Tema lekcije: Aritmetične operacije v pozicijskih številskih sistemih.

9. razred

Cilji lekcije:

didaktično: študente seznaniti s seštevanjem, odštevanjem, množenjem in deljenjem v binarnem sistemu ter izvesti primarno vadbo veščine izvajanja teh dejanj.

Izobraževalni: razvijati zanimanje učencev za učenje novih stvari, pokazati možnost nestandardnega pristopa k izračunom.

Razvoj: razvijati pozornost, strogost mišljenja, sposobnost sklepanja.

Struktura lekcije.

Orgmoment -1 min.

Preverjanje domače naloge z ustnim testom -15 minut.

Domača naloga -2 minuti.

Reševanje problemov s hkratno analizo in samostojnim razvojem gradiva -25 min.

Povzetek lekcije -2 minuti.

MED POUKOM

Organizacijski trenutek.

Preverjanje domače naloge (ustni test) .

Učitelj bere vprašanja zaporedoma. Učenci pozorno poslušajo vprašanje, ne da bi ga zapisali. Zabeležen je le odgovor, in to zelo kratko. (Če je mogoče odgovoriti z eno besedo, se zabeleži samo ta beseda).

Kaj je številski sistem? (-to je znakovni sistem, v katerem so številke zapisane po določenih pravilih z uporabo znakov neke abecede, imenovane številke )

Katere številske sisteme poznate?( nepozicijski in pozicijski )

Kateri sistem se imenuje nepozicijski? (SCH se imenuje nepozicijski, če kvantitativni ekvivalent (kvantitativna vrednost) števke v številu ni odvisen od njegovega položaja v zapisu števila ).

Kaj je osnova pozicijskega SSC. (enako številu števk, ki sestavljajo njegovo abecedo )

Katero matematično operacijo je treba uporabiti za pretvorbo celega števila iz decimalne NSC v katero koli drugo? (divizije )

Kaj je treba narediti za pretvorbo števila iz decimalne v dvojiško? (Dosledno delite z 2 )

Kolikokrat se bo zmanjšalo število 11,1 2 ko vejico premaknete za en znak v levo? (2-krat )

Zdaj pa poslušajmo verz o izjemnem dekletu in odgovorimo na vprašanja. (Sliši se kot verz )

IZJEMNA DEKLETKA

Stara je bila tisoč in sto let
Šla je v sto prvi razred,
V portfelju sem nosil sto knjig.
Vse to je res, ne neumnost.

Ko, brisanje prahu z ducat čevljev,
Hodila je po cesti.
Vedno ji je sledil mladiček
Z enim repom, a stonogim.

Ujela je vsak zvok
Z desetimi ušesi
In deset zagorelih rok
Držali so aktovko in povodec.

In deset temno modrih oči
Običajno obravnavan svet,
Toda vse bo postalo povsem normalno,
Ko razumeš mojo zgodbo.

/ N. Starikov /

In koliko je bila stara punca? (12 let ) V kateri razred je hodila? (5. razred ) Koliko rok in nog je imela? (2 roki, 2 nogi ) Kako ima mladiček 100 nog? (4 tace )

Po opravljenem testu učenci sami glasno izgovorijo odgovore, izvedejo se samoizpit in si učenci dajo ocene.

merilo:

10 pravilnih odgovorov (morda majhna napaka) - "5";

9 ali 8 - "4";

7, 6 – “3”;

ostali so "2".

II. Domača naloga (2 minuti)

10111 2 - 1011 2 = ? ( 1100 2 )
10111 2 + 1011 2 = ? ( 100010 2 )
10111 2 * 1011 2 = ? ( 11111101 2 ))

III. Delo z novim materialom

Aritmetične operacije v binarnem sistemu.

Aritmetika binarnega številskega sistema temelji na uporabi tabel seštevanja, odštevanja in množenja števk. Aritmetični operandi se nahajajo v zgornji vrstici in v prvem stolpcu tabel, rezultati pa so na presečišču stolpcev in vrstic:

0

1

1

1

Dodatek.

Tabela binarnega seštevanja je izjemno preprosta. Samo v enem primeru, ko se izvede seštevanje 1 + 1, pride do prenosa na najpomembnejši bit.

1001 + 1010 = 10011

1101 + 1011 = 11000

11111 + 1 = 100000

1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101

10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )

Odštevanje.

Pri izvajanju operacije odštevanja se od večjega števila v absolutni vrednosti vedno odšteje manjše število in postavi ustrezen predznak. V tabeli odštevanja 1 s črto pomeni posojilo visokega reda. 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0

101011111 – 110101101 = – 1001110

100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )

Množenje

Operacija množenja se izvede z uporabo tabele množenja po običajni shemi, ki se uporablja v decimalnem številskem sistemu z zaporednim množenjem množitelja z naslednjo številko množitelja. 11001 * 1101 = 101000101

11001,01 * 11,01 = 1010010,0001

Množenje se zmanjša na premike množitelja in seštevanja.

111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )

V. Povzetek pouka

Kartica za dodatno delo študentov.

Izvedite aritmetične operacije:

A) 1110 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );

10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );

101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );

B) 1110 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );

Dodatek. Seštevanje števil v binarnem številskem sistemu temelji na seštevalni tabeli enomestnih binarnih števil (tabela 6).

Pomembno je biti pozoren na dejstvo, da se pri seštevanju dveh enot izvede prenos na najvišjo številko. To se zgodi, ko vrednost števila postane enaka ali večja od osnove številskega sistema.

Seštevanje večmestnih binarnih števil se izvede v skladu z zgornjo tabelo seštevanja ob upoštevanju možnih prenosov iz nižjih številk na višje. Kot primer dodajmo binarne številke v stolpec:

Preverimo pravilnost izračunov s seštevanjem v decimalnem številskem sistemu. Pretvorimo binarne številke v decimalni številski sistem in jih dodamo:

Odštevanje. Odštevanje binarnih števil temelji na tabeli odštevanja enomestnih binarnih števil (tabela 7).

Ko od manjšega števila (0) odštejemo večje (1), se posojilo izda iz najvišjega reda. V tabeli je posojilo označeno z 1 s črto.

Odštevanje večmestnih binarnih števil se izvaja v skladu s to tabelo ob upoštevanju možnih posojil v višjih števkah.

Na primer, odštejmo binarna števila:

Množenje. Množenje temelji na tabeli množenja enomestnih binarnih števil (tabela 8).

Množenje večmestnih binarnih števil se izvaja v skladu s to tabelo množenja po običajni shemi, ki se uporablja v decimalnem številskem sistemu, z zaporednim množenjem množitelja z naslednjo številko množitelja. Razmislite o primeru binarnega množenja

Opomba: Ko seštejemo dve številki, enaki 1, se v tej števki dobi 0, 1. pa se prenese na najpomembnejšo številko.

