Den klassiska definitionen av sannolikhet kommer att lösa provet. Sannolikhetsteori på tentamen i matematik
Sannolikheten för en händelse $A$ är förhållandet mellan antalet utfall som är gynnsamma för $A$ och antalet av alla lika möjliga utfall
$P(A)=(m)/(n)$, där $n$ är det totala antalet möjliga utfall och $m$ är antalet utfall som gynnar $A$.
Sannolikheten för en händelse är ett tal från segmentet $$
Taxibolag tillgängligt $50$ bilar. $35$ av dem är svarta, resten är gula. Hitta sannolikheten att en bil kommer fram till ett slumpmässigt samtal gul färg.
Hitta antalet gula bilar:
Totalt finns det $50$-bilar, det vill säga en av femtio kommer till samtalet. Det finns $15$ av gula bilar, därför är sannolikheten för ankomst av en gul bil $(15)/(50)=(3)/(10)=0,3$
Svar: $0,3 $
Motsatta händelser
Två händelser sägs vara motsatta if detta test de är oförenliga och en av dem kommer säkert att hända. Sannolikheterna för motsatta händelser summerar till 1. En händelse motsatt händelsen $A$ skrivs $((A))↖(-)$.
$P(A)+P((A))↖(-)=1$
Oberoende evenemang
Två händelser $A$ och $B$ kallas oberoende om sannolikheten för att var och en av dem inträffar inte beror på om den andra händelsen inträffade eller inte. Annars kallas händelserna beroende.
Sannolikheten för produkten av två oberoende händelser $A$ och $B$ är lika med produkten av dessa sannolikheter:
$P(A B)=P(A) P(B)$
Ivan Ivanovich köpte två olika lotter. Sannolikheten att den första vinner lott, är lika med $0,15$. Sannolikheten att den andra lotten vinner är $0,12. Ivan Ivanovich deltar i båda dragningarna. Förutsatt att dragningarna hålls oberoende av varandra, hitta sannolikheten att Ivan Ivanovich vinner i båda dragningarna.
Sannolikhet $P(A)$ - vinner den första lotten.
Sannolikhet $P(B)$ - vinner den andra lotten.
Evenemang $A$ och $B$ är oberoende evenemang. Det vill säga, för att hitta sannolikheten för att båda händelserna ska inträffa måste du hitta produkten av sannolikheterna
$P(A B)=P(A) P(B)$
$P=0,15 0,12=0,018$
Svar: $0,018
Inkompatibla händelser
Två evenemang $A$ och $B$ sägs vara inkompatibla om det inte finns några resultat som gynnar både evenemanget $A$ och evenemanget $B$. (Händelser som inte kan hända samtidigt)
Sannolikheten för summan av två inkompatibla händelser $A$ och $B$ är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser:
$P(A+B)=P(A)+P(B)$
På algebratentamen får studenten en fråga av alla tentor. Sannolikheten att detta är en fråga om ämnet " Kvadratisk ekvation", är lika med $0,3$. Sannolikheten att detta är en fråga om ämnet " Irrationella ekvationer", är lika med $0,18$. Det finns inga frågor relaterade till dessa två ämnen samtidigt. Hitta sannolikheten att studenten får en fråga om något av dessa två ämnen på tentamen.
Dessa händelser kallas inkompatibla, eftersom eleven kommer att få en fråga ANTINGEN om ämnet "Kvadrikulära ekvationer", ELLER om ämnet "Irrationella ekvationer". Ämnen kan inte fångas samtidigt. Sannolikheten för summan av två inkompatibla händelser $A$ och $B$ är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser:
$P(A+B)=P(A)+P(B)$
$P \u003d 0,3 + 0,18 \u003d 0,48 $
Svar: $0,48
Gemensamma evenemang
Två händelser sägs vara gemensamma om förekomsten av en av dem inte utesluter att den andra inträffar i samma rättegång. Annars kallas händelserna oförenliga.
Sannolikheten för summan av två gemensamma händelser $A$ och $B$ är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser minus sannolikheten för deras produkt:
$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A B)$
Det finns två identiska kaffemaskiner i lobbyn på biografen. Sannolikheten att maskinen kommer att ta slut på kaffe i slutet av dagen är $0,6$. Sannolikheten för att båda maskinerna får slut på kaffe är $0,32 $. Hitta sannolikheten för att minst en av automaterna kommer att ta slut på kaffe i slutet av dagen.
Låt oss beteckna händelserna, låt:
$A$ = kaffe slutar i den första maskinen,
$B$ = kaffe slutar i den andra maskinen.
$A B =$ kaffe kommer att ta slut i båda varuautomaterna,
$A + B =$ kaffe kommer att ta slut i minst en varuautomat.
Enligt konvention, $P(A) = P(B) = 0,6; P(A B) = $0,32.
Händelser $A$ och $B$ är gemensamma, sannolikheten för summan av två gemensamma händelser är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser, reducerat med sannolikheten för deras produkt:
$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0,6 + 0,6 − 0,32 = 0,88$
Presenteras hittills i den öppna banken av USE-problem i matematik (mathege.ru), vars lösning är baserad på endast en formel, vilket är en klassisk definition av sannolikhet.
Det enklaste sättet att förstå formeln är med exempel.
Exempel 1 Det finns 9 röda bollar och 3 blåa i korgen. Kulorna skiljer sig endast i färg. Slumpmässigt (utan att titta) får vi en av dem. Vad är sannolikheten för att bollen som väljs på detta sätt blir blå?
Kommentar. I sannolikhetsproblem händer något (i detta fall vår handling att dra bollen) som kan ha annorlunda resultat- resultat. Det bör noteras att resultatet kan ses på olika sätt. "Vi drog ut en boll" är också ett resultat. "Vi drog ut den blå bollen" är resultatet. "Vi drog just den här bollen ur alla möjliga bollar" - denna minst generaliserade syn på resultatet kallas det elementära resultatet. Det är de elementära utfallen som avses i formeln för att beräkna sannolikheten.
Beslut. Nu beräknar vi sannolikheten för att välja en blå boll.
Händelse A: "den valda bollen visade sig vara blå"
Totalt antal av alla möjliga resultat: 9+3=12 (antal alla bollar vi kunde dra)
Antal gynnsamma utfall för händelse A: 3 (antalet sådana utfall där händelse A inträffade - det vill säga antalet blå bollar)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Svar: 0,25
Låt oss för samma problem beräkna sannolikheten för att välja en röd boll.
Det totala antalet möjliga utfall förblir detsamma, 12. Antalet gynnsamma utfall: 9. Önskad sannolikhet: 9/12=3/4=0,75
Sannolikheten för en händelse ligger alltid mellan 0 och 1.
Ibland i dagligt tal (men inte i sannolikhetsteorin!) uppskattas sannolikheten för händelser i procent. Övergången mellan matematisk och konversationsbedömning görs genom att multiplicera (eller dividera) med 100%.
Så,
I det här fallet är sannolikheten noll för händelser som inte kan inträffa - osannolikt. Till exempel, i vårt exempel, skulle detta vara sannolikheten för att dra en grön boll från korgen. (Antalet gynnsamma utfall är 0, P(A)=0/12=0 om det räknas enligt formeln)
Sannolikhet 1 har händelser som absolut kommer att hända, utan alternativ. Till exempel är sannolikheten att "den valda bollen kommer att vara antingen röd eller blå" för vårt problem. (Antal gynnsamma resultat: 12, P(A)=12/12=1)
Vi har tittat på ett klassiskt exempel som illustrerar definitionen av sannolikhet. Alla liknande ANVÄNDA uppgifter enligt sannolikhetsteorin löses genom att tillämpa denna formel.
Istället för röda och blå bollar kan det vara äpplen och päron, pojkar och tjejer, inlärda och olärda biljetter, biljetter som innehåller och inte innehåller en fråga om ett visst ämne (prototyper , ), defekta och högkvalitativa väskor eller trädgårdspumpar (prototyper) , ) - principen förblir densamma.
Skiljer sig något åt i formuleringen av teorins problem ANVÄND sannolikheter, där du behöver beräkna sannolikheten för att en händelse inträffar en viss dag. ( , ) Som i de tidigare uppgifterna måste du bestämma vad som är ett elementärt resultat och sedan tillämpa samma formel.
Exempel 2 Konferensen pågår i tre dagar. Första och andra dagen 15 talare vardera, tredje dagen - 20. Hur stor är sannolikheten att professor M:s rapport infaller på tredje dagen, om rapporternas ordning bestäms genom lottning?
Vad är det elementära resultatet här? - Att tilldela en professors rapport till ett av alla möjliga serienummer för ett tal. 15+15+20=50 personer deltar i utlottningen. Därmed kan professor M:s rapport få ett av 50 nummer. Det betyder att det bara finns 50 elementära resultat.
Vilka är de gynnsamma resultaten? – De där det visar sig att professorn ska tala på tredje dagen. Det vill säga de sista 20 siffrorna.
Enligt formeln är sannolikheten P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Svar: 0,4
Lottdragningen här är upprättandet av en slumpmässig korrespondens mellan personer och beställda platser. I exempel 2 övervägdes matchning i termer av vilken av platserna en viss person kunde ta. Du kan närma dig samma situation från andra sidan: vem av personerna med vilken sannolikhet skulle kunna ta sig till en viss plats (prototyper , , , ):
Exempel 3 5 tyskar, 8 fransmän och 3 ester deltar i dragningen. Vad är sannolikheten att den första (/tvåan/sjunde/sista - det spelar ingen roll) blir en fransman.
Antalet elementära resultat är antalet av alla möjliga människor vem kunde, genom lott, komma in given plats. 5+8+3=16 personer.
Gynnsamma resultat - fransmännen. 8 personer.
Önskad sannolikhet: 8/16=1/2=0,5
Svar: 0,5
Prototypen är något annorlunda. Det finns uppgifter om mynt () och tärningar () som är något mer kreativa. Lösningar på dessa problem finns på prototypsidorna.
Här är några exempel på myntkastning eller tärningskastning.
Exempel 4 När vi kastar ett mynt, vad är sannolikheten att få svansar?
Resultat 2 - huvud eller svans. (man tror att myntet aldrig faller på kanten) Gynnsamt resultat - svansar, 1.
Sannolikhet 1/2=0,5
Svar: 0,5.
Exempel 5 Vad händer om vi slår ett mynt två gånger? Hur stor är sannolikheten att det kommer upp båda gångerna?
