Kaj imenujemo ulomek. Navadni ulomki

Števec in imenovalec ulomka. Vrste ulomkov. Nadaljujmo z ulomki. Prvič, majhno opozorilo - mi, če upoštevamo ulomke in ustrezne primere z njimi, bomo za zdaj delali samo z njegovo numerično predstavitvijo. Obstajajo tudi delni dobesedni izrazi(s številkami in brez).Vendar vsa »načela« in pravila veljajo tudi zanje, vendar bomo o tovrstnih izrazih v prihodnje govorili posebej. Priporočam, da obiščete in korak za korakom preučite (spomnite) temo ulomkov.

Najbolj pomembno je razumeti, zapomniti in spoznati, da je ULOMEK ŠTEVILO!!!

Navadni ulomek je število v obliki:

Število, ki se nahaja "na vrhu" (v tem primeru m), se imenuje števec, število, ki se nahaja spodaj (število n), se imenuje imenovalec. Tisti, ki so se pravkar dotaknili teme, se pogosto zmedejo - kako je ime.

Tukaj je trik za vas, kako si za vedno zapomniti - kje je števec in kje imenovalec. Ta tehnika je povezana z besedno-figurativnim asociiranjem. Predstavljajte si kozarec z motno vodo. Znano je, da ko se voda usede, čista voda ostane na vrhu, motnost (umazanija) pa se usede, ne pozabite:

CHISSS talilna voda ZGORAJ (izlivalnik CHISSS na vrhu)

blato ZZZNNN th vodno DNO (ZZZNN Amenator spodaj)

Torej, takoj ko se je treba spomniti, kje je števec in kje imenovalec, so takoj vizualno predstavili kozarec ustaljene vode, v kateri Čista voda, in spodaj umazana voda. Zapomniti si morate še druge trike, če vam pomagajo, potem dobro.

Primeri navadnih ulomkov:

Kaj pomeni vodoravna črta med številkami? To ni nič drugega kot znak delitve. Izkazalo se je, da lahko ulomek obravnavamo kot primer z dejanjem deljenja. To dejanje se preprosto zabeleži v tej obliki. To pomeni, da je zgornje število (števec) deljeno s spodnjim številom (imenovalec):

Poleg tega obstaja še ena oblika zapisa - ulomek lahko zapišemo takole (skozi poševnico):

1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 in tako naprej ...

Zgornje ulomke lahko zapišemo takole:

Kot veste, je rezultat deljenja število.

Pojasnjeno - RAZLOMI TO ŠTEVILO !!!

Kot ste že opazili, je lahko v navadnem ulomku števec manjši od imenovalca, lahko večji od imenovalca in mu je lahko enak. Tukaj jih je veliko pomembne točke, ki so razumljivi intuitivno, brez kakršnih koli teoretičnih posebnosti. Na primer:

1. Ulomka 1 in 3 lahko zapišemo kot 0,5 in 0,01. Pojdimo malo naprej - to so decimalni ulomki, o njih bomo govorili malo nižje.

2. Rezultat ulomkov 4 in 6 je celo število 45:9=5, 11:1 = 11.

3. Ulomek 5 kot rezultat daje enoto 155:155 = 1.

Kakšni zaključki se kažejo sami od sebe? Naslednji:

1. Števec, deljen z imenovalcem, lahko da končno število. Morda ne bo delovalo, delite s stolpcem 7 na 13 ali 17 na 11 - nikakor! Lahko delite za nedoločen čas, vendar bomo tudi o tem govorili malo nižje.

2. Rezultat ulomka je lahko celo število. Zato lahko poljubno celo število predstavimo kot ulomek ali bolje rečeno kot neskončno vrsto ulomkov, poglej, vsi ti ulomki so enaki 2:

še! Vedno lahko poljubno celo število zapišemo kot ulomek – to število je samo v števcu, ena pa v imenovalcu:

3. Enoto lahko vedno predstavimo kot ulomek s poljubnim imenovalcem:

*Navedene točke so izjemno pomembne za delo z ulomki pri izračunih in pretvorbah.

Vrste ulomkov.

In zdaj o teoretični delitvi navadnih ulomkov. Razdeljeni so na prav in narobe.

Ulomek, katerega števec je manjši od imenovalca, imenujemo pravi ulomek. Primeri:

Ulomek, katerega števec je večji ali enak imenovalcu, imenujemo nepravi ulomek. Primeri:

mešana frakcija(mešano število).