Primer_21: Podani sta številki 101 (2) in 11 (2). Poiščite vsoto teh številk.

kjer je 101 (2) = 5 (10) , 11 (2) = 3 (10) , 1000 (2) = 8 (10) .

Preverite: 5+3=8.

Ko od 0 odštejemo eno, se od najvišje najbližje števke vzame enota, ki je drugačna od 0. Hkrati enota, ki je zasedena v najvišji števki, daje 2 enoti v najmanj pomembni števki in eno v vseh števkah med najvišjo števko. in najnižje.

Primer_22: Podani sta številki 101 (2) in 11 (2). Poiščite razliko med temi številkami.

kjer je 101 (2) =5 (10) , 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) .

Preverite: 5-3=2.

Operacija množenja se zmanjša na ponavljajoče se premikanje in seštevanje.

Primer_23: Podani sta številki 11 (2) in 10 (2). Poiščite zmnožek teh številk.

kjer je 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) , 110 (2) =6 (10) .

Preverite: 3*2=6.

Aritmetične operacije v oktalnem številskem sistemu

Pri seštevanju dveh številk, katerih vsota je enaka 8, v tej kategoriji dobimo 0, 1. pa se prenese v najvišji vrstni red.

Primer_24: Podani sta številki 165 (8) in 13 (8). Poiščite vsoto teh številk.

kjer je 165 (8) = 117 (10) , 13 (8) = 11 (10) , 200 (8) = 128 (10) .

Ko od manjšega odštejemo večje število, se od najvišje najbližje števke vzame enota, ki je drugačna od 0. Hkrati enota, ki je zasedena v najvišji števki, daje 8 v najmanj pomembni števki.

Primer_25: Podani sta številki 114 (8) in 15 (8). Poiščite razliko med temi številkami.

kjer je 114 (8) =76 (10) , 15 (8) =13 (10) , 77 (8) =63 (10) .

Aritmetične operacije v šestnajstiškem številskem sistemu

Pri seštevanju dveh številk, skupaj 16, se v to kategorijo zapiše 0, 1 pa se prenese v najvišji vrstni red.

Primer_26: Podani sta številki 1B5 (16) in 53 (16). Poiščite vsoto teh številk.

kjer je 1B5 (16) = 437 (10) , 53 (16) = 83 (10) , 208 (16) = 520 (10) .

Ko od manjšega odštejemo večje število, se od najvišje najbližje števke vzame enota, ki ni 0. Hkrati enota, ki je zasedena v najvišji števki, daje 16 v najmanj pomembni števki.

Primer_27: Podani sta številki 11A (16) in 2C (16). Poiščite razliko med temi številkami.

kjer je 11A (16) =282 (10) , 2C (16) =44 (10) , EE (16) =238 (10) .

Računalniško kodiranje podatkov

Podatki v računalniku so predstavljeni kot koda, ki je sestavljena iz enic in nič v različnih zaporedjih.

Koda– niz simbolov za predstavitev informacij. Kodiranje je proces predstavitve informacij v obliki kode.

Številčne kode

Pri izvajanju aritmetičnih operacij v računalniku uporabljajo neposredno, obratno in dodatno številčne kode.

Neposredna koda

naravnost koda (predstavitev v obliki absolutne vrednosti z predznakom) dvojiškega števila je samo dvojiško število, v katerem so vse števke, ki predstavljajo njegovo vrednost, zapisane kot v matematičnem zapisu, predznak števila pa je zapisan kot binarna številka.

Cela števila so lahko v računalniku predstavljena z ali brez predznaka.

Nepredznačena cela števila običajno zasedajo en ali dva bajta pomnilnika. Za shranjevanje predpisanih celih števil se dodeli en, dva ali štirje bajti, medtem ko je najpomembnejši (skrajni levi) bit dodeljen pod predznakom števila. Če je število pozitivno, se v ta bit zapiše 0, če je negativno, potem 1.

Primer_28:

1 (10) =0 000 0001 (2) , -1 (10) =1 000 0001 (2)

Pozitivne številke v računalniku so vedno predstavljene z neposredno kodo. Neposredna koda številke popolnoma sovpada z vnosom same številke v celico stroja. Neposredna koda negativnega števila se od direktne kode ustreznega pozitivnega števila razlikuje le po vsebini predznakovnega bita.

Neposredna koda se uporablja pri shranjevanju števil v pomnilnik računalnika, pa tudi pri izvajanju operacij množenja in deljenja, vendar je format za predstavitev števil v neposredni kodi neprimeren za uporabo pri izračunih, saj se izvaja seštevanje in odštevanje pozitivnih in negativnih števil. drugače, zato je treba analizirati bite predznakovnega operanda. Zato se neposredna koda praktično ne uporablja pri izvajanju aritmetičnih operacij nad celimi števili v ALU. Toda negativna cela števila v računalniku niso predstavljena z neposredno kodo. Namesto tega formata so postali razširjeni formati za predstavitev številk v obratni in dodatnih kodah.

Povratna koda

Povratna koda pozitivnega števila sovpada z neposrednim in pri zapisovanju negativnega števila se vse njegove števke, razen števke, ki predstavlja predznak števila, nadomestijo z nasprotnimi (0 se nadomesti z 1, 1 pa z 0 ).

Primer_29:

Primer_30:

Če želite obnoviti neposredno kodo negativnega števila iz povratne kode, je treba vse števke, razen števke, ki predstavlja znak števila, zamenjati z nasprotnimi.

Dodatna koda

Dodatna koda pozitivnega števila sovpada z neposrednim, koda negativnega števila pa se oblikuje tako, da se inverzni kodi doda 1.

Primer_31:

Primer_32:

Primer_33:

Za celo število -32 (10) napišite dodatno kodo.

1. Po pretvorbi števila 32 (10) v binarni številski sistem dobimo:

32 (10) =100000 (2) .

2. Neposredna koda za pozitivno število 32 (10) je 0010 0000.

3. Za negativno število -32 (10) je direktna koda 1010 0000.

4. Reverzna koda števila -32 (10) je 1101 1111.

5. Dodatna koda številke -32 (10) je 1110 0000.

Primer_34:

Dodatna koda števila je 0011 1011. Poiščite vrednost števila v decimalnem zapisu.

1. Prva (znak) številka števila 0 011 1011 je 0, torej je število pozitivno.

2. Za pozitivno število so dodatna, inverzna in neposredna koda enake.

3. Število v binarnem sistemu dobimo iz zapisa direktne kode - 111011 (2) (od najvišjih števk zavržemo ničle).

4. Število 111011 (2) po pretvorbi v decimalni številski sistem je 59 (10).

Primer_35:

Dodatna koda števila je 1011 1011. Poiščite vrednost števila v decimalnem zapisu.

