Hur man löser rationella ekvationer korrekt. Rationella ekvationer

Ekvationer med bråk i sig är inte svåra och mycket intressanta. Tänk på typerna bråkekvationer och sätt att lösa dem.

Hur man löser ekvationer med bråk - x i täljaren

Om en bråkekvation ges, där det okända finns i täljaren, kräver lösningen inga ytterligare villkor och löses utan extra krångel. Allmän form en sådan ekvation är x/a + b = c, där x är ett okänt, a, b och c är vanliga tal.

Hitta x: x/5 + 10 = 70.

För att lösa ekvationen måste du bli av med bråken. Multiplicera varje term i ekvationen med 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x och 5 reduceras, 10 och 70 multipliceras med 5 och vi får: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Hitta x: x/5 + x/10 = 90.

Det här exemplet är en lite mer komplicerad version av det första. Det finns två lösningar här.

• Alternativ 1: Bli av med bråk genom att multiplicera alla termer i ekvationen med en större nämnare, det vill säga med 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
• Alternativ 2: Lägg till vänster sida av ekvationen. x/5 + x/10 = 90. Den gemensamma nämnaren är 10. Dividera 10 med 5, multiplicera med x, vi får 2x. 10 dividerat med 10, multiplicerat med x, får vi x: 2x+x/10 = 90. Därav 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Ofta finns det bråkekvationer där x är på motsatta sidor av likhetstecknet. I en sådan situation är det nödvändigt att överföra alla bråk med x i en riktning och talen i en annan.

• Hitta x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Flytta 2x/5 åt höger med motsatt tecken: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Vi minskar 5x/5 och får: x = 130.

Hur man löser en ekvation med bråk - x i nämnaren

Denna typ av bråkekvationer kräver att man skriver ytterligare villkor. Angivandet av dessa villkor är en obligatorisk och integrerad del rätt beslut. Genom att inte tillskriva dem löper du risken, eftersom svaret (även om det är korrekt) kanske helt enkelt inte räknas.

Den allmänna formen av bråkekvationer, där x är i nämnaren, är: a/x + b = c, där x är ett okänt, a, b, c är vanliga tal. Observera att x kanske inte är något tal. Till exempel kan x inte vara noll, eftersom du inte kan dividera med 0. Det här är vad som är ytterligare villkor, som vi måste specificera. Detta kallas området för acceptabla värden, förkortat - ODZ.

Hitta x: 15/x + 18 = 21.

Vi skriver omedelbart ODZ för x: x ≠ 0. Nu när ODZ indikeras löser vi ekvationen med hjälp av standardschema bli av med bråk. Vi multiplicerar alla termer i ekvationen med x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Ofta finns det ekvationer där nämnaren inte bara innehåller x, utan även någon annan operation med den, till exempel addition eller subtraktion.

Hitta x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Vi vet redan att nämnaren inte kan vara lika med noll, vilket betyder x-3 ≠ 0. Vi överför -3 till höger sida, samtidigt som vi ändrar "-"-tecknet till "+" och vi får att x ≠ 3. ODZ är anges.

Lös ekvationen, multiplicera allt med x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Flytta x-en åt höger, siffrorna till vänster: 24 = 3x => x = 8.

Lektionens mål:

Handledning:

• bildandet av begreppet rationella bråkekvationer;
• att överväga olika sätt att lösa rationella bråkekvationer;
• överväga en algoritm för att lösa rationella bråkekvationer, inklusive villkoret att bråkdelen är lika med noll;
• att lära ut lösningen av rationella bråkekvationer enligt algoritmen;
• kontrollera graden av assimilering av ämnet genom att utföra testarbete.

Utvecklande:

• utveckling av förmågan att korrekt arbeta med den förvärvade kunskapen, att tänka logiskt;
• utveckling av intellektuella färdigheter och mentala operationer - analys, syntes, jämförelse och generalisering;
• utveckling av initiativ, förmågan att fatta beslut, att inte stanna där;
• utveckling kritiskt tänkande;
• utveckling av forskningskompetens.

