สูตรการหาโคไซน์ระหว่างเวกเตอร์ ผลิตภัณฑ์ Dot ของเวกเตอร์

การเรียนการสอน

ให้เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวบนระนาบ โดยพล็อตจากจุดหนึ่ง: เวกเตอร์ A พร้อมพิกัด (x1, y1) B พร้อมพิกัด (x2, y2) ฉีดระหว่างพวกเขาจะแสดงเป็น θ ในการหาหน่วยวัดองศาของมุม θ คุณต้องใช้นิยามของผลิตภัณฑ์สเกลาร์

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวเป็นตัวเลขที่เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน นั่นคือ (A,B)=|A|*|B|*cos(θ) . ตอนนี้คุณต้องแสดงโคไซน์ของมุมจากสิ่งนี้: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|)

ผลคูณของสเกลาร์สามารถหาได้โดยใช้สูตร (A,B)=x1*x2+y1*y2 เนื่องจากผลคูณของสอง เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์ที่สอดคล้องกัน หากผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์เท่ากับศูนย์ เวกเตอร์จะตั้งฉาก (มุมระหว่างพวกมันคือ 90 องศา) และสามารถละเว้นการคำนวณเพิ่มเติมได้ ถ้าผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวเป็นบวก แสดงว่ามุมระหว่างพวกนี้ เวกเตอร์เฉียบพลันและถ้าเป็นลบแสดงว่ามุมป้าน

ตอนนี้ให้คำนวณความยาวของเวกเตอร์ A และ B โดยใช้สูตร: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²) ความยาวของเวกเตอร์คำนวณเป็น รากที่สองจากผลรวมของกำลังสองของพิกัด

แทนที่ค่าที่พบของผลิตภัณฑ์สเกลาร์และความยาวของเวกเตอร์ลงในสูตรสำหรับมุมที่ได้รับในขั้นตอนที่ 2 นั่นคือ cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+) y1²)+√(x2²+y2²)). ทีนี้ เมื่อรู้ค่าของ , เพื่อค้นหาการวัดองศาของมุมระหว่าง เวกเตอร์คุณต้องใช้ตาราง Bradis หรือนำมาจากสิ่งนี้: θ=arccos(cos(θ))

หากเวกเตอร์ A และ B กำหนดไว้ในปริภูมิสามมิติและมีพิกัด (x1, y1, z1) และ (x2, y2, z2) ตามลำดับ เมื่อหาโคไซน์ของมุมก็จะเพิ่มอีกหนึ่งพิกัด ในกรณีนี้ โคไซน์: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²))

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

หากเวกเตอร์สองตัวไม่ได้ถูกพล็อตจากจุดหนึ่ง ดังนั้นหากต้องการหามุมระหว่างพวกมันด้วยการแปลแบบคู่ขนาน คุณจะต้องรวมจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์เหล่านี้
มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวต้องไม่เกิน 180 องศา

ที่มา:

วิธีการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์
มุมระหว่างเส้นกับระนาบ

ในการแก้ปัญหามากมาย ทั้งประยุกต์และทฤษฎี ในฟิสิกส์และพีชคณิตเชิงเส้น จำเป็นต้องคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ งานที่ดูเหมือนง่ายนี้อาจทำให้เกิดปัญหาได้มากมาย หากคุณไม่เข้าใจสาระสำคัญของผลิตภัณฑ์สเกลาร์อย่างชัดเจนและคุณค่าที่ปรากฏขึ้นจากผลิตภัณฑ์นี้

การเรียนการสอน

มุมระหว่างเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์เชิงเส้นคือมุมต่ำสุดที่ ซึ่งได้ค่าโคไดเร็กชันของเวกเตอร์ เวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งเคลื่อนที่ไปรอบๆ จุดเริ่มต้น จากคำจำกัดความจะเห็นได้ชัดว่าค่าของมุมต้องไม่เกิน 180 องศา (ดูขั้นตอน)

