Faktoriseringssatsen för ett kvadratiskt trinomium. Faktorisering av kvadrattrinomial: exempel och formler

Att expandera polynom för att få en produkt verkar ibland förvirrande. Men det är inte så svårt om du förstår processen steg för steg. Artikeln beskriver hur man faktoriserar ett kvadratiskt trinomium.

Många förstår inte hur man faktoriserar ett kvadratiskt trinomium, och varför detta görs. Till en början kan det tyckas att detta är en värdelös övning. Men i matematik görs ingenting bara så. Omvandlingen är nödvändig för att förenkla uttrycket och bekvämligheten med beräkningen.

Ett polynom med formen - ax² + bx + c, kallas kvadrattrinomial. Termen "a" måste vara negativ eller positiv. I praktiken kallas detta uttryck för en andragradsekvation. Därför säger de ibland annorlunda: hur man bryts ner andragradsekvation.

Intressant! Ett kvadratiskt polynom kallas på grund av sin största grad - en kvadrat. Och ett trinomial - på grund av de 3 komponenttermerna.

Några andra typer av polynom:

linjär binomial (6x+8);
kubisk fyrhörning (x³+4x²-2x+9).

Faktorisering av ett kvadratiskt trinomium

Först är uttrycket lika med noll, sedan måste du hitta värdena för rötterna x1 och x2. Det kanske inte finns några rötter, det kan finnas en eller två rötter. Förekomsten av rötter bestäms av diskriminanten. Dess formel måste vara känd utantill: D=b²-4ac.

Om resultatet av D är negativt finns det inga rötter. Om det är positivt, finns det två rötter. Om resultatet är noll är roten ett. Rötterna beräknas också med formeln.

Om beräkningen av diskriminanten resulterar i noll kan du använda vilken som helst av formlerna. I praktiken är formeln helt enkelt förkortad: -b / 2a.

Formler för olika värden diskriminerande är olika.

Om D är positivt:

Om D är noll:

Miniräknare online

Internet har kalkylator online. Det kan användas för att faktorisera. Vissa resurser ger möjlighet att se lösningen steg för steg. Sådana tjänster hjälper till att bättre förstå ämnet, men du måste försöka förstå det väl.

Användbar video: Factoring av ett kvadratiskt trinomium

Exempel

Vi inbjuder dig att titta enkla exempel hur man faktoriserar en andragradsekvation.

Exempel 1

Här visas tydligt att resultatet blir två x, eftersom D är positivt. De måste ersättas i formeln. Om rötterna är negativa är tecknet i formeln omvänt.

Vi känner till nedbrytningsformeln kvadratisk trinomium multiplikatorer: a(x-x1)(x-x2). Vi sätter värdena inom parentes: (x+3)(x+2/3). Det finns inget tal före termen i exponenten. Det betyder att det finns en enhet, den är sänkt.

Exempel 2

Detta exempel visar tydligt hur man löser en ekvation som har en rot.

Ersätt det resulterande värdet:

Exempel 3

Givet: 5x²+3x+7

Först beräknar vi diskriminanten, som i de tidigare fallen.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminanten är negativ, vilket betyder att det inte finns några rötter.

Efter att ha mottagit resultatet är det värt att öppna fästena och kontrollera resultatet. Det ursprungliga trinomialet ska visas.

Alternativ lösning

Vissa människor har aldrig kunnat bli vänner med diskriminanten. Det finns ett annat sätt att faktorisera ett kvadratiskt trinomium. För enkelhetens skull visas metoden i ett exempel.

Givet: x²+3x-10

Vi vet att vi ska sluta med 2 parenteser: (_)(_). När uttrycket ser ut så här: x² + bx + c sätter vi x i början av varje parentes: (x_) (x_). De återstående två siffrorna är produkten som ger "c", dvs -10 i detta fall. För att ta reda på vilka dessa siffror är kan du bara använda urvalsmetoden. Ersatta nummer måste matcha den återstående termen.

Till exempel, multiplicera följande tal ger -10:

-1, 10;
-10, 1;
-5, 2;
-2, 5.

