Vilka siffror är naturliga. Att studera det exakta ämnet: naturliga tal är vilka tal, exempel och egenskaper

Naturliga tal är ett av de äldsta matematiska begreppen.

I ett avlägset förflutet kände folk inte till siffror, och när de behövde räkna föremål (djur, fiskar etc.) gjorde de det annorlunda än vi gör nu.

Antalet föremål jämfördes med delar av kroppen, till exempel med fingrarna på handen, och de sa: "Jag har lika många nötter som det finns fingrar på handen."

Med tiden insåg folk att fem nötter, fem getter och fem harar har en gemensam egendom - deras antal är fem.

Kom ihåg!

Heltalär tal, som börjar med 1, som erhålls när man räknar objekt.

1, 2, 3, 4, 5…

minsta naturliga tal — 1 .

största naturliga talet existerar inte.

Vid räkning används inte siffran noll. Därför anses noll inte vara ett naturligt tal.

Folk lärde sig att skriva siffror mycket senare än att räkna. Först och främst började de representera enheten med en pinne, sedan med två pinnar - siffran 2, med tre - siffran 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Då uppträdde speciella tecken för att beteckna siffror - föregångarna till moderna siffror. Siffrorna vi använder för att skriva siffror har sitt ursprung i Indien för cirka 1 500 år sedan. Araberna tog med dem till Europa, så kallas de Arabiska siffror.

Det finns totalt tio siffror: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Dessa siffror kan användas för att skriva vilket naturligt tal som helst.

Kom ihåg!

naturlig serieär sekvensen av alla naturliga tal:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

I den naturliga serien är varje nummer 1 större än det föregående.

Den naturliga serien är oändlig, det finns inget största naturliga tal i den.

Räknesystemet vi använder kallas decimalpositionell.

Decimal eftersom 10 enheter av varje siffra bildar 1 enhet av den mest signifikanta siffran. Positionell eftersom värdet på en siffra beror på dess plats i notationen av ett tal, det vill säga på siffran som den är skriven i.

Viktig!

Klasserna efter miljarden namnges enligt de latinska namnen på siffror. Varje nästa enhet innehåller tusen tidigare.

• 1 000 miljarder = 1 000 000 000 000 = 1 biljon ("tre" är latin för "tre")
• 1 000 biljoner = 1 000 000 000 000 000 = 1 kvadrillion ("quadra" är latin för "fyra")
• 1 000 quadrillion = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 quintillion ("quinta" är latin för "fem")

Men fysiker har hittat ett antal som överstiger antalet av alla atomer (de minsta partiklarna av materia) i hela universum.

Detta nummer har ett speciellt namn - googol. En googol är ett tal som har 100 nollor.

Heltal- naturliga tal är tal som används för att räkna objekt. Mängden av alla naturliga tal kallas ibland den naturliga serien: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, etc. .

För att skriva naturliga tal används tio siffror: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Med hjälp av dem kan du skriva vilket naturligt tal som helst. Denna notation kallas decimal.

Den naturliga talserien kan fortsätta i det oändliga. Det finns inget nummer som skulle vara det sista, eftersom man alltid kan läggas till det sista numret och man får ett nummer som redan är större än det önskade. I det här fallet säger vi att det inte finns något största antal i den naturliga serien.

Siffror av naturliga tal

När du skriver vilket nummer som helst med siffror är platsen där numret står i numret avgörande. Till exempel betyder siffran 3: 3 enheter om den kommer sist i numret; 3 tior om det blir i siffran på näst sista plats; 4 hundra, om hon kommer att vara i nummer på tredje plats från slutet.

Den sista siffran betyder enhetssiffran, den näst sista - tiotalssiffran, 3 från slutet - hundratalssiffran.

Ensiffrig och flera siffror

Om det finns en 0 i någon siffra i numret betyder det att det inte finns några enheter i denna siffra.

Siffran 0 står för noll. Noll är "ingen".

Noll är inte ett naturligt tal. Även om vissa matematiker tycker annorlunda.

Om ett nummer består av en siffra kallas det ensiffrig, två - tvåsiffrig, tre - tresiffrig osv.

Siffror som inte är ensiffriga kallas även flersiffriga.

Sifferklasser för att läsa stora naturliga tal

För att läsa stora naturliga tal delas talet in i grupper om tre siffror, med början från högerkanten. Dessa grupper kallas klasser.

De tre första siffrorna från högerkanten utgör enhetsklassen, de tre nästa tusentalsklassen, de tre nästa är miljonklassen.

En miljon är tusen tusen, för ordens skull använder de förkortningen miljon 1 miljon = 1 000 000.

En miljard = tusen miljoner. För inspelning används förkortningen miljard 1 miljard = 1 000 000 000.

Skriv och läs exempel

Detta nummer har 15 enheter i miljardklassen, 389 enheter i miljonklassen, noll enheter i tusentalsklassen och 286 enheter i enhetsklassen.

Denna siffra lyder så här: 15 miljarder 389 miljoner 286.

Läs siffror från vänster till höger. I sin tur anropas antalet enheter i varje klass och sedan läggs namnet på klassen till.

Naturliga tal är bekanta för människan och intuitiva, eftersom de omger oss från barndomen. I artikeln nedan kommer vi att ge en grundläggande uppfattning om innebörden av naturliga tal, beskriva de grundläggande färdigheterna att skriva och läsa dem. Hela den teoretiska delen kommer att åtföljas av exempel.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Allmän uppfattning om naturliga tal

I ett visst skede av mänsklighetens utveckling uppstod uppgiften att räkna vissa föremål och bestämma deras kvantitet, vilket i sin tur krävde att man hittade ett verktyg för att lösa detta problem. Naturliga tal blev ett sådant verktyg. Huvudsyftet med naturliga tal är också tydligt - att ge en uppfattning om antalet objekt eller serienumret för ett visst objekt, om vi pratar om en uppsättning.

