"sannolikhetsteorin i tentamens och ogens uppgifter". Enkla problem i sannolikhetsteori

Presenteras hittills i den öppna banken av USE-problem i matematik (mathege.ru), vars lösning är baserad på endast en formel, vilket är en klassisk definition av sannolikhet.

Det enklaste sättet att förstå formeln är med exempel.
Exempel 1 Det finns 9 röda bollar och 3 blåa i korgen. Kulorna skiljer sig endast i färg. Slumpmässigt (utan att titta) får vi en av dem. Vad är sannolikheten för att bollen som väljs på detta sätt blir blå?

Kommentar. I sannolikhetsproblem händer något (i detta fall vår handling att dra bollen) som kan ha annorlunda resultat- resultat. Det bör noteras att resultatet kan ses på olika sätt. "Vi drog ut en boll" är också ett resultat. "Vi drog ut den blå bollen" är resultatet. "Vi drog just den här bollen ur alla möjliga bollar" - denna minst generaliserade syn på resultatet kallas det elementära resultatet. Det är de elementära utfallen som avses i formeln för att beräkna sannolikheten.

Beslut. Nu beräknar vi sannolikheten för att välja en blå boll.
Händelse A: "den valda bollen visade sig vara blå"
Totalt antal av alla möjliga resultat: 9+3=12 (antal alla bollar vi kunde dra)
Antal gynnsamma utfall för händelse A: 3 (antalet sådana utfall där händelse A inträffade - det vill säga antalet blå bollar)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Svar: 0,25

Låt oss för samma problem beräkna sannolikheten för att välja en röd boll.
Det totala antalet möjliga utfall förblir detsamma, 12. Antalet gynnsamma utfall: 9. Önskad sannolikhet: 9/12=3/4=0,75

Sannolikheten för en händelse ligger alltid mellan 0 och 1.
Ibland i dagligt tal (men inte i sannolikhetsteorin!) uppskattas sannolikheten för händelser i procent. Övergången mellan matematisk och konversationsbedömning görs genom att multiplicera (eller dividera) med 100 %.
Så,
I det här fallet är sannolikheten noll för händelser som inte kan inträffa - osannolikt. Till exempel, i vårt exempel, skulle detta vara sannolikheten för att dra en grön boll från korgen. (Antalet gynnsamma utfall är 0, P(A)=0/12=0 om det räknas enligt formeln)
Sannolikhet 1 har händelser som absolut kommer att hända, utan alternativ. Till exempel är sannolikheten att "den valda bollen kommer att vara antingen röd eller blå" för vårt problem. (Antal gynnsamma resultat: 12, P(A)=12/12=1)

Vi har tittat på ett klassiskt exempel som illustrerar definitionen av sannolikhet. Alla liknande ANVÄNDA uppgifter enligt sannolikhetsteorin löses genom att tillämpa denna formel.
Istället för röda och blå bollar kan det vara äpplen och päron, pojkar och tjejer, inlärda och olärda biljetter, biljetter som innehåller och inte innehåller en fråga om ett visst ämne (prototyper , ), defekta och högkvalitativa väskor eller trädgårdspumpar (prototyper) , ) - principen förblir densamma.

De skiljer sig något i formuleringen av problemet med USE-sannolikhetsteorin, där du måste beräkna sannolikheten för att en händelse inträffar en viss dag. ( , ) Som i de tidigare uppgifterna måste du bestämma vad som är ett elementärt resultat och sedan tillämpa samma formel.

Exempel 2 Konferensen pågår i tre dagar. Första och andra dagen 15 talare vardera, tredje dagen - 20. Hur stor är sannolikheten att professor M:s rapport infaller på tredje dagen, om rapporternas ordning bestäms genom lottning?

Vad är det elementära resultatet här? - Att tilldela en professors rapport till ett av alla möjliga serienummer för ett tal. 15+15+20=50 personer deltar i utlottningen. Därmed kan professor M:s rapport få ett av 50 nummer. Det betyder att det bara finns 50 elementära resultat.
Vilka är de gynnsamma resultaten? – De där det visar sig att professorn ska tala på tredje dagen. Det vill säga de sista 20 siffrorna.
Enligt formeln är sannolikheten P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Svar: 0,4

Lottdragningen här är upprättandet av en slumpmässig korrespondens mellan personer och beställda platser. I exempel 2 övervägdes matchning i termer av vilken av platserna en viss person kunde ta. Du kan närma dig samma situation från andra sidan: vem av personerna med vilken sannolikhet skulle kunna ta sig till en viss plats (prototyper , , , ):

Exempel 3 5 tyskar, 8 fransmän och 3 ester deltar i dragningen. Vad är sannolikheten att den första (/tvåan/sjunde/sista - det spelar ingen roll) blir en fransman.

