Hem > maskinteknik

Minsta gemensamma multipel av ett tal 2. Hur man hittar den minsta gemensamma multipeln, men för två eller flera tal

Hur hittar man den minsta gemensamma multipeln?

    Det är nödvändigt att hitta varje faktor för var och en av de två talen som vi hittar den minsta gemensamma multipeln för och sedan multiplicera de faktorer som sammanföll med det första och andra numret med varandra. Resultatet av produkten blir den önskade multipeln.

    Till exempel har vi siffrorna 3 och 5 och vi måste hitta LCM (minsta gemensamma multipel). Oss måste multipliceras och tre och fem för alla nummer från 1 2 3 ... och så vidare tills vi ser samma nummer här och där.

    Vi multiplicerar de tre och får: 3, 6, 9, 12, 15

    Multiplicera fem och få: 5, 10, 15

    Primfaktoriseringsmetoden är den mest klassiska för att hitta den minsta gemensamma multipeln (LCM) av flera tal. Denna metod demonstreras tydligt och enkelt i följande video:

    Addera, multiplicera, dividera, reducera till en gemensam nämnare och andra aritmetiska operationer en mycket spännande aktivitet, exempel som upptar ett helt ark är särskilt beundrade.

    Så hitta den gemensamma multipeln för två tal, vilket kommer att vara det minsta tal som två tal är delbara med. Jag vill notera att det inte är nödvändigt att ta till formler i framtiden för att hitta det du letar efter, om du kan räkna i ditt sinne (och detta kan tränas), så dyker själva siffrorna upp i ditt huvud och sedan bråken klickar som nötter.

    Till att börja med kommer vi att lära oss att vi kan multiplicera två tal mot varandra, och sedan minska denna siffra och dividera växelvis med dessa två tal, så vi hittar den minsta multipeln.

    Till exempel två siffror 15 och 6. Vi multiplicerar och får 90. Detta är klart fler antal. Dessutom är 15 delbart med 3 och 6 är delbart med 3, vilket betyder att vi också dividerar 90 med 3. Vi får 30. Vi försöker dividera 30 med 15 är 2. Och 30 delar 6 är 5. Eftersom 2 är gränsen, det visar sig att den minsta multipeln för talen 15 och 6 blir 30.

    Med fler siffror blir det lite svårare. men om du vet vilka tal som ger en nollrest när de divideras eller multipliceras, så är det i princip inga stora svårigheter.

  • Hur man hittar NOC

    Här är en video som visar dig två sätt att hitta den minsta gemensamma multipeln (LCM). Genom att öva på att använda den första av de föreslagna metoderna kan du bättre förstå vad den minsta gemensamma multipeln är.

    • Här är ett annat sätt att hitta den minsta gemensamma multipeln. Låt oss ta en titt på ett illustrativt exempel.

    Det är nödvändigt att hitta LCM för tre siffror på en gång: 16, 20 och 28.

    • Vi representerar varje tal som produkten av dess primtalsfaktorer:
    • Vi skriver ner krafterna för alla primfaktorer:

    16 = 224 = 2^24^1

    20 = 225 = 2^25^1

    28 = 227 = 2^27^1

    • Vi väljer alla primtalare (multiplikatorer) med de största graderna, multiplicerar dem och hittar LCM:

    LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

    LCM(16; 20; 28) = 560.

    Som ett resultat av beräkningen erhölls således talet 560. Det är den minsta gemensamma multipeln, det vill säga den är delbar med vart och ett av de tre talen utan rest.

    Den minsta gemensamma multipeln är det tal som kan delas med flera givna tal utan rest. För att beräkna en sådan siffra måste du ta varje nummer och dela upp det i enkla faktorer. De siffror som matchar tas bort. Lämnar alla en i taget, multiplicera dem sinsemellan i tur och ordning och få önskad - den minsta gemensamma multipeln.

    NOC, eller minsta gemensamma nämnare, är den minsta naturligt nummer två eller flera tal som är delbara med vart och ett av de givna talen utan rest.

    Här är ett exempel på hur man hittar den minsta gemensamma multipeln av 30 och 42.

    • Det första steget är att dekomponera dessa tal i primtalsfaktorer.

    För 30 är det 2 x 3 x 5.

    För 42 är detta 2 x 3 x 7. Eftersom 2 och 3 är i expansionen av talet 30 stryker vi över dem.

    • Vi skriver ut faktorerna som ingår i expansionen av talet 30. Detta är 2 x 3 x 5.
    • Nu måste du multiplicera dem med den saknade faktorn, som vi har när vi sönderdelar 42, och detta är 7. Vi får 2 x 3 x 5 x 7.
    • Vi hittar vad som är lika med 2 x 3 x 5 x 7 och får 210.

    Som ett resultat får vi att LCM för talen 30 och 42 är 210.

    För att hitta den minsta gemensamma multipeln måste du följa några enkla steg i följd. Tänk på detta med exemplet med två siffror: 8 och 12

    1. Vi delar upp båda talen i primtal: 8=2*2*2 och 12=3*2*2
    2. Vi minskar samma multiplikatorer för ett av talen. I vårt fall matchar 2 * 2, vi minskar dem för siffran 12, då kommer 12 att ha en faktor: 3.
    3. Hitta produkten av alla återstående faktorer: 2*2*2*3=24

    När vi kontrollerar ser vi till att 24 är delbart med både 8 och 12, och detta är det minsta naturliga talet som är delbart med vart och ett av dessa tal. Här är vi hitta den minsta gemensamma multipeln.

    Jag ska försöka förklara med exemplet med siffrorna 6 och 8. Den minsta gemensamma multipeln är talet som kan delas med dessa tal (i vårt fall 6 och 8) och det blir ingen rest.

    Så vi börjar multiplicera första 6 med 1, 2, 3, etc. och 8 med 1, 2, 3, etc.

Det största naturliga talet med vilket talen a och b är delbara utan återstod kallas största gemensamma delaren dessa siffror. Beteckna GCD(a, b).

Överväg att hitta GCD genom att använda exemplet med två naturliga tal 18 och 60:

  • 1 Låt oss dekomponera talen i primtalsfaktorer:
    18 = 2×3×3
    60 = 2×2×3×5
  • 2 Ta bort från expansionen av det första talet alla faktorer som inte ingår i expansionen av det andra talet, vi får 2×3×3 .
  • 3 Vi multiplicerar de återstående primtalsfaktorerna efter överkorsning och får den största gemensamma delaren av tal: gcd ( 18 , 60 )=2×3= 6 .
  • 4 Observera att det inte spelar någon roll från den första eller andra siffran vi stryker ut faktorerna, resultatet blir detsamma:
    18 = 2×3×3
    60 = 2×2×3×5
    • 324 , 111 och 432

    Låt oss dekomponera talen i primtalsfaktorer:

    324 = 2×2×3×3×3×3

    111 = 3×37

    432 = 2×2×2×2×3×3×3

    Ta bort från det första numret, vars faktorer inte finns i det andra och tredje numret, får vi:

    2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

    Som ett resultat av GCD( 324 , 111 , 432 )=3

    Hitta GCD med Euklids algoritm

    Det andra sättet att hitta den största gemensamma divisorn med hjälp av Euklids algoritm. Euklids algoritm är den mest effektivt sätt fynd GCD, med hjälp av det måste du hela tiden hitta resten av divisionen av siffror och tillämpa återkommande formel.

