Bråkdel rationella uttryck exempel med lösningar. rationellt uttryck

Artikeln talar om förvandlingen rationella uttryck. Tänk på typerna av rationella uttryck, deras omvandlingar, grupperingar, inom parentes den gemensamma faktorn. Låt oss lära oss hur man representerar fraktionerade rationella uttryck i formen rationella bråk.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Definition och exempel på rationella uttryck

Definition 1

Uttryck som är uppbyggda av tal, variabler, parenteser, grader med åtgärderna addition, subtraktion, multiplikation, division med närvaron av en bråkstapel kallas rationella uttryck.

Till exempel har vi att 5 , 2 3 x - 5 , - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 x y 2 - 1 11 x 3 .

Det vill säga att detta är uttryck som inte har uppdelning i uttryck med variabler. Studiet av rationella uttryck börjar med årskurs 8, där de kallas rationella bråkuttryck.Särskild uppmärksamhet ägnas åt bråk i täljaren, som omvandlas med hjälp av transformationsregler.

Detta tillåter oss att gå vidare till transformationen av rationella fraktioner av en godtycklig form. Ett sådant uttryck kan betraktas som ett uttryck med närvaro av rationella bråk och heltalsuttryck med handlingstecken.

Huvudtyperna av transformationer av rationella uttryck

Rationella uttryck används för att utföra identiska transformationer, grupperingar, gjutning liknande sådana och utföra andra operationer med siffror. Syftet med sådana uttryck är att förenkla.

Exempel 1

Konvertera rationellt uttryck 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .

Beslut

Det kan ses att ett sådant rationellt uttryck är skillnaden 3 · x x · y - 1 och 2 · x x · y - 1 . Lägg märke till att de har samma nämnare. Detta innebär att minskningen av liknande termer tar formen

3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

Svar: 3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 .

Exempel 2

Utför transformationen 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) .

Beslut

Inledningsvis utför vi åtgärder inom parentes 3 · x − x = 2 · x . Detta uttryck representeras som 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x. Vi kommer fram till ett uttryck som innehåller handlingar med ett steg, det vill säga det har addition och subtraktion.

Bli av med parenteser genom att använda divisionsegenskapen. Då får vi att 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x .

Vi grupperar de numeriska faktorerna med variabeln x, efter det kan vi utföra operationer med potenser. Det förstår vi

2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4

Svar: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4 .

Exempel 3

Konvertera ett uttryck av formen x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .

Beslut

Låt oss först omvandla täljaren och nämnaren. Då får vi ett uttryck av formen (x (x + 3) - (3 x + 1)): 1 2 x 4 + 2, och åtgärderna inom parentes görs först. I täljaren utförs åtgärder och faktorer grupperas. Då får vi ett uttryck av formen x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x 2 + 3 x - 3 x - 1 1 2 4 x + 2 = x 2 - 1 2 x + 2 .

Vi transformerar formeln för skillnaden mellan kvadrater i täljaren, då får vi det

x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2

Svar: x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x - 1 2 .

Representation som en rationell bråkdel

En algebraisk bråkdel utsätts oftast för förenkling vid lösning. Varje rationell reduceras till detta olika sätt. Allt måste göras nödvändiga åtgärder med polynom så att det rationella uttrycket så småningom kan ge en rationell bråkdel.

Exempel 4

Uttryck som en rationell bråkdel a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a .

Beslut

Detta uttryck kan representeras som en 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a . Multiplikation utförs först och främst enligt reglerna.

Vi bör börja med multiplikation, sedan får vi det

a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a

Vi producerar en representation av resultatet som erhålls med originalet. Det förstår vi

a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a + 5 a a - 3 - a - 5 a + 3 a

Låt oss nu göra subtraktionen:

a + 5 a a - 3 - a - 5 a + 3 a = a + 5 a + 3 a (a - 3) (a + 3) - (a - 5) (a - 3) (a + 3) a ( a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 a 2 - 9

Därefter är det uppenbart att det ursprungliga uttrycket kommer att ha formen 16 a 2 - 9 .

Svar: a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = 16 a 2 - 9 .

Exempel 5

Uttryck x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x som en rationell bråkdel.

Beslut

Det givna uttrycket skrivs som ett bråk, i vars täljare det finns x x + 1 + 1, och i nämnaren 2 x - 1 1 + x. Det är nödvändigt att göra transformationer x x + 1 + 1 . För att göra detta måste du lägga till ett bråktal och ett tal. Vi får att x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 (x + 1) 1 (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1

Det följer att x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x

Det resulterande bråket kan skrivas som 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x .