ในกรณีนี้ ถือว่าถูกต้องในปริภูมิเชิงเส้น เมื่อเวกเตอร์ถูกถ่ายโอนขนานกัน มุมระหว่างพวกมันจะไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นสำหรับการคำนวณเชิงวิเคราะห์ของมุม การวางแนวเชิงพื้นที่ของเวกเตอร์จึงไม่สำคัญ

ผลลัพธ์ของดอทโปรดัคคือตัวเลข มิฉะนั้น สเกลาร์ จำไว้ว่า (สิ่งสำคัญคือต้องรู้) เพื่อป้องกันข้อผิดพลาดในการคำนวณเพิ่มเติม สูตรสำหรับผลคูณสเกลาร์ที่อยู่บนระนาบหรือในช่องว่างของเวกเตอร์มีรูปแบบ (ดูรูปสำหรับขั้นตอน)

หากเวกเตอร์อยู่ในอวกาศ ให้ทำการคำนวณในลักษณะเดียวกัน สิ่งเดียวที่จะปรากฎของเทอมในเงินปันผล - นี่คือเงื่อนไขสำหรับการสมัครเช่น องค์ประกอบที่สามของเวกเตอร์ ดังนั้น เมื่อคำนวณโมดูลของเวกเตอร์ จะต้องคำนึงถึงองค์ประกอบ z ด้วย จากนั้นสำหรับเวกเตอร์ที่อยู่ในอวกาศ นิพจน์สุดท้ายจะถูกแปลงดังนี้ (ดูรูปที่ 6 ไปยังขั้นตอน)

เวกเตอร์คือส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทางที่กำหนด มุมระหว่างเวกเตอร์มี ความหมายทางกายภาพตัวอย่างเช่น เมื่อหาความยาวของเส้นโครงของเวกเตอร์บนแกน

การเรียนการสอน

มุมระหว่างเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวโดยใช้การคำนวณผลคูณดอท ตามคำจำกัดความ ผลิตภัณฑ์จะเท่ากับผลคูณของความยาวและมุมระหว่างพวกมัน ในทางกลับกัน ผลคูณภายในสำหรับเวกเตอร์สองตัว a ที่มีพิกัด (x1; y1) และ b ที่มีพิกัด (x2; y2) ถูกคำนวณ: ab = x1x2 + y1y2 จากสองวิธีนี้ ดอทโปรดัคจะทำมุมระหว่างเวกเตอร์ได้ง่าย

หาความยาวหรือโมดูลของเวกเตอร์ สำหรับเวกเตอร์ของเรา a และ b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2

ค้นหาผลคูณภายในของเวกเตอร์โดยการคูณพิกัดเป็นคู่: ab = x1x2 + y1y2 จากคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ดอท ab = |a|*|b|*cos α โดยที่ α คือมุมระหว่างเวกเตอร์ จากนั้นเราจะได้ x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α จากนั้น cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2

หามุม α โดยใช้ตาราง Bradys

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

บันทึก

ผลคูณสเกลาร์เป็นลักษณะสเกลาร์ของความยาวของเวกเตอร์และมุมระหว่างพวกมัน

เครื่องบินเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานในเรขาคณิต ระนาบคือพื้นผิวที่ข้อความนั้นเป็นจริง - เส้นตรงใดๆ ที่เชื่อมระหว่างจุดสองจุดนั้นเป็นของพื้นผิวนี้ทั้งหมด เครื่องบินถูกกำหนด ตัวอักษรกรีกα, β, γ เป็นต้น ระนาบสองระนาบตัดกันเป็นเส้นตรงที่เป็นของระนาบทั้งสองเสมอ

การเรียนการสอน

พิจารณาครึ่งระนาบ α และ β ที่เกิดขึ้นที่จุดตัดของ มุมที่เกิดจากเส้นตรง a และระนาบครึ่งระนาบ α และ β สองเส้นโดยมุมไดฮีดรัล ในกรณีนี้ ระนาบครึ่งระนาบที่สร้างมุมไดฮีดรัลโดยใบหน้า เส้น a ที่ระนาบตัดกันเรียกว่า ขอบ มุมไดฮีดรัล.