Det är logiskt att för en person att använda naturliga tal, är det nödvändigt att ha ett sätt att uppfatta och reproducera dem. Så ett naturligt tal kan uttryckas eller avbildas, vilket är naturliga sätt att förmedla information.

Tänk på de grundläggande färdigheterna för att rösta (läsa) och bilder (skriva) av naturliga tal.

Decimalnotation av ett naturligt tal

Kom ihåg hur följande tecken visas (vi anger dem separerade med kommatecken): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Dessa tecken kallas siffror.

Låt oss nu ta som regel att när man avbildar (skriver) ett naturligt tal, används endast de angivna siffrorna utan deltagande av några andra symboler. Låt siffrorna när du skriver ett naturligt tal ha samma höjd, skrivs efter varandra på en rad, och det finns alltid en siffra till vänster som skiljer sig från noll.

Låt oss ange exempel på korrekt notation av naturliga tal: 703, 881, 13, 333, 1023, 7, 500001. Indragen mellan siffrorna är inte alltid desamma, detta kommer att diskuteras mer i detalj nedan när man studerar sifferklasserna. De givna exemplen visar att när man skriver ett naturligt tal är det inte nödvändigt att ha alla siffror från ovanstående serie. Vissa eller alla av dem kan upprepas.

Definition 1

Poster av formen: 065 , 0 , 003 , 0791 är inte poster av naturliga tal, eftersom till vänster är siffran 0.

Den korrekta notationen av ett naturligt tal, gjord med hänsyn till alla beskrivna krav, kallas decimalnotation av ett naturligt tal.

Kvantitativ betydelse av naturliga tal

Som redan nämnts har naturliga tal till en början bland annat en kvantitativ betydelse. Naturliga tal, som ett numreringsverktyg, diskuteras i ämnet att jämföra naturliga tal.

Låt oss börja med naturliga tal, vars inmatningar sammanfaller med inmatningarna av siffror, dvs: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Föreställ dig ett visst objekt, till exempel detta: Ψ . Vi kan skriva ner det vi ser 1 ämne. Det naturliga talet 1 läses som "ett" eller "ett". Termen "enhet" har också en annan betydelse: något som kan betraktas som en helhet. Om det finns en uppsättning kan vilken som helst del av den betecknas med en. Till exempel, av många möss är vilken mus som helst en; varje blomma från en uppsättning blommor är en enhet.

Föreställ dig nu: Ψ Ψ . Vi ser ett föremål och ett annat föremål, d.v.s. i posten blir det - 2 objekt. Det naturliga talet 2 läses som "två".

Vidare, analogt: Ψ Ψ Ψ - 3 objekt ("tre"), Ψ Ψ Ψ Ψ - 4 ("fyra"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 5 ("fem"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 6 ("sex"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 7 ("sju"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 8 ("åtta"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 9 nio").

Från den angivna positionen är ett naturligt tals funktion att indikera kvantitet föremål.

Definition 1

Om inmatningen av ett nummer matchar inmatningen av siffran 0, anropas ett sådant nummer "noll". Noll är inte ett naturligt tal, utan det betraktas tillsammans med andra naturliga tal. Noll betyder nej, d.v.s. noll poster betyder inga.

Ensiffriga naturliga tal

Det är ett uppenbart faktum att när vi skriver vart och ett av de naturliga talen som diskuterats ovan (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), använder vi ett tecken - en siffra.

Definition 2

Ensiffrigt naturligt tal- ett naturligt tal, som skrivs med ett tecken - en siffra.

Det finns nio ensiffriga naturliga tal: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Tvåsiffriga och tresiffriga naturliga tal

Definition 3

Tvåsiffriga naturliga tal- naturliga tal, som skrivs med två tecken - två siffror. I det här fallet kan siffrorna som används vara antingen samma eller olika.

Till exempel är de naturliga talen 71, 64, 11 tvåsiffriga.

Tänk på betydelsen av tvåsiffriga tal. Vi kommer att förlita oss på den kvantitativa betydelsen av envärdiga naturliga tal som vi redan känner till.

Låt oss introducera ett sådant koncept som "tio".

Föreställ dig en uppsättning objekt, som består av nio och ett till. I det här fallet kan vi prata om 1 dussin ("ett dussin") föremål. Om du föreställer dig ett dussin och ett till, så kommer vi att prata om 2 tior ("två tiotal"). Lägger vi till ytterligare en tior till två tior, får vi tre tior. Och så vidare: om vi fortsätter att lägga till ett dussin får vi fyra tior, fem tior, sex tior, sju tior, åtta tiotal och slutligen nio tiotal.

Låt oss titta på ett tvåsiffrigt tal som en uppsättning ensiffriga tal, varav det ena är skrivet till höger, det andra till vänster. Siffran till vänster kommer att indikera antalet tior i det naturliga talet, och siffran till höger kommer att indikera antalet ettor. I fallet när siffran 0 är placerad till höger, då talar vi om frånvaron av enheter. Ovanstående är den kvantitativa betydelsen av naturliga tvåsiffriga tal. Det finns 90 av dem totalt.

Definition 4

Tresiffriga naturliga tal- naturliga tal, som skrivs med tre tecken - tre siffror. Siffrorna kan vara olika eller upprepade i valfri kombination.

Till exempel är 413, 222, 818, 750 tresiffriga naturliga tal.

För att förstå den kvantitativa innebörden av trevärdiga naturliga tal introducerar vi begreppet "hundra".