Efter delning kommer vi fram till en rationell bråkdel av formen

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1) ) = 2 x + 1 2 x - 1

Du kan lösa det annorlunda.

Istället för att dividera med 2 x - 1 1 + x, multiplicerar vi med det reciproka 1 + x 2 x - 1 . Om vi ​​tillämpar distributionsegenskapen får vi det

x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1

Svar: x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 2 x - 1 .

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Den här lektionen kommer att täcka grundläggande information om rationella uttryck och deras omvandlingar, samt exempel på omvandling av rationella uttryck. Det här ämnet sammanfattar de ämnen vi har studerat hittills. Rationella uttryckstransformationer inkluderar addition, subtraktion, multiplikation, division, exponentiering algebraiska bråk, reduktion, faktorisering etc. Som en del av lektionen kommer vi att titta på vad ett rationellt uttryck är, och vi kommer också att analysera exempel på deras transformation.

Ämne:Algebraiska bråk. Aritmetiska operationer på algebraiska bråk

Lektion:Grundläggande information om rationella uttryck och deras omvandlingar

Definition

rationellt uttryckär ett uttryck som består av tal, variabler, aritmetiska operationer och exponentiering.

Betrakta ett exempel på ett rationellt uttryck:

Specialfall av rationella uttryck:

1:a graden: ;

2. monomial: ;

3. bråkdel: .

Rational Expression Transformationär en förenkling av ett rationellt uttryck. Operationsordningen vid konvertering av rationella uttryck: först finns det åtgärder inom parentes, sedan multiplikation (division) och sedan addition (subtraktion) operationer.

Låt oss överväga några exempel på transformation av rationella uttryck.

Exempel 1

Beslut:

Låt oss lösa detta exempel steg för steg. Åtgärden inom parentes utförs först.

Svar:

Exempel 2

Beslut:

Svar:

Exempel 3

Beslut:

Svar: .

Notera: kanske när du ser detta exempel en idé uppstod: att minska bråket innan det leder till en gemensam nämnare. Det är faktiskt helt korrekt: för det första är det önskvärt att förenkla uttrycket så mycket som möjligt och sedan omvandla det. Låt oss försöka lösa samma exempel på det andra sättet.

Som du kan se visade sig svaret vara helt lika, men lösningen visade sig vara något enklare.

I den här lektionen tittade vi på rationella uttryck och deras förvandlingar, samt flera konkreta exempel transformationsdata.

Bibliografi

1. Bashmakov M.I. Algebra 8:e klass. - M.: Upplysning, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. Algebra 8. - 5:e uppl. - M.: Utbildning, 2010.

Den här artikeln handlar om omvandling av rationella uttryck, mestadels bråkmässigt rationell, är en av nyckelfrågorna i algebrakursen för årskurs 8. Först minns vi vilken typ av uttryck som kallas rationella. Därefter kommer vi att fokusera på att utföra standardtransformationer med rationella uttryck, som att gruppera termer, ta vanliga faktorer ur parentes, reducera liknande termer, etc. Slutligen kommer vi att lära oss hur man representerar rationella bråkuttryck som rationella bråk.

Sidnavigering.

Definition och exempel på rationella uttryck

Rationella uttryck är en av de typer av uttryck som studeras på algebra-lektionerna i skolan. Låt oss ge en definition.

Definition.

Uttryck som består av tal, variabler, parenteser, grader med heltalsexponenter, kopplade med tecken aritmetiska operationer+, − och:, där division kan indikeras med en stapel av en bråkdel, kallas rationella uttryck.

Här är några exempel på rationella uttryck: .

Rationella uttryck börjar målmedvetet studeras i 7:an. Dessutom, i 7:e klass, grunderna i att arbeta med den sk hela rationella uttryck, det vill säga med rationella uttryck som inte innehåller uppdelning i uttryck med variabler. För att göra detta studeras konsekvent monomial och polynom, liksom principerna för att utföra åtgärder med dem. All denna kunskap låter dig så småningom utföra transformationen av heltalsuttryck.

I årskurs 8 går de vidare till studiet av rationella uttryck som innehåller division med ett uttryck med variabler, som kallas bråkdelar rationella uttryck. Vart i Särskild uppmärksamhet ges till den sk rationella bråk(även kallad algebraiska bråk), det vill säga bråk vars täljare och nämnare innehåller polynom. Detta gör det i slutändan möjligt att utföra omvandlingen av rationella fraktioner.