Mešani ulomek je ulomek, zapisan kot celo število in pravi ulomek in se razume kot vsota tega števila in njegovega ulomka. Primeri:

Mešani ulomek lahko vedno predstavimo kot nepravi ulomek in obratno. Gremo dalje!

Decimale.

Zgoraj smo se jih že dotaknili, to sta primera (1) in (3), zdaj podrobneje. Tu so primeri decimalnih mest: 0,3 0,89 0,001 5,345.

Ulomek, katerega imenovalec je potenca števila 10, na primer 10, 100, 1000 itd., se imenuje decimalka. Prve tri navedene ulomke ni težko zapisati kot navadne ulomke:

Četrti je mešani ulomek (mešano število):

Decimalni ulomek ima naslednji zapis - zzačel se je celo število, nato je bila ločilo celega in ulomka pika ali vejica in nato ulomek, število števk ulomka je strogo določeno z dimenzijo ulomka: če so to desetine, ulomek je zapisan kot ena številka; če tisočinke - tri; desettisočinke - štiri itd.

Ti ulomki so končni in neskončni.

Končni decimalni primeri: 0,234; 0,87; 34.00005; 5,765.

Primerov je neskončno. Število Pi je na primer neskončen decimalni ulomek, vendar - 0,333333333333…... 0,16666666666…. in drugi. Tudi rezultat izluščitve korena iz števil 3, 5, 7 itd. bo neskončen ulomek.

Ulomek je lahko cikličen (v njem je cikel), zgornja primera sta popolnoma enaka, več primerov:

0,123123123123…... cikel 123

0,781781781718…... cikel 781

0,0250102501…. cikel 02501

Zapišemo jih lahko kot 0, (123) 0, (781) 0, (02501).

Število Pi ni ciklični ulomek, kot je na primer koren iz tri.

Spodaj v primerih bodo zvenele besede, kot je "obrniti" ulomek - to pomeni, da sta števec in imenovalec zamenjana. Pravzaprav ima tak ulomek ime - recipročni ulomek. Primeri recipročnih ulomkov:

Majhen povzetek! Ulomki so:

Navadni (pravilni in nepravilni).

Decimale (končne in neskončne).

Mešano (mešana števila).

To je vse!

S spoštovanjem, Alexander.

Števec in tisto, s čimer se deli, je imenovalec.

Če želite zapisati ulomek, najprej napišite njegov števec, nato pod to številko potegnite vodoravno črto in pod črto imenovalec. Vodoravna črta, ki ločuje števec in imenovalec, se imenuje ulomek. Včasih je upodobljen kot poševni "/" ali "∕". V tem primeru je števec zapisan levo od črte, imenovalec pa desno. Tako bo na primer ulomek "dve tretjini" zapisan kot 2/3. Zaradi jasnosti je števec običajno napisan na vrhu vrstice, imenovalec pa na dnu, torej namesto 2/3 lahko najdete: ⅔.

Če želite izračunati produkt ulomkov, najprej pomnožite števec ena ulomki drugemu števniku. Rezultat zapiši v števec novega ulomki. Nato pomnožite tudi imenovalce. Določite končno vrednost v novem ulomki. Na primer 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Če želite en ulomek deliti z drugim, najprej pomnožite števec prvega z imenovalcem drugega. Enako storite z drugim ulomkom (deliteljem). Ali pa pred izvedbo vseh korakov najprej "obrnite" delitelj, če vam je bolj priročno: imenovalec naj bo namesto števca. Nato pomnožite imenovalec dividende z novim imenovalcem delitelja in pomnožite števce. Na primer, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).

Viri:

• Osnovne naloge za ulomke

Z ulomki lahko izrazite v drugačna oblika točna vrednost količine. Enako lahko storite z ulomki. matematične operacije, kot pri celih številih: odštevanje, seštevanje, množenje in deljenje. Da se naučijo odločati ulomki, se je treba spomniti nekaterih njihovih značilnosti. Odvisne so od vrste ulomki, prisotnost celega dela, skupnega imenovalca. nekaj aritmetične operacije po izvedbi zahtevajo zmanjšanje delnega dela rezultata.