    Återkommande formel för GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), där a mod b är resten av att dividera a med b.

    Euklids algoritm
    Exempel Hitta den största gemensamma delaren av tal 7920 och 594

    Låt oss hitta GCD( 7920 , 594 ) med Euclid-algoritmen kommer vi att beräkna resten av divisionen med hjälp av en miniräknare.

  • GCD( 7920 , 594 )
  • GCD( 594 , 7920 mod 594 ) = gcd( 594 , 198 )
  • GCD( 198 , 594 mod 198 ) = gcd( 198 , 0 )
  • GCD( 198 , 0 ) = 198
    • 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
    • 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0

      • Som ett resultat får vi GCD( 7920 , 594 ) = 198

      Minsta gemensamma nämnare

      Att hitta en gemensam nämnare när man adderar och subtraherar bråk olika nämnare behöver veta och kunna räkna minsta gemensamma nämnare(NOC).

      En multipel av talet "a" är ett tal som i sig är delbart med talet "a" utan rest.

      Tal som är multiplar av 8 (det vill säga dessa tal kommer att delas med 8 utan rest): det här är talen 16, 24, 32 ...

      Multiplar av 9: 18, 27, 36, 45...

      Det finns oändligt många multiplar av ett givet tal a, i motsats till divisorerna för samma tal. Divisorer - ett ändligt tal.

      En gemensam multipel av två naturliga tal är ett tal som är jämnt delbart med båda dessa tal..

      Minsta gemensamma nämnare(LCM) av två eller flera naturliga tal är det minsta naturliga talet som i sig är delbart med vart och ett av dessa tal.

      Hur man hittar NOC

      LCM kan hittas och skrivas på två sätt.

      Det första sättet att hitta LCM

      Denna metod används vanligtvis för små nummer.

    1. Vi skriver multiplerna för vart och ett av talen på en rad tills det finns en multipel som är lika för båda talen.
    2. En multipel av talet "a" betecknas med en stor bokstav "K".

    Exempel. Hitta LCM 6 och 8.

    Det andra sättet att hitta LCM

    Denna metod är bekväm att använda för att hitta LCM för tre eller fler nummer.

    Antalet identiska faktorer i expansionen av siffror kan vara olika.

  • I expansionen av det mindre talet (mindre siffror), understryka de faktorer som inte ingick i expansionen av det större talet (i vårt exempel är det 2) och lägg till dessa faktorer till expansionen av det större talet.
    LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2
  • Anteckna det resulterande arbetet som svar.
    Svar: LCM (24, 60) = 120

    • Du kan också formalisera att hitta den minsta gemensamma multipeln (LCM) enligt följande. Låt oss hitta LCM (12, 16, 24) .

    24 = 2 2 2 3

    Som vi kan se från expansionen av siffror ingår alla faktorer av 12 i expansionen av 24 (den största av talen), så vi lägger bara till en 2 från expansionen av siffran 16 till LCM.

    LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

    Svar: LCM (12, 16, 24) = 48

    Särskilda fall av att hitta NOC

  • Om ett av talen är jämnt delbart med de andra, är den minsta gemensamma multipeln av dessa tal lika med detta tal.

    • Till exempel, LCM(60; 15) = 60
    Eftersom samprimtal inte har några gemensamma primtalsdelare är deras minsta gemensamma multipel lika med produkten av dessa tal.

    På vår sida kan du också använda en speciell kalkylator för att hitta den minsta vanliga multipeln online för att kontrollera dina beräkningar.

    Om ett naturligt tal bara är delbart med 1 och sig själv, så kallas det primtal.

    Varje naturligt tal är alltid delbart med 1 och sig själv.

    Talet 2 är det minsta primtalet. Detta är det enda jämna primtalet, resten av primtalen är udda.

    Det finns många primtal, och det första bland dem är talet 2. Det finns dock inget sista primtal. I avsnittet "För studier" kan du ladda ner en tabell med primtal upp till 997.

    Men många naturliga tal är jämnt delbara med andra naturliga tal.

    • talet 12 är delbart med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12;
    • 36 är delbart med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12, med 18, med 36.

      • De tal som talet är jämnt delbart med (för 12 är dessa 1, 2, 3, 4, 6 och 12) kallas talets divisorer.

      Divisorn för ett naturligt tal a är ett sådant naturligt tal som delar det givna talet "a" utan en rest.

      Ett naturligt tal som har fler än två faktorer kallas ett sammansatt tal.

      Observera att siffrorna 12 och 36 har gemensamma delare. Dessa är nummer: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Den största delaren av dessa tal är 12.

      Den gemensamma divisorn för två givna tal "a" och "b" är det tal som båda givna talen "a" och "b" delas med utan rest.

      Största gemensamma delare(gcd) av två givna nummer "a" och "b" är största antal, med vilka båda talen "a" och "b" är delbara utan rest.

      Kortfattat skrivs den största gemensamma delaren för talen "a" och "b" på följande sätt:

      Exempel: gcd (12; 36) = 12 .

      Taldelaren i lösningsposten betecknas med stor bokstav "D".

      Siffrorna 7 och 9 har bara en gemensam divisor - talet 1. Sådana nummer kallas coprimtal.

      Samprimtalär naturliga tal som bara har en gemensam delare - talet 1. Deras GCD är 1.

      Hur man hittar den största gemensamma delaren

      För att hitta gcd för två eller flera naturliga tal behöver du:

    • sönderdela talens divisorer i primtalsfaktorer;

      • Beräkningar skrivs bekvämt med en vertikal stapel. Till vänster om raden, skriv först ner utdelningen, till höger - divisorn. Längre i den vänstra kolumnen skriver vi ner värdena för privat.

      Låt oss genast förklara med ett exempel. Låt oss faktorisera talen 28 och 64 till primtalsfaktorer.

      Stryk under samma primtal i båda talen.
      28 = 2 2 7

    64 = 2 2 2 2 2 2
    Vi hittar produkten av identiska primtalsfaktorer och skriver ner svaret;
    GCD (28; 64) = 2 2 = 4

    Svar: GCD (28; 64) = 4

    Du kan ordna platsen för GCD på två sätt: i en kolumn (som gjordes ovan) eller "i en rad".