Vårdande:

• uppfostran kognitivt intresse till ämnet;
• utbildning av oberoende vid lösning av utbildningsproblem;
• utbildning av vilja och uthållighet för att uppnå de slutliga resultaten.

Lektionstyp: lektion - förklaring av nytt material.

Under lektionerna

1. Organisatoriskt ögonblick.

Hej grabbar! Ekvationer skrivs på tavlan, titta noga på dem. Kan du lösa alla dessa ekvationer? Vilka är det inte och varför?

Ekvationer där vänster och höger del är bråkrationella uttryck kallas bråkrationella ekvationer. Vad tror du att vi kommer att studera i dag på lektionen? Formulera ämnet för lektionen. Så vi öppnar anteckningsböcker och skriver ner ämnet för lektionen "Lösning av fraktionella rationella ekvationer".

2. Aktualisering av kunskap. Frontalundersökning, muntligt arbete med klassen.

Och nu kommer vi att upprepa det huvudsakliga teoretiska materialet som vi behöver studera nytt ämne. Vänligen svara på följande frågor:

1. Vad är en ekvation? ( Likhet med en variabel eller variabler.)
2. Vad kallas ekvation #1? ( Linjär.) Lösningsmetod linjära ekvationer. (Flytta allt med det okända till vänster sida av ekvationen, alla siffror till höger. Ta med liknande termer. Hitta den okända multiplikatorn).
3. Vad kallas ekvation 3? ( Fyrkant.) Metoder för att lösa andragradsekvationer. ( Val av hela kvadraten, med formler, med hjälp av Vieta-satsen och dess konsekvenser.)
4. Vad är en proportion? ( Jämlikhet mellan två relationer.) Proportionernas huvudsakliga egenskap. ( Om andelen är sann, är produkten av dess extrema termer lika med produkten av mellantermerna.)
5. Vilka egenskaper används för att lösa ekvationer? ( 1. Om vi ​​i ekvationen överför termen från en del till en annan och ändrar dess tecken, så får vi en ekvation som motsvarar den givna. 2. Om båda delarna av ekvationen multipliceras eller divideras med samma tal som inte är noll, kommer en ekvation att erhållas som är ekvivalent med den givna.)
6. När är en bråkdel lika med noll? ( Bråket är noll när täljaren noll-, och nämnaren är inte lika med noll.)

3. Förklaring av nytt material.

Lös ekvation nr 2 i anteckningsböcker och på tavlan.

Svar: 10.

Som rationell bråkekvation kan du försöka lösa med den grundläggande proportionsegenskapen? (nr 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Lös ekvation nr 4 i anteckningsböcker och på tavlan.

Svar: 1,5.

Vilken rationell bråkekvation kan du försöka lösa genom att multiplicera båda sidor av ekvationen med nämnaren? (nr 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, xl=3, x2=4.

Svar: 3;4.

Försök nu att lösa ekvation #7 på ett av sätten.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Svar: 0;5;-2.			Svar: 5;-2.

Förklara varför detta hände? Varför finns det tre rötter i det ena fallet och två i det andra? Vilka tal är rötterna till denna rationella bråkekvation?

Hittills har eleverna inte träffat begreppet en främmande rot, det är verkligen väldigt svårt för dem att förstå varför detta hände. Om ingen i klassen kan ge en tydlig förklaring till denna situation, då ställer läraren ledande frågor.

• Hur skiljer sig ekvationerna nr 2 och 4 från ekvationerna nr 5,6,7? ( I ekvationerna nr 2 och 4 i talets nämnare nr 5-7 - uttryck med en variabel.)
• Vad är roten till ekvationen? ( Värdet på variabeln vid vilken ekvationen blir en sann likhet.)
• Hur tar man reda på om ett tal är roten till en ekvation? ( Gör en kontroll.)

