Att höja en bråkdel till en kub. Att höja en algebraisk bråkdel till en potens

Det är dags att bekanta dig med erektion algebraisk bråkdel till en viss grad. Denna handling med algebraiska bråk, i termer av graden, reduceras till multiplikation identiska fraktioner. I den här artikeln kommer vi att ge motsvarande regel och överväga exempel på att höja algebraiska bråk till naturliga krafter.

Sidnavigering.

Regeln att höja en algebraisk bråkdel till en potens, dess bevis

Innan man pratar om att höja en algebraisk bråkdel till en potens, skadar det inte att komma ihåg vad produkten av samma faktorer som står vid basen av graden är, och deras antal bestäms av indikatorn. Till exempel, 2 3 =2 2 2=8 .

Och låt oss nu komma ihåg regeln om att höja till makten av en vanlig bråkdel - för detta måste du separat höja täljaren till den angivna styrkan och separat nämnaren. Till exempel, . Denna regel gäller för att höja en algebraisk bråkdel till en naturlig potens.

Att höja en algebraisk bråkdel till en naturlig kraft ger ett nytt bråk, i vars täljare är den angivna graden av täljaren för det ursprungliga bråket, och i nämnaren - graden av nämnaren. I bokstavlig form motsvarar denna regel likheten , där a och b är godtyckliga polynom (i särskilda fall, monomial eller tal), och b är ett polynom som inte är noll, och n är .

Beviset för den uttryckta regeln för att höja en algebraisk bråkdel till en potens är baserad på definitionen av en grad med en naturlig exponent och på hur vi definierade multiplikationen av algebraiska bråk: .

Exempel, lösningar

Regeln som erhölls i föregående stycke reducerar höjningen av en algebraisk bråkdel till en potens till höjningen av täljaren och nämnaren för den ursprungliga bråkdelen till denna potens. Och eftersom täljaren och nämnaren för den ursprungliga algebraiska bråkdelen är polynom (i det speciella fallet monomial eller tal), reduceras den ursprungliga uppgiften till att höja polynom till en potens. Efter att ha utfört denna åtgärd kommer en ny algebraisk bråkdel att erhållas, identiskt lika med den angivna potensen av den ursprungliga algebraiska bråkdelen.

Låt oss ta en titt på några exempel.

Exempel.

Kvadra en algebraisk bråkdel.

Lösning.

Låt oss skriva examen. Nu vänder vi oss till regeln för att höja en algebraisk bråkdel till en potens, den ger oss likheten . Det återstår att omvandla den resulterande fraktionen till formen av en algebraisk fraktion genom att höja monomialer till en potens. Så .

Vanligtvis, när man höjer en algebraisk bråkdel till en potens, förklaras inte lösningens förlopp, och lösningen skrivs kort. Vårt exempel motsvarar rekordet .

Svar:

.

När polynom, särskilt binomial, finns i täljaren och/eller nämnaren för en algebraisk bråkdel, är det lämpligt att använda motsvarande förkortade multiplikationsformler när man höjer den till en potens.

Exempel.

Höj en algebraisk bråkdel till andra graden.

Lösning.

Genom regeln att höja en bråkdel till en makt, har vi .

För att transformera det resulterande uttrycket i täljaren använder vi differenskvadratformel, och i nämnaren - formeln för kvadraten av summan av tre termer:

Svar:

Sammanfattningsvis noterar vi att om vi höjer en irreducerbar algebraisk bråkdel till en naturlig potens, så blir resultatet också en irreducerbar bråkdel. Om den ursprungliga bråkdelen kan avbrytas, är det lämpligt att minska den algebraiska bråkdelen innan du höjer den till en potens för att inte utföra reduktionen efter att ha höjts till en potens.

Bibliografi.

• Algebra: lärobok för 8 celler. Allmän utbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakovskij. - 16:e uppl. - M. : Utbildning, 2008. - 271 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8: e klass. Kl 14. Del 1. Elevens lärobok läroinstitut/ A. G. Mordkovich. - 11:e uppl., raderad. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (en manual för sökande till tekniska skolor): Proc. ersättning.- M.; Högre skola, 1984.-351 s., ill.