Boste potrebovali

• - kalkulator

Navodilo

Pozorno si oglejte številke. Če so med ulomki decimalne in nepravilne številke, je včasih bolj priročno najprej izvesti dejanja z decimalkami in jih nato pretvoriti v napačno obliko. Ali lahko prevedete ulomki v tej obliki na začetku, pri čemer vpišete vrednost za decimalno vejico v števec in postavite 10 v imenovalec. Če je treba, zmanjšajte ulomek tako, da zgornji in spodnji številki delite z enim deliteljem. Ulomke, pri katerih izstopa cel del, vodijo do napačne oblike tako, da ga pomnožijo z imenovalcem in rezultatu dodajo števec. Dane vrednosti bo postal nov števec ulomki. Izločiti cel del iz prvotno napačnega ulomki, delite števec z imenovalcem. Zapišite celoten rezultat iz ulomki. In ostanek deljenja postane nov števec, imenovalec ulomki medtem ko se ne spreminja. Za ulomke s celim delom je mogoče dejanja izvajati ločeno, najprej za celo število in nato za ulomke. Na primer, lahko izračunamo vsoto 1 2/3 in 2 ¾:
- Pretvorba ulomkov v napačno obliko:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Seštevanje ločeno celih in ulomkov členov:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Za z ulomki. Enako storite z imenovalci. Pri delitvi enega ulomki en ulomek napiši na drugega in nato njegov števec pomnoži z imenovalcem drugega. Hkrati pa imenovalec prvega ulomki ustrezno pomnoženo s števcem sekunde. Hkrati pa nekakšen obrat drugega ulomki(delilnik). Končni ulomek bo rezultat množenja števcev in imenovalcev obeh ulomkov. Enostaven za učenje ulomki, napisano v stanju v obliki "štirinadstropne" ulomki. Če loči dva ulomki, jih prepišite z ločilom ":" in nadaljujte z običajnim deljenjem.

Za končni rezultat zmanjšajte dobljeni ulomek tako, da števec in imenovalec delite z enim celim številom, največjim možnim v tem primeru. V tem primeru morajo biti nad in pod črto cela števila.

Opomba

Ne delajte aritmetike z ulomki, ki imajo različne imenovalce. Izberite takšno število, da bosta imenovalca obeh ulomkov enaka, ko z njim pomnožite števec in imenovalec vsakega ulomka.

Koristen nasvet

Pri pisanju ulomkov se dividenda piše nad črto. Ta količina se imenuje števec ulomka. Pod črto je zapisan delitelj ali imenovalec ulomka. Na primer, kilogram in pol riža v obliki ulomka bo zapisan takole: 1 ½ kg riža. Če je imenovalec ulomka 10, se imenuje decimalni ulomek. V tem primeru se števnik (dividenda) piše desno od celega dela ločenega z vejico: 1,5 kg riža. Za udobje izračunov lahko tak ulomek vedno zapišemo v napačni obliki: 1 2/10 kg krompirja. Če želite poenostaviti, lahko vrednosti števca in imenovalca zmanjšate tako, da ju delite z enim celim številom. AT ta primer možno je deljenje z 2. Rezultat bo 1 1/5 kg krompirja. Prepričajte se, da so števila, s katerimi boste računali, v enaki obliki.

Deleži enote in je predstavljen kot \frac(a)(b).

Števec ulomkov (a)- številko nad črto ulomka, ki prikazuje število delnic, na katere je enota premoženja razdeljena.

Imenovalec ulomka (b)- številko pod črto ulomka, ki kaže na koliko delnic je bila enota razdeljena.

Skrij Pokaži

Osnovna lastnost ulomka

Če ad=bc, potem dva ulomka \frac(a)(b) in \frac(c)(d) veljajo za enake. Na primer, ulomki bodo enaki \frac35 in \frac(9)(15), ker je 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7) in \frac(24)(14), saj je 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Iz definicije enakosti ulomkov sledi, da bodo ulomki enaki \frac(a)(b) in \frac(am)(bm), saj je a(bm)=b(am) jasen primer uporabe asociativnih in komutativnih lastnosti množenja naravna števila V akciji.

Pomeni \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- izgleda takole osnovna lastnost ulomka.

Z drugimi besedami, dobimo ulomek, ki je enak danemu, tako da števec in imenovalec prvotnega ulomka pomnožimo ali delimo z istim naravnim številom.