Det viktigaste är att bestämma vilka elementära resultat vi kommer att överväga när vi kastar två mynt. Efter att ha kastat två mynt kan ett av följande resultat inträffa:
1) PP - båda gångerna kom det upp svansar
2) PO - första gången svansar, andra gången huvuden
3) OP - första gången huvuden, andra gången svansar
4) OO - heads up båda gångerna
Det finns inga andra alternativ. Det betyder att det finns 4 elementära resultat. Endast det första är gynnsamt, 1.
Sannolikhet: 1/4=0,25
Svar: 0,25
Vad är sannolikheten att två kast av ett mynt kommer att landa på svansar?
Antalet elementära utfall är detsamma, 4. Gynnsamma utfall är andra och tredje, 2.
Sannolikhet att få en svans: 2/4=0,5
I sådana problem kan en annan formel komma väl till pass.
Om med ett myntkast alternativ vi har 2 resultat, sedan för två kast blir resultatet 2 2=2 2 =4 (som i exempel 5), för tre kast 2 2 2=2 3 =8, för fyra: 2 2 2 2 =2 4 = 16, … för N kast finns det 2·2·...·2=2 N möjliga utfall.
Så, du kan hitta sannolikheten för att få 5 svansar av 5 myntkast.
Totalt antal elementära resultat: 2 5 =32.
Gynnsamma resultat: 1. (RRRRRR - alla 5 gånger svansar)
Sannolikhet: 1/32=0,03125
Detsamma gäller för tärningarna. Med ett kast finns det 6 möjliga resultat. Så för två kast: 6 6=36, för tre 6 6 6=216 osv.
Exempel 6 Vi kastar en tärning. Vad är sannolikheten att få ett jämnt tal?
Totalt resultat: 6, beroende på antalet ansikten.
Gynnsamt: 3 resultat. (2, 4, 6)
Sannolikhet: 3/6=0,5
Exempel 7 Kasta två tärningar. Vad är sannolikheten att det totala rullar 10? (runda till hundradelar)
Det finns 6 möjliga utfall för en tärning. Därför, för två, enligt ovanstående regel, 6·6=36.
Vilka resultat kommer att vara gynnsamma för att totalt 10 faller ut?
10 måste delas upp i summan av två tal från 1 till 6. Detta kan göras på två sätt: 10=6+4 och 10=5+5. Så för kuber är alternativen möjliga:
(6 på den första och 4 på den andra)
(4 på den första och 6 på den andra)
(5 på den första och 5 på den andra)
Totalt 3 alternativ. Önskad sannolikhet: 3/36=1/12=0,08
Svar: 0,08
Andra typer av B6-problem kommer att diskuteras i en av följande "Hur man löser"-artiklar.
V-6-2014 (alla 56 prototyper från USE-banken)
Kunna bygga och utforska det enklaste matematiska modeller(sannolikhetsteori)
1. I ett slumpmässigt experiment kastas två tärningar. Hitta sannolikheten att få 8 poäng totalt. Avrunda resultatet till närmaste hundradel. Beslut: Antalet utfall där 8 poäng kommer att falla ut som ett resultat av ett tärningskast är 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Var och en av tärningarna kan falla ut på sex sätt, så det totala antalet utfall är 6 6 = 36. Därför är sannolikheten för att 8 poäng totalt faller ut 5: 36=0,138...=0,14
2. I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten att huvuden kommer upp exakt en gång. Lösning: Det finns fyra möjliga resultat av experimentet: huvud-huvud, huvud-svans, svans-huvud, svans-svans. Huvuden kommer upp exakt en gång i två fall: huvud-svansar och svanshuvuden. Därför är sannolikheten att huvuden faller ut exakt 1 gång 2: 4 = 0,5.
3. 20 idrottare deltar i gymnastikmästerskapet: 8 från Ryssland, 7 från USA, resten från Kina. I vilken ordning gymnasterna presterar bestäms genom lottning. Hitta sannolikheten att den idrottare som tävlar först är från Kina. Lösning: Deltar i mästerskapetidrottare från Kina. Då är sannolikheten att den idrottare som presterar först kommer från Kina 5:20 = 0,25
4. I genomsnitt läcker 5 av 1 000 sålda trädgårdspumpar. Hitta sannolikheten att en slumpmässigt vald pump inte läcker. Lösning: I genomsnitt av 1 000 sålda trädgårdspumpar läcker inte 1 000 - 5 = 995. Detta betyder att sannolikheten för att en slumpmässigt vald pump för kontroll inte läcker är 995: 1000 = 0,995
5. Fabriken tillverkar påsar. I genomsnitt, för varje 100:e kvalitetspåsar, finns det åtta påsar med dolda defekter. Hitta sannolikheten för att den köpta väskan håller hög kvalitet. Avrunda resultatet till närmaste hundradel. Lösning: Enligt villkoret, för varje 100 + 8 = 108 påsar, finns det 100 kvalitetspåsar. Detta betyder att sannolikheten för att den köpta väskan kommer att vara av hög kvalitet är 100: 108 \u003d 0,925925 ... \u003d 0,93
6. 4 idrottare från Finland, 7 idrottare från Danmark, 9 idrottare från Sverige och 5 idrottare från Norge deltar i kulstötningstävlingen. Den ordning i vilken idrottarna tävlar bestäms genom lottning. Hitta sannolikheten att den sista spelaren att tävla är från Sverige.. Lösning: Totalt deltar 4 + 7 + 9 + 5 = 25 idrottare i tävlingen. Så sannolikheten att den idrottare som tävlar sist kommer vara från Sverige är 9:25 = 0,36
7. Vetenskaplig konferens hålls om 5 dagar. Totalt planeras 75 rapporter - de tre första dagarna, 17 rapporter vardera, resten fördelas lika mellan den fjärde och femte dagen. Ordningen på rapporterna avgörs genom lottning. Hur stor är sannolikheten att professor M:s rapport kommer att planeras till konferensens sista dag? Lösning: Under de tre första dagarna kommer 51 rapporter att läsas, 24 rapporter är planerade för de två sista dagarna. Därför är 12 rapporter inplanerade sista dagen. Detta innebär att sannolikheten för att rapporten från professor M. kommer att schemaläggas till konferensens sista dag är 12:75 = 0,16
8. Tävlingen av artister hålls om 5 dagar. Totalt annonserades 80 föreställningar – en från varje land. Första dagen är det 8 föreställningar, resten fördelas lika mellan resterande dagar. Ordningen på föreställningarna bestäms genom oavgjort. Vad är sannolikheten för att representanten för Ryssland kommer att äga rum den tredje dagen av tävlingen? Lösning: Planerad för tredje dagental. Detta innebär att sannolikheten för att en representant från Ryssland kommer att schemaläggas för den tredje dagen av tävlingen är 18:80 = 0,225
9. 3 forskare från Norge, 3 från Ryssland och 4 från Spanien kom till seminariet. Ordningen på rapporterna avgörs genom lottning. Hitta sannolikheten att den åttonde kommer att vara rapporten från en forskare från Ryssland. Lösning: Totalt deltar 3 + 3 + 4 = 10 forskare i seminariet, vilket innebär att sannolikheten att den åttonde forskaren kommer från Ryssland är 3:10 = 0,3.
10. Inför start av första omgången av badmintonmästerskapet delas deltagarna slumpmässigt in i spelpar genom lottning. Totalt deltar 26 badmintonspelare i mästerskapet, varav 10 deltagare från Ryssland, inklusive Ruslan Orlov. Hitta sannolikheten att Ruslan Orlov i första omgången kommer att spela med någon badmintonspelare från Ryssland? Lösning: I den första omgången kan Ruslan Orlov spela med 26 − 1 = 25 badmintonspelare, varav 10 − 1 = 9 från Ryssland. Det betyder att sannolikheten att Ruslan Orlov i första omgången kommer att spela med någon badmintonspelare från Ryssland är 9:25 = 0,36
11. Det finns bara 55 biljetter i samlingen av biologibiljetter, 11 av dem innehåller en fråga om botanik. Hitta sannolikheten att en student får en fråga om botanik i en slumpmässigt utvald examensbiljett. Lösning: 11:55 = 0,2
12. 25 idrottare tävlar vid dykmästerskapet, bland dem 8 hoppare från Ryssland och 9 hoppare från Paraguay. Ordningen på föreställningarna bestäms genom oavgjort. Hitta sannolikheten att den sjätte hopparen kommer från Paraguay.
13. Två fabriker tillverkar samma glas för bilstrålkastare. Den första fabriken producerar 30% av dessa glas, den andra - 70%. Den första fabriken producerar 3% av defekta glasögon och den andra - 4%. Hitta sannolikheten för att ett glas som av misstag köpts i en butik kommer att vara defekt.
Beslut. Konvertera %% till bråk.
Event A - "Köpta glasögon från den första fabriken." P(A)=0,3
Event B - "Glasögon från den andra fabriken köps." P(B)=0,7
Händelse X - "Windows är defekt".
P(A och X) = 0,3*0,03=0,009
P(B och X) = 0,7*0,04=0,028 Enligt totalsannolikhetsformeln: P = 0,009+0,028 = 0.037
14. Om stormästare A. spelar vit, vinner han stormästare B. med en sannolikhet på 0,52. Om A. spelar svart, så slår A. B. med en sannolikhet på 0,3. Stormästarna A. och B. spelar två partier, och i det andra spelet byter de färg på pjäserna. Hitta sannolikheten att A. vinner båda gångerna. Beslut: 0,52 * 0,3 = 0,156.
15. Vasya, Petya, Kolya och Lyosha kastade lott – vem ska starta spelet. Hitta sannolikheten att Petya kommer att starta spelet.
Lösning: Slumpmässigt experiment - lottning.
I detta experiment är den elementära händelsen den deltagare som vinner lotten.
Vi listar möjliga elementära händelser:
(Vasya), (Petya), (Kolya), (Lesha).
Det blir 4 stycken, d.v.s. N=4. Lotten innebär att alla elementära evenemang är lika möjliga.
Evenemanget A= (Petya vann lotten) gynnas av endast en elementär händelse (Petya). Därför N(A)=1.
Då P(A)=0,25 Svar: 0,25.
16. 16 lag deltar i världsmästerskapet. Genom lottning ska de delas in i fyra grupper om fyra lag vardera. Blandat i lådan finns kort med gruppnummer: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Lagkaptener drar ett kort i taget . Vad är sannolikheten att det ryska laget kommer att vara i den andra gruppen? Beslut: Det finns totalt 16 resultat. med nummer 2 blir 4. Så 4: 16=0,25
17. Vid geometritentamen får studenten en fråga från listan med tentamensfrågor. Sannolikheten att detta är en inskriven cirkelfråga är 0,2. Sannolikheten att detta är en parallellogramfråga är 0,15. Det finns inga frågor relaterade till dessa två ämnen samtidigt. Hitta sannolikheten att studenten får en fråga om något av dessa två ämnen på tentamen.