Upphovsrätt av smarta elever

Alla rättigheter förbehållna.
Skyddad av upphovsrättslagen. Ingen del av www.webbplatsen, inklusive inre material och yttre design får inte reproduceras i någon form eller användas utan föregående skriftligt tillstånd från upphovsrättsinnehavaren.

I fortsättningen på samtalet om graden av ett tal är det logiskt att syssla med att hitta gradens värde. Denna process har fått ett namn exponentiering. I den här artikeln kommer vi bara att studera hur exponentiering utförs, medan vi kommer att beröra alla möjliga exponenter - naturliga, heltals, rationella och irrationella. Och av tradition kommer vi att i detalj överväga lösningarna på exempel på att höja siffror i olika grader.

Sidnavigering.

Vad betyder "exponentiering"?

Låt oss börja med att förklara vad som kallas exponentiering. Här är den relevanta definitionen.

Definition.

Exponentieringär att hitta värdet av potensen av ett tal.

Att hitta värdet av potensen av a med exponenten r och höja talet a till potensen av r är alltså samma sak. Till exempel, om uppgiften är "beräkna värdet av potensen (0,5) 5", kan den omformuleras enligt följande: "Höj talet 0,5 till potensen 5".

Nu kan du gå direkt till reglerna för exponentiering.

Att höja ett nummer till en naturlig kraft

I praktiken tillämpas oftast jämställdhet utifrån i formen . Det vill säga, när man höjer talet a till en bråkpotens m/n, extraheras först roten av den n:te graden från talet a, varefter resultatet höjs till en heltalspotens m.

Överväg lösningar på exempel på att höja till en bråkdel.

Exempel.

Beräkna värdet på graden.

Lösning.

Vi visar två lösningar.

Första sättet. Per definition av grad med en bråkdelsexponent. Vi beräknar gradens värde under rotens tecken, varefter vi extraherar kubikroten: .

Det andra sättet. Genom definition av en grad med bråkexponent och på basis av egenskaperna hos rötterna är likheterna sanna . Extrahera nu roten Slutligen höjer vi till en heltalspotens .

Uppenbarligen sammanfaller de erhållna resultaten av att höja till en bråkdel.

Svar:

Observera att bråkexponenten kan skrivas som ett decimalbråk eller ett blandat tal, i dessa fall ska det ersättas med motsvarande ordinarie bråktal, och sedan ska exponentiering utföras.

Exempel.

Beräkna (44,89) 2,5 .

Lösning.

Vi skriver exponenten i form av en vanlig bråkdel (om nödvändigt, se artikeln): . Nu utför vi höjning till en bråkdel:

Svar:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Det bör också sägas att att höja siffror till rationella potenser är en ganska mödosam process (särskilt när täljaren och nämnaren för bråkexponenten innehåller tillräckligt med stora siffror), vilket vanligtvis utförs med hjälp av datorteknik.

Som avslutning av detta stycke kommer vi att uppehålla oss vid konstruktionen av talet noll till en bråkpotens. Vi gav följande betydelse till bråkgraden noll i formen: för vi har , medan noll till effekten m/n inte är definierad. Alltså noll till en positiv bråkpotens noll-, till exempel, . Och noll i en negativ bråkpotens är inte vettigt, till exempel är uttrycken och 0 -4,3 inte vettiga.

Att höja sig till en irrationell makt

Ibland blir det nödvändigt att ta reda på värdet på graden av ett tal med en irrationell exponent. I det här fallet räcker det av praktiska skäl oftast att få fram examensvärdet upp till ett visst tecken. Vi noterar genast att detta värde beräknas i praktiken med hjälp av elektronisk datorteknik, eftersom höjning till ir rationell grad manuellt kräver ett stort antal krångliga beräkningar. Vi kommer dock att beskriva i generella termer handlingens kärna.