Zmanjšanje frakcije je postopek zamenjave ulomka, pri katerem je nov ulomek enak prvotnemu, vendar z manjšim števcem in imenovalcem.

Običajno je zmanjševanje ulomkov na podlagi glavne lastnosti ulomka.

na primer \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(števec in imenovalec sta deljiva s številom 3); dobljeni ulomek lahko spet zmanjšamo z deljenjem s 5, tj. \frac(15)(20)=\frac 34.

nezmanjšani ulomek je delček oblike \frac 34, kjer sta števec in imenovalec sorazmerno praštevila. Glavni namen zmanjševanja ulomkov je narediti ulomek nezmanjšljivega.

Spravljanje ulomkov na skupni imenovalec

Za primer vzemimo dva ulomka: \frac(2)(3) in \frac(5)(8) z različnimi imenovalci 3 in 8 . Da bi te ulomke spravili na skupni imenovalec, najprej pomnožite števec in imenovalec ulomka \frac(2)(3) z 8. Dobimo naslednji rezultat: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Nato pomnožite števec in imenovalec ulomka \frac(5)(8) od 3. Kot rezultat dobimo: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Torej so prvotni ulomki reducirani na skupni imenovalec 24.

Aritmetične operacije nad navadnimi ulomki

Seštevanje navadnih ulomkov

a) Kdaj enaki imenovalciŠtevec prvega ulomka prištejemo k števcu drugega ulomka, imenovalec pa ostane enak. Kot je razvidno iz primera:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) Kdaj različne imenovalce ulomke najprej skrčimo na skupni imenovalec, nato pa števce seštejemo po pravilu a):

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Odštevanje navadnih ulomkov

a) Z istimi imenovalci odštejte števec drugega ulomka od števca prvega ulomka, imenovalec pa pustite enak:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) Če sta imenovalca ulomkov različna, potem ulomke najprej skrčimo na skupni imenovalec, nato pa ponovimo korake kot v odstavku a).

Množenje navadnih ulomkov

Množenje ulomkov upošteva naslednje pravilo:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

to pomeni, da ločeno pomnožite števce in imenovalce.

Na primer:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Deljenje navadnih ulomkov

Frakcije se delijo na naslednji način:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

to je delček \frac(a)(b) pomnoženo z ulomkom \frac(d)(c).

primer: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Vzajemna števila

Če je ab=1, potem je število b enako obratna številka za številko a.

Primer: pri številu 9 velja obratno \frac(1)(9), Ker 9 \cdot \frac(1)(9)=1, za številko 5 - \frac(1)(5), Ker 5 \cdot \frac(1)(5)=1.

Decimale

decimalno je pravi ulomek, katerega imenovalec je 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n .

Na primer: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.

Na enak način so zapisana nepravilna števila z imenovalcem 10 ^ n ali mešana števila.

Na primer: 5\frac(1)(10)=5,1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7,63.

V obliki decimalnega ulomka je predstavljen vsak navadni ulomek z imenovalcem, ki je delitelj določene potence števila 10.

Primer: 5 je delitelj 100, torej ulomek \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2.

Aritmetične operacije z decimalnimi ulomki

Seštevanje decimalk

Če želite sešteti dva decimalna ulomka, ju morate razporediti tako, da se ena pod drugo pojavijo iste števke in vejica pod vejico, nato pa ulomke sešteti kot navadna števila.

Odštevanje decimalk

Deluje na enak način kot seštevanje.

Decimalno množenje

Pri množenju decimalna števila samo pomnožite podane številke, pri čemer ni pozoren na vejice (kot naravna števila), v prejetem odgovoru pa vejica na desni loči toliko števk, kolikor jih je za vejico v obeh faktorjih skupaj.

Pomnožimo 2,7 z 1,3. Imamo 27 \cdot 13=351 . Dve števki z desne ločimo z vejico (prvo in drugo število imata eno števko za decimalno vejico; 1+1=2). Kot rezultat dobimo 2,7 \cdot 1,3=3,51 .

Če je rezultat manj števk, kot jih je potrebno ločiti z vejico, se spredaj zapišejo manjkajoče ničle, npr.

Za množenje z 10, 100, 1000 je treba decimalno vejico v decimalnem ulomku premakniti za 1, 2, 3 števke v desno (če je potrebno, določeno število ničle).

Na primer: 1,47 \cdot 10\,000 = 14.700 .