1. Predznak števila 1 011 1011 je 1, torej je število negativno.

2. Če želite določiti povratno kodo števila, odštejte eno od dodatne kode. Obratna koda je 1 011 1010.

3. Direktno kodo dobimo iz reversa tako, da vse binarne števke števila zamenjamo z nasprotnimi (1 za 0, 0 za 1). Neposredna koda številke je 1 100 0101 (v predznak zapišemo 1).

4. Številka v binarnem sistemu se pridobi iz zapisa direktne kode - -100 0101 (2).

4. Število -1000101 (2) je po pretvorbi v decimalko enako -69 (10).

Podobne informacije.

doma \ Dokumentacija \ Za učitelja računalništva

Pri uporabi materialov s te strani - in postavitev transparenta je OBVEZNA!!!

Binarna aritmetika

Številke, ki smo jih vajeni uporabljati, imenujemo decimalna in aritmetika, ki jo uporabljamo, se imenuje tudi decimalna. To je zato, ker je vsako število lahko sestavljeno iz niza števk, ki vsebuje 10 znakov - števk - "0123456789".

Matematika se je razvila tako, da je prav ta niz postal glavni, a decimalna aritmetika ni edina. Če vzamemo samo pet števk, potem lahko na njihovi podlagi zgradimo petkratno aritmetiko, iz sedmih števk - sedemkratno. Na področjih znanja, povezanih z računalniško tehnologijo, se pogosto uporablja aritmetika, pri kateri so števila sestavljena iz šestnajstih števk, oziroma ta aritmetika se imenuje šestnajstiška. Da bi razumeli, kaj je število v nedecimalni aritmetiki, najprej ugotovimo, kaj je število v decimalni aritmetiki.

Vzemimo na primer številko 246. Ta vnos pomeni, da je v številu dvesto, štiri desetice in šest enic. Zato lahko zapišemo naslednjo enakost:

246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0

Tukaj znaki enakosti ločujejo tri načine pisanja istega števila. Za nas je zdaj najbolj zanimiva tretja oblika pisanja: 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0. Organiziran je na naslednji način:

Imamo tri številke. Najvišja številka "2" ima številko 3. Torej se pomnoži z 10 na drugo potenco. Naslednja številka "4" ima serijsko številko 2 in se v prvi pomnoži z 10. Že zdaj je razvidno, da se števke pomnožijo z deset na potenco enega manjše od redne številke števke. Ko razumemo povedano, lahko zapišemo splošno formulo za predstavitev decimalne številke. Naj obstaja število z N števkami. I-to številko bomo označili z i. Potem lahko število zapišemo v naslednji obliki: a n a n-1 ….a 2 a 1 . To je prvi obrazec, tretji prijavni obrazec pa bo videti takole:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 10 n-1 + a n-1 * 10 n-2 + …. + a 2 * 10 1 + a 1 * 10 0

kjer je i znak iz nabora "0123456789"

V tem zapisu je vloga deseterice zelo jasno vidna. Deset je osnova za nastanek števila. In mimogrede, imenuje se "osnova številskega sistema" in sam številski sistem, zato se imenuje "decimalni". Število deset seveda nima posebnih lastnosti. Deset lahko enostavno zamenjamo s katerim koli drugim številom. Število v petmestnem številskem sistemu lahko na primer zapišemo takole:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 5 n-1 + a n-1 * 5 n-2 + …. + a 2 * 5 1 + a 1 * 5 0

kjer je a i znak iz nabora "01234"

Na splošno 10 zamenjamo s katerim koli drugim številom in dobimo popolnoma drugačen številski sistem in drugačno aritmetiko. Najenostavnejšo aritmetiko dobimo, če 10 nadomestimo z 2. Nastali številski sistem se imenuje binarni in število v njem je definirano na naslednji način:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 2 n-1 + a n-1 * 2 n-2 + …. + a 2 * 2 1 + a 1 * 2 0

kjer je a i znak iz nabora "01"

Ta sistem je najpreprostejši od vseh možnih, saj je v njem katero koli število sestavljeno samo iz dveh števk 0 in 1. Jasno je, da ni nikjer enostavnejšega. Primeri binarnih števil: 10, 111, 101.

Zelo pomembno vprašanje. Ali je lahko dvojiško število predstavljeno kot decimalno število in obratno, ali je lahko decimalno število predstavljeno kot dvojiško število.

Binarno v decimalno. To je zelo preprosto. Metoda takšnega prevoda daje naš način pisanja številk. Vzemimo za primer naslednje binarno število 1011. Razširimo ga na potenca dvojke. Dobimo naslednje:

1011 = 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0

Izvedemo vsa posneta dejanja in dobimo:

1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0 = 8 + 0+ 2 + 1 = 11. Tako dobimo, da je 1011 (binarno) = 11 (decimalno). Takoj lahko opazite rahlo nevšečnost binarnega sistema. Enako število, ki je v decimalnem sistemu zapisano z enim znakom v binarnem sistemu, zahteva za zapis štiri znake. Ampak to je cena za preprostost (nič se ne zgodi zastonj). Toda binarni sistem daje velik dobiček pri aritmetičnih operacijah. In potem bomo to videli.

Naslednja binarna števila izrazite kot decimalno število.

a) 10010 b) 11101 c) 1010 c) 1110 d) 100011 e) 1100111 f) 1001110

Seštevanje binarnih števil.

Metoda seštevanja po stolpcu je na splošno enaka kot za decimalno število. To pomeni, da se seštevanje izvaja po malo, začenši z najmanj pomembno številko. Če seštevanje dveh števk povzroči VSOTO, večjo od devet, potem se zapiše število = SUM-10, CELOTI DEL (SUM / 10) pa se doda najvišji števki. (Dodajte nekaj številk v stolpec, zapomnite si, kako se to naredi.) Tako je z binarno številko. Seštevajte po malo, začenši z najnižjo številko. Če se izkaže več kot 1, se napiše 1 in najpomembnejši števki se doda 1 (pravijo, da je noro).

Zaženimo primer: 10011 + 10001.

Prvi rang: 1+1 = 2. Zapišemo 0 in 1 nam je prišlo na misel.

Drugi rang: 1+0+1 (zapomnjena enota) =2. Zapišemo 0 in 1 nam je prišlo na misel.

Tretji rang: 0+0+1(zapomnjena enota) = 1. Zapiši 1.

Četrti rang 0+0=0. Zapišemo 0.

Peti rang 1+1=2. Zapišemo 0 in šestemu bitu dodamo 1.

Pretvorimo vsa tri števila v decimalni sistem in preverimo pravilnost seštevanja.

10011 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16 + 2 + 1 =19

10001 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 16 + 1 = 17

100100 = 1*2 5 + 0*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 =32+4=36

17 + 19 = 36 pravilna enakost

Primeri za samostojno rešitev:

a) 11001 +101 =

b) 11001 +11001 =

c) 1001 + 111 =

e) 10011 + 101 =

f) 11011 + 1111 =

e) 11111 + 10011 =

Kako pretvoriti decimalko v binarno. Naslednja operacija je odštevanje. Toda s to operacijo se bomo ukvarjali malo kasneje, zdaj pa bomo razmislili o metodi za pretvorbo decimskega števila v binarno.

