Roten till vilken ekvation är en bråkdel. De enklaste rationella ekvationerna
Lösa ekvationer med bråk låt oss titta på exempel. Exemplen är enkla och illustrativa. Med deras hjälp kan du förstå på det mest förståeliga sättet.
Till exempel måste du lösa en enkel ekvation x/b + c = d.
En ekvation av denna typ kallas linjär, eftersom nämnaren innehåller endast siffror.
Lösningen utförs genom att multiplicera båda sidor av ekvationen med b, sedan tar ekvationen formen x = b*(d – c), d.v.s. nämnaren för bråket på vänster sida reduceras.
Till exempel hur man löser bråkekvation:
x/5+4=9
Vi multiplicerar båda delarna med 5. Vi får:
x+20=45
x=45-20=25
Ett annat exempel där det okända finns i nämnaren:
Ekvationer av denna typ kallas bråkrationella eller helt enkelt bråkdelar.
Vi skulle lösa en bråkekvation genom att göra oss av med bråk, varefter denna ekvation, oftast, övergår i en linjär eller kvadratisk, som löses på vanligt sätt. Du bör endast ta hänsyn till följande punkter:
- värdet på en variabel som vänder nämnaren till 0 kan inte vara en rot;
- du kan inte dividera eller multiplicera ekvationen med uttrycket =0.
Här träder i kraft ett sådant koncept som området för tillåtna värden (ODZ) - dessa är värdena för rötterna till ekvationen som ekvationen är vettig för.
Således, när man löser ekvationen, är det nödvändigt att hitta rötterna och sedan kontrollera dem för överensstämmelse med ODZ. De rötter som inte stämmer överens med vårt DHS är uteslutna från svaret.
Till exempel måste du lösa en bråkekvation:
Baserat på ovanstående regel kan x inte vara = 0, dvs. ODZ i detta fall: x - något annat värde än noll.
Vi blir av med nämnaren genom att multiplicera alla termer i ekvationen med x
Och lös den vanliga ekvationen
5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3
Svar: x = 1/3
Låt oss lösa ekvationen mer komplicerad:
ODZ finns också här: x -2.
När vi löser denna ekvation kommer vi inte att överföra allt i en riktning och föra bråk till en gemensam nämnare. Vi multiplicerar omedelbart båda sidor av ekvationen med ett uttryck som kommer att reducera alla nämnare på en gång.
För att minska nämnarna måste du multiplicera vänster sida med x + 2 och höger sida med 2. Så båda sidor av ekvationen måste multipliceras med 2 (x + 2):
Detta är den vanligaste multiplikationen av bråk, som vi redan har diskuterat ovan.
Vi skriver samma ekvation, men på ett lite annorlunda sätt.
Den vänstra sidan reduceras med (x + 2), och den högra sidan med 2. Efter reduktionen får vi den vanliga linjära ekvationen:
x \u003d 4 - 2 \u003d 2, vilket motsvarar vår ODZ
Svar: x = 2.
Lösa ekvationer med bråk inte så svårt som det kan tyckas. I den här artikeln har vi visat detta med exempel. Om du har några svårigheter med hur man löser ekvationer med bråk, avsluta prenumerationen i kommentarerna.
Presentation och lektion på ämnet: "Rationella ekvationer. Algoritm och exempel för att lösa rationella ekvationer"
Ytterligare material
Kära användare, glöm inte att lämna dina kommentarer, feedback, förslag! Allt material kontrolleras av ett antivirusprogram.
Läromedel och simulatorer i webbutiken "Integral" för årskurs 8
Manual för läroboken Makarychev Yu.N. Manual till läroboken Mordkovich A.G.
Introduktion till irrationella ekvationer
Killar, vi lärde oss hur man löser andragradsekvationer. Men matematiken är inte begränsad till dem. Idag ska vi lära oss hur man löser rationella ekvationer. begrepp rationella ekvationer mycket likt konceptet rationella tal. Bara utöver siffror har vi nu introducerat någon variabel $x$. Och därmed får vi ett uttryck där det finns operationer av addition, subtraktion, multiplikation, division och höjning till en heltalspotens.Låt $r(x)$ vara rationellt uttryck
. Ett sådant uttryck kan vara ett enkelt polynom i variabeln $x$ eller ett förhållande mellan polynom (operationen av division introduceras, som för rationella tal).
Ekvationen $r(x)=0$ kallas rationell ekvation.
Alla ekvationer av formen $p(x)=q(x)$, där $p(x)$ och $q(x)$ är rationella uttryck, kommer också att vara rationell ekvation.
Betrakta exempel på att lösa rationella ekvationer.
Exempel 1Lös ekvationen: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.
Beslut.
Låt oss flytta alla uttryck till vänster sida: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Om vanliga tal representerades på vänster sida av ekvationen, skulle vi få två bråk till en gemensam nämnare.
Let's do this: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Vi fick ekvationen: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.
Ett bråk är lika med noll om och endast om bråkets täljare noll-, och nämnaren skiljer sig från noll. Jämställ sedan täljaren separat med noll och hitta rötterna till täljaren.
$3(x^2+2x-3)=0$ eller $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Låt oss nu kontrollera nämnaren för bråket: $(x-3)*x≠0$.
Produkten av två tal är lika med noll när minst ett av dessa tal är lika med noll. Sedan: $x≠0$ eller $x-3≠0$.