มุมไดฮีดรัลเหมือนมุมแบน หน่วยเป็นองศา ในการสร้างมุมไดฮีดรัลนั้นจำเป็นต้องเลือกจุด O บนใบหน้าโดยพลการ ในทั้งสองรังสี a สองเส้นจะถูกลากผ่านจุด O มุมผลลัพธ์ AOB เรียกว่ามุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล a

ดังนั้น ให้เวกเตอร์ V = (a, b, c) และระนาบ A x + B y + C z = 0 โดยที่ A, B และ C เป็นพิกัดของ N ปกติ แล้วโคไซน์ของมุม α ระหว่างเวกเตอร์ V และ N คือ: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))

ในการคำนวณค่ามุมในหน่วยองศาหรือเรเดียน คุณต้องคำนวณฟังก์ชันผกผันกับโคไซน์จากนิพจน์ผลลัพธ์ กล่าวคือ อาร์คโคไซน์: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)))

ตัวอย่าง: find ฉีดระหว่าง เวกเตอร์(5, -3, 8) และ เครื่องบินกำหนดโดยสมการทั่วไป 2 x - 5 y + 3 z = 0 วิธีแก้ปัญหา: จดพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบ N = (2, -5, 3) ทดแทนทุกอย่าง ค่าที่รู้จักในสูตรข้างต้น: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

เขียนสมการและแยกโคไซน์ออกจากมัน จากสูตรหนึ่ง ผลคูณของเวกเตอร์สเกลาร์เท่ากับความยาวคูณกันและด้วยโคไซน์ มุมและในทางกลับกัน - ผลรวมของผลิตภัณฑ์พิกัดตามแต่ละแกน เท่ากับทั้งสองสูตร เราสามารถสรุปได้ว่าโคไซน์ มุมต้องเท่ากับอัตราส่วนของผลรวมของผลิตภัณฑ์พิกัดต่อผลคูณของความยาวของเวกเตอร์

เขียนสมการผลลัพธ์ ในการทำสิ่งนี้ เราต้องกำหนดเวกเตอร์ทั้งสอง สมมติว่าได้รับในระบบคาร์ทีเซียน 3 มิติและจุดเริ่มต้นอยู่ในตาราง ทิศทางและขนาดของเวกเตอร์แรกจะได้รับจากจุด (X₁,Y₁,Z₁) จุดที่สอง - (X₂,Y₂,Z₂) และมุมจะแสดงด้วยตัวอักษร γ จากนั้น ความยาวของเวกเตอร์แต่ละตัวสามารถเป็นได้ ตัวอย่างเช่น ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่เกิดจากการฉายภาพบนแกนพิกัดแต่ละแกน: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) และ √(X₂² + Y₂² + Z₂²) แทนที่นิพจน์เหล่านี้ในสูตรที่กำหนดในขั้นตอนก่อนหน้า แล้วคุณจะได้ค่าเท่ากัน: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂² ))

ใช้ความจริงที่ว่าผลรวมของกำลังสอง ไซนัสและ co ไซนัสจาก มุมค่าหนึ่งจะให้ค่าหนึ่งเสมอ ดังนั้นโดยการเพิ่มสิ่งที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้าสำหรับ co ไซนัสยกกำลังสองแล้วลบออกจากความสามัคคี แล้ว

เมื่อเรียนเรขาคณิต มีคำถามมากมายเกิดขึ้นในหัวข้อของเวกเตอร์ นักเรียนประสบปัญหาเฉพาะเมื่อจำเป็นต้องหามุมระหว่างเวกเตอร์

เงื่อนไขพื้นฐาน

ก่อนที่จะพิจารณามุมระหว่างเวกเตอร์ จำเป็นต้องทำความคุ้นเคยกับคำจำกัดความของเวกเตอร์และแนวคิดของมุมระหว่างเวกเตอร์

เวกเตอร์คือเซ็กเมนต์ที่มีทิศทาง นั่นคือ เซ็กเมนต์ที่กำหนดจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด

มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวบนระนาบที่มีจุดกำเนิดร่วมคือมุมที่เล็กกว่า ซึ่งจำเป็นต้องเคลื่อนเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งไปรอบๆ จุดร่วม ไปยังตำแหน่งที่ทิศทางตรงกัน