För att få ett ungefärligt värde på styrkan av en med irrationell indikator, en decimal approximation av exponenten tas, och värdet på exponenten beräknas. Detta värde är det ungefärliga värdet av graden av talet a med en irrationell exponent. Ju mer exakt decimal approximation av ett tal tas initialt, desto mer exakt värde examen kommer att erhållas i slutändan.

Som ett exempel, låt oss beräkna det ungefärliga värdet av potensen 2 1,174367... . Låt oss ta följande decimalapproximation av en irrationell indikator: . Nu höjer vi 2 till en rationell makt på 1,17 (vi beskrev kärnan i denna process i föregående stycke), vi får 2 1,17 ≈ 2,250116. På det här sättet, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Om vi ​​tar en mer exakt decimal approximation av en irrationell exponent, till exempel, , får vi ett mer exakt värde på den ursprungliga graden: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematik Zh lärobok för 5 celler. läroinstitut.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: en lärobok för 7 celler. läroinstitut.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: lärobok för 8 celler. läroinstitut.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: en lärobok för 9 celler. läroinstitut.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra och början av analys: En lärobok för årskurserna 10-11 av allmänna utbildningsinstitutioner.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual för sökande till tekniska skolor).

Lektionen kommer att överväga en mer generaliserad version av multiplikationen av bråk - detta är exponentiering. Först och främst kommer vi att prata om fraktionens naturliga grad och exempel som visar liknande åtgärder med fraktioner. I början av lektionen kommer vi också att upprepa höjningen till en naturlig kraft av heltalsuttryck och se hur detta är användbart för att lösa ytterligare exempel.

Ämne: Algebraiska bråk. Aritmetiska operationer på algebraiska bråk

Lektion: Att höja en algebraisk bråkdel till en potens

1. Regler för att höja bråk och heltalsuttryck till naturliga potenser med elementära exempel

Regeln för att höja vanliga och algebraiska bråk till naturliga krafter:

Du kan dra en analogi med graden av ett heltalsuttryck och komma ihåg vad som menas med att höja det till en potens:

Exempel 1 .

Som du kan se i exemplet är det att höja en bråkdel till en potens specialfall multiplikation av bråk, som studerades i föregående lektion.

Exempel 2. a), b) – minus försvinner, eftersom vi höjt uttrycket till en jämn kraft.

För att underlätta arbetet med examina minns vi de grundläggande reglerna för att höja till en naturlig makt:

- produkt av grader;

- uppdelning av examina;

Att höja en grad till en makt;

Graden av arbetet.

Exempel 3. - detta är känt för oss sedan ämnet "Höjning till kraften av heltalsuttryck", förutom ett fall: det existerar inte.

2. De enklaste exemplen för att höja algebraiska bråk till naturliga potenser

Exempel 4. Höj en bråkdel till en potens.

Lösning. När den höjs till en jämn effekt försvinner minus:

Exempel 5. Höj en bråkdel till en potens.

Lösning. Nu använder vi reglerna för att höja en grad till en makt omedelbart utan ett separat schema:

.

Tänk nu på de kombinerade uppgifterna där vi kommer att behöva höja bråk till en potens, multiplicera dem och dividera.

Exempel 6: Utför åtgärder.

Lösning. . Därefter måste du göra en minskning. Vi kommer att beskriva en gång i detalj hur vi kommer att göra detta, och sedan kommer vi att ange resultatet omedelbart analogt:. På samma sätt (eller enligt regeln om delning av grader). Vi har: .

Exempel 7: Utför åtgärder.

Lösning. . Reduktionen genomförs i analogi med det tidigare diskuterade exemplet.

Exempel 8: Utför åtgärder.

Lösning. . PÅ detta exempel vi beskrev återigen mer i detalj processen att reducera potenser i bråk för att konsolidera denna metod.

3. Mer komplexa exempel för att höja algebraiska bråk till naturliga potenser (med hänsyn till tecken och med termer inom parentes)

Exempel 9: Utför åtgärder .