Antalet elementära resultat är antalet av alla möjliga människor vem kunde, genom lott, komma in given plats. 5+8+3=16 personer.
Gynnsamma resultat - fransmännen. 8 personer.
Önskad sannolikhet: 8/16=1/2=0,5
Svar: 0,5

Prototypen är något annorlunda. Det finns uppgifter om mynt () och tärningar () som är något mer kreativa. Lösningar på dessa problem finns på prototypsidorna.

Här är några exempel på myntkastning eller tärningskastning.

Exempel 4 När vi kastar ett mynt, vad är sannolikheten att få svansar?
Resultat 2 - huvud eller svans. (man tror att myntet aldrig faller på kanten) Gynnsamt resultat - svansar, 1.
Sannolikhet 1/2=0,5
Svar: 0,5.

Exempel 5 Vad händer om vi slår ett mynt två gånger? Hur stor är sannolikheten att det kommer upp båda gångerna?
Det viktigaste är att bestämma vilka elementära resultat vi kommer att överväga när vi kastar två mynt. Efter att ha kastat två mynt kan ett av följande resultat inträffa:
1) PP - båda gångerna kom det upp svansar
2) PO - första gången svansar, andra gången huvuden
3) OP - första gången huvuden, andra gången svansar
4) OO - heads up båda gångerna
Det finns inga andra alternativ. Det betyder att det finns 4 elementära resultat. Endast det första är gynnsamt, 1.
Sannolikhet: 1/4=0,25
Svar: 0,25

Vad är sannolikheten att två kast av ett mynt kommer att landa på svansar?
Antalet elementära utfall är detsamma, 4. Gynnsamma utfall är andra och tredje, 2.
Sannolikhet att få en svans: 2/4=0,5

I sådana problem kan en annan formel komma väl till pass.
Om med ett myntkast alternativ vi har 2 resultat, sedan för två kast blir resultatet 2 2=2 2 =4 (som i exempel 5), för tre kast 2 2 2=2 3 =8, för fyra: 2 2 2 2 =2 4 = 16, … för N kast finns det 2·2·...·2=2 N möjliga utfall.

Så, du kan hitta sannolikheten för att få 5 svansar av 5 myntkast.
Totalt antal elementära resultat: 2 5 =32.
Gynnsamma resultat: 1. (RRRRRR - alla 5 gånger svansar)
Sannolikhet: 1/32=0,03125

Detsamma gäller för tärningarna. Med ett kast finns det 6 möjliga resultat. Så för två kast: 6 6=36, för tre 6 6 6=216 osv.

Exempel 6 Vi kastar en tärning. Vad är sannolikheten att få ett jämnt tal?

Totalt resultat: 6, beroende på antalet ansikten.
Gynnsamt: 3 resultat. (2, 4, 6)
Sannolikhet: 3/6=0,5

Exempel 7 Kasta två tärningar. Vad är sannolikheten att det totala rullar 10? (runda till hundradelar)

Det finns 6 möjliga utfall för en tärning. Därför, för två, enligt ovanstående regel, 6·6=36.
Vilka resultat kommer att vara gynnsamma för att totalt 10 faller ut?
10 måste delas upp i summan av två tal från 1 till 6. Detta kan göras på två sätt: 10=6+4 och 10=5+5. Så för kuber är alternativen möjliga:
(6 på den första och 4 på den andra)
(4 på den första och 6 på den andra)
(5 på den första och 5 på den andra)
Totalt 3 alternativ. Önskad sannolikhet: 3/36=1/12=0,08
Svar: 0,08

Andra typer av B6-problem kommer att diskuteras i en av följande "Hur man löser"-artiklar.

Beskrivning av presentationen på enskilda bilder:

1 rutschkana

Beskrivning av bilden:

Nyckeluppgifter i sannolikhetsteori Förberedelse för OGE nr 9 MBOU "Gymnasium nr 4 uppkallad efter. SOM. Pushkin” Sammanställt av: Sofina N.Yu.

2 rutschkana

Beskrivning av bilden:

Grundläggande verifierbara krav för matematisk förberedelse nr 9 OGE i matematik Lösa praktiska problem som kräver en systematisk uppräkning av alternativ; jämföra chanserna att inträffa slumpmässiga händelser, utvärdera sannolikheterna för en slumpmässig händelse, jämföra och utforska modeller av en verklig situation med hjälp av sannolikhets- och statistikapparaten. Nr 9 - grundläggande uppgift. Maxpoängen för att slutföra uppgiften är 1.

3 rutschkana

Beskrivning av bilden:

Sannolikheten för en händelse A är förhållandet mellan antalet m utfall som är gynnsamma för denna händelse Totala numret n alla lika möjliga inkompatibla händelser som kan inträffa som ett resultat av ett test eller observation Klassisk definition av sannolikhet Kom ihåg formeln för att beräkna den klassiska sannolikheten för en slumpmässig händelse Р = n m

4 rutschkana

Beskrivning av bilden:

Klassisk definition av sannolikhet Exempel: Föräldrakommittén köpte 40 målarbok för examenspresenter till barn skolår. Av dessa är 14 baserade på sagorna om A.S. Pushkin och 26 baserad på sagorna om G.Kh. Andersen. Gåvor delas ut slumpmässigt. Hitta sannolikheten att Nastya får en målarbok baserad på sagorna om A.S. Pusjkin. Lösning: m= 14; n= 14 +26=40 Р= 14/40= 0,35 Svar: 0,35.

