Sistem linearnih enačb se imenuje skupni if mti. Kako najti splošno in posebno rešitev za sistem linearnih enačb

Še naprej se ukvarjamo s sistemi linearnih enačb. Do sedaj smo obravnavali sisteme, ki imajo edinstveno rešitev. Takšne sisteme je mogoče rešiti na kakršen koli način: nadomestna metoda("šola") po Cramerjevi formuli, matrična metoda, Gaussova metoda. Vendar sta v praksi razširjena še dva primera, ko:

1) sistem je nedosleden (nima rešitev);

2) sistem ima neskončno veliko rešitev.

Za te sisteme se uporablja najbolj univerzalna od vseh metod rešitve - Gaussova metoda. Pravzaprav bo tudi »šolska« pot vodila do odgovora, vendar v višja matematika Običajno se uporablja Gaussova metoda zaporednega odpravljanja neznank. Tisti, ki ne poznate algoritma Gaussove metode, najprej preučite lekcijo Gaussova metoda

Same transformacije elementarne matrike so popolnoma enake, bo razlika na koncu rešitve. Najprej si oglejmo nekaj primerov, ko sistem nima rešitev (nekonsistenten).

Primer 1

Kaj vam v tem sistemu takoj pade v oči? Število enačb je manjše od števila spremenljivk. Obstaja izrek, ki pravi: »Če je število enačb v sistemu manjša količina spremenljivke, potem je sistem nekonsistenten ali pa ima neskončno veliko rešitev. In ostalo je le ugotoviti.

Začetek rešitve je povsem običajen - napišemo razširjeno matriko sistema in jo z uporabo elementarnih transformacij pripeljemo v obliko korakov:

(ena). Na zgornjem levem koraku moramo dobiti (+1) ali (-1). V prvem stolpcu takšnih številk ni, zato prerazporeditev vrstic ne bo delovala. Enoto bo treba organizirati samostojno, kar je mogoče storiti na več načinov. Tako smo naredili. Prvi vrstici dodamo tretjo vrstico, pomnoženo z (-1).

(2). Zdaj dobimo dve ničli v prvem stolpcu. V drugo vrstico dodajte prvo vrstico, pomnoženo s 3. V tretjo vrstico dodajte prvo, pomnoženo s 5.

(3). Ko je transformacija opravljena, je vedno priporočljivo preveriti, ali je mogoče poenostaviti nastale nize? Lahko. Drugo vrstico delimo z 2, hkrati pa na drugem koraku dobimo želeno (-1). Tretjo vrstico delite s (-3).

(4). Dodajte drugo vrstico tretji vrstici. Verjetno so bili vsi pozorni na slabo linijo, ki se je izkazala kot posledica elementarnih preobrazb:

. Jasno je, da temu ne more biti tako.

Dejansko prepišemo nastalo matriko

nazaj na sistem linearnih enačb:

Če je kot rezultat elementarnih transformacij niz obrazca , kjeλ je število, ki ni nič, potem je sistem nedosleden (nima rešitev).

Kako posneti konec opravila? Zapisati morate besedno zvezo:

»Kot rezultat elementarnih transformacij dobimo niz oblike, kjer λ ≠ 0 ". Odgovor: "Sistem nima rešitev (nekonsistentno)."

Upoštevajte, da v tem primeru ni povratnega premika Gaussovega algoritma, ni rešitev in preprosto ni ničesar za najti.

Primer 2

Rešite sistem linearnih enačb

To je primer "naredi sam". Popolna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Ponovno vas opozarjamo, da se vaša pot rešitve lahko razlikuje od naše rešitve, Gaussova metoda ne določa nedvoumnega algoritma, postopek in sama dejanja morate v vsakem primeru uganiti sami.

Še en tehnična lastnost rešitve: elementarne transformacije je mogoče ustaviti Naenkrat, takoj ko vrstica, kot je , kje λ ≠ 0 . Razmislite pogojni primer: recimo, da po prvi transformaciji dobimo matriko

Ta matrika še ni reducirana na stopničasto obliko, vendar ni potrebe po nadaljnjih elementarnih transformacijah, saj se je pojavila vrstica obrazca, kjer λ ≠ 0 . Takoj je treba odgovoriti, da je sistem nezdružljiv.

Ko sistem linearnih enačb nima rešitev, je to skoraj darilo za učenca, saj dobimo kratko rešitev, včasih dobesedno v 2-3 korakih. Toda vse na tem svetu je uravnoteženo in problem, v katerem ima sistem neskončno veliko rešitev, je le daljši.

3. primer:

Rešite sistem linearnih enačb

Obstajajo 4 enačbe in 4 neznanke, tako da ima sistem lahko eno samo rešitev ali nima rešitev ali pa ima neskončno število rešitev. Karkoli že je bilo, vendar nas bo Gaussova metoda v vsakem primeru pripeljala do odgovora. To je njegova vsestranskost.

Začetek je spet standarden. Napišemo razširjeno matriko sistema in jo z uporabo elementarnih transformacij pripeljemo v stopničasto obliko:

To je vse in bal si se.

(ena). Upoštevajte, da so vse številke v prvem stolpcu deljive z 2, tako da smo v zgornjem levem koraku zadovoljni tudi z dvojko. V drugo vrstico dodamo prvo vrstico, pomnoženo z (-4). Tretji vrstici dodamo prvo vrstico, pomnoženo z (-2). Četrti vrstici dodamo prvo vrstico, pomnoženo z (-1).

Pozor! Marsikoga morda mika iz četrte vrstice odštej prva vrsta. To je mogoče storiti, vendar ni nujno, izkušnje kažejo, da se verjetnost napake v izračunih večkrat poveča. Samo dodamo: četrti vrstici dodamo prvo vrstico, pomnoženo z (-1) - točno!

(2). Zadnje tri vrstice so sorazmerne, dve od njih je mogoče izbrisati. Tukaj je spet treba pokazati povečana pozornost, a so črte res sorazmerne? Za pozavarovanje ne bo odveč, če drugo vrstico pomnožite z (-1), četrto vrstico pa delite z 2, tako da dobite tri enake vrstice. In šele po tem odstranite dva od njih. Kot rezultat elementarnih transformacij se razširjena matrika sistema zmanjša na stopničasto obliko:

Pri izpolnjevanju naloge v zvezku je priporočljivo, da iste zapiske naredite s svinčnikom zaradi jasnosti.

Prepišemo ustrezen sistem enačb:

Edina »običajna« rešitev sistema tukaj ne diši. Slaba linija kje λ ≠ 0, tudi št. To je torej tretji preostali primer – sistem ima neskončno veliko rešitev.

Neskončen nabor rešitev sistema je na kratko zapisan v obliki t.i splošna sistemska rešitev.

Splošno rešitev sistema bomo našli z uporabo povratnega gibanja po Gaussovi metodi. Za sisteme enačb z neskončnim naborom rešitev se pojavijo novi koncepti: "osnovne spremenljivke" in "proste spremenljivke". Najprej definirajmo, katere spremenljivke imamo osnovni in katere spremenljivke - prost. Ni treba podrobno razlagati izrazov linearne algebre, dovolj je, da se spomnimo, da takšni obstajajo osnovne spremenljivke in proste spremenljivke.

Osnovne spremenljivke vedno "sedijo" strogo na stopnicah matrike. V tem primeru so osnovne spremenljivke x 1 in x 3 .

Proste spremenljivke so vse preostalih spremenljivke, ki niso dobile koraka. V našem primeru sta dva: x 2 in x 4 - proste spremenljivke.

Zdaj potrebujete vseosnovne spremenljivke ekspresno samo skoziproste spremenljivke. Povratna poteza Gaussovega algoritma tradicionalno deluje od spodaj navzgor. Iz druge enačbe sistema izrazimo osnovno spremenljivko x 3:

Zdaj si oglejte prvo enačbo: . Najprej vanj nadomestimo najdeni izraz:

Ostaja še izraziti osnovno spremenljivko x 1 prek prostih spremenljivk x 2 in x 4:

Rezultat je tisto, kar potrebujete - vse osnovne spremenljivke ( x 1 in x 3) izraženo samo skozi proste spremenljivke ( x 2 in x 4):

Pravzaprav je splošna rešitev pripravljena:

Kako zapisati splošno rešitev? Najprej se proste spremenljivke vpišejo v splošno rešitev "posamezno" in strogo na svojih mestih. V tem primeru so proste spremenljivke x 2 in x 4 naj bo na drugem in četrtem mestu napisano:

Nastali izrazi za osnovne spremenljivke in očitno mora biti napisano na prvem in tretjem mestu:

Iz splošne rešitve sistema je mogoče najti neskončno veliko zasebne odločitve. To je zelo preprosto. proste spremenljivke x 2 in x 4 se imenujejo tako, ker jih je mogoče dati kakršne koli končne vrednosti. Najbolj priljubljene vrednosti so ničelne vrednosti, saj je to najlažji način za pridobitev določene rešitve.

Zamenjava ( x 2 = 0; x 4 = 0) v splošno rešitev dobimo eno od posebnih rešitev:

ali je določena rešitev, ki ustreza prostim spremenljivkam z vrednostmi ( x 2 = 0; x 4 = 0).

Ena sta še en sladek par, dajva nadomestiti ( x 2 = 1 in x 4 = 1) v splošno rešitev:

, torej (-1; 1; 1; 1) je še ena posebna rešitev.

Zlahka je videti, da ima sistem enačb neskončno veliko rešitev saj lahko damo proste spremenljivke kaj vrednote.

Vsak določena rešitev mora zadovoljiti vsakemu sistemska enačba. To je osnova za "hitro" preverjanje pravilnosti rešitve. Vzemite na primer določeno rešitev (-1; 1; 1; 1) in jo nadomestite z levo stranjo vsake enačbe v izvirnem sistemu:

Vse se mora združiti. In s katero koli določeno rešitvijo, ki jo dobite, bi se moralo tudi vse zbližati.

Strogo gledano, preverjanje določene rešitve včasih vara, tj. neka posebna rešitev lahko zadovolji vsako enačbo sistema, sama splošna rešitev pa je dejansko najdena napačno. Zato je najprej preverjanje splošne rešitve temeljitejše in zanesljivejše.

Kako preveriti nastalo splošno rešitev ?

Ni težko, vendar zahteva precej dolgo preobrazbo. Moramo sprejeti izraze osnovni spremenljivke, v tem primeru in , in ju nadomestimo v levo stran vsake enačbe sistema.

Na levi strani prve enačbe sistema:

Dobi se desna stran prvotne prve enačbe sistema.

Na levi strani druge enačbe sistema:

Dobi se desna stran prvotne druge enačbe sistema.

In dalje - na levi del tretje in četrte enačbe sistema. To preverjanje je daljše, vendar zagotavlja 100-odstotno pravilnost celotne rešitve. Poleg tega je pri nekaterih nalogah potrebno preveriti splošno rešitev.

4. primer:

Rešite sistem z Gaussovo metodo. Poiščite splošno rešitev in dve zasebni. Preverite celotno rešitev.

To je primer "naredi sam". Tu je, mimogrede, spet število enačb manjše od števila neznank, kar pomeni, da je takoj jasno, da bo sistem bodisi nedosleden bodisi bo imel neskončno število rešitev.

5. primer:

Rešite sistem linearnih enačb. Če ima sistem neskončno veliko rešitev, poiščite dve posebni rešitvi in preverite splošno rešitev

Odločitev: Zapišemo razširjeno matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij spravimo v stopničasto obliko:

(ena). Dodajte prvo vrstico drugi vrstici. Tretji vrstici dodamo prvo vrstico, pomnoženo z 2. V četrto vrstico dodamo prvo vrstico, pomnoženo s 3.

(2). Tretji vrstici dodamo drugo vrstico, pomnoženo z (-5). Četrti vrstici dodamo drugo vrstico, pomnoženo z (-7).

(3). Tretja in četrta vrstica sta enaki, eno od njiju izbrišemo. Tukaj je takšna lepotica:

Osnovne spremenljivke so na stopnicah, zato so osnovne spremenljivke.

Obstaja samo ena prosta spremenljivka, ki ni dobila koraka: .

(4). Povratna poteza. Osnovne spremenljivke izrazimo v obliki proste spremenljivke:

Iz tretje enačbe:

Razmislite o drugi enačbi in vanjo nadomestite najdeni izraz:

, , ,

Razmislite o prvi enačbi in zamenjajte najdene izraze in vanjo:

Tako je splošna rešitev z eno prosto spremenljivko x 4:

Še enkrat, kako se je zgodilo? prosta spremenljivka x 4 sedi sam na svojem upravičenem četrtem mestu. Na svojih mestih so tudi dobljeni izrazi za osnovne spremenljivke , .

Takoj preverimo splošno rešitev.

V levo stran vsake enačbe sistema nadomestimo osnovne spremenljivke , :

Dobljene so ustrezne desne strani enačb, s čimer se najde pravilna splošna rešitev.

Zdaj iz najdene splošne rešitve dobimo dve posebni rešitvi. Vse spremenljivke so tukaj izražene z enim prosta spremenljivka x 4 . Ni vam treba razbijati glave.

Naj bo x 4 = 0, torej je prva posebna rešitev.

Naj bo x 4 = 1, torej je še ena posebna rešitev.

odgovor: Skupna odločitev: . Zasebne rešitve:

in .

6. primer:

Poiščite splošno rešitev sistema linearnih enačb.

Splošno rešitev smo že preverili, odgovoru lahko zaupamo. Vaš način delovanja se lahko razlikuje od našega. Glavna stvar je, da splošne rešitve sovpadajo. Verjetno so mnogi opazili neprijeten trenutek v rešitvah: zelo pogosto smo se morali med obratnim potekom Gaussove metode poigravati z navadne frakcije. V praksi je to res, primeri, ko ulomkov ni, so veliko manj pogosti. Bodite pripravljeni psihično in kar je najpomembneje, tehnično.

Osredotočimo se na značilnosti rešitve, ki jih v rešenih primerih nismo našli. Splošna rešitev sistema lahko včasih vključuje konstanto (ali konstante).

Na primer, splošna rešitev: . Tu je ena od osnovnih spremenljivk enaka konstantnemu številu: . V tem ni nič eksotičnega, se zgodi. Očitno bo v tem primeru vsaka posebna rešitev vsebovala petico na prvem mestu.

Redko, vendar obstajajo sistemi, v katerih število enačb je večje od števila spremenljivk. Vendar pa Gaussova metoda deluje v najtežjih pogojih. Razširjeno matriko sistema bi morali mirno spraviti v stopničasto obliko po standardnem algoritmu. Tak sistem je lahko nedosleden, ima lahko neskončno veliko rešitev in, kar je čudno, lahko ima edinstveno rešitev.

Ponavljamo v našem nasvetu - da bi se počutili udobno pri reševanju sistema po Gaussovi metodi, bi morali napolniti roko in rešiti vsaj ducat sistemov.

Rešitve in odgovori:

2. primer:

Odločitev:Zapišemo razširjeno matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo v stopničasto obliko.

Izvedene osnovne transformacije:

(1) Prva in tretja vrstica sta zamenjani.

(2) Prva vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z (-6). Prva vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena s (-7).

(3) Tretji vrstici je bila dodana druga vrstica, pomnožena z (-1).

Kot rezultat elementarnih transformacij nastane niz obrazca, kje λ ≠ 0 .Sistem je torej nedosleden.odgovor: ni rešitev.

4. primer:

Odločitev:Napišemo razširjeno matriko sistema in jo z uporabo elementarnih transformacij pripeljemo v stopničasto obliko:

Izvedene konverzije:

(ena). Prva vrstica, pomnožena z 2, je bila dodana drugi vrstici, prva vrstica, pomnožena s 3, je bila dodana tretji vrstici.

Za drugi korak ni enote , transformacija (2) pa je namenjena pridobitvi le-tega.

(2). Tretji vrstici je bila dodana druga vrstica, pomnožena z -3.

(3). Druga in tretja vrstica sta bili zamenjani (nastala -1 je bila premaknjena v drugi korak)

(4). Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena s 3.

(5). Predznak prvih dveh vrstic je bil spremenjen (pomnožen z -1), tretja vrstica je bila deljena s 14.

Povratna poteza:

(ena). tukaj so osnovne spremenljivke (ki so na stopnicah) in so proste spremenljivke (ki niso prejeli koraka).

(2). Osnovne spremenljivke izrazimo v obliki prostih spremenljivk:

Iz tretje enačbe: .

(3). Razmislite o drugi enačbi:, posebne rešitve:

odgovor: Skupna odločitev:

Kompleksne številke

V tem razdelku bomo predstavili koncept kompleksno število, razmisli algebraično, trigonometrično in predstavitveni obrazec kompleksno število. Naučili se bomo tudi izvajati operacije s kompleksnimi števili: seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje, stopnjevanje in izločanje korena.

Za obvladovanje kompleksnih števil ne potrebujete nobenega posebnega znanja iz tečaja višje matematike, gradivo pa je na voljo celo šolarju. Dovolj je, da lahko izvajaš algebraične operacije z "navadnimi" številkami in si zapomniš trigonometrijo.

Najprej se spomnimo "navadnih" številk. V matematiki se imenujejo veliko realne številke in so označeni s črko R, ali R (debel). Vsa realna števila sedijo na znani številski premici:

Družba realnih števil je zelo barvita - tukaj so cela števila, ulomki in iracionalna števila. V tem primeru vsaka točka številčne osi nujno ustreza nekemu realnemu številu.

Sistemi m linearne enačbe z n neznano.
Reševanje sistema linearnih enačb je tak nabor številk ( x 1, x 2, …, x n), ki ga nadomestimo v vsako enačbo sistema, dobimo pravilno enakost.
kje a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n so koeficienti sistema;
b i , i = 1, …, m- brezplačni člani;
x j , j = 1, …, n- neznano.
Zgornji sistem lahko zapišemo v matrični obliki: A X = B,

kje ( A|B) je glavna matrica sistema;
A— razširjena matrika sistema;
X— stolpec neznank;
B je kolona prostih članov.
Če je matrica B ni ničelna matrika ∅, potem se ta sistem linearnih enačb imenuje nehomogen.
Če je matrica B= ∅, potem ta sistem linearnih enačb imenujemo homogen. Homogeni sistem ima vedno ničelno (trivialno) rešitev: x 1 = x 2 = ..., x n \u003d 0.
Skupni sistem linearnih enačb je sistem linearnih enačb, ki ima rešitev.
Nekonsistenten sistem linearnih enačb je sistem linearnih enačb, ki nima rešitve.
Določen sistem linearnih enačb je sistem linearnih enačb, ki ima edinstveno rešitev.
Nedoločen sistem linearnih enačb je sistem linearnih enačb, ki ima neskončno število rešitev.
Sistemi n linearnih enačb z n neznankami
Če je število neznank enako številu enačb, je matrika kvadratna. Matrična determinanta se imenuje glavna determinanta sistema linearnih enačb in je označena s simbolom Δ.
Cramerjeva metoda za reševanje sistemov n linearne enačbe z n neznano.
Cramerjevo pravilo.
Če glavna determinanta sistema linearnih enačb ni nič, potem je sistem konsistenten in definiran, edinstvena rešitev pa se izračuna s Cramerjevimi formulami:
kjer so Δ i determinante, pridobljene iz glavne determinante sistema Δ z zamenjavo jaz stolpec v kolono prostih članov. .
Sistemi m linearnih enačb z n neznankami
Kronecker-Cappellijev izrek.

Da bi bil ta sistem linearnih enačb konsistenten, je potrebno in zadostno, da je rang matrike sistema enak rangu razširjene matrike sistema, rang(Α) = rang(Α|B).
Če rang(Α) ≠ rang(Α|B), potem sistem očitno nima rešitev.
Če rang(Α) = rang(Α|B), potem sta možna dva primera:
1) rang(Α) = n(na število neznank) - rešitev je edinstvena in jo je mogoče dobiti s Cramerjevimi formulami;
2) rang (Α)< n − rešitev je neskončno veliko.
Gaussova metoda za reševanje sistemov linearnih enačb

Sestavimo razširjeno matriko ( A|B) danega sistema koeficientov na neznani in desni strani.
Gaussova metoda ali metoda odpravljanja neznank je sestavljena iz zmanjšanja razširjene matrike ( A|B) s pomočjo elementarnih transformacij nad njenimi vrsticami v diagonalno obliko (v zgornjo trikotno obliko). Če se vrnemo k sistemu enačb, so vse neznanke določene.
Osnovne transformacije na nizih vključujejo naslednje:
1) zamenjava dveh vrstic;
2) množenje niza s številom, ki ni 0;
3) dodajanje niza drugega niza, pomnoženega s poljubnim številom;
4) zavrzite ničelni niz.
Razširjena matrika, reducirana na diagonalno obliko, ustreza linearnemu sistemu, ki je enak danemu, katerega rešitev ne povzroča težav. .
Sistem homogenih linearnih enačb.
Homogeni sistem ima obliko:

ustreza matrični enačbi A X = 0.
1) Homogeni sistem je vedno konsistenten, saj r(A) = r(A|B), vedno obstaja ničelna rešitev (0, 0, …, 0).
2) Da bi imel homogen sistem rešitev, ki ni nič, je to potrebno in zadostno r = r(A)< n , kar je enako Δ = 0.
3) Če r< n , potem je Δ = 0, potem obstajajo proste neznanke c 1 , c 2 , …, c n-r, ima sistem netrivialne rešitve in jih je neskončno veliko.
4) Splošna rešitev X pri r< n lahko zapišemo v matrični obliki, kot sledi:
X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
kje so rešitve X 1 , X 2 , …, X n-r tvorijo temeljni sistem rešitev.
5) Osnovni sistem rešitev je mogoče dobiti iz splošne rešitve homogenega sistema:

,
če zaporedno predpostavimo, da so vrednosti parametrov (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
Dekompozicija splošne rešitve v smislu temeljnega sistema rešitev je zapis splošne rešitve kot linearne kombinacije rešitev, ki pripadajo temeljnemu sistemu.
Izrek. Da ima sistem linearnih homogenih enačb rešitev, ki ni nič, je potrebno in zadostno, da je Δ ≠ 0.
Torej, če je determinanta Δ ≠ 0, ima sistem edinstveno rešitev.
Če je Δ ≠ 0, ima sistem linearnih homogenih enačb neskončno število rešitev.
Izrek. Da bi imel homogen sistem rešitev, ki ni nič, je to potrebno in zadostno r(A)< n .
Dokaz:
1) r ne more biti več n(rang matrike ne presega števila stolpcev ali vrstic);
2) r< n , Ker če r=n, potem je glavna determinanta sistema Δ ≠ 0 in v skladu s Cramerjevimi formulami obstaja edinstvena trivialna rešitev x 1 = x 2 = ... \u003d x n = 0, kar je v nasprotju s pogojem. pomeni, r(A)< n .
Posledica. Za homogen sistem n linearne enačbe z n neznanka ima rešitev, ki ni nič, je potrebno in zadostno, da je Δ = 0.

Servisna naloga. Spletni kalkulator je zasnovan za preučevanje sistema linearnih enačb. Običajno je treba v stanju problema najti splošna in posebna rešitev sistema. Pri preučevanju sistemov linearnih enačb se rešujejo naslednji problemi:

ali je sistem kolaborativen;
če je sistem konsistenten, potem je določen ali nedoločen (merilo združljivosti sistema določa izrek);
če je sistem definiran, kako najti njegovo edinstveno rešitev (uporabljajo se Cramerjeva metoda, metoda inverzne matrike ali Jordan-Gaussova metoda);
če je sistem nedoločen, kako opisati množico njegovih rešitev.

Klasifikacija sistemov linearnih enačb

Poljubni sistem linearnih enačb ima obliko:
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n = b m

Sistemi linearnih nehomogenih enačb (število spremenljivk je enako številu enačb, m = n).
Poljubni sistemi linearnih nehomogenih enačb (m > n ali m< n).

Opredelitev. Rešitev sistema je vsaka množica števil c 1 ,c 2 ,...,c n , katerih substitucija v sistem namesto ustreznih neznank spremeni vsako enačbo sistema v identiteto.

Opredelitev. Za dva sistema pravimo, da sta enakovredna, če je rešitev prvega rešitev drugega in obratno.

Opredelitev. Imenuje se sistem, ki ima vsaj eno rešitev sklep. Sistem, ki nima rešitve, se imenuje nedosleden.

Opredelitev. Sistem z edinstveno rešitvijo se imenuje gotovo, in imeti več kot eno rešitev je nedoločen.

Algoritem za reševanje sistemov linearnih enačb

Poiščite rang glavne in razširjene matrike. Če nista enaka, potem je po Kronecker-Capellijevem izreku sistem nedosleden in študij se tukaj konča.
Naj bo rang(A) = rang(B). Izberemo osnovni mol. V tem primeru so vsi neznani sistemi linearnih enačb razdeljeni v dva razreda. Neznanke, katerih koeficienti so vključeni v osnovni minor, imenujemo odvisne, neznanke, katerih koeficienti niso vključeni v osnovni minor, pa proste. Upoštevajte, da izbira odvisnih in prostih neznank ni vedno edinstvena.
Tiste enačbe sistema, katerih koeficienti niso bili vključeni v osnovni minor, prečrtamo, saj so posledice ostalih (po osnovnem izreku o molu).
Izrazi enačb, ki vsebujejo proste neznanke, se prenesejo na desno stran. Kot rezultat dobimo sistem r enačb z r neznankami, ki je enak danemu, katerega determinanta je drugačna od nič.
Nastali sistem rešujemo na enega od naslednjih načinov: Cramerjeva metoda, metoda inverzne matrike ali Jordan-Gaussova metoda. Najdejo se relacije, ki izražajo odvisne spremenljivke v terminih prostih.

Sistem m linearnih enačb z n neznankami imenujemo sistem oblike

kje aij in b i (jaz=1,…,m; b=1,…,n) so nekatere znane številke in x 1 ,…,x n- neznano. V zapisu koeficientov aij prvi indeks jaz označuje številko enačbe, drugo pa j je število neznanke, pri kateri ta koeficient stoji.

Koeficienti za neznanke bodo zapisani v obliki matrike , ki ga bomo poklicali sistemska matrika.

Številke na desni strani enačb b 1 ,…,b m poklical brezplačni člani.

Agregat nštevilke c 1 ,…,c n poklical odločitev tega sistema, če vsaka enačba sistema postane enakost, potem ko vanjo nadomestimo števila c 1 ,…,c n namesto ustreznih neznank x 1 ,…,x n.

Naša naloga bo najti rešitve za sistem. V tem primeru se lahko pojavijo tri situacije:

Imenuje se sistem linearnih enačb, ki ima vsaj eno rešitev sklep. Sicer pa t.j. če sistem nima rešitev, se imenuje nezdružljivo.

Razmislite o načinih iskanja rešitev za sistem.

MATRIČNA METODA ZA REŠEVANJE SISTEMOV LINEARNIH ENAČB

Matrice omogočajo na kratko zapisati sistem linearnih enačb. Naj bo podan sistem 3 enačb s tremi neznankami:

Razmislite o matriki sistema in matrični stolpci neznanih in prostih članov

Poiščimo izdelek

tiste. kot rezultat produkta dobimo leve strani enačb tega sistema. Nato uporabimo definicijo matrične enakosti ta sistem lahko zapišemo v obliki

ali krajše A∙X=B.

Tukaj matrice A in B so znane, in matrika X neznano. Treba jo je najti, ker. njeni elementi so rešitev tega sistema. Ta enačba se imenuje matrična enačba.

Naj je determinanta matrike drugačna od nič | A| ≠ 0. Nato se matrična enačba reši na naslednji način. Obe strani enačbe na levi pomnožite z matriko A-1, inverzno od matrike A: . V kolikor A -1 A = E in E∙X=X, potem dobimo rešitev matrične enačbe v obliki X = A -1 B .

Upoštevajte, da ker lahko inverzno matriko najdemo samo za kvadratne matrike, lahko matrična metoda reši le tiste sisteme, v katerih število enačb je enako številu neznank. Vendar pa je matrični zapis sistema mogoč tudi v primeru, ko število enačb ni enako številu neznank, potem je matrika A ni kvadratna in zato je nemogoče najti rešitev sistema v obliki X = A -1 B.

Primeri. Rešite sisteme enačb.

CRAMERJEVO PRAVILO

Razmislite o sistemu 3 linearnih enačb s tremi neznankami:

Delominanta tretjega reda, ki ustreza matriki sistema, t.j. sestavljen iz koeficientov pri neznankah,

poklical sistemska determinanta.

Še tri determinante sestavimo na naslednji način: v determinanti D zaporedoma zamenjamo 1, 2 in 3 stolpce s stolpcem prostih členov

Potem lahko dokažemo naslednji rezultat.

Izrek (Cramerjevo pravilo).Če je determinanta sistema Δ ≠ 0, ima obravnavani sistem eno in samo eno rešitev in

Dokaz. Torej, razmislite o sistemu 3 enačb s tremi neznankami. Pomnožite 1. enačbo sistema z algebraičnim komplementom A 11 element a 11, 2. enačba - na A21 in 3. - naprej A 31:

Dodajmo te enačbe:

Razmislite o vsakem oklepaju in desni strani te enačbe. Po izreku o razširitvi determinante glede na elemente 1. stolpca

Podobno je mogoče pokazati, da in .

Končno je to enostavno videti

Tako dobimo enakost: .

Zato,.

Enakosti in so izpeljane podobno, od koder sledi trditev izreka.

Tako ugotavljamo, da če je determinanta sistema Δ ≠ 0, potem ima sistem edinstveno rešitev in obratno. Če je determinanta sistema enaka nič, ima sistem bodisi neskončen nabor rešitev bodisi nima rešitev, t.j. nezdružljivo.

Primeri. Rešite sistem enačb

GAUSSOVA METODA

Prej obravnavane metode je mogoče uporabiti za reševanje samo tistih sistemov, v katerih število enačb sovpada s številom neznank, determinanta sistema pa mora biti različna od nič. Gaussova metoda je bolj univerzalna in je primerna za sisteme s poljubnim številom enačb. Sestoji iz zaporednega odpravljanja neznank iz enačb sistema.

Ponovno razmislite o sistemu treh enačb s tremi neznankami:

Prvo enačbo pustimo nespremenjeno, iz 2. in 3. pa izločimo člene, ki vsebujejo x 1. Da bi to naredili, delimo drugo enačbo s a 21 in pomnožite z - a 11 in nato seštejte s 1. enačbo. Podobno razdelimo tretjo enačbo na a 31 in pomnožite z - a 11 in ga nato dodajte prvemu. Kot rezultat, bo prvotni sistem dobil obliko:

Zdaj iz zadnje enačbe izločimo izraz, ki vsebuje x2. Če želite to narediti, delite tretjo enačbo z , pomnožite z in jo dodajte drugi. Potem bomo imeli sistem enačb:

Zato je iz zadnje enačbe enostavno najti x 3, nato iz 2. enačbe x2 in končno od 1. x 1.

Pri uporabi Gaussove metode je mogoče enačbe po potrebi zamenjati.

Pogosto namesto pisanja nov sistem enačbe so omejene na zapisovanje razširjene matrike sistema:

in ga nato z osnovnimi transformacijami pripeljemo do trikotne ali diagonalne oblike.

Za elementarne transformacije matrike vključujejo naslednje transformacije:

permutacija vrstic ali stolpcev;
množenje niza s številom, ki ni nič;
dodajanje v eno vrstico drugih vrstic.

Primeri: Rešite sisteme enačb z Gaussovo metodo.

Tako ima sistem neskončno število rešitev.

Sistemi enačb se pogosto uporabljajo v gospodarski industriji pri matematičnem modeliranju različnih procesov. Na primer pri reševanju problemov vodenja in načrtovanja proizvodnje, logističnih poti (problem transporta) ali namestitve opreme.

Sistemi enačb se ne uporabljajo samo na področju matematike, temveč tudi v fiziki, kemiji in biologiji pri reševanju problemov iskanja velikosti populacije.

Sistem linearnih enačb je izraz za dve ali več enačb z več spremenljivkami, za katere je treba najti skupno rešitev. Takšno zaporedje števil, pri katerem vse enačbe postanejo resnične enakosti ali dokažejo, da zaporedje ne obstaja.

Linearna enačba

Enačbe v obliki ax+by=c imenujemo linearne. Oznake x, y so neznanke, katerih vrednost je treba najti, b, a so koeficienti spremenljivk, c je prosti člen enačbe.
Rešitev enačbe z izrisom njenega grafa bo videti kot ravna črta, katere vse točke so rešitev polinoma.

Vrste sistemov linearnih enačb

Najpreprostejši so primeri sistemov linearnih enačb z dvema spremenljivkama X in Y.

F1(x, y) = 0 in F2(x, y) = 0, kjer so F1,2 funkcije in (x, y) so funkcijske spremenljivke.

Rešite sistem enačb - pomeni najti takšne vrednosti (x, y), pri katerih se sistem spremeni v pravo enakost ali ugotoviti, da primerne vrednosti x in y ne obstajata.

Par vrednosti (x, y), zapisan kot točkovne koordinate, se imenuje rešitev sistema linearnih enačb.

Če imajo sistemi eno skupno rešitev ali pa ni rešitve, se imenujejo enakovredni.

Homogeni sistemi linearnih enačb so sistemi, katerih desna stran je enaka nič. Če ima desni del za znakom "enako" vrednost ali je izražen s funkcijo, tak sistem ni homogen.

Število spremenljivk je lahko veliko več kot dve, potem bi morali govoriti o primeru sistema linearnih enačb s tremi ali več spremenljivkami.

Soočeni s sistemi šolarji domnevajo, da mora število enačb nujno sovpadati s številom neznank, vendar ni tako. Število enačb v sistemu ni odvisno od spremenljivk, lahko jih je poljubno veliko.

Enostavne in zapletene metode za reševanje sistemov enačb

Splošnega analitičnega načina reševanja takšnih sistemov ni, vse metode temeljijo na numeričnih rešitvah. Šolski tečaj matematike podrobno opisuje metode, kot so permutacija, algebraično seštevanje, substitucija, pa tudi grafična in matrična metoda, rešitev po Gaussovi metodi.

Glavna naloga pri učnih metodah reševanja je naučiti, kako pravilno analizirati sistem in najti optimalen algoritem rešitve za vsak primer. Glavna stvar ni zapomniti sistema pravil in dejanj za vsako metodo, ampak razumeti načela uporabe določene metode.

Reševanje primerov sistemov linearnih enačb 7. razreda programa Srednja šola precej preprosto in zelo podrobno razloženo. V katerem koli učbeniku matematike je temu razdelku posvečeno dovolj pozornosti. Rešitev primerov sistemov linearnih enačb po Gaussovi in Cramerjevi metodi je podrobneje preučena na prvih tečajih visokošolskih zavodov.

Rešitev sistemov po substitucijski metodi

Dejanja metode substitucije so usmerjena v izražanje vrednosti ene spremenljivke skozi drugo. Izraz se nadomesti v preostalo enačbo, nato pa se reducira v eno samo spremenljivo obliko. Dejanje se ponovi glede na število neznank v sistemu

Navedimo primer sistema linearnih enačb 7. razreda po substitucijski metodi:

Kot je razvidno iz primera, je bila spremenljivka x izražena s F(X) = 7 + Y. Nastali izraz, ki je bil zamenjan v 2. enačbo sistema namesto X, je pomagal dobiti eno spremenljivko Y v 2. enačbi . Rešitev tega primera ne povzroča težav in vam omogoča, da dobite vrednost Y. Zadnji korak je preverjanje dobljenih vrednosti.

Primera sistema linearnih enačb ni vedno mogoče rešiti s substitucijo. Enačbe so lahko zapletene in izraz spremenljivke v smislu druge neznanke bo preveč okoren za nadaljnje izračune. Kadar so v sistemu več kot 3 neznanke, je nadomestna rešitev tudi nepraktična.

Rešitev primera sistema linearnih nehomogenih enačb:

Rešitev z uporabo algebrskega seštevanja

Pri iskanju rešitve za sisteme z metodo seštevanja, seštevanjem izraz za členom in množenjem enačb z različne številke. Končni cilj matematičnih operacij je enačba z eno spremenljivko.

Uporaba te metode zahteva prakso in opazovanje. Sistem linearnih enačb ni enostavno rešiti z metodo seštevanja s številom spremenljivk 3 ali več. Algebraično seštevanje je uporabno, če enačbe vsebujejo ulomke in decimalna števila.

Algoritem delovanja rešitve:

Pomnožite obe strani enačbe z neko številko. Kot rezultat aritmetična operacija eden od koeficientov spremenljivke mora postati enak 1.
Dobljeni izraz dodajte izraz za izrazom in poiščite eno od neznank.
Dobljeno vrednost nadomestite v 2. enačbo sistema, da poiščete preostalo spremenljivko.

Metoda rešitve z uvedbo nove spremenljivke

Novo spremenljivko lahko uvedemo, če mora sistem najti rešitev za največ dve enačbi, število neznank pa ne sme biti večje od dveh.

Metoda se uporablja za poenostavitev ene od enačb z uvedbo nove spremenljivke. Nova enačba je rešena glede na vneseno neznano, nastalo vrednost pa uporabi za določitev izvirne spremenljivke.

Primer kaže, da je bilo z uvedbo nove spremenljivke t mogoče zmanjšati 1. enačbo sistema na standardno kvadratni trinom. Polinom lahko rešite tako, da poiščete diskriminanto.

Treba je najti vrednost diskriminanta po dobro znana formula: D = b2 - 4*a*c, kjer je D želeni diskriminanta, b, a, c so množitelji polinoma. V danem primeru je a=1, b=16, c=39, torej D=100. Če je diskriminanta večja od nič, potem obstajata dve rešitvi: t = -b±√D / 2*a, če je diskriminanta manjša od nič, potem obstaja samo ena rešitev: x= -b / 2*a.

Rešitev za nastale sisteme najdemo z metodo seštevanja.

Vizualna metoda za reševanje sistemov

Primerno za sisteme s 3 enačbami. Metoda je sestavljena iz izrisa grafov vsake enačbe, ki je vključena v sistem, na koordinatni osi. Koordinate presečišč krivulj bodo splošna rešitev sistema.

Grafična metoda ima številne nianse. Razmislite o več primerih reševanja sistemov linearnih enačb na vizualni način.

Kot je razvidno iz primera, sta bili za vsako vrstico sestavljeni dve točki, vrednosti spremenljivke x so bile izbrane poljubno: 0 in 3. Na podlagi vrednosti x so bile najdene vrednosti za y: 3 in 0. Točke s koordinatami (0, 3) in (3, 0) smo označili na grafu in jih povezali s črto.

Korake je treba ponoviti za drugo enačbo. Točka presečišča premic je rešitev sistema.

V naslednjem primeru je potrebno najti grafično rešitev sistema linearnih enačb: 0,5x-y+2=0 in 0,5x-y-1=0.

Kot je razvidno iz primera, sistem nima rešitve, ker so grafi vzporedni in se ne sekajo po celotni dolžini.

Sistema iz primerov 2 in 3 sta si podobna, a ko sta konstruirana, postane očitno, da se njune rešitve razlikujejo. Ne smemo pozabiti, da ni vedno mogoče reči, ali ima sistem rešitev ali ne, vedno je treba zgraditi graf.

Matrica in njene sorte

Matrice se uporabljajo za kratko zapisovanje sistema linearnih enačb. Matrica je posebna vrsta tabele, napolnjena s številkami. n*m ima n - vrstic in m - stolpcev.

Matrica je kvadratna, če je število stolpcev in vrstic enako. Matrični vektor je matrika z enim stolpcem z neskončno možnim številom vrstic. Matrica z enotami vzdolž ene od diagonal in drugimi ničelnimi elementi se imenuje identiteta.

Inverzna matrika je taka matrika, s katero se prvotna matrika pomnoži v enotno, taka matrika obstaja samo za prvotno kvadratno.

Pravila za pretvorbo sistema enačb v matriko

Pri sistemih enačb so koeficienti in prosti členi enačb zapisani kot števila matrike, ena enačba je ena vrstica matrike.

Vrstica matrike se imenuje neničelna, če vsaj en element vrstice ni enak nič. Če se torej v kateri koli enačbi število spremenljivk razlikuje, je treba namesto manjkajoče neznane vnesti nič.

Stolpci matrike morajo strogo ustrezati spremenljivkam. To pomeni, da lahko koeficiente spremenljivke x zapišemo samo v en stolpec, na primer prvi, koeficient neznanega y - samo v drugi.

Pri množenju matrike se vsi elementi matrike zaporedno pomnožijo s številom.

Možnosti za iskanje inverzne matrike

Formula za iskanje inverzne matrike je precej preprosta: K -1 = 1 / |K|, kjer je K -1 inverzna matrika in |K| - matrična determinanta. |K| ne sme biti enak nič, potem ima sistem rešitev.

Za matriko dvakrat dva je determinanto enostavno izračunati, le elemente je treba pomnožiti diagonalno drug z drugim. Za možnost "tri po tri" obstaja formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Lahko uporabite formulo ali pa se spomnite, da morate iz vsake vrstice in vsakega stolpca vzeti en element, tako da se številke stolpcev in vrstic elementov ne ponavljajo v izdelku.

Rešitev primerov sistemov linearnih enačb po matrični metodi

Matrična metoda iskanja rešitve omogoča zmanjšanje okornih zapisov pri reševanju sistemov z velika količina spremenljivke in enačbe.

V primeru so a nm koeficienti enačb, matrika je vektor, x n so spremenljivke, b n pa prosti izrazi.

Rešitev sistemov po Gaussovi metodi

V višji matematiki se Gaussova metoda preučuje skupaj s Cramerjevo metodo, proces iskanja rešitve sistemov pa imenujemo Gauss-Cramerjeva metoda reševanja. Te metode se uporabljajo za iskanje spremenljivk sistemov z velikim številom linearnih enačb.

Gaussova metoda je zelo podobna rešitvam substitucije in algebrskega seštevanja, vendar je bolj sistematična. Pri šolskem tečaju se Gaussova rešitev uporablja za sisteme 3 in 4 enačb. Namen metode je spraviti sistem v obliko obrnjenega trapeza. Z algebrskimi transformacijami in substitucijami najdemo vrednost ene spremenljivke v eni od enačb sistema. Druga enačba je izraz z 2 neznankama, 3 in 4 pa s 3 oziroma 4 spremenljivkami.

Ko sistem spravimo v opisano obliko, se nadaljnja rešitev reducira na zaporedno substitucijo znanih spremenljivk v enačbe sistema.

V šolskih učbenikih za 7. razred je primer Gaussove rešitve opisan takole:

Kot je razvidno iz primera, sta v koraku (3) dobili dve enačbi 3x 3 -2x 4 =11 in 3x 3 +2x 4 =7. Rešitev katere koli enačbe vam bo omogočila, da najdete eno od spremenljivk x n.

Izrek 5, ki je omenjen v besedilu, pravi, da če eno od enačb sistema nadomestimo z enakovredno, bo tudi nastali sistem enakovreden prvotnemu.

Gaussovo metodo je študentom težko razumeti Srednja šola, vendar je eden najbolj zanimive načine razvijati iznajdljivost otrok, vpisanih v poglobljeni študijski program pri pouku matematike in fizike.

Za lažje beleženje izračunov je običajno narediti naslednje:

Koeficienti enačb in prosti členi so zapisani v obliki matrike, kjer vsaka vrstica matrike ustreza eni od enačb sistema. loči levo stran enačbe od desne. Rimske številke označujejo števila enačb v sistemu.

Najprej zapišejo matriko, s katero bodo delali, nato pa vsa dejanja, izvedena z eno od vrstic. Nastala matrika se napiše za znakom "puščica" in nadaljuje z izvajanjem potrebnih algebraičnih operacij, dokler ni dosežen rezultat.

Posledično je treba dobiti matriko, v kateri je ena od diagonal 1, vsi drugi koeficienti pa enaki nič, to pomeni, da se matrika zmanjša na eno obliko. Ne smemo pozabiti narediti izračunov s številkami obeh strani enačbe.

Ta zapis je manj okoren in vam omogoča, da vas ne zmoti naštevanje številnih neznank.

Brezplačna uporaba katere koli metode rešitve bo zahtevala skrb in določeno količino izkušenj. Vse metode se ne uporabljajo. Nekateri načini iskanja rešitev so bolj zaželeni na določenem področju človekove dejavnosti, drugi pa obstajajo z namenom učenja.