Kako definirati identično enak izraz. Identitetne transformacije izrazov

Osnovne lastnosti seštevanja in množenja števil.

Komutativna lastnost seštevanja: ko se členi prerazporedijo, se vrednost vsote ne spremeni. Za poljubna števila a in b velja enakost

Asociativna lastnost seštevanja: če želite vsoti dveh številk dodati še tretje število, lahko prvemu številu dodate vsoto drugega in tretjega. Za poljubna števila a, b in c velja enakost

Komutativna lastnost množenja: permutacija faktorjev ne spremeni vrednosti produkta. Za poljubna števila a, b in c velja enakost

Asociativna lastnost množenja: če želite pomnožiti zmnožek dveh števil s tretjim številom, lahko prvo število pomnožite z zmnožkom drugega in tretjega.

Za poljubna števila a, b in c velja enakost

Distributivna lastnost: Če želite število pomnožiti z vsoto, lahko to število pomnožite z vsakim izrazom in seštejete rezultate. Za poljubna števila a, b in c velja enakost

Iz komutativnih in asociativnih lastnosti seštevanja izhaja, da lahko v poljubni vsoti izraze preurejate po želji in jih poljubno kombinirate v skupine.

Primer 1. Izračunajmo vsoto 1,23+13,5+4,27.

Če želite to narediti, je priročno kombinirati prvi izraz s tretjim. Dobimo:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

To izhaja iz komutativnih in asociativnih lastnosti množenja: v katerem koli produktu lahko faktorje na kakršen koli način prerazporedite in jih poljubno združite v skupine.

2. primer Poiščimo vrednost produkta 1,8 0,25 64 0,5.

Če združimo prvi faktor s četrtim in drugega s tretjim, bomo imeli:

1,8 0,25 64 0,5 = (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 = 14,4.

Lastnost porazdelitve velja tudi, če se število pomnoži z vsoto treh ali več členov.

Na primer, za poljubna števila a, b, c in d je enakost resnična

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Vemo, da lahko odštevanje nadomestimo z seštevanjem tako, da minuendu dodamo nasprotno število odštevanju:

To omogoča številski izraz tip a-bštejemo vsoto številk a in -b, štejemo številčni izraz oblike a + b-c-d kot vsoto številk a, b, -c, -d itd. Upoštevane lastnosti dejanj veljajo tudi za takšne vsote.

Primer 3 Poiščimo vrednost izraza 3,27-6,5-2,5+1,73.

Ta izraz je vsota številk 3,27, -6,5, -2,5 in 1,73. Z uporabo lastnosti seštevanja dobimo: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -štiri.

Primer 4. Izračunajmo produkt 36·().

Množitelj si lahko predstavljamo kot vsoto številk in -. Z uporabo distribucijske lastnosti množenja dobimo:

36()=36-36=9-10=-1.

identitete

Opredelitev. Za dva izraza, katerih ustrezne vrednosti so enake za katero koli vrednost spremenljivk, pravimo, da sta identično enaka.

Opredelitev. Enakost, ki velja za vse vrednosti spremenljivk, se imenuje identiteta.

Poiščimo vrednosti izrazov 3(x+y) in 3x+3y za x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Dobili smo enak rezultat. Iz distribucijske lastnosti izhaja, da so na splošno za vse vrednosti spremenljivk ustrezne vrednosti izrazov 3(x+y) in 3x+3y enake.

Poglejmo zdaj izraza 2x+y in 2xy. Za x=1, y=2 imajo enake vrednosti:

Lahko pa določite vrednosti x in y, tako da vrednosti teh izrazov niso enake. Na primer, če je x=3, y=4, potem

Izraza 3(x+y) in 3x+3y sta identično enaka, izraza 2x+y in 2xy pa nista identično enaka.

Enakost 3(x+y)=x+3y, ki velja za vse vrednosti x in y, je identiteta.

Prave številčne enakosti se štejejo tudi za identitete.

Torej so identitete enakosti, ki izražajo glavne lastnosti dejanj na številkah:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Navedemo lahko druge primere identitet:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Identitetne transformacije izrazov

Zamenjava enega izraza z drugim, ki mu je enaka, se imenuje identična transformacija ali preprosto transformacija izraza.

Podobne transformacije izrazov s spremenljivkami se izvajajo na podlagi lastnosti operacij nad števili.

Če želite najti vrednost izraza xy-xz glede na vrednosti x, y, z, morate izvesti tri korake. Na primer, z x=2,3, y=0,8, z=0,2 dobimo:

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Ta rezultat je mogoče dobiti v samo dveh korakih z uporabo izraza x(y-z), ki je identično enak izrazu xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

Izračune smo poenostavili tako, da smo izraz xy-xz zamenjali z enakim enak izraz x(y-z).

Transformacije identitete izrazov se pogosto uporabljajo pri izračunu vrednosti izrazov in reševanju drugih problemov. Nekatere enake transformacije so že bile izvedene, na primer redukcija podobnih izrazov, odpiranje oklepajev. Spomnite se pravil za izvedbo teh transformacij:

da prinesete podobne izraze, morate sešteti njihove koeficiente in rezultat pomnožiti s skupnim črkovnim delom;

če je pred oklepaji znak plus, lahko oklepaje izpustimo in ohranimo predznak vsakega izraza v oklepaju;

če je pred oklepaji znak minus, lahko oklepaje izpustimo tako, da spremenimo predznak vsakega izraza, ki je v oklepaju.

Primer 1. Seštejmo podobne člene v vsoti 5x+2x-3x.

Za zmanjševanje podobnih izrazov uporabljamo pravilo:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Ta transformacija temelji na distribucijski lastnosti množenja.

2. primer Razširimo oklepaje v izrazu 2a+(b-3c).

Uporaba pravila za odpiranje oklepajev, pred katerimi je znak plus:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Izvedena transformacija temelji na asociativni lastnosti seštevanja.

3. primer Razširimo oklepaje v izrazu a-(4b-c).

Uporabimo pravilo za razširitvene oklepaje, pred katerimi je znak minus:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Izvedena transformacija temelji na distribucijski lastnosti množenja in asociativni lastnosti seštevanja. Pokažimo. Predstavljajmo drugi izraz -(4b-c) v tem izrazu kot produkt (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Z uporabo teh lastnosti dejanj dobimo:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

§ 2. Identitetni izrazi, identiteta. Preoblikovanje identitete izraza. Dokazi o identiteti

Poiščimo vrednosti izrazov 2(x - 1) 2x - 2 za dane vrednosti spremenljivke x. Rezultate zapišemo v tabelo:

Sklepamo lahko, da so vrednosti izrazov 2(x - 1) 2x - 2 za vsako dano vrednost spremenljivka x sta med seboj enaka. Glede na distribucijsko lastnost množenja glede na odštevanje 2(x - 1) = 2x - 2. Zato bo za katero koli drugo vrednost spremenljivke x vrednost izraza 2(x - 1) 2x - 2 tudi enaki drug drugemu. Takšni izrazi se imenujejo identično enaki.

Na primer, izraza 2x + 3x in 5x sta sinonima, saj za vsako vrednost spremenljivke x ti izrazi pridobijo enake vrednosti(to izhaja iz distribucijske lastnosti množenja glede na seštevanje, saj je 2x + 3x = 5x).

Poglejmo zdaj izraza 3x + 2y in 5xy. Če je x = 1 in b = 1, so ustrezne vrednosti teh izrazov med seboj enake:

3x + 2y \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 = 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Lahko pa določite vrednosti x in y, za katere vrednosti teh izrazov ne bodo enake druga drugi. Na primer, če je x = 2; y = 0, torej

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

Posledično obstajajo takšne vrednosti spremenljivk, za katere ustrezne vrednosti izrazov 3x + 2y in 5xy med seboj niso enake. Zato izraza 3x + 2y in 5xy nista identično enaka.

Glede na zgoraj navedeno so identitete zlasti enakosti: 2(x - 1) = 2x - 2 in 2x + 3x = 5x.

Identiteta je vsaka enakost, ki je zapisana znane lastnosti dejanja na številkah. na primer

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Obstajajo tudi takšne enakosti kot identitete:

a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Če zmanjšamo podobne izraze v izrazu -5x + 2x - 9, dobimo, da je 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9. V tem primeru pravijo, da je bil izraz 5x + 2x - 9 zamenjan z izrazom 7x - 9, ki mu je identična.

Identične transformacije izrazov s spremenljivkami se izvajajo z uporabo lastnosti operacij na številkah. Zlasti enake transformacije z odpiranjem oklepajev, konstrukcijo podobnih izrazov ipd.

Pri poenostavitvi izraza je treba izvesti identične transformacije, torej zamenjati nek izraz z izrazom, ki mu je identično enak, ki bi moral biti krajši.

Primer 1. Poenostavite izraz:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 mn;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - a + 2 b + 3 b - a= 3a + 5b + 2.

Da bi dokazali, da je enakost identiteta (z drugimi besedami, da bi dokazali identiteto, uporabimo identitetne transformacije izrazov.

Identiteto lahko dokažete na enega od naslednjih načinov:

opraviti enake transformacije njegove leve strani in jo s tem zmanjšati na obliko desne strani;
opraviti enake preoblikovanja njegove desne strani, s čimer jo reduciramo na obliko leve strani;
izvede identične transformacije obeh njegovih delov, s čimer oba dela dvigne na enak izraz.

Primer 2. Dokaži identiteto:

1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;

2) 206 - 4a = 5 (2a - 3b) - 7 (2a - 5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.

razvoj

1) Pretvorimo levo stran te enakosti:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.

Z identičnimi transformacijami smo izraz na levi strani enakosti reducirali na obliko desne strani in tako dokazali, da je ta enakost identiteta.

2) Pretvorimo desno stran te enakosti:

5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10a - 15 b - 14a + 35 b= 20b - 4a.

Z identičnimi transformacijami je bila desna stran enakosti reducirana na obliko leve strani in s tem dokazana, da je ta enakost identiteta.

3) V tem primeru je priročno poenostaviti levi in desni del enakosti in primerjati rezultate:

2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44.

Z enakimi transformacijami smo levi in desni del enakosti zreducirali na enako obliko: 26x - 44. Zato je ta enakost identiteta.

Kateri izrazi se imenujejo enaki? Navedite primer enakih izrazov. Kakšna enakost se imenuje identiteta? Navedite primer identitete. Kaj se imenuje preobrazba identitete izraza? Kako dokazati identiteto?

(Ustno) Ali pa so izrazi enako enaki:

1) 2a + a in 3a;

2) 7x + 6 in 6 + 7x;

3) x + x + x in x 3;

4) 2(x - 2) in 2x - 4;

5) m - n in n - m;

6) 2a ∙ r in 2p ∙ a?

Ali so izrazi enako enaki:

1) 7x - 2x in 5x;

2) 5a - 4 in 4 - 5a;

3) 4m + n in n + 4m;

4) a + a in a 2;

5) 3 (a - 4) in 3a - 12;

6) 5m ∙ n in 5m + n?

(ustno) Ali je identiteta enakosti:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7r - 1 = -1 + 7r;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

Odprti oklepaj:

Odprti oklepaj:

Zmanjšaj podobne izraze:

Poimenujte več izrazov, ki so enaki izrazom 2a + 3a.
Poenostavite izraz z uporabo permutacijskih in konjunktivnih lastnosti množenja:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4p ∙ (-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 g);

4)- x ∙<-7у).

Poenostavite izraz:

1) -2p ∙ 3,5;

2) 7a ∙ (-1,2);

3) 0,2 x ∙ (-3y);

4) - 1 m ∙ (-3n).

(Besedno) Poenostavite izraz:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

Zmanjšaj podobne izraze:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5 - 7 s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4(5x - 7) + 3x + 13;

2) 2(7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3 (2p - 7) - 2 (g - 3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

Odprite oklepaje in zmanjšajte podobne izraze:

1) 3(8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2 (3p - 1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);

4) 3 (5 m - 7) - (15 m - 2).

1) 0,6x + 0,4(x - 20), če je x = 2,4;

2) 1,3 (2a - 1) - 16,4, če je a = 10;

3) 1,2 (m - 5) - 1,8 (10 - m), če je m = -3,7;

4) 2x - 3(x + y) + 4y, če je x = -1, y = 1.

Poenostavite izraz in poiščite njegovo vrednost:

1) 0,7 x + 0,3(x - 4), če je x = -0,7;

2) 1,7 (y - 11) - 16,3, če je v \u003d 20;

3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1), če je a = -1;

4) 5(m - n) - 4m + 7n, če je m = 1,8; n = -0,9.

Dokaži identiteto:

1) - (2x - y) \u003d y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) s - 2 \u003d 5 (s + 2) - 4 (s + 3).

Dokaži identiteto:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

Dolžina ene od stranic trikotnika je cm, dolžina vsake od drugih dveh strani pa je 2 cm večja od nje. Obod trikotnika zapiši kot izraz in izraz poenostavi.
Širina pravokotnika je x cm, dolžina pa 3 cm večja od širine. Zapišite obseg pravokotnika kot izraz in ga poenostavite.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6а - b) - (4 a - 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

Razširite oklepaje in poenostavite izraz:

1) a - (a - (3a - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));

6) (2,1 a - 2,8 b) - (1a - 1b).

Dokaži identiteto:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) - (- 3p) - (-(8 - 5p)) \u003d 2 (4 - g);

3) 3(a - b - c) + 5(a - b) + 3c = 8(a - b).

Dokaži identiteto:

1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

Dokaži, da je vrednost izraza

1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) ni odvisno od vrednosti spremenljivke.

Dokaži, da je za katero koli vrednost spremenljivke vrednost izraza

a - (a - (5a + 2)) - 5 (a - 8)

je ista številka.

Dokaži, da je vsota treh zaporednih sodih številk deljiva s 6.
Dokažite, da če je n naravno število, potem je vrednost izraza -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) sodo število.

Vaje za ponavljanje

Zlitina, ki tehta 1,6 kg, vsebuje 15 % bakra. Koliko kg bakra je v tej zlitini?
Kolikšen odstotek je število 20 od njegovega:

1) kvadratni;

Turist je hodil 2 uri in se vozil s kolesom 3 ure. Skupaj je turist prevozil 56 km. Poišči hitrost, s katero se je turist vozil s kolesom, če je ta za 12 km/h večja od hitrosti, s katero je hodil.

Zanimive naloge za lene učence

Na mestnem nogometnem prvenstvu sodeluje 11 ekip. Vsaka ekipa igra eno tekmo z drugimi. Dokaži, da v katerem koli trenutku tekmovanja obstaja ekipa, ki je odigrala sodo število tekem ali pa še nobene.

Upoštevajte dve enakosti:

1. a 12 * a 3 = a 7 * a 8

Ta enakost bo veljala za katero koli vrednost spremenljivke a. Obseg veljavnih vrednosti za to enakost bo celoten niz realnih števil.

2. a 12: a 3 = a 2 * a 7 .

Ta neenakost bo veljala za vse vrednosti spremenljivke a, razen za enako nič. Obseg sprejemljivih vrednosti za to neenakost bo celoten niz realnih števil, razen nič.

O vsaki od teh enakosti je mogoče trditi, da bo res za vse dopustne vrednosti spremenljivk a. Takšne enačbe v matematiki se imenujejo identitete.

Koncept identitete

Identiteta je enakost, ki velja za vse dopustne vrednosti spremenljivk. Če se v to enakost namesto spremenljivk nadomestijo katere koli veljavne vrednosti, je treba dobiti pravilno številčno enakost.

Omeniti velja, da so prave številčne enakosti tudi identitete. Identitete bodo na primer lastnosti dejanj na številkah.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a*(b + c) = a*b + a*c;

11. a*(-1) = -a.

Če sta dva izraza za katero koli dopustno spremenljivko enaka, se takšna izraza kličeta identično enaki. Spodaj je nekaj primerov identično enakih izrazov:

1. (a 2) 4 in a 8;

2. a*b*(-a^2*b) in -a 3 *b 2 ;

3. ((x 3 *x 8)/x) in x 10 .

En izraz lahko vedno zamenjamo s katerim koli drugim izrazom, ki je enak prvemu. Takšna zamenjava bo identična preobrazba.

Primeri identitete

Primer 1: Ali so naslednje enakosti identitete:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

Vsi zgornji izrazi ne bodo identiteti. Od teh enakosti je le 1, 2 in 3 enakosti identitete. Katera koli števila vanje nadomestimo, namesto spremenljivk a in b še vedno dobimo pravilne številčne enakosti.

Toda 4 enakost ni več identiteta. Ker ne bo za vse dopustne vrednosti ta enakost izpolnjena. Na primer, z vrednostmi a = 5 in b = 2 dobite naslednji rezultat:

Ta enakost ne drži, saj število 3 ni enako številu -3.

Pretvorbe identitete so delo, ki ga opravljamo s številskimi in abecednimi izrazi, pa tudi z izrazi, ki vsebujejo spremenljivke. Vse te transformacije izvedemo, da bi izvirni izraz spravil v obliko, ki bo primerna za reševanje problema. V tej temi bomo obravnavali glavne vrste identičnih transformacij.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Preoblikovanje identitete izraza. kaj je to?

Prvič se srečamo s konceptom identičnega transformiranega mi pri pouku algebre v 7. razredu. Nato se najprej seznanimo s pojmom identično enakih izrazov. Opravimo se s koncepti in definicijami, da olajšamo asimilacijo teme.

Opredelitev 1

Preoblikovanje identitete izraza so dejanja, izvedena za zamenjavo izvirnega izraza z izrazom, ki bo identično enak prvotnemu.

Pogosto se ta definicija uporablja v skrajšani obliki, v kateri je beseda "identična" izpuščena. Predvideva se, da v vsakem primeru izvedemo transformacijo izraza tako, da dobimo izraz, ki je enak prvotnemu, in tega ni treba posebej poudarjati.

To definicijo ponazorimo s primeri.

Primer 1

Če zamenjamo izraz x + 3 - 2 do identično enakega izraza x+1, nato izvedemo identično transformacijo izraza x + 3 - 2.

Primer 2

Zamenjava izraza 2 a 6 z izrazom a 3 je transformacija identitete, medtem ko zamenjava izraza x do izraza x2 ni identična transformacija, saj izrazi x in x2 niso identično enaki.

Opozarjamo vas na obliko pisnih izrazov pri izvajanju enakih transformacij. Prvotni izraz in nastali izraz običajno zapišemo kot enakost. Torej, pisanje x + 1 + 2 = x + 3 pomeni, da je bil izraz x + 1 + 2 reduciran na obliko x + 3 .

Zaporedno izvajanje dejanj nas pripelje do verige enakosti, ki je več zaporednih enakih transformacij. Torej, zapis x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x razumemo kot zaporedno izvedbo dveh transformacij: najprej je bil izraz x + 1 + 2 reduciran na obliko x + 3 in se je zmanjšal na oblika 3 + x.

Identitetne transformacije in ODZ

Številni izrazi, ki jih začnemo preučevati v 8. razredu, niso smiselni za nobene vrednosti spremenljivk. Izvajanje enakih transformacij v teh primerih zahteva, da smo pozorni na območje dopustnih vrednosti spremenljivk (ODV). Izvajanje enakih transformacij lahko ODZ ostane nespremenjeno ali pa ga zoži.

Primer 3

Pri izvajanju prehoda iz izraza a + (−b) do izraza a-b obseg dovoljenih vrednosti spremenljivk a in b ostane enak.

Primer 4

Prehod iz izraza x v izraz x 2 x vodi do zožitve obsega sprejemljivih vrednosti spremenljivke x iz množice vseh realnih števil na množico vseh realnih števil, iz katerih je bila nič izključena.

Primer 5

Preoblikovanje identitete izraza x 2 x izraz x vodi do razširitve obsega veljavnih vrednosti spremenljivke x iz množice vseh realnih števil razen nič na množico vseh realnih števil.

Pri reševanju problemov je pomembno zožiti ali razširiti obseg dovoljenih vrednosti spremenljivk pri izvajanju enakih transformacij, saj lahko vpliva na natančnost izračunov in povzroči napake.

Osnovne transformacije identitete

Poglejmo zdaj, kaj so identične transformacije in kako se izvajajo. Naj v glavno skupino izpostavimo tiste vrste identičnih transformacij, s katerimi se moramo najpogosteje soočiti.

Poleg osnovnih transformacij identitete obstajajo številne transformacije, ki se nanašajo na izraze določene vrste. Za ulomke so to metode redukcije in redukcije na nov imenovalec. Za izraze s koreninami in potenci so vsa dejanja, ki se izvajajo na podlagi lastnosti korenin in potenk. Za logaritemske izraze so dejanja, ki se izvajajo na podlagi lastnosti logaritmov. Za trigonometrične izraze so vsa dejanja, ki uporabljajo trigonometrične formule. Vse te posebne preobrazbe so podrobno obravnavane v ločenih temah, ki jih najdete na našem viru. Zaradi tega se v tem članku o njih ne bomo zadrževali.

Nadaljujmo z obravnavo glavnih identičnih transformacij.

Preureditev izrazov, dejavnikov

Začnimo s prerazporeditvijo izrazov. S to identično preobrazbo se najpogosteje ukvarjamo. In naslednjo izjavo lahko štejemo za glavno pravilo: v kateri koli vsoti preureditev izrazov po mestih ne vpliva na rezultat.

To pravilo temelji na komutativnih in asociativnih lastnostih seštevanja. Te lastnosti nam omogočajo, da po mestih prerazporedimo izraze in hkrati dobimo izraze, ki so identično enaki prvotnim. Zato je preureditev izrazov po mestih v seštevku identična transformacija.

Primer 6

Imamo vsoto treh členov 3 + 5 + 7 . Če zamenjamo izraza 3 in 5, bo izraz dobil obliko 5 + 3 + 7. V tem primeru obstaja več možnosti za preureditev izrazov. Vsi vodijo k pridobivanju izrazov, ki so identično enaki prvotnemu.

Ne samo števila, ampak tudi izrazi lahko delujejo kot izrazi v vsoti. Tako kot številke jih je mogoče prerazporediti, ne da bi to vplivalo na končni rezultat izračunov.

Primer 7

V seštevku treh členov 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 in - 12 a v obliki 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) člene je mogoče preurediti, na primer tako (- 12) a + 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 . Po drugi strani lahko prerazporedite člene v imenovalcu ulomka 1 a + b, medtem ko bo ulomek dobil obliko 1 b + a. In izraz pod korenskim znakom a 2 + 2 a + 5 je tudi vsota, v kateri je mogoče izraze zamenjati.

Na enak način kot izrazi lahko v izvirnih izrazih zamenjamo faktorje in dobimo enako pravilne enačbe. To dejanje ureja naslednje pravilo:

Opredelitev 2

V izdelku prerazporeditev faktorjev po mestih ne vpliva na rezultat izračuna.

To pravilo temelji na komutativnih in asociativnih lastnostih množenja, ki potrjujejo pravilnost identične transformacije.

Primer 8

Delo 3 5 7 permutacijo faktorjev lahko predstavimo v eni od naslednjih oblik: 5 3 7 , 5 7 3 , 7 3 5 , 7 5 3 oz. 3 7 5.

Primer 9

Permutiranje faktorjev v produktu x + 1 x 2 - x + 1 x bo dalo x 2 - x + 1 x x + 1

Razširitev nosilca

Oklepaji lahko vsebujejo vnose številskih izrazov in izrazov s spremenljivkami. Te izraze lahko pretvorimo v enako enake izraze, v katerih oklepajev sploh ne bo ali pa jih bo manj kot v izvirnih izrazih. Ta način pretvorbe izrazov se imenuje razširitev oklepajev.

Primer 10

Izvajajmo dejanja z oklepaji v izrazu obrazca 3 + x − 1 x da bi dobili identično pravi izraz 3 + x − 1 x.

Izraz 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x lahko pretvorimo v enako enak izraz brez oklepajev 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x .

Pravila za pretvorbo izrazov z oklepaji smo podrobno obravnavali v temi "Razširitev oklepaja", ki je objavljena na našem viru.

Pojmovi združevanja, dejavniki

V primerih, ko imamo opravka s tremi ali več izrazi, se lahko zatečemo k takšni vrsti identičnih transformacij, kot je združevanje izrazov. S tem načinom preoblikovanja je mišljeno združitev več izrazov v skupino tako, da jih prerazporedimo in postavimo v oklepaje.

Pri združevanju v skupine se izrazi zamenjajo tako, da so združeni izrazi v zapisu izrazov drug poleg drugega. Po tem jih lahko zaprete v oklepaje.

Primer 11

Vzemite izraz 5 + 7 + 1 . Če prvi člen združimo s tretjim, dobimo (5 + 1) + 7 .

Združevanje dejavnikov poteka podobno kot združevanje izrazov.

Primer 12

V službi 2 3 4 5 prvi faktor je mogoče združiti s tretjim, drugi faktor pa s četrtim, v tem primeru pridemo do izraza (2 4) (3 5). In če bi združili prvi, drugi in četrti faktor, bi dobili izraz (2 3 5) 4.

Izraze in faktorje, ki so združeni, lahko predstavimo tako s praštevili kot z izrazi. Pravila združevanja so bila podrobneje obravnavana v temi "Združevanje izrazov in dejavnikov".

Zamenjava razlik z vsotami, delnimi produkti in obratno

Zamenjava razlik z vsotami je postala mogoča zaradi našega poznavanja nasprotnih številk. Zdaj odštej od števila aštevilke b lahko vidimo kot dodatek k številki aštevilke −b. Enakost a − b = a + (− b) se lahko šteje za pošteno in na podlagi tega izvede nadomestitev razlik z zneski.

Primer 13

Vzemite izraz 4 + 3 − 2 , v katerem je razlika številk 3 − 2 lahko zapišemo kot vsoto 3 + (− 2) . Pridobite 4 + 3 + (− 2) .

Primer 14

Vse razlike v izrazu 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2 se lahko nadomesti z vsotami, kot so 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0 , 2).

Na vsote lahko nadaljujemo iz kakršnih koli razlik. Podobno lahko izvedemo obratno zamenjavo.

Zamenjava deljenja z množenjem z recipročno vrednostjo delitelja omogoča koncept recipročnih števil. To transformacijo lahko zapišemo kot a: b = a (b − 1).

To pravilo je bilo osnova pravila za deljenje navadnih ulomkov.

Primer 15

Zasebno 1 2: 3 5 se lahko nadomesti z izdelkom oblike 1 2 5 3.

Podobno lahko po analogiji deljenje nadomestimo z množenjem.

Primer 16

V primeru izraza 1+5:x:(x+3) zamenjaj delitev z x se lahko pomnoži z 1 x. Delitev po x + 3 lahko nadomestimo tako, da pomnožimo z 1 x + 3. Transformacija nam omogoča, da dobimo izraz, ki je enak izvirniku: 1 + 5 1 x 1 x + 3 .

Zamenjava množenja z deljenjem se izvede po shemi a b = a: (b − 1).

Primer 17

V izrazu 5 x x 2 + 1 - 3 lahko množenje nadomestimo z deljenjem kot 5: x 2 + 1 x - 3.

Izvajanje dejanj s številkami

Za izvajanje operacij s številkami velja pravilo vrstnega reda operacij. Najprej se izvajajo operacije s potenci števil in koreni števil. Nato z njihovimi vrednostmi zamenjamo logaritme, trigonometrične in druge funkcije. Nato se izvedejo dejanja v oklepajih. In potem lahko že izvajate vsa druga dejanja od leve proti desni. Pomembno si je zapomniti, da se množenje in deljenje izvajata pred seštevanjem in odštevanjem.

Operacije s številkami vam omogočajo, da prvotni izraz pretvorite v enak enak izraz.

Primer 18

Pretvorimo izraz 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x tako, da izvedemo vse možne operacije s številkami.

Rešitev

Najprej poglejmo stopnjo 2 3 in koren 4 ter izračunaj njune vrednosti: 2 3 = 8 in 4 = 2 2 = 2 .

Dobljene vrednosti nadomestimo v izvirni izraz in dobimo: 3 (8 - 1) a + 2 (x 2 + 5 x) .

Zdaj pa naredimo oklepaje: 8 − 1 = 7 . In pojdimo na izraz 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Narediti moramo samo množenje 3 in 7 . Dobimo: 21 a + 2 (x 2 + 5 x) .

odgovor: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Pred operacijami s številkami so lahko druge vrste transformacij identitet, kot je združevanje številk ali razširitev oklepajev.

Primer 19

Vzemite izraz 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11.

Rešitev

Najprej bomo spremenili količnik v oklepaju 6: 3 o njegovem pomenu 2 . Dobimo: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 .

Razširimo oklepaje: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.

Združimo številčne faktorje v izdelku, pa tudi izraze, ki so števila: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Naredimo oklepaje: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

odgovor:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Če delamo s številskimi izrazi, bo namen našega dela najti vrednost izraza. Če transformiramo izraze s spremenljivkami, bo cilj naših dejanj poenostaviti izraz.

Oklepaje skupnega faktorja

V primerih, ko imajo izrazi v izrazu enak faktor, lahko ta skupni faktor vzamemo iz oklepajev. Za to moramo prvotni izraz najprej predstaviti kot produkt skupnega faktorja in izraza v oklepaju, ki je sestavljen iz izvirnih izrazov brez skupnega faktorja.

Primer 20

Številčno 2 7 + 2 3 lahko izločimo skupni faktor 2 izven oklepajev in dobimo enako pravilen izraz obrazca 2 (7 + 3).

V ustreznem razdelku našega vira lahko osvežite spomin na pravila za stavljanje skupnega faktorja iz oklepajev. Gradivo podrobno obravnava pravila za izločanje skupnega faktorja iz oklepajev in ponuja številne primere.

Zmanjšanje podobnih izrazov

Zdaj pa pojdimo na vsote, ki vsebujejo podobne izraze. Tu sta možni dve možnosti: vsote, ki vsebujejo enake izraze, in vsote, katerih izrazi se razlikujejo za številčni koeficient. Operacije z vsotami, ki vsebujejo podobne člene, se imenujejo redukcija podobnih členov. Izvaja se na naslednji način: skupni črkovni del postavimo iz oklepajev in izračunamo vsoto številskih koeficientov v oklepajih.

Primer 21

Upoštevajte izraz 1 + 4 x − 2 x. Dobesedni del x lahko vzamemo iz oklepajev in dobimo izraz 1 + x (4 − 2). Izračunajmo vrednost izraza v oklepajih in dobimo vsoto v obliki 1 + x · 2 .

Zamenjava številk in izrazov z enako enakimi izrazi

Številke in izraze, ki sestavljajo izvirni izraz, je mogoče nadomestiti z izrazi, ki so jim enako enaki. Takšna transformacija izvirnega izraza vodi do izraza, ki mu je identično enak.

Primer 22 Primer 23

Upoštevajte izraz 1 + a5, v katerem lahko stopnjo a 5 nadomestimo z enakim produktom, na primer v obliki a 4. To nam bo dalo izraz 1 + a 4.

Izvedena transformacija je umetna. Smiselno je le v pripravah na druge preobrazbe.

Primer 24

Razmislite o transformaciji vsote 4 x 3 + 2 x 2. Tukaj je izraz 4x3 lahko predstavljamo kot izdelek 2 x 2 x 2 x. Kot rezultat, izvirni izraz dobi obliko 2 x 2 2 x + 2 x 2. Zdaj lahko izoliramo skupni faktor 2x2 in ga vzemite iz oklepajev: 2 x 2 (2 x + 1).

Seštevanje in odštevanje istega števila

Dodajanje in odštevanje istega števila ali izraza hkrati je tehnika umetne transformacije izraza.

Primer 25

Upoštevajte izraz x 2 + 2 x. Od njega lahko dodamo ali odštejemo eno, kar nam bo omogočilo, da kasneje izvedemo še eno identično transformacijo - da izberemo kvadrat binoma: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

Če opazite napako v besedilu, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Ko smo dobili idejo o identitetah, je logično, da preidemo na spoznavanje. V tem članku bomo odgovorili na vprašanje, kaj so identično enaki izrazi, in tudi s primeri bomo ugotovili, kateri izrazi so identično enaki in kateri ne.

Navigacija po straneh.

Kaj so identično enaki izrazi?

Definicija identično enakih izrazov je podana vzporedno z definicijo identitete. To se zgodi pri pouku algebre v 7. razredu. V učbeniku algebre za 7 razredov avtor Yu. N. Makarychev daje naslednje besedilo:

Opredelitev.

so izrazi, katerih vrednosti so enake za vse vrednosti spremenljivk, vključenih v njih. Številčni izrazi, ki ustrezajo enakim vrednostim, se imenujejo tudi identično enaki.

Ta definicija se uporablja do razreda 8, velja za celoštevilske izraze, saj so smiselni za vse vrednosti spremenljivk, vključenih v njih. In v 8. razredu je določena definicija identično enakih izrazov. Pojasnimo, s čim je to povezano.

V 8. razredu se začne preučevanje drugih vrst izrazov, ki za razliko od celoštevilskih izrazov morda niso smiselni za nekatere vrednosti spremenljivk. Zaradi tega je treba uvesti definicije dopustnih in neveljavnih vrednosti spremenljivk ter obsega dovoljenih vrednosti ODV spremenljivke in posledično razjasniti definicijo identično enakih izrazov.

Opredelitev.

Klicana sta dva izraza, katerih vrednosti so enake za vse dopustne vrednosti njihovih spremenljivk identično enaki izrazi. Prav tako pravimo, da sta dva številska izraza, ki imata enako vrednost, enako enaka.

V tej definiciji identično enakih izrazov je vredno pojasniti pomen izraza "za vse dopustne vrednosti spremenljivk, ki so vključene v njih." Vključuje vse takšne vrednosti spremenljivk, za katere sta oba identično enaka izraza hkrati smiselna. Ta ideja bo pojasnjena v naslednjem razdelku z obravnavo primerov.

Opredelitev identično enakih izrazov v učbeniku A. G. Mordkovicha je podana nekoliko drugače:

Opredelitev.

Identični enaki izrazi so izrazi na levi in desni strani identitete.

Po pomenu ta in prejšnja definicija sovpadata.

Primeri enako enakih izrazov

Definicije, uvedene v prejšnjem pododdelku, nam omogočajo, da prinesemo primeri enako enakih izrazov.

Začnimo z enako enakimi številskimi izrazi. Številska izraza 1+2 in 2+1 sta identično enaka, ker ustrezata enakim vrednostim 3 in 3. Tudi izraza 5 in 30:6 sta enako enaka, kot tudi izraza (2 2) 3 in 2 6 (vrednosti zadnjih izrazov so enake zaradi ). Toda številčna izraza 3+2 in 3−2 nista identično enaka, saj ustrezata vrednostim 5 oziroma 1, vendar nista enaka.

Zdaj podajamo primere identično enakih izrazov s spremenljivkami. To sta izraza a+b in b+a. Dejansko za vse vrednosti spremenljivk a in b pisni izrazi prevzamejo enake vrednosti (kar sledi iz številk). Na primer, z a=1 in b=2 imamo a+b=1+2=3 in b+a=2+1=3 . Za vse druge vrednosti spremenljivk a in b bomo dobili tudi enake vrednosti teh izrazov. Tudi izraza 0·x·y·z in 0 sta enako enaka za vse vrednosti spremenljivk x, y in z. Toda izraza 2 x in 3 x nista identično enaka, saj na primer pri x=1 njune vrednosti niso enake. Dejansko je za x=1 izraz 2 x 2 1=2, izraz 3 x pa 3 1=3.

Ko območja dovoljenih vrednosti spremenljivk v izrazih sovpadajo, kot na primer v izrazih a+1 in 1+a , ali a b 0 in 0 ali in , in so vrednosti teh izrazov enake za vse vrednosti spremenljivk s teh območij, potem je tukaj vse jasno - ti izrazi so identično enaki za vse dopustne vrednosti spremenljivk, vključenih v njih. Torej a+1≡1+a za katero koli a , sta izraza a b 0 in 0 identično enaka za vse vrednosti spremenljivk a in b , in izrazi in so identično enaki za vse x iz ; ur. S. A. Telyakovsky. - 17. izd. - M. : Izobraževanje, 2008. - 240 str. : bolna. - ISBN 978-5-09-019315-3.

algebra: učbenik za 8 celic. Splošna izobrazba ustanove / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ur. S. A. Telyakovsky. - 16. izd. - M. : Izobraževanje, 2008. - 271 str. : bolna. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Mordkovich A. G. algebra. 7. razred. Ob 14. uri 1. del. Učbenik za študente izobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich. - 17. izd., dodaj. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-02432-3.