Definition 5

Hundra (1 hundra)är en uppsättning av tio tior. Hundra plus hundra är lika med tvåhundra. Lägg till ytterligare hundra och få 3 hundra. Om vi ​​gradvis adderar etthundra får vi: fyrahundra, femhundra, sexhundra, sjuhundra, åttahundra, niohundra.

Tänk på posten för ett tresiffrigt tal i sig: de ensiffriga naturliga talen som ingår i det skrivs efter varandra från vänster till höger. Den enstaka siffran längst till höger anger antalet enheter; nästa ensiffriga nummer till vänster - med antalet tior; den enstaka siffran längst till vänster är antalet hundra. Om siffran 0 är inblandad i posten indikerar det frånvaron av enheter och/eller tiotal.

Så, det tresiffriga naturliga talet 402 betyder: 2 enheter, 0 tiotal (det finns inga tiotal som inte kombineras till hundratals) och 4 hundratal.

I analogi ges definitionen av fyrsiffriga, femsiffriga och så vidare naturliga tal.

Flervärdiga naturliga tal

Från allt ovan är det nu möjligt att gå vidare till definitionen av flervärdiga naturliga tal.

Definition 6

Flervärdiga naturliga tal- naturliga tal, som skrivs med två eller fler tecken. Flersiffriga naturliga tal är tvåsiffriga, tresiffriga och så vidare tal.

Tusen är en uppsättning som innehåller tiohundra; en miljon utgörs av tusen tusen; en miljard - ett tusen miljoner; en biljon är tusen miljarder. Även större uppsättningar har också namn, men deras användning är sällsynt.

På samma sätt som principen ovan kan vi betrakta alla flersiffriga naturliga tal som en uppsättning ensiffriga naturliga tal, som vart och ett, på en viss plats, indikerar närvaron och antalet enheter, tiotals, hundratal, tusentals, tiotals av tusentals, hundratusentals, miljoner, tiotals miljoner, hundratals miljoner, miljarder och så vidare (från höger till vänster).

Till exempel innehåller det flersiffriga numret 4 912 305: 5 enheter, 0 tiotals, tre hundra, 2 tusen, 1 tiotusentals, 9 hundratusentals och 4 miljoner.

Sammanfattningsvis undersökte vi förmågan att gruppera enheter i olika uppsättningar (tiotals, hundra, etc.) och såg att talen i posten för ett flersiffrigt naturligt tal är en beteckning på antalet enheter i var och en av sådana uppsättningar.

Läsa naturliga tal, klasser

I teorin ovan betecknade vi namnen på naturliga tal. I tabell 1 anger vi hur man korrekt använder namnen på ensiffriga naturliga tal i tal och i alfabetisk notation:

siffra	maskulin	Feminin	Neutralt kön
1 2 3 4 5 6 7 8 9	Ett Två Tre Fyra Fem Sex Sju Åtta Nio	Ett Två Tre Fyra Fem Sex Sju Åtta Nio	Ett Två Tre Fyra Fem Sex Sju Åtta Nio

siffra	nominativ fall	Genitiv	Dativ	Ackusativ	Instrumentfodral	Prepositionell
1 2 3 4 5 6 7 8 9	Ett Två Tre Fyra Fem Sex Sju Åtta Nio	Ett Två Tre fyra Fem sex Semi åtta Nio	till en två Trem fyra Fem sex Semi åtta Nio	Ett Två Tre Fyra Fem Sex Sju Åtta Nio	Ett två Tre fyra Fem sex familj åtta Nio	Ungefär en Ungefär två Om tre Ungefär fyra Om igen Ungefär sex Cirka sju Ungefär åtta Cirka nio

För kompetent läsning och skrivning av tvåsiffriga siffror måste du lära dig data i tabell 2:

siffra	Manligt, feminint och neutralt
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	Tio Elva Tolv Tretton Fjorton Femton Sexton Sjutton Arton Nitton Tjugo Trettio Fyrtio Femtio Sextio Sjuttio Åttio Nittio

siffra	nominativ fall	Genitiv	Dativ	Ackusativ	Instrumentfodral	Prepositionell
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	Tio Elva Tolv Tretton Fjorton Femton Sexton Sjutton Arton Nitton Tjugo Trettio Fyrtio Femtio Sextio Sjuttio Åttio Nittio	tio Elva tolv tretton fjorton femton sexton sjutton arton nitton tjugo trettio Skata femtio sextio Sjuttio åttio nittio	tio Elva tolv tretton fjorton femton sexton sjutton arton nitton tjugo trettio Skata femtio sextio Sjuttio åttio nittio	Tio Elva Tolv Tretton Fjorton Femton Sexton Sjutton Arton Nitton Tjugo Trettio Fyrtio Femtio Sextio Sjuttio Åttio Nittio	tio Elva tolv tretton fjorton femton sexton sjutton arton nitton tjugo trettio Skata femtio sextio Sjuttio åttio Nittio	Ungefär tio Ungefär elva Ungefär tolv Cirka tretton Ungefär fjorton Cirka femton Ungefär sexton Ungefär sjutton Cirka arton Ungefär nitton Runt tjugo Ett trettiotal Åh skata Ett femtiotal Ungefär sextio Ett sjuttiotal Ett åttiotal Ett nittiotal

För att läsa andra naturliga tvåsiffriga tal kommer vi att använda data från båda tabellerna, överväg detta med ett exempel. Låt oss säga att vi måste läsa ett naturligt tvåsiffrigt tal 21. Detta nummer innehåller 1 enhet och 2 tior, dvs. 20 och 1. När vi vänder oss till tabellerna läser vi det angivna numret som "tjugoen", medan föreningen "och" mellan orden inte behöver uttalas. Anta att vi behöver använda det angivna talet 21 i någon mening, vilket anger antalet objekt i genitivfallet: "det finns inga 21 äpplen." I det här fallet kommer uttalet att låta så här: "det finns inga tjugoen äpplen."

