ขวานระบบร่วมเรียกว่าไม่แน่นอนถ้า การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น วิธีการแก้ปัญหา ตัวอย่าง

ระบบเรียกว่า ข้อต่อหรือ แก้ได้หากมีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งวิธี ระบบเรียกว่า เข้ากันไม่ได้หรือ ไม่ละลายน้ำถ้ามันไม่มีวิธีแก้ปัญหา

SLAE ที่แน่นอนและไม่จำกัด

หาก SLAE มีวิธีแก้ปัญหาและไม่ซ้ำกัน จะเรียกว่า แน่ใจและถ้าวิธีแก้ปัญหาไม่ซ้ำกันก็ ไม่แน่นอน.

สมการเมทริกซ์

เมทริกซ์ทำให้สามารถเขียนระบบสมการเชิงเส้นสั้น ๆ ได้ ให้ระบบ 3 สมการที่มีสามไม่ทราบค่า:

พิจารณาเมทริกซ์ของระบบ และคอลัมน์เมทริกซ์ของสมาชิกที่ไม่รู้จักและฟรี

มาหาสินค้ากัน

เหล่านั้น. เป็นผลคูณของผลลัพธ์ เราได้ทางซ้ายมือของสมการของระบบนี้ จากนั้น ใช้นิยามของความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์ ระบบนี้สามารถเขียนเป็น

หรือสั้นกว่า อา∙X=B.

ที่นี่ เมทริกซ์ อาและ บีเป็นที่รู้จักและเมทริกซ์ Xไม่ทราบ ต้องหาให้เจอ เพราะ องค์ประกอบของมันคือการแก้ปัญหาของระบบนี้ สมการนี้เรียกว่า สมการเมทริกซ์

ให้ดีเทอร์มีแนนต์เมทริกซ์แตกต่างจากศูนย์ | อา| ≠ 0 จากนั้นสมการเมทริกซ์จะได้รับการแก้ไขดังนี้ คูณทั้งสองข้างของสมการทางด้านซ้ายด้วยเมทริกซ์ A-1, ผกผันของเมทริกซ์ อา: . เพราะว่า A -1 A = Eและ อี∙X=Xจากนั้นเราจะได้คำตอบของสมการเมทริกซ์ในรูปแบบ X = A -1 B .

สังเกตว่า เนื่องจากเมทริกซ์ผกผันหาได้เฉพาะเมทริกซ์กำลังสอง เมทริกซ์เมทริกซ์จึงสามารถแก้ระบบที่ จำนวนสมการเท่ากับจำนวนไม่ทราบค่า.

สูตรของแครมเมอร์

วิธีการของแครมเมอร์คือการที่เราค้นหาอย่างต่อเนื่อง ตัวระบุระบบหลัก, เช่น. ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ A: D = det (a i j) และ n ปัจจัยเสริม D ผม (i= ) ซึ่งได้มาจากดีเทอร์มีแนนต์ D โดยแทนที่คอลัมน์ i-th ด้วยคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ

สูตรของแครมเมอร์มีลักษณะดังนี้: D × x i = D i (i = )

นี่แสดงถึงกฎของแครมเมอร์ซึ่งให้คำตอบที่ละเอียดถี่ถ้วนสำหรับคำถามเกี่ยวกับความเข้ากันได้ของระบบ: หากตัวกำหนดหลักของระบบแตกต่างจากศูนย์ ระบบจะมีคำตอบเฉพาะซึ่งกำหนดโดยสูตร: x i = D i / D

หากดีเทอร์มีแนนต์หลักของระบบ D และดีเทอร์มิแนนต์เสริมทั้งหมด D i = 0 (i= ) ระบบจะมีคำตอบจำนวนไม่สิ้นสุด หากดีเทอร์มีแนนต์หลักของระบบ D = 0 และดีเทอร์มิแนนต์เสริมอย่างน้อยหนึ่งตัวแตกต่างจากศูนย์ แสดงว่าระบบไม่สอดคล้องกัน

ทฤษฎีบท (กฎของแครมเมอร์): หากดีเทอร์มีแนนต์ของระบบคือ Δ ≠ 0 ระบบที่พิจารณาจะมีคำตอบเดียวเท่านั้น และ

พิสูจน์: ดังนั้น ให้พิจารณาระบบสมการ 3 ตัวที่มีสามไม่ทราบค่า คูณสมการที่ 1 ของระบบด้วยส่วนประกอบเกี่ยวกับพีชคณิต A 11ธาตุ 11, สมการที่ 2 - on A21และที่ 3 - on เอ 31:

มาบวกสมการเหล่านี้กัน:

พิจารณาวงเล็บแต่ละอันและด้านขวาของสมการนี้ ตามทฤษฎีบทการขยายตัวของดีเทอร์มีแนนต์ในแง่ขององค์ประกอบของคอลัมน์ที่ 1

ในทำนองเดียวกัน สามารถแสดงให้เห็นได้ว่า และ .

ในที่สุดก็เห็นได้ง่าย ๆ ว่า

ดังนั้นเราจึงได้รับความเท่าเทียมกัน: . เพราะเหตุนี้, .

ความเท่าเทียมกันและได้รับมาในทำนองเดียวกันซึ่งการยืนยันของทฤษฎีบทดังต่อไปนี้

ทฤษฎีบทโครเนคเกอร์-คาเปลลี

ระบบสมการเชิงเส้นจะสอดคล้องกันก็ต่อเมื่ออันดับของเมทริกซ์ของระบบเท่ากับอันดับของเมทริกซ์เสริม

การพิสูจน์:มันแบ่งออกเป็นสองขั้นตอน

1. ให้ระบบมีวิธีแก้ปัญหา แสดงว่า.

ให้ชุดของตัวเลข เป็นทางออกของระบบ แสดงโดยคอลัมน์ -th ของเมทริกซ์ , . จากนั้น นั่นคือ คอลัมน์ของเทอมอิสระคือผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์ของเมทริกซ์ อนุญาต . มาแสร้งทำเป็นว่า . แล้วโดย . เราเลือกในพื้นฐานรองลงมา เขามีระเบียบ คอลัมน์ของสมาชิกอิสระต้องผ่านไมเนอร์นี้ มิฉะนั้น จะเป็นฐานรองของเมทริกซ์ คอลัมน์ของเทอมอิสระในไมเนอร์คือผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์ของเมทริกซ์ โดยอาศัยคุณสมบัติของดีเทอร์มีแนนต์ ที่ใดคือดีเทอร์มีแนนต์ที่ได้มาจากค่ารองโดยการแทนที่คอลัมน์ของเทอมอิสระด้วยคอลัมน์ หากคอลัมน์ผ่าน M รองลงมา จะมีคอลัมน์ที่เหมือนกันสองคอลัมน์ ดังนั้น . หากคอลัมน์ไม่ผ่านส่วนรอง คอลัมน์จะแตกต่างจากลำดับรอง r + 1 ของเมทริกซ์ตามลำดับของคอลัมน์เท่านั้น ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ดังนั้น ซึ่งขัดกับคำจำกัดความของพื้นฐานรอง ดังนั้น ข้อสันนิษฐานว่า เป็นเท็จ

2. ให้ . ให้เราแสดงว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหา ตั้งแต่นั้นมาพื้นฐานรองของเมทริกซ์ก็คือพื้นฐานของเมทริกซ์รองลงมา ให้คอลัมน์ผ่านผู้เยาว์ . จากนั้น โดยพื้นฐานทฤษฎีบทรองในเมทริกซ์ คอลัมน์ของเทอมอิสระคือการรวมกันเชิงเส้นของคอลัมน์ที่ระบุ:

(1)

เราตั้งค่า , , , , และรับค่าที่ไม่รู้จักที่เหลือเท่ากับศูนย์ จากนั้นสำหรับค่าเหล่านี้เราจะได้

โดยอาศัยความเท่าเทียมกัน (1) . ความเท่าเทียมกันสุดท้าย หมายความว่า เซตของตัวเลข เป็นทางออกของระบบ การมีอยู่ของการแก้ปัญหาได้รับการพิสูจน์แล้ว

ในระบบที่กล่าวถึงข้างต้น และระบบมีความสม่ำเสมอ ในระบบ , , และระบบไม่สอดคล้องกัน

หมายเหตุ: แม้ว่าทฤษฎีบท Kronecker-Capelli จะทำให้สามารถระบุได้ว่าระบบมีความสอดคล้องกันหรือไม่ แต่มีการใช้ค่อนข้างน้อย การศึกษาเชิงทฤษฎี. เหตุผลก็คือการคำนวณที่ดำเนินการเมื่อค้นหาอันดับของเมทริกซ์นั้นโดยทั่วไปแล้วจะเหมือนกับการคำนวณเมื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหาของระบบ ดังนั้น แทนที่จะค้นหา และ มักจะมองหาวิธีแก้ปัญหาของระบบ หากพบได้ เราจะเรียนรู้ว่าระบบมีความสอดคล้องและได้รับการแก้ปัญหาไปพร้อม ๆ กัน หากไม่พบวิธีแก้ไข แสดงว่าระบบไม่สอดคล้องกัน

อัลกอริธึมในการหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นตามอำเภอใจ (วิธีเกาส์)

ให้ระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่ทราบค่ามา จำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปหากมีความสอดคล้องหรือสร้างความไม่สอดคล้องกัน วิธีการที่จะนำเสนอในส่วนนี้ใกล้เคียงกับวิธีการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์และวิธีการหาอันดับของเมทริกซ์ อัลกอริทึมที่เสนอเรียกว่า วิธีเกาส์หรือ วิธีการกำจัดสิ่งแปลกปลอมอย่างต่อเนื่อง

ให้เราเขียนเมทริกซ์เสริมของระบบ

เราเรียกการดำเนินการต่อไปนี้ด้วยการดำเนินการเบื้องต้นของเมทริกซ์:

1. การเปลี่ยนแปลงของเส้น

2. การคูณสตริงด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์

3. การบวกสตริงด้วยสตริงอื่นคูณด้วยตัวเลข

โปรดทราบว่าเมื่อแก้ระบบสมการ ตรงกันข้ามกับการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์และการหาอันดับ เราไม่สามารถดำเนินการกับคอลัมน์ได้ หากระบบสมการถูกกู้คืนจากเมทริกซ์ที่ได้จากการดำเนินการเบื้องต้นแล้ว ระบบใหม่จะเท่าเดิม

เป้าหมายของอัลกอริทึมคือ การใช้ลำดับของการดำเนินการเบื้องต้นกับเมทริกซ์ เพื่อให้แน่ใจว่าแต่ละแถว ยกเว้นแถวแรก เริ่มต้นด้วยศูนย์ และจำนวนศูนย์จนถึงองค์ประกอบแรกที่ไม่ใช่ศูนย์ในแต่ละแถวถัดไป แถวนั้นมากกว่าในแถวก่อนหน้า

ขั้นตอนของอัลกอริทึมมีดังนี้ ค้นหาคอลัมน์ที่ไม่ใช่ศูนย์แรกในเมทริกซ์ ให้มันเป็นคอลัมน์ที่มีตัวเลข เราพบองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ในนั้นและสลับบรรทัดกับองค์ประกอบนี้กับบรรทัดแรก เพื่อไม่ให้มีสัญกรณ์เพิ่มเติม เราจะถือว่าการเปลี่ยนแปลงแถวในเมทริกซ์ดังกล่าวได้เกิดขึ้นแล้ว นั่นคือ . จากนั้นในบรรทัดที่สอง เราบวกบรรทัดแรกคูณด้วยตัวเลข ในบรรทัดที่สาม เราบวกบรรทัดแรกคูณด้วยตัวเลข เป็นต้น เป็นผลให้เราได้เมทริกซ์

(คอลัมน์ว่างแรกมักจะหายไป)

หากมีแถวที่มีตัวเลข k ในเมทริกซ์ ซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ จากนั้น เราจะหยุดการดำเนินการอัลกอริทึมและสรุปว่าระบบไม่สอดคล้องกัน อันที่จริง การคืนค่าระบบสมการจากเมทริกซ์ขยาย เราได้สมการที่ -th จะมีรูปแบบ

สมการนี้ไม่เป็นไปตามชุดของตัวเลขใดๆ .

เมทริกซ์สามารถเขียนได้เป็น

สำหรับเมทริกซ์ เราดำเนินการตามขั้นตอนที่อธิบายไว้ของอัลกอริทึม รับเมทริกซ์

ที่ไหน , . เมทริกซ์นี้สามารถเขียนได้อีกครั้งเป็น

และขั้นตอนข้างต้นของอัลกอริทึมจะถูกนำไปใช้กับเมทริกซ์อีกครั้ง

กระบวนการจะหยุดลงหากหลังจากดำเนินการในขั้นตอนต่อไป เมทริกซ์ลดค่าใหม่ประกอบด้วยศูนย์เท่านั้นหรือถ้าแถวทั้งหมดหมดลง โปรดทราบว่าข้อสรุปเกี่ยวกับความไม่ลงรอยกันของระบบอาจหยุดกระบวนการได้เร็วกว่านั้น

ถ้าเราไม่ลดเมทริกซ์ ในที่สุดเราก็มาถึงเมทริกซ์ของรูปแบบ

ถัดไปจะทำการย้อนกลับที่เรียกว่าวิธีเกาส์เซียน จากเมทริกซ์ เราสร้างระบบสมการ ทางด้านซ้าย เราปล่อยให้สิ่งที่ไม่รู้จักด้วยตัวเลขที่สอดคล้องกับองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์แรกในแต่ละบรรทัด นั่นคือ . สังเกตว่า. ส่วนที่เหลือที่ไม่รู้จักจะถูกโอนไปทางด้านขวา เมื่อพิจารณาค่าที่ไม่ทราบค่าทางด้านขวาเป็นปริมาณคงที่ การแสดงค่าที่ไม่ทราบค่าทางด้านซ้ายนั้นเป็นเรื่องง่าย

ตอนนี้ให้ค่าที่ไม่ระบุชื่อทางด้านขวาและคำนวณค่าของตัวแปรทางด้านซ้ายเราจะพบว่า โซลูชั่นต่างๆระบบเดิม Ax=b. ในการเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจำเป็นต้องระบุสิ่งที่ไม่รู้จักทางด้านขวาในลำดับใด ๆ ด้วยตัวอักษร ซึ่งรวมถึงสิ่งที่ไม่รู้ซึ่งไม่ได้เขียนไว้ทางด้านขวาอย่างชัดแจ้งเนื่องจากไม่มีสัมประสิทธิ์ จากนั้นคอลัมน์ของสิ่งที่ไม่รู้จักสามารถเขียนเป็นคอลัมน์ได้ โดยที่แต่ละองค์ประกอบเป็นชุดค่าผสมเชิงเส้นของค่าที่กำหนดเอง (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ค่าใดค่าหนึ่ง ) รายการนี้จะเป็นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบ

หากระบบเป็นเนื้อเดียวกัน เราก็จะได้คำตอบทั่วไปของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน ค่าสัมประสิทธิ์ที่นำมาในแต่ละองค์ประกอบของคอลัมน์ของโซลูชันทั่วไปจะประกอบเป็นโซลูชันแรกจากระบบพื้นฐานของโซลูชัน ค่าสัมประสิทธิ์ที่ - โซลูชันที่สอง เป็นต้น

วิธีที่ 2: ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันสามารถรับได้อีกทางหนึ่ง ในการทำเช่นนี้จะต้องกำหนดค่าหนึ่งตัวแปรที่ถ่ายโอนไปทางด้านขวาและส่วนที่เหลือ - ศูนย์ การคำนวณค่าของตัวแปรทางด้านซ้าย เราได้รับหนึ่งโซลูชันจากระบบพื้นฐาน โดยการกำหนดค่า 1 ให้กับตัวแปรอื่นทางด้านขวา และค่าศูนย์ให้กับตัวแปรอื่น เราจะได้คำตอบที่สองจากระบบพื้นฐาน และอื่นๆ

คำนิยาม: ระบบเรียกว่าร่วมกันหากมีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งวิธีและไม่สอดคล้องกัน - มิฉะนั้นนั่นคือในกรณีที่ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา คำถามที่ว่าระบบมีคำตอบหรือไม่นั้นไม่ได้เกี่ยวโยงกับอัตราส่วนของจำนวนสมการและจำนวนที่ไม่ทราบค่าเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ระบบสามสมการที่มีสองไม่ทราบค่า

มีคำตอบ และแม้กระทั่งมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน แต่ระบบของสมการสองสมการที่มีสามไม่ทราบค่า

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

ระบบนี้มีความสอดคล้องเสมอเนื่องจากมีวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อย x 1 =…=x n =0

เพื่อให้มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญมีความจำเป็นและเพียงพอที่

เงื่อนไข r = r(A)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.