Če želite pretvoriti decimalno število v dvojiško, ga je treba razširiti v potenca dva. Toda če je razširitev v potencah desetic dosežena takoj, potem je treba malo razmisliti, kako razširiti po potencih dvojke. Najprej poglejmo, kako to storiti z izbirno metodo. Vzemimo decimalno število 12.

Prvi korak. 2 2 \u003d 4, to ni dovolj. Prav tako je majhen in 2 3 \u003d 8, 2 4 \u003d 16 pa je že veliko. Torej pustimo 2 3 =8. 12 - 8 = 4. Zdaj morate 4 predstaviti kot potenco dvojke.

Drugi korak. 4 = 2 2 .

Potem je naše število 12 = 2 3 + 2 2 . Najvišja številka ima številko 4, najvišja stopnja = 3, zato bi morali obstajati izrazi s potekom dveh 1 in 0. Vendar jih ne potrebujemo, zato da se znebimo nepotrebnih stopinj in pustimo potrebne enih, zapišemo število takole: 1 * 2 3 + 1 * 2 2 +0*2 1 + 0*2 0 = 1100 - to je binarna predstavitev števila 12. Preprosto je videti, da vsaka naslednja potenca je največja moč dvojke, ki je manjša od števila, ki ga je treba razširiti. Če želite popraviti metodo, si oglejmo še en primer. številka 23.

Korak 1. Najbližja moč dvojke je 2 4 = 16. 23 -16 = 7.

Korak 2. Najbližja moč dvojke je 2 2 = 4. 7 - 4 = 3

Korak 3. Najbližja moč dvojke je 2 1 = 2. 3 - 2 = 1

Korak 4. Najbližja moč dveh 2 0 =1 1 - 1 =0

Dobimo naslednjo razgradnjo: 1*2 4 + 0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0

In naša želena binarna številka je 10111

Zgoraj obravnavana metoda dobro rešuje zastavljeno težavo, vendar obstaja metoda, ki je algoritmizirana veliko bolje. Algoritem za to metodo je napisan spodaj:

Dokler je NUMBER večje od nič

NASLEDNJA ŠTEVILKA \u003d preostanek deljenja ŠTEVILA z 2

ŠTEVILKA = cel del ŠTEVILKE, deljeno z 2

Ko ta algoritem dokonča svoje delo, bo zaporedje izračunanih REGULARNIH ŠTEVIL predstavljalo binarno število. Na primer, delajmo s številko 19.

Začetek algoritma ŠTEVILKA = 19

NASLEDNJA ŠTEVKA = 1

NASLEDNJA ŠTEVKA = 1

NASLEDNJA ŠTEVILKA = 0

NASLEDNJA ŠTEVILKA = 0

NASLEDNJA ŠTEVKA = 1

Kot rezultat imamo naslednjo številko 10011. Upoštevajte, da se obe obravnavani metodi razlikujeta po vrstnem redu pridobivanja naslednjih števk. Pri prvi metodi je prva prejeta številka najvišja številka binarne številke, pri drugi metodi pa je prva prejeta številka, nasprotno, najnižja.

Pretvorite decimalko v binarno na dva načina

a) 14 b) 29 c) 134 d) 158 f) 1190 g) 2019

Kako pretvoriti ulomni del v decimalni del.

Znano je, da je vsako racionalno število mogoče predstaviti kot decimalni in navadni ulomek. Navadni ulomek, torej ulomek oblike A / B, je lahko pravilen in nepravilen. Ulomek se imenuje pravilen, če je A<В и неправильной если А>AT.

Če je racionalno število predstavljeno z nepravilnim ulomkom, hkrati pa je števec ulomka v celoti deljen z imenovalcem, potem je to racionalno število celo število, v vseh drugih primerih pa se pojavi ulomni del. Ulomni del je pogosto zelo dolgo število in celo neskončno (neskončen periodični ulomek, na primer 20/6), zato v primeru ulomnega dela nimamo naloge le prevesti enega prikaza v drugega, ampak prevesti z določeno natančnostjo.

Pravilo natančnosti. Recimo, da ste dobili decimalno število, ki ga je mogoče predstaviti kot decimalni ulomek do N števk. Da bi bilo ustrezno dvojiško število enako natančno, je treba vanj napisati M - znakov, tako da

Zdaj pa poskusimo dobiti pravilo prevajanja in najprej razmislimo o primeru 5,401

Odločitev:

Celo število bomo dobili po pravilih, ki so nam že znana, in je enako binarnemu številu 101. Ulomni del pa razširimo na potence 2.

Korak 1: 2 -2 = 0,25; 0,401 - 0,25 = 0,151. je preostanek.

2. korak: Zdaj moramo 0,151 predstaviti kot potenco dvojke. Naredimo to: 2 -3 = 0,125; 0,151 - 0,125 = 0,026

Tako lahko izvirni delni del predstavimo kot 2 -2 +2 -3 . Enako lahko zapišemo v takem binarnem številu: 0,011. Prva delna številka je nič, to je zato, ker v naši ekspanziji ni stopnje 2 -1.

Iz prvega in drugega koraka je jasno, da ta predstavitev ni natančna in bi bilo morda zaželeno nadaljevati širitev. Vrnimo se k pravilu. Piše, da potrebujemo toliko znakov M, da je 10 3 manj kot 2 M. To je 1000<2 M . То есть в двоичном разложении у нас должно быть не менее десяти знаков, так как 2 9 = 512 и только 2 10 = 1024. Продолжим процесс.

3. korak: Zdaj delamo s številko 0,026. Najbližja moč dvojke tej številki je 2 -6 \u003d 0,015625; 0,026 - 0,015625 = 0,010375 zdaj je naše natančnejše binarno število 0,011001. Za decimalno vejico je že šest decimalnih mest, vendar to še ni dovolj, zato izvedemo še en korak.

4. korak: Zdaj delamo s številko 0,010375. Najbližja moč dvojke tej številki je 2 -7 \u003d 0,0078125;

0,010375 - 0,0078125 = 0,0025625

5. korak: Zdaj delamo s številko 0,0025625. Najbližja moč dvojke tej številki je 2 -9 \u003d 0,001953125;

0,0025625 - 0,001953125 = 0,000609375

Zadnji dobljeni preostanek je manjši od 2 -10 in če bi se želeli še naprej približevati prvotnemu številu, bi potrebovali 2 -11 , vendar to že presega zahtevano natančnost, zato je mogoče izračune ustaviti in končno binarno predstavitev delni del je mogoče zapisati.