De förvärvade färdigheterna tillåter oss att gå vidare till omvandlingen av rationella uttryck av en godtycklig form. Detta förklaras av det faktum att vilket rationellt uttryck som helst kan betraktas som ett uttryck som består av rationella bråk och heltalsuttryck, sammankopplade med tecken på aritmetiska operationer. Och vi vet redan hur man arbetar med heltalsuttryck och algebraiska bråk.

Huvudtyperna av transformationer av rationella uttryck

Med rationella uttryck kan du utföra vilken som helst av de grundläggande identitetstransformationerna, oavsett om det är en gruppering av termer eller faktorer, att ta med liknande termer, utföra operationer med siffror, etc. Typiskt är syftet med dessa transformationer rationell uttrycksförenkling.

Exempel.

.

Beslut.

Det är tydligt att detta rationella uttryck är skillnaden mellan två uttryck och , och dessa uttryck liknar varandra, eftersom de har samma bokstavliga del. Således kan vi utföra en reduktion av liknande termer:

Svar:

.

Det är uppenbart att när man genomför transformationer med rationella uttryck, liksom med alla andra uttryck, måste man hålla sig inom ramen för den accepterade handlingsordningen.

Exempel.

Förvandla rationellt uttryck.

Beslut.

Vi vet att åtgärderna inom parentes utförs först. Därför transformerar vi först och främst uttrycket inom parentes: 3 x − x=2 x .

Nu kan du ersätta resultatet i det ursprungliga rationella uttrycket: . Så vi kom till ett uttryck som innehåller handlingar i ett steg - addition och multiplikation.

Låt oss ta bort parenteserna i slutet av uttrycket genom att använda egenskapen division-by-product: .

Slutligen kan vi gruppera de numeriska faktorerna och x-faktorerna och sedan utföra motsvarande operationer på siffrorna och tillämpa: .

Detta fullbordar transformationen av det rationella uttrycket, och som ett resultat fick vi en monomial.

Svar:

Exempel.

Förvandla rationellt uttryck .

Beslut.

Först konverterar vi täljaren och nämnaren. Denna ordning för omvandling av bråk förklaras av det faktum att ett bråkslags streck väsentligen är en annan divisionsbeteckning, och det ursprungliga rationella uttrycket i huvudsak är en speciell form , och åtgärderna inom parentes utförs först.

Så i täljaren utför vi operationer med polynom, först multiplikation, sedan subtraktion, och i nämnaren grupperar vi de numeriska faktorerna och beräknar deras produkt: .

Låt oss också föreställa oss täljaren och nämnaren för det resulterande bråket som en produkt: plötsligt är det möjligt att minska den algebraiska bråkdelen. För att göra detta, i täljaren vi använder formel för skillnad på kvadrater, och i nämnaren tar vi tvåan ur parentes, vi har .

Svar:

.

Så den första bekantskapen med omvandlingen av rationella uttryck kan anses vara avslutad. Vi passerar så att säga till de sötaste.

Representation som en rationell bråkdel

Det vanligaste slutmålet med att transformera uttryck är att förenkla deras form. I detta ljus, den mest enkel utsikt, till vilket ett bråkrationellt uttryck kan omvandlas, är en rationell (algebraisk) bråkdel och i ett särskilt fall ett polynom, ett monom eller ett tal.

Är det möjligt att representera något rationellt uttryck som ett rationellt bråk? Svaret är ja. Låt oss förklara varför det är så.

Som vi redan har sagt kan alla rationella uttryck betraktas som polynom och rationella bråk, sammankopplade med plus, minustecken, multiplicera och dividera. Alla relevanta operationer på polynom ger ett polynom eller en rationell bråkdel. I sin tur kan vilket polynom som helst omvandlas till ett algebraiskt bråk genom att skriva det med nämnaren 1. Och addition, subtraktion, multiplikation och division av rationella bråk resulterar i en ny rationell bråkdel. Därför, efter att ha utfört alla operationer med polynom och rationella bråk i ett rationellt uttryck, får vi ett rationellt bråk.

Exempel.

Uttryck uttrycket som en rationell bråkdel .

Beslut.

Det ursprungliga rationella uttrycket är skillnaden mellan en fraktion och en produkt av fraktioner av formen . Enligt operationsordningen måste vi först utföra multiplikationen, och först sedan additionen.