$x≠0$ eller $x≠3$.
Rötterna som erhålls i täljaren och nämnaren stämmer inte överens. Så som svar skriver vi ner båda rötterna till täljaren.
Svar: $x=1$ eller $x=-3$.
Om plötsligt en av rötterna till täljaren sammanföll med roten till nämnaren, bör den uteslutas. Sådana rötter kallas främmande!
Algoritm för att lösa rationella ekvationer:
1. Alla uttryck som finns i ekvationen ska överföras till vänster sida från likhetstecknet.2. Konvertera denna del av ekvationen till algebraisk bråkdel: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Jämställ den resulterande täljaren med noll, det vill säga lös ekvationen $p(x)=0$.
4. Jämför nämnaren med noll och lös den resulterande ekvationen. Om nämnarens rötter sammanföll med rötterna till täljaren, bör de uteslutas från svaret.
Exempel 2
Lös ekvationen: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.
Beslut.
Vi kommer att lösa enligt punkterna i algoritmen.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Jämför täljaren med noll: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Jämför nämnaren med noll:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ och $x=-1$.
En av rötterna $x=1$ sammanföll med roten på täljaren, då skriver vi inte ner den som svar.
Svar: $x=-1$.
Det är bekvämt att lösa rationella ekvationer med hjälp av metoden för förändring av variabler. Låt oss visa det.
Exempel 3
Lös ekvationen: $x^4+12x^2-64=0$.
Beslut.
Vi introducerar en ersättning: $t=x^2$.
Då kommer vår ekvation att ta formen:
$t^2+12t-64=0$ är en vanlig andragradsekvation.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4$.
Låt oss introducera en omvänd ersättning: $x^2=4$ eller $x^2=-16$.
Rötterna till den första ekvationen är ett talpar $x=±2$. Den andra har inga rötter.
Svar: $x=±2$.
Exempel 4
Lös ekvationen: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Beslut.
Låt oss introducera en ny variabel: $t=x^2+x+1$.
Då kommer ekvationen att ha formen: $t=\frac(15)(t+2)$.
Därefter kommer vi att agera enligt algoritmen.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3$.
4. $t≠-2$ - rötterna matchar inte.
Vi inför en omvänd substitution.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Låt oss lösa varje ekvation separat:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - nej rötter.
Och den andra ekvationen: $x^2+x-2=0$.
Rotat given ekvation det kommer att finnas nummer $x=-2$ och $x=1$.
Svar: $x=-2$ och $x=1$.
Exempel 5
Lös ekvationen: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.
Beslut.
Vi introducerar en ersättning: $t=x+\frac(1)(x)$.
Sedan:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ eller $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Vi fick ekvationen: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Rötterna till denna ekvation är paret:
$t=-3$ och $t=2$.
Låt oss introducera den omvända substitutionen:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Vi kommer att besluta separat.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Låt oss lösa den andra ekvationen:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Roten till denna ekvation är talet $x=1$.
Svar: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.
Uppgifter för självständig lösning
Lös ekvationer:1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.
2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.
Vi introducerade ekvationen ovan i § 7. Först minns vi vad ett rationellt uttryck är. Detta är - algebraiska uttryck, sammansatt av tal och variabeln x med hjälp av operationerna addition, subtraktion, multiplikation, division och exponentiering med en naturlig exponent.
Om r(x) är ett rationellt uttryck, så kallas ekvationen r(x) = 0 en rationell ekvation.
Men i praktiken är det bekvämare att använda något mer bred tolkning term "rationell ekvation": detta är en ekvation av formen h(x) = q(x), där h(x) och q(x) är rationella uttryck.
Hittills har vi inte kunnat lösa någon rationell ekvation utan bara en som till följd av olika transformationer och resonemang reducerats till linjär ekvation. Nu är våra möjligheter mycket större: vi kommer att kunna lösa en rationell ekvation, som reducerar inte bara till linjär
mu, men också till andragradsekvationen.
Kom ihåg hur vi löste rationella ekvationer tidigare och försök formulera en lösningsalgoritm.
Exempel 1 lösa ekvationen
Beslut. Vi skriver om ekvationen i formen
I det här fallet, som vanligt, använder vi det faktum att likheterna A \u003d B och A - B \u003d 0 uttrycker samma förhållande mellan A och B. Detta gjorde att vi kunde överföra termen till vänster sida av ekvationen med motsatt tecken.
Låt oss utföra transformationer av den vänstra sidan av ekvationen. Vi har
Kom ihåg jämställdhetsvillkoren fraktioner noll: om, och endast om, två relationer är uppfyllda samtidigt:
1) täljaren för bråket är noll (a = 0); 2) bråkets nämnare skiljer sig från noll).
Genom att likställa täljaren för bråket på vänster sida av ekvation (1) med noll får vi
Det återstår att kontrollera att det andra villkoret som nämns ovan är uppfyllt. Förhållandet betyder för ekvation (1) att . Värdena x 1 = 2 och x 2 = 0,6 uppfyller de angivna sambanden och fungerar därför som rötterna till ekvation (1), och samtidigt rötterna till den givna ekvationen.
1) Låt oss omvandla ekvationen till formen
2) Låt oss utföra transformationerna av den vänstra sidan av denna ekvation:
(ändrade samtidigt tecknen i täljaren och
fraktioner).