När de gör ett test märker en del elever att de måste dividera med noll. De drar slutsatsen att siffrorna 0 och 5 inte är rötter. given ekvation. Frågan uppstår: finns det ett sätt att lösa rationella bråkekvationer som eliminerar detta fel? Ja, denna metod är baserad på villkoret att bråket är lika med noll.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

Om x=5 så är x(x-5)=0, så 5 är en främmande rot.

Om x=-2, då x(x-5)≠0.

Svar: -2.

Låt oss försöka formulera en algoritm för att lösa rationella bråkekvationer på detta sätt. Barnen formulerar själva algoritmen.

Algoritm för att lösa rationella bråkekvationer:

1. Flytta allt åt vänster.
2. Ta bråk till en gemensam nämnare.
3. Skapa ett system: ett bråk är noll när täljaren är noll och nämnaren inte är noll.
4. Lös ekvationen.
5. Kontrollera ojämlikhet för att utesluta främmande rötter.
6. Skriv ner svaret.

Diskussion: hur man formaliserar lösningen om den grundläggande egenskapen proportion används och multiplicering av båda sidor av ekvationen med en gemensam nämnare. (Komplettera lösningen: uteslut från dess rötter de som vänder den gemensamma nämnaren till noll).

4. Primär förståelse av nytt material.

Arbeta i par. Eleverna väljer hur de ska lösa ekvationen på egen hand, beroende på typen av ekvation. Uppgifter från läroboken "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: nr 600 (b, c, i); nr 601(a, e, g). Läraren kontrollerar utförandet av uppgiften, svarar på de frågor som har uppstått och ger hjälp till dåligt presterande elever. Självtest: Svar skrivs på tavlan.

b) 2 är en främmande rot. Svar: 3.

c) 2 är en främmande rot. Svar: 1.5.

a) Svar: -12.5.

g) Svar: 1; 1,5.

5. Redovisning av läxor.

1. Läs punkt 25 från läroboken, analysera exempel 1-3.
2. Lär dig algoritmen för att lösa rationella bråkekvationer.
3. Lös i anteckningsböcker nr 600 (a, d, e); nr 601 (g, h).
4. Försök att lösa #696(a) (valfritt).

6. Uppfyllande av kontrolluppgiften på det studerade ämnet.

Arbetet utförs på ark.

Exempel på jobb:

A) Vilka av ekvationerna är bråkrationella?

B) Ett bråktal är noll när täljaren är ___________ och nämnaren är _______________________.

F) Är talet -3 roten till ekvation #6?

D) Lös ekvation nr 7.

Kriterier för uppgiftsutvärdering:

• "5" ges om eleven genomfört mer än 90 % av uppgiften korrekt.
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• "2" ges till en elev som klarat mindre än 50 % av uppgiften.
• Betyg 2 läggs inte i journalen, 3 är valfritt.

7. Reflektion.

På broschyrerna med självständigt arbete, lägg:

• 1 - om lektionen var intressant och förståelig för dig;
• 2 - intressant, men inte tydligt;
• 3 - inte intressant, men förståeligt;
• 4 - inte intressant, inte klart.

8. Sammanfattning av lektionen.

Så idag i lektionen bekantade vi oss med rationella bråkekvationer, lärde oss hur man löser dessa ekvationer olika sätt, testade sina kunskaper med hjälp av träning självständigt arbete. Du kommer att lära dig resultatet av självständigt arbete i nästa lektion, hemma kommer du att ha möjlighet att befästa den kunskap som vunnits.

Vilken metod för att lösa rationella bråkekvationer är enligt din åsikt lättare, mer tillgänglig, mer rationell? Oavsett metoden för att lösa rationella bråkekvationer, vad bör man inte glömma? Vad är "slugheten" med fraktionerade rationella ekvationer?

Tack alla, lektionen är över.

Vi har redan lärt oss hur man löser andragradsekvationer. Låt oss nu utvidga de studerade metoderna till rationella ekvationer.