Låt oss ge ett annat exempel för tydlighetens skull: siffran 76, som läses som "sjuttiosex" och till exempel "sjuttiosex ton".

siffra	Nominativt fall	Genitiv	Dativ	Ackusativ	Instrumentfodral	Prepositionell
100 200 300 400 500 600 700 800 900	Ett hundra Två hundra Trehundra Fyrahundra Fem hundra Sexhundra Sju hundra Åttahundra Niohundra	Sta två hundra trehundra fyrahundra fem hundra sexhundra Sju hundra åttahundra niohundra	Sta två hundra Tremstam fyrahundra fem hundra Sexhundra sju hundra åttahundra Niohundra	Ett hundra Två hundra Trehundra Fyrahundra Fem hundra Sexhundra Sju hundra Åttahundra Niohundra	Sta två hundra Trehundra fyrahundra fem hundra sexhundra sju hundra åttahundra Niohundra	Ungefär hundra Ungefär tvåhundra Cirka trehundra Ungefär fyrahundra Cirka femhundra Ungefär sexhundra Cirka sjuhundra Ungefär åttahundra Cirka niohundra

För att fullständigt läsa ett tresiffrigt nummer använder vi även data från alla angivna tabeller. Till exempel, givet ett naturligt tal 305 . Detta nummer motsvarar 5 enheter, 0 tiotal och 3 hundra: 300 och 5. Med utgångspunkt från tabellen läser vi: "tre hundra och fem" eller i deklination efter fall, till exempel, så här: "tre hundra och fem meter."

Låt oss läsa ytterligare ett nummer: 543. Enligt reglerna i tabellerna kommer det angivna numret att låta så här: "femhundrafyrtiotre" eller i fall deklination, till exempel så här: "inga femhundrafyrtiotre rubel."

Låt oss gå vidare till den allmänna principen för att läsa flersiffriga naturliga tal: för att läsa ett flersiffrigt tal måste du dela upp det från höger till vänster i grupper med tre siffror, och gruppen längst till vänster kan ha 1, 2 eller 3 siffror . Sådana grupper kallas klasser.

Den extrema högerklassen är klassen av enheter; sedan nästa klass, till vänster - klassen av tusentals; vidare - klassen av miljoner; sedan kommer klassen av miljarder, följt av klassen av biljoner. Följande klasser har också ett namn, men naturliga tal som består av ett stort antal tecken (16, 17 och fler) används sällan vid läsning, det är ganska svårt att uppfatta dem på gehör.

För att underlätta uppfattningen av posten är klasserna separerade från varandra med ett litet indrag. Till exempel 31 013 736 , 134 678 , 23 476 009 434 , 2 533 467 001 222 .

Klass biljon	Klass miljard	Klass miljon	Tusen klass	Enhetsklass
			134	678
		31	013	736
	23	476	009	434
2	533	467	001	222

För att läsa ett flersiffrigt nummer ringer vi i tur och ordning siffrorna som utgör det (från vänster till höger, efter klass, lägg till klassens namn). Namnet på klassen av enheter uttalas inte, och de klasser som utgör de tre siffrorna 0 uttalas inte heller. Om en eller två siffror 0 finns till vänster i en klass, används de inte på något sätt vid läsning. Till exempel läses 054 som "femtiofyra" eller 001 som "en".

Exempel 1

Låt oss granska läsningen av numret 2 533 467 001 222 i detalj:

Vi läser siffran 2, som en del av klassen av biljoner - "två";

Lägger vi till namnet på klassen får vi: "två biljoner";

Vi läser följande nummer och lägger till namnet på motsvarande klass: "femhundratrettiotre miljarder";

Vi fortsätter analogt och läser nästa klass till höger: "fyrahundrasextiosju miljoner";

I nästa klass ser vi två siffror 0 placerade till vänster. Enligt ovanstående läsregler kasseras siffrorna 0 och deltar inte i läsningen av posten. Då får vi: "tusen";

Vi läser den sista klassen av enheter utan att lägga till dess namn - "tvåhundratjugotvå".

Således kommer talet 2 533 467 001 222 att låta så här: två biljoner femhundratrettiotre miljarder fyrahundrasextiosju miljoner etttusentvåhundratjugotvå. Med denna princip kan vi också läsa de andra givna siffrorna:

31 013 736 - trettioen miljon tretton tusen sju hundra trettiosex;

134 678 - hundra trettiofyra tusen sex hundra sjuttioåtta;

23 476 009 434 - tjugotre miljarder fyra hundra sjuttiosex miljoner nio tusen fyra hundra trettiofyra.

Grunden för korrekt avläsning av flersiffriga tal är alltså förmågan att dela upp ett flersiffrigt tal i klasser, kunskap om motsvarande namn och förståelse för principen att läsa två- och tresiffriga tal.

Som det redan framgår av allt ovanstående beror dess värde på den position på vilken siffran står i numrets register. Det vill säga, till exempel, talet 3 i det naturliga talet 314 betecknar antalet hundra, nämligen 3 hundra. Siffran 2 är antalet tior (1 tio), och siffran 4 är antalet enheter (4 enheter). I det här fallet kommer vi att säga att siffran 4 är på ettor och är värdet av enheterna i det givna numret. Siffran 1 är på tiotalsplatsen och fungerar som värdet på tiotalsplatsen. Siffran 3 är placerad på hundratalsplatsen och är värdet på hundratalsplatsen.