Således, given ekvation tar formen
3) Lös ekvationen x 2 - 6x + 8 = 0. Hitta
4) För de hittade värdena, kontrollera tillståndet 
. Siffran 4 uppfyller detta villkor, men siffran 2 gör det inte. Så 4 är roten till den givna ekvationen och 2 är en främmande rot.
Svar: 4.
2. Lösning av rationella ekvationer genom att införa en ny variabel
Metoden för att introducera en ny variabel är bekant för dig, vi har använt den mer än en gång. Låt oss visa med exempel hur det används för att lösa rationella ekvationer.
Exempel 3 Lös ekvationen x 4 + x 2 - 20 = 0.
Beslut. Vi introducerar en ny variabel y \u003d x 2. Eftersom x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, kan den givna ekvationen skrivas om i formen
y 2 + y - 20 = 0.
Detta är en andragradsekvation, vars rötter vi kommer att hitta med hjälp av den kända formler; vi får y 1 = 4, y 2 = - 5.
Men y \u003d x 2, vilket betyder att problemet har reducerats till att lösa två ekvationer:
x2=4; x 2 \u003d -5.
Från den första ekvationen finner vi att den andra ekvationen inte har några rötter.
Svar: .
En ekvation av formen ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 kallas en biquadratisk ekvation ("bi" - två, det vill säga en "två gånger kvadratisk" ekvation). Den nyss lösta ekvationen var exakt biquadratisk. Varje biquadratisk ekvation löses på samma sätt som ekvationen från exempel 3: en ny variabel y \u003d x 2 introduceras, den resulterande andragradsekvationen löses med avseende på variabeln y och returneras sedan till variabeln x.
Exempel 4 lösa ekvationen
Beslut. Observera att samma uttryck x 2 + 3x förekommer två gånger här. Därför är det vettigt att introducera en ny variabel y = x 2 + Zx. Detta gör att vi kan skriva om ekvationen i en enklare och trevligare form (vilket faktiskt är syftet med att introducera en ny variabel- och inspelning är lättare
, och ekvationens struktur blir tydligare):
Och nu ska vi använda algoritmen för att lösa en rationell ekvation.
1) Låt oss flytta alla termer i ekvationen till en del:
= 0
2) Låt oss transformera vänster sida av ekvationen
Så vi har transformerat den givna ekvationen till formen
3) Från ekvationen - 7y 2 + 29y -4 = 0 finner vi (vi har redan löst en hel del andragradsekvationer, så det är förmodligen inte värt att alltid ge detaljerade beräkningar i läroboken).
4) Låt oss kontrollera de hittade rötterna med villkoret 5 (y - 3) (y + 1). Båda rötterna uppfyller detta villkor.
Så den andragradsekvationen för den nya variabeln y är löst: 
Eftersom y \u003d x 2 + Zx, och y, som vi har fastställt, tar två värden: 4 och, - måste vi fortfarande lösa två ekvationer: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Rötterna till den första ekvationen är siffrorna 1 och -4, rötterna till den andra ekvationen är talen
I de övervägda exemplen var metoden för att introducera en ny variabel, som matematiker gärna säger, adekvat för situationen, det vill säga den motsvarade den väl. Varför? Ja, eftersom samma uttryck tydligt påträffades i ekvationsposten flera gånger och det var rimligt att beteckna detta uttryck med en ny bokstav. Men detta är inte alltid fallet, ibland "uppstår" en ny variabel bara under transformationsprocessen. Det är precis vad som kommer att hända i nästa exempel.
Exempel 5 lösa ekvationen
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Beslut. Vi har
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.
Så den givna ekvationen kan skrivas om som
(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
Nu har en ny variabel "visats": y = x 2 - Zx.
Med dess hjälp kan ekvationen skrivas om i formen y (y + 2) \u003d 24 och sedan y 2 + 2y - 24 \u003d 0. Rötterna till denna ekvation är siffrorna 4 och -6.
Återgå till den ursprungliga variabeln x, får vi två ekvationer x 2 - Zx \u003d 4 och x 2 - Zx \u003d - 6. Från den första ekvationen hittar vi x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; den andra ekvationen har inga rötter.
Svar: 4, - 1.
Låt oss bekanta oss med rationella och fraktionerade rationella ekvationer, ge deras definition, ge exempel och även analysera de vanligaste typerna av problem.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Rationell ekvation: definition och exempel
Bekantskapen med rationella uttryck börjar i 8:e klass i skolan. Vid den här tiden, i algebra-lektionerna, börjar eleverna alltmer möta uppgifter med ekvationer som innehåller rationella uttryck i sina anteckningar. Låt oss fräscha upp vårt minne av vad det är.
Definition 1
rationell ekvationär en ekvation där båda sidor innehåller rationella uttryck.
I olika manualer kan du hitta en annan formulering.
Definition 2
rationell ekvation- detta är en ekvation, vars post på vänster sida innehåller ett rationellt uttryck och den högra innehåller noll.
De definitioner som vi har gett för rationella ekvationer är likvärdiga, eftersom de betyder samma sak. Riktigheten av våra ord bekräftas av det faktum att för alla rationella uttryck P och F ekvationer P=Q och P − Q = 0 kommer att vara likvärdiga uttryck.