0,401 = 0,011001101

Kot lahko vidite, je pretvorba ulomnega dela decimalnega števila v binarno predstavitev nekoliko bolj zapletena kot pretvorba celega dela. Preglednica potencij dvojke na koncu predavanja.

In zdaj pišemo algoritem transformacije:

Začetni podatki algoritma: Skozi A bomo označili prvotni pravi decimalni ulomek, zapisan v decimalni obliki. Naj ta ulomek vsebuje N znakov.

algoritem

Dejanje 1. Iz neenakosti 10 N določite število zahtevanih binarnih znakov M< 2 M

2. korak: Izračunajte števke binarne predstavitve (števke za ničlo). Številka števke bo označena s simbolom K.

1. Številka = 1
2. Če je 2 -K > A

Nato dodamo nič v zapis binarne številke

• dodaj 1 binarnemu številu
• A \u003d A - 2 -K

1. K = K + 1
2. Če je K > M

• potem je algoritem končan.
• V nasprotnem primeru pojdite na 2. korak.

Pretvori decimalko v binarno

a) 3,6 b) 12,0112 c) 0,231 d) 0,121 e) 23,0091

Odštevanje binarnih števil. Odštevali bomo tudi števila, uporabili bomo tudi stolpec in splošno pravilo je enako kot za decimalna števila, odštevanje se izvaja po malo in če je v bitu premalo enote, se ukvarja s starejšim. Rešimo naslednji primer:

Prvi rang. 1 - 0 =1. Zapišemo 1.

Drugi rang 0-1. Enota manjka. Jemljemo ga v starejši kategoriji. Ena od najvišje števke gre na najnižjo, kot dve enoti (ker je najvišja številka predstavljena z dvema večje stopnje) 2-1 \u003d 1. Zapišemo 1.

Tretji rang. Zasedli smo enoto te števke, tako da je zdaj v števki 0 treba zasesti enoto najpomembnejše števke. 2-1=1. Zapišemo 1.

Preverimo rezultat v decimalnem sistemu

1101 - 110 = 13 - 6 = 7 (111) Resnična enakost.

Drug zanimiv način izvajanja odštevanja je povezan s konceptom komplementa dveh, ki vam omogoča, da odštevanje zmanjšate na seštevanje. Izkazalo se je, da je številka v dodatni kodi izjemno preprosta, vzamemo številko, zamenjamo ničle z enicami, obratno, zamenjamo enote z ničlami ​​in dodamo eno najmanj pomembni števki. Na primer, 10010 bi bilo 011011 v kodi komplementa obeh.

Pravilo odštevanja komplementa dveh navaja, da je odštevanje mogoče nadomestiti s seštevanjem, če se odštevanje nadomesti s številko v kodi komplementa.

Primer: 34 - 22 = 12

Zapišimo ta primer v binarni obliki. 100010 - 10110 = 1100

Dodatna koda za številko 10110 bo taka

01001 + 00001 = 01010. Potem lahko izvirni primer nadomestite s seštevanjem, kot je ta 100010 + 01010 = 101100 Nato morate zavreči eno enoto v najvišjem vrstnem redu. Če to naredimo, dobimo 001100. Zavržemo nepomembne ničle in dobimo 1100, to pomeni, da je bil primer pravilno rešen

Naredite odštevanja. Na običajen način in v dodatni kodi, po predhodnem pretvorbi decimalnih števil v binarne:

Preverite tako, da binarni rezultat pretvorite v decimalko.

Množenje v binarnem številskem sistemu.

Začnimo z naslednjim zanimivim dejstvom. Če želite dvojiško število pomnožiti z 2 (decimalno dva je 10 v binarnem sistemu), je dovolj, da pomnoženemu številu na levi dodate eno ničlo.

Primer. 10101 * 10 = 101010

Pregled.

10101 = 1*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 +1*2 0 = 16 + 4 + 1 = 21

101010 =1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 32 + 8 + 2 = 42

Če se spomnimo, da je katero koli binarno število mogoče razširiti na potence dvojke, potem postane jasno, da se množenje v binarnem številskem sistemu zmanjša na množenje z 10 (to je z decimalno 2), zato je množenje niz zaporednih premiki. Splošno pravilo je, da se tako kot pri decimalnih številih tudi binarno množenje izvaja bit za bitjem. In za vsako številko drugega množitelja se na desni strani prvega množitelja doda ena nič. Primer (še ni stolpec):

1011 * 101 To množenje je mogoče zmanjšati na vsoto treh bitnih množenj:

1011 * 1 + 1011 * 0 + 1011 * 100 \u003d 1011 + 101100 \u003d 110111 Enako lahko zapišemo v stolpec, kot je ta:

izpit:

101 = 5 (decimalno)

1011 = 11 (decimalno)

110111 = 55 (decimalno)

5*11 = 55 pravilna enakost

Odločite se sami

a) 1101 * 1110 =

b) 1010 * 110 =

e) 101011 * 1101 =

f) 10010 * 1001 =

Opomba: Mimogrede, tabela množenja v binarnem sistemu je sestavljena samo iz enega elementa 1 * 1 = 1

Delitev v binarnem sistemu.

Razmislili smo že o treh dejanjih in mislim, da je že jasno, da se na splošno dejanja nad binarnimi števili malo razlikujejo od dejanj nad decimalnimi števili. Razlika se kaže le v tem, da sta dve števki in ne deset, vendar to le poenostavi aritmetične operacije. Enako je z delitvijo, a za boljše razumevanje bomo algoritem delitve podrobneje analizirali. Recimo, da moramo razdeliti dve decimalni števili, na primer 234 deljeno s 7. Kako to naredimo.

Desno (od najpomembnejše števke) dodelimo toliko števk, da je dobljeno število čim manjše in hkrati večje od delitelja. 2 je manjše od delitelja, zato je število, ki ga potrebujemo, 23. Nato dobljeno število delimo z delilnikom s preostankom. Dobimo naslednji rezultat:

Opisana operacija se ponavlja, dokler dobljeni ostanek ni manjši od delitelja. Ko se to zgodi, je število, pridobljeno pod črto, količnik, zadnji ostanek pa ostanek operacije. Torej se operacija delitve binarnega števila izvede na popolnoma enak način. Poskusimo

Primer: 10010111 / 101

Iščemo število, iz najvišjega reda katerega bi bilo prvo večje od delitelja. To je štirimestna številka 1001. Napisana je krepko. Zdaj morate najti delilec za izbrano število. In tu spet zmagamo v primerjavi v decimalnem sistemu. Dejstvo je, da je izbrani delilec nujno številka, mi pa imamo samo dve števki. Ker je 1001 očitno večje od 101, je z delilnikom vse jasno, to je 1. Izvedemo operacijski korak.