Decimalno deljenje

Delitev decimalnega ulomka z naravnim številom poteka na enak način kot deljenje naravnega števila z naravnim številom. Vejica pri zasebnem se postavi po končanem deljenju celega dela.

Če je celoštevilski del dividende manjši od delitelja, je odgovor nič celih števil, na primer:

Razmislite o delitvi decimalke z decimalko. Recimo, da moramo 2,576 deliti z 1,12. Najprej pomnožimo dividendo in delitelj ulomka s 100, to pomeni, da premaknemo vejico v desno pri dividendu in delitelju za toliko znakov, kolikor jih je v delitelju za decimalno vejico (v tem primeru , dva). Nato morate ulomek 257,6 razdeliti na naravno število 112, to pomeni, da se problem zmanjša na že obravnavani primer:

Zgodi se, da končni decimalni ulomek ni vedno dosežen pri deljenju enega števila z drugim. Rezultat je neskončna decimalka. V takih primerih pojdite na navadne ulomke.

2,8: 0,09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31 \frac( 1)(9).

Ta članek govori o navadni ulomki. Tu se bomo seznanili s pojmom ulomek celote, kar nas bo pripeljalo do definicije navadnega ulomka. Nato se bomo posvetili sprejetemu zapisu za navadne ulomke in navedli primere ulomkov, recimo števec in imenovalec ulomka. Nato bomo podali definicije pravilnih in nepravilnih, pozitivnih in negativnih ulomkov ter upoštevali tudi položaj ulomkov na koordinatnem žarku. Na koncu naštejemo glavna dejanja z ulomki.

Navigacija po straneh.

Deleži celote

Najprej se predstavimo koncept delitve.

Predpostavimo, da imamo nek predmet, sestavljen iz več popolnoma enakih (torej enakih) delov. Za jasnost si lahko predstavljate na primer jabolko, razrezano na več kosov enake dele, ali pomaranča, sestavljena iz več enakih rezin. Vsak od teh enakih delov, ki sestavljajo cel predmet, se imenuje delež celote ali preprosto delnice.

Upoštevajte, da so delnice različne. Razložimo to. Recimo, da imamo dve jabolki. Prvo jabolko razrežemo na dva enaka dela, drugo pa na 6 enakih delov. Jasno je, da bo delež prvega jabolka drugačen od deleža drugega jabolka.

Odvisno od števila deležev, ki sestavljajo celoten objekt, imajo ti deleži svoja imena. Analizirajmo deli imena. Če je predmet sestavljen iz dveh delov, se kateri koli od njiju imenuje drugi del celotnega predmeta; če je predmet sestavljen iz treh delov, se kateri koli od njih imenuje en tretji del itd.

En sekundni utrip ima posebno ime - pol. Ena tretjina je poklicana tretji, in ena štirikratna - četrtina.

Zaradi jedrnatosti naslednje oznake delnic. Ena druga delnica je označena kot ali 1/2, ena tretjina - kot ali 1/3; en četrtinski delež - like ali 1/4 itd. Upoštevajte, da se pogosteje uporablja zapis z vodoravno črto. Za utrjevanje gradiva navedimo še en primer: zapis označuje sto sedeminšestdeseti del celote.

Koncept deleža se naravno razširi od predmetov do velikosti. Eno od meril za dolžino je na primer meter. Za merjenje dolžin, krajših od metra, lahko uporabite delčke metra. Tako lahko uporabite na primer pol metra ali desetinko ali tisočinko metra. Podobno se uporabljajo deleži drugih količin.

Navadni ulomki, definicija in primeri ulomkov

Za opis števila delnic se uporabljajo navadni ulomki. Navedimo primer, ki nam bo omogočil, da se približamo definiciji navadnih ulomkov.

Naj bo pomaranča sestavljena iz 12 delov. Vsaka delnica v tem primeru predstavlja eno dvanajstino cele pomaranče, to je . Označimo dva utripa kot , tri utripe kot , in tako naprej, 12 utripov kot . Vsak od teh vnosov se imenuje navadni ulomek.

Zdaj pa dajmo generalko definicija navadnih ulomkov.

Izražena definicija navadnih ulomkov nam omogoča, da prinesemo primeri navadnih ulomkov: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . In tukaj so zapisi ne ustrezajo glasovni definiciji navadnih ulomkov, to pomeni, da niso navadni ulomki.