Lösning. I det här exemplet kommer vi redan att hoppa över den separata multiplikationen av bråk och omedelbart använda regeln för deras multiplikation och skriva ner den under en nämnare. Samtidigt följer vi skyltarna - i det här fallet höjs bråken till jämna potenser, så minusen försvinner. Låt oss göra en minskning i slutet.

Exempel 10: Utför åtgärder .

Lösning. I det här exemplet finns det en division av bråk, kom ihåg att i det här fallet multipliceras den första bråken med den andra, men inverterad.

Ämnet kokar ner till det faktum att vi måste multiplicera identiska bråk. Den här artikeln kommer att berätta vilken regel du behöver använda för att korrekt höja algebraiska bråk till naturliga krafter.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Regeln för att höja en algebraisk bråkdel till en potens, dess bevis

Innan du börjar höja dig till en makt måste du fördjupa dina kunskaper med hjälp av en artikel om en examen med en naturlig indikator, där det finns en produkt av samma faktorer som ligger till grund för graden, och deras antal är bestäms av indikatorn. Till exempel, siffran 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

När vi höjer till en makt använder vi oftast regeln. För att göra detta, höj täljaren och nämnaren separat. Betrakta exemplet 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9 . Regeln gäller för att höja en bråkdel till en naturlig makt.

På höja en algebraisk bråkdel till en naturlig kraft vi får en ny, där täljaren har graden av det ursprungliga bråket, och nämnaren har graden av nämnaren. Allt detta är av formen a b n = a n b n , där a och b är godtyckliga polynom, b är icke-noll och n är ett naturligt tal.

Beviset för denna regel skrivs som en bråkdel, som måste höjas till en makt, baserat på själva definitionen med en naturlig indikator. Då får vi multiplikationen av bråkdelar av formen a b n = a b · a b · . . . · a b = a · a · . . . · a b · b · . . . b = a n b n

Exempel, lösningar

Regeln för att höja en algebraisk bråkdel till en potens utförs sekventiellt: först täljaren, sedan nämnaren. När det finns ett polynom i täljaren och nämnaren, kommer själva uppgiften att reduceras till att höja det givna polynomet till en potens. Därefter kommer en ny bråkdel att indikeras, som är lika med den ursprungliga.

Exempel 1

Kvadratera bråket x 2 3 y z 3

Lösning

Det är nödvändigt att fixa graden x 2 3 · y · z 3 2 . Enligt regeln att höja en algebraisk bråkdel till en potens får vi en likhet av formen x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 . Nu är det nödvändigt att omvandla den resulterande fraktionen till en algebraisk form genom exponentiering. Då får vi ett uttryck för formen

x 2 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 2 y 2 z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

Alla fall av exponentiering kräver inte en detaljerad förklaring, så själva lösningen har en kort historik. Det vill säga vi får det

x 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

Svar: x 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6 .

Om täljaren och nämnaren har polynom, är det nödvändigt att höja hela bråket till en potens och sedan använda de förkortade multiplikationsformlerna för att förenkla det.

Exempel 2

Kvaddra bråket 2 x - 1 x 2 + 3 x y - y.

Lösning

Från regeln har vi det

2 x - 1 x 2 + 3 x y - y 2 = 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2

För att konvertera uttrycket måste du använda formeln för kvadraten på summan av tre termer i nämnaren, och i täljaren - kvadraten på skillnaden, vilket kommer att förenkla uttrycket. Vi får:

2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = = 2 x 2 - 2 2 x 1 + 1 2 x 2 2 + 3 x y 2 + - y 2 + 2 x 2 3 x y + 2 x 2 (- y ) + 2 3 x y - y = = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2

Svar: 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2

Observera att när vi höjer en bråkdel som vi inte kan reducera till en naturlig kraft, får vi också en irreducerbar bråkdel. Detta gör det inte lättare att lösa vidare. När en given bråkdel kan reduceras, när den exponentieras, finner vi att det är nödvändigt att utföra reduktionen av den algebraiska bråkdelen, för att undvika att utföra reduktionen efter att ha höjts till potensen.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Vi räknade ut vad graden av ett tal är i allmänhet. Nu måste vi förstå hur man korrekt beräknar det, d.v.s. höja siffrorna till makter. I detta material kommer vi att analysera de grundläggande reglerna för beräkning av graden i fallet med en heltal, naturlig, bråkdel, rationell och irrationell exponent. Alla definitioner kommer att illustreras med exempel.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Begreppet exponentiering

Låt oss börja med formuleringen av grundläggande definitioner.