= (fråga om ämnet "Inskriven cirkel"),
= (en fråga om ämnet "Parallelogram").
evenemang och är inkompatibla, eftersom det inte finns några frågor i listan som är relaterade till dessa två ämnen samtidigt.
Händelse= (fråga om ett av dessa två ämnen) är deras förbund:.
Vi tillämpar formeln för att lägga till sannolikheterna för inkompatibla händelser:
.
18.B köpcenter två identiska varuautomater säljer kaffe. Sannolikheten att kaffet i maskinen tar slut vid dagens slut är 0,3. Sannolikheten för att båda maskinerna får slut på kaffe är 0,12. Hitta sannolikheten att det vid dagens slut finns kaffe kvar i båda automaterna.
Låt oss definiera händelser
= (kaffe slutar i den första maskinen),
= (kaffe slutar i den andra maskinen).
Enligt uppgiften och .
Med hjälp av formeln för att addera sannolikheter hittar vi sannolikheten för en händelse
och = (kaffe slutar i minst en av maskinerna):
.
Därför är sannolikheten för den motsatta händelsen (kaffe kommer att finnas kvar i båda maskinerna) lika med
.
19. En skidskytt skjuter på tavlor fem gånger. Sannolikheten att träffa målet med ett skott är 0,8. Hitta sannolikheten att skidskytten träffade målen de första tre gångerna och missade de två sista. Avrunda resultatet till närmaste hundradel.
I det här problemet antas det att resultatet av varje nästa skott inte beror på de föregående. Därför "träffar det första skottet", "träffar det andra skottet" etc. självständig.
Sannolikheten för varje träff är. Så sannolikheten för varje miss är. Vi använder formeln för att multiplicera sannolikheterna för oberoende händelser. Vi får den sekvensen
= (träff, träffa, träffa, missa, missa) har en sannolikhet
=
= . Svar: .
20. Det finns två betalautomater i butiken. Var och en av dem kan vara felaktiga med en sannolikhet på 0,05, oavsett den andra automaten. Hitta sannolikheten för att minst en automat kan användas.
Detta problem förutsätter också oberoendet av driften av automater.
Hitta sannolikheten för den motsatta händelsen
= (båda maskinerna är felaktiga).
För att göra detta använder vi formeln för att multiplicera sannolikheterna för oberoende händelser:
.
Alltså sannolikheten för en händelse= (minst en automat är i drift) är lika med. Svar: .
21. Rummet är upplyst av en lykta med två lampor. Sannolikheten för att en lampa brinner ut på ett år är 0,3. Hitta sannolikheten att minst en lampa inte brinner ut inom ett år. Lösning: Båda kommer att brinna ut (händelserna är oberoende och vi använder formeln för produkten av sannolikheter) med sannolikheten p1=0,3⋅0,3=0,09
Motsatt händelse(INTE båda kommer att brinna ut = minst EN kommer inte att brinna ut)
kommer att hända med sannolikhet p=1-p1=1-0,09=0,91
SVAR: 0,91
22. Sannolikhet att nya Vatten kokare kommer att tjäna mer än ett år, är lika med 0,97. Sannolikheten att den håller i mer än två år är 0,89. Hitta sannolikheten att det varar mindre än två år men mer än ett år.
Beslut.
Låt A = "kokaren kommer att hålla mer än ett år, men mindre än två år", B = "kokaren kommer att hålla mer än två år", sedan A + B = "kokaren kommer att hålla mer än ett år."
Händelser A och B är gemensamma, sannolikheten för deras summa är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser, reducerat med sannolikheten för deras produkt. Sannolikheten för produkten av dessa händelser, bestående av det faktum att vattenkokaren kommer att misslyckas om exakt två år - exakt på samma dag, timme och sekund - är lika med noll. Sedan:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = P(A) + P(B),
varav vi, med hjälp av data från villkoret, får 0,97 = P(A) + 0,89.
För den önskade sannolikheten har vi alltså: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.
23. Agrofirm köper kycklingägg i två hushåll. 40% av äggen från den första gården är ägg av den högsta kategorin, och från den andra gården - 20% av äggen i den högsta kategorin. Totalt får 35 % av äggen den högsta kategorin. Hitta sannolikheten att ägget som köps från den här gården kommer från den första gården. Beslut: Släpp in den första gården, lantbruksföretaget köperägg, inklusive ägg av den högsta kategorin, och i den andra gården -ägg, inklusive ägg av högsta kategori. Alltså totalt köper agroformenägg, inklusive ägg av högsta kategori. Enligt tillstånd har 35 % av äggen den högsta kategorin, då:
Därför är sannolikheten att det köpta ägget kommer från den första gården lika med =0,75
24. Det finns 10 nummer på telefonens knappsats, från 0 till 9. Vad är sannolikheten att ett slumpmässigt tryckt nummer blir jämnt?
25. Vad är sannolikheten att ett slumpmässigt valt naturligt tal från 10 till 19 är delbart med tre?
26. Cowboy John slår en fluga i väggen med en sannolikhet på 0,9 om han skjuter från en skottrevolver. Om John avfyrar en oskjuten revolver, slår han en fluga med en sannolikhet på 0,2. Det finns 10 revolvrar på bordet, varav endast 4 är skjutna. Cowboy John ser en fluga på väggen, tar slumpmässigt tag i den första revolvern han stöter på och skjuter på flugan. Hitta sannolikheten att John missar. Lösning: John träffar en fluga om han tar tag i en seende revolver och slår från den, eller om han tar tag i en oavfyrad revolver och slår från den. Enligt den betingade sannolikhetsformeln är sannolikheterna för dessa händelser 0,4 0,9 = 0,36 respektive 0,6 0,2 = 0,12. Dessa händelser är inkompatibla, sannolikheten för deras summa är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser: 0,36 + 0,12 = 0,48. Händelsen som John missar är tvärtom. Dess sannolikhet är 1 − 0,48 = 0,52.
27. Det finns 5 personer i en grupp turister. Med hjälp av lotter väljer de ut två personer som måste åka till byn för mat. Turist A. skulle vilja gå till affären, men han underkastar sig partiet. Vad är sannolikheten att A går till butiken? Beslut: Det är fem turister totalt, två av dem är slumpmässigt utvalda. Sannolikheten att bli vald är 2:5 = 0,4. Svar: 0,4.
28. Innan du börjar fotbollsmatch Domaren kastar ett mynt för att avgöra vilket lag som ska starta bollspelet. Fysikerlaget spelar tre matcher med olika lag. Hitta sannolikheten att i dessa spel "Fysiker" vinner lotten exakt två gånger. Lösning: Låt oss beteckna med "1" den sida av myntet som är ansvarig för att vinna lotten med "Fysiker", den andra sidan av myntet kommer att betecknas med "0". Sedan finns det tre fördelaktiga kombinationer: 110, 101, 011, och det finns 2 kombinationer totalt 3 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Den önskade sannolikheten är alltså:
29. En tärning kastas två gånger. Hur många elementära resultat av erfarenhet gynnar händelsen "A = summan av poäng är lika med 5"? Lösning: Summan av poäng kan vara lika med 5 i fyra fall: "3 + 2", "2 + 3", "1 + 4", "4 + 1". Svar: 4.
30. I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten för att resultatet av OR kommer (huvuden första gången, svansar den andra). Beslut: Det finns fyra möjliga utfall: huvud-huvud, huvud-svans, svans-huvud, svans-svans. Gynnsam är en: huvud-svansar. Därför är den önskade sannolikheten 1:4 = 0,25. Svar: 0,25.
31. Grupper uppträder på rockfestivalen - en från vart och ett av de deklarerade länderna. Utförandeordningen bestäms genom lottning. Vad är sannolikheten att ett band från Danmark uppträder efter ett band från Sverige och efter ett band från Norge? Avrunda resultatet till närmaste hundradel. Beslut: Det totala antalet grupper som uppträder på festivalen spelar ingen roll för att svara på frågan. Oavsett hur många det finns finns det 6 sätt för de angivna länderna relativ position bland talare (D - Danmark, S - Sverige, N - Norge):
L...S...N..., ...D...N...Sh..., ...Sh...N...L..., ...Sh. ..L...N..., ...N...D...W..., ...N...S...L...
Danmark kommer efter Sverige och Norge vid två tillfällen. Därför är sannolikheten att grupperna kommer att fördelas slumpmässigt på detta sätt lika med Svar: 0,33.
32. Vid skjutning av artilleri automatiskt system gör ett skott mot målet. Om målet inte förstörs, skjuter systemet igen. Skotten upprepas tills målet förstörs. Sannolikheten att förstöra ett visst mål med det första skottet är 0,4, och med varje efterföljande skott - 0,6. Hur många skott kommer att krävas för att säkerställa att sannolikheten att förstöra målet är minst 0,98? Beslut: Du kan lösa problemet "genom handlingar", beräkna sannolikheten att överleva efter en serie på varandra följande missar: P(1) = 0,6. P(2) = P(1) 0,4 = 0,24. P(3) = P(2) 0,4 = 0,096. P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384; P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536. Den sista sannolikheten är mindre än 0,02, så det räcker med fem skott på målet.
33. För att gå vidare till nästa omgång av tävlingen måste ett fotbollslag göra minst 4 poäng på två matcher. Om ett lag vinner får det 3 poäng, vid oavgjort - 1 poäng, om det förlorar - 0 poäng. Hitta sannolikheten för att laget ska kunna gå vidare till nästa omgång av tävlingen. Tänk på att i varje spel är sannolikheten att vinna och förlora densamma och lika med 0,4. Beslut : Ett lag kan få minst 4 poäng på två matcher på tre sätt: 3+1, 1+3, 3+3. Dessa händelser är inkompatibla, sannolikheten för deras summa är lika med summan av deras sannolikheter. Var och en av dessa händelser är en produkt av två oberoende händelser - resultatet i det första och andra spelet. Därför har vi:
34. I en viss stad är 2512 pojkar av 5 000 födda barn. Hitta födelsefrekvensen för flickor i den här staden. Avrunda resultatet till tusendelar. Beslut: 5000 – 2512 = 2488; 2488: 5000 = 0,4976 ≈0,498
35. Det finns 12 sittplatser ombord på flygplanet bredvid nödutgångarna och 18 sittplatser bakom skiljeväggarna som skiljer kabinerna åt. Resten av sätena är obekväma för passageraren lång. Passagerare V. är lång. Hitta sannolikheten att vid incheckningen, med ett slumpmässigt val av säte, passagerare B. får en bekväm plats om det finns 300 platser på planet. Beslut : På planet är 12 + 18 = 30 platser bekvämt för passagerare V., och totalt finns det 300 platser på planet. Därför är sannolikheten att passagerare B. kommer att få en bekväm plats 30: 300 = 0,1 Svar: 0,1.