Vad rationellt uttryck? Vi har redan stött på detta koncept. Rationella uttryck kallas uttryck som består av tal, variabler, deras grader och tecken på matematiska operationer.

Följaktligen är rationella ekvationer ekvationer av formen: , där - rationella uttryck.

Tidigare betraktade vi endast de rationella ekvationerna som reduceras till linjära. Låt oss nu överväga de rationella ekvationerna som kan reduceras till kvadratiska.

Exempel 1

Lös ekvationen: .

Beslut:

Ett bråk är 0 om och endast om dess täljare är 0 och dess nämnare inte är 0.

Vi får följande system:

Systemets första ekvation är andragradsekvation. Innan vi löser det delar vi alla dess koefficienter med 3. Vi får:

Vi får två rötter: ; .

Eftersom 2 aldrig är lika med 0 måste två villkor vara uppfyllda: . Eftersom ingen av rötterna till ekvationen som erhållits ovan matchar de ogiltiga värdena för variabeln som erhölls när man löste den andra olikheten, är de båda lösningarna till denna ekvation.

Svar:.

Så låt oss formulera en algoritm för att lösa rationella ekvationer:

1. Flytta alla termer till vänster så att 0 erhålls på höger sida.

2. Förvandla och förenkla den vänstra sidan, få alla bråk till en gemensam nämnare.

3. Jämställ den resulterande bråkdelen med 0, enligt följande algoritm: .

4. Skriv ner de rötter som erhålls i den första ekvationen och tillfredsställ den andra olikheten som svar.

Låt oss titta på ett annat exempel.

Exempel 2

Lös ekvationen: .

Beslut

Allra i början överför vi alla villkor till vänster sida så att 0 blir kvar till höger. Vi får:

Nu tar vi den vänstra sidan av ekvationen till en gemensam nämnare:

Denna ekvation är ekvivalent med systemet:

Den första ekvationen i systemet är en andragradsekvation.

Koefficienterna för denna ekvation: . Vi beräknar diskriminanten:

Vi får två rötter: ; .

Låt oss nu lösa den andra olikheten: produkten av faktorer är inte lika med 0 om och endast om ingen av faktorerna är lika med 0.

Två villkor måste vara uppfyllda: . Vi får att av de två rötterna i den första ekvationen, bara en är lämplig - 3.

Svar:.

I den här lektionen kom vi ihåg vad ett rationellt uttryck är, och lärde oss också hur man löser rationella ekvationer, som reduceras till andragradsekvationer.

I nästa lektion kommer vi att betrakta rationella ekvationer som modeller av verkliga situationer, och även överväga rörelseproblem.

Bibliografi

1. Bashmakov M.I. Algebra, 8:e klass. - M.: Upplysning, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al., Algebra, 8. 5:e uppl. - M.: Utbildning, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8:e klass. Handledning för läroanstalter. - M.: Utbildning, 2006.

1. Festival för pedagogiska idéer" Offentlig lektion" ().
2. School.xvatit.com().
3. Rudocs.exdat.com().

Läxa

Hittills har vi bara löst heltalsekvationer med avseende på det okända, det vill säga ekvationer där nämnare (om några) inte innehöll det okända.

Ofta måste man lösa ekvationer som innehåller det okända i nämnarna: sådana ekvationer kallas bråktal.

För att lösa denna ekvation multiplicerar vi båda sidor av den med det vill säga med ett polynom som innehåller det okända. Kommer den nya ekvationen att vara likvärdig med den givna? För att svara på frågan, låt oss lösa denna ekvation.

Om vi ​​multiplicerar båda sidor av det med , får vi:

När vi löser denna ekvation av första graden finner vi:

Så, ekvation (2) har en enda rot

Om vi ​​ersätter det med ekvation (1), får vi:

Därför är också roten till ekvation (1).

Ekvation (1) har inga andra rötter. I vårt exempel kan detta till exempel ses av att i ekvation (1)

Hur den okända divisorn ska vara lika med utdelningen 1 dividerat med kvoten 2, d.v.s.