Låt oss nu övergå till exempel.
Exempel 1
Rationella ekvationer:
x = 1 , 2 · x − 12 · x 2 · y · z 3 = 0 , x x 2 + 3 · x - 1 = 2 + 2 7 · x - a · (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .
Rationella ekvationer, precis som ekvationer av andra typer, kan innehålla valfritt antal variabler från 1 till flera. Till att börja med kommer vi att överväga enkla exempel, där ekvationerna endast kommer att innehålla en variabel. Och sedan börjar vi gradvis komplicera uppgiften.
Rationella ekvationer är indelade i två stora grupper: heltal och bråk. Låt oss se vilka ekvationer som kommer att gälla för var och en av grupperna.
Definition 3
En rationell ekvation kommer att vara ett heltal om posten av dess vänstra och högra del innehåller hela rationella uttryck.
Definition 4
En rationell ekvation kommer att vara bråkdel om en eller båda dess delar innehåller en bråkdel.
Bråkrationella ekvationer innehåller nödvändigtvis division med en variabel, eller så finns variabeln i nämnaren. Det finns ingen sådan division när man skriver heltalsekvationer.
Exempel 2
3 x + 2 = 0 och (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5är hela rationella ekvationer. Här representeras båda delarna av ekvationen av heltalsuttryck.
1 x - 1 = x 3 och x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5är bråkrationella ekvationer.
Hela rationella ekvationer inkluderar linjära och andragradsekvationer.
Lösa heltalsekvationer
Lösningen av sådana ekvationer reduceras vanligtvis till deras omvandling till ekvivalenta algebraiska ekvationer. Detta kan uppnås genom att utföra ekvivalenta transformationer av ekvationerna i enlighet med följande algoritm:
- först får vi noll på höger sida av ekvationen, för detta är det nödvändigt att överföra uttrycket som är på höger sida av ekvationen till dess vänstra sida och ändra tecknet;
- sedan omvandlar vi uttrycket på vänster sida av ekvationen till ett polynom standardvy.
Vi måste få en algebraisk ekvation. Denna ekvation kommer att vara ekvivalent med avseende på den ursprungliga ekvationen. Enkla fall tillåter oss att lösa problemet genom att reducera hela ekvationen till en linjär eller kvadratisk. I det allmänna fallet löser vi en algebraisk gradsekvation n.
Exempel 3
Det är nödvändigt att hitta rötterna till hela ekvationen 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.
Beslut
Låt oss transformera det ursprungliga uttrycket för att erhålla en algebraisk ekvation som motsvarar det. För att göra detta kommer vi att överföra uttrycket som finns i den högra sidan av ekvationen till vänster sida och ändra tecknet till det motsatta. Som ett resultat får vi: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.
Nu ska vi omvandla uttrycket som finns på vänster sida till ett polynom av standardformen och utföra nödvändiga åtgärder med detta polynom:
3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6
Vi lyckades reducera lösningen av den ursprungliga ekvationen till lösningen andragradsekvation snäll x 2 − 5 x − 6 = 0. Diskriminanten i denna ekvation är positiv: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . Det betyder att det blir två riktiga rötter. Låt oss hitta dem med hjälp av formeln för rötterna till andragradsekvationen:
x \u003d - - 5 ± 49 2 1,
x 1 \u003d 5 + 7 2 eller x 2 \u003d 5 - 7 2,
x 1 = 6 eller x 2 = - 1
Låt oss kontrollera riktigheten av rötterna till ekvationen som vi hittade under lösningen. För detta nummer, som vi fick, ersätter vi i den ursprungliga ekvationen: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 och 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. I det första fallet 63 = 63 , på sekunden 0 = 0 . Rötter x=6 och x = − 1är verkligen rötterna till ekvationen som ges i exempelvillkoret.
Svar: 6 , − 1 .
Låt oss titta på vad "hela ekvationens kraft" betyder. Vi kommer ofta att stöta på denna term i de fall vi behöver representera en hel ekvation i form av en algebraisk. Låt oss definiera konceptet.
Definition 5
Grad av en heltalsekvationär graden algebraisk ekvation, vilket är ekvivalent med den ursprungliga hela ekvationen.
Om du tittar på ekvationerna från exemplet ovan kan du fastställa: graden av hela denna ekvation är den andra.
Om vår kurs var begränsad till att lösa ekvationer av andra graden, skulle övervägandet av ämnet kunna slutföras här. Men allt är inte så enkelt. Att lösa ekvationer av tredje graden är kantat av svårigheter. Och för ekvationer över fjärde graden existerar den inte alls allmänna formler rötter. I detta avseende kräver lösningen av hela ekvationer av tredje, fjärde och andra grader att vi använder ett antal andra tekniker och metoder.
Den vanligaste metoden för att lösa hela rationella ekvationer är baserad på faktoriseringsmetoden. Algoritmen för åtgärder i det här fallet är som följer:
- vi överför uttrycket från höger sida till vänster sida så att noll förblir på höger sida av posten;
- vi representerar uttrycket på vänster sida som en produkt av faktorer, och sedan går vi vidare till en uppsättning av flera enklare ekvationer.
Hitta lösningen till ekvationen (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .
Beslut
Vi överför uttrycket från höger sida av posten till vänster sida med motsatt tecken: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Att konvertera vänster sida till ett polynom av standardformen är opraktisk på grund av det faktum att detta kommer att ge oss en algebraisk ekvation av fjärde graden: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Lättheten att transformera motiverar inte alla svårigheter med att lösa en sådan ekvation.
Det är mycket lättare att gå åt andra hållet: vi tar ut den gemensamma faktorn x 2 − 10 x + 13 . Därmed kommer vi fram till en formekvation (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Nu ersätter vi den resulterande ekvationen med en uppsättning av två andragradsekvationer x 2 − 10 x + 13 = 0 och x 2 − 2 x − 1 = 0 och hitta sina rötter genom diskriminanten: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .
Svar: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .
På samma sätt kan vi använda metoden för att introducera en ny variabel. Denna metod tillåter oss att övergå till ekvivalenta ekvationer med potenser lägre än de i den ursprungliga hela ekvationen.
Exempel 5
Har ekvationen rötter? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?
Beslut
Om vi nu försöker reducera en hel rationell ekvation till en algebraisk, får vi en ekvation på grad 4, som inte har några rationella rötter. Därför blir det lättare för oss att gå åt andra hållet: introducera en ny variabel y, som kommer att ersätta uttrycket i ekvationen x 2 + 3 x.
Nu ska vi arbeta med hela ekvationen (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Vi överför den högra sidan av ekvationen till vänster sida med motsatt tecken och utför de nödvändiga transformationerna. Vi får: y 2 + 4 y + 3 = 0. Låt oss hitta rötterna till andragradsekvationen: y = − 1 och y = − 3.
Låt oss nu göra det omvända utbytet. Vi får två ekvationer x 2 + 3 x = − 1 och x 2 + 3 x = - 3 . Låt oss skriva om dem som x 2 + 3 x + 1 = 0 och x 2 + 3 x + 3 = 0. Vi använder formeln för rötterna i andragradsekvationen för att hitta rötterna till den första ekvationen som erhålls: - 3 ± 5 2 . Diskriminanten i den andra ekvationen är negativ. Det betyder att den andra ekvationen inte har några riktiga rötter.
Svar:- 3 ± 5 2
Heltalsekvationer av höga grader förekommer i problem ganska ofta. Det finns ingen anledning att vara rädd för dem. Du måste vara redo att tillämpa en icke-standard metod för att lösa dem, inklusive ett antal artificiella transformationer.
Lösning av bråkrationella ekvationer
Vi börjar vår övervägande av detta underämne med en algoritm för att lösa bråkrationella ekvationer av formen p (x) q (x) = 0 , där p(x) och q(x)är heltalsrationella uttryck. Lösningen av andra fraktionella rationella ekvationer kan alltid reduceras till lösningen av ekvationer av den angivna formen.
Den vanligaste metoden för att lösa ekvationerna p (x) q (x) = 0 är baserad på följande påstående: numerisk bråkdel u v, var vär ett tal som skiljer sig från noll, lika med noll endast i de fall då bråkets täljare är lika med noll. Enligt logiken i ovanstående påstående kan vi hävda att lösningen av ekvationen p (x) q (x) = 0 kan reduceras till att två villkor är uppfyllda: p(x)=0 och q(x) ≠ 0. På detta byggs en algoritm för att lösa rationella bråkekvationer av formen p (x) q (x) = 0:
- vi hittar lösningen av hela den rationella ekvationen p(x)=0;
- vi kontrollerar om villkoret är uppfyllt för de rötter som hittats under lösningen q(x) ≠ 0.
Om detta villkor är uppfyllt, då den hittade roten. Om inte, är roten inte en lösning på problemet.
Exempel 6
Hitta rötterna till ekvationen 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .
Beslut
Vi har att göra med en rationell bråkekvation av formen p (x) q (x) = 0 , där p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Låt oss börja lösa den linjära ekvationen 3 x - 2 = 0. Roten till denna ekvation kommer att vara x = 2 3.
Låt oss kontrollera den hittade roten, om den uppfyller villkoret 5 x 2 - 2 ≠ 0. För att göra detta, ersätt ett numeriskt värde i uttrycket. Vi får: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.
Villkoret är uppfyllt. Det betyder att x = 2 3är roten till den ursprungliga ekvationen.
Svar: 2 3 .
Det finns ett annat alternativ för att lösa rationella bråkekvationer p (x) q (x) = 0 . Kom ihåg att denna ekvation är ekvivalent med hela ekvationen p(x)=0 på intervallet för tillåtna värden för variabeln x i den ursprungliga ekvationen. Detta tillåter oss att använda följande algoritm för att lösa ekvationerna p(x) q(x) = 0:
- lösa ekvationen p(x)=0;
- hitta intervallet för acceptabla värden för variabeln x ;
- vi tar rötterna som ligger i området för tillåtna värden för variabeln x som de önskade rötterna av den ursprungliga rationella bråkekvationen.
Lös ekvationen x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .
Beslut
Låt oss först lösa andragradsekvationen x 2 − 2 x − 11 = 0. För att beräkna dess rötter använder vi rotformeln för en jämn andrakoefficient. Vi får D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12 och x = 1 ± 23.
Nu kan vi hitta ODV för x för den ursprungliga ekvationen. Dessa är alla siffror för vilka x 2 + 3 x ≠ 0. Det är samma sak som x (x + 3) ≠ 0, varav x ≠ 0 , x ≠ − 3 .