สูตรการแก้ปัญหา

เมื่อคุณเข้าใจว่าเวกเตอร์คืออะไรและกำหนดมุมของเวกเตอร์นั้นอย่างไร คุณสามารถคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ได้ สูตรการแก้ปัญหานี้ค่อนข้างง่ายและผลลัพธ์ของการประยุกต์ใช้จะเป็นค่าของโคไซน์ของมุม ตามคำจำกัดความ มันเท่ากับผลคูณของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์และผลคูณของความยาว

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ถือเป็นผลรวมของพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ตัวคูณคูณกัน ความยาวของเวกเตอร์หรือโมดูลัสคำนวณจากรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัด

เมื่อได้รับค่าโคไซน์ของมุมแล้ว คุณสามารถคำนวณค่าของมุมได้เองโดยใช้เครื่องคิดเลขหรือใช้ ตารางตรีโกณมิติ.

ตัวอย่าง

หลังจากที่คุณทราบวิธีการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์แล้ว การแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องจะกลายเป็นเรื่องง่ายและตรงไปตรงมา ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาปัญหาง่ายๆ ในการค้นหาขนาดของมุม

ก่อนอื่นจะสะดวกกว่าในการคำนวณค่าความยาวของเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์สเกลาร์ที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหา โดยใช้คำอธิบายข้างต้น เราได้รับ:

แทนที่ค่าที่ได้รับลงในสูตรเราจะคำนวณค่าโคไซน์ของมุมที่ต้องการ:

ตัวเลขนี้ไม่ใช่ค่าโคไซน์ทั่วไปหนึ่งในห้า ดังนั้นเพื่อให้ได้ค่ามุม คุณจะต้องใช้เครื่องคิดเลขหรือตารางตรีโกณมิติของ Bradis แต่ก่อนที่จะได้มุมระหว่างเวกเตอร์ สูตรสามารถทำให้ง่ายขึ้นเพื่อกำจัดเครื่องหมายลบเพิ่มเติม:

คำตอบสุดท้ายสามารถทิ้งไว้ในแบบฟอร์มนี้เพื่อรักษาความถูกต้อง หรือจะคำนวณค่าของมุมเป็นองศาก็ได้ ตามตาราง Bradis ค่าของมันจะอยู่ที่ประมาณ 116 องศาและ 70 นาที และเครื่องคิดเลขจะแสดงค่า 116.57 องศา

การคำนวณมุมในปริภูมิ n มิติ

เมื่อพิจารณาเวกเตอร์สองตัวในพื้นที่สามมิติ เป็นการยากที่จะเข้าใจว่าเรากำลังพูดถึงมุมใดหากพวกมันไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน เพื่อทำให้การรับรู้ง่ายขึ้น คุณสามารถวาดส่วนที่ตัดกันสองส่วนที่เป็นมุมที่เล็กที่สุดระหว่างพวกมัน และมันจะเป็นส่วนที่ต้องการ แม้จะมีพิกัดที่สามในเวกเตอร์ แต่กระบวนการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์จะไม่เปลี่ยนแปลง คำนวณผลคูณสเกลาร์และโมดูลของเวกเตอร์ อาร์คโคไซน์ของผลหารและจะเป็นคำตอบสำหรับปัญหานี้

ในเรขาคณิต ปัญหามักเกิดขึ้นกับช่องว่างที่มีมากกว่าสามมิติ แต่สำหรับพวกเขา อัลกอริธึมในการค้นหาคำตอบก็ดูคล้ายกัน

ความแตกต่างระหว่าง 0 ถึง 180 องศา

ข้อผิดพลาดทั่วไปอย่างหนึ่งเมื่อเขียนคำตอบสำหรับปัญหาที่ออกแบบมาเพื่อคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์คือการตัดสินใจที่จะเขียนว่าเวกเตอร์นั้นขนานกัน นั่นคือมุมที่ต้องการกลายเป็น 0 หรือ 180 องศา คำตอบนี้ไม่ถูกต้อง