ไทยชุดโซลูชัน SLAE จะสร้างปริภูมิเชิงเส้นของมิติ (nr) ซึ่งหมายความว่าผลคูณของคำตอบด้วยตัวเลข เช่นเดียวกับผลรวมและผลรวมเชิงเส้นของจำนวนจำกัดของคำตอบนั้นเป็นคำตอบของระบบนี้ สเปซโซลูชันเชิงเส้นของ SLAE ใดๆ เป็นสเปซย่อยของสเปซ R n

ชุดของ (nr) โซลูชันอิสระเชิงเส้นตรงใดๆ ของ SLAE (ซึ่งเป็นพื้นฐานในพื้นที่โซลูชัน) จะถูกเรียก ชุดโซลูชั่นพื้นฐาน (FSR)

ให้ х 1 ,…,х r เป็นสิ่งที่ไม่รู้จักพื้นฐาน х r +1 ,…,х n เป็นสิ่งที่ไม่รู้จัก เราให้ตัวแปรอิสระในทางกลับกัน ค่าต่อไปนี้:

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

สร้างช่องว่างเชิงเส้น S (ช่องว่างของโซลูชัน) ซึ่งเป็นสเปซย่อยใน R n (n คือจำนวนที่ไม่รู้จัก) และ dims=k=n-r โดยที่ r คืออันดับของระบบ พื้นฐานในพื้นที่โซลูชัน(x (1) ,…, x (k) ) เรียกว่าระบบพื้นฐานของโซลูชัน และ สารละลายทั่วไปมีรูปแบบ:

X=c 1 x (1) + … + c k x (k) , c (1) ,…, c (k) ? R

คณิตศาสตร์ชั้นสูง » ระบบเชิงเส้น สมการพีชคณิต» เงื่อนไขพื้นฐาน สัญกรณ์เมทริกซ์

ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น เงื่อนไขพื้นฐาน สัญกรณ์เมทริกซ์

1. นิยามของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น โซลูชันระบบ การจำแนกประเภทของระบบ
2. รูปแบบเมทริกซ์ของระบบการเขียนสมการพีชคณิตเชิงเส้น

นิยามของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น โซลูชันระบบ การจำแนกประเภทของระบบ

ภายใต้ ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น(SLAE) หมายถึง ระบบ

\begin(สมการ) \left \( \begin(จัดตำแหน่ง) & a_(11)x_1+a_(12)x_2+a_(13)x_3+\ldots+a_(1n)x_n=b_1;\\ & a_(21) x_1+a_(22)x_2+a_(23)x_3+\ldots+a_(2n)x_n=b_2;\\ & \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ ldots \\ & a_(m1)x_1+a_(m2)x_2+a_(m3)x_3+\ldots+a_(mn)x_n=b_m.\end(aligned) \right.\end(equation)

พารามิเตอร์ $a_(ij)$ ($i=\overline(1,m)$, $j=\overline(1,n)$) ถูกเรียก ค่าสัมประสิทธิ์และ $b_i$ ($i=\overline(1,m)$) - สมาชิกฟรีสลายู บางครั้ง เพื่อเน้นจำนวนสมการและค่าที่ไม่ทราบค่า พวกเขาพูดว่า "$m\times n$ ระบบของสมการเชิงเส้น" ซึ่งบ่งชี้ว่า SLAE ประกอบด้วยสมการ $m$ และ $n$ ไม่ทราบค่า

หากเงื่อนไขฟรีทั้งหมด $b_i=0$ ($i=\overline(1,m)$) จะมีการเรียก SLAE เป็นเนื้อเดียวกัน. หากในหมู่สมาชิกอิสระมีอย่างน้อยหนึ่งคนที่ไม่ใช่ศูนย์ SLAE จะเรียกว่า ต่างกัน.

การตัดสินใจของ SLAU(1) คอลเลกชั่นของตัวเลขใดๆ ($\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n$) ใดๆ จะถูกเรียกหากองค์ประกอบของคอลเลกชันนี้ แทนที่ในลำดับที่กำหนดสำหรับสิ่งที่ไม่รู้จัก $x_1,x_2,\ldots,x_n$ สลับสมการ SLAE แต่ละสมการให้เป็นข้อมูลประจำตัว

SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกันใดๆ มีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งวิธี: ศูนย์(ในคำศัพท์ที่แตกต่างกัน - เล็กน้อย) เช่น $x_1=x_2=\ldots=x_n=0$.

หาก SLAE (1) มีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งวิธี เรียกว่า ข้อต่อหากไม่มีวิธีแก้ปัญหา เข้ากันไม่ได้. หาก SLAE ร่วมมีทางออกเดียว เรียกว่า แน่ใจ, หากมีวิธีแก้ปัญหามากมาย - ไม่แน่นอน.

ตัวอย่าง #1

พิจารณา SLAE

\begin(สมการ) \left \( \begin(aligned) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5= 0.\\ \end(aligned)\right.\end(สมการ)

เรามีระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่มีสมการ $3$ และ $5$ ไม่ทราบค่า: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ เราสามารถพูดได้ว่าระบบของสมการเชิงเส้น $3\คูณ 5$ ถูกกำหนด

สัมประสิทธิ์ของระบบ (2) คือตัวเลขที่อยู่ข้างหน้าค่าไม่ทราบ ตัวอย่างเช่น ในสมการแรก ตัวเลขเหล่านี้คือ: $3,-4,1,7,-1$ สมาชิกของระบบฟรีจะแสดงด้วยตัวเลข $11,-65.0$ เนื่องจากมีสมาชิกอิสระอย่างน้อยหนึ่งคน จึงไม่ ศูนย์ดังนั้น SLAE (2) จึงไม่เหมือนกัน

คอลเล็กชันที่สั่งซื้อ $(4;-11;5;-7;1)$ เป็นวิธีแก้ปัญหาสำหรับ SLAE นี้ ซึ่งง่ายต่อการตรวจสอบหากคุณแทนที่ $x_1=4; x_2=-11; x_3=5; x_4=-7; x_5=1$ ในสมการของระบบที่กำหนด:

\begin(จัดตำแหน่ง) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=3\cdot4-4\cdot(-11)+5+7\cdot(-7)-1=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5 =2\cdot 4+10\cdot (-7)-3\cdot 1=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5=3\cdot (-11)+19\cdot 5+8\cdot ( -7)-6\cdot 1=0. \\ \end(จัดตำแหน่ง)

โดยธรรมชาติแล้ว คำถามจะเกิดขึ้นว่าโซลูชันที่ตรวจสอบแล้วนั้นเป็นโซลูชันเดียวหรือไม่ ปัญหาเกี่ยวกับจำนวนโซลูชัน SLAE จะกล่าวถึงในหัวข้อที่เกี่ยวข้อง

ตัวอย่าง #2

พิจารณา SLAE

\begin(สมการ) \left \( \begin(aligned) & 4x_1+2x_2-x_3=0;\\ & 10x_1-x_2=0;\\ & 5x_2+4x_3=0; \\ & 3x_1-x_3=0; \\ & 14x_1+25x_2+5x_3=0.\end(aligned) \right.\end(สมการ)

ระบบ (3) เป็น SLAE ที่มีสมการ $5$ และ $3$ ไม่ทราบค่า: $x_1,x_2,x_3$ เนื่องจากเงื่อนไขอิสระทั้งหมดของระบบนี้มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น SLAE (3) จึงเป็นเนื้อเดียวกัน ง่ายต่อการตรวจสอบว่าคอลเลกชัน $(0;0;0)$ เป็นโซลูชันสำหรับ SLAE ที่กำหนด แทนที่ $x_1=0, x_2=0,x_3=0$ ตัวอย่างเช่น ในสมการแรกของระบบ (3) เราได้ค่าเท่ากัน: $4x_1+2x_2-x_3=4\cdot 0+2\cdot 0 -0=0$ . การแทนที่ในสมการอื่นทำได้ในลักษณะเดียวกัน

รูปแบบเมทริกซ์ของระบบการเขียนสมการพีชคณิตเชิงเส้น

เมทริกซ์หลายตัวสามารถเชื่อมโยงกับ SLAE แต่ละรายการได้ ยิ่งไปกว่านั้น SLAE สามารถเขียนเป็นสมการเมทริกซ์ได้ สำหรับ SLAE (1) ให้พิจารณาเมทริกซ์ต่อไปนี้:

เมทริกซ์ $A$ เรียกว่า เมทริกซ์ระบบ. องค์ประกอบของเมทริกซ์นี้คือสัมประสิทธิ์ของ SLAE ที่กำหนด

เมทริกซ์ $\widetilde(A)$ ถูกเรียก ระบบเมทริกซ์แบบขยาย. ได้มาจากการเพิ่มคอลัมน์ที่มีสมาชิกอิสระ $b_1,b_2,…,b_m$ ลงในเมทริกซ์ระบบ โดยปกติคอลัมน์นี้จะถูกคั่นด้วยเส้นแนวตั้ง - เพื่อความชัดเจน

เมทริกซ์คอลัมน์ $B$ เรียกว่า เมทริกซ์ของเงื่อนไขอิสระและเมทริกซ์คอลัมน์ $X$ - เมทริกซ์ของสิ่งที่ไม่รู้จัก.

โดยใช้สัญกรณ์ที่แนะนำข้างต้น SLAE (1) สามารถเขียนในรูปแบบของสมการเมทริกซ์: $A\cdot X=B$

บันทึก

สามารถเขียนเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องกับระบบได้ วิธีทางที่แตกต่าง: ทั้งหมดขึ้นอยู่กับลำดับของตัวแปรและสมการของ SLAE ที่พิจารณา แต่ไม่ว่าในกรณีใด ลำดับของนิรนามในแต่ละสมการของ SLAE ที่กำหนดจะต้องเหมือนกัน (ดูตัวอย่างที่ 4)

ตัวอย่าง #3

เขียน SLAE $ \left \( \begin(aligned) & 2x_1+3x_2-5x_3+x_4=-5;\\ & 4x_1-x_3=0;\\ & 14x_2+8x_3+x_4=-11. \end(aligned) \right.$ ในรูปแบบเมทริกซ์และระบุเมทริกซ์เสริมของระบบ

เรามีค่าไม่ทราบจำนวนสี่ค่า ซึ่งในแต่ละสมการจะเรียงลำดับดังนี้: $x_1,x_2,x_3,x_4$ เมทริกซ์ของสิ่งที่ไม่รู้จักจะเป็น: $\left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right)$

สมาชิกอิสระของระบบนี้แสดงด้วยตัวเลข $-5,0,-11$ ดังนั้นเมทริกซ์ของสมาชิกอิสระจึงมีรูปแบบ: $B=\left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(array )\right)$.

ไปที่การรวบรวมเมทริกซ์ของระบบกัน แถวแรกของเมทริกซ์นี้จะมีค่าสัมประสิทธิ์ของสมการแรก: $2.3,-5.1$

ในบรรทัดที่สอง เราเขียนสัมประสิทธิ์ของสมการที่สอง: $4.0,-1.0$ ในกรณีนี้ ควรคำนึงว่าสัมประสิทธิ์ของระบบที่มีตัวแปร $x_2$ และ $x_4$ ในสมการที่สองมีค่าเท่ากับศูนย์ (เพราะตัวแปรเหล่านี้ไม่มีอยู่ในสมการที่สอง)

ในแถวที่สามของเมทริกซ์ของระบบ เราเขียนสัมประสิทธิ์ของสมการที่สาม: $0.14.8.1$ เราคำนึงถึงความเท่าเทียมกันเป็นศูนย์ของสัมประสิทธิ์ที่ตัวแปร $x_1$ (ตัวแปรนี้ไม่มีอยู่ในสมการที่สาม) เมทริกซ์ระบบจะมีลักษณะดังนี้:

$$ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) $$

เพื่อให้ความสัมพันธ์ระหว่างเมทริกซ์ระบบกับตัวระบบชัดเจนขึ้น ฉันจะเขียน SLAE ที่กำหนดและเมทริกซ์ระบบไว้ข้างกัน:

ในรูปแบบเมทริกซ์ SLAE ที่กำหนดจะมีลักษณะเหมือน $A\cdot X=B$ ในรายการขยาย:

$$ \left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) \cdot \left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(array) \right) $$

ให้เราเขียนเมทริกซ์เสริมของระบบ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ไปยังเมทริกซ์ระบบ $ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \ end(array ) \right) $ เพิ่มคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระ (เช่น $-5,0,-11$) เราได้รับ: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (cccc|c) 2 & 3 & -5 & 1 & -5 \\ 4 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 14 & 8 & 1 & -11 \end(array) \right) $.

ตัวอย่าง #4

เขียน SLAE $ \left \(\begin(aligned) & 3y+4a=17;\\ & 2a+4y+7c=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & 5a-c=-4 .\end(aligned)\right.$ ในรูปแบบเมทริกซ์และระบุเมทริกซ์เสริมของระบบ

อย่างที่คุณเห็น ลำดับของนิรนามในสมการของ SLAE นี้ต่างกัน ตัวอย่างเช่น ในสมการที่สอง ลำดับคือ: $a,y,c$ แต่ในสมการที่สาม: $c,y,a$ ก่อนเขียน SLAE ในรูปแบบเมทริกซ์ ลำดับของตัวแปรในสมการทั้งหมดจะต้องเหมือนกัน

คุณสามารถเรียงลำดับตัวแปรในสมการของ SLAE . ที่กำหนดได้ วิธีทางที่แตกต่าง(จำนวนวิธีในการจัดเรียงตัวแปรสามตัวคือ $3!=6$) ฉันจะพิจารณาสองวิธีในการสั่งซื้อสิ่งที่ไม่รู้จัก

วิธีที่ 1

มาแนะนำลำดับต่อไปนี้: $c,y,a$ ให้เราเขียนระบบใหม่โดยใส่สิ่งที่ไม่รู้จักใน คำสั่งที่จำเป็น: $\left \(\begin(aligned) & 3y+4a=17;\\ & 7c+4y+2a=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & -c+5a=-4 .\end(จัดตำแหน่ง)\right.$

เพื่อความชัดเจน ฉันจะเขียน SLAE ดังนี้: $\left \(\begin(aligned) & 0\cdot c+3\cdot y+4\cdot a=17;\\ & 7\cdot c+4\cdot y+ 2\cdot a=10;\\ & 8\cdot c+5\cdot y-9\cdot a=25; \\ & -1\cdot c+0\cdot y+5\cdot a=-4 \ end(จัดตำแหน่ง)\right.$

เมทริกซ์ระบบคือ: $ A=\left(\begin(array) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end( อาร์เรย์) \right) $. เมทริกซ์สมาชิกอิสระ: $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$ เมื่อเขียนเมทริกซ์ของนิรนาม ให้จำลำดับของนิรนาม: $X=\left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right)$ ดังนั้น รูปแบบเมทริกซ์ของ SLAE ที่กำหนดจึงเป็นดังนี้: $A\cdot X=B$ ขยาย:

$$ \left(\begin(array) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end(array) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right) $$

เมทริกซ์ระบบขยายคือ: $\left(\begin(array) (ccc|c) 0 & 3 & 4 & 17 \\ 7 & 4 & 2 & 10\\ 8 & 5 & -9 & 25 \\ -1 & 0 & 5 & -4 \end(array) \right) $.