5 rutschkana

Beskrivning av bilden:

Exempel: Det fanns 60 frågor till provet. Ivan lärde sig inte 3 av dem. Hitta sannolikheten att han kommer att stöta på den inlärda frågan. Lösning: Här är n=60. Ivan lärde sig inte 3, så han lärde sig resten, d.v.s. m=60-3=57. P=57/60=0,95. Klassisk definition av sannolikhet Svar: 0,95.

6 rutschkana

Beskrivning av bilden:

"Orden bestäms av oavgjort" Exempel: 20 idrottare deltar i gymnastikmästerskapet: 8 från Ryssland, 7 från USA, resten från Kina. I vilken ordning gymnasterna presterar bestäms genom lottning. Hitta sannolikheten att den femte idrottaren är från Kina. Lösning: I problemets tillstånd finns det ett "magiskt" ord "mycket", vilket betyder att vi glömmer talordningen. Således är m= 20-8-7=5 (från Kina); n=20. P \u003d 5/20 \u003d 0,25. Svar: 0,25.

7 rutschkana

Beskrivning av bilden:

Exempel: En vetenskaplig konferens hålls om 5 dagar. Totalt planeras 75 rapporter - de första 3 dagarna, 17 rapporter vardera, resten fördelas lika mellan dag 4 och 5. Ordningen på rapporterna avgörs genom lottning. Vad är sannolikheten för att professor Ivanovs rapport kommer att planeras till konferensens sista dag? Lösning: Låt oss lägga in data i tabellen. Vi fick att m=12; n=75. P=12/75=0,16. Svar: 0,16. ”Ordning bestäms genom lotteri” Dag I II III IV V Totalt antal presentationer 17 17 17 12 12 75

8 rutschkana

Beskrivning av bilden:

Händelsefrekvens På samma sätt som sannolikheten hittas händelsens frekvens, vars uppgifter också finns i prototyperna. Vad är skillnaden? Sannolikhet är ett förutsägbart värde, och frekvens är ett faktum. Exempel: Sannolikheten att en ny surfplatta kommer att repareras inom ett år är 0,045. I en viss stad, av 1000 sålda surfplattor under året, kom 51 stycken till garantiverkstaden. Hur olik är frekvensen av "garantireparation" från sannolikheten i den här staden? Lösning: Hitta händelsens frekvens: 51/1000=0,051. Och sannolikheten är lika med 0,045 (efter villkor). Detta betyder att i denna stad inträffar händelsen "garantireparation" oftare än förväntat. Låt oss hitta skillnaden ∆= 0,051- 0,045= 0,006. Samtidigt måste vi ta hänsyn till att skillnadens tecken INTE är viktigt för oss, utan bara dess absoluta värde. Svar: 0,006.

9 rutschkana

Beskrivning av bilden:

Problem med uppräkning av alternativ ("mynt", "matchningar") Låt k vara antalet myntkast, då antalet möjliga utfall: n = 2k. Exempel: I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten att huvuden kommer upp exakt en gång. Lösning: Alternativ för myntsläpp: OO; ELLER; RR; RO. Således är n=4. Gynnsamma resultat: RR och RR. Det vill säga m = 2. P = 2/4 = 1/2 = 0,5. Svar: 0,5.

10 rutschkana

Beskrivning av bilden:

Exempel: Innan start fotbollsmatch Domaren kastar ett mynt för att avgöra vilket lag som ska ha bollen först. Laget "Mercury" spelar i tur och ordning med lagen "Mars", "Jupiter", "Uranus". Hitta sannolikheten att i alla matcher rätten att äga bollen kommer att vinnas av laget "Mercury"? Problem med uppräkning av alternativ ("mynt", "tändstickor") Lösning: Låt oss beteckna rätten att besitta den första bollen för "Mercury"-laget i matchen med ett av de andra tre lagen som "Tails". Då är innehavsrätten för det här lagets andra boll "Eagle". Så låt oss skriva ner alla möjliga resultat av att kasta ett mynt tre gånger. "O" - huvuden, "R" - svansar. ; dvs n=8; m=1. P=1/8=0,125. Svar: 0,125 n = 23 "Mars" "Jupiter" "Uranus"

11 rutschkana

Beskrivning av bilden:

Problem med "tärning" (tärning) Låt k vara antalet kast av tärningen, sedan antalet möjliga utfall: n = 6k. Exempel: Dasha slår en tärning två gånger. Hitta sannolikheten att hennes totala rullade 8. Avrunda resultatet till närmaste hundradel. Svar: 0,14. Lösning: Summan av de två tärningarna måste vara 8 poäng. Detta är möjligt om det finns följande kombinationer: 2 och 6 6 och 2 3 och 5 5 och 3 4 och 4 m= 5 (5 lämpliga kombinationer) n \u003d 36 P \u003d 5/36 \u003d 0,13 (8)

12 rutschkana

Beskrivning av bilden:

Oberoende händelser och multiplikationens lag Sannolikheten att hitta både den 1:a, 2:a och n:e händelsen hittas med formeln: Р= Р1*Р2*…*Рn Exempel: En skidskytt skjuter på mål fem gånger. Sannolikheten att träffa målet med ett skott är 0,8. Hitta sannolikheten att skidskytten träffade målen de första tre gångerna och missade de två sista. Avrunda resultatet till närmaste hundradel. Svar: 0,02. Lösning: Resultatet av varje nästa skott beror inte på de föregående. Därför "träffar det första skottet", "träffar det andra skottet" etc. självständig. Sannolikheten för varje träff är 0,8. Så sannolikheten för en miss är 1 - 0,8 = 0,2. 1 skott: 0,8 2 skott: 0,8 3 skott: 0,8 4 skott: 0,2 5 skott: 0,2 ,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

13 rutschkana

Beskrivning av bilden:

Kombinationer av "och" lagar och "eller" lagar Exempel: Ett kontor köper pappersvaror för anställda i 3 olika företag. Dessutom utgör produkterna från det första företaget 40 % av alla leveranser, och resten av det andra företaget är lika uppdelat. Det visade sig att 2% av pennorna i det andra företaget är defekta. Andelen äktenskap i 1:a respektive 3:e firman är 1 % och 3 %. Anställd A tog en penna från en ny försändelse. Hitta sannolikheten att det blir korrekt. Lösning: Produkterna från andra och tredje företag är (100%-40%):2=30% av leveranserna. P(äktenskap) \u003d 0,4 0,01 + 0,3 0,02 + 0,3 0,03 \u003d 0,019. P (servbara pennor) \u003d 1 - 0,019 \u003d 0,981. Svar: 0,981.

Enkla uppgifter

Det finns 25 pajer på bordet: 7 - med sylt, 9 - med potatis, resten med kål. Vad är sannolikheten att en slumpmässigt utvald paj blir med kål?

0,36

Taxibilen sysselsätter 40 bilar: 14 är Lada-märken, 8 är Renault-märken, 2 är Mercedes-märken och resten är Skoda-märken. Vad är sannolikheten att en Mercedes kommer till ditt samtal?

0,05

Bestäm sannolikheten att ett antal på minst tre kommer upp när en tärning kastas.

Ira, Dima, Vasya, Natasha och Andrey klarar standarden på 60 meter. Vad är sannolikheten att tjejen springer snabbast?

Sannolikheten att en telefon köpt i en gångtunnel är falsk är 0,83. Vad är sannolikheten att telefonen som köptes i övergången inte är en bluff?

0,17

20 lag deltar i basketturneringen, inklusive "Guys"-laget. Alla lag är indelade i 4 grupper: A, B, C, D. Hur stor är sannolikheten för att "killarna" kommer att hamna i grupp A?

0,25

Lotteripåsen innehåller fat numrerade från 5 till 94 inklusive. Vad är sannolikheten att fatet som tas ur påsen innehåller ett tvåsiffrigt tal? Avrunda ditt svar till närmaste hundradel.

0,94

Innan provet nådde Igor det sista och lyckades lära sig endast 5 biljetter av 80. Bestäm sannolikheten att han kommer över en inlärd biljett.

0,0625

Anya slår på radion och väljer slumpmässigt en radiovåg. Totalt fångar hennes radiomottagare 20 radiovågor och bara 7 av dem in det här ögonblicket musik spelas. Hitta sannolikheten att Anya kommer att falla på en musikalisk våg.

0,35

I var tjugonde läskflaska döljs en kod med vinst under locket. Bestäm sannolikheten för att den köpta flaskan kommer att ha en vinnande kod under locket.

0,05

Uppgifterna är svårare

Vad är sannolikheten att ett slumpmässigt valt tresiffrigt tal är delbart med 5?

0,2

Höjden (i cm) för fem elever registreras: 166, 158, 132, 136, 170. Hur mycket skiljer sig det aritmetiska medelvärdet av denna uppsättning tal från dess median?

Enligt statistiken från ett litet land är det känt att sannolikheten för att barnet som föds blir en pojke är 0,507. År 2017 var det i snitt 486 flickor per 1 000 barn födda här i landet. Hur annorlunda är frekvensen av kvinnliga födslar 2017 i detta land från sannolikheten för denna händelse?