    Det första sättet att skriva GCD

    Hitta GCD 48 och 36.

    GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

    Det andra sättet att skriva GCD

    Låt oss nu skriva GCD-söklösningen på en rad. Hitta GCD 10 och 15.

    På vår informationssida kan du också hitta den största gemensamma divisorn online med hjälp av hjälpprogrammet för att kontrollera dina beräkningar.

    Att hitta den minsta gemensamma multipeln, metoder, exempel på att hitta LCM.

    Materialet som presenteras nedan är en logisk fortsättning på teorin från artikeln under rubriken LCM - Least Common Multiple, definition, exempel, relation mellan LCM och GCD. Här ska vi prata om hitta den minsta gemensamma multipeln (LCM), och Särskild uppmärksamhet Låt oss ta en titt på exemplen. Låt oss först visa hur LCM för två tal beräknas i termer av GCD för dessa tal. Överväg sedan att hitta den minsta gemensamma multipeln genom att faktorisera tal i primtalsfaktorer. Efter det kommer vi att fokusera på att hitta LCM av tre och Mer siffror, och var också uppmärksam på beräkningen av LCM för negativa tal.

    Sidnavigering.

    Beräkning av minsta gemensamma multipel (LCM) till gcd

    Ett sätt att hitta den minsta gemensamma multipeln är baserat på förhållandet mellan LCM och GCD. Det befintliga förhållandet mellan LCM och GCD låter dig beräkna den minsta gemensamma multipeln av två positiva heltal genom den kända största gemensamma divisorn. Motsvarande formel har formen LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Betrakta exempel på hur man hittar LCM enligt ovanstående formel.

    Hitta den minsta gemensamma multipeln av de två talen 126 och 70 .

    I det här exemplet a=126 , b=70 . Låt oss använda länken mellan LCM och GCD, som uttrycks av formeln LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Det vill säga, först måste vi hitta den största gemensamma delaren av talen 70 och 126, varefter vi kan beräkna LCM för dessa tal enligt den skrivna formeln.

    Hitta gcd(126, 70) med Euklids algoritm: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , därav gcd(126, 70)=14 .

    Nu hittar vi den minsta gemensamma multipeln som krävs: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .

    Vad är LCM(68, 34)?

    Eftersom 68 är jämnt delbart med 34 så är gcd(68, 34)=34 . Nu beräknar vi den minsta gemensamma multipeln: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .

    Observera att det föregående exemplet passar följande regel för att hitta LCM för positiva heltal a och b: om talet a är delbart med b , då är den minsta gemensamma multipeln av dessa tal a .

    Hitta LCM genom att faktorisera siffror till primära faktorer

    Ett annat sätt att hitta den minsta gemensamma multipeln är baserat på att faktorisera tal till primtalsfaktorer. Om vi ​​gör en produkt av alla primtalsfaktorer av dessa tal, varefter vi från denna produkt exkluderar alla vanliga primtalsfaktorer som finns i expansionerna av dessa tal, så blir den resulterande produkten lika med den minsta gemensamma multipeln av dessa tal.

    Den aviserade regeln för att hitta LCM följer av likheten LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Faktum är att produkten av talen a och b är lika med produkten av alla faktorer som är involverade i expansionen av talen a och b. I sin tur är gcd(a, b) lika med produkten av alla primtalsfaktorer som samtidigt är närvarande i expansionerna av talen a och b (vilket beskrivs i avsnittet om att hitta gcd med användning av sönderdelning av tal till primtalsfaktorer ).

    Låt oss ta ett exempel. Låt oss veta att 75=3 5 5 och 210=2 3 5 7 . Komponera produkten av alla faktorer av dessa expansioner: 2 3 3 5 5 5 7 . Nu utesluter vi från denna produkt alla faktorer som finns både i expansionen av talet 75 och i expansionen av talet 210 (sådana faktorer är 3 och 5), då kommer produkten att ha formen 2 3 5 5 7 . Värdet på denna produkt är lika med den minsta gemensamma multipeln av 75 och 210, det vill säga LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .

    Efter att ha faktoriserat talen 441 och 700 till primtalsfaktorer, hitta den minsta gemensamma multipeln av dessa tal.

    Låt oss dekomponera talen 441 och 700 i primtalsfaktorer:

    Vi får 441=3 3 7 7 och 700=2 2 5 5 7 .

    Låt oss nu göra en produkt av alla faktorer som är involverade i expansionen av dessa siffror: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Låt oss utesluta från denna produkt alla faktorer som är närvarande i båda expansionerna (det finns bara en sådan faktor - det här är siffran 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Så LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .

    LCM(441, 700)= 44 100 .

    Regeln för att hitta LCM genom att använda nedbrytning av tal i primtal kan formuleras lite annorlunda. Om vi ​​adderar de saknade faktorerna från expansionen av talet b till faktorerna från expansionen av talet a, så kommer värdet på den resulterande produkten att vara lika med den minsta gemensamma multipeln av talen a och b.

    Låt oss till exempel ta alla samma tal 75 och 210, deras expansioner till primtalsfaktorer är som följer: 75=3 5 5 och 210=2 3 5 7 . Till faktorerna 3, 5 och 5 från expansionen av talet 75, adderar vi de saknade faktorerna 2 och 7 från expansionen av talet 210, vi får produkten 2 3 5 5 7 , vars värde är LCM(75 210).

    Hitta den minsta gemensamma multipeln av 84 och 648.

    Vi får först nedbrytningen av talen 84 och 648 till primtalsfaktorer. De ser ut som 84=2 2 3 7 och 648=2 2 2 3 3 3 3 . Till faktorerna 2 , 2 , 3 och 7 från expansionen av talet 84 lägger vi till de saknade faktorerna 2 , 3 , 3 och 3 från expansionen av talet 648 , vi får produkten 2 2 2 3 3 3 3 7 , vilket är lika med 4 536 . Således är den önskade minsta gemensamma multipeln av talen 84 och 648 4 536.

    Hitta LCM för tre eller fler nummer

    Den minsta gemensamma multipeln av tre eller fler tal kan hittas genom att successivt hitta LCM för två tal. Kom ihåg motsvarande sats, som ger ett sätt att hitta LCM för tre eller fler tal.

    Låt positiva heltal a 1 , a 2 , …, a k ges, den minsta gemensamma multipeln m k av dessa tal finns i sekventiell beräkning m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , mk =LCM(m k−1 , a k) .

    Överväg tillämpningen av denna sats på exemplet att hitta den minsta gemensamma multipeln av fyra tal.

    Hitta LCM för de fyra siffrorna 140 , 9 , 54 och 250 .

    Först hittar vi m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . För att göra detta, med hjälp av den euklidiska algoritmen, bestämmer vi gcd(140, 9) , vi har 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , därför gcd( 140, 9)=1, varav LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Det vill säga, m 2 = 1 260 .