วิธีที่ 2

มาแนะนำลำดับต่อไปนี้: $a,c,y$ มาเขียนระบบกันใหม่โดยใส่ค่าที่ไม่รู้จักในลำดับที่ต้องการ: $\left \( \begin(aligned) & 4a+3y=17;\\ & 2a+7c+4y=10;\\ & -9a+8c+5y =25; \ \ & 5a-c=-4.\end(aligned)\right.$

เพื่อความชัดเจน ฉันจะเขียน SLAE ดังนี้: $\left \( \begin(aligned) & 4\cdot a+0\cdot c+3\cdot y=17;\\ & 2\cdot a+7\cdot c+ 4\cdot y=10;\\ & -9\cdot a+8\cdot c+5\cdot y=25; \\ & 5\cdot c-1\cdot c+0\cdot y=-4. \ end(จัดตำแหน่ง)\right.$

เมทริกซ์ระบบคือ: $ A=\left(\begin(array) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end( อาร์เรย์)\right)$. เมทริกซ์สมาชิกอิสระ: $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$ เมื่อเขียนเมทริกซ์ของนิรนาม ให้จำลำดับของนิรนาม: $X=\left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right)$ ดังนั้น รูปแบบเมทริกซ์ของ SLAE ที่กำหนดจึงเป็นดังนี้: $A\cdot X=B$ ขยาย:

$$ \left(\begin(array) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end(array) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right) $$

เมทริกซ์ระบบขยายคือ: $\left(\begin(array) (ccc|c) 4 & 0 & 3 & 17 \\ 2 & 7 & 4 & 10\\ -9 & 8 & 5 & 25 \\ 5 & - 1 & 0 & -4 \end(array) \right) $.

อย่างที่คุณเห็น การเปลี่ยนลำดับของสิ่งที่ไม่รู้จักนั้นเทียบเท่ากับการจัดเรียงคอลัมน์ของเมทริกซ์ระบบใหม่ แต่ไม่ว่าการจัดเรียงของสิ่งที่ไม่รู้นี้จะเป็นอย่างไร มันจะต้องตรงกับสมการทั้งหมดของ SLAE ที่กำหนด

สมการเชิงเส้น

สมการเชิงเส้น- หัวข้อทางคณิตศาสตร์ที่ค่อนข้างง่าย มักพบในงานมอบหมายในพีชคณิต

ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น: แนวคิดพื้นฐาน ประเภท

ลองหาว่ามันคืออะไรและแก้สมการเชิงเส้นอย่างไร

โดยปกติ, สมการเชิงเส้นเป็นสมการของรูปแบบ ax + c = 0 โดยที่ a และ c เป็นตัวเลขใดๆ หรือสัมประสิทธิ์ และ x เป็นจำนวนที่ไม่รู้จัก

ตัวอย่างเช่น สมการเชิงเส้นจะเป็น:

แก้สมการเชิงเส้น

จะแก้สมการเชิงเส้นได้อย่างไร?

การแก้สมการเชิงเส้นนั้นค่อนข้างง่าย ด้วยเหตุนี้จึงใช้เทคนิคทางคณิตศาสตร์เช่น การเปลี่ยนแปลงเอกลักษณ์. มาดูกันว่ามันคืออะไร

ตัวอย่างสมการเชิงเส้นและคำตอบ

ให้ ax + c = 10 โดยที่ a = 4, c = 2

ดังนั้นเราจึงได้สมการ 4x + 2 = 10

เพื่อที่จะแก้ได้ง่ายขึ้นและเร็วขึ้นเราจะใช้วิธีแรก การเปลี่ยนแปลงเอกลักษณ์- นั่นคือ เราโอนตัวเลขทั้งหมดไปทางด้านขวาของสมการ และปล่อยให้ 4x ที่ไม่รู้จักทางด้านซ้าย

รับ:

ดังนั้นสมการจึงลดลงเป็นปัญหาที่ง่ายมากสำหรับผู้เริ่มต้น ยังคงใช้วิธีที่สองของการแปลงที่เหมือนกัน - ปล่อยให้ x อยู่ทางด้านซ้ายของสมการแล้วโอนตัวเลขไปทางขวา เราได้รับ:

การตรวจสอบ:

4x + 2 = 10 โดยที่ x = 2

คำตอบที่ถูกต้อง

กราฟสมการเชิงเส้น

เมื่อแก้สมการเชิงเส้นด้วยตัวแปรสองตัว มักใช้วิธีพล็อตด้วย ความจริงก็คือสมการของรูปแบบ ax + wy + c \u003d 0 ตามกฎแล้วมีคำตอบมากมายเพราะตัวเลขจำนวนมากพอดีกับตำแหน่งของตัวแปรและในทุกกรณีสมการยังคงเป็นจริง

ดังนั้น เพื่ออำนวยความสะดวกให้กับงาน จึงมีการสร้างกราฟของสมการเชิงเส้นขึ้น

ในการสร้างมันก็เพียงพอแล้วที่จะใช้ค่าตัวแปรหนึ่งคู่ - และทำเครื่องหมายด้วยจุดบนระนาบพิกัดแล้ววาดเส้นตรงผ่านพวกมัน จุดทั้งหมดในบรรทัดนี้จะเป็นตัวแปรของตัวแปรในสมการของเรา

นิพจน์การแปลงนิพจน์

ลำดับของการกระทำ กฎ ตัวอย่าง

ตัวเลข ตัวหนังสือ และนิพจน์ที่มีตัวแปรอยู่ในบันทึกอาจมีสัญญาณต่างๆ การดำเนินการเลขคณิต. เมื่อแปลงนิพจน์และคำนวณค่าของนิพจน์ การดำเนินการจะดำเนินการในลำดับที่แน่นอน กล่าวคือ คุณต้องสังเกต ลำดับของการกระทำ.

ในบทความนี้ เราจะพิจารณาว่าการดำเนินการใดควรดำเนินการก่อน และดำเนินการใดต่อจากนี้ มาเริ่มกันที่มากที่สุด กรณีง่ายเมื่อนิพจน์ประกอบด้วยเฉพาะตัวเลขหรือตัวแปรที่เชื่อมต่อด้วยเครื่องหมายบวก ลบ คูณและหาร ต่อไป เราจะอธิบายว่าลำดับการดำเนินการใดที่ควรปฏิบัติตามในนิพจน์พร้อมวงเล็บ สุดท้าย ให้พิจารณาลำดับการดำเนินการในนิพจน์ที่มีพลัง ราก และหน้าที่อื่นๆ

การคูณและการหารครั้งแรกแล้วการบวกและการลบ

ทางโรงเรียนจัดให้ดังนี้ กฎที่กำหนดลำดับการดำเนินการในนิพจน์โดยไม่มีวงเล็บ:

• การกระทำจะดำเนินการตามลำดับจากซ้ายไปขวา
• โดยจะมีการคูณและหารก่อน แล้วจึงบวกและลบ

กฎที่ระบุนั้นรับรู้ได้ค่อนข้างเป็นธรรมชาติ การดำเนินการตามลำดับจากซ้ายไปขวาอธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าเป็นธรรมเนียมที่เราจะเก็บบันทึกจากซ้ายไปขวา และความจริงที่ว่าการคูณและการหารเกิดขึ้นก่อนการบวกและการลบนั้นอธิบายได้ด้วยความหมายที่การกระทำเหล่านี้มีอยู่ในตัวมันเอง

มาดูตัวอย่างการใช้กฎนี้กัน ตัวอย่างเช่น เราจะใช้นิพจน์ตัวเลขที่ง่ายที่สุดเพื่อไม่ให้ถูกรบกวนจากการคำนวณ แต่ให้เน้นที่ลำดับการดำเนินการต่างๆ

ทำตามขั้นตอนที่ 7-3+6

นิพจน์ดั้งเดิมไม่มีวงเล็บ และไม่มีการคูณและการหาร ดังนั้นเราควรดำเนินการทั้งหมดตามลำดับจากซ้ายไปขวา นั่นคือ ก่อนอื่นเราลบ 3 จาก 7 เราได้ 4 หลังจากนั้นเราบวก 6 เข้ากับผลต่าง 4 ที่ได้รับ เราจะได้ 10

โดยสังเขป วิธีแก้ปัญหาสามารถเขียนได้ดังนี้: 7−3+6=4+6=10

ระบุลำดับการดำเนินการในนิพจน์ 6:2·8:3

ในการตอบคำถามของปัญหา เรามาดูกฎที่ระบุลำดับการดำเนินการในนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บ นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยการดำเนินการของการคูณและการหารเท่านั้น และตามกฎแล้ว จะต้องดำเนินการตามลำดับจากซ้ายไปขวา

ขั้นแรก หาร 6 ด้วย 2 คูณผลหารนี้ด้วย 8 และสุดท้าย หารผลลัพธ์ด้วย 3

แนวคิดพื้นฐาน. ระบบสมการเชิงเส้น

คำนวณค่าของนิพจน์ 17−5 6:3−2+4:2

ขั้นแรก มากำหนดลำดับการดำเนินการในนิพจน์ดั้งเดิมที่ควรดำเนินการ ประกอบด้วยทั้งการคูณและการหารและการบวกและการลบ

ขั้นแรก คุณต้องทำการคูณและหารจากซ้ายไปขวา เราคูณ 5 ด้วย 6 เราได้ 30 เราหารจำนวนนี้ด้วย 3 เราได้ 10 ตอนนี้เราหาร 4 ด้วย 2 เราได้ 2 เราแทนค่าที่พบ 10 แทน 5 6: 3 ในนิพจน์ดั้งเดิม และค่า 2 แทนที่จะเป็น 4: 2 เรามี 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2

ในนิพจน์ผลลัพธ์ จะไม่มีการคูณและการหารอีกต่อไป ดังนั้นมันจึงยังคงดำเนินการกระทำที่เหลือตามลำดับจากซ้ายไปขวา: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7

17−5 6:3−2+4:2=7.

ในตอนแรก เพื่อไม่ให้สับสนลำดับการดำเนินการเมื่อคำนวณค่าของนิพจน์ จะสะดวกที่จะวางตัวเลขไว้เหนือเครื่องหมายของการกระทำที่สอดคล้องกับลำดับที่ดำเนินการ สำหรับตัวอย่างก่อนหน้านี้ จะมีลักษณะดังนี้: .

ลำดับของการดำเนินการเดียวกัน - การคูณและการหารครั้งแรก จากนั้นบวกและการลบ - ควรปฏิบัติตามเมื่อทำงานกับนิพจน์ตามตัวอักษร

ด้านบนของหน้า

ขั้นตอนที่ 1 และ 2

ในตำราคณิตศาสตร์บางเล่ม มีการแบ่งการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ออกเป็นการดำเนินการของขั้นตอนที่หนึ่งและขั้นตอนที่สอง มาจัดการกับเรื่องนี้กันเถอะ

ในเงื่อนไขเหล่านี้ กฎจากย่อหน้าก่อนหน้าซึ่งกำหนดลำดับการดำเนินการจะถูกเขียนดังนี้: หากนิพจน์ไม่มีวงเล็บ ลำดับจากซ้ายไปขวา การกระทำของสเตจที่สอง ( การคูณและการหาร) จะดำเนินการก่อน จากนั้นจึงดำเนินการในขั้นตอนแรก (การบวกและการลบ)

ด้านบนของหน้า

ลำดับการดำเนินการของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในนิพจน์ที่มีวงเล็บ

นิพจน์มักจะมีวงเล็บเพื่อระบุลำดับที่จะดำเนินการ ในกรณีนี้ กฎที่ระบุลำดับการดำเนินการในนิพจน์ด้วยวงเล็บ, มีสูตรดังนี้: ขั้นแรกดำเนินการในวงเล็บในขณะที่ดำเนินการคูณและหารตามลำดับจากซ้ายไปขวาแล้วบวกและลบ

ดังนั้น นิพจน์ในวงเล็บจึงถือเป็นส่วนประกอบของนิพจน์ดั้งเดิม และลำดับของการกระทำที่เรารู้อยู่แล้วจะคงอยู่ในนิพจน์นั้น พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างเพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น

ทำตามขั้นตอนที่ระบุ 5+(7−2 3) (6–4):2

นิพจน์ประกอบด้วยวงเล็บ ดังนั้นก่อนอื่นเรามาดำเนินการในนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บเหล่านี้ มาเริ่มกันที่นิพจน์ 7−2 3 ในนั้น คุณต้องทำการคูณก่อน จากนั้นจึงทำการลบ เรามี 7−2 3=7−6=1 เราส่งผ่านไปยังนิพจน์ที่สองในวงเล็บ 6-4 มีการกระทำเดียวเท่านั้นที่นี่ - การลบ เราดำเนินการ 6−4=2

เราแทนที่ค่าที่ได้รับเป็นนิพจน์ดั้งเดิม: 5+(7−2 3) (6−4):2=5+1 2:2 ในนิพจน์ผลลัพธ์ ขั้นแรก เราทำการคูณและหารจากซ้ายไปขวา จากนั้นลบ เราได้ 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6 ในเรื่องนี้ การดำเนินการทั้งหมดเสร็จสมบูรณ์แล้ว เราปฏิบัติตามลำดับการดำเนินการดังต่อไปนี้: 5+(7−2 3) (6-4):2

มาเขียนกันเถอะ วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2=5+1=6.

5+(7−2 3)(6−4):2=6.

มันเกิดขึ้นที่นิพจน์มีวงเล็บภายในวงเล็บ คุณไม่ควรกลัวสิ่งนี้ คุณเพียงแค่ต้องใช้กฎที่เปล่งออกมาอย่างสม่ำเสมอเพื่อดำเนินการในนิพจน์ด้วยวงเล็บ มาแสดงตัวอย่างวิธีแก้ปัญหากัน

ดำเนินการในนิพจน์ 4+(3+1+4 (2+3))

นี่คือนิพจน์ที่มีวงเล็บ ซึ่งหมายความว่าการดำเนินการต้องเริ่มต้นด้วยนิพจน์ในวงเล็บนั่นคือ 3 + 1 + 4 (2 + 3)

นิพจน์นี้มีวงเล็บด้วย ดังนั้นคุณต้องดำเนินการในวงเล็บก่อน ลองทำสิ่งนี้: 2+3=5 แทนค่าที่พบ เราจะได้ 3+1+4 5 ในนิพจน์นี้ เราทำการคูณก่อน แล้วบวก เรามี 3+1+4 5=3+1+20=24 ค่าเริ่มต้น หลังจากแทนค่านี้ จะใช้รูปแบบ 4+24 และยังคงอยู่เพียงเพื่อดำเนินการให้เสร็จสิ้น: 4+24=28

4+(3+1+4 (2+3))=28.