Så, ekvationerna (1) och (2) har en enda rot, så de är ekvivalenta.

2. Vi löser nu följande ekvation:

Den enklaste gemensamma nämnaren: ; multiplicera alla termer i ekvationen med det:

Efter reduktion får vi:

Låt oss utöka parenteserna:

Med liknande termer har vi:

När vi löser denna ekvation finner vi:

Om vi ​​ställer in i ekvation (1), får vi:

På vänster sida fick vi uttryck som inte är vettiga.

Därför är inte roten till ekvation (1) det. Detta innebär att ekvationerna (1) och inte är ekvivalenta.

I det här fallet säger vi att ekvation (1) har fått en främmande rot.

Låt oss jämföra lösningen av ekvation (1) med lösningen av ekvationerna vi övervägde tidigare (se § 51). För att lösa denna ekvation var vi tvungna att utföra två sådana operationer som inte hade setts tidigare: för det första multiplicerade vi båda sidor av ekvationen med ett uttryck som innehåller det okända (gemensamma nämnaren), och för det andra reducerade vi algebraiska bråk med faktorer som innehåller det okända.

Genom att jämföra ekvation (1) med ekvation (2) ser vi att inte alla x-värden som är giltiga för ekvation (2) är giltiga för ekvation (1).

Det är siffrorna 1 och 3 som inte är tillåtna värden för det okända för ekvation (1), och som ett resultat av transformationen blev de tillåtna för ekvation (2). Ett av dessa tal visade sig vara en lösning på ekvation (2), men det kan naturligtvis inte vara en lösning på ekvation (1). Ekvation (1) har inga lösningar.

Detta exempel visar att när båda sidor av ekvationen multipliceras med en faktor som innehåller det okända och när algebraiska bråk en ekvation kan erhållas som inte är likvärdig med denna, nämligen: främmande rötter kan förekomma.

Därför drar vi följande slutsats. När man löser en ekvation som innehåller en okänd i nämnaren, måste de resulterande rötterna kontrolleras genom substitution i den ursprungliga ekvationen. Främmande rötter måste kasseras.

Enkelt uttryckt är dessa ekvationer där det finns minst en med en variabel i nämnaren.

Till exempel:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Exempel inte rationella bråkekvationer:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Hur löses rationella bråkekvationer?

Det viktigaste att komma ihåg om rationella bråkekvationer är att du måste skriva i dem. Och efter att ha hittat rötterna, se till att kontrollera dem för tillåtlighet. Annars kan främmande rötter dyka upp, och hela lösningen kommer att anses vara felaktig.

Algoritm för att lösa en rationell bråkekvation:

Skriv ut och "lös" ODZ.

Multiplicera varje term i ekvationen med en gemensam nämnare och reducera de resulterande bråken. Nämnarna kommer att försvinna.

Skriv ekvationen utan öppna parenteser.

Lös den resulterande ekvationen.

Kontrollera de hittade rötterna med ODZ.

Skriv ner som svar rötterna som klarade testet i steg 7.

memorera inte algoritmen, 3-5 lösta ekvationer - så kommer den att komma ihåg av sig själv.

Exempel . Lös rationell bråkekvation \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Beslut:

Svar: \(3\).

Exempel . Hitta rötterna till den rationella bråkekvationen \(=0\)

Beslut:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Vi skriver ner och "löser" ODZ. Expandera \(x^2+7x+10\) till formeln: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Lyckligtvis har vi redan hittat \(x_1\) och \(x_2\).
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Uppenbarligen den gemensamma nämnaren för bråk: \((x+2)(x+5)\). Vi multiplicerar hela ekvationen med den.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Vi minskar fraktioner
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Öppna fästena
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Vi ger lika villkor
\(2x^2+9x-5=0\)		Att hitta rötterna till ekvationen
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		En av rötterna passar inte under ODZ, så som svar skriver vi bara ner den andra roten.

Svar: \(\frac(1)(2)\).