Torej, preostanek operacije je 100. To je manj kot 101, zato morate za izvedbo drugega koraka delitve dodati naslednjo številko 100, to je število 0. Zdaj imamo naslednjo številko:

1000 je večje od 101, zato v drugem koraku zasebni številki spet dodamo 1 in dobimo naslednji rezultat (da prihranimo prostor, naslednjo številko takoj izpustimo).

Tretji korak. Dobljeno število 110 je večje od 101, zato ga bomo v tem koraku zapisali v količnik 1. Izkazalo se bo tako:

Nastalo število 11 je manjše od 101, zato ga zapišemo v zasebno številko 0 in znižamo naslednjo številko navzdol. Izkaže se takole:

Nastalo število je večje od 101, zato številko 1 zapišemo v količnik in dejanja izvedemo znova. Izkazalo se je ta slika:

1

0

Nastali ostanek 10 je manjši od 101, vendar nam je v dividendi zmanjkalo števk, zato je 10 končni ostanek, 1110 pa je želeni količnik.

Preverite v decimalkah

S tem zaključujemo opis najpreprostejših aritmetičnih operacij, ki jih morate poznati za uporabo binarne aritmetike, zdaj pa bomo poskušali odgovoriti na vprašanje "Zakaj potrebujemo binarno aritmetiko." Seveda je bilo zgoraj že prikazano, da zapis števila v binarnem sistemu močno poenostavi aritmetične operacije, hkrati pa postane sam zapis veliko daljši, kar zmanjša vrednost dobljene poenostavitve, zato je treba pogledati za takšne probleme, katerih rešitev je v binarnih številih veliko enostavnejša.

1. naloga: pridobivanje vseh vzorcev

Zelo pogosto obstajajo naloge, pri katerih morate biti sposobni zgraditi vse možne kombinacije iz danega nabora predmetov. Na primer taka naloga:

Glede na velik kup kamenja razporedite kamne v dva kupa tako, da bo masa teh dveh kupov čim bolj enaka.

To nalogo je mogoče oblikovati na naslednji način:

Poiščite vzorec kamnov iz velikega kupa tako, da se njegova skupna masa čim manj razlikuje od polovice mase velikega kupa.

Tovrstnih nalog je kar nekaj. In vsi se spuščajo, kot že omenjeno, na zmožnost pridobivanja vseh možnih kombinacij (v nadaljevanju jih bomo imenovali izbori) iz danega nabora elementov. In zdaj bomo razmislili o splošni metodi za pridobitev vseh možnih vzorcev z uporabo binarne operacije seštevanja. Začnimo s primerom. Naj bo nabor treh predmetov. Izdelamo vse možne vzorce. Predmeti bodo označeni s serijskimi številkami. To pomeni, da so naslednji elementi: 1, 2, 3.

Vzorci: (0, 0, 1); (0, 1, 0); (0, 1, 1); (100); (1, 0, 1); (1, 1, 0); (1, 1, 1);

Če je na mestu z naslednjo številko ena, potem to pomeni, da je v izboru prisoten element s številko, ki je enaka tej poziciji, in če je nič, potem elementa ni. Na primer vzorec(0, 1, 0); sestavljen iz enega elementa s številko 2, vzorec pa je (1, 1, 0); sestavljen iz dveh elementov s številkama 1 in 2.

Ta primer jasno kaže, da je vzorec mogoče predstaviti kot binarno število. Poleg tega je enostavno videti, da so zgoraj zapisana vsa možna eno-, dvo- in trimestna binarna števila. Prepišimo jih takole:

001; 010; 011; 100; 101; 110; 111

1; 10; 11; 100; 101; 110; 111

Prejeli smo vrsto zaporednih binarnih številk, od katerih vsako dobimo iz prejšnjega tako, da seštejemo eno. Lahko preverite. S pomočjo te opažene pravilnosti lahko sestavimo naslednji algoritem za pridobivanje vzorcev.

Začetni podatki algoritma

Glede na niz predmetov N - kosov. V nadaljevanju bomo to množico omenjali kot množico začetnih elementov. Oštevilčimo vse elemente prvotnega niza od 1 do N. Naredimo binarno število iz N nepomembnih ničel. 0000… 0 N To ničelno binarno število bo označevalo ničelni vzorec, iz katerega se bo začel postopek vzorčenja. Številke števila se štejejo od desne proti levi, kar pomeni, da je skrajna leva številka najpomembnejša.

Dogovorimo se, da to dvojiško številko označimo z velikimi črkami BINARY

algoritem

Če je BINARNO število v celoti sestavljeno iz enic

Nato ustavimo algoritem

• DIVINSKI številki dodamo eno po pravilih binarne aritmetike.
• Iz prejetega BINARNEGA števila sestavimo naslednji vzorec, kot je opisano zgoraj.

Naloga 2: Iskanje velikih praštevil

Najprej ne pozabite, da je praštevilo naravno število, ki je deljivo samo z 1 in samo s seboj. Primeri praštevil: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31

Iskanje velikih praštevil je zelo pomemben matematični problem. Za varno šifriranje sporočil z nekaterimi algoritmi šifriranja so potrebna velika praštevila. In niso potrebne samo velike številke, ampak zelo velike. Večje kot je število, bolj varna je šifra, ki temelji na tej številki.

Opomba. Močna šifra je šifra, ki traja zelo dolgo za dešifriranje.

zakaj? Praštevilo igra vlogo ključa pri šifriranju in dešifriranju. Poleg tega vemo, da se praštevila v nizih naravnih števil ne pojavljajo prav pogosto. Med prvimi tisočaki jih je precej, nato se njihovo število začne hitro zmanjševati. Če torej za ključ vzamemo ne zelo veliko število, bo dešifrator z uporabo tudi ne zelo hitrega računalnika lahko prišel do njega (z razvrščanjem vseh praštevil enega za drugim kot ključa) v omejenem času.

Precej zanesljivo kodo lahko dobite, če vzamete preprosto kodo, v kateri je na primer 150 znakov. Vendar najti tako preprostega ni tako enostavno. Predpostavimo, da je treba neko število A (zelo veliko) preizkusiti za praktičnost. To je enako kot iskanje njegovih deliteljev. Če najdemo delilnike med 2 in kvadratnim korenom A, potem ni prazen. Ocenimo število številk, ki jih je treba preveriti za zmožnost delitve števila A.

Recimo, da ima število A 150 števk. Kvadratni koren bo vseboval vsaj 75 znakov. Za razvrščanje takšnega števila možnih deliteljev potrebujemo zelo zmogljiv računalnik in veliko časa, kar pomeni, da je problem praktično nerešljiv.

Kako ravnati s tem.

Prvič, lahko se naučite hitro preveriti deljivost ene številke z drugo, in drugič, lahko poskusite izbrati število A na tak način, da je preprosto z visoko stopnjo verjetnosti. Izkazalo se je, da je to mogoče. Matematik Mersen je odkril te številke v naslednji obliki

So preprosti z visoko stopnjo verjetnosti.