โดยทั่วไป เมื่อมีวงเล็บในวงเล็บอยู่ในนิพจน์ มักจะสะดวกที่จะเริ่มต้นด้วยวงเล็บด้านในและหาวงเล็บด้านนอก

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเราจำเป็นต้องดำเนินการในนิพจน์ (4+(4+(4−6:2))−1)-1 ขั้นแรก เราดำเนินการในวงเล็บภายใน เนื่องจาก 4−6:2=4−3=1 จากนั้นนิพจน์ดั้งเดิมจะอยู่ในรูปแบบ (4+(4+1)−1)-1 อีกครั้ง เราดำเนินการในวงเล็บใน เนื่องจาก 4+1=5 เรามาถึงนิพจน์ต่อไปนี้ (4+5-1)-1 อีกครั้ง เราดำเนินการในวงเล็บ: 4+5−1=8 ในขณะที่เรามาถึงส่วนต่าง 8-1 ซึ่งเท่ากับ 7

ด้านบนของหน้า

ลำดับการดำเนินการในนิพจน์ที่มีราก ยกกำลัง ลอการิทึม และฟังก์ชันอื่นๆ

หากนิพจน์ประกอบด้วยกำลัง, รูต, ลอการิทึม, ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์รวมถึงฟังก์ชันอื่น ๆ ค่าของพวกมันจะถูกคำนวณก่อนที่จะดำเนินการอื่น ๆ ในขณะที่กฎจากย่อหน้าก่อนหน้าที่ระบุลำดับใน ซึ่งการดำเนินการจะถูกนำมาพิจารณาด้วย กล่าวอีกนัยหนึ่ง สิ่งที่อยู่ในรายการ พูดคร่าวๆ ถือว่าอยู่ในวงเล็บ และเรารู้ว่าการดำเนินการในวงเล็บจะดำเนินการก่อน

ลองพิจารณาตัวอย่าง

ดำเนินการในนิพจน์ (3+1) 2+6 2:3−7

นิพจน์นี้มีค่ายกกำลัง 6 2 ต้องคำนวณค่าก่อนที่จะดำเนินการตามขั้นตอนที่เหลือ ดังนั้นเราจึงทำการยกกำลัง: 6 2 \u003d 36 เราแทนที่ค่านี้เป็นนิพจน์ดั้งเดิม มันจะอยู่ในรูปแบบ (3+1) 2+36:3−7

จากนั้นทุกอย่างชัดเจน: เราดำเนินการในวงเล็บหลังจากนั้นนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บยังคงอยู่ซึ่งในลำดับจากซ้ายไปขวาเราจะทำการคูณและหารก่อนแล้วจึงบวกและลบ เรามี (3+1) 2+36:3−7=4 2+36:3−7=8+12−7=13

(3+1) 2+6 2:3−7=13.

อื่นๆ รวมถึงอีกมาก ตัวอย่างที่ซับซ้อนการดำเนินการในนิพจน์ที่มีราก องศา ฯลฯ คุณสามารถดูการคำนวณค่านิพจน์ในบทความ

ด้านบนของหน้า

การดำเนินการขั้นตอนแรกเรียกว่า บวก ลบ คูณ หาร เรียกว่า การดำเนินการขั้นตอนที่สอง.

• คณิตศาสตร์: การศึกษา สำหรับ 5 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartburd - ฉบับที่ 21 ลบแล้ว — M.: Mnemozina, 2007. — 280 p.: ป่วย ไอเอสบีเอ็น 5-346-00699-0

เขียนระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นในรูปแบบทั่วไป

โซลูชัน SLAE คืออะไร?

คำตอบของระบบสมการคือเซตของตัวเลข n

เมื่อสิ่งใดถูกแทนที่ในระบบ สมการแต่ละสมการจะกลายเป็นเอกลักษณ์

ระบบใดที่เรียกว่าข้อต่อ (non-joint)?

ระบบสมการเรียกว่าสม่ำเสมอถ้ามีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งข้อ

ระบบเรียกว่าไม่สอดคล้องกันหากไม่มีวิธีแก้ไข

ระบบใดที่เรียกว่าแน่นอน (ไม่แน่นอน)?

ระบบร่วมเรียกว่าแน่นอนถ้ามีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ

ระบบร่วมเรียกว่าไม่แน่นอนถ้ามีมากกว่าหนึ่งวิธี

รูปแบบเมทริกซ์ของการเขียนระบบสมการ

อันดับของระบบเวกเตอร์

อันดับของระบบเวกเตอร์คือจำนวนสูงสุดของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น

อันดับเมทริกซ์และวิธีค้นหา

อันดับเมทริกซ์- ลำดับสูงสุดของผู้เยาว์ของเมทริกซ์นี้ ดีเทอร์มีแนนต์ซึ่งแตกต่างจากศูนย์

วิธีแรก วิธีขอบ มีดังนี้

หากผู้เยาว์ทั้งหมดอยู่ในอันดับที่ 1 เช่น องค์ประกอบเมทริกซ์มีค่าเท่ากับศูนย์ จากนั้น r=0

หากผู้เยาว์ในลำดับที่ 1 อย่างน้อยหนึ่งคนไม่เท่ากับศูนย์ และผู้เยาว์ของลำดับที่ 2 ทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น r=1

หากอันดับรองลงมาไม่ใช่ศูนย์ เราจะตรวจสอบผู้เยาว์อันดับที่ 3 ด้วยวิธีนี้ จะพบลำดับรองที่ k และตรวจสอบว่าลำดับรองที่ k+1 ไม่เท่ากับศูนย์หรือไม่

หากลำดับรองของ k+1 ทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ลำดับของเมทริกซ์จะเท่ากับจำนวน k คำสั่งรอง k+1 ดังกล่าวมักจะพบโดย "การขอบ" ลำดับที่ k รองลงมา

วิธีที่สองในการกำหนดอันดับของเมทริกซ์คือการใช้การแปลงเบื้องต้นของเมทริกซ์เมื่อถูกยกให้อยู่ในรูปแบบแนวทแยง อันดับของเมทริกซ์ดังกล่าวเท่ากับจำนวนขององค์ประกอบในแนวทแยงที่ไม่เป็นศูนย์

คำตอบทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน คุณสมบัติของมัน

ทรัพย์สิน 1ผลรวมของคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นและคำตอบของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันที่สอดคล้องกันคือคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น

ทรัพย์สิน 2

ระบบสมการเชิงเส้น: แนวคิดพื้นฐาน

ความแตกต่างของสองคำตอบใดๆ ของระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันคือคำตอบของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันที่สอดคล้องกัน

วิธีเกาส์ในการแก้ SLAE

ต่อมา:

1) รวบรวมเมทริกซ์ขยายของระบบสมการ

2) ด้วยความช่วยเหลือของการแปลงเบื้องต้นเมทริกซ์จะลดลงเป็นรูปแบบขั้นตอน

3) กำหนดอันดับของเมทริกซ์แบบขยายของระบบและอันดับของเมทริกซ์ของระบบและกำหนดข้อตกลงความเข้ากันได้หรือความไม่ลงรอยกันของระบบ

4) ในกรณีที่เข้ากันได้ ให้เขียนระบบสมการเทียบเท่า

5) พบวิธีแก้ปัญหาของระบบ ตัวแปรหลักแสดงในรูปของ free

ทฤษฎีบทโครเนคเกอร์-คาเปลลี

Kronecker - ทฤษฎีบทคาเปลลี- เกณฑ์ความเข้ากันได้ของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น:

ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นจะสอดคล้องกันก็ต่อเมื่ออันดับของเมทริกซ์หลักเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยาย และระบบมีคำตอบเฉพาะถ้าอันดับเท่ากับจำนวนไม่ทราบค่า และ ชุดโซลูชันอนันต์ถ้าอันดับ น้อยกว่าจำนวนไม่ทราบ

เพื่อให้ระบบเชิงเส้นตรงมีความสอดคล้องกัน จำเป็นและเพียงพอที่อันดับของเมทริกซ์ขยายของระบบนี้จะเท่ากับอันดับของเมทริกซ์หลัก

เมื่อใดระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา เมื่อใดจึงมีวิธีแก้ปัญหาเดียว มีหลายวิธีแก้ปัญหา

หากจำนวนสมการระบบเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักและดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักไม่เท่ากับศูนย์ ระบบของสมการดังกล่าวจะมีคำตอบเฉพาะ และในกรณีของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน ไม่ทราบทั้งหมด ตัวแปรมีค่าเท่ากับศูนย์

ระบบสมการเชิงเส้นที่มีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งวิธีเรียกว่าเข้ากันได้ มิฉะนั้น กล่าวคือ หากระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหาก็เรียกว่าไม่สอดคล้องกัน

สมการเชิงเส้นเรียกว่าสอดคล้องกันหากมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งข้อและไม่สอดคล้องกันหากไม่มีคำตอบ ในตัวอย่างที่ 14 ระบบเข้ากันได้ คอลัมน์คือคำตอบ:

คำตอบนี้สามารถเขียนได้โดยไม่มีเมทริกซ์: x = 2, y = 1

ระบบสมการจะเรียกว่าไม่มีกำหนดถ้ามีมากกว่าหนึ่งคำตอบ และระบุว่าคำตอบนั้นไม่ซ้ำกันหรือไม่

ตัวอย่างที่ 15. ระบบไม่แน่นอน ตัวอย่างเช่น ... คือคำตอบของมัน ผู้อ่านสามารถค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาอื่นๆ มากมายสำหรับระบบนี้

สูตรเกี่ยวกับพิกัดของเวกเตอร์ในฐานเก่าและฐานใหม่

มาเรียนรู้วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้นกันก่อนเป็นกรณีพิเศษ ระบบสมการ AX = B จะถูกเรียกว่า Cramer's ถ้าเมทริกซ์หลัก А เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและไม่เสื่อมสภาพ กล่าวอีกนัยหนึ่ง จำนวนสิ่งที่ไม่รู้จักในระบบ Cramerian ตรงกับจำนวนสมการและ |A| = 0.

ทฤษฎีบท 6 (กฎของแครมเมอร์) ระบบ Cramer ของสมการเชิงเส้นมีคำตอบเฉพาะที่กำหนดโดยสูตร:

โดยที่ Δ = |A| คือดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลัก Δi คือดีเทอร์มีแนนต์ที่ได้จาก A โดยแทนที่คอลัมน์ที่ i ด้วยคอลัมน์ของเทอมอิสระ

เราจะดำเนินการพิสูจน์หา n = 3 เนื่องจากในกรณีทั่วไป อาร์กิวเมนต์มีความคล้ายคลึงกัน

ดังนั้นจึงมีระบบ Cramer:

ให้เราคิดเอาเองก่อนว่ามีวิธีแก้ปัญหาของระบบนั่นคือมี

ลองคูณอันแรกกัน ความเท่าเทียมกันขององค์ประกอบพีชคณิตกับองค์ประกอบ aii, ความเท่าเทียมกันที่สอง - บน A2i, ที่สาม - บน A3i และเพิ่มความเท่าเทียมกันที่เป็นผลลัพธ์:

ระบบสมการเชิงเส้น ~ คำตอบของระบบ ~ ระบบที่สม่ำเสมอและไม่สอดคล้องกัน ~ ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน ~ ความเข้ากันได้ของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน ~ อันดับของเมทริกซ์ระบบ ~ เงื่อนไขของความเข้ากันได้ที่ไม่สำคัญ ~ ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา วิธีแก้ปัญหาทั่วไป ~ การศึกษาระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน

พิจารณาระบบ มสมการพีชคณิตเชิงเส้นเทียบกับ นไม่รู้จัก
x 1 , x 2 , …, x น :

การตัดสินใจเรียกว่าระบบทั้งหมด นค่าที่ไม่รู้จัก

x 1 \u003d x’ 1, x 2 \u003d x’ 2, ..., x n \u003d x’ n,

เมื่อมีการแทนที่ซึ่งสมการทั้งหมดของระบบจะกลายเป็นตัวตน

ระบบสมการเชิงเส้นสามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์:

ที่ไหน อา- เมทริกซ์ระบบ ข- ส่วนขวา x- วิธีแก้ปัญหาที่ต้องการ Ap - เมทริกซ์แบบขยายระบบ:

.

ระบบที่มีทางออกอย่างน้อยหนึ่งวิธีเรียกว่า ข้อต่อ; ระบบที่ไม่มีทางออก เข้ากันไม่ได้

ระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้นคือระบบที่มีด้านขวาเท่ากับศูนย์:

มุมมองเมทริกซ์ของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน: ขวาน=0.

ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันจะมีความสอดคล้องกันเสมอ เนื่องจากระบบเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันมีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งวิธี:

x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0, ..., x n \u003d 0

หากระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันมีคำตอบเฉพาะ คำตอบเฉพาะนี้จะเป็นศูนย์ และระบบจะเรียกว่า ร่วมกันเล็กน้อยหากระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันมีมากกว่าหนึ่งโซลูชัน แสดงว่ามีโซลูชันที่ไม่เป็นศูนย์ในนั้น และในกรณีนี้ระบบจะเรียกว่า ร่วมกันไม่เล็กน้อย

ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเมื่อ ม=นสำหรับความเข้ากันได้ของระบบที่ไม่สำคัญ จำเป็นและเพียงพอเพื่อให้ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ของระบบมีค่าเท่ากับศูนย์

ตัวอย่าง 1. ความเข้ากันได้ที่ไม่ซับซ้อนของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันของสมการเชิงเส้นที่มีเมทริกซ์กำลังสอง

การใช้อัลกอริธึมการกำจัดแบบเกาส์เซียนกับเมทริกซ์ระบบ เราลดเมทริกซ์ระบบเป็นรูปแบบขั้นตอน

.

ตัวเลข rแถวที่ไม่เป็นศูนย์ในรูปแบบขั้นตอนของเมทริกซ์เรียกว่า อันดับเมทริกซ์หมายถึง
r=rg(A)หรือ r=Rg(A).

การยืนยันต่อไปนี้เป็นจริง

ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

เพื่อให้ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันมีความสอดคล้องกันโดยไม่จำเป็นและเพียงพอที่อันดับ rเมทริกซ์ระบบน้อยกว่าจำนวนที่ไม่รู้จัก น.

ตัวอย่างที่ 2 ความเข้ากันได้ที่ไม่ซับซ้อนของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันของสมการเชิงเส้นสามสมการที่มีสี่ไม่ทราบค่า

หากระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันไม่สอดคล้องกันเล็กน้อย แสดงว่ามีคำตอบเป็นอนันต์ และการรวมเชิงเส้นของโซลูชันใดๆ ของระบบก็เป็นโซลูชันด้วยเช่นกัน
ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าในบรรดาชุดของการแก้ปัญหาระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันอย่างแน่นอน น-รโซลูชันอิสระเชิงเส้น
รวม น-รการแก้ปัญหาอิสระเชิงเส้นของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันเรียกว่า ระบบการตัดสินใจขั้นพื้นฐานคำตอบของระบบจะแสดงเป็นเส้นตรงในแง่ของระบบพื้นฐาน ดังนั้น ถ้าอันดับ rเมทริกซ์ อาเป็นเนื้อเดียวกัน ระบบเชิงเส้น ขวาน=0ไม่รู้จักน้อยลง นและเวกเตอร์
e 1 , e 2 , …, e n-rสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา ( เอ๋ ผม =0, ผม=1,2, …, n-r) จากนั้นวิธีแก้ไขใด ๆ xระบบ ขวาน=0สามารถเขียนได้ในรูป

x=c 1 e 1 + c 2 e 2 + … + c n-r e n-r ,

ที่ไหน c 1 , c 2 , …, c n-rเป็นค่าคงที่โดยพลการ นิพจน์ที่เป็นลายลักษณ์อักษรเรียกว่า วิธีแก้ปัญหาทั่วไประบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน .

การวิจัย

ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันหมายถึงการสร้างว่ามันไม่สอดคล้องกันเล็กน้อยหรือไม่ และถ้าเป็นเช่นนั้น ให้ค้นหาระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาและเขียนนิพจน์สำหรับการแก้ปัญหาทั่วไปของระบบ

เราศึกษาระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันโดยวิธีเกาส์

เมทริกซ์ของระบบเอกพันธ์ที่อยู่ระหว่างการศึกษา ซึ่งมีอันดับเท่ากับ r< n .

เมทริกซ์ดังกล่าวจะลดลงโดยการกำจัดแบบเกาส์ให้เป็นแบบก้าว

.

ระบบเทียบเท่าที่สอดคล้องกันมีรูปแบบ

จากนี้ไปเป็นเรื่องง่ายที่จะรับนิพจน์สำหรับตัวแปร x 1 , x 2 , …, x รผ่าน x r+1 , x r+2 , …, x น. ตัวแปร
x 1 , x 2 , …, x รเรียกว่า ตัวแปรพื้นฐานและตัวแปร x r+1 , x r+2 , …, x น - ตัวแปรอิสระ

ย้ายตัวแปรอิสระไปทางด้านขวา เราจะได้สูตร

ซึ่งกำหนดวิธีแก้ปัญหาโดยรวมของระบบ

ให้เราตั้งค่าตัวแปรอิสระให้เท่ากับ

และคำนวณค่าที่สอดคล้องกันของตัวแปรพื้นฐาน ได้รับ น-รการแก้ปัญหามีความเป็นอิสระเชิงเส้นและดังนั้นจึงสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันภายใต้การศึกษา:

การตรวจสอบระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันเพื่อความเข้ากันได้โดยวิธีเกาส์

อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติมีอีกสองกรณีแพร่หลาย:

– ระบบไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีวิธีแก้ไข)
ระบบมีความสอดคล้องและมีวิธีแก้ปัญหามากมาย

บันทึก : คำว่า "ความสม่ำเสมอ" หมายความว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อย ในหลาย ๆ งาน จำเป็นต้องตรวจสอบระบบเบื้องต้นสำหรับความเข้ากันได้ วิธีการทำเช่นนี้ - ดูบทความเกี่ยวกับ อันดับเมทริกซ์.

สำหรับระบบเหล่านี้ จะใช้วิธีการแก้ปัญหาที่เป็นสากลมากที่สุด - วิธีเกาส์. อันที่จริงทาง "โรงเรียน" ก็จะนำไปสู่คำตอบเช่นกัน แต่ใน คณิตศาสตร์ชั้นสูงเป็นเรื่องปกติที่จะใช้วิธีการเกาส์เซียนในการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จักอย่างต่อเนื่อง ใครไม่คุ้นเคยกับอัลกอริธึมวิธีเกาส์ โปรดศึกษาบทเรียนก่อน วิธีเกาส์สำหรับหุ่น.

การแปลงเมทริกซ์เบื้องต้นนั้นเหมือนกันทุกประการความแตกต่างจะอยู่ที่ส่วนท้ายของการแก้ปัญหา ขั้นแรก ให้พิจารณาสองสามตัวอย่างที่ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา (ไม่สอดคล้องกัน)

ตัวอย่าง 1

อะไรที่ดึงดูดสายตาคุณในระบบนี้ทันที? จำนวนสมการน้อยกว่าจำนวนตัวแปร ถ้าจำนวนสมการน้อยกว่าจำนวนตัวแปรจากนั้นเราสามารถพูดได้ทันทีว่าระบบไม่สอดคล้องกันหรือมีวิธีแก้ปัญหามากมาย และมันยังคงอยู่เพียงเพื่อค้นหา

จุดเริ่มต้นของการแก้ปัญหานั้นค่อนข้างธรรมดา - เราเขียนเมทริกซ์แบบขยายของระบบ และใช้การแปลงเบื้องต้น เรานำมาสู่รูปแบบขั้นตอน:

(1) ที่ขั้นตอนบนซ้าย เราต้องได้ +1 หรือ -1 ไม่มีตัวเลขดังกล่าวในคอลัมน์แรก ดังนั้นการจัดเรียงแถวใหม่จะไม่ทำงาน หน่วยจะต้องได้รับการจัดระเบียบอย่างอิสระและสามารถทำได้หลายวิธี ฉันทำสิ่งนี้: ในบรรทัดแรก ให้เพิ่มบรรทัดที่สาม คูณด้วย -1

(2) ตอนนี้เราได้ศูนย์สองตัวในคอลัมน์แรก ในบรรทัดที่สอง เราเพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย 3 ในบรรทัดที่สาม เราเพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย 5

(3) หลังจากการแปลงเสร็จสิ้น เป็นสิ่งที่คุ้มค่าเสมอที่จะดูว่ามันเป็นไปได้ที่จะทำให้สตริงที่เป็นผลลัพธ์ง่ายขึ้นหรือไม่? สามารถ. เราแบ่งบรรทัดที่สองด้วย 2 ในเวลาเดียวกันจะได้ -1 ที่ต้องการในขั้นตอนที่สอง แบ่งบรรทัดที่สามด้วย -3

(4) เพิ่มบรรทัดที่สองไปยังบรรทัดที่สาม

อาจเป็นไปได้ว่าทุกคนให้ความสนใจกับแนวที่ไม่ดีซึ่งเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น: . เป็นที่ชัดเจนว่าสิ่งนี้ไม่สามารถทำได้ อันที่จริง เราเขียนเมทริกซ์ผลลัพธ์ใหม่ กลับไปที่ระบบสมการเชิงเส้น:

หากได้รับสตริงของแบบฟอร์มจากการแปลงเบื้องต้นโดยที่ตัวเลขไม่เป็นศูนย์แสดงว่าระบบไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีคำตอบ)

จะบันทึกการสิ้นสุดของงานได้อย่างไร มาวาดด้วยชอล์กสีขาว: "จากการแปลงเบื้องต้นจะได้เส้นของแบบฟอร์มที่ไหน" และให้คำตอบ: ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา (ไม่สอดคล้องกัน)

ถ้าตามเงื่อนไข จำเป็นต้องสำรวจระบบเพื่อความเข้ากันได้ ก็จำเป็นต้องออกวิธีแก้ปัญหาในรูปแบบที่แน่นหนามากขึ้นซึ่งเกี่ยวข้องกับแนวคิด อันดับเมทริกซ์และทฤษฎีบทโครเนคเกอร์-คาเปลลี.

โปรดทราบว่าไม่มีการเคลื่อนไหวย้อนกลับของอัลกอริทึมแบบเกาส์เซียนที่นี่ - ไม่มีวิธีแก้ไขและไม่พบสิ่งใดเลย

ตัวอย่าง 2

แก้ระบบสมการเชิงเส้น

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง โซลูชั่นที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน ฉันขอเตือนคุณอีกครั้งว่าเส้นทางโซลูชันของคุณอาจแตกต่างจากเส้นทางโซลูชันของฉัน อัลกอริทึมแบบเกาส์เซียนไม่มี "ความแข็งแกร่ง" ที่แข็งแกร่ง

อีกคน คุณสมบัติทางเทคนิควิธีแก้ปัญหา: การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นสามารถหยุดได้ ในครั้งเดียวทันทีที่บรรทัดเช่น ที่ไหน . พิจารณา ตัวอย่างเงื่อนไข: สมมติว่าหลังจากการแปลงครั้งแรก เราได้เมทริกซ์ . เมทริกซ์ยังไม่ถูกลดขนาดให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันได แต่ไม่จำเป็นต้องแปลงเบื้องต้นเพิ่มเติม เนื่องจากมีเส้นของแบบฟอร์มปรากฏขึ้น โดยที่ . ควรตอบทันทีว่าระบบเข้ากันไม่ได้

เมื่อระบบสมการเชิงเส้นไม่มีคำตอบ นี่เกือบจะเป็นของขวัญได้เลย เพราะจะได้คำตอบสั้นๆ ซึ่งบางครั้งอาจทำได้ 2-3 ขั้นตอน

แต่ทุกสิ่งในโลกนี้มีความสมดุล และปัญหาที่ระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วนนั้นยาวนานกว่า

ตัวอย่างที่ 3

แก้ระบบสมการเชิงเส้น

มี 4 สมการและ 4 ค่าที่ไม่ทราบค่า ดังนั้นระบบสามารถมีคำตอบเดียว หรือไม่มีคำตอบ หรือมีคำตอบจำนวนอนันต์ ไม่ว่ามันจะเป็นอะไร แต่วิธี Gauss ไม่ว่าในกรณีใดจะนำเราไปสู่คำตอบ ความเก่งกาจอยู่ในนั้น

การเริ่มต้นเป็นมาตรฐานอีกครั้ง เราเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบ และใช้การแปลงเบื้องต้น นำไปที่รูปแบบขั้นตอน:

นั่นคือทั้งหมดและคุณก็กลัว

(1) โปรดทราบว่าตัวเลขทั้งหมดในคอลัมน์แรกหารด้วย 2 ลงตัว ดังนั้นเลข 2 จึงใช้ได้ที่ขั้นบนซ้ายบน ในบรรทัดที่สอง เราเพิ่มบรรทัดแรก คูณด้วย -4 ในบรรทัดที่สาม เราเพิ่มบรรทัดแรก คูณด้วย -2 ในบรรทัดที่สี่ เราเพิ่มบรรทัดแรก คูณด้วย -1

ความสนใจ!หลายคนอาจถูกล่อลวงจากบรรทัดที่สี่ ลบเส้นแรก. สิ่งนี้สามารถทำได้ แต่ไม่จำเป็น ประสบการณ์แสดงให้เห็นว่าความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดในการคำนวณเพิ่มขึ้นหลายครั้ง เพียงบวก: ไปยังบรรทัดที่สี่ เพิ่มบรรทัดแรก คูณด้วย -1 - อย่างแน่นอน!

(2) สามบรรทัดสุดท้ายเป็นสัดส่วน สองบรรทัดสามารถลบได้

มาอีกแล้วต้องโชว์ ความสนใจเพิ่มขึ้นแต่เส้นเป็นสัดส่วนจริงหรือ สำหรับการประกันภัยต่อ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับกาน้ำชา) จะไม่ฟุ่มเฟือยที่จะคูณแถวที่สองด้วย -1 และหารแถวที่สี่ด้วย 2 ส่งผลให้มีแถวที่เหมือนกันสามแถว และหลังจากนั้นให้ลบสองคนออก

อันเป็นผลมาจากการแปลงเบื้องต้น เมทริกซ์แบบขยายของระบบจะลดลงเป็นรูปแบบขั้นบันได:

เมื่อทำงานเสร็จในสมุดบันทึก ขอแนะนำให้จดบันทึกด้วยดินสอเพื่อความชัดเจน

เราเขียนระบบสมการที่สอดคล้องกันใหม่:

วิธีแก้ปัญหา "ปกติ" เท่านั้นของระบบไม่มีกลิ่นที่นี่ ไม่มีสายที่ไม่ดีอย่างใดอย่างหนึ่ง ซึ่งหมายความว่านี่เป็นกรณีที่สามที่เหลืออยู่ - ระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมาย บางครั้งโดยเงื่อนไข จำเป็นต้องตรวจสอบความเข้ากันได้ของระบบ (เช่น เพื่อพิสูจน์ว่ามีวิธีแก้ปัญหาอยู่เลย) คุณสามารถอ่านเกี่ยวกับสิ่งนี้ได้ในย่อหน้าสุดท้ายของบทความ จะหาอันดับของเมทริกซ์ได้อย่างไร?แต่สำหรับตอนนี้ เรามาแยกย่อยพื้นฐานกัน:

ชุดของการแก้ปัญหาของระบบไม่มีที่สิ้นสุดเขียนสั้น ๆ ในรูปแบบของสิ่งที่เรียกว่า โซลูชันระบบทั่วไป .

เราจะพบวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบโดยใช้การเคลื่อนไหวย้อนกลับของวิธีเกาส์

อันดับแรก เราต้องกำหนดว่าเรามีตัวแปรอะไรบ้าง ขั้นพื้นฐานและตัวแปรใด ฟรี. ไม่จำเป็นต้องกังวลกับเงื่อนไขของพีชคณิตเชิงเส้นก็เพียงพอที่จะจำไว้ว่ามี ตัวแปรพื้นฐานและ ตัวแปรอิสระ.

ตัวแปรพื้นฐานมักจะ "นั่ง" อย่างเคร่งครัดตามขั้นตอนของเมทริกซ์.
ที่ ตัวอย่างนี้ตัวแปรพื้นฐานคือและ

ตัวแปรอิสระคือทุกสิ่ง ที่เหลืออยู่ตัวแปรที่ไม่ได้รับขั้นตอน ในกรณีของเรา มีสองตัวแปร: - ตัวแปรอิสระ

ตอนนี้คุณต้องการ ทั้งหมด ตัวแปรพื้นฐานด่วน ผ่าน .เท่านั้น ตัวแปรอิสระ.

การเคลื่อนย้อนกลับของอัลกอริธึมแบบเกาส์เซียนทำงานจากล่างขึ้นบน
จากสมการที่สองของระบบ เราแสดงตัวแปรพื้นฐาน:

ตอนนี้ดูสมการแรก: . ขั้นแรก เราแทนที่นิพจน์ที่พบลงในมัน:

มันยังคงแสดงตัวแปรพื้นฐานในแง่ของตัวแปรอิสระ:

ผลลัพธ์คือสิ่งที่คุณต้องการ - ทั้งหมดแสดงตัวแปรพื้นฐาน ( และ ) ผ่าน .เท่านั้นตัวแปรอิสระ :

ที่จริงแล้ว วิธีแก้ปัญหาทั่วไปพร้อมแล้ว:

จะเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปได้อย่างไร?
ตัวแปรอิสระถูกเขียนลงในโซลูชันทั่วไป "ด้วยตัวเอง" และแทนที่อย่างเคร่งครัด ในกรณีนี้ ควรเขียนตัวแปรอิสระในตำแหน่งที่สองและสี่:
.