    Nu finner vi m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . Låt oss beräkna det genom gcd(1 260, 54) , som också bestäms av Euklids algoritm: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Sedan gcd(1 260, 54)=18 , varav LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Det vill säga m 3 \u003d 3 780.

    Det återstår att hitta m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) . För att göra detta hittar vi GCD(3 780, 250) med hjälp av euklidalgoritmen: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Därför är gcd(3 780, 250)=10, därav LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Det vill säga m 4 \u003d 94 500.

    Så den minsta gemensamma multipeln av de ursprungliga fyra talen är 94 500.

    LCM(140; 9; 54; 250)=94500 .

    I många fall hittas den minsta gemensamma multipeln av tre eller flera tal bekvämt med primtalsfaktoriseringar av givna tal. Samtidigt bör man hålla sig till nästa regel. Den minsta gemensamma multipeln av flera tal är lika med produkten, som är sammansatt enligt följande: de saknade faktorerna från expansionen av det andra talet adderas till alla faktorer från expansionen av det första talet, de saknade faktorerna från expansionen av det tredje talet läggs till de erhållna faktorerna, och så vidare.

    Betrakta ett exempel på att hitta den minsta gemensamma multipeln genom att använda nedbrytning av tal till primtalsfaktorer.

    Hitta den minsta gemensamma multipeln av fem siffror 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

    Först får vi uppdelningar av dessa tal i primtal: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 är ett primtal, det sammanfaller med dess nedbrytning i primtalsfaktorer) och 143=11 13 .

    För att hitta LCM för dessa siffror, till faktorerna för det första talet 84 (de är 2 , 2 , 3 och 7) måste du lägga till de saknade faktorerna från nedbrytningen av det andra talet 6 . Expansionen av siffran 6 innehåller inga saknade faktorer, eftersom både 2 och 3 redan finns i expansionen av det första talet 84 . Utöver faktorerna 2, 2, 3 och 7 lägger vi till de saknade faktorerna 2 och 2 från expansionen av det tredje talet 48, vi får en uppsättning faktorer 2, 2, 2, 2, 3 och 7. Det finns inget behov av att lägga till faktorer till denna uppsättning i nästa steg, eftersom 7 redan finns i den. Slutligen, till faktorerna 2 , 2 , 2 , 2 , 3 och 7 lägger vi till de saknade faktorerna 11 och 13 från expansionen av talet 143 . Vi får produkten 2 2 2 2 3 7 11 13 , vilket är lika med 48 048 .

    Därför är LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

    LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

    Hitta den minsta gemensamma multipeln av negativa tal

    Ibland finns det uppgifter där du behöver hitta den minsta gemensamma multipeln av tal, bland vilka ett, flera eller alla tal är negativa. I dessa fall måste alla negativa tal ersättas med deras motsatta tal, varefter LCM för positiva tal ska hittas. Detta är sättet att hitta LCM för negativa tal. Till exempel, LCM(54, −34)=LCM(54, 34) och LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) .

    Vi kan göra detta eftersom mängden av multipler av a är densamma som mängden av multipler av −a (a och −a är motsatta tal). Låt b vara någon multipel av a , då är b delbart med a , och begreppet delbarhet hävdar att det finns ett sådant heltal q att b=a q . Men likheten b=(−a)·(−q) kommer också att vara sann, vilket i kraft av samma delbarhetsbegrepp betyder att b är delbart med −a , det vill säga b är en multipel av −a . Det omvända påståendet är också sant: om b är någon multipel av −a , så är b också en multipel av a .

    Hitta den minsta gemensamma multipeln av de negativa talen −145 och −45.

    Låt oss ersätta de negativa talen −145 och −45 med deras motsatta tal 145 och 45 . Vi har LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Efter att ha bestämt gcd(145, 45)=5 (till exempel med euklidalgoritmen) beräknar vi LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Således är den minsta gemensamma multipeln av de negativa heltalen −145 och −45 1 305 .

    www.cleverstudents.ru

    Vi fortsätter att studera division. I den här lektionen ska vi titta på begrepp som t.ex GCD och NOC.

    GCDär den största gemensamma delaren.

    NOCär den minsta gemensamma multipeln.

    Ämnet är ganska tråkigt, men det är nödvändigt att förstå det. Utan att förstå detta ämne kommer du inte att kunna arbeta effektivt med bråk, som är ett verkligt hinder i matematik.

    Största gemensamma delare

    Definition. Största gemensamma delare av tal a och b a och b delas utan rest.

    För att förstå denna definition väl, ersätter vi istället för variabler a och b valfria två tal, till exempel, istället för en variabel a ersätt talet 12 och istället för variabeln b nummer 9. Låt oss nu försöka läsa denna definition:

    Största gemensamma delare av tal 12 och 9 är det största antalet med vilket 12 och 9 delas utan rest.

    Det framgår tydligt av definitionen att vi talar om en gemensam divisor av talen 12 och 9, och denna divisor är den största av alla befintliga divisorer. Denna största gemensamma divisor (gcd) måste hittas.

    För att hitta den största gemensamma delaren av två tal används tre metoder. Den första metoden är ganska tidskrävande, men den låter dig förstå essensen av ämnet väl och känna hela dess innebörd.

    Den andra och tredje metoden är ganska enkla och gör det möjligt att snabbt hitta GCD. Vi kommer att överväga alla tre metoderna. Och vad du ska tillämpa i praktiken - du väljer.

    Det första sättet är att hitta alla möjliga delare av två tal och välja den största av dem. Låt oss överväga denna metod i följande exempel: hitta den största gemensamma delaren av talen 12 och 9.

    Först hittar vi alla möjliga divisorer av talet 12. För att göra detta delar vi 12 i alla divisorer i intervallet från 1 till 12. Om divisorn tillåter oss att dela 12 utan en rest, så kommer vi att markera den i blått och gör en lämplig förklaring inom parentes.