0,007

En tärning kastas två gånger. Hitta sannolikheten att summan av de två dragna siffrorna är 3 eller 7. Avrunda ditt svar till närmaste hundradel.

0,22

Vad är sannolikheten att ett slumpmässigt valt tresiffrigt tal är delbart med 2?

0,5

Hitta sannolikheten för att två myntkast kommer upp exakt en gång.

0,5

En tärning kastas två gånger, hitta sannolikheten att ett nummer större än tre kommer upp båda gångerna. Avrunda ditt svar till närmaste hundradel.

0,31

Enligt statistiken från ett litet land är det känt att sannolikheten för att barnet som föds blir en pojke är 0,594. År 2017 var det i snitt 513 flickor per 1 000 barn födda i detta land. Hur annorlunda är frekvensen av kvinnliga födslar 2017 i detta land från sannolikheten för denna händelse?

0,107

Höjden (i cm) för fem elever registreras: 184, 145, 176, 192, 174. Hur mycket skiljer sig det aritmetiska medelvärdet av denna uppsättning tal från dess median?

1,8

Medelhöjden för invånarna i byn "Jättar" är 194 cm. Nikolai Petrovichs höjd är 195 cm. Vilket av följande påståenden är korrekt?

1) Höjden på en av byborna måste vara 194 cm.

2) Nikolai Petrovich är den längsta invånaren i byn.

3) Det kommer definitivt att finnas minst en man från den här byn nedanför Nikolai Petrovich.

4) Det kommer definitivt att finnas minst en invånare från denna by nedanför Nikolai Petrovich.

4

Svåra uppgifter

Skytten skjuter 4 gånger med en pistol mot målen. Sannolikheten för dess exakta träff på målet med ett skott är 0,5. Hitta sannolikheten att skytten träffar målet de första två gångerna och missar de två sista.

0,0625

Sannolikheten att batteriet är defekt är 0,05. Kunden i butiken väljer ett slumpmässigt paket med två batterier. Hitta sannolikheten för att båda batterierna är bra.

0,9025

Skytten skjuter mot målen 5 gånger i rad. Sannolikheten att träffa målet vid avfyring är 0,7. Hitta sannolikheten att skytten träffade målet de första fyra gångerna och missade sista gången. Avrunda resultatet till närmaste hundradel.

Händelser som inträffar i verkligheten eller i vår fantasi kan delas in i 3 grupper. Dessa är vissa händelser som måste hända, omöjliga händelser och slumpmässiga händelser. Sannolikhetsteorin studerar slumpmässiga händelser, d.v.s. händelser som kan inträffa eller inte. Denna artikel kommer att presenteras i sammanfattning sannolikhetslära formler och exempel på problemlösning inom sannolikhetsteorin, som kommer att finnas i 4:e uppgiften i USE i matematik (profilnivå).

Varför behöver vi sannolikhetsteorin

Historiskt har behovet av att studera dessa problem uppstått under 1600-talet i samband med utvecklingen och professionaliseringen av spelande och tillkomsten av kasinot. Det var ett verkligt fenomen som krävde dess studier och forskning.

Spelkort, tärningar, roulette skapade situationer där vilken som helst av ett ändligt antal lika sannolika händelser kunde inträffa. Det fanns ett behov av att ge numeriska uppskattningar av möjligheten att en händelse inträffade.

På 1900-talet blev det tydligt att denna till synes lättsinniga vetenskap spelar en viktig roll för att förstå de grundläggande processer som sker i mikrokosmos. Skapades modern teori sannolikheter.

Grundläggande begrepp inom sannolikhetsteorin

Målet för studien av sannolikhetsteorin är händelser och deras sannolikheter. Om händelsen är komplex kan den delas upp i enkla komponenter, vars sannolikheter är lätta att hitta.

Summan av händelser A och B kallas händelse C, vilket består i att antingen händelse A, eller händelse B, eller händelser A och B inträffade samtidigt.

Produkten av händelse A och B är händelse C, som består i att både händelse A och händelse B inträffade.

Händelser A och B sägs vara oförenliga om de inte kan inträffa samtidigt.

En händelse A sägs vara omöjlig om den inte kan hända. En sådan händelse betecknas med symbolen .

En händelse A kallas säker om den definitivt kommer att inträffa. En sådan händelse betecknas med symbolen .

Låt varje händelse A tilldelas ett nummer P(A). Detta tal P(A) kallas sannolikheten för händelsen A om följande villkor är uppfyllda med en sådan överensstämmelse.

Ett viktigt särskilt fall är situationen när det finns lika sannolika elementära utfall, och godtyckliga av dessa utfall bildar händelser A. I detta fall kan sannolikheten introduceras med formeln . Sannolikheten som introduceras på detta sätt kallas klassisk sannolikhet. Det kan bevisas att fastigheterna 1-4 håller i detta fall.