นิพจน์ผลลัพธ์สำหรับตัวแปรพื้นฐาน และจำเป็นต้องเขียนในตำแหน่งที่หนึ่งและสามอย่างชัดเจน:

ให้ตัวแปรอิสระ ค่าโดยพลการ,มีมากมายนับไม่ถ้วน การตัดสินใจส่วนตัว. ค่าที่นิยมมากที่สุดคือศูนย์เนื่องจากวิธีแก้ปัญหาเฉพาะนั้นง่ายที่สุดที่จะได้รับ แทนที่ในโซลูชันทั่วไป:

เป็นการตัดสินใจส่วนตัว

คู่หนึ่งเป็นคู่หวานอีกคู่หนึ่ง มาแทนที่วิธีแก้ปัญหาทั่วไป:

เป็นอีกทางออกหนึ่งโดยเฉพาะ

สังเกตได้ง่ายว่าระบบสมการมี โซลูชั่นมากมายอนันต์(เพราะเราสามารถให้ตัวแปรอิสระได้ ใดๆค่า)

แต่ละการแก้ปัญหาเฉพาะจะต้องตอบสนอง ถึงแต่ละคนสมการระบบ นี่เป็นพื้นฐานสำหรับการตรวจสอบความถูกต้องของโซลูชัน "อย่างรวดเร็ว" ตัวอย่างเช่น ใช้วิธีแก้ปัญหาเฉพาะแล้วแทนที่มันลงในด้านซ้ายของแต่ละสมการในระบบเดิม:

ทุกอย่างต้องมาคู่กัน และด้วยวิธีแก้ปัญหาเฉพาะใดๆ ที่คุณได้รับ ทุกอย่างควรมาบรรจบกัน

แต่การพูดอย่างเคร่งครัด การตรวจสอบของโซลูชันเฉพาะบางครั้งอาจหลอกลวง วิธีแก้ปัญหาเฉพาะบางอย่างสามารถตอบสนองสมการแต่ละข้อของระบบได้ และพบวิธีแก้ปัญหาทั่วไปอย่างไม่ถูกต้อง

ดังนั้นการตรวจสอบโซลูชันทั่วไปจึงละเอียดและเชื่อถือได้มากขึ้น วิธีตรวจสอบผลลัพธ์ทั่วไปของโซลูชัน ?

เป็นเรื่องง่าย แต่ค่อนข้างน่าเบื่อ เราต้องใช้นิพจน์ ขั้นพื้นฐานตัวแปรในกรณีนี้ และ และแทนที่ลงในด้านซ้ายของสมการแต่ละระบบ

ทางด้านซ้ายของสมการแรกของระบบ:

ทางด้านซ้ายของสมการที่สองของระบบ:


จะได้ด้านขวาของสมการเดิม

ตัวอย่างที่ 4

แก้ระบบโดยใช้วิธีเกาส์ ค้นหาโซลูชันทั่วไปและโซลูชันส่วนตัวสองวิธี ตรวจสอบโซลูชันโดยรวม

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง อย่างไรก็ตาม จำนวนสมการนั้นน้อยกว่าจำนวนที่ไม่ทราบสาเหตุ ซึ่งหมายความว่าเป็นที่แน่ชัดในทันทีว่าระบบอาจไม่สอดคล้องกันหรือมีจำนวนคำตอบที่ไม่สิ้นสุด สิ่งที่สำคัญในกระบวนการตัดสินใจคืออะไร? ให้ความสนใจและให้ความสนใจอีกครั้ง. คำตอบที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

และอีกสองสามตัวอย่างเพื่อเสริมความแข็งแรงของวัสดุ

ตัวอย่างที่ 5

แก้ระบบสมการเชิงเส้น หากระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน ให้ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสองวิธีแล้วตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาทั่วไป

วิธีการแก้: ลองเขียนเมทริกซ์เสริมของระบบและด้วยความช่วยเหลือของการแปลงเบื้องต้น เรานำมาสู่รูปแบบขั้นตอน:

(1) เพิ่มบรรทัดแรกไปยังบรรทัดที่สอง ในบรรทัดที่สาม เราเพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย 2 ในบรรทัดที่สี่ เราเพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย 3
(2) ไปยังบรรทัดที่สาม เพิ่มบรรทัดที่สอง คูณด้วย -5 ในบรรทัดที่สี่ เราเพิ่มบรรทัดที่สอง คูณด้วย -7
(3) บรรทัดที่สามและสี่เหมือนกัน เราลบหนึ่งบรรทัด

นี่คือความงาม:

ตัวแปรพื้นฐานนั่งบนขั้น ดังนั้นจึงเป็นตัวแปรฐาน
มีตัวแปรอิสระเพียงตัวเดียวซึ่งไม่ได้รับขั้นตอน:

ย้อนกลับ:
เราแสดงตัวแปรพื้นฐานในรูปของตัวแปรอิสระ:
จากสมการที่สาม:

พิจารณาสมการที่สองและแทนที่นิพจน์ที่พบลงไป:

พิจารณาสมการแรกและแทนที่นิพจน์ที่พบแล้วลงในสมการนั้น:

ใช่ เครื่องคิดเลขที่นับเศษส่วนธรรมดาก็ยังสะดวก

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ:

อีกครั้ง มันเกิดขึ้นได้อย่างไร? ตัวแปรอิสระนั่งอยู่คนเดียวในตำแหน่งที่สี่ที่ถูกต้อง นิพจน์ที่เป็นผลลัพธ์สำหรับตัวแปรพื้นฐาน ได้แทนที่ลำดับด้วย

ให้เราตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาทั่วไปทันที ทำงานเพื่อคนผิวดำ แต่ฉันได้ทำไปแล้วดังนั้นจับ =)

เราแทนที่ฮีโร่สามตัว , , ที่ด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบ:

ได้ทางขวามือที่สอดคล้องกันของสมการ ดังนั้นจึงหาคำตอบทั่วไปได้อย่างถูกต้อง

ตอนนี้จากวิธีแก้ปัญหาทั่วไปที่พบ เราได้รับสองโซลูชันเฉพาะ เชฟที่นี่เป็นตัวแปรอิสระเพียงตัวเดียว คุณไม่จำเป็นต้องหักหัวของคุณ

ให้แล้ว เป็นการตัดสินใจส่วนตัว
ปล่อยให้เป็นอีกวิธีหนึ่งโดยเฉพาะ

ตอบ: การตัดสินใจร่วมกัน: , โซลูชั่นเฉพาะ: , .

ฉันไม่ควรพูดถึงคนผิวดำที่นี่... ...เพราะเหตุจูงใจซาดิสต์ทุกประเภทผุดขึ้นในหัวของฉัน และฉันจำ fotozhaba ที่รู้จักกันดี ซึ่ง Ku Klux Klansmen ในชุดขาววิ่งข้ามสนามหลังจากนักฟุตบอลผิวดำ . ฉันนั่งยิ้มเงียบๆ รู้ดีว่าอึดอัดแค่ไหน....

คณิตศาสตร์จำนวนมากเป็นอันตราย ดังนั้นตัวอย่างสุดท้ายที่คล้ายคลึงกันสำหรับโซลูชันอิสระ

ตัวอย่างที่ 6

หาคำตอบทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้น

ฉันได้ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาทั่วไปแล้ว คำตอบสามารถเชื่อถือได้ โซลูชันของคุณอาจแตกต่างจากโซลูชันของฉัน สิ่งสำคัญคือโซลูชันทั่วไปตรงกัน

อาจมีหลายคนสังเกตเห็นช่วงเวลาที่ไม่พึงประสงค์ในการแก้ปัญหา: บ่อยครั้งมากในระหว่างการย้อนกลับของวิธี Gauss เราต้องเล่นซอ เศษส่วนธรรมดา. ในทางปฏิบัติ นี่เป็นเรื่องจริง กรณีที่ไม่มีเศษส่วนพบได้น้อยกว่ามาก เตรียมพร้อมทางจิตใจและที่สำคัญที่สุดคือในทางเทคนิค

ฉันจะพูดถึงคุณลักษณะบางอย่างของโซลูชันที่ไม่ตรงตามตัวอย่างที่แก้ไขแล้ว

วิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบบางครั้งอาจรวมถึงค่าคงที่ (หรือค่าคงที่) ตัวอย่างเช่น: ตัวแปรพื้นฐานตัวใดตัวหนึ่งมีค่าเท่ากับจำนวนคงที่: ไม่มีอะไรแปลกใหม่ในเรื่องนี้ มันเกิดขึ้น แน่นอน ในกรณีนี้ โซลูชันใด ๆ จะมีห้าในตำแหน่งแรก

ไม่ค่อยมี แต่มีระบบที่ จำนวนสมการ ปริมาณมากขึ้นตัวแปร. วิธีเกาส์ทำงานในสภาวะที่รุนแรงที่สุด ควรนำเมทริกซ์ขยายของระบบไปเป็นรูปแบบขั้นบันไดอย่างใจเย็นตามอัลกอริทึมมาตรฐาน ระบบดังกล่าวอาจไม่สอดคล้องกัน อาจมีวิธีแก้ปัญหามากมาย และน่าแปลกที่อาจมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร

งานบริการ. เครื่องคิดเลขออนไลน์ออกแบบมาเพื่อศึกษาระบบสมการเชิงเส้น โดยปกติในสภาพของปัญหาจะต้องค้นหา วิธีแก้ปัญหาทั่วไปและเฉพาะของระบบ. เมื่อศึกษาระบบสมการเชิงเส้น ปัญหาต่อไปนี้จะได้รับการแก้ไข:

1. ไม่ว่าระบบจะทำงานร่วมกันหรือไม่
2. หากระบบมีความสอดคล้องกันก็จะมีความแน่นอนหรือไม่แน่นอน (เกณฑ์ของความเข้ากันได้ของระบบถูกกำหนดโดยทฤษฎีบท)
3. หากมีการกำหนดระบบแล้วจะหาวิธีแก้ไขเฉพาะได้อย่างไร (ใช้วิธี Cramer, วิธีเมทริกซ์ผกผันหรือวิธี Jordan-Gauss);
4. ถ้าระบบไม่มีกำหนด แล้วจะอธิบายชุดของโซลูชันได้อย่างไร

การจำแนกระบบสมการเชิงเส้น

ระบบสมการเชิงเส้นตามอำเภอใจมีรูปแบบดังนี้
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n = b m

1. ระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้น (จำนวนตัวแปรเท่ากับจำนวนสมการ m = n)
2. ระบบตามอำเภอใจของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น (m > n หรือ m< n).

คำนิยาม. คำตอบของระบบคือชุดของตัวเลขใดๆ c 1 ,c 2 ,...,c n ซึ่งการแทนที่ลงในระบบแทนค่าที่ไม่ทราบที่สัมพันธ์กันจะเปลี่ยนสมการแต่ละระบบให้กลายเป็นเอกลักษณ์

คำนิยาม. สองระบบได้รับการกล่าวขานว่าเทียบเท่ากันหากวิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบแรกคือวิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบที่สองและในทางกลับกัน

คำนิยาม. ระบบที่มีทางออกอย่างน้อยหนึ่งวิธีเรียกว่า ข้อต่อ. ระบบที่ไม่มีวิธีแก้ปัญหาเรียกว่าไม่สอดคล้องกัน

คำนิยาม. ระบบที่มีโซลูชันเฉพาะเรียกว่า แน่ใจและมีมากกว่าหนึ่งวิธีแก้ไขไม่มีกำหนด

อัลกอริทึมสำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

1. ค้นหาอันดับของเมทริกซ์หลักและขยาย หากไม่เท่ากัน ตามทฤษฎีบท Kronecker-Capelli ระบบจะไม่สอดคล้องกัน และนี่คือจุดสิ้นสุดของการศึกษา
2. ให้ rank(A) = rank(B) . เราเลือกผู้เยาว์ขั้นพื้นฐาน ในกรณีนี้ ระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่รู้จักทั้งหมดจะถูกแบ่งออกเป็นสองคลาส ค่าที่ไม่ทราบค่า ซึ่งรวมค่าสัมประสิทธิ์ในค่ารองพื้นฐานเรียกว่า ค่าขึ้นต่อกัน และค่าที่ไม่ทราบค่า ซึ่งไม่รวมค่าสัมประสิทธิ์พื้นฐานในค่ารองพื้นฐาน เรียกว่า ค่าอิสระ โปรดทราบว่าการเลือกสิ่งที่ไม่เป็นที่รู้จักและอิสระนั้นไม่เหมือนกันเสมอไป
3. เราตัดสมการของระบบซึ่งสัมประสิทธิ์ไม่รวมอยู่ในค่ารองพื้นฐาน เนื่องจากเป็นผลที่ตามมาของส่วนที่เหลือ (ตามทฤษฎีบทรองพื้นฐาน)
4. เงื่อนไขของสมการที่มีสิ่งที่ไม่ทราบค่าอิสระจะถูกโอนไปทางด้านขวา เป็นผลให้เราได้ระบบสมการ r ที่มีค่า r ไม่ทราบค่า เทียบเท่ากับระบบที่ให้มา ดีเทอร์มีแนนต์แตกต่างจากศูนย์
5. ระบบผลลัพธ์ได้รับการแก้ไขด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้ วิธี Cramer วิธีเมทริกซ์ผกผัน หรือวิธี Jordan-Gauss พบความสัมพันธ์ที่แสดงตัวแปรตามในรูปของตัวแปรอิสระ

การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) เป็นหัวข้อที่สำคัญที่สุดของหลักสูตรพีชคณิตเชิงเส้นอย่างไม่ต้องสงสัย ปัญหาจำนวนมากจากสาขาคณิตศาสตร์ทั้งหมดถูกลดขนาดลงไปจนถึงการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ปัจจัยเหล่านี้อธิบายเหตุผลในการสร้างบทความนี้ เนื้อหาของบทความได้รับการคัดเลือกและจัดโครงสร้างเพื่อให้คุณสามารถ

• เลือกวิธีการที่เหมาะสมที่สุดในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นของคุณ
• ศึกษาทฤษฎีของวิธีการที่เลือก
• แก้ระบบสมการเชิงเส้นของคุณโดยพิจารณารายละเอียดการแก้ปัญหาของตัวอย่างและปัญหาทั่วไป

คำอธิบายสั้น ๆ ของเนื้อหาของบทความ

ให้หมดเลยก่อน คำจำกัดความที่จำเป็นแนวคิดและการแนะนำสัญกรณ์

ต่อไป เราจะพิจารณาวิธีการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น โดยที่จำนวนสมการจะเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักและมีคำตอบเฉพาะ อันดับแรก มาเน้นที่วิธี Cramer กัน ประการที่สอง เราจะแสดงวิธีเมทริกซ์สำหรับการแก้ระบบสมการดังกล่าว และประการที่สาม เราจะวิเคราะห์วิธีเกาส์ (วิธีการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักอย่างต่อเนื่อง) ในการรวมทฤษฎีนี้เข้าด้วยกัน เราจะแก้ปัญหา SLAE ต่างๆ ด้วยวิธีต่างๆ นานาอย่างแน่นอน

หลังจากนั้น เรามาเริ่มระบบการแก้สมการพีชคณิตเชิงเส้น ปริทัศน์ซึ่งจำนวนสมการไม่ตรงกับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักหรือเมทริกซ์หลักของระบบเสื่อมลง เรากำหนดทฤษฎีบท Kronecker-Capelli ซึ่งช่วยให้เราสร้างความเข้ากันได้ของ SLAE ได้ ให้เราวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาของระบบ (ในกรณีที่เข้ากันได้) โดยใช้แนวคิดพื้นฐานของเมทริกซ์รองลงมา เราจะพิจารณาวิธีเกาส์และอธิบายรายละเอียดวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่าง

ให้แน่ใจว่าได้อาศัยโครงสร้างของการแก้ปัญหาทั่วไปของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกันของสมการพีชคณิตเชิงเส้น ให้เราให้แนวคิดเกี่ยวกับระบบพื้นฐานของโซลูชันและแสดงให้เห็นว่าโซลูชันทั่วไปของ SLAE เขียนอย่างไรโดยใช้เวกเตอร์ของระบบพื้นฐานของโซลูชัน เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้น มาดูตัวอย่างกัน

โดยสรุป เราพิจารณาระบบของสมการที่ลดรูปเป็นสมการเชิงเส้น ตลอดจนปัญหาต่างๆ ในการแก้ที่ SLAE เกิดขึ้น

การนำทางหน้า

คำจำกัดความแนวคิดการกำหนด

เราจะพิจารณาระบบของสมการพีชคณิตเชิงเส้น p ที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก n ตัว (p อาจเท่ากับ n ) ของรูปแบบ

ตัวแปรที่ไม่รู้จัก - สัมประสิทธิ์ (จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนบางส่วน) - สมาชิกอิสระ (เช่น จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน)

รูปแบบของ SLAE นี้เรียกว่า ประสานงาน.

