Spojni sistem ax in se imenuje nedoločen če. Reševanje sistemov linearnih algebraičnih enačb, metode reševanja, primeri

Sistem se imenuje sklep, oz rešljivače ima vsaj eno rešitev. Sistem se imenuje nezdružljivo, oz nerešljivče nima rešitev.

Določen, nedoločen SLAE.

Če ima SLAE rešitev in je edinstven, se imenuje gotovo in če rešitev ni edinstvena, potem negotovo.

MATRIČNE ENAČBE

Matrice omogočajo na kratko zapisati sistem linearnih enačb. Naj bo podan sistem 3 enačb s tremi neznankami:

Razmislite o matriki sistema in matrični stolpci neznanih in prostih članov

Poiščimo izdelek

tiste. kot rezultat produkta dobimo leve strani enačb tega sistema. Nato z uporabo definicije matrične enakosti lahko ta sistem zapišemo kot

ali krajše A∙X=B.

Tukaj matrice A in B so znane, in matrika X neznano. Treba jo je najti, ker. njeni elementi so rešitev tega sistema. Ta enačba se imenuje matrična enačba.

Naj je determinanta matrike drugačna od nič | A| ≠ 0. Nato se matrična enačba reši na naslednji način. Obe strani enačbe na levi pomnožite z matriko A-1, inverzno od matrike A: . V kolikor A -1 A = E in E∙X=X, potem dobimo rešitev matrične enačbe v obliki X = A -1 B .

Upoštevajte, da ker lahko inverzno matriko najdemo samo za kvadratne matrike, lahko matrična metoda reši le tiste sisteme, v katerih število enačb je enako številu neznank.

Cramerjeve formule

Cramerjeva metoda je, da zaporedoma najdemo glavni sistemski identifikator, tj. determinanta matrike A: D = det (a i j) in n pomožne determinante D i (i= ), ki jih dobimo iz determinante D tako, da i-ti stolpec zamenjamo s stolpcem prostih členov.

Cramerjeve formule izgledajo takole: D × x i = D i (i = ).

To pomeni Cramerjevo pravilo, ki daje izčrpen odgovor na vprašanje združljivosti sistema: če je glavna determinanta sistema drugačna od nič, ima sistem edinstveno rešitev, določeno s formulami: x i = D i / D.

Če je glavna determinanta sistema D in vse pomožne determinante D i = 0 (i= ), potem ima sistem neskončno število rešitev. Če je glavna determinanta sistema D = 0 in vsaj ena pomožna determinanta drugačna od nič, je sistem nedosleden.

Izrek (Cramerjevo pravilo): Če je determinanta sistema Δ ≠ 0, ima obravnavani sistem eno in samo eno rešitev in

Dokaz: Torej, razmislite o sistemu 3 enačb s tremi neznankami. Pomnožite 1. enačbo sistema z algebraičnim komplementom A 11 element a 11, 2. enačba - na A21 in 3. - naprej A 31:

Dodajmo te enačbe:

Razmislite o vsakem oklepaju in desni strani te enačbe. Po izreku o razširitvi determinante glede na elemente 1. stolpca.

Podobno je mogoče pokazati, da in .

Končno je to enostavno videti

Tako dobimo enakost: . Zato,.

Enakosti in so izpeljane podobno, od koder sledi trditev izreka.

Kronecker-Capellijev izrek.

Sistem linearnih enačb je konsistenten, če in samo če je rang matrike sistema enak rangu razširjene matrike.

Dokaz: Razpade na dve stopnji.

1. Naj ima sistem rešitev. Pokažimo to.

Naj nabor številk je rešitev sistema. Označimo z -tim stolpcem matrike, . Potem je stolpec prostih izrazov linearna kombinacija stolpcev matrike. Naj bo . Pretvarjajmo se . Nato po . Izbiramo v osnovnem molu . Ima red. Stolpec prostih članov mora iti skozi ta minor, sicer bo osnovni minor matrike. Stolpec prostih izrazov v molu je linearna kombinacija stolpcev matrike. Na podlagi lastnosti determinante, kjer je determinanta, ki jo dobimo iz minora z zamenjavo stolpca prostih členov s stolpcem. Če je stolpec šel skozi manjše M, potem bo v , bosta dva enaka stolpca in zato . Če stolpec ni šel skozi minor, se bo od minora reda r + 1 matrike razlikoval le po vrstnem redu stolpcev. Od takrat . Kar je torej v nasprotju z definicijo osnovnega minora. Zato je predpostavka, da , napačna.

2. Naj . Pokažimo, da ima sistem rešitev. Ker je potem osnovni minor matrike osnovni minor matrike. Pustite, da stebri potekajo skozi minor . Potem je po osnovnem minornem izreku v matriki stolpec prostih izrazov linearna kombinacija navedenih stolpcev:

(1)

Postavimo , , , , in vzamemo preostale neznanke enake nič. Potem za te vrednosti dobimo

Na podlagi enakosti (1) . Zadnja enakost pomeni, da je množica številk je rešitev sistema. Obstoj rešitve je dokazan.

V zgoraj obravnavanem sistemu , in sistem je konsistenten. V sistemu , , in sistem je nedosleden.

Opomba: Čeprav Kronecker-Capellijev izrek omogoča ugotavljanje, ali je sistem konsistenten, se uporablja precej redko, predvsem v teoretični študij. Razlog je v tem, da so izračuni pri iskanju ranga matrike v osnovi enaki izračunom pri iskanju rešitve sistema. Zato običajno namesto iskanja in iščemo rešitev sistema. Če ga lahko najdemo, potem izvemo, da je sistem konsistenten in hkrati dobimo njegovo rešitev. Če rešitve ni mogoče najti, potem sklepamo, da je sistem nedosleden.

Algoritem za iskanje rešitev poljubnega sistema linearnih enačb (Gaussova metoda)

Naj bo podan sistem linearnih enačb z neznankami. Treba je najti njeno splošno rešitev, če je konsistentna, ali ugotoviti njeno nedoslednost. Metoda, ki bo predstavljena v tem poglavju, je blizu metodi izračuna determinante in metodi iskanja ranga matrike. Predlagani algoritem se imenuje Gaussova metoda oz metoda zaporednega odpravljanja neznank.

Napišimo povečano matriko sistema

Naslednje operacije z matrikami imenujemo osnovne operacije:

1. permutacija vrstic;

2. množenje niza z ničelnim številom;

3. seštevanje niza z drugim nizom, pomnoženim s številom.

Upoštevajte, da pri reševanju sistema enačb, v nasprotju z izračunom determinante in iskanjem ranga, ni mogoče delovati s stolpci. Če se sistem enačb obnovi iz matrike, pridobljene z elementarno operacijo, potem nov sistem bo enak izvirniku.

Cilj algoritma je z uporabo zaporedja elementarnih operacij na matriko zagotoviti, da se vsaka vrstica, razen morda prve, začne z ničlami in število ničel do prvega neničelnega elementa v vsakem naslednjem. vrstica je večja kot v prejšnji.

Korak algoritma je naslednji. Poiščite prvi neničelni stolpec v matriki. Naj bo stolpec s številko. V njem najdemo element, ki ni nič, in vrstico s tem elementom zamenjamo s prvo vrstico. Da ne bi nabirali dodatnih zapisov, bomo domnevali, da je bila taka sprememba vrstic v matriki že narejena, to je. Nato v drugo vrstico dodamo prvo, pomnoženo s številom, v tretjo vrstico dodamo prvo, pomnoženo s številom itd. Kot rezultat dobimo matriko

(Prvi ničelni stolpci običajno manjkajo.)

Če je v matriki vrstica s številko k, v kateri so vsi elementi enaki nič, in , potem ustavimo izvajanje algoritma in ugotovimo, da je sistem nedosleden. Dejansko, ko obnovimo sistem enačb iz razširjene matrike, dobimo, da bo -ta enačba imela obliko

Ta enačba ne izpolnjuje nobenega niza številk .

Matriko lahko zapišemo kot

Glede na matriko izvedemo opisani korak algoritma. Pridobite matriko

kje , . To matriko lahko ponovno zapišemo kot

in zgornji korak algoritma se ponovno uporabi za matriko.

Postopek se ustavi, če je po izvedbi naslednjega koraka nova zmanjšana matrika sestavljena samo iz nič ali če so vse vrstice izčrpane. Upoštevajte, da bi sklep o nezdružljivosti sistema lahko ustavil proces še prej.

Če matrike ne bi zmanjšali, bi na koncu prišli do matrike oblike

Nato se izvede tako imenovani povratni prehod Gaussove metode. Na podlagi matrike sestavimo sistem enačb. Na levi strani pustimo neznanke s številkami, ki ustrezajo prvim elementom, ki niso nič v vsaki vrstici, to je . Upoštevajte, da. Preostale neznanke se prenesejo na desno stran. Glede na to, da so neznanke na desni strani neke fiksne količine, je neznanke na levi strani enostavno izraziti z njimi.

Zdaj, ko damo poljubne vrednosti neznankam na desni strani in izračunamo vrednosti spremenljivk na levi strani, bomo našli različne rešitve originalni sistem Ax=b. Za zapis splošne rešitve je potrebno neznanke na desni strani v poljubnem vrstnem redu označiti s črkami , vključno s tistimi neznankami, ki niso izrecno zapisane na desni strani zaradi ničelnih koeficientov, nato pa lahko stolpec neznank zapišemo kot stolpec, kjer je vsak element linearna kombinacija poljubnih vrednosti (zlasti samo poljubna vrednost). Ta vnos bo splošna rešitev sistema.

Če je bil sistem homogen, dobimo splošno rešitev homogenega sistema. Koeficienti at, vzeti v vsakem elementu stolpca splošne rešitve, bodo sestavljali prvo rešitev iz temeljnega sistema rešitev, koeficienti at - drugo rešitev itd.

Metoda 2: Temeljni sistem rešitev homogenega sistema lahko dobimo na drug način. Če želite to narediti, je treba eni spremenljivki, preneseni na desno stran, dodeliti vrednost 1, preostalim - nič. Z izračunom vrednosti spremenljivk na levi strani dobimo eno rešitev iz temeljnega sistema. Če drugi spremenljivki na desni strani dodelimo vrednost 1, ostalim pa nič, dobimo drugo rešitev iz temeljnega sistema itd.

Opredelitev: sistem se imenuje skupaj th, če ima vsaj eno rešitev, in nekonsistentna - drugače, torej v primeru, ko sistem nima rešitev. Vprašanje, ali ima sistem rešitev ali ne, ni povezano le z razmerjem med številom enačb in številom neznank. Na primer sistem treh enačb z dvema neznankama

ima rešitev in ima celo neskončno veliko rešitev, vendar sistem dveh enačb s tremi neznankami.

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

Ta sistem je vedno konsistenten, saj ima trivialno rešitev x 1 =…=x n =0

Za obstoj netrivialnih rešitev je to potrebno in zadostno

pogoji r = r(A)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.