Problem i sannolikhetsteorin, som finns på tentamen i matematik, är främst relaterade till klassisk sannolikhet. Sådana uppgifter kan vara mycket enkla. Särskilt enkla är problem inom sannolikhetsteorin i demoversioner. Det är lätt att räkna ut antalet gynnsamma utfall, antalet av alla utfall skrivs direkt i villkoret.

Vi får svaret enligt formeln.

Ett exempel på en uppgift från tentamen i matematik för att bestämma sannolikheten

Det finns 20 pajer på bordet - 5 med kål, 7 med äpplen och 8 med ris. Marina vill ta en paj. Vad är sannolikheten att hon tar riskakan?

Beslut.

Det finns 20 lika sannolika elementära utfall totalt, det vill säga Marina kan ta vilken som helst av de 20 pajerna. Men vi måste uppskatta sannolikheten att Marina tar risbiffen, det vill säga där A är valet av risbiff. Det betyder att vi har totalt 8 gynnsamma utfall (att välja rispajer) Då kommer sannolikheten att bestämmas av formeln:

Oberoende, motsatta och godtyckliga händelser

Men i den öppna banken av uppgifter, mer än svåra uppgifter. Låt oss därför uppmärksamma läsaren på andra frågor som studeras inom sannolikhetsteorin.

Händelser A och B kallas oberoende om sannolikheten för var och en av dem inte beror på om den andra händelsen inträffade.

Händelse B består i att händelse A inte inträffade, d.v.s. händelse B är motsatt händelse A. Sannolikheten för den motsatta händelsen är lika med ett minus sannolikheten för den direkta händelsen, d.v.s. .

Additions- och multiplikationssatser, formler

För godtyckliga händelser A och B är sannolikheten för summan av dessa händelser lika med summan av deras sannolikheter utan sannolikheten för deras gemensamma händelse, d.v.s. .

För oberoende händelser A och B är sannolikheten för produkten av dessa händelser lika med produkten av deras sannolikheter, dvs. I detta fall .

De två sista påståendena kallas satserna för addition och multiplikation av sannolikheter.

Att inte alltid räkna antalet utfall är så enkelt. I vissa fall är det nödvändigt att använda kombinatoriska formler. Det viktigaste är att räkna antalet evenemang som uppfyller vissa villkor. Ibland kan sådana beräkningar bli självständiga uppgifter.

På hur många sätt kan 6 elever sitta på 6 tomma platser? Den första studenten tar någon av de 6 platserna. Vart och ett av dessa alternativ motsvarar 5 sätt att placera den andra eleven på. För den tredje eleven finns det 4 lediga platser, för den fjärde - 3, för den femte - 2, den sjätte tar den enda återstående platsen. För att hitta antalet av alla alternativ måste du hitta produkten, som betecknas med symbolen 6! och läs "sex factorial".

I det allmänna fallet ges svaret på denna fråga av formeln för antalet permutationer av n element. I vårt fall, .

Överväg nu ett annat fall med våra elever. På hur många sätt kan 2 elever sitta på 6 tomma platser? Den första studenten tar någon av de 6 platserna. Vart och ett av dessa alternativ motsvarar 5 sätt att placera den andra eleven på. För att hitta antalet av alla alternativ måste du hitta produkten.

I det allmänna fallet ges svaret på denna fråga av formeln för antalet placeringar av n element med k element

I vårat fall .

Och den sista i den här serien. Hur många sätt finns det att välja 3 elever av 6? Den första eleven kan väljas på 6 sätt, den andra på 5 sätt och den tredje på 4 sätt. Men bland dessa alternativ förekommer samma tre elever 6 gånger. För att hitta antalet av alla alternativ måste du beräkna värdet: . I det allmänna fallet ges svaret på denna fråga av formeln för antalet kombinationer av element efter element:

I vårat fall .

Exempel på att lösa problem från tentamen i matematik för att bestämma sannolikheten

Uppgift 1. Ur samlingen, red. Jasjtjenko.

Det finns 30 pajer på en tallrik: 3 med kött, 18 med kål och 9 med körsbär. Sasha väljer slumpmässigt en paj. Hitta sannolikheten att han slutar med ett körsbär.

.

Svar: 0,3.

Uppgift 2. Ur samlingen, red. Jasjtjenko.

I varje parti med 1000 glödlampor, i genomsnitt 20 defekta. Hitta sannolikheten för att en glödlampa vald slumpmässigt från en batch är bra.

Lösning: Antalet servicebara glödlampor är 1000-20=980. Då är sannolikheten att en glödlampa tagen slumpmässigt från partiet kommer att kunna användas:

Svar: 0,98.

Sannolikheten att elev U. löser mer än 9 problem korrekt på ett matteprov är 0,67. Sannolikheten att U. korrekt löser fler än 8 problem är 0,73. Hitta sannolikheten att U. rätt löser exakt 9 problem.