เมื่อได้ค่ามุมเท่ากับ 0 องศาจากผลลัพธ์ของการแก้ปัญหาแล้ว คำตอบที่ถูกต้องคือกำหนดให้เวกเตอร์เป็นทิศทางร่วม กล่าวคือ เวกเตอร์จะมีทิศทางเดียวกัน ในกรณีที่ได้ 180 องศา เวกเตอร์จะอยู่ในลักษณะของทิศตรงข้าม

เวกเตอร์เฉพาะ

โดยการค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์ จะพบประเภทพิเศษประเภทใดประเภทหนึ่ง นอกเหนือไปจากประเภทที่กำกับร่วมและทิศทางตรงกันข้ามที่อธิบายข้างต้น

เวกเตอร์หลายตัวขนานกับระนาบเดียวเรียกว่าโคพลานาร์
เวกเตอร์ที่มีความยาวและทิศทางเท่ากันเรียกว่าเท่ากัน
เวกเตอร์ที่วางอยู่บนเส้นตรงเดียวกันโดยไม่คำนึงถึงทิศทางเรียกว่า collinear
หากความยาวของเวกเตอร์เป็นศูนย์ นั่นคือ จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดตรงกัน จะเรียกว่าศูนย์ และหากเป็นหนึ่ง จะถูกเรียกว่าหนึ่ง

มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว , :

ถ้ามุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวเป็นมุมแหลม ผลคูณดอทของพวกมันจะเป็นค่าบวก ถ้ามุมระหว่างเวกเตอร์เป็นมุมป้าน ผลคูณของสเกลาร์ของเวกเตอร์พวกนี้จะเป็นลบ ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์เหล่านี้เป็นมุมฉากเท่านั้น

งาน.หามุมระหว่างเวกเตอร์กับ

สารละลาย.โคไซน์ของมุมที่ต้องการ

16. การคำนวณมุมระหว่างเส้นตรง เส้นตรง และระนาบ

มุมระหว่างเส้นกับระนาบตัดเส้นนี้และไม่ตั้งฉากกับมันคือมุมระหว่างเส้นกับการฉายบนระนาบนี้

การกำหนดมุมระหว่างเส้นกับระนาบช่วยให้เราสรุปได้ว่ามุมระหว่างเส้นกับระนาบคือมุมระหว่างเส้นตัดกันสองเส้น: เส้นตรงและการฉายภาพบนระนาบ ดังนั้นมุมระหว่างเส้นกับระนาบจึงเป็นมุมแหลม

มุมระหว่างเส้นตั้งฉากกับระนาบถือว่าเท่ากัน และมุมระหว่างเส้นคู่ขนานกับระนาบไม่ได้ถูกกำหนดเลย หรือถือว่าเท่ากับ

§ 69. การคำนวณมุมระหว่างเส้นตรง

ปัญหาการคำนวณมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นในอวกาศได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกับในระนาบ (§ 32) แทนด้วย φ มุมระหว่างเส้น l 1 และ l 2 , และผ่าน ψ - มุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง แต่ และ ข เส้นตรงเหล่านี้

แล้วถ้า

ψ 90° (รูปที่ 206.6) จากนั้น φ = 180° - ψ เห็นได้ชัดว่าในทั้งสองกรณี ความเท่าเทียมกัน cos φ = |cos ψ| เป็นจริง ตามสูตร (1) § 20 เรามี

เพราะเหตุนี้,

ให้เส้นถูกกำหนดโดยสมการบัญญัติของพวกมัน

จากนั้นกำหนดมุม φ ระหว่างเส้นโดยใช้สูตร

หากเส้นใดเส้นหนึ่ง (หรือทั้งสองอย่าง) ถูกกำหนดโดยสมการที่ไม่เป็นที่ยอมรับ ในการคำนวณมุม คุณต้องหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นเหล่านี้ แล้วใช้สูตร (1)