Definition 7

Ansvarsfrihetär positionen för en siffra i notationen av ett naturligt tal, samt värdet av denna siffra, som bestäms av dess position i ett givet tal.

Utsläppen har sina egna namn, vi har redan använt dem ovan. Från höger till vänster följer siffrorna: enheter, tiotals, hundratal, tusentals, tiotusentals osv.

För att underlätta memorering kan du använda följande tabell (vi anger 15 siffror):

Låt oss förtydliga denna detalj: antalet siffror i ett givet flersiffrigt nummer är detsamma som antalet tecken i nummerinmatningen. Den här tabellen innehåller till exempel namnen på alla siffror för ett nummer med 15 tecken. Efterföljande urladdningar har också namn, men används extremt sällan och är mycket obekvämt att lyssna på.

Med hjälp av en sådan tabell är det möjligt att utveckla färdigheten att bestämma rangen genom att skriva ett givet naturligt tal i tabellen så att siffran längst till höger skrivs i enheterna siffra och sedan i varje siffra för siffra. Låt oss till exempel skriva ett flersiffrigt naturligt tal 56 402 513 674 så här:

Var uppmärksam på siffran 0, som ligger i utsläppet av tiotals miljoner - det betyder frånvaron av enheter i denna kategori.

Vi introducerar också begreppen de lägsta och högsta siffrorna i ett flersiffrigt nummer.

Definition 8

Lägsta (junior) rang varje naturligt tal med flera värden är enhetssiffran.

Högsta (senior) kategori av valfritt flersiffrigt naturligt tal - siffran som motsvarar den siffra längst till vänster i notationen för det givna numret.

Så, till exempel, i talet 41 781: den lägsta rangen är rangen av enheter; den högsta rangen är tiotusentalssiffran.

Det följer logiskt att det är möjligt att tala om siffrornas senioritet i förhållande till varandra. Varje efterföljande siffra när du flyttar från vänster till höger är lägre (yngre) än den föregående. Och vice versa: när du flyttar från höger till vänster är varje nästa siffra högre (äldre) än den föregående. Till exempel är tusentalssiffran äldre än hundratalssiffran, men yngre än miljonsiffran.

Låt oss förtydliga att när man löser några praktiska exempel används inte det naturliga talet i sig, utan summan av bittermerna för ett givet tal.

Kort om decimaltalsystemet

Definition 9

Notation- en metod att skriva siffror med hjälp av tecken.

Positionsnummersystem- de där värdet av en siffra i talet beror på dess placering i numrets notation.

Enligt denna definition kan vi säga att vi, när vi studerade de naturliga talen och hur de skrivs ovan, använde positionstalssystemet. Nummer 10 spelar en speciell plats här. Vi fortsätter att räkna i tior: tio enheter gör tio, tio tior förenas till hundra, och så vidare. Siffran 10 fungerar som bas för detta talsystem, och själva systemet kallas också för decimal.

Utöver det finns andra nummersystem. Till exempel använder datavetenskap det binära systemet. När vi håller koll på tiden använder vi det sexagesimala talsystemet.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Matematik uppstod ur den allmänna filosofin runt 600-talet f.Kr. e. och från det ögonblicket började hennes segerrika marsch runt världen. Varje utvecklingsstadium introducerade något nytt - elementär räkning utvecklades, förvandlades till differential- och integralkalkyl, århundraden förändrades, formler blev mer och mer förvirrande, och ögonblicket kom när "den mest komplexa matematiken började - alla tal försvann från den." Men vad var grunden?

Tidernas begynnelse

Naturliga tal dök upp tillsammans med de första matematiska operationerna. En gång en ryggrad, två ryggar, tre ryggar ... De dök upp tack vare indiska forskare som härledde den första positionella

Ordet "positionalitet" betyder att platsen för varje siffra i ett nummer är strikt definierad och motsvarar dess kategori. Till exempel är siffrorna 784 och 487 samma siffror, men siffrorna är inte likvärdiga, eftersom den första innehåller 7 hundra, medan den andra endast 4. Indianernas innovation togs upp av araberna, som förde siffrorna till form som vi känner till nu.

I antiken gavs siffror mystisk betydelse, Pythagoras trodde att numret ligger till grund för skapandet av världen tillsammans med huvudelementen - eld, vatten, jord, luft. Om vi ​​bara betraktar allt från den matematiska sidan, vad är då ett naturligt tal? Fältet med naturliga tal betecknas som N och är en oändlig serie av tal som är heltal och positiva: 1, 2, 3, … + ∞. Noll är uteslutet. Den används främst för att räkna artiklar och ange ordning.

Vad är det i matematik? Peanos axiom

Fältet N är det basfält som elementär matematik bygger på. Med tiden har fälten heltal, rationella,

Arbetet av den italienske matematikern Giuseppe Peano möjliggjorde ytterligare strukturering av aritmetiken, uppnådde dess formalitet och banade väg för ytterligare slutsatser som gick bortom fältet N.

Vad som är ett naturligt tal, förtydligades tidigare i enkelt språk, nedan kommer vi att överväga en matematisk definition baserad på Peanos axiom.

• Ett anses vara ett naturligt tal.
• Talet som följer efter ett naturligt tal är ett naturligt tal.
• Det finns inget naturligt tal före ett.
• Om talet b följer både talet c och talet d, då c=d.
• Induktionens axiom, som i sin tur visar vad ett naturligt tal är: om något påstående som beror på en parameter är sant för talet 1, då antar vi att det också fungerar för talet n från fältet av naturliga tal N. Då påståendet är också sant för n =1 från fältet för naturliga tal N.