36. Vid olympiaden på universitetet sitter deltagarna i tre klassrum. I de två första, 120 personer vardera, förs resten till ett reservauditorium i en annan byggnad. Vid räkning visade det sig att det var 250 deltagare totalt. Hitta sannolikheten för att en slumpmässigt utvald deltagare skrev olympiaden i reservrummet. Beslut: Totalt skickades 250 − 120 − 120 = 10 personer till reservpubliken. Därför är sannolikheten att en slumpmässigt utvald deltagare skrev olympiaden i reservrummet 10:250 = 0,04. Svar: 0,04.
37. Det är 26 personer i klassen, bland dem två tvillingar - Andrey och Sergey. Klassen är slumpmässigt indelad i två grupper om 13 personer vardera. Hitta sannolikheten att Andrey och Sergey kommer att vara i samma grupp. Beslut: Låt en av tvillingarna vara i någon grupp. Tillsammans med honom kommer 12 personer av de 25 kvarvarande klasskamraterna att vara med i gruppen. Sannolikheten att den andra tvillingen kommer att vara bland dessa 12 personer är 12:25 = 0,48.
38. Det finns 50 bilar i taxibolaget; 27 av dem är svarta med gula inskriptioner på sidorna, resten är gula med svarta inskriptioner. Hitta sannolikheten att en gul bil med svarta inskriptioner kommer fram till ett slumpmässigt samtal. Lösning: 23:50=0,46
39. Det finns 30 personer i en grupp turister. De kastas med helikopter i flera steg in i ett avlägset område, 6 personer per flygning. I vilken ordning helikoptern transporterar turister är slumpmässig. Hitta sannolikheten att turisten P. tar det första helikopterflyget. Beslut: Det finns 6 platser på den första flygningen, totalt 30 platser.Då är sannolikheten att turist P. kommer att flyga på den första helikopterflygningen: 6:30 = 0,2
40. Sannolikheten att en ny DVD-spelare kommer att repareras inom ett år är 0,045. I en viss stad, av 1 000 sålda DVD-spelare under året, kom 51 stycken till garantiverkstaden. Hur olik är frekvensen av "garantireparation" från sannolikheten i den här staden? Lösning: Frekvensen (relativ frekvens) för "garantireparation"-händelsen är 51: 1000 = 0,051. Den skiljer sig från den förutspådda sannolikheten med 0,006.
41. Vid tillverkning av lager med en diameter på 67 mm är sannolikheten att diametern kommer att skilja sig från den angivna med högst 0,01 mm 0,965. Hitta sannolikheten att ett slumpmässigt lager har en diameter som är mindre än 66,99 mm eller större än 67,01 mm. Beslut. Enligt tillståndet kommer lagerdiametern att ligga i intervallet från 66,99 till 67,01 mm med en sannolikhet på 0,965. Därför är den önskade sannolikheten för den motsatta händelsen 1 − 0,965 = 0,035.
42. Sannolikheten att elev O. löser mer än 11 uppgifter korrekt på ett biologiskt prov är 0,67. Sannolikheten att O. löser mer än 10 problem korrekt är 0,74. Hitta sannolikheten att O. rätt löser exakt 11 problem. Beslut: Betrakta händelserna A = "eleven kommer att lösa 11 problem" och B = "eleven kommer att lösa mer än 11 problem". Deras summa är händelsen A + B = "eleven kommer att lösa mer än 10 problem." Händelser A och B är inkompatibla, sannolikheten för deras summa är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser: P(A + B) = P(A) + P(B). Sedan, med hjälp av uppgifterna för problemet, får vi: 0,74 = P(A) + 0,67, varav P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07. Svar: 0,07.
43. För att komma in på institutet för specialiteten "Lingvistik" måste den sökande få minst 70 poäng på Unified State Examination i vart och ett av de tre ämnena - matematik, ryska språket och ett främmande språk. För att komma in i specialiteten "Commerce" måste du få minst 70 poäng i vart och ett av de tre ämnena - matematik, ryska språket och samhällskunskap. Sannolikheten att den sökande Z. kommer att få minst 70 poäng i matematik är 0,6, på ryska språket - 0,8, i främmande språk- 0,7 och i samhällskunskap - 0,5 Hitta sannolikheten att Z. kommer att kunna gå in på minst en av de två nämnda specialiteterna. Lösning: För att komma in åtminstone någonstans behöver Z. klara både ryska och matematik med minst 70 poäng, och utöver det klara ett främmande språk eller samhällskunskap med minst 70 poäng. Låt vara A, B, C och D - det är evenemang där Z. klarar matematik, ryska, utrikes- respektive samhällskunskap med minst 70 poäng. Sedan sedan
För sannolikheten för ankomst har vi:
44. På fabriken av keramiska tallrikar har 10% av de producerade tallrikarna en defekt. Under produktkvalitetskontroll upptäcks 80 % av defekta plåtar. Resten av tallrikarna är till salu. Hitta sannolikheten att en slumpmässigt utvald platta vid köptillfället inte har några defekter. Avrunda ditt svar till närmaste hundradel. Beslut : Låt fabriken produceratallrikar. Alla cymbaler av hög kvalitet och 20 % av oupptäckta defekta cymbaler kommer att säljas:tallrikar. Eftersom de kvalitativa, sannolikheten för att köpa en kvalitetsskylt är 0,9p:0,92p=0,978 Svar: 0,978.
45. Det finns tre säljare i butiken. Var och en av dem är upptagen med en klient med en sannolikhet på 0,3. Hitta sannolikheten för att alla tre säljarna vid ett slumpmässigt tillfälle är upptagna samtidigt (anta att kunderna går in oberoende av varandra). Beslut : Sannolikheten för att producera oberoende händelser är lika med produkten av sannolikheterna för dessa händelser. Därför är sannolikheten att alla tre säljarna är upptagna
46. Baserat på kundrecensioner bedömde Ivan Ivanovich tillförlitligheten hos två onlinebutiker. Sannolikheten att önskad produkt levererat från butik A är 0,8. Sannolikheten att denna produkt kommer att levereras från butik B är 0,9. Ivan Ivanovich beställde varorna på en gång i båda butikerna. Förutsatt att nätbutiker fungerar oberoende av varandra, hitta sannolikheten att ingen av butikerna kommer att leverera varorna. Beslut: Sannolikheten att den första butiken inte kommer att leverera varorna är 1 − 0,9 = 0,1. Sannolikheten att den andra butiken inte kommer att leverera varorna är 1 − 0,8 = 0,2. Eftersom dessa händelser är oberoende, är sannolikheten för deras produkt (båda butikerna kommer inte att leverera varorna) lika med produkten av sannolikheterna för dessa händelser: 0,1 0,2 = 0,02
47. En buss går dagligen från stadsdelens centrum till byn. Sannolikheten att det på måndag kommer att vara mindre än 20 passagerare på bussen är 0,94. Sannolikheten att det blir färre än 15 passagerare är 0,56. Hitta sannolikheten för att antalet passagerare kommer att vara mellan 15 och 19. Lösning: Tänk på händelserna A = "det finns färre än 15 passagerare på bussen" och B = "det finns mellan 15 och 19 passagerare på bussen". Deras summa är händelsen A + B = "mindre än 20 passagerare på bussen". Händelser A och B är inkompatibla, sannolikheten för deras summa är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser: P(A + B) = P(A) + P(B). Sedan, med hjälp av uppgifterna för problemet, får vi: 0,94 = 0,56 + P(B), varav P(B) = 0,94 − 0,56 = 0,38. Svar: 0,38.
48. Före starten av en volleybollmatch drar lagkaptenerna rättvis lottning för att avgöra vilket lag som ska starta bollspelet. Stator-teamet turas om att spela med Rotor-, Motor- och Starter-teamen. Hitta sannolikheten att Stator endast kommer att starta det första och sista spelet. Beslut. Det krävs för att hitta sannolikheten för produkten av tre händelser: "Stator" startar det första spelet, startar inte det andra spelet, startar det tredje spelet. Sannolikheten för att producera oberoende händelser är lika med produkten av sannolikheterna för dessa händelser. Sannolikheten för var och en av dem är lika med 0,5, varav vi finner: 0,5 0,5 0,5 = 0,125. Svar: 0,125.
49. Det finns två typer av väder i Fairyland: bra och utmärkt, och vädret, efter att ha lagt sig på morgonen, förblir oförändrat hela dagen. Det är känt att med en sannolikhet på 0,8 kommer vädret i morgon att vara detsamma som idag. Idag är det den 3 juli, vädret i Fairyland är bra. Hitta sannolikheten att det kommer att bli kanonväder i Magicland den 6 juli. Beslut. För vädret den 4, 5 och 6 juli finns det 4 alternativ: XXO, XOO, OXO, LLC (här är X bra, O är utmärkt väder). Låt oss hitta sannolikheterna för sådant väder: P(XXO) = 0,8 0,8 0,2 = 0,128; P(XOO) = 0,8 0,2 0,8 = 0,128; P(OXO) = 0,2 0,2 0,2 = 0,008; P(OOO) = 0,2 0,8 0,8 = 0,128. Dessa händelser är inkompatibla, sannolikheten för deras summa är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser: P(XXO) + P(XXO) + P(XXO) + P(OOO) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.
50. Alla patienter med misstänkt hepatit får ett blodprov. Om analysen avslöjar hepatit, kallas resultatet av analysen positiv . Hos hepatitpatienter ger analysen positivt resultat med en sannolikhet på 0,9. Om patienten inte har hepatit kan testet ge ett falskt positivt resultat med en sannolikhet på 0,01. Det är känt att 5 % av patienterna som tas in med misstänkt hepatit faktiskt har hepatit. Hitta sannolikheten för att testresultatet för en patient som lagts in på kliniken med misstänkt hepatit kommer att vara positivt. Beslut . Analysen av patienten kan vara positiv av två skäl: A) patienten har hepatit, hans analys är korrekt; B) patienten inte har hepatit, hans analys är falsk. Dessa är inkompatibla händelser, sannolikheten för deras summa är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser. Vi har: p(A)=0,9 0,05=0,045; p(B)=0,01 0,95=0,0095; p(A+B)=P(A)+p(B)=0,045+0,0095=0,0545.
51. I Mishas ficka låg fyra godis - Grillage, Squirrel, Cow och Swallow, samt nycklarna till lägenheten. När Misha tog fram nycklarna tappade han av misstag en godisbit ur fickan. Hitta sannolikheten att Grillage-godiset går förlorat.