Låt oss nu kontrollera om rötterna x = 1 ± 2 3 erhållna i det första steget av lösningen ligger inom intervallet för acceptabla värden för variabeln x . Vi ser vad som kommer in. Detta betyder att den ursprungliga rationella bråkekvationen har två rötter x = 1 ± 2 3 .
Svar: x = 1 ± 2 3
Den andra lösningsmetoden beskrivs lättare än den första i fall där det är lätt att hitta arean av tillåtna värden för variabeln x, och rötterna till ekvationen p(x)=0 irrationell. Till exempel 7 ± 4 26 9 . Rötter kan vara rationella, men med en stor täljare eller nämnare. Till exempel, 127 1101 och − 31 59 . Detta sparar tid för att kontrollera tillståndet. q(x) ≠ 0: det är mycket lättare att utesluta rötter som inte passar, enligt ODZ.
När rötterna till ekvationen p(x)=0är heltal, är det mer ändamålsenligt att använda den första av de beskrivna algoritmerna för att lösa ekvationer av formen p (x) q (x) = 0 . Hitta rötterna till en hel ekvation snabbare p(x)=0, och kontrollera sedan om villkoret är uppfyllt för dem q(x) ≠ 0, och inte hitta ODZ, och lös sedan ekvationen p(x)=0 på denna ODZ. Detta beror på att det i sådana fall vanligtvis är lättare att göra en kontroll än att hitta ODZ.
Exempel 8
Hitta rötterna till ekvationen (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .
Beslut
Vi börjar med att överväga hela ekvationen (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 och hitta dess rötter. För att göra detta använder vi metoden för att lösa ekvationer genom faktorisering. Det visar sig att den ursprungliga ekvationen är ekvivalent med en uppsättning av fyra ekvationer 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, varav tre är linjära och en är fyrkantig. Vi hittar rötterna: från den första ekvationen x = 1 2, från den andra x=6, från den tredje - x \u003d 7, x \u003d - 2, från den fjärde - x = − 1.
Låt oss kontrollera de erhållna rötterna. Det är svårt för oss att bestämma ODZ i det här fallet, eftersom vi för detta måste lösa en algebraisk ekvation av femte graden. Det blir lättare att kontrollera villkoret enligt vilket bråkets nämnare, som finns på vänster sida av ekvationen, inte ska försvinna.
Ersätt i sin tur rötterna i stället för variabeln x i uttrycket x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 och beräkna dess värde:
1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 0 32;
6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0;
7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0;
(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;
(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .
Den utförda verifieringen tillåter oss att fastställa att rötterna till den ursprungliga rationella bråkekvationen är 1 2 , 6 och − 2 .
Svar: 1 2 , 6 , - 2
Exempel 9
Hitta rötterna till den rationella bråkekvationen 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .
Beslut
Låt oss börja med ekvationen (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Låt oss hitta dess rötter. Det är lättare för oss att representera denna ekvation som en kombination av kvadratiska och linjära ekvationer 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 och x − 2 = 0.
Vi använder formeln för rötterna i en andragradsekvation för att hitta rötterna. Vi får två rötter x = 7 ± 69 10 från den första ekvationen och från den andra x=2.
Att ersätta värdet på rötterna i den ursprungliga ekvationen för att kontrollera förhållandena kommer att vara ganska svårt för oss. Det blir lättare att bestämma LPV för variabeln x . I det här fallet är DPV för variabeln x alla tal, förutom de för vilka villkoret är uppfyllt x 2 + 5 x − 14 = 0. Vi får: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .
Låt oss nu kontrollera om rötterna vi hittade tillhör intervallet av acceptabla värden för x-variabeln.
Rötterna x = 7 ± 69 10 - tillhör, därför är de rötterna till den ursprungliga ekvationen, och x=2- hör inte hemma, därför är det en främmande rot.
Svar: x = 7 ± 69 10 .
Låt oss separat undersöka de fall då täljaren för en rationell bråkekvation av formen p (x) q (x) = 0 innehåller ett tal. I sådana fall, om täljaren innehåller ett annat tal än noll, kommer ekvationen inte att ha rötter. Om detta tal är lika med noll, kommer roten av ekvationen att vara valfritt tal från ODZ.
Exempel 10
Lös den rationella bråkekvationen - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .
Beslut
Denna ekvation kommer inte att ha rötter, eftersom täljaren för bråket från vänster sida av ekvationen innehåller ett tal som inte är noll. Detta betyder att för alla värden på x kommer värdet på bråket som ges i problemets tillstånd inte att vara lika med noll.
Svar: inga rötter.
Exempel 11
Lös ekvationen 0 x 4 + 5 x 3 = 0.
Beslut
Eftersom täljaren för bråket är noll, kommer lösningen till ekvationen att vara vilket värde som helst på x från ODZ-variabeln x.
Låt oss nu definiera ODZ. Den kommer att inkludera alla x-värden för vilka x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Ekvationslösningar x 4 + 5 x 3 = 0är 0 och − 5 , eftersom denna ekvation är ekvivalent med ekvationen x 3 (x + 5) = 0, och den är i sin tur ekvivalent med mängden av två ekvationer x 3 = 0 och x + 5 = 0 där dessa rötter är synliga. Vi kommer till slutsatsen att det önskade intervallet av acceptabla värden är vilket x som helst, förutom x=0 och x = -5.