Števec in imenovalec

Za udobje razlikujemo v navadnih frakcijah števec in imenovalec.

Opredelitev.

Števec navadni ulomek (m / n) je naravno število m.

Opredelitev.

Imenovalec navadni ulomek (m/n) je naravno število n.

Torej se števec nahaja nad ulomkovo vrstico (levo od poševnice), imenovalec pa pod ulomkovo vrstico (desno od poševnice). Na primer, vzemimo navaden ulomek 17/29, števec tega ulomka je število 17, imenovalec pa število 29.

Razpravljati je treba o pomenu števca in imenovalca navadnega ulomka. Imenovalec ulomka kaže, koliko deležev sestavlja en element, števec pa število takih deležev. Na primer, imenovalec 5 ulomka 12/5 pomeni, da je ena postavka sestavljena iz petih delov, števec 12 pa, da je vzetih 12 takih delov.

Naravno število kot ulomek z imenovalcem 1

Imenovalec navadnega ulomka je lahko enako ena. V tem primeru lahko domnevamo, da je predmet nedeljiv, z drugimi besedami, je nekaj celote. Števec takega ulomka označuje, koliko celih predmetov je vzetih. Tako ima navadni ulomek oblike m/1 pomen naravnega števila m. Tako smo utemeljili enakost m/1=m .

Prepišimo zadnjo enakost takole: m=m/1 . Ta enakost nam omogoča, da vsako naravno število m predstavimo kot navadni ulomek. Na primer, število 4 je ulomek 4/1, število 103498 pa ulomek 103498/1.

Torej, poljubno naravno število m lahko predstavimo kot navaden ulomek z imenovalcem 1 kot m/1 , vsak navaden ulomek oblike m/1 pa lahko nadomestimo z naravnim številom m.

Vrstica za ulomke kot znak deljenja

Predstavitev prvotnega predmeta v obliki n delov ni nič drugega kot razdelitev na n enakih delov. Ko je predmet razdeljen na n deležev, ga lahko enakomerno razdelimo med n ljudi - vsak bo prejel en delež.

Če imamo na začetku m enakih predmetov, od katerih je vsak razdeljen na n deležev, potem lahko teh m predmetov enakomerno razdelimo med n ljudi, tako da vsaki osebi damo en delež od vsakega od m predmetov. V tem primeru bo vsaka oseba imela m deležev 1/n, m deležev 1/n pa daje navaden ulomek m/n. Tako lahko navadni ulomek m/n uporabimo za predstavitev delitve m predmetov med n ljudi.

Tako smo dobili eksplicitno povezavo med navadnimi ulomki in deljenjem (glej splošno idejo delitve naravnih števil). To razmerje je izraženo na naslednji način: Vrstico ulomka lahko razumemo kot znak deljenja, to je m/n=m:n.

S pomočjo navadnega ulomka lahko zapišemo rezultat deljenja dveh naravnih števil, pri katerih deljenje ni izvedeno s celim številom. Na primer, rezultat deljenja 5 jabolk z 8 osebami lahko zapišemo kot 5/8, kar pomeni, da bo vsak dobil pet osmin jabolka: 5:8=5/8.

Enaki in neenaki navadni ulomki, primerjava ulomkov

Dokaj naravno dejanje je primerjava navadnih ulomkov, ker je jasno, da se 1/12 pomaranče razlikuje od 5/12, 1/6 jabolka pa je enaka drugi 1/6 tega jabolka.

Kot rezultat primerjave dveh navadnih ulomkov dobimo enega od rezultatov: ulomka sta enaka ali neenaka. V prvem primeru imamo enaki navadni ulomki, v drugem pa neenaki navadni ulomki. Podajmo definicijo enakih in neenakih navadnih ulomkov.

Opredelitev.

enaka, če velja enakost a d=b c.

Opredelitev.

Dva navadna ulomka a/b in c/d ni enako, če enakost a d=b c ni izpolnjena.

Tukaj je nekaj primerov enakih ulomkov. Navadni ulomek 1/2 je na primer enak ulomku 2/4, saj je 1 4=2 2 (če je potrebno, glej pravila in primere množenja naravnih števil). Za jasnost si lahko predstavljate dve enaki jabolki, prvo je prerezano na pol, drugo pa na 4 dele. Očitno je, da sta dve četrtini jabolka 1/2 delnice. Drugi primeri enakih navadnih ulomkov so ulomki 4/7 in 36/63 ter par ulomkov 81/50 in 1620/1000.