ที่ รูปแบบเมทริกซ์ระบบสมการนี้มีรูปแบบ ,
ที่ไหน - เมทริกซ์หลักของระบบ - เมทริกซ์คอลัมน์ของตัวแปรที่ไม่รู้จัก - เมทริกซ์คอลัมน์ของสมาชิกอิสระ

หากเราบวกเมทริกซ์ A เป็นคอลัมน์ที่ (n + 1) - คอลัมน์เมทริกซ์ของเทอมอิสระ เราจะได้สิ่งที่เรียกว่า เมทริกซ์แบบขยายระบบสมการเชิงเส้น โดยปกติเมทริกซ์เสริมจะแสดงด้วยตัวอักษร T และคอลัมน์ของสมาชิกอิสระจะถูกคั่นด้วยเส้นแนวตั้งจากส่วนที่เหลือของคอลัมน์นั่นคือ

โดยการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นเรียกว่าชุดค่าของตัวแปรที่ไม่รู้จัก ซึ่งเปลี่ยนสมการทั้งหมดของระบบให้เป็นข้อมูลประจำตัว สมการเมทริกซ์สำหรับค่าที่กำหนดของตัวแปรที่ไม่รู้จักก็จะกลายเป็นข้อมูลประจำตัวเช่นกัน

ถ้าระบบสมการมีคำตอบอย่างน้อย 1 ข้อ เรียกว่า ข้อต่อ.

ถ้าระบบสมการไม่มีคำตอบ เรียกว่า เข้ากันไม่ได้.

หาก SLAE มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ เรียกว่า แน่ใจ; หากมีมากกว่าหนึ่งวิธี - ไม่แน่นอน.

ถ้าเงื่อนไขอิสระของสมการทั้งหมดของระบบมีค่าเท่ากับศูนย์ จากนั้นระบบจะเรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกัน, มิฉะนั้น - ต่างกัน.

คำตอบของระบบเบื้องต้นของสมการพีชคณิตเชิงเส้น

หากจำนวนสมการระบบเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักและดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักไม่เท่ากับศูนย์ เราจะเรียก SLAE ดังกล่าว ประถม. ระบบสมการดังกล่าวมีคำตอบเฉพาะ และในกรณีของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน ตัวแปรที่ไม่รู้จักทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์

เราเริ่มศึกษา SLAE ดังกล่าวใน มัธยม. เมื่อแก้สมการ เราได้เอาสมการหนึ่ง แสดงตัวแปรที่ไม่รู้จักหนึ่งตัวในรูปของตัวแปรอื่น แล้วแทนที่มันลงในสมการที่เหลือ จากนั้นจึงนำสมการถัดไป แทนค่าตัวแปรที่ไม่รู้จักตัวถัดไป และแทนที่ลงในสมการอื่น เป็นต้น หรือพวกเขาใช้วิธีบวก นั่นคือ พวกเขาเพิ่มสมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไปเพื่อกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักบางตัว เราจะไม่กล่าวถึงรายละเอียดวิธีการเหล่านี้ เนื่องจากเป็นการดัดแปลงวิธีการเกาส์เป็นหลัก

วิธีหลักในการแก้ระบบเบื้องต้นของสมการเชิงเส้นคือ วิธีแครมเมอร์ วิธีเมทริกซ์ และวิธีการเกาส์ มาจัดเรียงพวกเขากัน

การแก้สมการเชิงเส้นโดยวิธีแครมเมอร์

ให้เราต้องแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

โดยที่จำนวนสมการจะเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักและดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบจะแตกต่างจากศูนย์ นั่นคือ .

อนุญาต เป็นดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบและ เป็นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้จาก A โดยการแทนที่ ที่ 1, 2, …, nthคอลัมน์ตามลำดับไปยังคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ:

ด้วยสัญกรณ์ดังกล่าว ตัวแปรที่ไม่รู้จักจะถูกคำนวณโดยสูตรของวิธีแครมเมอร์เป็น . นี่คือวิธีหาคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยวิธีแครมเมอร์

ตัวอย่าง.

วิธีแครมเมอร์ .

วิธีการแก้.

เมทริกซ์หลักของระบบมีรูปแบบ . คำนวณดีเทอร์มีแนนต์ (หากจำเป็น ให้ดูบทความ):

เนื่องจากดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบไม่เป็นศูนย์ ระบบจึงมีโซลูชันเฉพาะที่สามารถพบได้โดยวิธีของแครมเมอร์

เขียนและคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่จำเป็น (ดีเทอร์มิแนนต์ได้มาจากการแทนที่คอลัมน์แรกในเมทริกซ์ A ด้วยคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ ดีเทอร์มิแนนต์ - โดยการแทนที่คอลัมน์ที่สองด้วยคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ - โดยการแทนที่คอลัมน์ที่สามของเมทริกซ์ A ด้วยคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ ):

การหาตัวแปรที่ไม่รู้จักโดยใช้สูตร :

ตอบ:

ข้อเสียเปรียบหลักของวิธีการของแครมเมอร์ (ถ้าเรียกได้ว่าเสียเปรียบ) คือความซับซ้อนของการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์เมื่อจำนวนสมการระบบมากกว่าสามสมการ

การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยวิธีเมทริกซ์ (โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน)

ให้ระบบของสมการพีชคณิตเชิงเส้นกำหนดในรูปแบบเมทริกซ์ โดยที่เมทริกซ์ A มีมิติ n คูณ n และดีเทอร์มีแนนต์ไม่เป็นศูนย์

เนื่องจาก ดังนั้นเมทริกซ์ A จึงพลิกกลับได้ นั่นคือ มีเมทริกซ์ผกผัน หากเราคูณความเท่าเทียมกันทั้งสองส่วนด้วยทางซ้าย เราก็จะได้สูตรการหาเมทริกซ์คอลัมน์ของตัวแปรที่ไม่รู้จัก เราก็ได้คำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยวิธีเมทริกซ์

ตัวอย่าง.

แก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีเมทริกซ์

วิธีการแก้.

มาเขียนระบบสมการใหม่ในรูปแบบเมทริกซ์กัน:

เพราะ

จากนั้น SLAE จะสามารถแก้ไขได้โดยวิธีเมทริกซ์ การใช้เมทริกซ์ผกผัน สามารถหาคำตอบของระบบนี้ได้ดังนี้ .

มาสร้างเมทริกซ์ผกผันโดยใช้เมทริกซ์ขององค์ประกอบเชิงพีชคณิตขององค์ประกอบของเมทริกซ์ A (ถ้าจำเป็น ดูบทความ):

มันยังคงคำนวณ - เมทริกซ์ของตัวแปรที่ไม่รู้จักโดยการคูณเมทริกซ์ผกผัน บนคอลัมน์เมทริกซ์ของสมาชิกอิสระ (หากจำเป็น ดูบทความ):

ตอบ:

หรือในอีกรูปแบบหนึ่ง x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1

ปัญหาหลักในการหาคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยวิธีเมทริกซ์คือความซับซ้อนของการหาเมทริกซ์ผกผัน โดยเฉพาะเมทริกซ์กำลังสองที่มีลำดับสูงกว่าลำดับที่สาม

การแก้สมการเชิงเส้นโดยวิธีเกาส์

สมมติว่าเราต้องหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น n ตัวที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก n ตัว
ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักซึ่งแตกต่างจากศูนย์

สาระสำคัญของวิธีเกาส์ประกอบด้วยการยกเว้นต่อเนื่องของตัวแปรที่ไม่รู้จัก: อันดับแรก x 1 ถูกแยกออกจากสมการทั้งหมดของระบบ เริ่มจากที่สอง จากนั้น x 2 จะถูกแยกออกจากสมการทั้งหมด โดยเริ่มจากตัวที่สาม เป็นต้น จนกระทั่งมีเพียงตัวแปรที่ไม่รู้จัก x n ยังคงอยู่ในสมการสุดท้าย กระบวนการเปลี่ยนสมการของระบบสำหรับการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักอย่างต่อเนื่องเรียกว่า วิธีเกาส์โดยตรง. หลังจากการวิ่งไปข้างหน้าของวิธีเกาส์เซียนเสร็จสิ้นแล้ว จะพบ x n จากสมการที่แล้ว x n-1 คำนวณจากสมการสุดท้ายโดยใช้ค่านี้ ไปเรื่อยๆ จะพบ x 1 จากสมการแรก กระบวนการคำนวณตัวแปรที่ไม่รู้จักเมื่อย้ายจากสมการสุดท้ายของระบบไปยังสมการแรกเรียกว่า วิธีเกาส์ย้อนกลับ.

ให้เราอธิบายสั้นๆ เกี่ยวกับอัลกอริทึมสำหรับกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก

เราจะถือว่า เนื่องจากเราสามารถบรรลุสิ่งนี้ได้เสมอโดยการจัดเรียงสมการของระบบใหม่ เราแยกตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 ออกจากสมการทั้งหมดของระบบ โดยเริ่มจากสมการที่สอง ในการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มสมการแรกคูณด้วยสมการที่สองของระบบ บวกตัวแรกคูณกับสมการที่สาม แล้วต่อไปเรื่อย ๆ ให้บวกตัวแรกคูณด้วยสมการที่ n ระบบสมการหลังจากการแปลงดังกล่าวจะอยู่ในรูปแบบ

ที่ไหน .

เราจะได้ผลลัพธ์เดียวกันถ้าเราแสดง x 1 ในรูปของตัวแปรที่ไม่รู้จักอื่น ๆ ในสมการแรกของระบบและแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์เป็นสมการอื่นทั้งหมด ดังนั้น ตัวแปร x 1 จึงไม่รวมอยู่ในสมการทั้งหมด โดยเริ่มจากสมการที่สอง

ต่อไปเราทำหน้าที่คล้าย ๆ กัน แต่มีเพียงส่วนหนึ่งของระบบผลลัพธ์ซึ่งระบุไว้ในรูป

เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้เพิ่มตัวที่สองคูณด้วยสมการที่สามของระบบ บวกตัวที่สองคูณด้วยสมการที่สี่ และอื่นๆ บวกตัวที่สองคูณด้วยสมการที่ n ระบบสมการหลังจากการแปลงดังกล่าวจะอยู่ในรูปแบบ

ที่ไหน . ดังนั้น ตัวแปร x 2 จึงไม่รวมอยู่ในสมการทั้งหมด โดยเริ่มจากตัวที่สาม

ต่อไปเราดำเนินการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จัก x 3 ในขณะที่ทำหน้าที่คล้ายกับส่วนของระบบที่ทำเครื่องหมายไว้ในรูป

ดังนั้นเราจึงดำเนินการตามแนวทางของเกาส์โดยตรงจนกว่าระบบจะใช้รูปแบบ

จากช่วงเวลานี้ เราเริ่มต้นเส้นทางย้อนกลับของวิธีเกาส์: เราคำนวณ x n จากสมการสุดท้ายเป็น โดยใช้ค่าที่ได้รับของ x n เราจะพบ x n-1 จากสมการสุดท้าย และต่อไป เราจะพบ x 1 จาก สมการแรก

ตัวอย่าง.

แก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีเกาส์เซียน

วิธีการแก้.

แยกตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 ออกจากสมการที่สองและสามของระบบ ในการทำเช่นนี้ สำหรับทั้งสองส่วนของสมการที่สองและสาม เราได้เพิ่มส่วนที่ตรงกันของสมการแรก คูณด้วย และ ตามลำดับ:

ตอนนี้เราแยก x 2 ออกจากสมการที่สามโดยบวกส่วนซ้ายและขวาของสมการที่สองในส่วนซ้ายและขวา คูณด้วย:

ในเรื่องนี้การส่งต่อของวิธี Gauss เสร็จสิ้นแล้วเราเริ่มหลักสูตรย้อนกลับ

จากสมการสุดท้ายของระบบผลลัพธ์ของสมการ เราพบ x 3:

จากสมการที่สองเราจะได้

จากสมการแรก เราจะพบตัวแปรที่ไม่รู้จักที่เหลืออยู่ และจะเป็นการดำเนินการย้อนกลับของวิธีเกาส์

ตอบ:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1

การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นของรูปแบบทั่วไป

ในกรณีทั่วไป จำนวนสมการของระบบ p ไม่ตรงกับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก n:

SLAE ดังกล่าวอาจไม่มีวิธีแก้ปัญหา มีวิธีแก้ปัญหาเดียว หรือมีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน คำสั่งนี้ยังใช้กับระบบสมการที่มีเมทริกซ์หลักเป็นกำลังสองและเสื่อมลง

ทฤษฎีบทโครเนคเกอร์-คาเปลลี

ก่อนที่จะหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น จำเป็นต้องสร้างความเข้ากันได้ของมันเสียก่อน คำตอบสำหรับคำถามเมื่อ SLAE เข้ากันได้ และเมื่อเข้ากันไม่ได้ ให้ ทฤษฎีบทโครเนคเกอร์–คาเปลลี:
สำหรับระบบของสมการ p ที่มี n ค่าที่ไม่ทราบค่า (p สามารถเท่ากับ n ได้) เพื่อให้สอดคล้องกัน มีความจำเป็นและเพียงพอที่อันดับของเมทริกซ์หลักของระบบจะเท่ากับอันดับของเมทริกซ์แบบขยาย นั่นคือ อันดับ( A)=อันดับ(T) .

ให้เราพิจารณาการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบท Kronecker-Cappelli เพื่อพิจารณาความเข้ากันได้ของระบบสมการเชิงเส้นเป็นตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

ค้นหาว่าระบบสมการเชิงเส้นมีหรือไม่ โซลูชั่น

วิธีการแก้.

. ให้เราใช้วิธีตีกรอบผู้เยาว์ รองลงมาของลำดับที่สอง แตกต่างจากศูนย์ มาดูผู้เยาว์อันดับสามที่อยู่รายรอบกัน:

เนื่องจากผู้เยาว์ลำดับที่สามที่มีพรมแดนติดกันทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ลำดับของเมทริกซ์หลักจึงเป็นสอง

ในทางกลับกัน ลำดับของเมทริกซ์เสริม เท่ากับสามเนื่องจากผู้เยาว์ของลำดับที่สาม

แตกต่างจากศูนย์

ทางนี้, Rang(A) ดังนั้น ตามทฤษฎีบท Kronecker-Capelli เราสามารถสรุปได้ว่าระบบเดิมของสมการเชิงเส้นไม่สอดคล้องกัน

ตอบ:

ไม่มีระบบการแก้ปัญหา

ดังนั้นเราจึงได้เรียนรู้ที่จะสร้างความไม่สอดคล้องกันของระบบโดยใช้ทฤษฎีบทโครเนคเกอร์-คาเปลลี

แต่จะค้นหาวิธีแก้ปัญหาของ SLAE ได้อย่างไรหากสร้างความเข้ากันได้

ในการทำสิ่งนี้ เราต้องการแนวคิดของฐานรองของเมทริกซ์และทฤษฎีบทที่อันดับของเมทริกซ์

เรียกลำดับรองลงมาของเมทริกซ์ A ที่ไม่ใช่ศูนย์ ขั้นพื้นฐาน.