17. เส้นขนาน, ทฤษฎีบทบนเส้นคู่ขนาน

คำนิยาม.สองเส้นในระนาบเรียกว่า ขนานถ้าไม่มีจุดร่วม

สองเส้นในสามมิติเรียกว่า ขนานหากอยู่ในระนาบเดียวกันและไม่มีจุดร่วม

มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว

จากคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ดอท:

เงื่อนไขมุมฉากของเวกเตอร์สองตัว:

เงื่อนไข Collinearity สำหรับเวกเตอร์สองตัว:

ต่อจากนิยาม 5 - . จากนิยามผลคูณของเวกเตอร์ตามตัวเลข มันตามมาด้วย ดังนั้น ตามกฎความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ เราเขียน , , , ซึ่งหมายถึง . แต่เวกเตอร์ที่เกิดจากการคูณของเวกเตอร์ด้วยตัวเลขจะขนานกับเวกเตอร์นั้น

การฉายภาพเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์:

ตัวอย่างที่ 4. ให้คะแนน , , , .

หาผลคูณสเกลาร์.

สารละลาย. เราหาได้จากสูตรผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่กำหนดโดยพิกัดของพวกมัน ตราบเท่าที่

, ,

ตัวอย่างที่ 5ให้คะแนน , , , .

ค้นหาการฉายภาพ

สารละลาย. ตราบเท่าที่

, ,

จากสูตรการฉายภาพเราได้

ตัวอย่างที่ 6ให้คะแนน , , , .

หามุมระหว่างเวกเตอร์กับ

สารละลาย. สังเกตว่าเวกเตอร์

, ,

ไม่เป็นแนวร่วม เนื่องจากพิกัดไม่เป็นสัดส่วน:

เวกเตอร์เหล่านี้ไม่ได้ตั้งฉากเช่นกัน เนื่องจากดอทโปรดัคของพวกมันคือ

มาหากัน

ฉีด ค้นหาจากสูตร:

ตัวอย่าง 7กำหนดว่าเวกเตอร์ใดและ คอลลิเนียร์

สารละลาย. ในกรณีของ collinearity พิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ และต้องเป็นสัดส่วน กล่าวคือ

จากนี้และ.

ตัวอย่างที่ 8. หาค่าของเวกเตอร์ และ ตั้งฉาก

สารละลาย. เวกเตอร์ และตั้งฉากถ้าดอทโปรดัคเป็นศูนย์ จากเงื่อนไขนี้เราได้รับ: . นั่นคือ, .

ตัวอย่างที่ 9. การค้นหา , ถ้า , , .

สารละลาย. เนื่องจากคุณสมบัติของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ เรามี:

ตัวอย่าง 10. หามุมระหว่างเวกเตอร์กับ , ที่ไหน และ - เวกเตอร์หน่วยและมุมระหว่างเวกเตอร์และเท่ากับ 120o

สารละลาย. เรามี: , ,

ในที่สุดเราก็มี: .

5 ข. ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์.

คำจำกัดความ 21.ศิลปะเวกเตอร์ vector to vector เรียกว่า vector หรือ กำหนดโดยเงื่อนไขสามข้อต่อไปนี้:

1) โมดูลของเวกเตอร์คือ โดยที่มุมระหว่างเวกเตอร์ และ นั่นคือ .

ตามมาด้วยว่าโมดูลัสของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เป็นตัวเลข เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์และด้านข้าง

2) เวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์แต่ละตัวและ ( ; ) เช่น ตั้งฉากกับระนาบของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ และ .

3) เวกเตอร์ถูกกำกับเพื่อที่ว่าหากมองจากจุดสิ้นสุดของมัน การเลี้ยวที่สั้นที่สุดจากเวกเตอร์ไปยังเวกเตอร์จะเป็นทวนเข็มนาฬิกา (เวกเตอร์ , , ก่อตัวเป็นสามทางขวา)

วิธีการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์?