    12: 1 = 12
    (12 dividerat med 1 utan rest, så 1 är en divisor av 12)

    12: 2 = 6
    (12 dividerat med 2 utan rest, så 2 är en divisor av 12)

    12: 3 = 4
    (12 dividerat med 3 utan rest, så 3 är en divisor av 12)

    12: 4 = 3
    (12 dividerat med 4 utan rest, så 4 är en divisor av 12)

    12:5 = 2 (2 kvar)
    (12 delas inte med 5 utan en rest, så 5 är inte en divisor av 12)

    12: 6 = 2
    (12 dividerat med 6 utan rest, så 6 är en divisor av 12)

    12: 7 = 1 (5 kvar)
    (12 delas inte med 7 utan en rest, så 7 är inte en divisor av 12)

    12: 8 = 1 (4 kvar)
    (12 delas inte med 8 utan en rest, så 8 är inte en divisor av 12)

    12:9 = 1 (3 kvar)
    (12 delas inte med 9 utan en rest, så 9 är inte en divisor av 12)

    12: 10 = 1 (2 kvar)
    (12 delas inte med 10 utan en rest, så 10 är inte en divisor av 12)

    12:11 = 1 (1 kvar)
    (12 delas inte med 11 utan en rest, så 11 är inte en divisor av 12)

    12: 12 = 1
    (12 dividerat med 12 utan rest, så 12 är en divisor av 12)

    Låt oss nu hitta divisorerna för talet 9. För att göra detta, kontrollera alla divisorerna från 1 till 9

    9: 1 = 9
    (9 dividerat med 1 utan rest, så 1 är en divisor av 9)

    9: 2 = 4 (1 kvar)
    (9 delas inte med 2 utan en rest, så 2 är inte en divisor av 9)

    9: 3 = 3
    (9 dividerat med 3 utan rest, så 3 är en divisor av 9)

    9: 4 = 2 (1 kvar)
    (9 delas inte med 4 utan en rest, så 4 är inte en divisor av 9)

    9:5 = 1 (4 kvar)
    (9 delas inte med 5 utan en rest, så 5 är inte en divisor av 9)

    9: 6 = 1 (3 kvar)
    (9 dividerade inte med 6 utan en rest, så 6 är inte en divisor av 9)

    9:7 = 1 (2 kvar)
    (9 delas inte med 7 utan en rest, så 7 är inte en divisor av 9)

    9:8 = 1 (1 kvar)
    (9 delas inte med 8 utan en rest, så 8 är inte en divisor av 9)

    9: 9 = 1
    (9 dividerat med 9 utan rest, så 9 är en divisor av 9)

    Skriv nu ned divisorerna för båda talen. Siffrorna markerade i blått är divisorerna. Låt oss skriva ut dem:

    Efter att ha skrivit ut divisorerna kan du omedelbart avgöra vilken som är störst och vanligast.

    Per definition är den största gemensamma delaren för 12 och 9 talet med vilket 12 och 9 är jämnt delbara. Den största och gemensamma delaren av talen 12 och 9 är talet 3

    Både talet 12 och talet 9 är delbara med 3 utan rest:

    Så gcd (12 och 9) = 3

    Det andra sättet att hitta GCD

    Överväg nu det andra sättet att hitta den största gemensamma divisorn. väsen den här metodenär att faktorisera båda talen till primfaktorer och multiplicera de vanliga.

    Exempel 1. Hitta GCD med nummer 24 och 18

    Låt oss först faktorisera båda talen till primtalsfaktorer:

    Nu multiplicerar vi deras gemensamma faktorer. För att inte bli förvirrad kan de gemensamma faktorerna understrykas.

    Vi tittar på sönderdelningen av talet 24. Dess första faktor är 2. Vi letar efter samma faktor i sönderdelningen av talet 18 och ser att den också finns där. Vi understryker båda två:

    Återigen tittar vi på sönderdelningen av talet 24. Dess andra faktor är också 2. Vi letar efter samma faktor i sönderdelningen av talet 18 och ser att det inte är där för andra gången. Då lyfter vi inte fram någonting.

    De nästa två i expansionen av nummer 24 saknas också i expansionen av nummer 18.

    Vi går över till den sista faktorn i sönderdelningen av talet 24. Detta är faktorn 3. Vi letar efter samma faktor i sönderdelningen av talet 18 och vi ser att den också finns där. Vi betonar båda tre:

    Så de gemensamma faktorerna för siffrorna 24 och 18 är faktorerna 2 och 3. För att få GCD måste dessa faktorer multipliceras:

    Så gcd (24 och 18) = 6

    Det tredje sättet att hitta GCD

    Överväg nu det tredje sättet att hitta den största gemensamma divisorn. Kärnan i denna metod ligger i det faktum att talen som ska sökas efter den största gemensamma divisorn delas upp i primtalsfaktorer. Sedan, från sönderdelningen av det första numret, raderas faktorer som inte ingår i sönderdelningen av det andra numret. De återstående talen i den första expansionen multipliceras och får GCD.

    Låt oss till exempel hitta GCD för siffrorna 28 och 16 på det här sättet. Först och främst delar vi upp dessa tal i primtalsfaktorer:

    Vi har två expansioner: och

    Nu, från expansionen av det första numret, tar vi bort de faktorer som inte ingår i expansionen av det andra numret. Utvidgningen av det andra numret inkluderar inte sju. Vi kommer att ta bort det från den första expansionen:

    Nu multiplicerar vi de återstående faktorerna och får GCD:

    Talet 4 är den största gemensamma delaren av talen 28 och 16. Båda dessa tal är delbara med 4 utan rest:

    Exempel 2 Hitta GCD med nummer 100 och 40

    Räkna ut siffran 100

    Räkna ut siffran 40

    Vi har två expansioner:

    Nu, från expansionen av det första numret, tar vi bort de faktorer som inte ingår i expansionen av det andra numret. Expansionen av det andra numret inkluderar inte en femma (det finns bara en femma). Vi tar bort det från den första nedbrytningen

    Multiplicera de återstående talen:

    Vi fick svaret 20. Så talet 20 är den största gemensamma delaren av talen 100 och 40. Dessa två tal är delbara med 20 utan rest:

    GCD (100 och 40) = 20.

    Exempel 3 Hitta gcd för siffrorna 72 och 128

    Räkna ut siffran 72

    Räkna ut siffran 128

    2×2×2×2×2×2×2

    Nu, från expansionen av det första numret, tar vi bort de faktorer som inte ingår i expansionen av det andra numret. Expansionen av det andra numret inkluderar inte två trillingar (det finns inga alls). Vi tar bort dem från den första expansionen:

    Vi fick svaret 8. Så talet 8 är den största gemensamma delaren av talen 72 och 128. Dessa två tal är delbara med 8 utan rest:

    GCD (72 och 128) = 8

    Hitta GCD för flera nummer

    Den största gemensamma divisorn kan hittas för flera tal, och inte bara för två. För detta sönderdelas talen som ska hittas för den största gemensamma delaren i primtalsfaktorer, sedan hittas produkten av de gemensamma primtalsfaktorerna för dessa tal.

    Låt oss till exempel hitta GCD för siffrorna 18, 24 och 36

    Faktorer siffran 18

    Med hänsyn till siffran 24

    Med hänsyn till siffran 36

    Vi har tre expansioner:

    Nu väljer vi ut och understryker de gemensamma faktorerna i dessa siffror. Gemensamma faktorer måste inkluderas i alla tre siffrorna:

    Vi ser att de gemensamma faktorerna för talen 18, 24 och 36 är faktorerna 2 och 3. Genom att multiplicera dessa faktorer får vi den GCD vi letar efter:

    Vi fick svaret 6. Så talet 6 är den största gemensamma delaren av talen 18, 24 och 36. Dessa tre tal är delbara med 6 utan rest:

    GCD (18, 24 och 36) = 6

    Exempel 2 Hitta gcd för nummer 12, 24, 36 och 42

    Låt oss faktorisera varje nummer. Sedan hittar vi produkten av de gemensamma faktorerna för dessa siffror.