Om vi ​​föreställer oss en tallinje och markerar punkterna 8 och 9 på den, kommer vi att se att villkoret "U. korrekt lösa exakt 9 problem” ingår i villkoret “U. korrekt lösa mer än 8 problem", men gäller inte villkoret "W. korrekt lösa mer än 9 problem.

Men villkoret "U. korrekt lösa mer än 9 problem" finns i villkoret "U. korrekt lösa mer än 8 problem. Således, om vi betecknar händelser: "W. korrekt lösa exakt 9 problem" - genom A, "U. korrekt lösa mer än 8 problem" - till B, "U. lösa mer än 9 problem korrekt ”genom C. Då kommer lösningen att se ut så här:

Svar: 0,06.

I geometriprovet svarar studenten på en fråga från listan med tentamensfrågor. Sannolikheten att detta är en trigonometrifråga är 0,2. Sannolikheten att detta är en ytterhörnfråga är 0,15. Det finns inga frågor relaterade till dessa två ämnen samtidigt. Hitta sannolikheten att studenten får en fråga om något av dessa två ämnen på tentamen.

Låt oss fundera på vilka händelser vi har. Vi får två oförenliga händelser. Det vill säga, antingen kommer frågan att relatera till ämnet "Trigonometri" eller till ämnet "Externa vinklar". Enligt sannolikhetssatsen är sannolikheten för inkompatibla händelser lika med summan av sannolikheterna för varje händelse, vi måste hitta summan av sannolikheterna för dessa händelser, det vill säga:

Svar: 0,35.

Rummet är upplyst av en lykta med tre lampor. Sannolikheten för att en lampa brinner ut på ett år är 0,29. Hitta sannolikheten att minst en lampa inte brinner ut inom ett år.

Låt oss överväga möjliga händelser. Vi har tre glödlampor, som var och en kan eller inte brinner ut oberoende av någon annan glödlampa. Dessa är oberoende händelser.

Sedan kommer vi att ange varianterna av sådana händelser. Vi accepterar notationen: - glödlampan är på, - glödlampan är utbränd. Och omedelbart därefter beräknar vi sannolikheten för en händelse. Till exempel, sannolikheten för en händelse där tre oberoende händelser "glödlampa brände ut", "glödlampa på", "glödlampa på" inträffade: där sannolikheten för händelsen "glödlampa på" beräknas som sannolikheten för en händelse motsatt händelsen "glödlampa av", nämligen .

Observera att det bara finns 7 inkompatibla händelser som är gynnsamma för oss. Sannolikheten för sådana händelser är lika med summan av sannolikheterna för var och en av händelserna: .

Svar: 0,975608.

Du kan se ett annat problem på bilden:

Därmed förstod du och jag vad sannolikhetsteorin är, formler och exempel på problemlösning som du kan mötas för i versionen av tentamen.

Denna presentation presenterar de vanligaste problemen i tentamen i sannolikhetsteori. Arbetsuppgifter på grundläggande nivå. Presentationen kommer att hjälpa både lärare i lektionerna av generaliserande upprepning och elever i självträning till tentan.

Ladda ner:

Förhandsvisning:

För att använda förhandsvisningen av presentationer, skapa ett konto för dig själv ( konto) Google och logga in: https://accounts.google.com

Bildtexter:

SANNOLIKHETSTEORI NYCKELUPPGIFTER Att göra sig redo för OGE

MYNTKASTNING

1. Ett mynt kastas två gånger. Vad är sannolikheten att få ett huvud och en svans? Beslut: När du kastar ett mynt är två utfall möjliga - "huvuden" eller "svansar". När du kastar två mynt - 4 utfall (2 * 2 \u003d 4): "örn" - "svansar" "svansar" - "svansar" "svansar" - "örnar" "örnar" - "örnar" En "örn" och en "svansar" kommer att falla ut i två fall av fyra. P(A)=2:4=0,5. Svar: 0,5.

2. Ett mynt kastas tre gånger. Vad är sannolikheten att få två huvuden och en svans? Lösning: När det kastas tre mynt 8 utfall är möjliga (2*2*2=8): "örn" - "svansar" - "svansar" "svansar" - "svansar" - "svansar" "svansar" - "huvuden" - "svansar" "huvuden" - "örn" - "svansar" "svansar" - "svansar" - "huvuden" "svansar" - "örnar" - "örnar" "örnar" - "svansar" - "örnar" "örnar" - "örnar" - " örnar" » Två "örnar" och en "svans" kommer att falla ut tre fall av åtta. P(A)=3:8=0,375. Svar: 0,375.

3. I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt fyra gånger. Hitta sannolikheten att huvuden aldrig kommer upp. Lösning: När du kastar fyra mynt är 16 utfall möjliga: (2 * 2 * 2 * 2 = 16): Gynnsamma utfall - 1 (fyra svansar kommer att falla ut). P(A)=1:16=0,0625. Svar: 0,0625.