(x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nej.
(x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nej.
(x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nej.
(x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Passar.

Så transformationen av uttrycket x2+3x-10 ser ut så här: (x-2)(x+5).

Viktig! Du bör vara försiktig så att du inte förväxlar tecknen.

Nedbrytning av ett komplext trinomium

Om "a" är större än ett börjar svårigheterna. Men allt är inte så svårt som det verkar.

För att faktorisera måste man först se om det går att faktorisera något.

Till exempel, givet uttrycket: 3x²+9x-30. Här tas siffran 3 ur parentes:

3(x²+3x-10). Resultatet är det redan kända trinomialet. Svaret ser ut så här: 3(x-2)(x+5)

Hur bryts ner om termen som är kvadratisk är negativ? I detta fall tas siffran -1 ut ur konsolen. Till exempel: -x²-10x-8. Uttrycket kommer då att se ut så här:

Systemet skiljer sig lite från det tidigare. Det finns bara några få nya saker. Låt oss säga att uttrycket är givet: 2x²+7x+3. Svaret skrivs även inom 2 parenteser som ska fyllas i (_) (_). X skrivs i 2:a parentes, och vad som är kvar i 1:a. Det ser ut så här: (2x_)(x_). Annars upprepas det tidigare schemat.

Siffran 3 ger siffrorna:

-1, -3;
-3, -1;
3, 1;
1, 3.

Vi löser ekvationer genom att ersätta de givna talen. Det sista alternativet passar. Så transformationen av uttrycket 2x²+7x+3 ser ut så här: (2x+1)(x+3).

Andra fall

Det är inte alltid möjligt att transformera ett uttryck. I den andra metoden krävs inte lösningen av ekvationen. Men möjligheten att omvandla termer till en produkt kontrolleras endast genom diskriminanten.

Det är värt att träna på att lösa andragradsekvationer så att det inte blir några svårigheter när man använder formler.

Användbar video: faktorisering av ett trinomial

Produktion

Du kan använda den på vilket sätt som helst. Men det är bättre att arbeta både till automatism. De som ska koppla ihop sina liv med matematik behöver också lära sig att lösa andragradsekvationer väl och bryta ner polynom i faktorer. Alla följande matematiska ämnen bygger på detta.

Faktoriseringen av kvadrattrinomial avser skoluppgifter som alla kommer att möta förr eller senare. Hur man gör det? Vad är formeln för att faktorisera ett kvadratiskt trinomium? Låt oss gå igenom det steg för steg med exempel.

Allmän formel

Faktoriseringen av kvadrattrinomial utförs genom att lösa en andragradsekvation. Detta är ett enkelt problem som kan lösas med flera metoder - genom att hitta diskriminanten, med hjälp av Vieta-satsen, finns det och grafiskt sätt lösningar. De två första metoderna studeras på gymnasiet.

Den allmänna formeln ser ut så här:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algoritm för uppgiftsexekvering

För att faktorisera kvadrattrinomial behöver du känna till Wits sats, ha ett program för att lösa till hands, kunna hitta en lösning grafiskt eller leta efter rötterna till en ekvation av andra graden genom diskriminantformeln. Om ett kvadratiskt trinomium ges och det måste räknas in, är algoritmen för åtgärder som följer:

1) Jämställ det ursprungliga uttrycket med noll för att få ekvationen.

2) Ge liknande termer (om nödvändigt).

3) Hitta rötterna till någon känt sätt. Den grafiska metoden används bäst om det är känt i förväg att rötterna är heltal och små tal. Man måste komma ihåg att antalet rötter är lika med ekvationens maximala grad, det vill säga andragradsekvationen har två rötter.

4) Ersättningsvärde X till uttryck (1).

5) Skriv ner faktoriseringen av kvadrattrinomial.