จากคำจำกัดความของพื้นฐานรองลงมาคือลำดับที่เท่ากับอันดับของเมทริกซ์ สำหรับเมทริกซ์ A ที่ไม่ใช่ศูนย์ สามารถมีตัวรองพื้นฐานได้หลายตัว จะมีตัวรองพื้นฐานตัวเดียวเสมอ

ตัวอย่างเช่น พิจารณาเมทริกซ์ .

ตัวรองอันดับสามทั้งหมดของเมทริกซ์นี้มีค่าเท่ากับศูนย์ เนื่องจากองค์ประกอบของแถวที่สามของเมทริกซ์นี้คือผลรวมขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวที่หนึ่งและที่สอง

รองลงมาของลำดับที่สองเป็นพื้นฐาน เนื่องจากไม่ใช่ศูนย์

ผู้เยาว์ ไม่เป็นพื้นฐาน เนื่องจากมีค่าเท่ากับศูนย์

ทฤษฎีบทอันดับเมทริกซ์

หากอันดับของเมทริกซ์ของคำสั่ง p โดย n คือ r ดังนั้นองค์ประกอบทั้งหมดของแถว (และคอลัมน์) ของเมทริกซ์ที่ไม่อยู่ในเกณฑ์พื้นฐานที่เลือกจะแสดงเป็นเส้นตรงในแง่ขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถว (และคอลัมน์) ) ที่เป็นพื้นฐานรองลงมา

ทฤษฎีบทอันดับเมทริกซ์ให้อะไรเราบ้าง?

หากโดยทฤษฎีบท Kronecker-Capelli เราได้สร้างความเข้ากันได้ของระบบแล้ว เราเลือกเมทริกซ์รองพื้นฐานของระบบ (ลำดับเท่ากับ r) และแยกสมการที่ไม่ทั้งหมดออกจากระบบ สร้างผู้เยาว์ขั้นพื้นฐานที่เลือก SLAE ที่ได้รับด้วยวิธีนี้จะเทียบเท่ากับสมการดั้งเดิม เนื่องจากสมการที่ถูกทิ้งไปนั้นยังคงซ้ำซ้อน (ตามทฤษฎีบทอันดับเมทริกซ์ พวกมันเป็นการรวมกันเชิงเส้นของสมการที่เหลือ)

เป็นผลให้หลังจากละทิ้งสมการที่มากเกินไปของระบบ เป็นไปได้สองกรณี

หากจำนวนสมการ r ในระบบผลลัพธ์เท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก ก็จะสามารถระบุได้แน่นอนและวิธี Cramer, วิธีเมทริกซ์ หรือวิธีเกาส์จะพบคำตอบเดียว

ตัวอย่าง.

.

วิธีการแก้.

อันดับเมทริกซ์หลักของระบบ เท่ากับสองเนื่องจากรองลงมาของลำดับที่สอง แตกต่างจากศูนย์ อันดับเมทริกซ์แบบขยาย ก็เท่ากับสองเช่นกัน เนื่องจากตัวรองเพียงตัวเดียวในลำดับที่สามมีค่าเท่ากับศูนย์

และลำดับรองลงมาของลำดับที่สองที่พิจารณาข้างต้นนั้นแตกต่างจากศูนย์ ตามทฤษฎีบท Kronecker-Capelli เราสามารถยืนยันความเข้ากันได้ของระบบดั้งเดิมของสมการเชิงเส้นตั้งแต่ Rank(A)=Rank(T)=2

เป็นพื้นฐานรอง เราใช้ . มันถูกสร้างขึ้นโดยสัมประสิทธิ์ของสมการที่หนึ่งและสอง:


สมการที่สามของระบบไม่ได้มีส่วนร่วมในการก่อตัวของพื้นฐานรอง ดังนั้นเราจึงแยกมันออกจากระบบตามทฤษฎีบทอันดับเมทริกซ์:


เราก็เลย ระบบประถมสมการพีชคณิตเชิงเส้น มาแก้ปัญหาด้วยวิธีของแครมเมอร์:


ตอบ:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2

หากจำนวนสมการ r ในผลลัพธ์ SLAE มีค่าน้อยกว่าจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก n เราจะปล่อยให้เทอมที่สร้างตัวรองพื้นฐานไว้ในส่วนด้านซ้ายของสมการ และโอนพจน์ที่เหลือไปยังส่วนขวาของสมการของ ระบบที่มีเครื่องหมายตรงข้าม

ตัวแปรที่ไม่รู้จัก (มี r อยู่) ทางด้านซ้ายมือของสมการเรียกว่า หลัก.

ตัวแปรที่ไม่รู้จัก (มี n - r) ที่สิ้นสุดทางด้านขวาเรียกว่า ฟรี.

ตอนนี้ เราคิดว่าตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระสามารถรับค่าได้โดยพลการ ในขณะที่ตัวแปรที่ไม่รู้จักหลัก r จะแสดงในรูปของตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระในลักษณะเฉพาะ นิพจน์ของพวกเขาสามารถพบได้โดยการแก้ SLAE ที่เป็นผลลัพธ์โดยวิธี Cramer, วิธีเมทริกซ์ หรือวิธีเกาส์

ลองมาดูตัวอย่างกัน

ตัวอย่าง.

แก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น .

วิธีการแก้.

ค้นหาอันดับของเมทริกซ์หลักของระบบ โดยวิธีผู้เยาว์ที่มีพรมแดนติด ให้เราใช้ 1 1 = 1 เป็นตัวรองอันดับ 1 ที่ไม่ใช่ศูนย์ เรามาเริ่มค้นหาผู้เยาว์อันดับสองที่ไม่ใช่ศูนย์ที่อยู่รายล้อมผู้เยาว์รายนี้:


เราจึงพบตัวรองที่ไม่เป็นศูนย์ของลำดับที่สอง มาเริ่มค้นหาลำดับรองที่สามที่ไม่เป็นศูนย์:


ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์หลักคือสาม อันดับของเมทริกซ์เสริมก็เท่ากับสามนั่นคือระบบมีความสอดคล้องกัน

ผู้เยาว์ที่ไม่ใช่ศูนย์ที่พบในลำดับที่สามจะถูกนำมาเป็นลำดับพื้นฐาน

เพื่อความชัดเจน เราแสดงองค์ประกอบที่เป็นพื้นฐานรองลงมา:


เราปล่อยให้เงื่อนไขที่เข้าร่วมในผู้เยาว์พื้นฐานทางด้านซ้ายของสมการของระบบ และโอนที่เหลือด้วยเครื่องหมายตรงข้ามทางด้านขวา:


เราให้ค่าตัวแปรที่ไม่รู้จักฟรี x 2 และ x 5 นั่นคือเราใช้ อยู่ที่ไหนเป็นตัวเลขโดยพลการ ในกรณีนี้ SLAE จะอยู่ในรูปแบบ


เราแก้ระบบเบื้องต้นที่ได้รับของสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยวิธีแครมเมอร์:


เพราะเหตุนี้, .

ในคำตอบ อย่าลืมระบุตัวแปรที่ไม่รู้จัก

ตอบ:

อยู่ที่ไหนเป็นตัวเลขโดยพลการ

สรุป.

ในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นของรูปแบบทั่วไป ก่อนอื่นเราต้องหาความเข้ากันได้โดยใช้ทฤษฎีบท Kronecker-Capelli หากอันดับของเมทริกซ์หลักไม่เท่ากับอันดับของเมทริกซ์แบบขยาย เราก็สรุปได้ว่าระบบไม่สอดคล้องกัน

หากอันดับของเมทริกซ์หลักเท่ากับอันดับของเมทริกซ์แบบขยาย เราจะเลือกไมเนอร์พื้นฐานและละทิ้งสมการของระบบที่ไม่มีส่วนร่วมในการก่อตัวของไมเนอร์พื้นฐานที่เลือก

หากลำดับของฐานรองเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก SLAE ก็มีโซลูชันเฉพาะ ซึ่งสามารถพบได้โดยวิธีใดๆ ที่เรารู้จัก

หากลำดับของฐานรองน้อยกว่าจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก ทางด้านซ้ายของสมการของระบบเราจะปล่อยให้เงื่อนไขอยู่กับตัวแปรหลักที่ไม่รู้จัก โอนเงื่อนไขที่เหลือไปทางขวาและกำหนดค่าตามอำเภอใจ ​ไปยังตัวแปรที่ไม่รู้จักฟรี จากระบบผลลัพธ์ของสมการเชิงเส้น เราพบตัวแปรหลักที่ไม่รู้จักโดยวิธีแครมเมอร์ วิธีเมทริกซ์ หรือวิธีเกาส์

วิธีเกาส์สำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นของรูปแบบทั่วไป

ด้วยวิธีเกาส์ เราสามารถแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นแบบใดก็ได้โดยไม่ต้องมีการตรวจสอบความเข้ากันได้เบื้องต้น กระบวนการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักอย่างต่อเนื่องทำให้สามารถสรุปเกี่ยวกับทั้งความเข้ากันได้และความไม่สอดคล้องกันของ SLAE ได้ และหากมีวิธีแก้ปัญหา ก็จะทำให้สามารถค้นหาได้

จากมุมมองของงานคำนวณ วิธีเกาส์เซียนจะดีกว่า

ดูมัน คำอธิบายโดยละเอียดและวิเคราะห์ตัวอย่างในบทความ วิธีเกาส์สำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นของรูปแบบทั่วไป

การบันทึกการแก้ปัญหาทั่วไปของระบบพีชคณิตเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกันโดยใช้เวกเตอร์ของระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา

ในส่วนนี้ เราจะเน้นที่ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกันร่วมกันของสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่มีคำตอบเป็นจำนวนอนันต์

มาจัดการกับระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันก่อน

ระบบการตัดสินใจขั้นพื้นฐานระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันของสมการพีชคณิตเชิงเส้น p ที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก n ตัว คือชุดของ (n – r) คำตอบอิสระเชิงเส้นของระบบนี้ โดยที่ r คือลำดับของฐานรองของเมทริกซ์หลักของระบบ

หากเรากำหนดคำตอบเชิงเส้นตรงของ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกันเป็น X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) เป็นคอลัมน์เมทริกซ์ของมิติ n โดย 1 ) จากนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันนี้จะแสดงเป็นการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ของระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาด้วยค่าสัมประสิทธิ์คงที่โดยพลการ С 1 , С 2 , …, С (n-r) นั่นคือ .

คำตอบทั่วไปของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันของสมการพีชคณิตเชิงเส้น (oroslau) หมายถึงอะไร

ความหมายง่ายๆ คือ สูตรกำหนดทุกอย่าง การแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ SLAE ดั้งเดิมกล่าวอีกนัยหนึ่งโดยใช้ชุดของค่าคงที่โดยพลการ С 1 , С 2 , …, С (n-r) ตามสูตรที่เราได้รับหนึ่งในวิธีแก้ปัญหาของ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกันดั้งเดิม

ดังนั้น หากเราพบระบบพื้นฐานของโซลูชัน เราก็สามารถตั้งค่าโซลูชันทั้งหมดของ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกันนี้เป็น

ให้เราแสดงขั้นตอนการสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาสำหรับ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกัน

เราเลือกรองพื้นฐานของระบบสมการเชิงเส้นดั้งเดิม แยกสมการอื่นๆ ทั้งหมดออกจากระบบ และย้ายไปยังด้านขวามือของสมการของระบบที่มีเครื่องหมายตรงข้าม ทุกพจน์ที่มีตัวแปรไม่ทราบค่าอิสระ ให้ค่าตัวแปรที่ไม่รู้จักฟรีเป็นค่า 1,0,0,…,0 และคำนวณค่าที่ไม่รู้จักหลักโดยการแก้ระบบเบื้องต้นที่เป็นผลลัพธ์ของสมการเชิงเส้นในลักษณะใด ๆ เช่นโดยวิธี Cramer ดังนั้น จะได้ X (1) - โซลูชันแรกของระบบพื้นฐาน ถ้าเราให้ค่าที่ไม่รู้จักฟรี 0,1,0,0,…,0 และคำนวณค่าที่ไม่รู้จักหลัก เราก็จะได้ X (2) . และอื่นๆ. หากเราให้ค่าตัวแปรที่ไม่รู้จักฟรีกับค่า ​​0,0,…,0,1 และคำนวณค่าที่ไม่รู้จักหลักเราจะได้ X (n-r) นี่คือวิธีการสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาของ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกันและสามารถเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปได้ในรูปแบบ

สำหรับระบบที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันของสมการพีชคณิตเชิงเส้น คำตอบทั่วไปจะแสดงเป็น

มาดูตัวอย่างกัน

ตัวอย่าง.

ค้นหาระบบพื้นฐานของคำตอบและคำตอบทั่วไปของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันของสมการพีชคณิตเชิงเส้น .

วิธีการแก้.

อันดับของเมทริกซ์หลักของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันของสมการเชิงเส้นจะเท่ากับอันดับของเมทริกซ์แบบขยายเสมอ ให้เราหาอันดับของเมทริกซ์หลักโดยวิธี fring minors ในฐานะที่เป็นผู้เยาว์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของลำดับแรก เราใช้องค์ประกอบ a 1 1 = 9 ของเมทริกซ์หลักของระบบ ค้นหารองรองที่ไม่ใช่ศูนย์ของลำดับที่สอง:

พบอันดับรองของลำดับที่สองซึ่งแตกต่างจากศูนย์ มาดูผู้เยาว์อันดับสามที่มีพรมแดนติดกับมันเพื่อค้นหาผู้เยาว์ที่ไม่ใช่ศูนย์:

ผู้เยาว์ที่มีพรมแดนติดกับลำดับที่สามทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์หลักและเมทริกซ์ขยายคือสอง ลองมาดูพื้นฐานรองลงมา เพื่อความชัดเจน เราสังเกตองค์ประกอบของระบบที่ประกอบเป็นมัน:

สมการที่สามของ SLAE ดั้งเดิมไม่ได้มีส่วนร่วมในการก่อตัวของผู้เยาว์ขั้นพื้นฐาน ดังนั้นจึงสามารถยกเว้นได้:

เราปล่อยให้เทอมที่ประกอบด้วยสิ่งที่ไม่รู้หลัก ๆ อยู่ทางด้านขวามือของสมการ และโอนเงื่อนไขที่ไม่ทราบค่าว่างไปทางขวามือ:

ให้เราสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาของระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันดั้งเดิม ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาของ SLAE นี้ประกอบด้วยสองวิธีแก้ปัญหา เนื่องจาก SLAE ดั้งเดิมประกอบด้วยตัวแปรที่ไม่รู้จักสี่ตัว และลำดับของรองลงมาคือสองตัวแปร ในการค้นหา X (1) เราให้ค่าตัวแปรที่ไม่รู้จักฟรี x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 จากนั้นเราจะพบค่าที่ไม่รู้จักหลักจากระบบสมการ
.