Da bi razumeli zgoraj napisano frazo, preštejmo, koliko je praštevil v prvem tisoču in koliko Mersennovih števil v istem tisoču je praštevil. Torej so Mersenove številke v prvem tisoču naslednje:

2 1 - 1 = 1 ; 2 2 -1 = 3 ; 2 3 - 1 = 7 ; 2 4 - 1 = 15; 2 5 - 1 = 31 ; 2 6 -1 = 63;

2 7 - 1 =127 ; 2 8 -1 = 255; 2 9 - 1 = 511;

Praštevila so označena krepko. Skupno je 5 praštevil za 9 Mersennovih števil. V odstotkih je to 5/9 * 100 \u003d 55,6%. Hkrati je za prvih 1000 naravnih števil le 169 praštevil. V odstotkih je to 169/1000 * 100 = 16,9%. To pomeni, da se v prvem tisoč, v odstotkih, praštevili med Mersennovimi števili najdejo skoraj 4-krat pogosteje kot med preprosto naravnimi števili.

___________________________________________________________

In zdaj vzemimo določeno Mersenovo število, na primer 2 4 - 1. Zapišimo ga kot binarno število.

2 4 - 1 = 10000 - 1 = 1111

Vzemimo naslednje Mersenovo število 2 5 -1 in ga zapišemo kot binarno število. Dobimo naslednje:

2 5 -1 = 100000 - 1 = 11111

Že zdaj je jasno, da so vsa Mersennova števila zaporedje enic in samo to dejstvo daje velik dobiček. Prvič, v binarnem sistemu je zelo enostavno dobiti naslednje Mersennovo število, dovolj je, da k naslednjemu dodamo eno, in drugič, veliko lažje je iskati delilnike v binarnem sistemu kot v decimalnem.

Hitra pretvorba decimalnih v binarno

Ena od glavnih težav pri uporabi binarnega številskega sistema je težava pri pretvorbi decimalnega števila v dvojiško. To je precej naporna naloga. Seveda ni pretežko prevesti majhnih številk s tremi ali štirimi števili, a za decimalna števila, v katerih je 5 ali več števk, je to že težko. To pomeni, da potrebujemo način za hitro pretvorbo velikih decimalnih števil v binarno predstavitev.

To metodo je izumil francoski matematik Legendre. Naj bo na primer podano število 11183445. Delimo ga s 64, dobimo ostanek 21 in količnik 174741. To število ponovno delimo s 64, dobimo preostanek 21 in količnik 2730. Na koncu 2730 deljeno s 64 daje preostanek 42 in količnik 42. Toda 64 v binarnem sistemu je 1000000, 21 v binarnem sistemu je 10101 in 42 je 101010, zato bo prvotno število zapisano v dvojiškem sistemu, kot sledi:

101010 101010 010101 010101

Da bo bolj jasno, še en primer z manjšo številko. Prevedemo binarno predstavitev števila 235. 235 delimo s 64 s preostankom. Dobimo:

ZASEBNO = 3, binarno 11 ali 000011

RESOLUCIJA = 43, binarno 101011

Potem je 235 = 11101011, preverite ta rezultat:

11101011 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 1 + 2 0 = 128+64+32+8+2+1 = 235

Opombe:

1. Preprosto je videti, da končno binarno število vključuje vse ostanke in na zadnjem koraku tako ostanek kot količnik.
2. Količnik je napisan pred preostankom.
3. Če ima dobljeni količnik ali ostanek manj kot 6 števk v binarni predstavitvi (6 ničel vsebuje binarno predstavitev števila 64 = 1000000), se mu dodajo nepomembne ničle.

In še en težak primer. Številka 25678425.

1. korak: 25678425 deljeno s 64

Zasebno = 401225

Preostanek = 25 = 011001

2. korak: 401225 deljeno s 64

Zasebno = 6269

Preostanek = 9 = 001001

3. korak: 6269 deljeno s 64

Zasebno = 97

Preostanek = 61 = 111101

Korak 4: 97 deljeno s 64

Zasebno = 1 = 000001

Preostanek = 33 = 100001

Številčni rezultat = 1.100001.111101.001001.011001

V tej številki pika ločuje vmesne rezultate, ki so vanj vključeni.

Pretvori v binarno predstavitev števila:

PRILOGA: TABELA 1

		0,015625
		0,0078125
		0,00390625
		0,001953125
		0,0009765625
		0,00048828125
		0,000244140625
		0,0001220703125
		0,00006103515625
		0,000030517578125
		0,0000152587890625
		0,00000762939453125
		0,000003814697265625
		0,0000019073486328125
		0,00000095367431640625
		0,000000476837158203125

1. Kraj ure: 9. razred-3 lekcija preučenega oddelka
2. Tema lekcije: Aritmetične operacije v binarnem sistemu.

Vrsta razreda: predavanje, pogovor, samostojno delo.

Cilji lekcije:

didaktično: uvesti pravila za izvajanje aritmetičnih operacij (seštevanje, množenje, odštevanje) v dvojiškem številskem sistemu.

Izobraževalni: privzgojiti veščine samostojnosti pri delu, vzgoja natančnosti, discipline.

Razvoj: razvoj pozornosti, spomina učencev, razvoj sposobnosti primerjanja prejetih informacij.

Interdisciplinarne povezave: matematika:

Razredi izobraževalne opreme (oprema):projektor, miza, naloge kartice.

Metodološka podpora pouku:predstavitev v PowerPointu.

Učni načrt

1. Organizacijski trenutek (2 min).
2. Ponovitev (10)
3. Razlaga novega gradiva (15 min)
4. Utrjevanje pokritega materiala (10 min)
5. domača naloga
6. Refleksija (2 min)
7. Povzetek (2 min)

Med poukom

1. Organiziranje časa
2. Posodobitev znanja.Nadaljujemo s preučevanjem teme številskega sistema in cilj naše današnje lekcije bo, da se naučimo izvajati aritmetične operacije v dvojiškem številskem sistemu, in sicer bomo z vami upoštevali pravilo za izvajanje operacij, kot so seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje.
3. Preverjanje znanja (frontalna anketa).

Spomnimo se:

1. Kaj je številski sistem?
2. Kaj je osnova številskega sistema?
3. Kaj je osnova binarnega številskega sistema?
4. Navedite, katere številke so zapisane z napakami in utemeljite svoj odgovor:
   123 8, 3006 2, 12ААС09 20, 13476 10,
5. Kakšna je najmanjša osnova, ki bi jo moral imeti številski sistem, če je mogoče vanj zapisati števila: 10, 21, 201, 1201
6. Kakšen je konec sode binarne številke?
   Katera številka se konča z liho binarno številko?