Vi börjar med att multiplicera algebraiska bråk:

Vi ersätter det erhållna resultatet med det ursprungliga rationella uttrycket: .

Vi har kommit till subtraktionen av algebraiska bråk med olika nämnare:

Så, efter att ha utfört åtgärder med rationella bråk som utgör det ursprungliga rationella uttrycket, presenterade vi det som ett rationellt bråk.

Svar:

.

För att konsolidera materialet kommer vi att analysera lösningen av ett annat exempel.

Exempel.

Uttryck ett rationellt uttryck som ett rationellt bråk.

Några fraktionellt uttryck(punkt 48) kan skrivas som , där P och Q är rationella uttryck, och Q nödvändigtvis innehåller variabler. Ett sådant bråk kallas ett rationellt bråk.

Exempel på rationella bråk:

Huvudegenskapen för ett bråk uttrycks av en identitet som är giltig under villkoren här - ett helt rationellt uttryck. Det betyder att täljaren och nämnaren för ett rationellt bråk kan multipliceras eller divideras med samma tal som inte är noll, monomer eller polynom.

Egenskapen för ett bråk kan till exempel användas för att ändra tecknen för medlemmarna i ett bråk. Om täljaren och nämnaren för ett bråk multipliceras med -1 får vi. Således kommer bråkets värde inte att ändras om tecknen för täljaren och nämnaren ändras samtidigt. Om du ändrar tecknet för endast täljaren eller bara nämnaren, kommer bråket att ändra sitt tecken:

Till exempel,

60. Reduktion av rationella bråk.

Att reducera ett bråk är att dividera täljaren och nämnaren för ett bråk med en gemensam faktor. Möjligheten till en sådan minskning beror på fraktionens huvudegenskap.

För att minska en rationell bråkdel måste du faktorisera täljaren och nämnaren. Om det visar sig att täljaren och nämnaren har gemensamma faktorer, kan bråket reduceras. Om det inte finns några gemensamma faktorer är omvandlingen av fraktionen genom reduktion omöjlig.

Exempel. Minska fraktion

Beslut. Vi har

Reduktionen av fraktionen utförs under villkoret.

61. Att föra rationella bråk till en gemensam nämnare.

Den gemensamma nämnaren för flera rationella bråk är hela det rationella uttrycket, som divideras med nämnaren för varje bråk (se punkt 54).

Till exempel fungerar ett polynom som en gemensam nämnare för bråk, eftersom det är delbart med och med och med och med ett polynom och ett polynom och ett polynom, etc. Vanligtvis tas en sådan gemensam nämnare att vilken annan gemensam nämnare som helst är delbar med Echosen. Denna enklaste nämnare kallas ibland för den minsta gemensamma nämnaren.

I exemplet ovan är den gemensamma nämnaren Vi har

Att reducera dessa bråk till en gemensam nämnare uppnås genom att multiplicera täljaren och nämnaren för det första bråket med 2. Och täljaren och nämnaren för det andra bråket med polynom kallas ytterligare faktorer för det första respektive andra bråket. Tilläggsfaktorn för ett givet bråk är lika med kvoten för att dividera den gemensamma nämnaren med nämnaren för det givna bråket.

För att reducera flera rationella bråk till en gemensam nämnare behöver du:

1) dekomponera nämnaren för varje fraktion i faktorer;

2) göra en gemensam nämnare, inklusive som faktorer i den alla faktorer som erhållits i punkt 1) av expansionerna; om en viss faktor finns i flera expansioner, så tas den med en exponent lika med den största av de tillgängliga;

3) hitta ytterligare faktorer för vart och ett av bråken (för detta delas den gemensamma nämnaren med bråkets nämnare);

4) multiplicera täljaren och nämnaren för varje bråk med ytterligare en faktor, för bråket till en gemensam nämnare.

Exempel. Minska till en gemensam nämnare för ett bråk

Beslut. Låt oss faktorisera nämnare:

Följande faktorer måste inkluderas i den gemensamma nämnaren: och den minsta gemensamma multipeln av talen 12, 18, 24, dvs. Så den gemensamma nämnaren är

Ytterligare multiplikatorer: för den första bråkdelen för den andra för den tredje Så vi får:

62. Addition och subtraktion av rationella bråk.

Summan av två (och i allmänhet valfritt ändligt tal) rationella bråk med samma nämnare identiskt lika med ett bråk med samma nämnare och med en täljare lika med summan av täljarna för de adderade bråken:

Situationen är liknande när man subtraherar bråk med samma nämnare:

Exempel 1: Förenkla ett uttryck

Beslut.