Grundläggande operationer för området naturliga tal

Eftersom fältet N blev det första för matematiska beräkningar hänvisar både definitionsdomänerna och värdeintervallen för ett antal operationer nedan till det. De är stängda och inte. Den största skillnaden är att slutna verksamheter garanterat lämnar ett resultat inom mängden N, oavsett vilka siffror det handlar om. Det räcker att de är naturliga. Resultatet av de återstående numeriska interaktionerna är inte längre så entydigt och beror direkt på vilken typ av tal som är inblandade i uttrycket, eftersom det kan strida mot huvuddefinitionen. Så, stängd verksamhet:

• addition - x + y = z, där x, y, z ingår i fältet N;
• multiplikation - x * y = z, där x, y, z ingår i N-fältet;
• exponentiering - x y , där x, y ingår i N-fältet.

De återstående operationerna, vars resultat kanske inte existerar inom ramen för definitionen "vad är ett naturligt tal", är följande:

Egenskaper för nummer som hör till fältet N

Alla ytterligare matematiska resonemang kommer att baseras på följande egenskaper, de mest triviala, men inte mindre viktiga.

• Den kommutativa egenskapen för addition är x + y = y + x, där talen x, y ingår i fältet N. Eller det välkända "summan förändras inte från en förändring av termernas platser."
• Den kommutativa egenskapen för multiplikation är x * y = y * x, där talen x, y ingår i fältet N.
• Den associativa egenskapen för addition är (x + y) + z = x + (y + z), där x, y, z ingår i fältet N.
• Den associativa egenskapen för multiplikation är (x * y) * z = x * (y * z), där talen x, y, z ingår i fältet N.
• distributionsegenskap - x (y + z) = x * y + x * z, där talen x, y, z ingår i fältet N.

Pythagoras bord

Ett av de första stegen i kunskapen om hela strukturen i elementär matematik av skolbarn, efter att de själva har förstått vilka tal som kallas naturliga, är den pythagoriska tabellen. Det kan betraktas inte bara ur vetenskapens synvinkel, utan också som ett värdefullt vetenskapligt monument.

Denna multiplikationstabell har genomgått ett antal förändringar över tiden: noll har tagits bort från den och siffror från 1 till 10 anger sig själva, utan att ta hänsyn till order (hundratals, tusentals ...). Det är en tabell där rubrikerna på rader och kolumner är siffror, och innehållet i cellerna i deras skärningspunkt är lika med deras produkt.

I praktiken av undervisning under de senaste decennierna har det funnits ett behov av att memorera den pythagoriska tabellen "i ordning", det vill säga memorering gick först. Multiplikation med 1 uteslöts eftersom resultatet var 1 eller högre. Under tiden, i tabellen med blotta ögat, kan du se ett mönster: produkten av siffror växer med ett steg, vilket är lika med radens titel. Således visar den andra faktorn oss hur många gånger vi behöver ta den första för att få den önskade produkten. Detta system är mycket bekvämare än det som praktiserades på medeltiden: till och med att förstå vad ett naturligt tal är och hur trivialt det är, lyckades människor komplicera sin vardagliga räkning med ett system baserat på tvåpotenser.

Delmängd som matematikens vagga

För tillfället betraktas fältet av naturliga tal N endast som en av delmängderna av komplexa tal, men detta gör dem inte mindre värdefulla inom vetenskapen. Ett naturligt tal är det första ett barn lär sig genom att studera sig själv och omvärlden. Ett finger, två fingrar ... Tack vare honom utvecklar en person logiskt tänkande, såväl som förmågan att fastställa orsaken och härleda effekten, vilket banar väg för stora upptäckter.

Definition

Naturliga tal kallas för tal avsedda för att räkna objekt. För att registrera naturliga tal används 10 arabiska siffror (0–9), som ligger till grund för det decimaltalssystem som allmänt accepteras för matematiska beräkningar.

Sekvens av naturliga tal

De naturliga talen utgör en serie som börjar på 1 och täcker mängden av alla positiva heltal. En sådan sekvens består av nummer 1,2,3, ... . Detta betyder att i den naturliga serien:

1. Det finns ett minsta antal och inget största.
2. Varje nästa nummer är större än det föregående med 1 (undantaget är själva enheten).
3. När siffrorna går till oändligheten växer de i det oändliga.

Ibland införs också 0 i en serie naturliga tal.Detta är tillåtet, och då talar man om förlängt naturlig serie.

Klasser av naturliga tal

Varje siffra i ett naturligt tal uttrycker en viss siffra. Den sista är alltid antalet enheter i talet, den före den är antalet tiotals, den tredje från slutet är antalet hundra, den fjärde är antalet tusen, och så vidare.

• i talet 276: 2 hundratal, 7 tiotal, 6 enheter
• i talet 1098: 1 tusen, 9 tior, 8 ettor; det finns ingen hundratalsplats här, eftersom den uttrycks som noll.

För stora och mycket stora siffror kan du se en stadig trend (om du undersöker siffran från höger till vänster, det vill säga från den sista siffran till den första):

• de tre sista siffrorna i talet är enheter, tiotal och hundra;
• de föregående tre är enheter, tiotals och hundratusentals;
• de tre framför dem (dvs. den 7:e, 8:e och 9:e siffran i talet, räknat från slutet) är enheter, tiotals och hundratals miljoner, etc.

Det vill säga, varje gång vi har att göra med tre siffror, vilket betyder enheter, tiotals och hundratals av ett större namn. Sådana grupper bildar klasser. Och om du måste ta itu med de tre första klasserna i vardagen mer eller mindre ofta, så bör andra listas, eftersom alla inte kommer ihåg sina namn utantill.