4 . Študij novega gradiva spremlja predstavitev

/ Dodatek 1/

Učitelj na diapozitivih predstavitve razloži novo temo, učenci si zapisujejo in dokončajo naloge, ki jih predlaga učitelj v zvezku.

Od vseh pozicijskih sistemov je binarni številski sistem še posebej preprost. Razmislite o izvajanju osnovnih aritmetičnih operacij nad binarnimi števili.

Vsi pozicijski številski sistemi so "enaki", in sicer v vseh se aritmetične operacije izvajajo po enakih pravilih:

ena . veljajo isti zakoni aritmetike: komutativni, asociativni, distributivni;

2. pravila seštevanja, odštevanja in množenja s stolpcem so poštena;

3. Pravila za izvajanje aritmetičnih operacij temeljijo na tabelah seštevanja in množenja.

Dodatek

Razmislite o primerih seštevanja.

Pri dodajanju stolpca dveh števk od desne proti levi v binarnem številskem sistemu, kot v katerem koli pozicijskem sistemu, lahko le ena preide na naslednji bit.

Rezultat seštevanja dveh pozitivnih števil ima enako število števk kot največje število dveh izrazov ali eno številko več, vendar je ta številka lahko samo ena.

1011022+111112=?

1110112+110112=?

Odštevanje

Samostojno delo učencev v zvezku za utrjevanje snovi

101101 2 -11111 2 =?

110011 2 -10101 2 =?
Množenje
Razmislite o primerih množenja.

Operacija množenja se izvede z uporabo tabele množenja po običajni shemi (ki se uporablja v decimalnem številskem sistemu) z zaporednim množenjem množitelja z naslednjo številko množitelja.
Razmislite o primerih množenja
Pri množenju v primeru 2 se v ustrezni števki dodajo tri enote 1+1+1=11, zapiše se 1, druga enota pa se prenese na najvišjo številko.
V binarnem številskem sistemu je operacija množenja reducirana na premike množitelja in seštevanje vmesnih rezultatov.
divizije

Delitev se izvaja po algoritmu, ki je podoben algoritmu operacije deljenja v decimalnem številskem sistemu.

Razmislite o primeru delitve

Utrjevanje (samostojno delo učencev na karticah se izvaja v zvezku) / Dodatek 2 /

Za študente, ki so samostojno delo opravili v kratkem času, je na voljo dodatna naloga.

5. Domača naloga

2. Naučite se pravil za izvajanje aritmetičnih operacij v dvojiškem številskem sistemu, spoznajte tabele seštevanja, odštevanja, množenja.

3. Sledite tem korakom:

110010+111,01

11110000111-110110001

10101,101*111

6 Odsev

Danes v lekciji je bila zame najbolj poučna ...

Bil sem presenečen, da…

Danes lahko uporabim, kar sem se naučil v razredu ...

7. Povzetek lekcije

Danes smo se naučili izvajati aritmetične operacije v binarnem številskem sistemu (ocenjevanje za lekcijo).

Napisi diapozitivov:

Tema lekcije: "Aritmetične operacije v pozicijskih številskih sistemih" Učiteljica računalništva Marina Valentinovna Fedorchenko MOU Srednja šola Berezovskaya z okrožjem Berezovka Taishet, Irkutska regija. Spomnimo se: Kaj je številski sistem? Kaj je osnova številskega sistema? Kaj je osnova dvojiškega številskega sistema? Števila so zapisana z napakami in utemeljijo odgovor: 1238, 30062, 12AAC0920, 1347610, Kakšna je najmanjša osnova, ki bi jo moral imeti številski sistem, če lahko vanj zapišemo števila: 10, 21, 201 , 1201 Katera številka se konča s sodo binarno število?Katera številka se konča z liho binarno številko?
Laplace je o svojem odnosu do binarnega (binarnega) številskega sistema velikega matematika Leibniza zapisal: »V svoji binarni aritmetiki je Leibniz videl prototip stvarstva. Zdelo se mu je, da ena predstavlja božanski princip, nič pa neobstoj, in da višje bitje ustvarja vse iz neobstoja na popolnoma enak način, kot ena in nič v njegovem sistemu izražata vsa števila. Te besede poudarjajo univerzalnost abecede, ki je sestavljena iz dveh znakov. Vsi pozicijski številski sistemi so "enaki", in sicer se aritmetične operacije izvajajo v vseh po enakih pravilih:
veljajo isti zakoni aritmetike: --komutativno (premik) m + n = n + m m n = n m asociativno (kombinativno) (m + n) + k = m + (n + k) = m + n + k (m n ) k = m (n k) = m n k distribucijski (distributivni) (m + n) k = m k + n k
veljajo pravila seštevanja, odštevanja in množenja s stolpcem;
pravila za izvajanje aritmetičnih operacij temeljijo na tabelah seštevanja in množenja.
Seštevanje v pozicijskih številskih sistemih Od vseh pozicijskih sistemov je binarni številski sistem še posebej preprost. Razmislite o izvajanju osnovnih aritmetičnih operacij nad binarnimi števili. Vsi pozicijski številski sistemi so "enaki", in sicer se v vseh izvajajo računske operacije po enakih pravilih: veljajo enaka: komutativni, asociativni, distributivni; pravila seštevanja, odštevanja in množenja s stolpcem so veljavna; pravila za izvajanje aritmetičnih operacij temeljijo na tabelah seštevanja in množenja.
Pri dodajanju stolpca dveh števk od desne proti levi v binarnem številskem sistemu, kot v katerem koli pozicijskem sistemu, lahko le ena preide na naslednji bit. Rezultat seštevanja dveh pozitivnih števil ima enako število števk kot največje število dveh izrazov ali eno številko več, vendar je ta številka lahko samo ena. Razmislite o primerih Sami rešite primere:
1011012 + 111112
1110112 + 110112
1001100
1010110
Pri izvajanju operacije odštevanja se od večje absolutne vrednosti vedno odšteje manjše število in rezultat postavi ustrezen predznak.
Odštevanje Razmislite o primerih Primeri:
1011012– 111112
1100112– 101012
1110
11110
Množenje v pozicijskih številskih sistemih Operacijo množenja izvedemo z uporabo tabele množenja po običajni shemi (uporabljamo jo v decimalnem številskem sistemu) z zaporednim množenjem množitelja z naslednjo številko množitelja.Oglejmo si primere množenja. Oglejmo si primere. Poglejmo si primer delitve
Rešimo primere:
11012 1112

111102:1102=
1011011
101
Domača naloga 1.&3.1.22.Naučite se pravil za izvajanje računskih operacij v dvojiškem sistemu, naučite se tabel seštevanja, odštevanja, množenja.3. Naredite naslednje: 110010+111.0111110000111-11011000110101.101*111 Refleksija Danes v lekciji je bilo zame najbolj poučno ... Bil sem presenečen, da ... danes pridobljeno znanje lahko uporabim v lekciji ...