลัพธ์ ในขณะที่ตัวส่วนจะยังคงเหมือนเดิม ถ้าตัวส่วนของเศษส่วนต่างกัน ก่อนอื่นคุณต้องลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม เมื่อบวกจำนวนคละ ส่วนของจำนวนเต็มและเศษส่วนจะถูกเพิ่มแยกกัน เมื่อลบจำนวนคละ คุณต้องแปลงเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมก่อน จากนั้นจึงลบออกจากกัน แล้วนำผลลัพธ์กลับมาเป็นจำนวนคละอีกครั้ง หากจำเป็น

การคูณเศษส่วน. ในการคูณเศษส่วน คุณต้องคูณตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน แล้วหารผลคูณแรกด้วยตัวที่สอง

การหารเศษส่วน. ในการหารตัวเลขด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณจำนวนนั้นด้วยส่วนกลับ

ทศนิยมเป็นผลจากการหารหนึ่งด้วยสิบ หนึ่งร้อย หนึ่งพัน ฯลฯ ชิ้นส่วน ขั้นแรกให้เขียนส่วนจำนวนเต็มของตัวเลข จากนั้นวางจุดทศนิยมไว้ทางด้านขวา หลักแรกหลังจุดทศนิยมหมายถึงจำนวนหนึ่งในสิบ ที่สอง - จำนวนในร้อย ที่สาม - จำนวนในพัน ฯลฯ ตัวเลขหลังจุดทศนิยมเรียกว่าตำแหน่งทศนิยม

ตัวอย่างเช่น:

คุณสมบัติทศนิยม

คุณสมบัติ:

• เศษส่วนทศนิยมจะไม่เปลี่ยนแปลงหากมีการเพิ่มศูนย์ทางด้านขวา: 4.5 = 4.5000
• เศษส่วนทศนิยมจะไม่เปลี่ยนแปลงหากนำศูนย์ที่อยู่ท้ายทศนิยมออก: 0.0560000 = 0.056
• ทศนิยมเพิ่มขึ้นที่ 10, 100, 1,000 เป็นต้น ครั้ง ถ้าคุณย้ายจุดทศนิยมไปที่หนึ่ง สอง สาม ฯลฯ ตำแหน่งทางขวา: 4.5 45 (เศษส่วนเพิ่มขึ้น 10 เท่า)
• ทศนิยมลดลง 10, 100, 1,000 เป็นต้น ครั้ง ถ้าคุณย้ายจุดทศนิยมไปที่หนึ่ง สอง สาม ฯลฯ ตำแหน่งทางซ้าย: 4.5 0.45 (เศษส่วนลดลง 10 เท่า)

ทศนิยมแบบคาบประกอบด้วยกลุ่มของตัวเลขที่ซ้ำกันเรียกว่าจุด: 0.321321321321…=0,(321)

การดำเนินการกับทศนิยม

การบวกและการลบทศนิยมทำได้ในลักษณะเดียวกับการบวกและการลบจำนวนเต็ม คุณเพียงแค่ต้องเขียนตำแหน่งทศนิยมที่ตรงกันโดยวางไว้ใต้อีกตำแหน่งหนึ่ง
ตัวอย่างเช่น:

การคูณเศษส่วนทศนิยมทำได้หลายขั้นตอน:

• เราคูณทศนิยมเป็นจำนวนเต็ม โดยไม่คำนึงถึงจุดทศนิยม
• กฎที่ใช้บังคับ: จำนวนตำแหน่งทศนิยมในผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของตำแหน่งทศนิยมในทุกปัจจัย

ตัวอย่างเช่น:

ผลรวมของจำนวนหลักทศนิยมในตัวประกอบคือ: 2+1=3 ตอนนี้คุณต้องนับ 3 หลักจากจุดสิ้นสุดของตัวเลขผลลัพธ์และใส่จุดทศนิยม: 0.675

หารทศนิยม. การหารทศนิยมด้วยจำนวนเต็ม: หากเงินปันผลน้อยกว่าตัวหาร คุณจำเป็นต้องเขียนศูนย์ในส่วนจำนวนเต็มของผลหารแล้วใส่จุดทศนิยมตามหลัง จากนั้น โดยไม่ต้องคำนึงถึงจุดทศนิยมของเงินปันผล ให้เพิ่มหลักถัดไปของส่วนที่เป็นเศษส่วนไปยังส่วนจำนวนเต็ม แล้วเปรียบเทียบส่วนของจำนวนเต็มที่เป็นผลลัพธ์ของเงินปันผลกับตัวหารอีกครั้ง ถ้าตัวเลขใหม่มีค่าน้อยกว่าตัวหาร จะต้องทำซ้ำการดำเนินการ กระบวนการนี้ทำซ้ำจนกว่าเงินปันผลที่ได้จะมากกว่าตัวหาร หลังจากนั้นจะทำการหารเป็นจำนวนเต็ม หากเงินปันผลมากกว่าหรือเท่ากับตัวหาร ขั้นแรก ให้แบ่งส่วนจำนวนเต็มของมัน เขียนผลลัพธ์ของการหารในส่วนผลหารแล้วใส่จุดทศนิยม หลังจากนั้น การหารจะดำเนินต่อไป เช่นในกรณีของจำนวนเต็ม