52.Mekaniska klockor med en tolvtimmarsurtavla vid något tillfälle bröt och slutade gå. Hitta sannolikheten för att timvisare frös, nådde 10-strecket, men nådde inte 1-timmesstrecket. Lösning: 3: 12=0,25
53. Sannolikheten att batteriet är defekt är 0,06. Kunden i butiken väljer ett slumpmässigt paket som innehåller två av dessa batterier. Hitta sannolikheten för att båda batterierna är bra. Lösning: Sannolikheten att batteriet är bra är 0,94. Sannolikheten för att producera oberoende händelser (båda batterierna kommer att vara bra) är lika med produkten av sannolikheterna för dessa händelser: 0,94 0,94 \u003d 0,8836. Svar: 0,8836.
54. En automatisk linje gör batterier. Sannolikheten att ett färdigt batteri är defekt är 0,02. Före förpackning går varje batteri genom ett kontrollsystem. Sannolikheten att systemet kommer att avvisa ett dåligt batteri är 0,99. Sannolikheten att systemet av misstag kommer att avvisa ett bra batteri är 0,01. Hitta sannolikheten för att ett slumpmässigt valt tillverkat batteri kommer att avvisas av styrsystemet. Beslut. Situationen då batteriet kommer att avvisas kan vara resultatet av följande händelser: A = batteriet är riktigt dåligt och avvisades rättvist, eller B = batteriet är bra, men avvisades av misstag. Dessa är inkompatibla händelser, sannolikheten för deras summa är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser. Vi har:
55. Figuren visar en labyrint. Spindeln kryper in i labyrinten vid "Entrance"-punkten. Spindeln kan inte vända sig om och krypa tillbaka, därför väljer spindeln vid varje gaffel en av vägarna som den inte har krypat ännu. Förutsatt att valet av den vidare vägen är rent slumpmässigt, bestäm med vilken sannolikhet att spindeln kommer till utgången.
Beslut.
På var och en av de fyra markerade gafflarna kan spindeln välja antingen vägen som leder till avfart D eller en annan väg med en sannolikhet på 0,5. Dessa är oberoende händelser, sannolikheten för deras produkt (spindeln når utgång D) är lika med produkten av sannolikheterna för dessa händelser. Därför är sannolikheten att komma till utgången D (0,5) 4 = 0,0625.
Planera för en workshop för lärare i matematik vid utbildningsinstitutionen i staden Tula om ämnet "Lösa USE-uppgifter i matematik från sektionerna: kombinatorik, sannolikhetsteori. Lär ut metoder"
Tidsutgifter: 12 00 ; 15 00
Plats: MBOU "Lyceum nr 1", rum. Nr 8
jag. Problemlösning för sannolikhet
1. Lösa problem på den klassiska definitionen av sannolikhet
Vi som lärare vet redan att huvudtyperna av uppgifter i USE i sannolikhetsteori är baserade på den klassiska definitionen av sannolikhet. Kom ihåg vad som kallas sannolikheten för en händelse?
Sannolikhet för en händelseär förhållandet mellan antalet utfall som är gynnsamma för en given händelse Totala numret resultat.
I vår vetenskapliga och metodologiska sammanslutning av lärare i matematik, en allmän ordning problemlösning för sannolikhet. Jag skulle vilja presentera det för er uppmärksamhet. Förresten, vi delade med oss av vår arbetserfarenhet, och i materialet som vi gav till din uppmärksamhet för en gemensam diskussion om att lösa problem, gav vi detta schema. Däremot vill jag uttrycka det.
Enligt vår åsikt hjälper detta schema till att snabbt logiskt lägga allt på hyllorna, och efter det kan uppgiften lösas mycket lättare för både läraren och eleverna.
Så jag vill i detalj analysera problemet med följande innehåll.
Jag ville prata med dig för att förklara metodiken för hur man förmedlar en sådan lösning till killarna, under vilken killarna skulle förstå denna typiska uppgift, och senare skulle de förstå dessa uppgifter själva.
Vad är ett slumpmässigt experiment i detta problem? Nu måste vi isolera den elementära händelsen i detta experiment. Vad är denna elementära händelse? Låt oss lista dem.
Ställa frågor?
Kära kollegor, även ni har uppenbarligen funderat på sannolikhetsproblem med tärningar. Jag tror att vi måste demontera det, för det finns några nyanser. Låt oss analysera detta problem enligt schemat som vi föreslog dig. Eftersom det finns ett tal från 1 till 6 på varje sida av kuben, är de elementära händelserna talen 1, 2, 3, 4, 5, 6. Vi fann att det totala antalet elementära händelser är 6. Låt oss avgöra vilka elementära evenemang gynnar evenemanget. Endast två händelser gynnar denna händelse - 5 och 6 (eftersom det följer av villkoret att 5 och 6 poäng ska falla ut).
Förklara att alla elementära händelser är lika möjliga. Vilka kommer att vara frågorna om uppgiften?
Hur förstår du att myntet är symmetriskt? Låt oss göra det klart, ibland orsakar vissa fraser missförstånd. Låt oss förstå detta problem konceptuellt. Låt oss ta itu med dig i det experimentet, som beskrivs, vad elementära resultat kan vara. Kan du föreställa dig var är huvudet, var är svansen? Vilka är nedfallsalternativen? Finns det andra evenemang? Vad är det totala antalet händelser? Enligt problemet är det känt att huvudena ramlade ut exakt en gång. Alltså denna händelseelementära händelser från dessa fyra OR och RO gynnar, detta kan inte hända två gånger redan. Vi använder formeln med vilken sannolikheten för en händelse hittas. Kom ihåg att svaren i del B måste vara antingen ett heltal eller en decimal.
Visa på den interaktiva skrivtavlan. Vi läser uppgiften. Vad är det grundläggande resultatet av denna upplevelse? Förtydliga att paret är ordnat - det vill säga numret föll på den första tärningen och på den andra tärningen. I vilken uppgift som helst finns det tillfällen då du behöver välja rationella metoder, former och presentera lösningen i form av tabeller, diagram, etc. I det här problemet är det bekvämt att använda ett sådant bord. Jag ger dig redan helhetslösning, men under loppet av lösningen visar det sig att i detta problem är det rationellt att använda lösningen i form av en tabell. Förklara vad tabellen betyder. Du förstår varför det står 1, 2, 3, 4, 5, 6 i kolumnerna.
Låt oss rita en kvadrat. Linjerna motsvarar resultatet av det första kastet - det finns sex av dem, eftersom tärningen har sex ytor. Liksom kolumnerna. I varje cell skriver vi summan av de tappade punkterna. Visa den ifyllda tabellen. Låt oss färglägga cellerna där summan är lika med åtta (som det krävs i villkoret).
Jag tror att nästa problem, efter att ha analyserat de tidigare, kan ges till killarna att lösa på egen hand.
I följande problem finns det inget behov av att skriva ner alla elementära resultat. Det räcker bara att räkna deras antal.
(Utan lösning) Jag gav killarna att lösa det här problemet på egen hand. Algoritm för att lösa problemet
1. Bestäm vad ett slumpmässigt experiment är och vad som är en slumpmässig händelse.
2. Hitta det totala antalet elementära händelser.
3. Vi hittar antalet händelser som gynnar händelsen som anges i problemets tillstånd.
4. Hitta sannolikheten för en händelse med hjälp av formeln.
Studenter kan ställas en fråga, om 1000 batterier såldes, och bland dem 6 är felaktiga, bestäms det valda batteriet som? Vad ligger det i vår uppgift? Därefter ställer jag en fråga om att hitta vad som används här som nummeroch jag föreslår att hitta densiffra. Sedan frågar jag, vad är händelsen här? Hur många ackumulatorer föredrar slutförandet av evenemanget? Därefter, med hjälp av formeln, beräknar vi denna sannolikhet.
Här kan barnen erbjudas en andra lösning. Låt oss diskutera vad denna metod kan vara?
1. Vilken händelse kan övervägas nu?
2. Hur hittar man sannolikheten för en given händelse?
Barnen måste få veta om dessa formler. De är nästa
Den åttonde uppgiften kan erbjudas barnen på egen hand, eftersom den liknar den sjätte uppgiften. Det kan erbjudas dem som självständigt arbete, eller på ett kort på tavlan.
Detta problem kan lösas i förhållande till Olympiaden som pågår just nu. Trots att olika evenemang deltar i uppgifterna är arbetsuppgifterna dock typiska.
2. De enklaste reglerna och formlerna för att beräkna sannolikheter (motsatta händelser, summa av händelser, produkt av händelser)
Detta är en uppgift från ANVÄND samling. Vi lägger lösningen på tavlan. Vilka frågor bör vi ställa inför eleverna för att analysera detta problem.
1. Hur många maskingevär fanns det? En gång två automater, då finns det redan två händelser. Jag frågar barnen vad evenemanget kommer att vara? Vad blir det andra evenemanget?
2. är sannolikheten för händelsen. Vi behöver inte beräkna det, eftersom det ges i villkoret. Enligt problemets tillstånd är sannolikheten att "kaffe tar slut i båda maskinerna" 0,12. Det var en händelse A, det var en händelse B. Och en ny händelse dyker upp? Jag ställer frågan till barnen - vad? Detta är en händelse när båda varuautomaterna får slut på kaffe. I det här fallet, i sannolikhetsteorin, är detta en ny händelse, som kallas skärningspunkten mellan två händelser A och B och betecknas på detta sätt.
Låt oss använda sannolikhetsadditionsformeln. Formeln är följande
Vi ger dig det i referensmaterialet och killarna kan ge den här formeln. Det låter dig hitta sannolikheten för summan av händelser. Vi fick frågan om sannolikheten för den motsatta händelsen, vars sannolikhet hittas av formeln.
Uppgift 13 använder begreppet en produkt av händelser, formeln för att hitta sannolikheten för vilken ges i bilagan.
3. Uppgifter för tillämpningen av trädet med möjliga alternativ
Beroende på problemets tillstånd är det lätt att rita ett diagram och hitta de angivna sannolikheterna.
Med vilken hjälp teoretiskt material Har du arbetat med elever för att lösa problem av det här slaget? Använde du ett träd av möjligheter eller använde du andra metoder för att lösa sådana problem? Gav du begreppet grafer? I femte eller sjätte klass har killarna sådana problem, vars analys ger konceptet med grafer.
Jag skulle vilja fråga dig, har du och dina elever funderat på att använda ett träd av möjligheter när du löser sannolikhetsproblem? Faktum är att inte bara USE har sådana uppgifter, utan det har dykt upp ganska komplexa uppgifter, som vi nu ska lösa.