Th Množica rešitev SLAE tvori linearni prostor dimenzij (n-r). To pomeni, da sta produkt njegove rešitve s številom, pa tudi vsota in linearna kombinacija končnega števila njegovih rešitev rešitve tega sistema. Prostor linearnih rešitev katerega koli SLAE je podprostor prostora R n .

Vsak niz (n-r) linearno neodvisnih rešitev SLAE (ki je osnova v prostoru rešitev) se imenuje temeljni nabor rešitev (FSR).

Naj so х 1 ,…,х r osnovne neznanke, х r +1 ,…,х n proste neznanke. Po vrsti damo proste spremenljivke naslednje vrednosti:

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

Tvori linearni prostor S (prostor rešitev), ki je podprostor v R n (n je število neznank), in dims=k=n-r, kjer je r rang sistema. Osnova v prostoru rešitev (x (1) ,…, x (k) ) se imenuje temeljni sistem rešitev in splošna rešitev ima obliko:

X=c 1 x (1) + … + c k x (k) , c (1) ,…, c (k) ? R

Višja matematika » Linearni sistemi algebraične enačbe» Osnovni izrazi. Matrični zapis.

Sistem linearnih algebraičnih enačb. Osnovni izrazi. Matrični zapis.

Definicija sistema linearnih algebraičnih enačb. Sistemska rešitev. Razvrstitev sistemov.
Matrična oblika zapisovanja sistemov linearnih algebraičnih enačb.

Definicija sistema linearnih algebraičnih enačb. Sistemska rešitev. Razvrstitev sistemov.

Spodaj sistem linearnih algebraičnih enačb(SLAE) pomenijo sistem

\begin(enačba) \left \( \begin(poravnano) & a_(11)x_1+a_(12)x_2+a_(13)x_3+\ldots+a_(1n)x_n=b_1;\\ & a_(21) x_1+a_(22)x_2+a_(23)x_3+\ldots+a_(2n)x_n=b_2;\\ & \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ ldots \\ & a_(m1)x_1+a_(m2)x_2+a_(m3)x_3+\ldots+a_(mn)x_n=b_m.\end(poravnano) \desno.\end(enačba)

Parametri $a_(ij)$ ($i=\overline(1,m)$, $j=\overline(1,n)$) se imenujejo koeficienti, in $b_i$ ($i=\overline(1,m)$) - brezplačni člani SLAU. Včasih, da bi poudarili število enačb in neznank, rečejo "$m\krat n$ sistem linearnih enačb" - s čimer nakazujejo, da SLAE vsebuje $m$ enačb in $n$ neznank.

Če so vsi prosti izrazi $b_i=0$ ($i=\overline(1,m)$), se imenuje SLAE homogena. Če je med prostimi člani vsaj eden, ki ni nič, se kliče SLAE heterogena.

Sklep SLAU(1) katera koli urejena zbirka števil ($\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n$) je poklicana, če so elementi te zbirke v določenem vrstnem redu zamenjani za neznanke $x_1,x_2,\ldots,x_n$ , obrni vsako enačbo SLAE v identiteto.

Vsaka homogena SLAE ima vsaj eno rešitev: nič(v drugačni terminologiji - trivialno), t.j. $x_1=x_2=\ldots=x_n=0$.

Če ima SLAE (1) vsaj eno rešitev, se imenuje sklepče ni rešitev, nezdružljivo. Če ima skupni SLAE natanko eno rešitev, se imenuje gotovo, če je neskončno število rešitev - negotovo.

Primer #1

Razmislite o SLAE

\begin(enačba) \left \( \begin(poravnano) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5 0.\\ \end(poravnano)\desno.\end(enačba)

Imamo sistem linearnih algebraičnih enačb, ki vsebuje $3$ enačbe in $5$ neznanke: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$. Lahko rečemo, da je podan sistem linearnih enačb $3\krat 5$.

Koeficienti sistema (2) so števila pred neznankami. Na primer, v prvi enačbi so te številke: $3,-4,1,7,-1$. Prosti člani sistema so predstavljeni s številkami $11,-65,0$. Ker je med prostimi člani vsaj eden, ni nič, potem je SLAE (2) nehomogen.

Urejena zbirka $(4;-11;5;-7;1)$ je rešitev tega SLAE. To je enostavno preveriti, če zamenjate $x_1=4; x_2=-11; x_3=5; x_4=-7; x_5=1$ v enačbe danega sistema:

\begin(poravnano) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=3\cdot4-4\cdot(-11)+5+7\cdot(-7)-1=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5 =2\cdot 4+10\cdot (-7)-3\cdot 1=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5=3\cdot (-11)+19\cdot 5+8\cdot ( -7)-6\cdot 1=0. \\ \end (poravnano)

Seveda se postavlja vprašanje, ali je preverjena rešitev edina. Vprašanje števila rešitev SLAE bo obravnavano v ustrezni temi.

Primer #2

Razmislite o SLAE

\begin(enačba) \left \( \begin(poravnano) & 4x_1+2x_2-x_3=0;\\ & 10x_1-x_2=0;\\ & 5x_2+4x_3=0; \\ & 3x_1-x_3=0; \\ & 14x_1+25x_2+5x_3=0.\end(poravnano) \desno.\end(enačba)

Sistem (3) je SLAE, ki vsebuje $5$ enačbe in $3$ neznanke: $x_1,x_2,x_3$. Ker so vsi prosti členi tega sistema enaki nič, je SLAE (3) homogen. Preprosto je preveriti, ali je zbirka $(0;0;0)$ rešitev za dani SLAE. Če na primer $x_1=0, x_2=0,x_3=0$ nadomestimo v prvo enačbo sistema (3), dobimo pravilno enakost: $4x_1+2x_2-x_3=4\cdot 0+2\cdot 0 -0=0$. Na podoben način se izvede substitucija v druge enačbe.

Matrična oblika zapisovanja sistemov linearnih algebraičnih enačb.

Z vsakim SLAE je mogoče povezati več matrik; poleg tega lahko sam SLAE zapišemo kot matrično enačbo. Za SLAE (1) upoštevajte naslednje matrike:

Imenuje se matrika $A$ sistemska matrika. Elementi te matrike so koeficienti danega SLAE.

Imenuje se matrika $\widetilde(A)$ razširjeni matrični sistem. Dobimo ga tako, da v sistemsko matriko dodamo stolpec, ki vsebuje proste člane $b_1,b_2,…,b_m$. Običajno je ta stolpec ločen z navpično črto - zaradi jasnosti.

Pokliče se matrika stolpcev $B$ matrika prostih izrazov in matrika stolpcev $X$ - matrika neznank.

Z uporabo zgoraj predstavljenega zapisa lahko SLAE (1) zapišemo v obliki matrične enačbe: $A\cdot X=B$.

Opomba

Matrice, povezane s sistemom, je mogoče zapisati različne poti: vse je odvisno od vrstnega reda spremenljivk in enačb obravnavane SLAE. V vsakem primeru pa mora biti vrstni red neznank v vsaki enačbi dane SLAE enak (glej primer št. 4).

Primer #3

Napišite SLAE $ \left \( \begin(poravnano) & 2x_1+3x_2-5x_3+x_4=-5;\\ & 4x_1-x_3=0;\\ & 14x_2+8x_3+x_4=-11. \end(poravnano) \right.$ v matrični obliki in podajte razširjeno matriko sistema.

Imamo štiri neznanke, ki v vsaki enačbi sledijo v tem vrstnem redu: $x_1,x_2,x_3,x_4$. Matrica neznank bo: $\left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right)$.

Prosti člani tega sistema so izraženi s številkami $-5,0,-11$, zato ima matrika prostih članov obliko: $B=\left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(matrika)\desno)$.

Pojdimo na sestavljanje matrike sistema. Prva vrstica te matrike bo vsebovala koeficiente prve enačbe: $2,3,-5,1$.

V drugi vrstici zapišemo koeficiente druge enačbe: $4,0,-1,0$. Pri tem je treba upoštevati, da sta koeficienta sistema s spremenljivkama $x_2$ in $x_4$ v drugi enačbi enaka nič (ker teh spremenljivk v drugi enačbi ni).

V tretji vrstici matrike sistema zapišemo koeficiente tretje enačbe: $0,14,8,1$. Upoštevamo enakost nič koeficienta pri spremenljivki $x_1$ (te spremenljivke v tretji enačbi ni). Sistemska matrica bo videti takole:

$$ A=\left(\begin(matrika) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) $$

Da bo odnos med sistemsko matriko in sistemom samim bolj jasen, bom dano SLAE in njeno sistemsko matriko zapisal vzporedno:

V matrični obliki bo dani SLAE izgledal kot $A\cdot X=B$. V razširjenem vnosu:

$$ \left(\begin(matrika) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) \cdot \left(\begin(matrika) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(matrika) \right) = \left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(matrika) \desno) $$

Napišimo povečano matriko sistema. Če želite to narediti, v sistemsko matriko $ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \ end(array) \right) $ dodaj stolpec prostih izrazov (tj. $-5,0,-11$). Dobimo: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (cccc|c) 2 & 3 & -5 & 1 & -5 \\ 4 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 14 & 8 & 1 & -11 \end(matrika) \desno) $.

Primer #4

Napišite SLAE $ \left \(\begin(poravnano) & 3y+4a=17;\\ & 2a+4y+7c=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & 5a-c=-4 .\end(aligned)\right.$ v matrični obliki in podajte razširjeno matriko sistema.

Kot lahko vidite, je vrstni red neznank v enačbah tega SLAE drugačen. Na primer, v drugi enačbi je vrstni red: $a,y,c$, v tretji enačbi pa: $c,y,a$. Preden zapišemo SLAE v matrični obliki, mora biti vrstni red spremenljivk v vseh enačbah enak.

Spremenljivke lahko razvrstite v enačbah danega SLAE različne poti(število načinov za ureditev treh spremenljivk je $3!=6$). Razmislil bom o dveh načinih naročanja neznank.

Metoda številka 1

Predstavimo naslednji vrstni red: $c,y,a$. Prepišimo sistem in vanj postavimo neznanke nujen red: $\left \(\begin(poravnano) & 3y+4a=17;\\ & 7c+4y+2a=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & -c+5a=-4 .\end(poravnano)\desno.$

Zaradi jasnosti bom SLAE zapisal na naslednji način: $\left \(\begin(aligned) & 0\cdot c+3\cdot y+4\cdot a=17;\\ & 7\cdot c+4\cdot y+ 2\cdot a=10;\\ & 8\cdot c+5\cdot y-9\cdot a=25; \\ & -1\cdot c+0\cdot y+5\cdot a=-4. \ end(poravnano)\desno.$

Sistemska matrika je: $ A=\left(\begin(array) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end( niz) \desno) $. Matrica prostih članov: $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$. Ko pišete matriko neznank, si zapomnite vrstni red neznank: $X=\left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right)$. Torej, matrična oblika danega SLAE je naslednja: $A\cdot X=B$. Razširjeno:

$$ \left(\begin(matrika) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end(matrika) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(matrika) \desno) $$

Razširjena sistemska matrika je: $\left(\begin(array) (ccc|c) 0 & 3 & 4 & 17 \\ 7 & 4 & 2 & 10\\ 8 & 5 & -9 & 25 \\ -1 & 0 & 5 & -4 \end(matrika) \desno) $.

Metoda številka 2

Predstavimo naslednji vrstni red: $a,c,y$. Prepišimo sistem in postavimo neznanke v zahtevani vrstni red: $\left \( \begin(aligned) & 4a+3y=17;\\ & 2a+7c+4y=10;\\ & -9a+8c+5y =25; \ \ & 5a-c=-4.\end(poravnano)\desno.$

Zaradi jasnosti bom SLAE zapisal na naslednji način: $\left \( \begin(aligned) & 4\cdot a+0\cdot c+3\cdot y=17;\\ & 2\cdot a+7\cdot c+ 4\cdot y=10;\\ & -9\cdot a+8\cdot c+5\cdot y=25; \\ & 5\cdot c-1\cdot c+0\cdot y=-4. \ end(poravnano)\desno.$

Sistemska matrika je: $ A=\left(\begin(array) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end( niz)\desno)$. Matrica prostih članov: $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$. Ko pišete matriko neznank, si zapomnite vrstni red neznank: $X=\left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right)$. Torej, matrična oblika danega SLAE je naslednja: $A\cdot X=B$. Razširjeno:

$$ \left(\begin(matrika) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end(matrika) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(matrika) \desno) $$

Razširjena sistemska matrika je: $\left(\begin(array) (ccc|c) 4 & 0 & 3 & 17 \\ 2 & 7 & 4 & 10\\ -9 & 8 & 5 & 25 \\ 5 & - 1 & 0 & -4 \end(matrika) \desno) $.

Kot lahko vidite, je spreminjanje vrstnega reda neznank enakovredno prerazporeditvi stolpcev sistemske matrike. Toda ne glede na to, kakšna je ta razporeditev neznank, se mora ujemati v vseh enačbah danega SLAE.

Linearne enačbe

Linearne enačbe- relativno preprosta matematična tema, ki jo pogosto najdemo v nalogah iz algebre.

Sistemi linearnih algebraičnih enačb: osnovni pojmi, vrste

Ugotovimo, kaj je to in kako se rešujejo linearne enačbe.

običajno, linearna enačba je enačba v obliki ax + c = 0, kjer sta a in c poljubni števili ali koeficienti, x pa je neznano število.

Na primer, linearna enačba bi bila:

Rešitev linearnih enačb.

Kako rešiti linearne enačbe?

Reševanje linearnih enačb je precej enostavno. Za to se uporablja matematična tehnika, kot npr preoblikovanje identitete. Ugotovimo, kaj je.

Primer linearne enačbe in njena rešitev.

Naj bo ax + c = 10, kjer je a = 4, c = 2.

Tako dobimo enačbo 4x + 2 = 10.

Da bi bilo to lažje in hitreje rešiti, bomo uporabili prvo metodo preoblikovanje identitete- to pomeni, da vsa števila prenesemo na desno stran enačbe, neznano 4x pa pustimo na levi strani.

Pridobite:

Tako se enačba zmanjša na zelo preprost problem za začetnike. Ostaja le, da uporabite drugo metodo identične transformacije - pustite x na levi strani enačbe, prenesite številke na desno stran. Dobimo:

izpit:

4x + 2 = 10, kjer je x = 2.

Odgovor je pravilen.

Graf linearne enačbe.

Pri reševanju linearnih enačb z dvema spremenljivkama se pogosto uporablja tudi metoda risbe. Dejstvo je, da ima enačba v obliki ax + wy + c \u003d 0 praviloma veliko rešitev, saj se veliko številk prilega mestu spremenljivk in v vseh primerih enačba ostane resnična.

Zato je za lažjo nalogo zgrajen graf linearne enačbe.

Če ga želite zgraditi, je dovolj, da vzamete en par spremenljivih vrednosti - in jih označite s točkami na koordinatni ravnini, skozi njih narišete ravno črto. Vse točke na tej premici bodo različice spremenljivk v naši enačbi.

Izrazi, pretvorba izrazov

Vrstni red dejanj, pravila, primeri.

Številčni, literalni in izrazi s spremenljivkami v svojem zapisu lahko vsebujejo različne znake aritmetične operacije. Pri pretvorbi izrazov in izračunu vrednosti izrazov se dejanja izvajajo v določenem vrstnem redu, z drugimi besedami, morate upoštevati vrstni red dejanj.

V tem članku bomo ugotovili, katera dejanja je treba izvesti najprej in katera po njih. Začnimo z največ preprostih primerih kadar izraz vsebuje samo števila ali spremenljivke, povezane s plusom, minusom, množenjem in deljenjem. Nato bomo razložili, kakšen vrstni red izvajanja dejanj je treba upoštevati v izrazih z oklepaji. Na koncu razmislite o zaporedju, v katerem se dejanja izvajajo v izrazih, ki vsebujejo pooblastila, korenine in druge funkcije.

Najprej množenje in deljenje, nato seštevanje in odštevanje

Šola zagotavlja naslednje pravilo, ki določa vrstni red, v katerem se dejanja izvajajo v izrazih brez oklepajev:

dejanja se izvajajo v vrstnem redu od leve proti desni,
kjer se najprej izvede množenje in deljenje, nato pa seštevanje in odštevanje.

Navedeno pravilo se dojema povsem naravno. Izvajanje dejanj po vrstnem redu od leve proti desni je razloženo z dejstvom, da je običajno, da vodimo evidence od leve proti desni. In dejstvo, da se množenje in deljenje izvajata pred seštevanjem in odštevanjem, je razloženo s pomenom, ki ga ta dejanja nosijo v sebi.

Oglejmo si nekaj primerov uporabe tega pravila. Za primere bomo vzeli najpreprostejše številčne izraze, da nas ne motijo izračuni, ampak se osredotočimo na vrstni red, v katerem se dejanja izvajajo.

Sledite korakom 7−3+6.

Izvirni izraz ne vsebuje oklepajev, prav tako ne vsebuje množenja in deljenja. Zato bi morali vsa dejanja izvesti po vrstnem redu od leve proti desni, torej najprej od 7 odštejemo 3, dobimo 4, nato dobljeni razliki 4 dodamo 6, dobimo 10.

Na kratko lahko rešitev zapišemo takole: 7−3+6=4+6=10.

Navedite vrstni red, v katerem se dejanja izvajajo v izrazu 6:2·8:3.

Za odgovor na vprašanje problema se obrnimo na pravilo, ki označuje vrstni red, v katerem se dejanja izvajajo v izrazih brez oklepajev. Izvirni izraz vsebuje le operacije množenja in deljenja, po pravilu pa jih je treba izvajati v vrstnem redu od leve proti desni.

Najprej delite 6 z 2, ta količnik pomnožite z 8 in na koncu rezultat delite s 3.

Osnovni koncepti. Sistemi linearnih enačb

Izračunaj vrednost izraza 17−5 6:3−2+4:2.

Najprej ugotovimo, v kakšnem vrstnem redu je treba izvesti dejanja v izvirnem izrazu. Vključuje množenje in deljenje ter seštevanje in odštevanje.

Najprej morate od leve proti desni opraviti množenje in deljenje. Torej pomnožimo 5 s 6, dobimo 30, to število delimo s 3, dobimo 10. Sedaj delimo 4 z 2, dobimo 2. Najdeno vrednost nadomestimo z 10 namesto 5 6: 3 v izvirnem izrazu, in vrednost 2 namesto 4:2, imamo 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2.

V dobljenem izrazu ni več množenja in deljenja, zato je treba preostala dejanja izvesti v vrstnem redu od leve proti desni: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7.

17−5 6:3−2+4:2=7.

Sprva, da ne bi zamenjali vrstnega reda izvajanja dejanj pri izračunu vrednosti izraza, je priročno postaviti številke nad znake dejanj, ki ustrezajo vrstnemu redu, v katerem se izvajajo. V prejšnjem primeru bi bilo videti takole: .

Pri delu z dobesednimi izrazi je treba upoštevati enak vrstni red operacij – najprej množenje in deljenje, nato seštevanje in odštevanje.

Vrh strani

1. in 2. korak

V nekaterih matematičnih učbenikih obstaja delitev aritmetičnih operacij na operacije prvega in drugega koraka. Opravimo se s tem.

V tem smislu bo pravilo iz prejšnjega odstavka, ki določa vrstni red izvajanja dejanj, zapisano takole: če izraz ne vsebuje oklepajev, potem v vrstnem redu od leve proti desni, dejanja druge stopnje ( najprej se izvedejo množenje in deljenje), nato pa dejanja prve stopnje (seštevanje in odštevanje).

Vrh strani

Vrstni red izvajanja aritmetičnih operacij v izrazih z oklepaji

Izrazi pogosto vsebujejo oklepaje, ki označujejo vrstni red, v katerem je treba izvesti dejanja. V tem primeru pravilo, ki določa vrstni red, v katerem se dejanja izvajajo v izrazih z oklepaji, je oblikovan takole: najprej se izvedejo dejanja v oklepajih, medtem ko se izvedeta tudi množenje in deljenje po vrstnem redu od leve proti desni, nato seštevanje in odštevanje.

Torej se izrazi v oklepajih obravnavajo kot sestavine izvirnega izraza in v njih je ohranjen vrstni red dejanj, ki smo jih že poznali. Za večjo jasnost razmislite o rešitvah primerov.

Naredite navedene korake 5+(7−2 3) (6−4):2.

Izraz vsebuje oklepaje, zato najprej izvedemo dejanja v izrazih, ki so v teh oklepajih. Začnimo z izrazom 7−2 3. V njej morate najprej opraviti množenje in šele nato odštevanje, imamo 7−2 3=7−6=1. Preidemo na drugi izraz v oklepajih 6−4. Tukaj je samo eno dejanje - odštevanje, izvedemo ga 6−4=2.

Dobljene vrednosti nadomestimo v izvirni izraz: 5+(7−2 3) (6−4):2=5+1 2:2. V dobljenem izrazu najprej izvedemo množenje in deljenje od leve proti desni, nato odštevanje, dobimo 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6. Na tem so vsa dejanja zaključena, držali smo se naslednjega vrstnega reda njihovega izvajanja: 5+(7−2 3) (6−4):2.

Zapišimo kratka rešitev: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2=5+1=6.

5+(7−2 3)(6−4):2=6.

Zgodi se, da izraz vsebuje oklepaje v oklepajih. Tega se ne bi smeli bati, le dosledno morate uporabljati izrečeno pravilo za izvajanje dejanj v izrazih z oklepaji. Pokažimo primer rešitve.

Izvedite dejanja v izrazu 4+(3+1+4 (2+3)).

To je izraz z oklepaji, kar pomeni, da se mora izvajanje dejanj začeti z izrazom v oklepaju, torej s 3 + 1 + 4 (2 + 3).

Ta izraz vsebuje tudi oklepaje, zato morate v njih najprej izvesti dejanja. Naredimo to: 2+3=5. Če zamenjamo najdeno vrednost, dobimo 3+1+4 5. V tem izrazu najprej izvedemo množenje, nato seštevanje, imamo 3+1+4 5=3+1+20=24. Začetna vrednost po zamenjavi te vrednosti dobi obliko 4+24, ostane pa le še dokončanje dejanj: 4+24=28.

4+(3+1+4 (2+3))=28.

Na splošno je, ko so v izrazu prisotni oklepaji v oklepajih, je pogosto priročno začeti z notranjimi oklepaji in se pomakniti do zunanjih.

Recimo, da moramo izvesti operacije v izrazu (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Najprej izvedemo dejanja v notranjih oklepajih, saj je 4−6:2=4−3=1, nato pa bo prvotni izraz dobil obliko (4+(4+1)−1)−1. Ponovno izvedemo dejanje v notranjih oklepajih, ker je 4+1=5, pridemo do naslednjega izraza (4+5−1)−1. Ponovno izvedemo dejanja v oklepajih: 4+5−1=8, medtem ko pridemo do razlike 8−1, ki je enaka 7.

Vrh strani

Vrstni red, v katerem se operacije izvajajo v izrazih s koreninami, potenci, logaritmi in drugimi funkcijami

Če izraz vključuje potence, korene, logaritme, sinus, kosinus, tangento in kotangens ter druge funkcije, se njihove vrednosti izračunajo, preden se izvedejo druga dejanja, medtem ko pravila iz prejšnjih odstavkov določajo vrstni red v upoštevajo se tudi dejanja, ki se izvajajo. Z drugimi besedami, naštete stvari, grobo rečeno, lahko štejemo za zaprte v oklepajih in vemo, da se najprej izvedejo dejanja v oklepajih.

Razmislimo o primerih.

Izvedite operacije v izrazu (3+1) 2+6 2:3−7.

Ta izraz vsebuje potenco 6 2 , njeno vrednost je treba izračunati pred izvedbo preostalih korakov. Torej izvajamo eksponentacijo: 6 2 = 36. To vrednost nadomestimo v izvirni izraz, imel bo obliko (3+1) 2+36:3−7.

Potem je vse jasno: dejanja izvajamo v oklepajih, po katerih ostane izraz brez oklepajev, v katerem po vrstnem redu od leve proti desni najprej izvedemo množenje in deljenje, nato pa seštevanje in odštevanje. Imamo (3+1) 2+36:3−7=4 2+36:3−7=8+12−7=13.

(3+1) 2+6 2:3−7=13.

Drugi, vključno z več zapleteni primeri pri izvajanju dejanj v izrazih s koreninami, stopinjami itd., si lahko ogledate izračun vrednosti izrazov v članku.

Vrh strani

Dejanja prvega koraka imenujemo seštevanje in odštevanje, množenje in deljenje drugi koraki.

matematika: študije. za 5 celic. Splošna izobrazba ustanove / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izd., izbrisano. — M.: Mnemozina, 2007. — 280 str.: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.

Zapišite sistem linearnih algebraičnih enačb v splošni obliki

Kaj je rešitev SLAE?

Rešitev sistema enačb je niz n številk,

Ko se v sistem nadomesti, vsaka enačba postane identiteta.

Kateri sistem se imenuje sklepni (nesklepni)?

Sistem enačb se imenuje konsistenten, če ima vsaj eno rešitev.

Sistem se imenuje nedosleden, če nima rešitev.

Kateri sistem se imenuje določen (nedoločen)?

Skupni sistem se imenuje določen, če ima edinstveno rešitev.

Skupni sistem se imenuje nedoločen, če ima več kot eno rešitev.

Matrična oblika zapisovanja sistema enačb

Rang vektorskega sistema

Rang sistema vektorjev je največje število linearno neodvisnih vektorjev.

Uvrstitev matrike in načini za njeno iskanje

Matrični rang- najvišji od vrstnih redov minorov te matrike, katere determinanta je različna od nič.

Prva metoda, metoda obrobe, je naslednja:

Če so vsi mladoletniki 1. reda, t.j. matrični elementi so enaki nič, potem je r=0 .

Če vsaj eden od minorov 1. reda ni enak nič in so vsi minori 2. reda enaki nič, potem je r=1.

Če je minor 2. reda nenič, potem raziskujemo minorje 3. reda. Na ta način najdemo minor k-toga reda in preverimo, ali minor k+1-tega reda ni enak nič.

Če so vsi minori reda k+1 enaki nič, je rang matrike enak številu k. Takšne minore k+1 reda običajno najdemo tako, da "obrobimo" minor k-toga reda.

Druga metoda za določanje ranga matrike je uporaba elementarnih transformacij matrike, ko se dvigne v diagonalno obliko. Rang takšne matrike je enak številu diagonalnih elementov, ki niso nič.

Splošna rešitev nehomogenega sistema linearnih enačb, njegove lastnosti.

Lastnost 1. Vsota katere koli rešitve sistema linearnih enačb in katere koli rešitve ustreznega homogenega sistema je rešitev sistema linearnih enačb.

Lastnost 2.

Sistemi linearnih enačb: osnovni pojmi

Razlika poljubnih dveh rešitev nehomogenega sistema linearnih enačb je rešitev ustreznega homogenega sistema.

Gaussova metoda za reševanje SLAE

Zaporedje:

1) sestavljena je razširjena matrika sistema enačb

2) s pomočjo elementarnih transformacij se matrika zmanjša na stopničasto obliko

3) se določi rang razširjene matrike sistema in rang matrike sistema ter se vzpostavi pakt o združljivosti ali nezdružljivosti sistema.

4) v primeru kompatibilnosti se zapiše enakovredni sistem enačb

5) rešitev sistema je najdena. Glavne spremenljivke so izražene kot brezplačno

Kronecker-Capellijev izrek

Kronecker - Capellijev izrek- merilo združljivosti sistema linearnih algebraičnih enačb:

Sistem linearnih algebraičnih enačb je konsistenten, če in samo če je rang njegove glavne matrike enak rangu njegove razširjene matrike in ima sistem edinstveno rešitev, če je rang enak številu neznank in neskončen nabor rešitev, če je rang manj kot število neznano.

Da bi bil linearni sistem konsistenten, je potrebno in zadostno, da je rang razširjene matrike tega sistema enak rangu njegove glavne matrike.

Kdaj sistem nima rešitve, kdaj ima eno samo rešitev, ali ima veliko rešitev?

Če je število sistemskih enačb enako številu neznanih spremenljivk in determinanta njegove glavne matrike ni enaka nič, imajo takšni sistemi enačb edinstveno rešitev, v primeru homogenega sistema pa vse neznane spremenljivke so enake nič.

Sistem linearnih enačb, ki ima vsaj eno rešitev, se imenuje konsistenten. Sicer pa t.j. če sistem nima rešitev, se imenuje nekonsistenten.

linearna enačba se imenuje konsistentna, če ima vsaj eno rešitev, in nekonsistentna, če rešitev ni. V primeru 14 je sistem združljiv, stolpec je njegova rešitev:

To rešitev lahko zapišemo tudi brez matrik: x = 2, y = 1.

Sistem enačb se imenuje nedoločen, če ima več kot eno rešitev, in določen, če je rešitev edinstvena.

Primer 15. Sistem je nedoločen. Na primer, ... so njegove rešitve. Bralec lahko najde številne druge rešitve za ta sistem.

Formule, ki povezujejo koordinate vektorjev v stari in novi bazi

Naučimo se najprej rešiti sisteme linearnih enačb v posameznem primeru. Sistem enačb AX = B bomo imenovali Cramerjev, če je njegova glavna matrika А kvadratna in nedegenerirana. Z drugimi besedami, število neznank v Crameriovem sistemu sovpada s številom enačb in |A| = 0.

6. izrek (Cramerjevo pravilo). Cramerjev sistem linearnih enačb ima edinstveno rešitev, ki jo podajajo formule:

kjer je Δ = |A| je determinanta glavne matrike, Δi je determinanta, pridobljena iz A z zamenjavo i-tega stolpca s stolpcem prostih členov.

Dokaz bomo izvedli za n = 3, saj so v splošnem primeru argumenti podobni.

Torej, obstaja Cramerjev sistem:

Predpostavimo najprej, da rešitev za sistem obstaja, torej obstajajo

Pomnožimo prvo. enakost na algebrskem komplementu elementa aii, druga enakost - na A2i, tretja - na A3i in dodamo nastale enakosti:

Sistem linearnih enačb ~ Rešitev sistema ~ Konsistentni in nekonsistentni sistemi ~ Homogeni sistem ~ Kompatibilnost homogenega sistema ~ Rang matrike sistema ~ Pogoj netrivialne združljivosti ~ Temeljni sistem rešitev. Splošna rešitev ~ Študija homogenega sistema

Razmislite o sistemu m linearne algebraične enačbe glede na n neznano
x 1, x 2, …, x n :

Odločitev sistem se imenuje celota n neznane vrednosti

x 1 = x’ 1, x 2 = x’ 2, ..., x n \u003d x’ n,

ob zamenjavi katerega se vse enačbe sistema spremenijo v identitete.

Sistem linearnih enačb lahko zapišemo v matrični obliki:

kje A- sistemska matrika, b- desni del, x- želena rešitev Ap - razširjena matrika sistemi:

Imenuje se sistem, ki ima vsaj eno rešitev sklep; sistem, ki nima rešitve nezdružljivo.

Homogeni sistem linearnih enačb je sistem, katerega desna stran je enaka nič:

Matrični pogled na homogen sistem: ax=0.

Homogeni sistem je vedno konsistenten, saj ima vsak homogen linearni sistem vsaj eno rešitev:

x 1 = 0, x 2 = 0, ..., x n \u003d 0.

Če ima homogen sistem edinstveno rešitev, potem je ta edinstvena rešitev nič in sistem se imenuje trivialno skupno.Če ima homogen sistem več kot eno rešitev, so med njimi rešitve, ki niso nič, in v tem primeru se sistem imenuje netrivialno skupno.

Dokazano je, da pri m=n za netrivialno združljivost sistema potrebno in zadostno tako da je determinanta matrike sistema enaka nič.

PRIMER 1. Netrivialna združljivost homogenega sistema linearnih enačb s kvadratno matriko.

Z uporabo Gaussovega eliminacijskega algoritma na sistemsko matriko zmanjšamo sistemsko matriko na obliko koraka

Številka r vrstice, ki niso nič v stopničasti obliki matrike, se imenuje matrični rang, označujejo
r=rg(A) oz r=Rg(A).

Naslednja trditev drži.

Sistem linearnih algebraičnih enačb

Da bi bil homogen sistem netrivialno konsistenten, je potrebno in zadostno, da je rang r sistemska matrika je bila manjša od števila neznank n.

PRIMER 2. Netrivialna združljivost homogenega sistema treh linearnih enačb s štirimi neznankami.

Če je homogen sistem netrivialno konsistenten, ima neskončno število rešitev, njegova rešitev pa je tudi linearna kombinacija katere koli rešitve sistema.
Dokazano je, da med neskončno množico rešitev homogenega sistema, točno n-r linearno neodvisne rešitve.
Agregat n-r linearno neodvisne rešitve homogenega sistema imenujemo temeljni sistem odločanja. Vsaka rešitev sistema je linearno izražena v terminih temeljnega sistema. Torej, če čin r matrice A homogena linearni sistem ax=0 manj neznank n in vektorji
e 1 , e 2 , …, e n-r oblikuje svoj temeljni sistem rešitev ( Ae i =0, i=1,2, …, n-r), potem katera koli rešitev x sistemi ax=0 lahko zapišemo v obliki

x=c 1 e 1 + c 2 e 2 + … + c n-r e n-r ,

kje c 1 , c 2 , …, c n-r so poljubne konstante. Pisni izraz se imenuje skupna rešitev homogen sistem .

Raziskave

homogen sistem pomeni ugotoviti, ali je netrivialno konsistenten, in če je, potem poiskati temeljni sistem rešitev in zapisati izraz za splošno rešitev sistema.

Homogeni sistem preučujemo po Gaussovi metodi.

matrika proučevanega homogenega sistema, katerega rang je r< n .

Takšna matrika se z Gaussovo eliminacijo reducira na stopničasto obliko

Ustrezni enakovredni sistem ima obliko

Od tu je enostavno pridobiti izraze za spremenljivke x 1 , x 2 , …, x r skozi x r+1 , x r+2 , …, x n. spremenljivke
x 1 , x 2 , …, x r poklical osnovne spremenljivke in spremenljivke x r+1 , x r+2 , …, x n - proste spremenljivke.

Če proste spremenljivke prenesemo na desno stran, dobimo formule

ki določajo celotno rešitev sistema.

Zaporedoma nastavimo vrednosti prostih spremenljivk enake

in izračunaj ustrezne vrednosti osnovnih spremenljivk. Prejeto n-r rešitve so linearno neodvisne in zato tvorijo temeljni sistem rešitev proučevanega homogenega sistema:

Preiskava združljivosti homogenega sistema po Gaussovi metodi.

Vendar sta v praksi razširjena še dva primera:

– sistem je nedosleden (nima rešitev);
Sistem je konsistenten in ima neskončno veliko rešitev.

Opomba : izraz "konsistentnost" pomeni, da ima sistem vsaj nekaj rešitev. Pri številnih nalogah je potrebno predhodno preveriti združljivost sistema, kako to storiti - glejte članek o matrični rang.

Za te sisteme se uporablja najbolj univerzalna od vseh metod rešitve - Gaussova metoda. Pravzaprav bo tudi »šolska« pot vodila do odgovora, vendar v višja matematika Običajno se uporablja Gaussova metoda zaporednega odpravljanja neznank. Tisti, ki ne poznate algoritma Gaussove metode, najprej preučite lekcijo Gaussova metoda za lutke.

Same transformacije elementarne matrike so popolnoma enake, bo razlika na koncu rešitve. Najprej si oglejmo nekaj primerov, kjer sistem nima rešitev (nekonsistenten).

Primer 1

Kaj vam v tem sistemu takoj pade v oči? Število enačb je manjše od števila spremenljivk. Če je število enačb manjše od števila spremenljivk, potem lahko takoj rečemo, da je sistem bodisi nedosleden ali pa ima neskončno veliko rešitev. In ostalo je le ugotoviti.

Začetek rešitve je povsem običajen - napišemo razširjeno matriko sistema in jo z uporabo elementarnih transformacij spravimo v postopno obliko:

(1) Na zgornjem levem koraku moramo dobiti +1 ali -1. V prvem stolpcu takšnih številk ni, zato prerazporeditev vrstic ne bo delovala. Enoto bo treba organizirati samostojno, kar je mogoče storiti na več načinov. Naredil sem to: v prvo vrstico dodajte tretjo vrstico, pomnoženo z -1.

(2) Zdaj dobimo dve ničli v prvem stolpcu. V drugo vrstico dodamo prvo vrstico, pomnoženo s 3. Tretji vrstici dodamo prvo vrstico, pomnoženo s 5.

(3) Ko je transformacija opravljena, je vedno priporočljivo preveriti, ali je mogoče poenostaviti nastale nize? Lahko. Drugo vrstico delimo z 2, hkrati pa na drugem koraku dobimo želeno -1. Tretjo vrstico delite z -3.

(4) Dodajte drugo vrstico tretji vrstici.

Verjetno so bili vsi pozorni na slabo linijo, ki se je izkazala kot posledica elementarnih preobrazb: . Jasno je, da temu ne more biti tako. Dejansko prepišemo nastalo matriko nazaj na sistem linearnih enačb:

Če kot rezultat elementarnih transformacij dobimo niz oblike, kjer je število, ki ni nič, potem je sistem nedosleden (nima rešitev) .

Kako posneti konec opravila? Narišimo z belo kredo: "kot rezultat elementarnih transformacij dobimo črto oblike, kjer" in damo odgovor: sistem nima rešitev (nekonsistentno).

Če je glede na pogoj potrebno RAZISKITI sistem za združljivost, potem je treba izdati rešitev v bolj trdnem slogu, ki vključuje koncept matrični rang in Kronecker-Capellijev izrek.

Upoštevajte, da tukaj ni povratnega gibanja Gaussovega algoritma - ni rešitev in preprosto ni ničesar za najti.

Primer 2

Rešite sistem linearnih enačb

To je primer "naredi sam". Popolna rešitev in odgovor na koncu lekcije. Ponovno vas opozarjam, da se vaša pot rešitve lahko razlikuje od moje rešitve, Gaussov algoritem nima močne »togote«.

Še en tehnična lastnost rešitve: elementarne transformacije je mogoče ustaviti Naenkrat, takoj ko vrstica kot , kje . Razmislite pogojni primer: recimo, da po prvi transformaciji dobimo matriko . Matrica še ni reducirana na stopničasto obliko, vendar ni potrebe po nadaljnjih elementarnih transformacijah, saj se je pojavila vrstica oblike, kjer . Takoj je treba odgovoriti, da je sistem nezdružljiv.

Ko sistem linearnih enačb nima rešitev, je to skoraj darilo, saj dobimo kratko rešitev, včasih dobesedno v 2-3 korakih.

Toda vse na tem svetu je uravnoteženo in problem, v katerem ima sistem neskončno veliko rešitev, je le daljši.

Primer 3

Rešite sistem linearnih enačb

Obstajajo 4 enačbe in 4 neznanke, tako da ima sistem lahko eno samo rešitev ali nima rešitev ali pa ima neskončno število rešitev. Karkoli že je bilo, vendar nas bo Gaussova metoda v vsakem primeru pripeljala do odgovora. V tem je njegova vsestranskost.

Začetek je spet standarden. Napišemo razširjeno matriko sistema in jo z uporabo elementarnih transformacij spravimo v obliko korakov:

To je vse in bal si se.

(1) Upoštevajte, da so vse številke v prvem stolpcu deljive z 2, zato je 2 v redu na zgornjem levem prečku. V drugo vrstico dodamo prvo vrstico, pomnoženo z -4. Tretji vrstici dodamo prvo vrstico, pomnoženo z -2. Četrti vrstici dodamo prvo vrstico, pomnoženo z -1.

Pozor! Marsikoga morda mika iz četrte vrstice odštej prva vrsta. To je mogoče storiti, vendar ni nujno, izkušnje kažejo, da se verjetnost napake v izračunih večkrat poveča. Samo seštejte: v četrto vrstico dodajte prvo vrstico, pomnoženo z -1 - točno!

(2) Zadnje tri vrstice so sorazmerne, dve od njih je mogoče izbrisati.

Tukaj je spet treba pokazati povečana pozornost, a so črte res sorazmerne? Za pozavarovanje (zlasti za čajnik) ne bo odveč, če drugo vrstico pomnožite z -1, četrto vrstico pa delite z 2, tako da nastanejo tri enake vrstice. In šele po tem odstranite dva od njih.

Kot rezultat elementarnih transformacij se razširjena matrika sistema zmanjša na stopničasto obliko:

Pri izpolnjevanju naloge v zvezku je priporočljivo, da iste zapiske naredite s svinčnikom zaradi jasnosti.

Prepišemo ustrezen sistem enačb:

Edina »običajna« rešitev sistema tukaj ne diši. Tudi slabe linije ni. To pomeni, da je to tretji preostali primer – sistem ima neskončno veliko rešitev. Včasih je treba po pogoju raziskati združljivost sistema (tj. dokazati, da rešitev sploh obstaja), o tem si lahko preberete v zadnjem odstavku članka Kako najti rang matrike? Toda za zdaj razčlenimo osnove:

Neskončen nabor rešitev sistema je na kratko zapisan v obliki t.i splošna sistemska rešitev .

Splošno rešitev sistema bomo našli z uporabo povratnega gibanja po Gaussovi metodi.

Najprej moramo ugotoviti, katere spremenljivke imamo osnovni in katere spremenljivke prost. Ni se treba obremenjevati z izrazi linearne algebre, dovolj je, da se spomnimo, da takšni obstajajo osnovne spremenljivke in proste spremenljivke.

Osnovne spremenljivke vedno "sedijo" strogo na stopnicah matrike.
AT ta primer osnovne spremenljivke so in

Proste spremenljivke so vse preostalih spremenljivke, ki niso dobile koraka. V našem primeru sta to dve: - proste spremenljivke.

Zdaj potrebujete vse osnovne spremenljivke ekspresno samo skozi proste spremenljivke.

Povratna poteza Gaussovega algoritma tradicionalno deluje od spodaj navzgor.
Iz druge enačbe sistema izrazimo osnovno spremenljivko:

Zdaj si oglejte prvo enačbo: . Najprej vanj nadomestimo najdeni izraz:

Ostaja še, da osnovno spremenljivko izrazimo v obliki prostih spremenljivk:

Rezultat je tisto, kar potrebujete - vse osnovne spremenljivke ( in ) so izražene samo skozi proste spremenljivke:

Pravzaprav je splošna rešitev pripravljena:

Kako zapisati splošno rešitev?
Proste spremenljivke se v splošno rešitev vpisujejo "posamezno" in strogo na svojih mestih. V tem primeru naj bodo proste spremenljivke zapisane na drugem in četrtem mestu:
.

Nastali izrazi za osnovne spremenljivke in očitno mora biti napisano na prvem in tretjem mestu:

Dajanje brezplačnih spremenljivk poljubne vrednosti, jih je neskončno veliko zasebne odločitve. Najbolj priljubljene vrednosti so ničle, saj je določeno rešitev najlažje dobiti. Nadomestek v splošni rešitvi:

je zasebna odločitev.

Ena sta še en sladek par, nadomestimo v splošno rešitev:

je še ena posebna rešitev.

Zlahka je videti, da ima sistem enačb neskončno veliko rešitev(ker lahko damo proste spremenljivke kaj vrednote)

Vsak določena rešitev mora zadovoljiti vsakemu sistemska enačba. To je osnova za "hitro" preverjanje pravilnosti rešitve. Vzemite na primer določeno rešitev in jo nadomestite z levo stranjo vsake enačbe v izvirnem sistemu:

Vse se mora združiti. In s katero koli določeno rešitvijo, ki jo dobite, bi se moralo tudi vse zbližati.

Toda, strogo gledano, preverjanje določene rešitve včasih vara; neka posebna rešitev lahko zadovolji vsako enačbo sistema, sama splošna rešitev pa je dejansko najdena napačno.

Zato je preverjanje splošne rešitve temeljitejše in zanesljivejše. Kako preveriti nastalo splošno rešitev ?

To je enostavno, a precej dolgočasno. Moramo sprejeti izraze osnovni spremenljivke, v tem primeru in , in ju nadomestimo v levo stran vsake enačbe sistema.

Na levi strani prve enačbe sistema:

Na levi strani druge enačbe sistema:

Dobi se desna stran prvotne enačbe.

Primer 4

Rešite sistem z Gaussovo metodo. Poiščite splošno rešitev in dve zasebni. Preverite celotno rešitev.

To je primer "naredi sam". Tu je, mimogrede, spet število enačb manjše od števila neznank, kar pomeni, da je takoj jasno, da bo sistem bodisi nedosleden bodisi bo imel neskončno število rešitev. Kaj je pomembno v samem procesu odločanja? Pozor in spet pozornost. Popolna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

In še nekaj primerov za krepitev gradiva

Primer 5

Rešite sistem linearnih enačb. Če ima sistem neskončno veliko rešitev, poiščite dve posebni rešitvi in preverite splošno rešitev

Odločitev: Napišemo povečano matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo v obliko korakov:

(1) Dodajte prvo vrstico drugi vrstici. Tretji vrstici dodamo prvo vrstico, pomnoženo z 2. V četrto vrstico dodamo prvo vrstico, pomnoženo s 3.
(2) Tretji vrstici dodajte drugo vrstico, pomnoženo z -5. Četrti vrstici dodamo drugo vrstico, pomnoženo z -7.
(3) Tretja in četrta vrstica sta enaki, eno od njiju izbrišemo.

Tukaj je takšna lepotica:

Osnovne spremenljivke so na stopnicah, zato so osnovne spremenljivke.
Obstaja samo ena prosta spremenljivka, ki ni dobila koraka:

Povratna poteza:
Osnovne spremenljivke izrazimo v obliki proste spremenljivke:
Iz tretje enačbe:

Razmislite o drugi enačbi in vanjo nadomestite najdeni izraz:

Razmislite o prvi enačbi in zamenjajte najdene izraze in vanjo:

Da, kalkulator, ki šteje navadne ulomke, je še vedno priročen.

Torej splošna rešitev je:

Še enkrat, kako se je zgodilo? Prosta spremenljivka je sama na svojem upravičenem četrtem mestu. Nastali izrazi za osnovne spremenljivke so zavzeli tudi svoja redna mesta.

Takoj preverimo splošno rešitev. Delajte za črnce, vendar sem to že naredil, zato ulovite =)

V levo stran vsake enačbe sistema nadomestimo tri junake , :

Dobljene so ustrezne desne strani enačb, tako da je splošna rešitev pravilno najdena.

Zdaj iz najdene splošne rešitve dobimo dve posebni rešitvi. Kuhar tukaj je edina brezplačna spremenljivka. Ni vam treba razbijati glave.

Naj potem je zasebna odločitev.
Pustite , potem je druga posebna rešitev.

Odgovori: Skupna odločitev: , posebne rešitve: , .

Ne bi se smel spomniti na temnopolte tukaj ... ... ker so mi v glavo prišli najrazličnejši sadistični motivi in sem se spomnil na dobro znano fotožabo, na kateri Ku Klux Klančani v belih kombinezonih tečejo po igrišču po črnem nogometu igralec. sedim in se tiho nasmehnem. Veste, kako moteče…

Veliko matematike je škodljivo, zato podoben končni primer za samostojno rešitev.

Primer 6

Poiščite splošno rešitev sistema linearnih enačb.

Splošno rešitev sem že preveril, odgovoru se lahko zaupa. Vaša rešitev se lahko razlikuje od moje rešitve, glavno je, da se splošne rešitve ujemajo.

Verjetno je marsikdo opazil neprijeten trenutek v rešitvah: zelo pogosto smo se morali med obratnim potekom Gaussove metode poigravati z navadne frakcije. V praksi je to res, primeri, ko ulomkov ni, so veliko manj pogosti. Bodite pripravljeni psihično in kar je najpomembneje, tehnično.

Osredotočil se bom na nekatere značilnosti rešitve, ki jih v rešenih primerih nismo našli.

Splošna rešitev sistema lahko včasih vključuje konstanto (ali konstante), na primer: . Tu je ena od osnovnih spremenljivk enaka konstantnemu številu: . V tem ni nič eksotičnega, se zgodi. Očitno bo v tem primeru vsaka posebna rešitev vsebovala petico na prvem mestu.

Redko, vendar obstajajo sistemi, v katerih število enačb večja količina spremenljivke. Gaussova metoda deluje v najtežjih pogojih, razširjeno matriko sistema je treba mirno spraviti v stopničasto obliko po standardnem algoritmu. Tak sistem je lahko nedosleden, ima lahko neskončno veliko rešitev in, kar je čudno, lahko ima edinstveno rešitev.

Servisna naloga. Spletni kalkulator je zasnovan za preučevanje sistema linearnih enačb. Običajno je treba v stanju problema najti splošna in posebna rešitev sistema. Pri preučevanju sistemov linearnih enačb se rešujejo naslednji problemi:

ali je sistem kolaborativen;
če je sistem konsistenten, potem je določen ali nedoločen (merilo združljivosti sistema določa izrek);
če je sistem definiran, kako najti njegovo edinstveno rešitev (uporabljajo se Cramerjeva metoda, metoda inverzne matrike ali Jordan-Gaussova metoda);
če je sistem nedoločen, kako opisati množico njegovih rešitev.

Klasifikacija sistemov linearnih enačb

Poljubni sistem linearnih enačb ima obliko:
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n = b m

Sistemi linearnih nehomogenih enačb (število spremenljivk je enako številu enačb, m = n).
Poljubni sistemi linearnih nehomogenih enačb (m > n ali m< n).

Opredelitev. Rešitev sistema je katera koli zbirka števil c 1 ,c 2 ,...,c n , katerih substitucija v sistem namesto ustreznih neznank spremeni vsako enačbo sistema v identiteto.

Opredelitev. Za dva sistema pravimo, da sta enakovredna, če je rešitev prvega rešitev drugega in obratno.

Opredelitev. Imenuje se sistem, ki ima vsaj eno rešitev sklep. Sistem, ki nima rešitve, se imenuje nedosleden.

Opredelitev. Sistem z edinstveno rešitvijo se imenuje gotovo, in imeti več kot eno rešitev je nedoločen.

Algoritem za reševanje sistemov linearnih enačb

Poiščite rang glavne in razširjene matrike. Če niso enaki, potem je po Kronecker-Capellijevem izreku sistem nedosleden in tu se študija konča.
Naj bo rang(A) = rang(B). Izberemo osnovni mol. V tem primeru so vsi neznani sistemi linearnih enačb razdeljeni v dva razreda. Neznanke, katerih koeficienti so vključeni v osnovni minor, imenujemo odvisne, neznanke, katerih koeficienti niso vključeni v osnovni minor, pa proste. Upoštevajte, da izbira odvisnih in prostih neznank ni vedno edinstvena.
Tiste enačbe sistema, katerih koeficienti niso bili vključeni v osnovni minor, prečrtamo, saj so posledice ostalih (po osnovnem izreku o molu).
Izrazi enačb, ki vsebujejo proste neznanke, se prenesejo na desno stran. Kot rezultat dobimo sistem r enačb z r neznankami, ki je enak danemu, katerega determinanta je drugačna od nič.
Nastali sistem rešujemo na enega od naslednjih načinov: Cramerjeva metoda, metoda inverzne matrike ali Jordan-Gaussova metoda. Najdejo se relacije, ki izražajo odvisne spremenljivke v terminih prostih.

Reševanje sistemov linearnih algebraičnih enačb (SLAE) je nedvomno najpomembnejša tema tečaja linearne algebre. Ogromno število problemov iz vseh vej matematike se zreducira na reševanje sistemov linearnih enačb. Ti dejavniki pojasnjujejo razlog za ustvarjanje tega članka. Material članka je izbran in strukturiran tako, da z njegovo pomočjo lahko

izberite optimalno metodo za reševanje vašega sistema linearnih algebraičnih enačb,
preučiti teorijo izbrane metode,
rešite svoj sistem linearnih enačb in podrobno preučite rešitve tipičnih primerov in problemov.

Kratek opis materiala članka.

Dajmo najprej vse potrebne definicije, koncepte in uvedbo zapisov.

Nato obravnavamo metode za reševanje sistemov linearnih algebraičnih enačb, v katerih je število enačb enako številu neznanih spremenljivk in imajo edinstveno rešitev. Najprej se osredotočimo na Cramerjevo metodo, drugič, prikazali bomo matrično metodo za reševanje takšnih sistemov enačb, in tretjič, analizirali bomo Gaussovo metodo (metoda zaporednega odpravljanja neznanih spremenljivk). Za utrjevanje teorije bomo zagotovo rešili več SLAE na različne načine.

Nato se obrnemo na reševanje sistemov linearnih algebraičnih enačb splošni pogled, pri katerem število enačb ne sovpada s številom neznanih spremenljivk ali pa je glavna matrika sistema degenerirana. Formuliramo Kronecker-Capellijev izrek, ki nam omogoča, da ugotovimo združljivost SLAE. Analizirajmo rešitev sistemov (v primeru njihove kompatibilnosti) s konceptom baznega minora matrike. Upoštevali bomo tudi Gaussovo metodo in podrobno opisali rešitve primerov.

Bodite prepričani, da se osredotočite na strukturo splošne rešitve homogenih in nehomogenih sistemov linearnih algebraičnih enačb. Podajmo pojem temeljnega sistema rešitev in pokažimo, kako je splošna rešitev SLAE zapisana z uporabo vektorjev temeljnega sistema rešitev. Za boljše razumevanje si oglejmo nekaj primerov.

Za zaključek obravnavamo sisteme enačb, ki so reducirani na linearne, pa tudi različne probleme, pri reševanju katerih nastanejo SLAE.

Navigacija po straneh.

Definicije, koncepti, poimenovanja.

Upoštevali bomo sisteme p linearnih algebrskih enačb z n neznanimi spremenljivkami (p je lahko enak n) oblike

Neznane spremenljivke, - koeficienti (nekatera realna ali kompleksna števila), - prosti člani (tudi realna ali kompleksna števila).

Ta oblika SLAE se imenuje koordinirati.

AT matrična oblika ta sistem enačb ima obliko ,
kje - glavna matrika sistema, - matrika-stolpec neznanih spremenljivk, - matrika-stolpec prostih članov.

Če matriki A kot (n + 1)-ti stolpec dodamo matriko-stolpec prostih členov, dobimo t.i. razširjena matrika sistemi linearnih enačb. Običajno je razširjena matrika označena s črko T, stolpec prostih članov pa je ločen z navpično črto od preostalih stolpcev, tj.

Z reševanjem sistema linearnih algebraičnih enačb imenujemo niz vrednosti neznanih spremenljivk, ki spremeni vse enačbe sistema v identitete. V identiteto se spremeni tudi matrična enačba za dane vrednosti neznanih spremenljivk.

Če ima sistem enačb vsaj eno rešitev, se imenuje sklep.

Če sistem enačb nima rešitev, se imenuje nezdružljivo.

Če ima SLAE edinstveno rešitev, se imenuje gotovo; če obstaja več kot ena rešitev, potem - negotovo.

Če so prosti členi vseh enačb sistema enaki nič , potem se sistem pokliče homogena, drugače - heterogena.

Rešitev osnovnih sistemov linearnih algebraičnih enačb.

Če je število sistemskih enačb enako številu neznanih spremenljivk in determinanta njegove glavne matrike ni enaka nič, bomo takšne SLAE imenovali elementarno. Takšni sistemi enačb imajo edinstveno rešitev, v primeru homogenega sistema pa so vse neznane spremenljivke enake nič.

Takšne SLAE smo začeli preučevati v Srednja šola. Pri njihovem reševanju smo vzeli eno enačbo, izrazili eno neznano spremenljivko z drugimi in jo zamenjali v preostale enačbe, nato smo vzeli naslednjo enačbo, izrazili naslednjo neznano spremenljivko in jo nadomestili z drugimi enačbami itd. Ali pa so uporabili metodo seštevanja, torej dodali dve ali več enačb, da so odpravili nekatere neznane spremenljivke. Na teh metodah se ne bomo podrobneje ukvarjali, saj so v bistvu modifikacije Gaussove metode.

Glavne metode za reševanje elementarnih sistemov linearnih enačb so Cramerjeva metoda, matrična metoda in Gaussova metoda. Razvrstimo jih.

Reševanje sistemov linearnih enačb po Cramerjevi metodi.

Rešiti moramo sistem linearnih algebraičnih enačb

pri katerem je število enačb enako številu neznanih spremenljivk in je determinanta glavne matrike sistema drugačna od nič, to je .

Naj je determinanta glavne matrike sistema in so determinante matrik, ki so pridobljene iz A z zamenjavo 1., 2., …, n stolpec oziroma stolpcu prostih članov:

S takšnim zapisom se neznane spremenljivke izračunajo po formulah Cramerjeve metode kot . Tako se po Cramerjevi metodi najde rešitev sistema linearnih algebraičnih enačb.

Primer.

Cramerjeva metoda .

Odločitev.

Glavna matrica sistema ima obliko . Izračunajte njegovo determinanto (če je potrebno, glejte članek):

Ker je determinanta glavne matrike sistema drugačna nič, ima sistem edinstveno rešitev, ki jo lahko najdemo s Cramerjevo metodo.

Sestavi in izračunaj potrebne determinante (determinanto dobimo tako, da prvi stolpec v matriki A zamenjamo s stolpcem prostih članov, determinanto - z zamenjavo drugega stolpca s stolpcem prostih članov, - z zamenjavo tretjega stolpca matrike A s stolpcem prostih članov ):

Iskanje neznanih spremenljivk z uporabo formul :

odgovor:

Glavna pomanjkljivost Cramerjeve metode (če jo lahko imenujemo pomanjkljivost) je zapletenost izračunavanja determinant, ko je število sistemskih enačb več kot tri.

Reševanje sistemov linearnih algebraičnih enačb z matrično metodo (z uporabo inverzne matrike).

Naj bo sistem linearnih algebraičnih enačb podan v matrični obliki, kjer ima matrika A dimenzijo n z n in njena determinanta ni nič.

Ker je , potem je matrika A inverzibilna, torej obstaja inverzna matrika . Če oba dela enakosti pomnožimo z na levi strani, dobimo formulo za iskanje matrike stolpcev neznanih spremenljivk. Tako smo dobili rešitev sistema linearnih algebraičnih enačb po matrični metodi.

Primer.

Reši sistem linearnih enačb matrična metoda.

Odločitev.

Prepišimo sistem enačb v matrično obliko:

Kot

potem je SLAE mogoče rešiti z matrično metodo. Z uporabo inverzne matrike lahko najdemo rešitev tega sistema kot .

Zgradimo inverzno matriko z uporabo matrike algebričnih komplementov elementov matrike A (če je potrebno, glejte članek):

Ostaja še izračunati - matriko neznanih spremenljivk z množenjem inverzne matrike na matriko-stolpec prostih članov (če je potrebno, glej članek):

odgovor:

ali v drugem zapisu x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Glavna težava pri iskanju rešitev sistemov linearnih algebraičnih enačb z matrično metodo je kompleksnost iskanja inverzne matrike, zlasti za kvadratne matrike višjega reda od tretjega.

Reševanje sistemov linearnih enačb po Gaussovi metodi.

Recimo, da moramo najti rešitev za sistem n linearnih enačb z n neznanimi spremenljivkami
katere determinanta glavne matrike je drugačna od nič.

Bistvo Gaussove metode sestoji iz zaporedne izključitve neznanih spremenljivk: najprej je x 1 izključen iz vseh enačb sistema, začenši z drugo, nato je x 2 izključen iz vseh enačb, začenši s tretjo, in tako naprej, dokler ni samo neznana spremenljivka x n ostane v zadnji enačbi. Takšen proces preoblikovanja enačb sistema za zaporedno izločanje neznanih spremenljivk imenujemo direktna Gaussova metoda. Ko je napredovanje Gaussove metode končano, se x n najde iz zadnje enačbe, x n-1 se izračuna iz predzadnje enačbe z uporabo te vrednosti in tako naprej, x 1 najdemo iz prve enačbe. Postopek izračuna neznanih spremenljivk pri prehodu iz zadnje enačbe sistema v prvo se imenuje obratna Gaussova metoda.

Naj na kratko opišemo algoritem za odpravo neznanih spremenljivk.

Predpostavili bomo, da , saj lahko to vedno dosežemo s prerazporeditvijo enačb sistema. Neznano spremenljivko x 1 izločimo iz vseh enačb sistema, začenši z drugo. Če želite to narediti, dodajte prvo enačbo, pomnoženo z, drugi enačbi sistema, dodajte prvo enačbo, pomnoženo s, tretji enačbi in tako naprej, dodajte prvo enačbo, pomnoženo z, n-ti enačbi. Sistem enačb po takih transformacijah bo dobil obliko

kje .

Do enakega rezultata bi prišli, če bi v prvi enačbi sistema izrazili x 1 z drugimi neznanimi spremenljivkami in dobljeni izraz nadomestili z vsemi drugimi enačbami. Tako je spremenljivka x 1 izključena iz vseh enačb, začenši z drugo.

Nato ravnamo podobno, vendar le z delom nastalega sistema, ki je označen na sliki

Če želite to narediti, dodajte drugo enačbo, pomnoženo z, tretji enačbi sistema, dodajte drugo enačbo, pomnoženo s, četrti enačbi in tako naprej, dodajte drugo enačbo, pomnoženo z, n-ti enačbi. Sistem enačb po takih transformacijah bo dobil obliko

kje . Tako je spremenljivka x 2 izključena iz vseh enačb, začenši s tretjo.

Nato nadaljujemo z odpravo neznanega x 3, pri čemer ravnamo podobno z delom sistema, označenim na sliki

Tako nadaljujemo z neposrednim potekom Gaussove metode, dokler sistem ne dobi oblike

Od tega trenutka začnemo z obratnim potekom Gaussove metode: izračunamo x n iz zadnje enačbe kot , z dobljeno vrednostjo x n najdemo x n-1 iz predzadnje enačbe in tako naprej najdemo x 1 iz prve enačba.

Primer.

Reši sistem linearnih enačb Gaussova metoda.

Odločitev.

Iz druge in tretje enačbe sistema izključimo neznano spremenljivko x 1. Da bi to naredili, obema deloma druge in tretje enačbe dodamo ustrezne dele prve enačbe, pomnožene z oziroma z:

Zdaj izključimo x 2 iz tretje enačbe tako, da njenim levim in desnim delom dodamo levi in desni del druge enačbe, pomnoženi z:

Na tem je napredni potek Gaussove metode končan, začnemo obratno.

Iz zadnje enačbe nastalega sistema enačb najdemo x 3:

Iz druge enačbe dobimo .

Iz prve enačbe najdemo preostalo neznano spremenljivko in s tem zaključimo obratni potek Gaussove metode.

odgovor:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 \u003d -1.

Reševanje sistemov linearnih algebraičnih enačb splošne oblike.

V splošnem primeru število enačb sistema p ne sovpada s številom neznanih spremenljivk n:

Takšni SLAE morda nimajo rešitev, imajo eno samo rešitev ali imajo neskončno veliko rešitev. Ta izjava velja tudi za sisteme enačb, katerih glavna matrika je kvadratna in degenerirana.

Kronecker-Capellijev izrek.

Preden najdemo rešitev za sistem linearnih enačb, je treba ugotoviti njegovo združljivost. Odgovor na vprašanje, kdaj je SLAE združljiv in kdaj nezdružljiv, daje Kronecker-Capellijev izrek:
da je sistem p enačb z n neznankami (p je lahko enak n ) konsistenten, je potrebno in zadostno, da je rang glavne matrike sistema enak rangu razširjene matrike, to je Rank( A)=Razred(T) .

Oglejmo si za primer uporabo Kronecker-Cappellijevega izreka za ugotavljanje združljivosti sistema linearnih enačb.

Primer.

Ugotovite, ali ima sistem linearnih enačb rešitve.

Odločitev.

. Uporabimo metodo meje mladoletnikov. Minor drugega reda drugačen od nič. Pojdimo čez mladoletnike tretjega reda, ki ga obkrožajo:

Ker so vsi obmejni minori tretjega reda enaki nič, je rang glavne matrike dva.

Po drugi strani pa rang razširjene matrike je enako tri, saj je minor tretjega reda

drugačen od nič.

tako, Rang(A) , torej lahko glede na Kronecker-Capellijev izrek sklepamo, da je prvotni sistem linearnih enačb nedosleden.

odgovor:

Sistema rešitev ni.

Tako smo se naučili ugotoviti neskladnost sistema z uporabo Kronecker-Capellijevega izreka.

Toda kako najti rešitev SLAE, če je ugotovljena njegova združljivost?

Za to potrebujemo koncept baznega minora matrike in izrek o rangu matrike.

Imenuje se minor najvišjega reda matrike A, ki ni nič osnovni.

Iz definicije baznega minora sledi, da je njegov vrstni red enak rangu matrike. Za matriko A, ki ni nič, je lahko več osnovnih minorov; vedno obstaja en osnovni minor.

Na primer, upoštevajte matriko .

Vsi minori tretjega reda te matrike so enaki nič, saj so elementi tretje vrstice te matrike vsota ustreznih elementov prve in druge vrstice.

Naslednji minori drugega reda so osnovni, saj niso nič

Mladoletne osebe niso osnovni, saj so enaki nič.

Izrek o rangu matrike.

Če je rang matrike reda p po n r, potem so vsi elementi vrstic (in stolpcev) matrike, ki ne tvorijo izbranega baznega minora, linearno izraženi z ustreznimi elementi vrstic (in stolpcev) ), ki tvorijo osnovni mol.

Kaj nam daje izrek o rangiranju matrike?

Če smo s Kronecker-Capellijevim izrekom ugotovili združljivost sistema, potem izberemo kateri koli osnovni minor glavne matrike sistema (njegov vrstni red je enak r) in iz sistema izločimo vse enačbe, ki ne tvorijo izbrani osnovni mol. Tako pridobljena SLAE bo enakovredna prvotnemu, saj so zavržene enačbe še vedno odveč (po izreku o rangu matrike so linearna kombinacija preostalih enačb).

Posledično sta po zavrženju pretiranih enačb sistema možna dva primera.

Če je število enačb r v dobljenem sistemu enako številu neznanih spremenljivk, bo ta dokončna in edino rešitev lahko najdemo s Cramerjevo metodo, matrično metodo ali Gaussovo metodo.

Primer.

Odločitev.

Rang glavne matrike sistema je enako dve, saj je minor drugega reda drugačen od nič. Razširjen matrični rang je tudi dva, saj je edini minor tretjega reda enak nič

in minor drugega reda, obravnavanega zgoraj, je drugačen od nič. Na podlagi Kronecker-Capellijevega izreka lahko trdimo, da je originalni sistem linearnih enačb kompatibilen, saj je Rank(A)=Rank(T)=2.

Kot osnovo vzamemo . Sestavljajo ga koeficienti prve in druge enačbe:

Tretja enačba sistema ne sodeluje pri oblikovanju osnovnega minora, zato jo izključimo iz sistema na podlagi izreka matričnega ranga:

Torej smo dobili osnovni sistem linearne algebraične enačbe. Rešimo ga po Cramerjevi metodi:

odgovor:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Če je število enačb r v dobljeni SLAE manjše od števila neznanih spremenljivk n, pustimo člene, ki tvorijo osnovni minor v levih delih enačb, preostale člene pa prenesemo v desne dele enačb sistem z nasprotnim predznakom.

Neznane spremenljivke (obstaja jih r), ki ostanejo na levi strani enačbe, se imenujejo glavni.

Neznane spremenljivke (ni jih je n - r), ki so končale na desni strani, se kličejo prost.

Zdaj predpostavljamo, da lahko proste neznane spremenljivke zavzamejo poljubne vrednosti, medtem ko bodo glavne neznane spremenljivke r izražene v terminih prostih neznanih spremenljivk na edinstven način. Njihov izraz je mogoče najti z reševanjem nastalega SLAE po Cramerjevi metodi, matrični metodi ali Gaussovi metodi.

Vzemimo primer.

Primer.

Reši sistem linearnih algebraičnih enačb .

Odločitev.

Poiščite rang glavne matrike sistema po metodi mejnih mladoletnikov. Vzemimo 1 1 = 1 kot neničelni minor prvega reda. Začnimo iskati minor drugega reda, ki ni nič, okoli tega minora:

Tako smo našli neničelni minor drugega reda. Začnimo iskati neničelni obrobni minor tretjega reda:

Tako je rang glavne matrike tri. Tudi rang razširjene matrike je enak tri, kar pomeni, da je sistem konsistenten.

Ugotovljeni minor tretjega reda, ki ni nič, bo vzet kot osnovni.

Zaradi jasnosti prikazujemo elemente, ki tvorijo osnovni mol:

Člane, ki sodelujejo v osnovnem minoru, pustimo na levi strani enačb sistema, ostale pa z nasprotnimi predznaki prenesemo na desne strani:

Prosti neznani spremenljivki x 2 in x 5 damo poljubne vrednosti, torej vzamemo , kjer so poljubna števila. V tem primeru ima SLAE obliko

Dobljen elementarni sistem linearnih algebraičnih enačb rešimo po Cramerjevi metodi:

Zato,.

V odgovoru ne pozabite navesti prostih neznanih spremenljivk.

odgovor:

Kje so poljubne številke.

Povzemite.

Za rešitev sistema linearnih algebraičnih enačb splošne oblike najprej ugotovimo njegovo združljivost s Kronecker-Capellijevim izrekom. Če rang glavne matrike ni enak rangu razširjene matrike, potem sklepamo, da je sistem nedosleden.

Če je rang glavne matrike enak rangu razširjene matrike, potem izberemo osnovni minor in zavržemo enačbe sistema, ki ne sodelujejo pri oblikovanju izbranega osnovnega minora.

Če je vrstni red osnovnega minora enak številu neznanih spremenljivk, ima SLAE edinstveno rešitev, ki jo lahko najdemo s katero koli metodo, ki nam je znana.

Če je vrstni red osnovnega minora manjši od števila neznanih spremenljivk, potem na levi strani enačb sistema pustimo člene z glavnimi neznanimi spremenljivkami, preostale člene prenesemo na desne strani in dodelimo poljubne vrednosti na proste neznane spremenljivke. Iz nastalega sistema linearnih enačb najdemo glavne neznane spremenljivke po Cramerjevi metodi, matrični metodi ali Gaussovi metodi.

Gaussova metoda za reševanje sistemov linearnih algebraičnih enačb splošne oblike.

Z uporabo Gaussove metode je mogoče rešiti kakršne koli sisteme linearnih algebraičnih enačb brez njihove predhodne preiskave glede združljivosti. Postopek zaporednega izključevanja neznanih spremenljivk omogoča sklepanje tako o združljivosti kot o neskladnosti SLAE, in če rešitev obstaja, jo lahko poišče.

Z vidika računskega dela je boljša Gaussova metoda.

Pazi natančen opis in analiziral primere v članku Gaussova metoda za reševanje sistemov linearnih algebraičnih enačb splošne oblike.

Zapis splošne rešitve homogenih in nehomogenih linearnih algebraičnih sistemov z uporabo vektorjev temeljnega sistema rešitev.

V tem poglavju se bomo osredotočili na skupne homogene in nehomogene sisteme linearnih algebraičnih enačb, ki imajo neskončno število rešitev.

Najprej se ukvarjajmo s homogenimi sistemi.

Temeljni sistem odločanja Homogeni sistem p linearnih algebrskih enačb z n neznanimi spremenljivkami je niz (n – r) linearno neodvisnih rešitev tega sistema, kjer je r red baznega minora glavne matrike sistema.

Če označimo linearno neodvisne rešitve homogene SLAE kot X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) so stolpci matrik z dimenzijo n z 1 ) , potem je splošna rešitev tega homogenega sistema predstavljena kot linearna kombinacija vektorjev temeljnega sistema rešitev s poljubnimi konstantnimi koeficienti С 1 , С 2 , …, С (n-r), to je .

Kaj pomeni izraz splošna rešitev homogenega sistema linearnih algebraičnih enačb (oroslau)?

Pomen je preprost: formula določa vse možne rešitve originalni SLAE, z drugimi besedami, vzamemo poljuben niz vrednosti poljubnih konstant С 1 , С 2 , …, С (n-r) , po formuli dobimo eno od rešitev prvotnega homogenega SLAE.

Torej, če najdemo temeljni sistem rešitev, potem lahko vse rešitve te homogene SLAE postavimo kot .

Pokažimo postopek konstruiranja temeljnega sistema rešitev za homogeno SLAE.

Izberemo osnovni minor prvotnega sistema linearnih enačb, iz sistema izločimo vse ostale enačbe in na desno stran enačb sistema z nasprotnimi predznaki prenesemo vse člene, ki vsebujejo proste neznane spremenljivke. Prostim neznanim spremenljivkam dajmo vrednosti 1,0,0,…,0 in izračunajmo glavne neznanke tako, da na kakršen koli način rešimo nastali osnovni sistem linearnih enačb, na primer po Cramerjevi metodi. Tako bo pridobljen X (1) - prva rešitev temeljnega sistema. Če damo prostim neznankam vrednosti 0,1,0,0,…,0 in izračunamo glavne neznanke, dobimo X (2) . itd. Če damo prostim neznanim spremenljivkam vrednosti 0,0,…,0,1 in izračunamo glavne neznanke, dobimo X (n-r) . Tako bo konstruiran temeljni sistem rešitev homogene SLAE in njegovo splošno rešitev lahko zapišemo v obliki .

Za nehomogene sisteme linearnih algebraičnih enačb je splošna rešitev predstavljena kot

Poglejmo si primere.

Primer.

Poiščite temeljni sistem rešitev in splošno rešitev homogenega sistema linearnih algebrskih enačb .

Odločitev.

Rang glavne matrike homogenih sistemov linearnih enačb je vedno enak rangu razširjene matrike. Poiščimo rang glavne matrike z metodo obrobnih minorjev. Kot neničelni minor prvega reda vzamemo element a 1 1 = 9 glavne matrike sistema. Poiščite obrobni minor, ki ni nič drugega reda:

Najde se minor drugega reda, ki se razlikuje od nič. Pojdimo skozi mladoletnike tretjega reda, ki mejijo nanj, v iskanju neničelne enote:

Vsi mejni minori tretjega reda so enaki nič, zato je rang glavne in razširjene matrike dva. Vzemimo osnovni mol. Zaradi jasnosti opazimo elemente sistema, ki ga tvorijo:

Tretja enačba prvotnega SLAE ne sodeluje pri tvorbi osnovnega minora, zato jo je mogoče izključiti:

Na desnih straneh enačbe pustimo člene, ki vsebujejo glavne neznanke, na desne strani pa prenesemo člene s prostimi neznankami:

Konstruirajmo temeljni sistem rešitev prvotnega homogenega sistema linearnih enačb. Temeljni sistem rešitev tega SLAE je sestavljen iz dveh rešitev, saj izvirni SLAE vsebuje štiri neznane spremenljivke, vrstni red njegovega osnovnega minora pa je dva. Da bi našli X (1), damo prostim neznanim spremenljivkam vrednosti x 2 = 1, x 4 = 0, nato pa poiščemo glavne neznanke iz sistema enačb
.