การหารเศษส่วนทศนิยมให้เป็นอีกเศษหนึ่ง: อันดับแรก จุดทศนิยมในตัวปันผลและตัวหารจะถูกโอนโดยจำนวนตำแหน่งทศนิยมในตัวหาร นั่นคือ เราทำให้ตัวหารเป็นจำนวนเต็ม และดำเนินการตามที่อธิบายไว้ข้างต้น

ในการแปลงเศษส่วนทศนิยมให้เป็นทศนิยม จำเป็นต้องนำตัวเลขหลังจุดทศนิยมเป็นตัวเศษ และใช้กำลัง k ของสิบเป็นตัวส่วน (k คือจำนวนทศนิยม) ส่วนจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ศูนย์ถูกเก็บรักษาไว้ในเศษส่วนร่วม ส่วนจำนวนเต็มศูนย์ถูกละไว้
ตัวอย่างเช่น:

ในการแปลงเศษส่วนธรรมดาให้เป็นทศนิยม จำเป็นต้องหารตัวเศษด้วยตัวส่วนตามกฎการหาร

เปอร์เซ็นต์คือหนึ่งในร้อยของหน่วย เช่น 5% หมายถึง 0.05 อัตราส่วนคือผลหารของการหารจำนวนหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่ง สัดส่วนคือความเท่าเทียมกันของอัตราส่วนสองอัตราส่วน

ตัวอย่างเช่น:

คุณสมบัติหลักของสัดส่วน: ผลคูณของสมาชิกสุดขั้วของสัดส่วนเท่ากับผลคูณของสมาชิกระดับกลางนั่นคือ 5x30 = 6x25 ปริมาณที่ขึ้นต่อกันสองปริมาณเรียกว่าเป็นสัดส่วน หากอัตราส่วนของปริมาณยังคงไม่เปลี่ยนแปลง (ค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน)

ดังนั้นการดำเนินการเลขคณิตต่อไปนี้จึงถูกเปิดเผย
ตัวอย่างเช่น:

ชุดของจำนวนตรรกยะประกอบด้วยจำนวนบวกและลบ (ทั้งหมดและเศษส่วน) และศูนย์ คำจำกัดความที่แม่นยำยิ่งขึ้นของจำนวนตรรกยะซึ่งนำมาใช้ในวิชาคณิตศาสตร์มีดังนี้: ตัวเลขเรียกว่าตรรกยะถ้าสามารถแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดาที่ลดทอนไม่ได้ของรูปแบบ โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็ม

สำหรับจำนวนลบ ค่าสัมบูรณ์ (โมดูลัส) คือจำนวนบวกที่ได้จากการเปลี่ยนเครื่องหมายจาก "-" เป็น "+" สำหรับจำนวนบวกและศูนย์คือจำนวนนั้นเอง ในการกำหนดโมดูลัสของตัวเลข จะใช้เส้นตรงสองเส้นภายในซึ่งมีการเขียนตัวเลขนี้ เช่น |–5|=5

คุณสมบัติค่าสัมบูรณ์

ให้โมดูลัสของตัวเลข ซึ่งคุณสมบัติถูกต้อง:

โมโนเมียลเป็นผลคูณของปัจจัยตั้งแต่สองตัวขึ้นไป ซึ่งแต่ละตัวเป็นตัวเลข หรือตัวอักษร หรือกำลังของตัวอักษร: 3 x a x b ค่าสัมประสิทธิ์มักเรียกว่าตัวประกอบตัวเลขเท่านั้น โมโนเมียลจะมีความคล้ายคลึงกันหากเหมือนกันหรือต่างกันในสัมประสิทธิ์เท่านั้น ดีกรีของโมโนเมียลคือผลรวมของเลขชี้กำลังของตัวอักษรทั้งหมด หากมีผลรวมของโมโนเมียลที่คล้ายคลึงกัน ผลรวมจะลดลงเป็นรูปแบบที่ง่ายกว่า: 3 x a x b + 6 x a \u003d 3 x a x (b + 2) การดำเนินการนี้เรียกว่าการบังคับเงื่อนไขหรือวงเล็บที่คล้ายคลึงกัน

พหุนามเป็นผลรวมเชิงพีชคณิตของโมโนเมียล ดีกรีของพหุนามเป็นดีกรีที่ใหญ่ที่สุดของดีกรีของโมโนเมียลที่รวมอยู่ในพหุนามที่กำหนด

มีสูตรต่อไปนี้สำหรับการคูณแบบย่อ:

วิธีการแยกตัวประกอบ:

เศษส่วนพีชคณิตคือนิพจน์ของรูปแบบ โดยที่ A และ B สามารถเป็นตัวเลข โมโนเมียล พหุนาม