Låt oss diskutera med dig metoden för att lösa sådana problem - om det sammanfaller med min metod, som jag förklarar för killarna, blir det lättare för mig att arbeta med dig, om inte, så hjälper jag dig att hantera det här problemet.
Låt oss diskutera händelserna. Vilka händelser i problem 17 kan identifieras?
När man konstruerar ett träd på ett plan, utses en punkt, som kallas trädets rot. Därefter börjar vi överväga händelsernaoch. Vi kommer att konstruera ett segment (i sannolikhetsteorin kallas det en gren). Villkoret säger att den första fabriken producerar 30 % mobiltelefoner detta märke (vad? Det de tillverkar), så in det här ögonblicket Jag frågar eleverna, vad är sannolikheten för att den första fabriken tillverkar telefoner av detta märke, de som de tillverkar? Eftersom händelsen är lanseringen av telefonen vid den första fabriken, är sannolikheten för denna händelse 30 % eller 0,3. De återstående telefonerna tillverkas i den andra fabriken - vi bygger det andra segmentet, och sannolikheten för denna händelse är 0,7.
Eleverna får frågan - vilken typ av telefon kan tillverkas av den första fabriken? Med eller utan defekt. Vad är sannolikheten att telefonen som tillverkades av den första fabriken har en defekt? Enligt villkoret sägs det att det är lika med 0,01. Fråga: Vad är sannolikheten för att telefonen som tillverkades av den första fabriken inte har en defekt? Eftersom denna händelse är motsatt den givna, är dess sannolikhet lika stor.
Det krävs för att hitta sannolikheten för att telefonen är defekt. Det kan vara från den första fabriken, eller det kan vara från den andra. Sedan använder vi formeln för att lägga till sannolikheter och vi får att hela sannolikheten är summan av sannolikheterna för att telefonen är defekt från den första fabriken, och att telefonen är defekt från den andra fabriken. Sannolikheten för att telefonen har en defekt och tillverkades i den första fabriken hittas av formeln för sannolikhetsprodukten, som ges i bilagan.
4. En av de mest utmanande uppgifter från USE-banken för sannolikhet
Låt oss analysera till exempel nr 320199 från FIPI Task Bank. Detta är en av de svåraste uppgifterna i B6.
För att komma in på institutet för specialiteten "Lingvistik" måste den sökande Z. få minst 70 poäng på Unified State Examination i vart och ett av de tre ämnena - matematik, ryska och ett främmande språk. För att komma in i specialiteten "Commerce" måste du få minst 70 poäng i vart och ett av de tre ämnena - matematik, ryska språket och samhällskunskap.
Sannolikheten att sökande Z. får minst 70 poäng i matematik är 0,6, i ryska - 0,8, i främmande språk - 0,7 och i samhällskunskap - 0,5.
Hitta sannolikheten för att Z. ska kunna gå in i minst en av de två nämnda specialiteterna.
Observera att problemet inte frågar om en sökande vid namn Z. ska studera både lingvistik och handel samtidigt och få två examensbevis. Här måste vi hitta sannolikheten att Z. kommer att kunna gå in på åtminstone en av dessa två specialiteter - det vill säga att han kommer att få erforderligt belopp poäng.
För att komma in på minst en av de två specialiteterna måste Z. få minst 70 poäng i matematik. Och på ryska. Och ändå - samhällsvetenskap eller utländsk.
Sannolikheten att få 70 poäng i matematik för honom är 0,6.
Sannolikheten att få poäng i matematik och ryska är lika stor.
Låt oss ta itu med utrikes- och samhällskunskap. Alternativen passar oss när den sökande fått poäng i samhällskunskap, på ett främmande språk eller i båda. Alternativet är inte lämpligt när han inte fick poäng vare sig i språket eller i "samhället". Det innebär att sannolikheten att bli godkänd i samhällskunskap eller en utländsk är minst 70 poäng lika. Som ett resultat är sannolikheten för att klara matematik, ryska och samhällskunskap eller en utländsk lika med
Detta är svaret.
II . Lösning av kombinatoriska problem
1. Antal kombinationer och fakulteter
Låt oss kort analysera det teoretiska materialet.
Uttryckn ! läser "en-faktoriell" och betecknar produkten av alla naturliga tal från 1 tilln inklusive:n ! = 1 2 3 ...n .
Dessutom, i matematik, per definition, anses det att 0! = 1. Ett sådant uttryck är sällsynt, men förekommer fortfarande i problem inom sannolikhetsteorin.
Definition
Låt det finnas föremål (pennor, godis, vad som helst) från vilka det krävs att man väljer exakt olika föremål. Sedan anropas antalet alternativ för ett sådant valantal kombinationer från elementen. Detta antal anges och beräknas enligt en speciell formel.
Beteckning
Vad ger denna formel oss? Faktum är att nästan ingen seriös uppgift kan lösas utan den.
För en bättre förståelse, låt oss analysera några enkla kombinatoriska problem:
Uppgift
Bartendern har 6 sorters grönt te. För teceremonin måste du lämna in grönt te exakt 3 olika sorter. På hur många sätt kan en bartender slutföra en beställning?
Beslut
Allt är enkelt här: det finnsn = 6 sorter att välja mellank = 3 sorter. Antalet kombinationer kan hittas med formeln:
Svar
Ersätt i formeln. Vi kan inte lösa alla problem, men typiska uppgifter vi har skrivit, de presenteras för din uppmärksamhet.
Uppgift
I en grupp på 20 studenter ska 2 representanter väljas ut för att tala vid konferensen. På hur många sätt kan detta göras?
Beslut
Återigen, allt vi harn = 20 elever, men du måste väljak = 2 elever. Hitta antalet kombinationer:
Observera att faktorerna som ingår i olika faktorer är markerade med rött. Dessa multiplikatorer kan reduceras smärtfritt och därmed avsevärt minska den totala mängden beräkningar.
Svar
190
Uppgift
17 servrar med olika defekter togs till lagret, vilket kostade 2 gånger billigare än vanliga servrar. Direktören köpte 14 sådana servrar till skolan och spenderade de sparade pengarna till ett belopp av 200 000 rubel på inköp av annan utrustning. På hur många sätt kan en regissör välja defekta servrar?
Beslut
Det finns ganska mycket extra data i uppgiften, vilket kan vara förvirrande. Mest viktiga fakta: det finns alltn = 17 servrar, och regissören behöverk = 14 servrar. Vi räknar antalet kombinationer:
Den röda färgen indikerar återigen de multiplikatorer som reduceras. Totalt blev det 680 kombinationer. I allmänhet har regissören mycket att välja på.
Svar
680
Denna uppgift är nyckfull, eftersom det finns extra data i denna uppgift. De förvirrar många elever rätt beslut. Det fanns totalt 17 servrar och regissören behövde välja 14. Om vi byter in i formeln får vi 680 kombinationer.
2. Multiplikationens lag
Definition
multiplikationslagen i kombinatorik: antalet kombinationer (sätt, kombinationer) i oberoende uppsättningar multipliceras.
Med andra ord, låt det finnasA sätt att utföra en åtgärd ochB sätt att utföra en annan åtgärd. Vägen även dessa handlingar är oberoende, dvs. inte relaterat på något sätt. Sedan kan du hitta antalet sätt att utföra den första och andra åtgärden med formeln:C = A · B .
Uppgift
Petya har 4 mynt på 1 rubel vardera och 2 mynt på 10 rubel vardera. Petya, utan att titta, tog ur fickan 1 mynt med ett nominellt värde av 1 rubel och ytterligare 1 mynt med ett nominellt värde av 10 rubel för att köpa en penna för 11 rubel. På hur många sätt kan han välja dessa mynt?
Beslut
Så, först får Petyak = 1 mynt frånn = 4 tillgängliga mynt med ett nominellt värde på 1 rubel. Antalet sätt att göra detta ärC 4 1 = ... = 4.
Då sträcker sig Petya i fickan igen och tar utk = 1 mynt frånn = 2 tillgängliga mynt med ett nominellt värde på 10 rubel. Här är antalet kombinationerC 2 1 = ... = 2.
Eftersom dessa åtgärder är oberoende är det totala antalet alternativC = 4 2 = 8.
Svar
Uppgift
Det finns 8 vita bollar och 12 svarta i en korg. På hur många sätt kan du få 2 vita bollar och 2 svarta bollar från den här korgen?
Beslut
Totalt i varukorgenn = 8 vita bollar att välja mellank = 2 bollar. Det kan görasC 8 2 = ... = 28 olika sätt.
Dessutom innehåller vagnenn = 12 svarta kulor att välja mellan igenk = 2 bollar. Antalet sätt att göra detta ärC 12 2 = ... = 66.
Eftersom valet av den vita bollen och valet av den svarta är oberoende händelser, beräknas det totala antalet kombinationer enligt multiplikationslagen:C = 28 66 = 1848. Som du kan se kan det finnas en hel del alternativ.
Svar
1848
Multiplikationslagen visar hur många sätt du kan utföra en komplex handling som består av två eller flera enkla - förutsatt att de alla är oberoende.
3. Lag om addition
Om multiplikationslagen fungerar på "isolerade" händelser som inte är beroende av varandra, så är det motsatta i lagen om addition. Den handlar om ömsesidigt uteslutande händelser som aldrig inträffar samtidigt.
Till exempel, "Peter tog ut 1 mynt ur fickan" och "Peter tog inte ut ett enda mynt ur fickan" är ömsesidigt uteslutande händelser, eftersom det är omöjligt att ta ut ett mynt utan att ta ut något.
På samma sätt utesluter även händelserna "Slumpmässigt vald boll - vit" och "Slumpmässigt vald boll - svart".
Definition
Tilläggslag i kombinatorik: om två ömsesidigt uteslutande åtgärder kan utförasA ochB sätt att dessa händelser kan kombineras. Detta kommer att generera en ny händelse som kan exekverasX = A + B sätt.
Med andra ord, när man kombinerar ömsesidigt uteslutande åtgärder (händelser, alternativ), läggs antalet av deras kombinationer samman.
Vi kan säga att additionslagen är ett logiskt "ELLER" i kombinatorik, när något av de ömsesidigt uteslutande alternativen passar oss. Omvänt är multiplikationens lag en logisk "OCH", där vi är intresserade av samtidig utförande av både den första och andra handlingen.
Uppgift
Det finns 9 svarta bollar och 7 röda bollar i en korg. Pojken tar ut 2 bollar av samma färg. På hur många sätt kan han göra detta?
Beslut
Om bollarna har samma färg, finns det få alternativ: båda är antingen svarta eller röda. Uppenbarligen är dessa alternativ ömsesidigt uteslutande.