Det visar sig att den rationella bråkekvationen 0 x 4 + 5 x 3 = 0 har ett oändligt antal lösningar, som är alla tal utom noll och - 5.
Svar: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞
Låt oss nu prata om fraktionerade rationella ekvationer av en godtycklig form och metoder för att lösa dem. De kan skrivas som r(x) = s(x), var r(x) och s(x)är rationella uttryck, och åtminstone ett av dem är bråktal. Lösningen av sådana ekvationer reduceras till lösningen av ekvationer av formen p (x) q (x) = 0 .
Vi vet redan att vi kan få en ekvivalent ekvation genom att överföra uttrycket från höger sida av ekvationen till vänster sida med motsatt tecken. Det betyder att ekvationen r(x) = s(x)är ekvivalent med ekvationen r (x) − s (x) = 0. Vi har också redan diskuterat hur man omvandlar ett rationellt uttryck till ett rationellt bråk. Tack vare detta kan vi enkelt transformera ekvationen r (x) − s (x) = 0 till sin identiska rationella bråkdel av formen p (x) q (x) .
Så vi går från den ursprungliga rationella bråkekvationen r(x) = s(x) till en ekvation av formen p (x) q (x) = 0 , som vi redan har lärt oss att lösa.
Det bör noteras att när man gör övergångar från r (x) − s (x) = 0 till p (x) q (x) = 0 och sedan till p(x)=0 vi kanske inte tar hänsyn till expansionen av intervallet av giltiga värden för variabeln x .
Det är ganska realistiskt att den ursprungliga ekvationen r(x) = s(x) och ekvation p(x)=0 som ett resultat av omvandlingarna kommer de att upphöra att vara likvärdiga. Sedan lösningen av ekvationen p(x)=0 kan ge oss rötter som kommer att vara främmande för r(x) = s(x). I detta avseende är det i varje fall nödvändigt att utföra en kontroll med någon av metoderna som beskrivs ovan.
För att göra det lättare för dig att studera ämnet har vi generaliserat all information till en algoritm för att lösa en rationell bråkekvation av formen r(x) = s(x):
- vi överför uttrycket från höger sida med motsatt tecken och får noll till höger;
- vi transformerar det ursprungliga uttrycket till en rationell bråkdel p (x) q (x) genom att sekventiellt utföra åtgärder med bråk och polynom;
- lösa ekvationen p(x)=0;
- vi avslöjar främmande rötter genom att kontrollera att de tillhör ODZ eller genom att ersätta dem i den ursprungliga ekvationen.
Visuellt kommer åtgärdskedjan att se ut så här:
r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → bortfall r o n d e r o o n s
Exempel 12
Lös den rationella bråkekvationen x x + 1 = 1 x + 1 .
Beslut
Låt oss gå vidare till ekvationen x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Låt oss omvandla det bråkmässiga rationella uttrycket på vänster sida av ekvationen till formen p (x) q (x) .
För att göra detta måste vi reducera rationella bråk till en gemensam nämnare och förenkla uttrycket:
x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)
För att hitta rötterna till ekvationen - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, måste vi lösa ekvationen − 2 x − 1 = 0. Vi får en rot x = - 1 2.
Det återstår för oss att utföra kontrollen med någon av metoderna. Låt oss överväga dem båda.
Ersätt det resulterande värdet i den ursprungliga ekvationen. Vi får - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Vi har kommit till den korrekta numeriska jämlikheten − 1 = − 1 . Det betyder att x = − 1 2är roten till den ursprungliga ekvationen.
Nu ska vi kolla igenom ODZ. Låt oss bestämma arean av acceptabla värden för variabeln x . Detta kommer att vara hela uppsättningen av tal, förutom − 1 och 0 (när x = − 1 och x = 0, försvinner bråkens nämnare). Roten vi fick x = − 1 2 tillhör ODZ. Det betyder att det är roten till den ursprungliga ekvationen.
Svar: − 1 2 .
Exempel 13
Hitta rötterna till ekvationen x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .
Beslut
Vi har att göra med en rationell bråkekvation. Därför kommer vi att agera enligt algoritmen.
Låt oss flytta uttrycket från höger sida till vänster sida med motsatt tecken: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0
Låt oss utföra de nödvändiga transformationerna: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.
Vi kommer till ekvationen x=0. Roten till denna ekvation är noll.
Låt oss kontrollera om denna rot är en främmande för den ursprungliga ekvationen. Ersätt värdet i den ursprungliga ekvationen: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Som du kan se är den resulterande ekvationen inte vettig. Detta betyder att 0 är en främmande rot, och den ursprungliga rationella bråkekvationen har inga rötter.
Svar: inga rötter.
Om vi inte har inkluderat andra likvärdiga transformationer i algoritmen betyder det inte alls att de inte kan användas. Algoritmen är universell, men den är utformad för att hjälpa, inte begränsa.
Exempel 14
Lös ekvationen 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24
Beslut
Det enklaste sättet är att lösa den givna rationella bråkekvationen enligt algoritmen. Men det finns ett annat sätt. Låt oss överväga det.
Subtrahera från höger och vänster del 7, vi får: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.