หากนิพจน์สองนิพจน์ (ตัวเลขและตัวอักษร) เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมาย "=" แสดงว่ามีความเท่าเทียมกัน ความเท่าเทียมกันที่แท้จริงใด ๆ ที่ใช้ได้สำหรับค่าตัวเลขที่ยอมรับได้ทั้งหมดของตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้นเรียกว่าเอกลักษณ์

สมการคือความเท่าเทียมกันตามตัวอักษรที่ถูกต้องสำหรับค่าบางอย่างของตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้น ตัวอักษรเหล่านี้เรียกว่าไม่ทราบ (ตัวแปร) และค่าของตัวอักษรเหล่านี้ซึ่งสมการที่กำหนดจะกลายเป็นเอกลักษณ์เรียกว่ารากของสมการ

การแก้สมการหมายถึงการค้นหารากทั้งหมด สมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไปจะเท่ากันหากมีรากเหมือนกัน

• ศูนย์คือรากของสมการ
• สมการมีรากจำนวนจำกัดเท่านั้น

สมการพีชคณิตประเภทหลัก:

สมการเชิงเส้นมี ax + b = 0:

• ถ้า x 0 มีรูทเดียว x = -b/a;
• ถ้า a = 0, b ≠ 0, ไม่มีราก;
• ถ้า a = 0, b = 0 รูทคือจำนวนจริงใดๆ

สมการ xn = a, n N:

• ถ้า n เป็นเลขคี่ มีรูทจริงเท่ากับ a/n สำหรับ a ใดๆ;
• ถ้า n เป็นจำนวนคู่ ดังนั้นสำหรับ 0 มันก็จะมีสองราก

การแปลงที่เหมือนกันขั้นพื้นฐาน: การแทนที่นิพจน์หนึ่งด้วยนิพจน์อื่น เท่ากับมัน; การถ่ายโอนเงื่อนไขของสมการจากด้านหนึ่งไปอีกด้านหนึ่งด้วยเครื่องหมายตรงข้าม การคูณหรือหารของทั้งสองส่วนของสมการด้วยนิพจน์เดียวกัน (ตัวเลข) ที่ไม่ใช่ศูนย์

สมการเชิงเส้นที่ไม่ทราบค่าใดค่าหนึ่งคือสมการของรูปแบบ: ax+b=0 โดยที่ a และ b เป็นตัวเลขที่ทราบ และ x คือค่าที่ไม่รู้จัก

ระบบสมการเชิงเส้นสองสมการที่มีค่าไม่ทราบค่าสองตัวมีรูปแบบดังนี้

โดยที่ a, b, c, d, e, f ได้รับตัวเลข; x, y ไม่เป็นที่รู้จัก

ตัวเลข a, b, c, d - สัมประสิทธิ์สำหรับไม่ทราบ; e, f - สมาชิกฟรี คำตอบของระบบสมการนี้สามารถหาได้จากสองวิธีหลัก: วิธีการแทนที่: จากสมการหนึ่งเราแสดงค่าที่ไม่ทราบค่าตัวหนึ่งผ่านค่าสัมประสิทธิ์และอีกค่าหนึ่งที่ไม่ทราบค่า จากนั้นเราแทนที่มันลงในสมการที่สอง แก้สมการสุดท้าย ขั้นแรกเราหาค่าที่ไม่รู้จัก จากนั้นเราแทนที่ค่าที่หาได้ในสมการแรกและหาค่าที่ไม่รู้จักที่สอง วิธีการบวกหรือลบสมการหนึ่งจากสมการอื่น

การดำเนินการกับราก:

รากเลขคณิตของดีกรีที่ n ของจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบ a คือจำนวนที่ไม่ติดลบซึ่งกำลัง n-th เท่ากับ a รากพีชคณิตของดีกรีที่ n จากจำนวนที่กำหนดคือเซตของรากทั้งหมดจากตัวเลขนี้

จำนวนอตรรกยะซึ่งแตกต่างจากจำนวนตรรกยะ ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดาที่ลดทอนไม่ได้ของรูปแบบ m/n โดยที่ m และ n เป็นจำนวนเต็ม ตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวเลขประเภทใหม่ที่สามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำ แต่ไม่สามารถแทนที่ด้วยจำนวนตรรกยะ อาจปรากฏเป็นผลจากการวัดทางเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น อัตราส่วนของความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสต่อความยาวของด้านที่เท่ากัน

สมการกำลังสองคือสมการพีชคณิตขององศาที่สอง ax2+bx+c=0 โดยที่ a, b, c มีค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขหรือตัวอักษร x คือค่าที่ไม่ทราบค่า ถ้าเราหารเทอมทั้งหมดของสมการนี้ด้วย a, เราจะได้ x2+px+q=0 - สมการที่ลดลง p=b/a, q=c/a รากของมันถูกค้นพบโดยสูตร:

ถ้า b2-4ac>0 แสดงว่ามีรากที่แตกต่างกันสองราก b2-4ac=0 จึงมีสอง รากที่เท่ากัน; สมการ b2-4ac ที่มีโมดูล

สมการประเภทหลักที่มีโมดูล:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = ก.(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N โดยที่ f(x), g(x), fk(x), gk(x) ได้รับฟังก์ชัน