• Den fjärde klassen, som följer klassen av miljoner och representerar siffror på 10-12 siffror, kallas en miljard (eller en miljard);
• 5:e klass - biljoner;
• 6:e klass - quadrillion;
• 7:e klass - kvintiljon;
• 8:e klass - sextillion;
• 9:e klass - septillion.

Addition av naturliga tal

Adderingen av naturliga tal är en aritmetisk operation som gör att du kan få ett tal som innehåller lika många enheter som det finns i talen adderade.

Tecknet för addition är "+"-tecknet. Adderade tal kallas termer, resultatet kallas summan.

Små siffror läggs till (sammanfattade) muntligt, skriftligt skrivs sådana handlingar på en rad.

Flersiffriga tal, som är svåra att lägga till i sinnet, läggs vanligtvis till i en kolumn. För detta skrivs siffrorna under varandra, i linje med den sista siffran, det vill säga de skriver enhetssiffran under enhetssiffran, hundratalssiffran under hundratalsiffran och så vidare. Därefter måste du lägga till siffrorna i par. Om tillägg av siffror sker med en övergång genom en tio, så fixeras denna tio som en enhet ovanför siffran till vänster (det vill säga efter den) och adderas tillsammans med siffrorna i denna siffra.

Om inte 2, men fler siffror läggs till i kolumnen, kan inte 1 dussin, utan flera, vara överflödiga när man summerar siffrorna i kategorin. I detta fall överförs antalet sådana tiotal till nästa siffra.

Subtraktion av naturliga tal

Subtraktion är en aritmetisk operation, det omvända till addition, som kokar ner till det faktum att du, givet mängden och en av termerna, måste hitta en annan - en okänd term. Talet som subtraheras från kallas minuend; talet som subtraheras är subtrahenden. Resultatet av subtraktionen kallas skillnaden. Tecknet som anger subtraktionens operation är "-".

I övergången till addition förvandlas subtrahenden och skillnaden till termer och det reducerade till summan. Addition kontrollerar vanligtvis korrektheten av den utförda subtraktionen och vice versa.

Här är 74 minuend, 18 är subtrahend, 56 är skillnaden.

En förutsättning för att subtrahera naturliga tal är följande: minuend måste nödvändigtvis vara större än subtrahend. Endast i detta fall kommer den resulterande skillnaden också att vara ett naturligt tal. Om subtraktionsåtgärden utförs för en utökad naturlig serie, är det tillåtet att minuend är lika med subtrahend. Och resultatet av subtraktion i detta fall blir 0.

Notera: om subtrahenden är lika med noll, så ändrar inte subtraktionsoperationen värdet på minuend.

Subtraktion av flersiffriga tal görs vanligtvis i en kolumn. Skriv ner siffrorna på samma sätt som för addition. Subtraktion utförs för motsvarande siffror. Om det visar sig att minuenden är mindre än subtrahenden, så tas en från den föregående (till vänster) siffran, som efter överföringen naturligtvis övergår till 10. Denna tio summeras med siffran för den reducerade given siffra och sedan subtraherad. Vidare, när du subtraherar nästa siffra, är det nödvändigt att ta hänsyn till att den reducerade har blivit 1 mindre.

Produkt av naturliga tal

Produkten (eller multiplikationen) av naturliga tal är en aritmetisk operation, som är att hitta summan av ett godtyckligt antal identiska termer. För att spela in multiplikationsoperationen, använd tecknet "·" (ibland "×" eller "*"). Till exempel: 3 5=15.

Åtgärden av multiplikation är oumbärlig när det är nödvändigt att lägga till ett stort antal termer. Om du till exempel behöver lägga till talet 4 7 gånger, är det lättare att multiplicera 4 med 7 än att lägga till detta: 4+4+4+4+4+4+4.

Talen som multipliceras kallas faktorer, resultatet av multiplikationen är produkten. Följaktligen kan termen "arbete", beroende på sammanhanget, uttrycka både multiplikationsprocessen och dess resultat.

Flersiffriga tal multipliceras i en kolumn. För detta tal skrivs på samma sätt som för addition och subtraktion. Det rekommenderas att först skriva (ovanför) vilket av de två siffrorna som är längre. I det här fallet kommer multiplikationsprocessen att vara enklare och därför mer rationell.

När du multiplicerar i en kolumn, multipliceras siffrorna i var och en av siffrorna i det andra numret sekventiellt med siffrorna i det första talet, med början från dess slut. Efter att ha hittat det första sådana arbetet skriver de ner antalet enheter och har antalet tiotal i åtanke. När du multiplicerar siffran för det andra numret med nästa siffra i det första numret, läggs numret som du har i åtanke till produkten. Och igen skriver de ner antalet enheter av det erhållna resultatet och kommer ihåg antalet tiotal. När man multiplicerar med den sista siffran i det första talet, skrivs talet som erhålls på detta sätt ner i sin helhet.

Resultaten av att multiplicera siffrorna i den andra siffran i det andra numret skrivs i den andra raden och flyttar den 1 cell åt höger. Och så vidare. Som ett resultat kommer en "stege" att erhållas. Alla resulterande rader med siffror ska läggas till (enligt regeln för addition i en kolumn). Tomma celler bör anses vara fyllda med nollor. Den resulterande summan är slutprodukten.

Notera

1. Produkten av ett naturligt tal med 1 (eller 1 med ett tal) är lika med själva talet. Till exempel: 376 1=376; 186=86.
2. När en av faktorerna eller båda faktorerna är lika med 0, är ​​produkten lika med 0. Till exempel: 32·0=0; O 845=845; 0 0=0.

Division av naturliga tal

Division kallas en aritmetisk operation, med hjälp av vilken man, enligt en känd produkt och en av faktorerna, kan hitta en annan - okänd - faktor. Division är inversen av multiplikation och används för att kontrollera om en multiplikation har utförts korrekt (och vice versa).