Av detta kan vi dra slutsatsen att uttrycket i nämnaren på vänster sida bör vara lika med talet reciprokt av talet från höger sida, det vill säga 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .
Subtrahera från båda delarna 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . I analogi 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, varifrån 1 5 - x 2 \u003d 1 3, och vidare 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2
Låt oss kontrollera för att fastställa om de hittade rötterna är rötterna till den ursprungliga ekvationen.
Svar: x = ± 2
Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter
I den här artikeln kommer jag att visa dig algoritmer för att lösa sju typer av rationella ekvationer, som reduceras till kvadratiska ettor med hjälp av en förändring av variabler. I de flesta fall är omvandlingarna som leder till ersättningen mycket icke-triviala, och det är ganska svårt att gissa om dem på egen hand.
För varje typ av ekvation kommer jag att förklara hur man gör en variabel förändring i den, och sedan kommer jag att visa en detaljerad lösning i motsvarande videohandledning.
Du har möjlighet att fortsätta lösa ekvationerna själv och kontrollera sedan din lösning med videohandledningen.
Så, låt oss börja.
1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40
Observera att produkten av fyra parenteser är på vänster sida av ekvationen och talet på höger sida.
1. Låt oss gruppera parenteserna med två så att summan av de fria termerna är densamma.
2. Multiplicera dem.
3. Låt oss introducera en förändring av variabel.
I vår ekvation grupperar vi den första parentesen med den tredje och den andra med den fjärde, eftersom (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:
Vid denna tidpunkt blir variabeländringen uppenbar:
Vi får ekvationen 
Svar: 
2 .
En ekvation av denna typ liknar den föregående med en skillnad: på höger sida av ekvationen är produkten av ett tal med. Och det är löst på ett helt annat sätt:
1. Vi grupperar parenteserna med två så att produkten av de fria termerna blir densamma.
2. Vi multiplicerar varje par av parenteser.
3. Från varje faktor tar vi x ur parentesen.
4. Dividera båda sidor av ekvationen med .
5. Vi inför en förändring av variabel.
I denna ekvation grupperar vi den första parentesen med den fjärde och den andra med den tredje, eftersom:
Observera att i varje parentes är koefficienten vid och den fria termen desamma. Låt oss ta ut multiplikatorn från varje parentes:
Eftersom x=0 inte är roten till den ursprungliga ekvationen delar vi båda sidor av ekvationen med . Vi får:
Vi får ekvationen: 
Svar: 
3
. 
Observera att nämnarna för båda bråken innehåller kvadratiska trinomialer, vars ledande koefficient och fria term är desamma. Vi tar ut, som i ekvationen för den andra typen, x ur konsolen. Vi får:
Dividera täljaren och nämnaren för varje bråkdel med x:
Nu kan vi införa en förändring av variabel:
Vi får ekvationen för variabeln t:
4 .
Observera att ekvationens koefficienter är symmetriska med avseende på den centrala. En sådan ekvation kallas retur- .
För att lösa det
1. Dividera båda sidor av ekvationen med (Vi kan göra detta eftersom x=0 inte är roten till ekvationen.) Vi får:
2. Gruppera termerna på detta sätt:
3. I varje grupp tar vi ut den gemensamma faktorn:
4. Låt oss introducera en ersättare:
5. Låt oss uttrycka uttrycket i termer av t:
Härifrån 
Vi får ekvationen för t:
Svar:
5. Homogena ekvationer.
Ekvationer som har strukturen av en homogen sådan kan man stöta på när man löser exponentiell, logaritmisk och trigonometriska ekvationer, så det måste erkännas.
Homogena ekvationer har följande struktur:
I denna likhet är A, B och C tal, och samma uttryck indikeras med en kvadrat och en cirkel. Det vill säga, på vänster sida av den homogena ekvationen finns summan av monomialer som har samma grad (i detta fall är monomialgraden 2), och det finns ingen fri term.
För att lösa den homogena ekvationen dividerar vi båda sidor med
Uppmärksamhet! När du dividerar höger och vänster sida av ekvationen med ett uttryck som innehåller en okänd, kan du förlora rötterna. Därför är det nödvändigt att kontrollera om rötterna till uttrycket som vi delar båda delarna av ekvationen med är rötterna till den ursprungliga ekvationen.
Låt oss gå den första vägen. Vi får ekvationen:
Nu introducerar vi en variabelsubstitution:
Förenkla uttrycket och få en biquadratisk ekvation för t:
Svar: eller
7
. 
Denna ekvation har följande struktur:
För att lösa det måste du välja hela kvadraten på vänster sida av ekvationen.
För att välja en hel kvadrat måste du lägga till eller subtrahera dubbelprodukten. Då får vi kvadraten på summan eller skillnaden. Detta är avgörande för en framgångsrik variabelsubstitution.
Låt oss börja med att hitta dubbelprodukten. Det kommer att vara nyckeln till att ersätta variabeln. I vår ekvation är dubbelprodukten
Låt oss nu ta reda på vad som är bekvämare för oss att ha - kvadraten på summan eller skillnaden. Tänk till att börja med summan av uttryck:
Bra! detta uttryck är exakt lika med två gånger produkten. Sedan, för att få kvadraten på summan inom parentes, måste du addera och subtrahera dubbelprodukten:
Vi rekommenderar också
Läser in...