Definition 1

Exponentieringär beräkningen av värdet av potensen av något tal.

Det vill säga orden "beräkning av gradens värde" och "exponentiering" betyder samma sak. Så om uppgiften är "Höj talet 0 , 5 till femte potensen", bör detta förstås som "beräkna värdet på potensen (0 , 5) 5 .

Nu ger vi de grundläggande reglerna som måste följas i sådana beräkningar.

Kom ihåg vad en potens av ett tal med en naturlig exponent är. För en potens med basen a och exponent n blir detta produkten av det n:te antalet faktorer, som var och en är lika med a. Detta kan skrivas så här:

För att beräkna gradens värde måste du utföra multiplikationsoperationen, det vill säga multiplicera baserna för graden det angivna antalet gånger. Själva konceptet med en examen med en naturlig indikator bygger på förmågan att snabbt föröka sig. Låt oss ge exempel.

Exempel 1

Skick: Höj - 2 till styrkan 4 .

Lösning

Med hjälp av definitionen ovan skriver vi: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Därefter behöver vi bara följa dessa steg och få 16 .

Låt oss ta ett mer komplicerat exempel.

Exempel 2

Beräkna värdet 3 2 7 2

Lösning

Det här inlägget kan skrivas om till 3 2 7 · 3 2 7 . Tidigare har vi tittat på hur man korrekt multiplicerar de blandade talen som nämns i villkoret.

Utför dessa steg och få svaret: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Om uppgiften indikerar behovet av att höja irrationella tal till en naturlig kraft, måste vi först avrunda deras baser till en siffra som gör att vi kan få ett svar med önskad noggrannhet. Låt oss ta ett exempel.

Exempel 3

Utför kvadreringen av talet π .

Lösning

Låt oss avrunda det till hundradelar först. Sedan π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Om π ≈ 3 . 14159, då får vi ett mer exakt resultat: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Observera att behovet av att beräkna potenserna av irrationella tal i praktiken uppstår relativt sällan. Vi kan sedan skriva svaret som själva potensen (ln 6) 3 eller konvertera om möjligt: ​​5 7 = 125 5 .

Separat bör det anges vad den första potensen av ett tal är. Här kan du bara komma ihåg att varje nummer som höjs till första potensen kommer att förbli sig själv:

Detta framgår av journalen. .

Det beror inte på examen.

Exempel 4

Så, (− 9) 1 = − 9 , och 7 3 upphöjda till första potensen förblir lika med 7 3 .

För enkelhetens skull kommer vi att analysera tre fall separat: om exponenten är ett positivt heltal, om det är noll och om det är ett negativt heltal.

I det första fallet är detta detsamma som att höja till en naturlig kraft: trots allt hör positiva heltal till mängden naturliga tal. Vi har redan beskrivit hur man arbetar med sådana grader ovan.

Låt oss nu se hur man korrekt höjer till nolleffekten. Med en bas som inte är noll ger denna beräkning alltid en utdata på 1 . Vi har tidigare förklarat att 0:e potensen av a kan definieras för vilken som helst riktigt nummer, inte lika med 0 , och a 0 = 1 .

Exempel 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - ej definierad.

Vi har bara fallet med en grad med en negativ heltalsexponent. Vi har redan diskuterat att sådana grader kan skrivas som en bråkdel 1 a z, där a är vilket tal som helst och z är ett negativt heltal. Vi ser att nämnaren för detta bråk är ingenting annat än ordinarie examen med ett positivt heltal, och vi har redan lärt oss hur man beräknar det. Låt oss ge exempel på uppgifter.

Exempel 6

Höj 3 till -2-effekten.