Talet som delas kallas det delbara; talet som det delas med är divisorn; resultatet av en division kallas en kvot. Delningstecknet är ":" (ibland, mindre ofta - "÷").

Här är 48 utdelningen, 6 är divisorn och 8 är kvoten.

Alla naturliga tal kan inte delas mellan sig. I detta fall utförs division med en rest. Den består i det faktum att för divisorn väljs en sådan faktor så att dess produkt av divisorn skulle vara ett tal som i värde ligger så nära utdelningen som möjligt, men mindre än det. Divisorn multipliceras med denna faktor och subtraheras från utdelningen. Skillnaden blir resten av divisionen. Produkten av en divisor med en faktor kallas en ofullständig kvot. Observera: återstoden måste vara mindre än den valda multiplikatorn! Om återstoden är större, betyder det att multiplikatorn är felaktigt vald, och den bör ökas.

Vi väljer en faktor för 7. I det här fallet är detta nummer 5. Vi hittar en ofullständig kvot: 7 5 \u003d 35. Beräkna resten: 38-35=3. Sedan 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

Flersiffriga tal är uppdelade i en kolumn. För att göra detta skrivs utdelningen och divisorn sida vid sida, och separerar divisorn med en vertikal och horisontell linje. I utdelningen väljs den första siffran eller de första siffrorna (till höger), vilket ska vara ett tal som minst räcker för att dividera med en divisor (det vill säga att detta tal måste vara större än divisorn). För detta nummer väljs en ofullständig kvot, som beskrivs i regeln om division med en rest. Numret på multiplikatorn som används för att hitta partialkvoten skrivs under divisorn. Den ofullständiga kvoten skrivs under talet som delades, högerjusterat. Hitta deras skillnad. Nästa siffra i utdelningen demoleras genom att skriva den bredvid denna skillnad. För det resulterande talet hittas återigen en ofullständig kvot genom att skriva ner siffran för den valda faktorn, bredvid den föregående under divisorn. Och så vidare. Sådana åtgärder utförs tills siffrorna för utdelningen tar slut. Därefter anses uppdelningen vara avslutad. Om utdelningen och divisorn delas helt (utan rest), så kommer den sista skillnaden att ge noll. Annars kommer det återstående numret att returneras.

Exponentiering

Exponentiering är en matematisk operation som består i att multiplicera ett godtyckligt antal identiska tal. Till exempel: 2 2 2 2.

Sådana uttryck skrivs som: yxa,

var aär ett tal multiplicerat med sig själv xär antalet sådana faktorer.

Primtal och sammansatta naturliga tal

Alla naturliga tal, utom 1, kan delas med minst 2 tal - ett och sig själv. Baserat på detta kriterium delas naturliga tal in i primtal och sammansatta.

Primtal är tal som bara är delbara med 1 och sig själv. Tal som är delbara med fler än dessa 2 tal kallas sammansatta tal. En enhet som är delbar enbart av sig själv är varken primtal eller sammansatt.

Tal är primtal: 2,3,5,7,11,13,17,19 osv. Exempel på sammansatta tal: 4 (delbart med 1,2,4), 6 (delbart med 1,2,3,6), 20 (delbart med 1,2,4,5,10,20).

Alla sammansatta tal kan delas upp i primtalsfaktorer. I det här fallet förstås primtalsfaktorer som dess divisorer, som är primtal.

Ett exempel på faktorisering till primfaktorer:

Dividers av naturliga tal

En divisor är ett tal som ett givet tal kan delas med utan rest.

I enlighet med denna definition har enkla naturliga tal 2 divisorer, sammansatta tal har fler än 2 divisorer.

Många tal har gemensamma delare. Gemensam divisor är det tal som de givna talen är delbara med utan rest.

• Siffrorna 12 och 15 har en gemensam divisor 3
• Siffrorna 20 och 30 har gemensamma delare 2,5,10

Av särskild betydelse är den största gemensamma divisorn (GCD). Särskilt detta nummer är användbart för att kunna hitta för reducerande fraktioner. För att hitta det krävs att de givna talen delas upp i primtalsfaktorer och presenteras som produkten av deras gemensamma primtalsfaktorer, tagna i deras minsta potenser.

Det krävs att man hittar GCD för siffrorna 36 och 48.

Delbarhet av naturliga tal

Det är långt ifrån alltid möjligt att avgöra "med ögat" om ett tal är delbart med ett annat utan rest. I sådana fall är motsvarande delbarhetstest användbart, det vill säga regeln som på några sekunder kan avgöra om det är möjligt att dividera tal utan en rest. Tecknet "" används för att indikera delbarhet.

Minsta gemensamma nämnare

Detta värde (betecknat LCM) är det minsta tal som är delbart med var och en av de givna. LCM kan hittas för en godtycklig uppsättning naturliga tal.

LCM, liksom GCD, har en betydande tillämpad betydelse. Så det är LCM som måste hittas genom att reducera vanliga bråk till en gemensam nämnare.

LCM bestäms genom att faktorisera de givna talen i primtalsfaktorer. För dess bildande tas en produkt, bestående av var och en av de förekommande (åtminstone för 1 nummer) primtalsfaktorer representerade i maximal grad.

Det krävs att man hittar LCM för siffrorna 14 och 24.

Medel

Det aritmetiska medelvärdet av ett godtyckligt (men ändligt) antal naturliga tal är summan av alla dessa tal dividerat med antalet termer:

Det aritmetiska medelvärdet är ett medelvärde för en taluppsättning.

Siffrorna 2,84,53,176,17,28 anges. Det krävs för att hitta deras aritmetiska medelvärde.