    Faktorer siffran 12

    Faktorer siffran 42

    Vi har fyra expansioner:

    Nu väljer vi ut och understryker de gemensamma faktorerna i dessa siffror. Gemensamma faktorer måste inkluderas i alla fyra siffrorna:

    Vi ser att de gemensamma faktorerna för talen 12, 24, 36 och 42 är faktorerna 2 och 3. Genom att multiplicera dessa faktorer får vi den GCD vi letar efter:

    Vi fick svaret 6. Så talet 6 är den största gemensamma delaren av talen 12, 24, 36 och 42. Dessa tal är delbara med 6 utan rest:

    gcd(12, 24, 36 och 42) = 6

    Från föregående lektion vet vi att om ett tal divideras med ett annat utan rest, kallas det en multipel av detta tal.

    Det visar sig att en multipel kan vara gemensam för flera tal. Och nu kommer vi att vara intresserade av en multipel av två tal, medan den ska vara så liten som möjligt.

    Definition. Minsta gemensamma multipel (LCM) av tal a och b- a och b a och antal b.

    Definitionen innehåller två variabler a och b. Låt oss ersätta dessa variabler med två valfria tal. Till exempel istället för en variabel a ersätt siffran 9 och istället för variabeln b låt oss ersätta siffran 12. Låt oss nu försöka läsa definitionen:

    Minsta gemensamma multipel (LCM) av tal 9 och 12 - Detta minsta antal, vilket är en multipel 9 och 12 . Det är med andra ord ett så litet tal som är delbart utan rest med talet 9 och på numret 12 .

    Det framgår av definitionen att LCM är det minsta talet som är delbart utan rest med 9 och 12. Denna LCM måste hittas.

    Det finns två sätt att hitta den minsta gemensamma multipeln (LCM). Det första sättet är att du kan skriva ner de första multiplerna av två tal, och sedan välja bland dessa multipler ett sådant tal som kommer att vara gemensamt för både tal och litet. Låt oss tillämpa den här metoden.

    Först och främst, låt oss hitta de första multiplerna för talet 9. För att hitta multiplerna för 9, måste du multiplicera dessa nio med talen från 1 till 9. Svaren du får kommer att vara multiplar av talet 9. Så , låt oss börja. Multipel kommer att markeras i rött:

    Nu hittar vi multiplar för talet 12. För att göra detta multiplicerar vi 12 med alla talen 1 till 12 i tur och ordning.

    Överväg lösningen på följande problem. Pojkens steg är 75 cm och flickans steg är 60 cm. Det är nödvändigt att hitta det minsta avståndet där båda kommer att ta ett helt antal steg.

    Beslut. Hela vägen som killarna kommer att gå igenom måste vara delbar med 60 och 70 utan en rest, eftersom de var och en måste ta ett helt antal steg. Med andra ord måste svaret vara en multipel av både 75 och 60.

    Först kommer vi att skriva ut alla multipler, för talet 75. Vi får:

    • 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

    Låt oss nu skriva ut talen som blir en multipel av 60. Vi får:

    • 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

    Nu hittar vi siffrorna som finns i båda raderna.

    • Gemensamma multipler av tal kommer att vara tal, 300, 600, etc.

    Den minsta av dem är talet 300. I det här fallet kommer det att kallas den minsta gemensamma multipeln av talen 75 och 60.

    För att återgå till problemets tillstånd kommer det minsta avståndet där killarna tar ett helt antal steg att vara 300 cm. Pojken kommer att gå så här i 4 steg, och flickan måste ta 5 steg.

    Hitta den minsta gemensamma multipeln

    • Den minsta gemensamma multipeln av två naturliga tal a och b är det minsta naturliga talet som är en multipel av både a och b.

    För att hitta den minsta gemensamma multipeln av två tal är det inte nödvändigt att skriva ner alla multipler för dessa tal i rad.

    Du kan använda följande metod.

    Hur man hittar den minsta gemensamma multipeln

    Först måste du dekomponera dessa tal i primtalsfaktorer.

    • 60 = 2*2*3*5,
    • 75=3*5*5.

    Låt oss nu skriva ner alla faktorer som finns i expansionen av det första talet (2,2,3,5) och lägga till alla de saknade faktorerna från expansionen av det andra talet (5).

    Som ett resultat får vi en serie primtal: 2,2,3,5,5. Produkten av dessa siffror kommer att vara den minst gemensamma faktorn för dessa siffror. 2*2*3*5*5 = 300.

    Allmänt schema för att hitta den minsta gemensamma multipeln

    • 1. Bryt upp tal i primtalsfaktorer.
    • 2. Skriv ner de primtalsfaktorer som ingår i en av dem.
    • 3. Lägg till dessa faktorer alla de som är i nedbrytningen av resten, men inte i den valda.
    • 4. Hitta produkten av alla faktorer som skrivits ut.

    Denna metod är universell. Den kan användas för att hitta den minsta gemensamma multipeln av valfritt antal naturliga tal.

    Med onlineräknaren kan du snabbt hitta den största gemensamma divisorn och minsta gemensamma multipeln av två eller något annat antal tal.

    Kalkylator för att hitta GCD och NOC

    Hitta GCD och NOC

    GCD och NOC hittades: 6433

    Hur man använder kalkylatorn

    • Ange siffror i inmatningsfältet
    • Vid inmatning av felaktiga tecken kommer inmatningsfältet att markeras i rött
    • tryck på knappen "Hitta GCD och NOC"

    Hur man anger siffror

    • Siffror skrivs in avgränsade med mellanslag, punkter eller kommatecken
    • Längden på de inmatade numren är inte begränsad, så att hitta gcd och lcm för långa tal kommer inte att vara svårt

    Vad är NOD och NOK?

    Största gemensamma delare av flera tal är det största naturliga heltal med vilket alla ursprungliga tal är delbara utan rest. Den största gemensamma delaren förkortas som GCD.
    Minsta gemensamma nämnare flera tal är det minsta tal som är delbart med vart och ett av de ursprungliga talen utan rest. Den minsta gemensamma multipeln förkortas som NOC.

    Hur kontrollerar man om ett tal är delbart med ett annat tal utan rest?

    För att ta reda på om ett tal är delbart med ett annat utan en rest, kan du använda några egenskaper för delbarhet av tal. Sedan, genom att kombinera dem, kan man kontrollera delbarheten med några av dem och deras kombinationer.