I det första fallet måste pojken väljak = 2 svarta kulor frånn = 9 tillgängliga. Antalet sätt att göra detta ärC 9 2 = ... = 36.
På samma sätt väljer vi i det andra falletk = 2 röda kulor frånn = 7 möjliga. Antalet sätt ärC 7 2 = ... = 21.
Det återstår att hitta det totala antalet sätt. Eftersom varianterna med svarta och röda kulor är ömsesidigt uteslutande, har vi enligt additionslagen:X = 36 + 21 = 57.
Svar57
Uppgift
I ståndet säljs 15 rosor och 18 tulpaner. En elev i 9:e klass vill köpa 3 blommor till sin klasskamrat, och alla blommor måste vara likadana. På hur många sätt kan han göra en sådan bukett?
Beslut
Enligt tillståndet måste alla blommor vara likadana. Så vi kommer att köpa antingen 3 rosor eller 3 tulpaner. I alla fall,k = 3.
När det gäller rosor måste du välja mellann = 15 alternativ, så antalet kombinationer ärC 15 3 = ... = 455. För tulpanern = 18, och antalet kombinationer -C 18 3 = ... = 816.
Eftersom rosor och tulpaner är ömsesidigt uteslutande alternativ arbetar vi enligt additionslagen. Få det totala antalet alternativX = 455 + 816 = 1271. Detta är svaret.
Svar
1271
Ytterligare villkor och begränsningar
Mycket ofta i problemets text finns det ytterligare villkor som lägger betydande begränsningar på kombinationerna av intresse för oss. Jämför två meningar:
Det finns ett set med 5 pennor olika färger. På hur många sätt kan 3-taktshandtag väljas?
Det finns ett set med 5 pennor i olika färger. På hur många sätt kan 3-taktshandtag väljas om ett av dem måste vara rött?
I det första fallet har vi rätt att ta alla färger som vi gillar - det finns inga ytterligare begränsningar. I det andra fallet är allt mer komplicerat, eftersom vi måste välja ett rött handtag (det antas att det är i originaluppsättningen).
Uppenbarligen minskar eventuella restriktioner drastiskt det totala antalet alternativ. Så hur hittar du antalet kombinationer i det här fallet? Kom bara ihåg nästa regel:
Låt det finnas en uppsättning avn element att välja mellank element. Med införandet av ytterligare begränsningar av antaletn ochk minska med samma belopp.
Med andra ord, om du behöver välja 3 av 5 pennor, och en av dem måste vara röd, måste du välja mellann = 5 − 1 = 4 element byk = 3 − 1 = 2 element. Alltså istället förC 5 3 måste övervägasC 4 2 .
Låt oss nu se hur denna regel fungerar för konkreta exempel:
Uppgift
I en grupp på 20 studenter, inklusive 2 utmärkta studenter, måste du välja 4 personer för att delta i konferensen. På hur många sätt kan dessa fyra väljas om de utmärkta studenterna måste ta sig till konferensen?
Beslut
Så det finns en gruppn = 20 elever. Men det är bara att väljak = 4 av dem. Om det inte fanns några ytterligare begränsningar var antalet alternativ lika med antalet kombinationerC 20 4 .
Men vi fick ytterligare villkor: 2 utmärkelser måste vara bland dessa fyra. Således, enligt ovanstående regel, minskar vi siffrornan ochk senast 2. Vi har:
Svar
153
Uppgift
Petya har 8 mynt i fickan, varav 6 är rubelmynt och 2 är 10 rubelmynt. Petya flyttar in några tre mynt i en annan ficka. På hur många sätt kan Petya göra detta om det är känt att båda 10-rubelmynten hamnat i en annan ficka?
Beslut
Så det finnsn = 8 mynt. Petya skiftark = 3 mynt, varav 2 är tio rubel. Det visar sig att av 3 mynt som kommer att överföras är 2 redan fasta, så siffrornan ochk måste minskas med 2. Vi har:
Svar
III . Lösa kombinerade problem med användning av kombinatorikformler och sannolikhetsteori
Uppgift
Petya hade 4 rubelmynt och 2 2 rubelmynt i fickan. Petya, utan att titta, flyttade några tre mynt i en annan ficka. Hitta sannolikheten att båda två-rubelmynten är i samma ficka.
Beslut
Anta att båda två-rubelmynten verkligen hamnade i samma ficka, då är två alternativ möjliga: antingen flyttade Petya dem inte alls, eller så flyttade han båda på en gång.
I det första fallet, när två-rubelmynt inte överfördes, skulle 3 rubelmynt behöva överföras. Eftersom det finns 4 sådana mynt totalt, är antalet sätt att göra detta lika med antalet kombinationer av 4 gånger 3:C 4 3 .
I det andra fallet, när båda två-rubelmynten har överförts, måste ytterligare ett rubelmynt överföras. Det måste väljas från 4 befintliga, och antalet sätt att göra detta är lika med antalet kombinationer från 4 till 1:C 4 1 .
Låt oss nu hitta det totala antalet sätt att flytta mynten. Eftersom det finns 4 + 2 = 6 mynt totalt, och endast 3 av dem behöver väljas, är det totala antalet alternativ lika med antalet kombinationer från 6 till 3:C 6 3 .
Det återstår att hitta sannolikheten:
Svar
0,4
Visa på den interaktiva skrivtavlan. Var uppmärksam på det faktum att Petya, enligt problemets tillstånd, utan att titta, flyttade tre mynt i en ficka. När vi besvarar denna fråga kan vi anta att två tvårubelmynt verkligen fanns kvar i en ficka. Se formeln för att lägga till sannolikheter. Visa formeln igen.
Uppgift
Petya hade 2 mynt à 5 rubel och 4 mynt à 10 rubel i fickan. Petya, utan att titta, flyttade några 3 mynt i en annan ficka. Hitta sannolikheten att fem-rubelmynt nu finns i olika fickor.
Beslut
För att fem-rubelmynt ska ligga i olika fickor behöver du bara flytta en av dem. Antalet sätt att göra detta är lika med antalet kombinationer av 2 gånger 1:C 2 1 .
Eftersom Petya överförde 3 mynt totalt, måste han överföra ytterligare 2 mynt på 10 rubel vardera. Petya har 4 sådana mynt, så antalet sätt är lika med antalet kombinationer från 4 till 2:C 4 2 .
Det återstår att ta reda på hur många alternativ det finns för att flytta 3 mynt av 6 tillgängliga. Detta nummer, som i föregående problem, är lika med antalet kombinationer från 6 till 3:C 6 3 .
Hitta sannolikheten:
I det sista steget multiplicerade vi antalet sätt att välja två-rubelmynt och antalet sätt att välja tio-rubelmynt, eftersom dessa händelser är oberoende.
Svar
0,6
Så problem med mynt har sin egen sannolikhetsformel. Det är så enkelt och viktigt att det kan formuleras som ett teorem.
Sats
Låt myntet kastasn en gång. Då är sannolikheten att huvuden landar exaktk tider kan hittas med formeln:
VarC n k - antal kombinationer avn element avk , som beräknas med formeln:
För att lösa problemet med mynt behövs alltså två siffror: antalet kast och antalet huvuden. Oftast anges dessa siffror direkt i problemtexten. Dessutom spelar det ingen roll exakt vad man ska räkna: svansar eller örnar. Svaret blir detsamma.
Vid första anblicken verkar satsen för krånglig. Men det är värt lite övning – och du vill inte längre återgå till standardalgoritmen som beskrivs ovan.
Myntet kastas fyra gånger. Hitta sannolikheten att huvuden kommer upp exakt tre gånger.
Beslut
Enligt problemets tillstånd var det totala antalet kastn = 4. Nödvändigt antal huvuden:k = 3. Ersättaren ochk in i formeln:
Med samma framgång kan du räkna antalet svansar:k = 4 − 3 = 1. Svaret blir detsamma.
Svar
0,25
Uppgift [ Arbetsbok"ANVÄND 2012 i matematik. Uppgifter B6»]
Myntet kastas tre gånger. Hitta sannolikheten att det aldrig kommer upp svansar.
Beslut
Skriver ut siffrorna igenn ochk . Eftersom myntet kastas 3 gånger,n = 3. Och eftersom det inte borde finnas några svansar,k = 0. Det återstår att ersätta talenn ochk in i formeln:
Låt mig påminna dig om att 0! = 1 per definition. SåC 3 0 = 1.
Svar
0,125
Uppgift [ Provanvändning i matematik 2012. Irkutsk]
I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt 4 gånger. Hitta sannolikheten att huvuden kommer upp fler gånger än svansar.
Beslut
För att det ska bli fler huvuden än svansar måste de ramla ut antingen 3 gånger (då blir det 1 svans) eller 4 (då blir det inga svansar alls). Låt oss ta reda på sannolikheten för var och en av dessa händelser.
Låt varasid 1 - sannolikheten att huvuden faller ut 3 gånger. Sedann = 4, k = 3. Vi har:
Nu ska vi hittasid 2 - sannolikheten att huvuden faller ut alla fyra gångerna. I detta falln = 4, k = 4. Vi har:
För att få svaret återstår att lägga till sannolikheternasid 1 ochsid 2 . Kom ihåg: du kan bara lägga till sannolikheter för ömsesidigt uteslutande händelser. Vi har:
sid = sid 1 + sid 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125
Svar
0,3125
För att spara tid när du förbereder dig med killarna för Unified State Exam och GIA har vi presenterat lösningar på många fler uppgifter som du kan välja och lösa tillsammans med killarna.
Material från GIA, Unified State Examination av olika år, läroböcker och webbplatser.
IV. Referensmaterial
Sannolikhetsteorin på tentamen i matematik kan representeras som i formuläret enkla uppgifter om den klassiska definitionen av sannolikhet, och i form av ganska komplexa sådana, om tillämpningen av motsvarande satser.
I denna del tar vi upp problem för vilka det räcker att använda sannolikhetsdefinitionen. Ibland kommer vi här också att tillämpa en formel för att beräkna sannolikheten för den motsatta händelsen. Även om denna formel kan undvaras här, kommer den fortfarande att behövas när du löser följande problem.
Teoretisk del
En slumpmässig händelse är en händelse som kan eller inte kan inträffa (det är omöjligt att förutsäga i förväg) under en observation eller ett test.
Låt under testet (kasta ett mynt eller en tärning, dra undersökningskort etc.) lika möjliga resultat är möjliga. Till exempel, när man kastar ett mynt, är antalet av alla utfall 2, eftersom det inte kan finnas några andra utfall förutom förlusten av "svansar" eller "örnar". När man kastar en tärning är 6 utfall möjliga, eftersom vilket som helst av siffrorna från 1 till 6 kan visas på tärningens övre sida.Låt även någon händelse A gynnas av utfall.