เงื่อนไขพื้นฐาน

สูตรการแก้ปัญหา

เมื่อได้รับค่าโคไซน์ของมุมแล้ว คุณสามารถคำนวณค่าของมุมได้เองโดยใช้เครื่องคิดเลขหรือใช้ตารางตรีโกณมิติ

ตัวอย่าง

แทนที่ค่าที่ได้รับลงในสูตรเราจะคำนวณค่าโคไซน์ของมุมที่ต้องการ:

การคำนวณมุมในปริภูมิ n มิติ

ความแตกต่างระหว่าง 0 ถึง 180 องศา

เวกเตอร์เฉพาะ

เวกเตอร์หลายตัวขนานกับระนาบเดียวเรียกว่าโคพลานาร์
เวกเตอร์ที่มีความยาวและทิศทางเท่ากันเรียกว่าเท่ากัน
เวกเตอร์ที่วางอยู่บนเส้นตรงเดียวกันโดยไม่คำนึงถึงทิศทางเรียกว่า collinear
หากความยาวของเวกเตอร์เป็นศูนย์ นั่นคือ จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดตรงกัน จะเรียกว่าศูนย์ และหากเป็นหนึ่ง จะถูกเรียกว่าหนึ่ง

จะหามุมระหว่างเวกเตอร์ได้อย่างไร?

ช่วยฉันด้วย! รู้สูตรแต่คิดไม่ออก
เวกเตอร์ a (8; 10; 4) เวกเตอร์ b (5; -20; -10)

Alexander Titov

มุมระหว่างเวกเตอร์ที่กำหนดโดยพิกัดนั้นพบได้ตามอัลกอริธึมมาตรฐาน ก่อนอื่นคุณต้องหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ a และ b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2 เราแทนที่พิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้ที่นี่แล้วพิจารณา:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200
ต่อไป เรากำหนดความยาวของเวกเตอร์แต่ละตัว ความยาวหรือโมดูลัสของเวกเตอร์คือรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัด:
|a| = รากของ (x1^2 + y1^2 + z1^2) = รากของ (8^2 + 10^2 + 4^2) = รากของ (64 + 100 + 16) = รากของ 180 = 6 รากของ ห้า
|b| = สแควร์รูทของ (x2^2 + y2^2 + z2^2) = สแควร์รูทของ (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = สแควร์รูทของ (25 + 400 + 100 ) = สแควร์รูทจาก 525 = 5 รูทจาก 21
เราคูณความยาวเหล่านี้ เราได้ 30 รากจาก 105
และสุดท้าย เราหารผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ด้วยผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้ เราได้ -200 / (30 รากจาก 105) หรือ
- (4 รากของ 105) / 63. นี่คือโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ และมุมเองก็เท่ากับโคไซน์อาร์คของเลขนี้
f \u003d arccos (-4 รากจาก 105) / 63.
ถ้านับถูก.

วิธีการคำนวณไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์จากพิกัดของเวกเตอร์

มิคาอิล Tkachev

เราคูณเวกเตอร์เหล่านี้ ดอทโปรดัคของพวกมันเท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้กับโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน
เราไม่รู้จักมุม แต่รู้พิกัด
ลองเขียนมันทางคณิตศาสตร์แบบนี้
ให้ เวกเตอร์ที่กำหนด a(x1;y1) และ b(x2;y2)
แล้ว

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

เราเถียง
ผลคูณ a*b-scalar ของเวกเตอร์ เท่ากับผลรวมของผลคูณของพิกัดที่สอดคล้องกันของพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้ นั่นคือ เท่ากับ x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-ผลคูณของความยาวเวกเตอร์เท่ากับ √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

ดังนั้นโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์คือ:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

เมื่อทราบโคไซน์ของมุมแล้ว เราก็สามารถคำนวณค่าไซน์ของมันได้ มาพูดคุยกันถึงวิธีการทำ:

ถ้าโคไซน์ของมุมเป็นบวก มุมนี้จะอยู่ใน 1 หรือ 4 ในสี่ ดังนั้นไซน์ของมุมจะเป็นบวกหรือลบ แต่เนื่องจากมุมระหว่างเวกเตอร์น้อยกว่าหรือเท่ากับ 180 องศา ไซน์ของมันคือบวก เราโต้แย้งในทำนองเดียวกันถ้าโคไซน์เป็นลบ