    Några tecken på delbarhet av tal

    1. Tecken på delbarhet för ett tal med 2
    För att avgöra om ett tal är delbart med två (om det är jämnt), räcker det att titta på den sista siffran i detta tal: om det är lika med 0, 2, 4, 6 eller 8, är talet jämnt, vilket betyder att det är delbart med 2.
    Exempel: avgöra om talet 34938 är delbart med 2.
    Beslut: titta på den sista siffran: 8 betyder att talet är delbart med två.

    2. Tecken på delbarhet för ett tal med 3
    Ett tal är delbart med 3 när summan av dess siffror är delbart med 3. För att avgöra om ett tal är delbart med 3 måste du alltså beräkna summan av siffrorna och kontrollera om det är delbart med 3. Även om summan av siffrorna visade sig vara mycket stor, kan du upprepa samma process på nytt.
    Exempel: avgöra om talet 34938 är delbart med 3.
    Beslut: vi räknar summan av siffrorna: 3+4+9+3+8 = 27. 27 är delbart med 3, vilket betyder att talet är delbart med tre.

    3. Tecken på delbarhet för ett tal med 5
    Ett tal är delbart med 5 när dess sista siffra är noll eller fem.
    Exempel: avgöra om talet 34938 är delbart med 5.
    Beslut: titta på den sista siffran: 8 betyder att talet INTE är delbart med fem.

    4. Tecken på delbarhet för ett tal med 9
    Detta tecken är väldigt likt tecknet för delbarhet med tre: ett tal är delbart med 9 när summan av dess siffror är delbart med 9.
    Exempel: avgöra om talet 34938 är delbart med 9.
    Beslut: vi räknar ut summan av siffrorna: 3+4+9+3+8 = 27. 27 är delbart med 9, vilket betyder att talet är delbart med nio.

    Hur man hittar GCD och LCM med två nummer

    Hur man hittar GCD för två siffror

    Mest på ett enkelt sätt att beräkna den största gemensamma delaren av två tal är att hitta alla möjliga delare av dessa tal och välja den största av dem.

    Överväg den här metoden med exemplet att hitta GCD(28, 36):

    1. Vi faktoriserar båda siffrorna: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
    2. Vi hittar gemensamma faktorer, det vill säga de som båda talen har: 1, 2 och 2.
    3. Vi beräknar produkten av dessa faktorer: 1 2 2 \u003d 4 - detta är den största gemensamma divisorn av siffrorna 28 och 36.

    Hur man hittar LCM för två siffror

    Det finns två vanligaste sätt att hitta den minsta multipeln av två tal. Det första sättet är att du kan skriva ut de första multiplerna av två tal, och sedan välja bland dem ett sådant tal som kommer att vara gemensamt för båda talen och samtidigt det minsta. Och det andra är att hitta GCD för dessa siffror. Låt oss bara överväga det.

    För att beräkna LCM måste du beräkna produkten av de ursprungliga talen och sedan dividera den med den tidigare hittade GCD. Låt oss hitta LCM för samma nummer 28 och 36:

    1. Hitta produkten av talen 28 och 36: 28 36 = 1008
    2. gcd(28, 36) är redan känt för att vara 4
    3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

    Hitta GCD och LCM för flera nummer

    Den största gemensamma divisorn kan hittas för flera tal, och inte bara för två. För detta sönderdelas talen som ska hittas för den största gemensamma delaren i primtalsfaktorer, sedan hittas produkten av de gemensamma primtalsfaktorerna för dessa tal. För att hitta GCD för flera nummer kan du också använda följande relation: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

    En liknande relation gäller också för den minsta gemensamma multipeln av tal: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

    Exempel: hitta GCD och LCM för nummer 12, 32 och 36.

    1. Låt oss först faktorisera siffrorna: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
    2. Låt oss hitta gemensamma faktorer: 1, 2 och 2 .
    3. Deras produkt kommer att ge gcd: 1 2 2 = 4
    4. Låt oss nu hitta LCM: för detta hittar vi först LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
    5. För att hitta LCM för alla tre talen måste du hitta GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2. 2 3 = 12 .
    6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

    Materialet som presenteras nedan är en logisk fortsättning på teorin från artikeln under rubriken LCM - minsta gemensamma multipel, definition, exempel, samband mellan LCM och GCD. Här ska vi prata om hitta den minsta gemensamma multipeln (LCM), och ägna särskild uppmärksamhet åt att lösa exempel. Låt oss först visa hur LCM för två tal beräknas i termer av GCD för dessa tal. Överväg sedan att hitta den minsta gemensamma multipeln genom att faktorisera tal i primtalsfaktorer. Efter det kommer vi att fokusera på att hitta LCM för tre eller fler tal, och också uppmärksamma beräkningen av LCM för negativa tal.

    Sidnavigering.

    Beräkning av minsta gemensamma multipel (LCM) till gcd

    Ett sätt att hitta den minsta gemensamma multipeln är baserat på förhållandet mellan LCM och GCD. Det befintliga förhållandet mellan LCM och GCD låter dig beräkna den minsta gemensamma multipeln av två positiva heltal genom den kända största gemensamma divisorn. Motsvarande formel har formen LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Betrakta exempel på hur man hittar LCM enligt ovanstående formel.

    Exempel.

    Hitta den minsta gemensamma multipeln av de två talen 126 och 70 .

    Beslut.

    I det här exemplet a=126 , b=70 . Låt oss använda förhållandet mellan LCM och GCD uttryckt med formeln LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Det vill säga, först måste vi hitta den största gemensamma delaren av talen 70 och 126, varefter vi kan beräkna LCM för dessa tal enligt den skrivna formeln.

    Hitta gcd(126, 70) med Euklids algoritm: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , därav gcd(126, 70)=14 .

    Nu hittar vi den minsta gemensamma multipeln som krävs: LCM(126; 70)=126 70: GCM(126; 70)= 126 70:14=630.

    Svar:

    LCM(126, 70)=630 .

    Exempel.

    Vad är LCM(68, 34)?

    Beslut.

    Som 68 är jämnt delbart med 34 , sedan gcd(68, 34)=34 . Nu beräknar vi den minsta gemensamma multipeln: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68.

    Svar:

    LCM(68, 34)=68 .

    Observera att föregående exempel passar följande regel för att hitta LCM för positiva heltal a och b: om talet a är delbart med b, är den minsta gemensamma multipeln av dessa tal a.

    Hitta LCM genom att faktorisera siffror till primära faktorer

    Ett annat sätt att hitta den minsta gemensamma multipeln är baserat på att faktorisera tal till primtalsfaktorer. Om vi ​​gör en produkt av alla primtalsfaktorer av dessa tal, varefter vi från denna produkt exkluderar alla vanliga primtalsfaktorer som finns i expansionerna av dessa tal, så blir den resulterande produkten lika med den minsta gemensamma multipeln av dessa tal.

    Den aviserade regeln för att hitta LCM följer av jämlikheten LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Faktum är att produkten av talen a och b är lika med produkten av alla faktorer som är involverade i expansionen av talen a och b. I sin tur är gcd(a, b) lika med produkten av alla primtalsfaktorer som samtidigt är närvarande i expansionerna av talen a och b (vilket beskrivs i avsnittet om att hitta gcd med användning av sönderdelning av tal till primtalsfaktorer ).

    Låt oss ta ett exempel. Låt oss veta att 75=3 5 5 och 210=2 3 5 7 . Komponera produkten av alla faktorer av dessa expansioner: 2 3 3 5 5 5 7 . Nu utesluter vi från denna produkt alla faktorer som finns både i expansionen av talet 75 och i expansionen av talet 210 (sådana faktorer är 3 och 5), då kommer produkten att ha formen 2 3 5 5 7 . Värdet på denna produkt är lika med den minsta gemensamma multipeln av talen 75 och 210, dvs. LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

    Exempel.

    Efter att ha faktoriserat talen 441 och 700 till primtalsfaktorer, hitta den minsta gemensamma multipeln av dessa tal.

    Beslut.

    Låt oss dekomponera talen 441 och 700 i primtalsfaktorer:

    Vi får 441=3 3 7 7 och 700=2 2 5 5 7 .

    Låt oss nu göra en produkt av alla faktorer som är involverade i expansionen av dessa siffror: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Låt oss utesluta från denna produkt alla faktorer som är närvarande i båda expansionerna (det finns bara en sådan faktor - det här är siffran 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Således, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

    Svar:

    LCM(441, 700)= 44 100 .

    Regeln för att hitta LCM genom att använda nedbrytning av tal i primtal kan formuleras lite annorlunda. Om vi ​​adderar de saknade faktorerna från expansionen av talet b till faktorerna från expansionen av talet a, så kommer värdet på den resulterande produkten att vara lika med den minsta gemensamma multipeln av talen a och b.

    Låt oss till exempel ta alla samma tal 75 och 210, deras expansioner till primtalsfaktorer är som följer: 75=3 5 5 och 210=2 3 5 7 . Till faktorerna 3, 5 och 5 från expansionen av talet 75, adderar vi de saknade faktorerna 2 och 7 från expansionen av talet 210, vi får produkten 2 3 5 5 7 , vars värde är LCM(75 210).

    Exempel.

    Hitta den minsta gemensamma multipeln av 84 och 648.

    Beslut.

    Vi får först nedbrytningen av talen 84 och 648 till primtalsfaktorer. De ser ut som 84=2 2 3 7 och 648=2 2 2 3 3 3 3 . Till faktorerna 2 , 2 , 3 och 7 från expansionen av talet 84 lägger vi till de saknade faktorerna 2 , 3 , 3 och 3 från expansionen av talet 648 , vi får produkten 2 2 2 3 3 3 3 7 , vilket är lika med 4 536 . Således är den önskade minsta gemensamma multipeln av talen 84 och 648 4 536.

    Svar:

    LCM(84, 648)=4 536 .

    Hitta LCM för tre eller fler nummer

    Den minsta gemensamma multipeln av tre eller fler tal kan hittas genom att successivt hitta LCM för två tal. Kom ihåg motsvarande sats, som ger ett sätt att hitta LCM för tre eller fler tal.

    Sats.

    Låt positiva heltal a 1 , a 2 , …, a k ges, den minsta gemensamma multipeln m k av dessa tal finns i sekventiell beräkning m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , mk =LCM(m k−1 , a k) .

    Överväg tillämpningen av denna sats på exemplet att hitta den minsta gemensamma multipeln av fyra tal.

    Exempel.

    Hitta LCM för de fyra siffrorna 140 , 9 , 54 och 250 .

    Beslut.

    I det här exemplet a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

    Först hittar vi m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). För att göra detta, med hjälp av den euklidiska algoritmen, bestämmer vi gcd(140, 9) , vi har 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , därför gcd( 140, 9)=1, varifrån LCM(140; 9)=140 9: LCM(140; 9)= 140 9:1=1 260 . Det vill säga, m 2 = 1 260 .

    Nu hittar vi m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Låt oss beräkna det genom gcd(1 260, 54) , som också bestäms av Euklids algoritm: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Sedan gcd(1 260, 54)=18 , varav LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Det vill säga m 3 \u003d 3 780.

    Vänster att hitta m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). För att göra detta hittar vi GCD(3 780, 250) med hjälp av euklidalgoritmen: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Därför gcd(3 780, 250)=10 , varav gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Det vill säga m 4 \u003d 94 500.

    Så den minsta gemensamma multipeln av de ursprungliga fyra talen är 94 500.

    Svar:

    LCM(140; 9; 54; 250)=94 500.

    I många fall hittas den minsta gemensamma multipeln av tre eller flera tal bekvämt med primtalsfaktoriseringar av givna tal. I detta fall bör följande regel följas. Den minsta gemensamma multipeln av flera tal är lika med produkten, som är sammansatt enligt följande: de saknade faktorerna från expansionen av det andra talet adderas till alla faktorer från expansionen av det första talet, de saknade faktorerna från expansionen av det tredje talet läggs till de erhållna faktorerna, och så vidare.

    Betrakta ett exempel på att hitta den minsta gemensamma multipeln genom att använda nedbrytning av tal till primtalsfaktorer.

    Exempel.

    Hitta den minsta gemensamma multipeln av fem siffror 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

    Beslut.

    Först får vi expansionerna av dessa tal till primtalsfaktorer: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 primtalsfaktorer) och 143=11 13 .

    För att hitta LCM för dessa siffror, till faktorerna för det första talet 84 (de är 2 , 2 , 3 och 7 ) måste du lägga till de saknade faktorerna från expansionen av det andra talet 6 . Expansionen av siffran 6 innehåller inga saknade faktorer, eftersom både 2 och 3 redan finns i expansionen av det första talet 84 . Utöver faktorerna 2, 2, 3 och 7 lägger vi till de saknade faktorerna 2 och 2 från expansionen av det tredje talet 48, vi får en uppsättning faktorer 2, 2, 2, 2, 3 och 7. Det finns inget behov av att lägga till faktorer till denna uppsättning i nästa steg, eftersom 7 redan finns i den. Slutligen, till faktorerna 2 , 2 , 2 , 2 , 3 och 7 lägger vi till de saknade faktorerna 11 och 13 från expansionen av talet 143 . Vi får produkten 2 2 2 2 3 7 11 13 , vilket är lika med 48 048 .

    Vi rekommenderar också

    Läser in...Läser in...