Lösning

Med hjälp av definitionen ovan skriver vi: 2 - 3 = 1 2 3

Vi beräknar nämnaren för denna bråkdel och får 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Då är svaret: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Exempel 7

Höj 1, 43 till -2-effekten.

Lösning

Omformulera: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Vi räknar ut kvadraten i nämnaren: 1,43 1,43. Decimaler kan multipliceras på detta sätt:

Som ett resultat fick vi (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Det återstår för oss att skriva detta resultat i form av ett vanligt bråk, för vilket det är nödvändigt att multiplicera det med 10 tusen (se materialet om omvandling av bråk).

Svar: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Ett separat fall är att höja ett nummer till minus första potens. Värdet på en sådan grad är lika med talet motsatt basens ursprungliga värde: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Exempel 8

Exempel: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Hur man höjer en siffra till en bråkpotens

För att utföra en sådan operation måste vi komma ihåg den grundläggande definitionen av en grad med en bråkdelsexponent: a m n \u003d a m n för varje positivt a, heltal m och naturligt n.

Definition 2

Således måste beräkningen av en bråkgradig grad utföras i två steg: höjning till en heltalspotens och hitta roten till den n:e graden.

Vi har likheten a m n = a m n , som, givet rötternas egenskaper, vanligtvis används för att lösa problem i formen a m n = a n m . Det betyder att om vi höjer talet a till en bråkpotens m / n, så extraherar vi först roten av n:e graden från a, sedan höjer vi resultatet till en potens med en heltalsexponent m.

Låt oss illustrera med ett exempel.

Exempel 9

Beräkna 8 - 2 3 .

Lösning

Metod 1. Enligt den grundläggande definitionen kan vi representera detta som: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Låt oss nu beräkna graden under roten och extrahera den tredje roten från resultatet: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metod 2. Låt oss omvandla den grundläggande jämlikheten: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Därefter extraherar vi roten 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 och kvadrerar resultatet: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Vi ser att lösningarna är identiska. Du kan använda hur du vill.

Det finns fall då graden har en indikator uttryckt som ett blandat tal eller decimalbråk. För att underlätta beräkningen är det bättre att ersätta det med en vanlig bråkdel och räkna enligt ovan.

Exempel 10

Höj 44,89 till styrkan 2,5.

Lösning

Konvertera värdet på indikatorn till vanlig bråkdel - 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

Och nu utför vi alla åtgärder som anges ovan i ordning: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 01 = 01 = 01 = 01 13 501, 25107

Svar: 13501, 25107.

Om det finns stora tal i täljaren och nämnaren för en bråkdelsexponent, är det ett ganska svårt jobb att beräkna sådana exponenter med rationella exponenter. Det kräver vanligtvis datorteknik.

Separat uppehåller vi oss vid graden med en nollbas och en bråkdelsexponent. Ett uttryck av formen 0 m n kan ges följande betydelse: om m n > 0, då 0 m n = 0 m n = 0 ; om m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Hur man höjer ett nummer till en irrationell makt

Behovet av att beräkna värdet på graden, i vars indikator det finns ett irrationellt tal, uppstår inte så ofta. I praktiken är uppgiften vanligtvis begränsad till att beräkna ett ungefärligt värde (upp till ett visst antal decimaler). Detta beräknas vanligtvis på en dator på grund av komplexiteten i sådana beräkningar, så vi kommer inte att uppehålla oss i detta i detalj, vi kommer bara att ange de viktigaste bestämmelserna.

Om vi ​​behöver beräkna värdet av graden a med en irrationell exponent a , så tar vi exponentens decimalapproximation och räknar från den. Resultatet blir ett ungefärligt svar. Ju mer exakt decimal approximation som tas, desto mer exakt är svaret. Låt oss visa med ett exempel:

Exempel 11

Beräkna ett ungefärligt värde på 21 , 174367 ....

Lösning

Vi begränsar oss till decimalapproximationen a n = 1 , 17 . Låt oss göra beräkningarna med detta tal: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Om vi ​​till exempel tar approximationen a n = 1 , 1743 , så blir svaret lite mer exakt: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833 .

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter