Kup strašnih formul, priročnikov o višji matematiki, ki jih odpreš in takoj zapreš, boleče iskanje rešitve na videz zelo preprostega problema .... Ta situacija ni redka, še posebej, ko so v daljnem 11. razredu nazadnje odprli učbenik matematike. Medtem pa na univerzah učni načrti številnih specialnosti predvidevajo študij vsakomur najljubše višje matematike. In v tej situaciji se pogosto počutite kot popoln čajnik pred kupom strašnih matematičnih neumnosti. Poleg tega se lahko podobna situacija pojavi pri študiju katerega koli predmeta, zlasti iz naravoslovnega cikla.

Kaj storiti? Za rednega študenta je vse veliko bolj preprosto, razen če seveda predmet ni zelo zanemarjen. Lahko se posvetujete z učiteljem, sošolci in samo odpišete od soseda na mizi. Celo poln čajnik v višji matematiki bo preživel sejo v takšnih scenarijih.

In če oseba študira na dopisnem oddelku univerze in višja matematika, milo rečeno, v prihodnosti verjetno ne bo potrebna? Poleg tega ni časa za pouk. Tako je v večini primerov tako, vendar nihče ni odpovedal opravljanja testov in opravljenega izpita (najpogosteje pisnega). S testi iz višje matematike je vse lažje, ne glede na to, ali si čajnik ali ne - lahko naročite izpit iz matematike. Na primer, imam. Naročite lahko tudi druge artikle. Tukaj ne več. Toda izvedba in oddaja testnih nalog v pregled še ne bosta pripeljala do želenega vpisa v razrednik. Velikokrat se zgodi, da je treba umetniško delo, narejeno po naročilu, zagovarjati in je treba pojasniti, zakaj ta formula izhaja iz teh pisem. Poleg tega prihajajo izpiti, tam pa boste že morali SAMOSTOJNO reševati determinante, limite in izpeljanke. Razen če seveda učitelj ne sprejme dragocenih daril ali pa izven učilnice ni najetega dobronamernika.

Naj vam dam nekaj zelo pomembnih nasvetov. Pri testih, izpitih iz točnih in naravoslovnih ved JE ZELO POMEMBNO NEKAJ RAZUMETI. Zapomni si VSAJ NEKAJ. Popolna odsotnost miselnih procesov učitelja preprosto razjezi, poznam primere, ko so bili izredni študenti zaviti 5-6 krat. Spomnim se, da je en mladenič opravil izpit 4-krat in se je po vsakem ponovnem opravljenem obrnil name za brezplačen garancijski posvet. Na koncu sem opazil, da je v odgovoru namesto črke »pi« napisal črko »pe«, čemur so sledile ostre sankcije recenzenta. Študent NI HOČEL VZDATI v nalogo, ki jo je mimogrede prepisal

V višji matematiki si lahko popolna lutka, vendar je zelo zaželeno vedeti, da je izvod konstante enak nič. Kajti če na elementarno vprašanje odgovoriš na kakšno neumnost, potem je velika verjetnost, da se ti bo študij na univerzi zate končal. Učitelji so veliko bolj naklonjeni študentu, ki VSAJ Skuša razumeti predmet, do tistega, ki sicer zmotno, a poskuša nekaj rešiti, razložiti ali dokazati. In ta izjava velja za vse discipline. Zato je treba stališče »nič ne vem, nič ne razumem« odločno zavrniti.

Drugi pomemben nasvet je, da HODI PREDAVANJ, tudi če jih ni veliko. To sem že omenil na glavni strani strani. Matematika za dopisne študente. Nima smisla ponavljati, zakaj je ZELO pomemben, preberite tam.

Torej, kaj storiti, če je test na nosu, izpit iz višje matematike in so stvari obžalovanja vredne - stanje polnega ali bolje rečeno praznega čajnika?

Ena od možnosti je najem mentorja. Najdete lahko največjo bazo tutorjev (predvsem Moskva) ali (predvsem Sankt Peterburg). Z uporabo iskalnika je zelo verjetno, da boste našli mentorja v vašem mestu ali pogledali lokalne oglaševalske časopise. Cena za storitve mentorja se lahko giblje od 400 ali več rubljev na uro, odvisno od usposobljenosti učitelja. Treba je opozoriti, da poceni ne pomeni slabo, še posebej, če imate dobro matematično ozadje. Hkrati boste za 2-3K rubljev dobili VELIKO. Zaman nihče ne jemlje takega denarja in zaman nihče ne plača takega denarja ;-). Edina pomembna točka - poskusite izbrati mentorja s specializirano pedagoško izobrazbo. In pravzaprav ne gremo k zobozdravniku po pravno pomoč.

V zadnjem času postaja vse bolj priljubljena storitev spletnega tutorstva. Zelo priročno je, ko morate nujno rešiti eno ali dve težavi, razumeti temo ali se pripraviti na izpit. Nedvomna prednost so cene, ki so nekajkrat nižje od cen mentorja brez povezave + prihranek časa pri potovanju, kar je še posebej pomembno za prebivalce velemesto.

Na tečaju višje matematike je zelo težko obvladati nekatere stvari brez mentorja, potrebuješ le "živo" razlago.

Kljub temu je marsikatero vrsto težav povsem mogoče razumeti sami, namen tega razdelka spletnega mesta pa je, da vas nauči, kako rešiti tipične primere in težave, ki jih skoraj vedno najdemo pri izpitih. Poleg tega za številne naloge obstajajo "trdi" algoritmi, kjer ni pobegov od pravilne rešitve. In po svojih najboljših močeh vam bom skušal pomagati, še posebej, ker imam pedagoško izobrazbo in delovne izkušnje po svoji specialnosti.

Začnimo razbirati matematične neumnosti. Nič hudega, tudi če si čajnik, je višja matematika res preprosta in res dostopna.

In začeti morate s ponavljanjem šolskega tečaja matematike. Ponavljanje je mati bolečine.

Preden začnete preučevati moja metodološka gradiva in na splošno začnete študirati katero koli gradivo iz višje matematike, ZELO PRIPOROČAM, da preberete naslednje.

Za uspešno reševanje nalog iz višje matematike MORATE:

PRIDOBITE MIKROKALKULATOR.

Od programov - Excel (odlična izbira!). Priročnik za "lubake" sem naložil v knjižnico.

Tukaj je? Že dobro.

– Od preureditve pogojev - vsota se ne spremeni: .
Toda to so popolnoma različne stvari:

Preprosto je nemogoče preurediti "x" in "four". Ob tem se spomnimo ikonične črke »x«, ki v matematiki pomeni neznano ali spremenljivo vrednost.

– S prerazporeditvijo dejavnikov - izdelek se ne spremeni: .
Z deljenjem tak trik ne bo deloval, to pa sta dva popolnoma različna ulomka in preureditev števca z imenovalcem ne mine brez posledic.
Spomnimo se tudi, da znak za množenje (»pike«) najpogosteje ni napisan:,

– Spomnite se pravil za razširitev oklepajev:
- tukaj se znaki izrazov ne spremenijo
- in tukaj so obrnjeni.
In za množenje:

Na splošno je dovolj, da se spomnimo tega DVA MINUS DAJE PLUS, a TRI MINUS - DAJ MINUS. In pri reševanju problemov iz višje matematike (zelo pogosta in nadležna napaka) se pri tem ne zamoti.

– Spomnimo se zmanjšanja podobnih izrazov, dobro bi morali razumeti naslednjo operacijo:

– Ne pozabite, kaj je diploma:

, , , .

Stopnja je navadno množenje.

–Ne pozabite, da je mogoče ulomke zmanjšati: (zmanjšano za 2), (zmanjšano za pet), (zmanjšano za ).

– Zapomnite si dejanja z ulomki:

in tudi zelo pomembno pravilo za zmanjševanje ulomkov na skupni imenovalec:

Če ti primeri niso jasni, si oglejte šolske učbenike.
Brez tega bo TEŽKO.

NASVET: vse Vmesne izračune v višji matematiki je najbolje narediti v NAVIDNIH DESNIH IN NEPRAVILNIH ULOMKIH, tudi če so strašni ulomki, kot je . Ta ulomek NE SME biti predstavljen kot , poleg tega pa NE delite števca z imenovalcem na kalkulatorju, tako da dobite 4,334552102 ....

IZJEMA od pravila je končni odgovor naloge, potem je le bolje napisati oz.

– Enačba. Ima levo in desno stran. Na primer:

Vsak izraz lahko prenesete na drug del tako, da spremenite njegov predznak:
Premaknimo na primer vse izraze na levo stran:

Ali na desno:

Nova stran 1

Matematična analiza za lutke. Lekcija 1. Kompleti.

Koncept kompleta

Kup je zbirka nekaterih predmetov. Kaj so lahko kompleti? Prvič, končno ali neskončno. Na primer, niz vžigalic v škatli je končen niz, lahko jih vzamemo in preštejemo. Število zrn peska na plaži je veliko težje prešteti, a načeloma mogoče. In ta količina je izražena z nekim končnim številom. Toliko zrnc peska na plaži, seveda. Toda množica točk na ravni črti je neskončna množica. Ker je, prvič, sama črta neskončna in nanjo lahko postavite toliko točk, kolikor želite. Tudi množica točk na odseku črte je neskončna. Ker je teoretično točka lahko poljubno majhna. Seveda fizično ne moremo narisati točke, na primer manjše od velikosti atoma, vendar z vidika matematike točka nima velikosti. Njegova velikost je nič. Kaj se zgodi, če število deliš z nič? Tako je, neskončnost. In čeprav se niz točk na ravni črti in na segmentu nagiba k neskončnosti, to ni ista stvar. Niz tam ni količina nečesa, ampak zbirka kakršnih koli predmetov. In samo tisti nizi, ki vsebujejo popolnoma enake predmete, veljajo za enake. Če en niz vsebuje enake predmete kot drug niz, vendar plus še en "levi" objekt, potem to niso več enaki nizi.

Razmislite o primeru. Recimo, da imamo dva sklopa. Prvi je zbiranje vseh točk na črti. Drugi je množica vseh točk na odseku ravne črte. Zakaj niso enaki? Prvič, segment in ravna črta se morda niti ne sekata. Potem zagotovo niso enaki, saj vsebujejo popolnoma različne točke. Če se sekata, imata samo eno skupno točko. Vsi ostali so prav tako različni. Kaj pa, če segment leži na ravni črti? Potem so vse točke segmenta tudi točke premice. Vendar niso vse točke na premici točke na odseku črte. Torej v tem primeru množic ni mogoče šteti za enake (identične).

Vsak niz je definiran s pravilom, ki enolično določa, ali element pripada temu nizu ali ne. Kakšna bi lahko bila ta pravila? Na primer, če je niz končen, lahko neumno naštejete vse njegove predmete. Nastavite lahko razpon. Na primer vsa cela števila od 1 do 10. Tudi to bo končna množica, vendar tukaj ne navajamo njenih elementov, ampak oblikujemo pravilo. Ali neenakost, na primer, vsa števila so večja od 10. To bo že neskončna množica, saj je nemogoče poimenovati največje število - ne glede na to, katero število kličemo, vedno obstaja to število plus 1.

Praviloma so množice označene z velikimi črkami latinske abecede A, B, C itd. Če je niz sestavljen iz določenih elementov in ga želimo definirati kot seznam teh elementov, potem lahko ta seznam zapremo v zavitih oklepajih, na primer A=(a, b, c, d). Če je a element množice A, se to zapiše takole: a Î A. Če a ni element množice A, napišite a Ï A. Ena izmed pomembnih množic je množica N vseh naravnih števil N=(1,2,3,...,) . Obstaja tudi poseben, tako imenovan prazen niz, ki ne vsebuje niti enega elementa. Prazen niz je označen s simbolom Æ .

Definicija 1 (definicija enakosti množic). Kompleti AMPAK in B sta enaka, če sta sestavljena iz istih elementov, torej če sta iz xн A sledi x н B in obratno, iz x н B sledi x н A.

Formalno je enakost dveh nizov zapisana na naslednji način:

(A=B) := " x (( x Î A ) Û (x Î B )),

To pomeni, da so za kateri koli predmet x razmerja xÎ A in xО B so enakovredni.

tukaj " je univerzalni kvantifikator (" xse glasi "za vsakega x").

Definicija 2 (definicija podmnožice). Kup AMPAK je podmnožica množice ATče kateri X ki pripada kompletu AMPAK, spada v sklop AT. Formalno se to lahko izrazi kot izraz:

(A Ì B) := " x((x Î A) Þ (x Î B))

Če Ì B ampak A ¹ B, potem je A ustrezna podmnožica množice AT. Kot primer lahko ponovno navedemo ravno črto in segment. Če segment leži na premici, je množica njegovih točk podmnožica točk te premice. Ali pa še en primer. Množica celih števil, ki so enakomerno deljiva s 3, je podmnožica množice celih števil.

Komentar. Prazen niz je podmnožica katerega koli niza.

Operacije na sklopih

Na sklopih so možne naslednje operacije:

unija. Bistvo te operacije je združiti dva niza v enega, ki vsebuje elemente vsakega od združenih nizov. Formalno izgleda takole:

C=AÈ B:= {x:x Î A ali xÎ B}

Primer. Rešimo neenakost | 2 x+ 3 | > 7.

Iz tega izhaja bodisi neenakost 2x+3 >7 za 2x+3≥0, nato x>2

ali neenakosti 2x+3<-7, для 2x+3 <0, тогда x<-5.

Množica rešitev te neenakosti je unija množic (-∞,-5) È (2, ∞).

Preverimo. Izračunajmo vrednost izraza | 2 x+ 3 | za več točk, ki ležijo in ne ležijo v danem območju:

x	| 2 x+ 3 |
-10	17
-6	9
-5	7
-4	5
-2	1
0	3
1	5
2	7
3	9
5	13

Kot lahko vidite, je bilo vse odločeno pravilno (mejni razponi so označeni z rdečo).

križišče. Presečišče je operacija ustvarjanja novega niza dveh elementov, ki sta vključena v oba ta niza. Za vizualizacijo tega si predstavljajmo, da imamo na ravnini dva niza točk, in sicer figuro A in sliko B. Njuno presečišče označuje figuro C – to je rezultat operacije presečišča množic:

Formalno je operacija preseka množic zapisana takole:

C=A Ç B:= (x: x Î A in x О B )

Primer. Nato imamo nabor C=A Ç B = {5,6,7}

Odštevanje. Odštevanje množice je izključitev iz odštete množice tistih elementov, ki jih vsebujeta odštevanje in odštevalnik:

Formalno se odštevanje množice zapiše na naslednji način:

A\B:={x:x Î A in xÏ B}

Primer. Naj nas bo veliko A=(1,2,3,4,5,6,7), B=(5,6,7,8,9,10). Potem C=A\ B = { 1,2,3,4}

Dodatek. Komplement je unarna operacija (operacija ne na dveh, ampak na enem nizu). Ta operacija je rezultat odštevanja danega niza od celotnega univerzalnega niza (množice, ki vključuje vse druge množice).

A := (x:x О U in x П A) = U \ A

Grafično je to mogoče predstaviti kot:

simetrična razlika. V nasprotju z običajno razliko pri simetrični razliki množic ostanejo le tisti elementi, ki so prisotni bodisi v enem bodisi v drugem nizu. Ali, preprosto povedano, je ustvarjen iz dveh nizov, vendar so tisti elementi, ki so v obeh nizih, izključeni iz njega:

Matematično se to lahko izrazi na naslednji način:

A D B:= (A\B) È ( B\A) = (A È B) \ (A Ç B)

Lastnosti operacij nad množicami.

Iz definicij zveze in preseka množic sledi, da imata operaciji preseka in združitve naslednje lastnosti:

1. Komutativnost.

A È B=BÈ A
AÇ B=BÇ A

1. Asociativnost.

(A È B) È C=AÈ ( B È C)
(A Ç B) Ç C= AÇ ( B Ç C)

Kup strašnih formul, priročnikov o višji matematiki, ki jih odpreš in takoj zapreš, boleče iskanje rešitve na videz zelo preprostega problema .... Ta situacija ni redka, še posebej, ko so v daljnem 11. razredu nazadnje odprli učbenik matematike. Medtem pa na univerzah učni načrti številnih specialnosti predvidevajo študij vsakomur najljubše višje matematike. In v tej situaciji se pogosto počutite kot popoln čajnik pred kupom strašnih matematičnih neumnosti. Poleg tega se lahko podobna situacija pojavi pri študiju katerega koli predmeta, zlasti iz naravoslovnega cikla.

Kaj storiti? Za rednega študenta je vse veliko bolj preprosto, razen če seveda predmet ni zelo zanemarjen. Lahko se posvetujete z učiteljem, sošolci in samo odpišete od soseda na mizi. Celo poln čajnik v višji matematiki bo preživel sejo v takšnih scenarijih.

In če oseba študira na dopisnem oddelku univerze in višja matematika, milo rečeno, v prihodnosti verjetno ne bo potrebna? Poleg tega ni časa za pouk. Tako je v večini primerov tako, vendar nihče ni odpovedal opravljanja testov in opravljenega izpita (najpogosteje pisnega). S testi iz višje matematike je vse lažje, ne glede na to, ali si čajnik ali ne - lahko naročite izpit iz matematike. Na primer, imam. Naročite lahko tudi druge artikle. Tukaj ne več. Toda izvedba in oddaja testnih nalog v pregled še ne bosta pripeljala do želenega vpisa v razrednik. Velikokrat se zgodi, da je treba umetniško delo, narejeno po naročilu, zagovarjati in je treba pojasniti, zakaj ta formula izhaja iz teh pisem. Poleg tega prihajajo izpiti, tam pa boste že morali SAMOSTOJNO reševati determinante, limite in izpeljanke. Razen če seveda učitelj ne sprejme dragocenih daril ali pa izven učilnice ni najetega dobronamernika.

Naj vam dam nekaj zelo pomembnih nasvetov. Pri testih, izpitih iz točnih in naravoslovnih ved JE ZELO POMEMBNO NEKAJ RAZUMETI. Zapomni si VSAJ NEKAJ. Popolna odsotnost miselnih procesov učitelja preprosto razjezi, poznam primere, ko so bili izredni študenti zaviti 5-6 krat. Spomnim se, da je en mladenič opravil izpit 4-krat in se je po vsakem ponovnem opravljenem obrnil name za brezplačen garancijski posvet. Na koncu sem opazil, da je v odgovoru namesto črke »pi« napisal črko »pe«, čemur so sledile ostre sankcije recenzenta. Študent NI HOČEL VZDATI v nalogo, ki jo je mimogrede prepisal

V višji matematiki si lahko popolna lutka, vendar je zelo zaželeno vedeti, da je izvod konstante enak nič. Kajti če na elementarno vprašanje odgovoriš na kakšno neumnost, potem je velika verjetnost, da se ti bo študij na univerzi zate končal. Učitelji so veliko bolj naklonjeni študentu, ki VSAJ Skuša razumeti predmet, do tistega, ki sicer zmotno, a poskuša nekaj rešiti, razložiti ali dokazati. In ta izjava velja za vse discipline. Zato je treba stališče »nič ne vem, nič ne razumem« odločno zavrniti.

Drugi pomemben nasvet je, da HODI PREDAVANJ, tudi če jih ni veliko. To sem že omenil na glavni strani strani. Matematika za dopisne študente. Nima smisla ponavljati, zakaj je ZELO pomemben, preberite tam.

Torej, kaj storiti, če je test na nosu, izpit iz višje matematike in so stvari obžalovanja vredne - stanje polnega ali bolje rečeno praznega čajnika?

Ena od možnosti je najem mentorja. Najdete lahko največjo bazo tutorjev (predvsem Moskva) ali (predvsem Sankt Peterburg). Z uporabo iskalnika je zelo verjetno, da boste našli mentorja v vašem mestu ali pogledali lokalne oglaševalske časopise. Cena za storitve mentorja se lahko giblje od 400 ali več rubljev na uro, odvisno od usposobljenosti učitelja. Treba je opozoriti, da poceni ne pomeni slabo, še posebej, če imate dobro matematično ozadje. Hkrati boste za 2-3K rubljev dobili VELIKO. Zaman nihče ne jemlje takega denarja in zaman nihče ne plača takega denarja ;-). Edina pomembna točka - poskusite izbrati mentorja s specializirano pedagoško izobrazbo. In pravzaprav ne gremo k zobozdravniku po pravno pomoč.

V zadnjem času postaja vse bolj priljubljena storitev spletnega tutorstva. Zelo priročno je, ko morate nujno rešiti eno ali dve težavi, razumeti temo ali se pripraviti na izpit. Nedvomna prednost so cene, ki so nekajkrat nižje od cen mentorja brez povezave + prihranek časa pri potovanju, kar je še posebej pomembno za prebivalce velemesto.

Na tečaju višje matematike je zelo težko obvladati nekatere stvari brez mentorja, potrebuješ le "živo" razlago.

Kljub temu je marsikatero vrsto težav povsem mogoče razumeti sami, namen tega razdelka spletnega mesta pa je, da vas nauči, kako rešiti tipične primere in težave, ki jih skoraj vedno najdemo pri izpitih. Poleg tega za številne naloge obstajajo "trdi" algoritmi, kjer ni pobegov od pravilne rešitve. In po svojih najboljših močeh vam bom skušal pomagati, še posebej, ker imam pedagoško izobrazbo in delovne izkušnje po svoji specialnosti.

Začnimo razbirati matematične neumnosti. Nič hudega, tudi če si čajnik, je višja matematika res preprosta in res dostopna.

In začeti morate s ponavljanjem šolskega tečaja matematike. Ponavljanje je mati bolečine.

Preden začnete preučevati moja metodološka gradiva in na splošno začnete študirati katero koli gradivo iz višje matematike, ZELO PRIPOROČAM, da preberete naslednje.

Za uspešno reševanje nalog iz višje matematike MORATE:

PRIDOBITE MIKROKALKULATOR.

Od programov - Excel (odlična izbira!). Priročnik za "lubake" sem naložil v knjižnico.

Tukaj je? Že dobro.

– Od preureditve pogojev - vsota se ne spremeni: .
Toda to so popolnoma različne stvari:

Preprosto je nemogoče preurediti "x" in "four". Ob tem se spomnimo ikonične črke »x«, ki v matematiki pomeni neznano ali spremenljivo vrednost.

– S prerazporeditvijo dejavnikov - izdelek se ne spremeni: .
Z deljenjem tak trik ne bo deloval, to pa sta dva popolnoma različna ulomka in preureditev števca z imenovalcem ne mine brez posledic.
Spomnimo se tudi, da znak za množenje (»pike«) najpogosteje ni napisan:,

– Spomnite se pravil za razširitev oklepajev:
- tukaj se znaki izrazov ne spremenijo
- in tukaj so obrnjeni.
In za množenje:

Na splošno je dovolj, da se spomnimo tega DVA MINUS DAJE PLUS, a TRI MINUS - DAJ MINUS. In pri reševanju problemov iz višje matematike (zelo pogosta in nadležna napaka) se pri tem ne zamoti.

– Spomnimo se zmanjšanja podobnih izrazov, dobro bi morali razumeti naslednjo operacijo:

– Ne pozabite, kaj je diploma:

, , , .

Stopnja je navadno množenje.

–Ne pozabite, da je mogoče ulomke zmanjšati: (zmanjšano za 2), (zmanjšano za pet), (zmanjšano za ).

– Zapomnite si dejanja z ulomki:

in tudi zelo pomembno pravilo za zmanjševanje ulomkov na skupni imenovalec:

Če ti primeri niso jasni, si oglejte šolske učbenike.
Brez tega bo TEŽKO.

NASVET: vse Vmesne izračune v višji matematiki je najbolje narediti v NAVIDNIH DESNIH IN NEPRAVILNIH ULOMKIH, tudi če so strašni ulomki, kot je . Ta ulomek NE SME biti predstavljen kot , poleg tega pa NE delite števca z imenovalcem na kalkulatorju, tako da dobite 4,334552102 ....

IZJEMA od pravila je končni odgovor naloge, potem je le bolje napisati oz.

– Enačba. Ima levo in desno stran. Na primer:

Vsak izraz lahko prenesete na drug del tako, da spremenite njegov predznak:
Premaknimo na primer vse izraze na levo stran:

Ali na desno:

Omejitve povzročajo vsem študentom matematike veliko težav. Če želite rešiti mejo, morate včasih uporabiti veliko trikov in med različnimi rešitvami izbrati točno tisto, ki je primerna za določen primer.

V tem članku vam ne bomo pomagali razumeti meja vaših sposobnosti ali razumeti meje nadzora, ampak bomo poskušali odgovoriti na vprašanje: kako razumeti meje v višji matematiki? Razumevanje pride z izkušnjami, zato bomo hkrati podali nekaj natančnih primerov reševanja mej z razlagami.

Koncept meje v matematiki

Prvo vprašanje je: kaj je meja in meja česa? Lahko govorimo o mejah številskih zaporedij in funkcij. Zanima nas pojem meje funkcije, saj se študenti najpogosteje srečujejo z njimi. Toda najprej najsplošnejša definicija meje:

Recimo, da obstaja neka spremenljivka. Če se ta vrednost v procesu spreminjanja v nedogled približa določenemu številu a , potem a je meja te vrednosti.

Za funkcijo, definirano v nekem intervalu f(x)=y omejitev je število A , h kateremu se funkcija nagiba, ko X težijo k določeni točki a . Dot a pripada intervalu, na katerem je funkcija definirana.

Sliši se okorno, a je napisano zelo preprosto:

Lim- iz angleščine omejitev- omejitev.

Obstaja tudi geometrijska razlaga za definicijo meje, vendar se tu ne bomo spuščali v teorijo, saj nas bolj zanima praktična kot teoretična plat vprašanja. Ko to rečemo X teži k neki vrednosti, kar pomeni, da spremenljivka ne prevzame vrednosti števila, ampak se ji približuje neskončno blizu.

Vzemimo konkreten primer. Izziv je najti mejo.

Za rešitev tega primera nadomestimo vrednost x=3 v funkcijo. Dobimo:

Mimogrede, če vas zanimajo osnovne operacije na matrikah, preberite ločen članek o tej temi.

V primerih X lahko teži k kateri koli vrednosti. Lahko je poljubno število ali neskončnost. Tukaj je primer, ko X teži k neskončnosti:

Intuitivno je jasno, da večje kot je število v imenovalcu, manjšo vrednost bo prevzela funkcija. Torej, z neomejeno rastjo X pomen 1/x se bo zmanjšal in približal ničli.

Kot lahko vidite, da bi rešili mejo, morate samo vrednost, za katero si prizadevate, nadomestiti v funkcijo X . Vendar je to najpreprostejši primer. Pogosto iskanje meje ni tako očitno. V mejah so negotovosti tipa 0/0 oz neskončnost/neskončnost . Kaj storiti v takih primerih? Uporabite trike!

Negotovosti znotraj

Negotovost oblike neskončnost/neskončnost

Naj bo meja:

Če skušamo v funkcijo nadomestiti neskončnost, bomo dobili neskončnost tako v števcu kot v imenovalcu. Na splošno velja povedati, da je pri reševanju takšnih negotovosti določen element umetnosti: opaziti morate, kako lahko funkcijo preoblikujete tako, da negotovosti ni več. V našem primeru delimo števec in imenovalec z X na višji stopnji. Kaj se bo zgodilo?

Iz zgoraj obravnavanega primera vemo, da bodo izrazi, ki vsebujejo x v imenovalcu, težili k nič. Potem je rešitev za mejo:

Za odkrivanje nejasnosti tipov neskončnost/neskončnost delite števec in imenovalec s X do najvišje stopnje.

Mimogrede! Za naše bralce je zdaj 10% popust kakršno koli delo

Druga vrsta negotovosti: 0/0

Kot vedno, substitucija v vrednostno funkcijo x=-1 daje 0 v števcu in imenovalcu. Poglejte malo bolj natančno in opazili boste, da imamo v števcu kvadratno enačbo. Poiščimo korenine in zapišimo:

Zmanjšajmo in dobimo:

Torej, če naletite na dvoumnost vrste 0/0 - razloži števec in imenovalec.

Za lažje reševanje primerov je tu tabela z omejitvami nekaterih funkcij:

L'Hopitalovo pravilo znotraj

Še en močan način za odpravo obeh vrst negotovosti. Kaj je bistvo metode?

Če je v meji negotovost, vzamemo izvod števca in imenovalca, dokler negotovost ne izgine.

Vizualno L'Hopitalovo pravilo izgleda takole:

Pomembna točka : meja, v kateri sta izpeljanka števca in imenovalca namesto števca in imenovalca, mora obstajati.

In zdaj pravi primer:

Obstaja tipična negotovost 0/0 . Vzemite izpeljanke števca in imenovalca:

Voila, negotovost je odpravljena hitro in elegantno.

Upamo, da boste te informacije lahko dobro uporabili v praksi in našli odgovor na vprašanje "kako rešiti limite v višji matematiki". Če morate izračunati mejo zaporedja ali mejo funkcije na točki in za to delo ni časa iz besede »absolutno«, se za hitro in podrobno rešitev obrnite na strokovni študentski servis.

Kategorija Izračun vsebuje brezplačne spletne video lekcije na to temo. Matematična analiza je skupek vej matematike, ki preučujejo funkcije in njihove posplošitve z uporabo metod diferencialnega in integralnega računa. Sem spadajo: funkcionalna analiza, vključno s teorijo Lebesgueovega integrala, kompleksna analiza (TFKP), ki proučuje funkcije, definirane na kompleksni ravnini, teorija vrst in večdimenzionalnih integralov, nestandardna analiza, ki preučuje neskončno majhna in neskončno velika števila, vektorska analiza in variacijski račun. Učenje računanja iz video lekcij bo koristno tako za začetnike kot za bolj izkušene matematike. Video lekcije iz razdelka Matematična analiza si lahko kadar koli ogledate brezplačno. Nekatere video lekcije o matematični analizi imajo dodatno gradivo, ki ga je mogoče prenesti. Srečno učenje!

Skupaj materialov: 12
Prikazani materiali: 1-10

Kaj je izpeljanka funkcije

Želite vedeti, kaj je izpeljanka funkcije v matematiki? Seveda ste že večkrat slišali za izpeljanko in celo verjetno to izpeljanko vzeli v šoli, pri čemer popolnoma ne razumete pomena vaših dejanj. V tem videu vas ne bom učil formul, ampak bom razložil pomen izpeljanke na prstih, da bo razumel tudi okrogel čajnik. Najprej pa si raje poglej moj prejšnji video, kjer na dostopen način govorim tudi o funkciji. V tej video vadnici smo preprosti, jasni in ilustrativni življenjski primeri ...

Uvod v analizo. Moč kompletov

Spletna lekcija »Uvod v analizo. Moč množic« je posvečeno vprašanju takega koncepta, kot je moč množic. To vprašanje se nanaša na kvantitativno karakterizacijo nizov. Če je množica končna, potem lahko govorimo o številu njenih elementov. Kaj pa neskončni nizi? Dejansko v tem primeru ne bo koncepta več ali manj. Za rešitev tega problema je uveden koncept moči. Moč je orodje za kvantitativno primerjavo neskončnih nizov. Ta lekcija daje ...

Meja funkcije na točki - definicija, primeri

Ta spletna lekcija govori o takem konceptu, kot je meja funkcije na točki - definicija, primeri. Večina elementov študija funkcij temelji na osnovnem konceptu meje funkcije. Tu bomo mejo funkcije v točki obravnavali na preprostem primeru, po katerem bo podana stroga definicija meje funkcije v točki s podrobno ilustracijo na grafu za boljšo asimilacijo materiala. Ta lekcija obravnava tudi druge primere in nudi natančno definicijo enostranskega ...

Konvergenca potenčnih vrst - primer, kako najti območje ​​konvergence, raziskave

Ta video vadnica govori o takem konceptu, kot je konvergenca potenčnih vrst, primer, kako najti območje ​​konvergence, raziskave. Potencialni niz je poseben primer funkcionalnega niza, ko so njegovi člani potenčne funkcije argumenta x. Območje konvergence so vse vrednosti spremenljivke x, za katere se konvergira ustrezni številski niz. Za raziskave lahko uporabite d'Alembertov test in z njim pokažete, da se niz moči konvergira ali razhaja, in ko ...

Kaj je primitivno

V tem videu vam bom povedal o antiderivatu, ki je tesen sorodnik izpeljanke. Pravzaprav o njej že veste skoraj vse, če ste si ogledali moje prejšnje videe, in le pikam na ii moramo postaviti pike. Antiderivat je "nadrejena" funkcija za izpeljanko. Najti antiderivativ pomeni odgovoriti na vprašanje: čigav otrok je to? Če je hči znana, potem moramo poiskati mamo. Prej smo ravno nasprotno iskali hčerko za dano mamo. Zdaj izvajamo prehod iz...

Geometrijski pomen izpeljanke

V tem videu bom govoril o geometrijskem pomenu izpeljanke. Izvedeli boste, da je geometrijski pomen izpeljanke ta, da sta izpeljanka in naklon tangente skoraj ista stvar. Pravim "skoraj", ker je izpeljanka enaka tangenti naklona tangente. Domnevamo lahko, da sta izpeljanka in naklon tangente tesno povezana. Če je naklon velik, je tudi izpeljanka velika in funkcija se na tej točki močno poveča. Če je kot naklona majhen, je tudi izpeljanka majhna ...

Kaj je funkcija v matematiki

Želite vedeti, kaj je funkcija v matematiki? V tej video vadnici vam bomo z grafičnimi ilustracijami in ilustrativnimi življenjskimi primeri preprosto in jasno povedali, kaj je funkcija, kakšen je njen argument, katere so funkcije (povečajoče, padajoče, mešane), kako lahko nastavite funkcijo (z uporabo graf, tabela, formule). Videli boste, da se razmerje, ki kaže, kako je ena količina povezana z drugo količino, imenuje funkcija. Vsaka funkcija je razmerje med količinami ...

Meja funkcije v neskončnosti - definicija, primeri

Lekcija "Meja funkcije v neskončnosti - definicija, primeri" je posvečena vprašanju, kaj so meje v neskončnosti. Večina osnovnih funkcij je definiranih za poljubno veliko vrednost argumenta. V tem primeru je pomembno poznati obnašanje funkcije v neskončnosti. Eden od elementov preučevanja takšnega vedenja je najti mejo funkcije v neskončnosti. Čeprav neskončnost ni število in ji nobena točka na številski premici ne ustreza, je definicija meje na ...