För att addera eller subtrahera rationella bråk med olika nämnare måste du först föra bråken till en gemensam nämnare och sedan utföra operationer på de resulterande bråken med samma nämnare.

Exempel 2: Förenkla ett uttryck

Beslut. Vi har

63. Multiplikation och division av rationella bråk.

Produkten av två (och i allmänhet alla ändliga tal) rationella bråk är identiskt lika med ett bråk vars täljare är lika med produkten av täljarna, och nämnaren är produkten av nämnare av de multiplicerade bråken:

Kvoten för att dividera två rationella bråk är identiskt lika med ett bråk vars täljare är lika med produkten av täljaren i det första bråket med nämnaren i det andra bråket, och nämnaren är produkten av nämnaren i det första bråket med täljaren för det andra bråket:

De formulerade reglerna för multiplikation och division gäller även vid multiplikation eller division med ett polynom: det räcker att skriva detta polynom som ett bråktal med nämnaren 1.

Med tanke på möjligheten att reducera ett rationellt bråk som erhålls genom att multiplicera eller dividera rationella bråk, strävar man vanligtvis efter att faktorisera de ursprungliga bråkens täljare och nämnare innan man utför dessa operationer.

Exempel 1. Multiplicera

Beslut. Vi har

Med hjälp av regeln för multiplikation av bråk får vi:

Exempel 2: Utför division

Beslut. Vi har

Med hjälp av divisionsregeln får vi:

64. Att höja en rationell bråkdel till en heltalspotens.

För att höja ett rationellt bråk - till en naturlig makt, måste du höja täljaren och nämnaren för bråket separat till denna potens; det första uttrycket är täljaren och det andra uttrycket är nämnaren för resultatet:

Exempel 1. Konvertera en potens av 3 till en bråkdel.

Lösning Lösning.

När man höjer en bråkdel till en negativ heltalspotens används en identitet som är giltig för alla värden av variablerna för vilka .

Exempel 2. Konvertera uttryck till bråk

65. Transformation av rationella uttryck.

Omvandlingen av alla rationella uttryck handlar om att addera, subtrahera, multiplicera och dividera rationella bråk, såväl som att höja en bråkdel till en naturlig makt. Vilket rationellt uttryck som helst kan omvandlas till ett bråk vars täljare och nämnare är heltals rationella uttryck; detta är oftast målet identiska transformationer rationella uttryck.

Exempel. Förenkla uttryck

66. De enklaste omvandlingarna av aritmetiska rötter (radikaler).

Vid omvandling av aritmetisk coria används deras egenskaper (se punkt 35).

Betrakta några exempel på användningen av fastigheter aritmetiska rötter för radikalernas enklaste förvandlingar. I det här fallet kommer alla variabler att anses ha endast icke-negativa värden.

Exempel 1. Extrahera roten av produkten

Beslut. Genom att tillämpa egenskap 1° får vi:

Exempel 2. Ta ut faktorn under rottecknet

Beslut.

En sådan transformation kallas utfaktoring under rottecknet. Syftet med omvandlingen är att förenkla det radikala uttrycket.

Exempel 3: Förenkla.

Beslut. Enligt egenskap 3° brukar vi försöka förenkla det radikala uttrycket, för vilket de tar ut multiplikatorerna bortom coriumtecknet. Vi har

Exempel 4: Förenkla

Beslut. Vi transformerar uttrycket genom att införa en faktor under rotens tecken: Genom egenskap 4° har vi

Exempel 5: Förenkla

Beslut. Genom egenskap 5° har vi rätt att dela upp exponenten för roten och exponenten för rotuttrycket i samma naturligt nummer. Om vi ​​i exemplet under övervägande delar de angivna indikatorerna med 3, får vi .

Exempel 6. Förenkla uttryck:

Lösning, a) Med egenskap 1° får vi att för att multiplicera rötter av samma grad, räcker det att multiplicera rotuttrycken och extrahera roten av samma grad från det erhållna resultatet. Betyder att,

b) Först och främst måste vi reducera radikalerna till ett index. Enligt egenskap 5° kan vi multiplicera rotens exponent med samma naturliga tal. Därför, Nästa har vi nu i resultatet som erhålls genom att dividera indikatorerna för roten och graden av det radikala uttrycket med 3, vi får .