TÄRNINGSPEL

4. Bestäm sannolikheten att mer än tre poäng föll ut när tärningen kastades. Lösning: Det finns 6 möjliga resultat totalt. Stora siffror är 3 - 4, 5, 6. P(A)=3:6=0,5. Svar: 0,5.

5. En tärning kastas. Hitta sannolikheten att få ett jämnt antal poäng. Lösning: Totalt möjliga resultat - 6. 1, 3, 5 - udda tal; 2, 4, 6 är jämna tal. Sannolikheten att få ett jämnt antal poäng är 3:6=0,5. Svar: 0,5.

6. I ett slumpmässigt experiment kastas två tärningar. Hitta sannolikheten att få 8 poäng totalt. Avrunda resultatet till närmaste hundradel. Lösning: Denna åtgärd - att kasta två tärningar har totalt 36 möjliga utfall, eftersom 6² = 36. Gynnsamma utfall: 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 Sannolikheten att få åtta poäng är 5:36 ≈ 0,14. Svar: 0,14.

7. Kasta en tärning två gånger. Totalt föll 6 poäng ut. Hitta sannolikheten att få 5 på en av rullarna. Beslut: Totalt resultat på 6 poäng - 5: 2 och 4; 4 och 2; 3 och 3; 1 och 5; 5 och 1. Gynnsamma utfall - 2. P(A)=2:5=0,4. Svar: 0,4.

8. Det fanns 50 biljetter i provet, Timofey lärde sig inte 5 av dem. Hitta sannolikheten att han kommer att få den lärda biljetten. Lösning: Timofey lärde sig 45 biljetter. P(A)=45:50=0,9. Svar: 0,9.

TÄVLINGAR

9. 20 idrottare deltar i gymnastikmästerskapet: 8 från Ryssland, 7 från USA, resten från Kina. Utförandeordningen bestäms genom lottning. Hitta sannolikheten att den idrottare som tävlar först är från Kina. Lösning: Totala utfall 20. Gynnsamma utfall 20-(8+7)=5. P(A)=5:20=0,25. Svar: 0,25.

10. 4 idrottare från Frankrike, 5 från England och 3 från Italien kom till kulkastningstävlingen. Ordningen på föreställningarna bestäms genom oavgjort. Hitta sannolikheten att den femte idrottaren är från Italien. Lösning: Antalet alla möjliga utfall är 12 (4 + 5 + 3 = 12). Antalet gynnsamma utfall är 3. P(A)=3:12=0,25. Svar: 0,25.

11. Inför start av första omgången av badmintonmästerskapet delas deltagarna slumpmässigt in i spelpar genom lottning. Totalt deltar 26 badmintonspelare i mästerskapet, varav 12 deltagare från Ryssland, inklusive Vladimir Orlov. Hitta sannolikheten att Vladimir Orlov i första omgången kommer att spela med någon badmintonspelare från Ryssland? Beslut: Totalt resultat - 25 (Vladimir Orlov med 25 badmintonspelare). Gynnsamma resultat - (12-1) = 11. P(A)=11:25=0,44. Svar: 0,44.

12. Tävlingen av artister hålls om 5 dagar. Totalt annonserades 75 föreställningar – en från varje land. Det är 27 föreställningar första dagen, resten fördelas lika på resterande dagar. Ordningen på föreställningarna bestäms genom oavgjort. Vad är sannolikheten för att representanten för Ryssland kommer att äga rum den tredje dagen av tävlingen? Beslut: Totalt resultat - 75. Skådespelare från Ryssland uppträder på den tredje dagen. Gynnsamma resultat - (75-27): 4 = 12. P(A)=12: 75=0,16. Svar: 0,16.

13. Kolya väljer ett tvåsiffrigt nummer. Hitta sannolikheten att det är delbart med 5. Lösning: Tvåsiffriga tal: 10;11;12;…;99. Totala resultat - 90. Tal delbara med 5: 10; femton; 20; 25; …; 90; 95. Gynnsamma resultat - 18. P(A)=18:90=0,2. Svar: 0,2.

OLIKA UPPGIFTER FÖR ATT BESTÄMMA SANNOLIKHET

14. Fabriken tillverkar påsar. I genomsnitt, för varje 170 kvalitetspåsar, finns det sex påsar med dolda defekter. Hitta sannolikheten för att den köpta väskan håller hög kvalitet. Avrunda resultatet till närmaste hundradel. Lösning: Totala utfall - 176. Gynnsamma utfall - 170. Р(А)=170:176 ≈ 0,97. Svar: 0,97.

15. I genomsnitt laddas 94 batterier av var 100:e sålda batterier. Hitta sannolikheten att det köpta batteriet inte är laddat. Lösning: Totala utfall - 100. Gynnsamma utfall - 100-94=6. P(A)=6:100=0,06. Svar: 0,06.

KÄLLOR http://mathgia.ru http:// www.schoolmathematics.ru