Sannolikheten för en händelse A är förhållandet mellan antalet utfall som är gynnsamma för denna händelse och det totala antalet lika möjliga utfall (detta är den klassiska definitionen av sannolikhet). Vi skriver
Låt till exempel händelse A bestå av att få ett udda antal poäng på ett tärningskast. Totalt är 6 utfall möjliga: 1, 2, 3, 4, 5, 6 på tärningens översida. Samtidigt är utfall med 1, 3, 5 fallande gynnsamma för händelse A. Således, 
.
Observera att den dubbla olikheten alltid gäller, så sannolikheten för en händelse A ligger på intervallet, dvs. 
. Om ditt svar har en sannolikhet större än en, då har du gjort ett misstag någonstans och du måste dubbelkolla lösningen.
Händelser A och B kallas motsatt varandra om något resultat är gynnsamt för exakt en av dem.
Till exempel, när en tärning kastas, kastas händelsen udda nummer” är motsatsen till händelsen ”jämt antal rullade”.
Händelsen motsatt händelse A betecknas. Av definitionen av motsatta händelser följer det 
, betyder att, 
.
Problem med att välja objekt från en uppsättning
Uppgift 1. 24 lag deltar i världsmästerskapet. Genom lottning ska de delas in i fyra grupper om sex lag vardera. I lådan finns blandade kort med gruppnummer:
1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.
Lagkaptener drar ett kort var. Vad är sannolikheten att det ryska laget hamnar i den tredje gruppen?
Det totala antalet utfall är lika med antalet kort - det finns 24. Det finns 6 gynnsamma utfall (eftersom siffran 3 är skrivet på sex kort). Den önskade sannolikheten är lika med 
.
Svar: 0,25.
Uppgift 2. En urna innehåller 14 röda, 9 gula och 7 gröna kulor. En kula dras slumpmässigt från urnan. Vad är sannolikheten att den här bollen är gul?
Det totala antalet utfall är lika med antalet bollar: 14 + 9 + 7 = 30. Antalet utfall som är gynnsamma för denna händelse är 9. Den önskade sannolikheten är lika med 
.
Uppgift 3. Det finns 10 nummer på telefonens knappsats, från 0 till 9. Hur stor är sannolikheten att ett slumpmässigt tryckt nummer blir jämnt och större än 5?
Resultatet här är att trycka på en viss tangent, så det finns 10 lika möjliga utfall totalt. Den indikerade händelsen gynnas av utfallen, vilket innebär att man trycker på knapp 6 eller 8. Det finns två sådana utfall. Den nödvändiga sannolikheten är .
Svar: 0,2.
Uppgift 4. Vad är sannolikheten att ett slumpmässigt valt naturligt tal från 4 till 23 är delbart med 3?
Det finns 23 - 4 + 1 = 20 naturliga tal på intervallet från 4 till 23, vilket betyder att det finns 20 möjliga utfall totalt. På detta segment är följande siffror multiplar av tre: 6, 9, 12, 15, 18, 21. Det finns 6 sådana siffror totalt, så 6 utfall gynnar händelsen i fråga. Den önskade sannolikheten är lika med 
.
Svar: 0,3.
Uppgift 5. Av de 20 biljetter som erbjuds i tentamen kan studenten endast svara på 17. Hur stor är sannolikheten att eleven inte kommer att kunna svara på den slumpmässiga biljetten?
1:a vägen.
Eftersom eleven kan svara på 17 lotter kan han inte svara på 3 lotter. Sannolikheten att få en av dessa biljetter är per definition .
2:a vägen.
Beteckna med A händelsen "eleven kan svara på biljetten". Sedan . Sannolikheten för den motsatta händelsen är =1 - 0,85 = 0,15.
Svar: 0,15.
Uppgift 6. I mästerskapet Rytmisk gymnastik 20 idrottare deltar: 6 från Ryssland, 5 från Tyskland, resten från Frankrike. I vilken ordning gymnasterna presterar bestäms genom lottning. Hitta sannolikheten att den sjunde idrottaren kommer från Frankrike.
Det finns totalt 20 idrottare, alla har lika stora chanser att prestera sjua. Därför finns det 20 lika sannolika utfall. Från Frankrike 20 - 6 - 5 = 9 idrottare, så det finns 9 gynnsamma resultat för detta evenemang. Den nödvändiga sannolikheten är .
Svar: 0,45.
Uppgift 7. Den vetenskapliga konferensen hålls om 5 dagar. Totalt planeras 50 rapporter - de tre första dagarna, 12 rapporter vardera, resten fördelas lika mellan den fjärde och femte dagen. Ordningen på rapporterna avgörs genom lottning. Hur stor är sannolikheten att professor N:s rapport kommer att planeras till konferensens sista dag?
Låt oss först ta reda på hur många rapporter som är schemalagda för den sista dagen. Rapporter är schemalagda för de första tre dagarna. Det finns fortfarande 50 - 36 = 14 rapporter som fördelas lika mellan de återstående två dagarna, så rapporterna är schemalagda för den sista dagen.
Vi kommer att betrakta som resultat serienumret på rapporten från professor N. Det finns 50 sådana lika möjliga utfall.Det finns 7 utfall som gynnar den indikerade händelsen (de sista 7 siffrorna i listan över rapporter). Den nödvändiga sannolikheten är .
Svar: 0,14.
Uppgift 8. Det finns 10 platser ombord på flygplanet bredvid nödutgångarna och 15 platser bakom skiljeväggarna som skiljer kabinerna åt. Resten av sätena är obekväma för långa passagerare. Passagerare K. är lång. Hitta sannolikheten att vid incheckningen, med ett slumpmässigt val av säte, passagerare K. får en bekväm plats om det finns 200 platser på planet.
Resultatet i detta problem är valet av plats. Totalt finns det 200 lika möjliga utfall. Föredrag evenemanget "den valda platsen är bekväm" 15 + 10 = 25 utfall. Den nödvändiga sannolikheten är .
Svar: 0,125.
Uppgift 9. Av de 1000 kaffekvarnar som monterats på fabriken är 7 stycken defekta. Experten kontrollerar en slumpmässigt utvald kaffekvarn av dessa 1000. Hitta sannolikheten för att kaffekvarnen som kontrolleras är defekt.
När man väljer en kaffekvarn slumpmässigt är 1000 utfall möjliga, händelsen A "den valda kaffekvarnen är defekt" är gynnsam för 7 utfall. Per definition av sannolikhet.
Svar: 0,007.
Uppgift 10. Fabriken tillverkar kylskåp. I genomsnitt, för varje 100:e högkvalitativt kylskåp, finns det 15 kylskåp med dolda defekter. Hitta sannolikheten att det köpta kylskåpet kommer att vara av hög kvalitet. Avrunda resultatet till närmaste hundradel.
Denna uppgift liknar den föregående. Men formuleringen "för varje 100 kvalitetskylskåp finns det 15 med defekter" säger oss att defekta 15 stycken ingår inte i 100-kvaliteten. Därför är det totala antalet utfall 100 + 15 = 115 (lika med det totala antalet kylskåp), gynnsamma utfall är 100. Den nödvändiga sannolikheten är . För att beräkna det ungefärliga värdet av ett bråk är det bekvämt att använda division med ett hörn. Vi får 0,869 ... vilket är 0,87.
Svar: 0,87.
Uppgift 11. Inför starten av den första omgången av tennismästerskapet delas deltagarna slumpmässigt in i spelpar genom lottning. Totalt deltar 16 tennisspelare i mästerskapet, inklusive 7 deltagare från Ryssland, inklusive Maxim Zaitsev. Hitta sannolikheten att Maxim Zaitsev i första omgången kommer att spela någon tennisspelare från Ryssland.
Som i föregående uppgift måste du noggrant läsa villkoret och förstå vad som är resultatet och vad som är det gynnsamma resultatet (till exempel leder den tanklösa tillämpningen av sannolikhetsformeln till fel svar).
Här är resultatet Maxim Zaitsevs rival. Eftersom det finns 16 tennisspelare totalt, och Maxim inte kan spela med sig själv, finns det 16 - 1 = 15 lika sannolika utfall. Ett gynnsamt resultat är en rival från Ryssland. Det finns 7 sådana gynnsamma resultat - 1 = 6 (vi utesluter Maxim själv bland ryssarna). Den nödvändiga sannolikheten är .
Svar: 0,4.
Uppgift 12. Fotbollssektionen besöks av 33 personer, bland dem två bröder - Anton och Dmitry. De som går på sektionen är slumpmässigt indelade i tre lag med 11 personer vardera. Hitta sannolikheten att Anton och Dmitry kommer att vara i samma lag.
Låt oss bilda lag genom att sekventiellt placera spelarna på tomma platser, samtidigt som vi börjar med Anton och Dmitry. Låt oss först placera Anton på en slumpmässigt utvald plats av 33 lediga platser. Nu sätter vi Dmitry på en tom plats (vi kommer att överväga valet av en plats för honom som resultatet). Det finns 32 lediga platser totalt (en har redan tagits av Anton), så det finns 32 möjliga utfall totalt. Det finns 10 lediga platser kvar i samma lag med Anton, så evenemanget "Anton och Dmitry i samma lag" gynnas av 10 utfall. Sannolikheten för denna händelse är 
.
Svar: 0,3125.
Uppgift 13. Den mekaniska klockan med tolvtimmarsurtavla gick sönder vid något tillfälle och slutade fungera. Hitta sannolikheten att timvisaren är frusen när den når 11 men inte når klockan 2.
Konventionellt kan urtavlan delas in i 12 sektorer belägna mellan markeringarna för angränsande nummer (mellan 12 och 1, 1 och 2, 2 och 3, ..., 11 och 12). Vi kommer att betrakta timvisarens stopp i en av de angivna sektorerna som resultatet. Totalt finns det 12 lika möjliga utfall. Denna händelse gynnas av tre utfall (sektorer mellan 11 och 12, 12 och 1, 1 och 2). Den önskade sannolikheten är lika med 
.
Svar: 0,25.
Sammanfatta
Efter att ha studerat materialet om att lösa enkla problem i sannolikhetsteorin rekommenderar jag att du fyller i uppgifter för en självständig lösning, som vi publicerar på vår Telegram-kanal. Du kan också kontrollera korrektheten av deras implementering genom att ange din svar i föreslagen form.
Tack för att du delar artikeln på sociala nätverk
Källa ”Förberedelser inför tentamen. Matematik. Sannolikhetsteori”. Redigerad av F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov
Vi rekommenderar också
Läser in...