Exempel

Övning låter dig äntligen förstå hur denna uppgift utförs. Exempel illustrerar faktoriseringen av ett kvadrattrinomial:

du måste utöka uttrycket:

Låt oss använda vår algoritm:

1) x 2 -17x+32=0

2) liknande villkor reduceras

3) enligt Vieta-formeln är det svårt att hitta rötterna till detta exempel, därför är det bättre att använda uttrycket för diskriminanten:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Ersätt rötterna vi hittade i huvudformeln för expansion:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Då blir svaret:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Låt oss kontrollera om lösningarna som hittas av diskriminanten motsvarar Vietas formler:

14,845 . 2,155=32

För dessa rötter tillämpas Vietas sats, de hittades korrekt, vilket betyder att den faktorisering vi fick också är korrekt.

På samma sätt utökar vi 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

I det tidigare fallet var lösningarna icke-heltal, men riktiga nummer, som är lätta att hitta med en miniräknare framför dig. Tänk på mer nu komplext exempel, där rötterna kommer att vara komplexa: faktorisera x 2 + 4x + 9. Enligt Vieta-formeln kan rötterna inte hittas, och diskriminanten är negativ. Rötterna kommer att ligga på det komplexa planet.

D=-20

Utifrån detta får vi de rötter vi är intresserade av -4 + 2i * 5 1/2 och -4-2i * 5 1/2 eftersom (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Vi får den önskade expansionen genom att ersätta rötterna i den allmänna formeln.

Ett annat exempel: du måste faktorisera uttrycket 23x 2 -14x + 7.

Vi har ekvationen 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Så rötterna är 14+21,166i och 14-21,166i. Svaret blir:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).

Låt oss ge ett exempel som kan lösas utan hjälp av diskriminanten.

Låt det vara nödvändigt att dekomponera andragradsekvationen x 2 -32x + 255. Självklart kan det också lösas av diskriminanten, men det går snabbare i det här fallet att hitta rötterna.

x 1 =15

x2=17

Innebär att x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).

Världen är nedsänkt i ett stort antal siffror. Alla beräkningar sker med deras hjälp.

Människor lär sig siffror för att inte falla för bedrägeri senare i livet. Det är nödvändigt att ägna enormt mycket tid åt att bli utbildad och beräkna din egen budget.

Matematik är en exakt vetenskap som spelar en stor roll i livet. I skolan lär sig barn siffror och sedan handlingar på dem.

Åtgärder på tal är helt olika: multiplikation, expansion, addition och andra. Förutom enkla formler används även mer komplexa handlingar i matematikstudier. Det finns ett stort antal formler genom vilka alla värden är kända.

I skolan, så snart algebra dyker upp, läggs förenklingsformler till i en elevs liv. Det finns ekvationer när det finns två okända tal, men hitta på ett enkelt sätt kommer inte att fungera. Ett trinomium är en förening av tre monomialer, med hjälp av enkel metod subtraktioner och additioner. Trinomialet löses med hjälp av Vieta-satsen och diskriminanten.

Formeln för att faktorisera ett kvadrattrinomial i faktorer

Det finns två korrekta och enkla lösningar exempel:

diskriminant;
Vietas sats.

Ett kvadrattrinomium har en okänd kvadrat, samt ett tal utan kvadrat. Det första alternativet för att lösa problemet använder Vieta-formeln. Det är en enkel formel om siffrorna som kommer före okända kommer att vara minimivärdet.

För andra ekvationer, där talet står framför det okända, måste ekvationen lösas genom diskriminanten. Det är över svårt beslut, men diskriminanten används mycket oftare än Vietas sats.

Inledningsvis, för att hitta alla variabler i ekvationen, är det nödvändigt att höja exemplet till 0. Lösningen av exemplet kan kontrolleras och ta reda på om siffrorna är rätt justerade.

Diskriminerande

1. Det är nödvändigt att likställa ekvationen med 0.

2. Varje nummer före x kommer att kallas nummer a, b, c. Eftersom det inte finns något tal före den första kvadraten x, är det lika med 1.

3. Nu börjar lösningen av ekvationen genom diskriminanten:

4. Nu har vi hittat diskriminanten och hittar två x. Skillnaden är att i ett fall kommer b att föregås av ett plus och i det andra av ett minus:

5. Genom att lösa två tal blev det -2 och -1. Ersätt under den ursprungliga ekvationen:

6. I det här exemplet blev det två rätt alternativ. Om båda lösningarna är korrekta är var och en av dem sanna.

Mer komplexa ekvationer löses också genom diskriminanten. Men om värdet på själva diskriminanten är mindre än 0, så är exemplet fel. Diskriminanten i sökningen är alltid under roten, och ett negativt värde kan inte finnas i roten.

Vietas sats

Det används för att lösa enkla problem, där det första x inte föregås av ett tal, det vill säga a=1. Om alternativet matchar, utförs beräkningen genom Vieta-satsen.

För att lösa vilket trinomium som helst det är nödvändigt att höja ekvationen till 0. De första stegen för diskriminanten och Vieta-satsen är desamma.

2. Nu finns det skillnader mellan de två metoderna. Vietas teorem använder inte bara "torr" beräkningar, utan också logik och intuition. Varje nummer har sin egen bokstav a, b, c. Satsen använder summan och produkten av två tal.

Kom ihåg! Talet b läggs alltid till med motsatt tecken, och talet c förblir oförändrat!

Ersätter datavärden i exemplet , vi får:

3. Med den logiska metoden ersätter vi de mest lämpliga talen. Överväg alla möjliga lösningar:

Siffrorna är 1 och 2. Läggs till får vi 3, men om vi multiplicerar får vi inte 4. Inte lämpligt.
Värde 2 och -2. Vid multiplikation blir det -4, men när det adderas blir det 0. Inte lämpligt.
Nummer 4 och -1. Eftersom multiplikationen innehåller ett negativt värde betyder det att ett av talen kommer att ha ett minus. Lämplig för addition och multiplikation. Rätt alternativ.

4. Det återstår bara att kontrollera, lägga ut siffrorna och se om det valda alternativet är korrekt.

5. Tack vare en onlinekontroll fick vi reda på att -1 inte stämmer överens med exemplets villkor, vilket betyder att det är fel lösning.

När du lägger till negativt värde i exemplet måste du sätta numret inom parentes.

I matematik kommer det alltid att finnas enkla uppgifter och komplex. Vetenskapen i sig inkluderar en mängd olika problem, satser och formler. Om du förstår och tillämpar kunskap korrekt, kommer eventuella svårigheter med beräkningar att vara obetydliga.

Matematik behöver inte konstant memorering. Du måste lära dig att förstå lösningen och lära dig några formler. Gradvis, enligt logiska slutsatser, är det möjligt att lösa liknande problem, ekvationer. En sådan vetenskap kan tyckas mycket svår vid första anblicken, men om man kastar sig in i en värld av siffror och uppgifter, kommer synen att förändras dramatiskt i bättre sida.

Tekniska specialiteter alltid förbli den mest eftertraktade i världen. Nu i världen modern teknik Matematik har blivit en oumbärlig egenskap för alla områden. Du måste alltid komma ihåg om användbara egenskaper matematik.

Nedbrytning av ett trinomium med parenteser

Förutom att lösa på de vanliga sätten finns det en annan - nedbrytning i parentes. Används med Vietas formel.

1. Jämställ ekvationen med 0.

yxa 2 + bx+ c= 0

2. Ekvationens rötter förblir desamma, men istället för noll använder de nu parentesexpansionsformler.

yxa 2 + bx + c = a (x-x 1) (x-x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3)

4. Lösning x=-1, x=3

Faktorisering av ett kvadratiskt trinomium kan vara användbart när man löser ojämlikheter från problem C3 eller problem med parameter C5. Dessutom kommer många B13-ordproblem att lösas mycket snabbare om du känner till Vietas teorem.

Denna sats kan naturligtvis övervägas utifrån 8:e årskursen, där den först godkänts. Men vår uppgift är att förbereda sig väl inför tentan och lära sig hur man löser tentamensuppgifter så effektivt som möjligt. Därför är tillvägagångssättet något annorlunda i den här lektionen från skolans.

Formeln för ekvationens rötter enligt Vietas sats känner (eller åtminstone har sett) många:

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

där `a, b` och `c` är koefficienterna för kvadrattrinomialet `ax^2+bx+c`.

För att lära oss hur man enkelt använder teoremet, låt oss förstå var det kommer ifrån (det blir verkligen lättare att komma ihåg på det här sättet).

Låt oss ha ekvationen `ax^2+ bx+ c = 0`. För ytterligare bekvämlighet dividerar vi det med `a` och får `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. En sådan ekvation kallas en reducerad andragradsekvation.

Viktiga lektionspunkter: vilket kvadratiskt polynom som helst som har rötter kan delas upp i parenteser. Anta att vår kan representeras som `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, där `k` och `l` - några konstanter.

Låt oss se hur parenteserna öppnas:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Således, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

Detta skiljer sig något från den klassiska tolkningen Vietas satser- i den letar vi efter ekvationens rötter. Jag föreslår att leta efter villkor för fäste expansioner- så du behöver inte komma ihåg minus från formeln (vilket betyder `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Det räcker att välja två sådana tal, vars summa är lika med den genomsnittliga koefficienten, och produkten är lika med den fria termen.

Om vi behöver en lösning på ekvationen så är det uppenbart: rötterna `x=-k` eller `x=-l` (eftersom i dessa fall en av parenteserna sätts till noll, vilket betyder att hela uttrycket kommer att vara lika med noll).

Till exempel kommer jag att visa algoritmen, hur man bryter ner ett kvadratiskt polynom i parentes.

Exempel ett. Algoritm för att faktorisera en kvadratisk trinomial

Banan vi har är det kvadratiska trinomiet `x^2+5x+4`.

Den reduceras (koefficienten `x^2` lika med ett). Han har rötter. (För att vara säker kan du uppskatta diskriminanten och se till att den är större än noll.)

Nästa steg (de måste läras genom att göra allt utbildningsuppgifter):

Gör följande notation: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Lämna ledigt utrymme istället för prickar, vi lägger till lämpliga siffror och tecken där.
Visa alla möjliga alternativ, hur du kan dekomponera talet "4" till produkten av två tal. Vi får par av "kandidater" för rötterna till ekvationen: `2, 2` och `1, 4`.
Uppskatta från vilket par du kan få medelkoefficienten. Uppenbarligen är det `1, 4`.
Skriv $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
Nästa steg är att placera skyltar framför de infogade siffrorna.
Hur ska man förstå och komma ihåg för alltid vilka tecken som ska stå framför siffrorna inom parentes? Försök att utöka dem (parenteser). Koefficienten före `x` till den första potensen kommer att vara `(± 4 ± 1)` (vi känner inte till tecknen ännu - vi måste välja), och den bör vara lika med `5`. Uppenbarligen kommer det att finnas två plus här $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.
Utför denna operation flera gånger (hej, träningsuppgifter!) och det kommer aldrig att bli fler problem med detta.

Om du behöver lösa ekvationen `x^2+5x+4`, så är lösningen nu inte svår. Dess rötter är `-4, -1`.

Andra exemplet. Faktorisering av ett kvadratiskt trinomium med koefficienter för olika tecken

Låt oss behöva lösa ekvationen `x^2-x-2=0`. Direkt är diskriminanten positiv.

Vi följer algoritmen.

$$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
Det finns bara en heltalsfaktorisering av 2: `2 · 1`.
Vi hoppar över poängen – det finns inget att välja på.
$$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
Produkten av våra tal är negativ (`-2` är en fri term), vilket betyder att en av dem kommer att vara negativ och den andra positiv.
Eftersom deras summa är lika med `-1` (koefficienten för `x`), kommer `2` att vara negativ (intuitiv förklaring - två är det största av de två talen, det kommer att "dra" mer i negativ riktning). Vi får $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Tredje exemplet. Faktorisering av ett kvadratiskt trinomium

Ekvation `x^2+5x -84 = 0`.

$$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
Nedbrytning av 84 till heltalsfaktorer: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
Eftersom vi behöver skillnaden (eller summan) av talen för att vara 5, duger paret `7, 12`.
$$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7).$$
$$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Hoppas, sönderdelning av detta kvadratiska trinomium i parentes klar.

Om du behöver en lösning på ekvationen, så är den här: `12, -7`.