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

แค่นั้นแหละ)))) ขอให้โชคดีในการคิดออก)))

Dmitry Levishchev

ความจริงที่ว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะไซน์โดยตรงนั้นไม่เป็นความจริง
นอกเหนือจากสูตร:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
นอกจากนี้ยังมีสิ่งนี้:
||=|a|*|b|*sin A
นั่นคือ แทนที่จะเป็นผลคูณสเกลาร์ คุณสามารถใช้โมดูลของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ได้

"เวกเตอร์สเกลาร์ผลิตภัณฑ์" - ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC ที่มีด้าน 1 ความสูง BD จะถูกวาด ตามคำจำกัดความ กำหนดลักษณะมุม? ระหว่างเวกเตอร์และถ้า: a) b) c) d) ที่ค่าของ t เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ถ้า (2, -1), (4, 3) ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์และแสดงไว้

"Geometry 9 class "Vectors"" - ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด ปัญหาที่ง่ายที่สุดในพิกัด ทดสอบตัวเอง! พิกัดเวกเตอร์ ในปี 1903 O. Henrichi เสนอว่าผลิตภัณฑ์สเกลาร์แสดงด้วยสัญลักษณ์ (a, c) เวกเตอร์เป็นส่วนกำกับ การสลายตัวของเวกเตอร์ในเวกเตอร์พิกัด แนวคิดของเวกเตอร์ การสลายตัวของเวกเตอร์บนระนาบในเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลิเนียร์สองตัว

"เวกเตอร์การแก้ปัญหา" - แสดงเวกเตอร์ AM, DA, CA, MB, CD ในรูปของเวกเตอร์ a และเวกเตอร์ b № 2 แสดงเวกเตอร์ DP, DM, AC ผ่านเวกเตอร์ a และ b อาร์: PD=2:3; AK: KD = 1: 2 แสดงเวกเตอร์ CK, RK ผ่านเวกเตอร์ a และ b BE:EC = 3:1 K อยู่ตรงกลางของ DC VK: KС = 3: 4 แสดงเวกเตอร์ AK, DK ผ่านเวกเตอร์ a และ b การใช้เวกเตอร์ในการแก้ปัญหา (ตอนที่ 1)

"ปัญหาเกี่ยวกับเวกเตอร์" - ทฤษฎีบท หาพิกัด. สามแต้มจะได้รับ จุดยอดของสามเหลี่ยม หาพิกัดของเวกเตอร์ หาพิกัดของจุด หาพิกัดและความยาวของเวกเตอร์ แสดงความยาวของเวกเตอร์ พิกัดเวกเตอร์ พิกัดเวกเตอร์ หาพิกัดของเวกเตอร์ เวกเตอร์จะได้รับ ตั้งชื่อพิกัดของเวกเตอร์ เวกเตอร์มีพิกัด

"วิธีการพิกัดบนเครื่องบิน" - วงกลมถูกวาด ตั้งฉาก แกนพิกัด. ค่าของไซน์ ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนเครื่องบิน หาพิกัดจุดยอด. ขอพิจารณาตัวอย่าง. ทางแก้ไขปัญหานี้ คะแนนจะได้รับบนเครื่องบิน จุดยอดของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ขยายเวกเตอร์ คำนวณ. คะแนนเยอะ. แก้ระบบสมการแบบกราฟิก

"การบวกและการลบเวกเตอร์" - 1. วัตถุประสงค์ของบทเรียน 2. ส่วนหลัก ของคุณมากที่สุด เพื่อนรักคนเดินละเมอ! เรียนรู้วิธีลบเวกเตอร์ 2. ระบุเวกเตอร์ของผลรวมของเวกเตอร์ a และ b เพื่อนของฉัน!! มาดูกันว่าเรามีอะไรที่นี่ เป้าหมายของเรา: บทสรุป 3. รีวิวหัว. 4. รายการอ้างอิง ไปเที่ยวกับคนบ้า จากจุด A เราเลื่อนเวกเตอร์ทั้งสอง

มีการนำเสนอทั้งหมด 29 เรื่องในหัวข้อ