In navadna ulomka 4/13 in 5/14 nista enaka, saj je 4 14=56 in 13 5=65, torej 4 14≠13 5. Drug primer neenakih navadnih ulomkov sta ulomka 17/7 in 6/4.

Če se pri primerjavi dveh navadnih ulomkov izkaže, da nista enaka, potem boste morda morali ugotoviti, kateri od teh navadnih ulomkov manj drugo, in katero več. Za ugotovitev se uporablja pravilo za primerjanje navadnih ulomkov, katerega bistvo je, da primerjane ulomke spravimo na skupni imenovalec in nato primerjamo števce. Podrobne informacije o tej temi so zbrane v članku primerjava ulomkov: pravila, primeri, rešitve.

Ulomka števila

Vsaka frakcija je zapis delno število. To pomeni, da je ulomek le "lupina" ulomka, njegovega videz, celotna pomenska obremenitev pa je vsebovana ravno v delnem številu. Vendar pa sta zaradi jedrnatosti in priročnosti koncept ulomka in delnega števila združena in preprosto imenovana ulomek. Tukaj je primerno parafrazirati znani rek: rečemo ulomek - mislimo delno število, rečemo ulomek – mislimo ulomek.

Ulomki na koordinatnem žarku

Vsa ulomka, ki ustrezajo navadnim ulomkom, imajo svoje edinstveno mesto na , to pomeni, da obstaja ujemanje ena proti ena med ulomki in točkami koordinatnega žarka.

Da bi prišli do točke, ki ustreza ulomku m / n na koordinatnem žarku, je treba od izhodišča v pozitivni smeri odložiti m segmentov, katerih dolžina je 1 / n del segmenta enote. Takšne odseke lahko dobimo tako, da posamezen odsek razdelimo na n enakih delov, kar lahko vedno storimo s šestilom in ravnilom.

Na primer, pokažimo točko M na koordinatnem žarku, ki ustreza ulomku 14/10. Dolžina odseka s koncema v točki O in njej najbližje točke, označene z majhno črtico, je 1/10 enotskega odseka. Točka s koordinato 14/10 je odmaknjena od izhodišča za 14 takih segmentov.

Enaki ulomki ustrezajo istemu ulomku, tj. enaki ulomki so koordinate iste točke na koordinatnem žarku. Na primer, ena točka ustreza koordinatam 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 na koordinatnem žarku, saj so vsi zapisani ulomki enaki (nahaja se na razdalji polovice enotskega segmenta, odloženega od izvor v pozitivni smeri).

Na vodoravnem in desno usmerjenem koordinatnem žarku se točka, katere koordinata je veliki del, nahaja desno od točke, katere koordinata je manjši del. Podobno leži točka z manjšo koordinato levo od točke z večjo koordinato.

Pravilni in nepravi ulomki, definicije, primeri

Med navadnimi ulomki so pravi in ​​nepravi ulomki. Ta delitev ima v bistvu primerjavo števca in imenovalca.

Podajmo definicijo pravilnega in nepravilnega navadnega ulomka.

Opredelitev.

Pravi ulomek je navaden ulomek, katerega števec je manjši od imenovalca, to je, če je m

Opredelitev.

Nepravilen ulomek je navaden ulomek, v katerem je števec večji ali enak imenovalcu, to je, če je m≥n, potem je navadni ulomek nepravilen.

Tu je nekaj primerov pravilnih ulomkov: 1/4 , , 32 765/909 003 . V vsakem od zapisanih navadnih ulomkov je namreč števec manjši od imenovalca (če je treba glej članek primerjava naravnih števil), zato so pravilni že po definiciji.

Tukaj so primeri nepravilnih ulomkov: 9/9, 23/4,. Dejansko je števec prvega od zapisanih navadnih ulomkov enak imenovalcu, pri preostalih ulomkih pa je števec večji od imenovalca.

Obstajajo tudi definicije pravih in nepravilnih ulomkov, ki temeljijo na primerjavi ulomkov z enico.

Opredelitev.

pravilnoče je manj kot ena.

Opredelitev.

Navadni ulomek se imenuje narobe, če je enako ena ali večja od 1 .

Torej je navadni ulomek 7/11 pravilen, saj je 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 in 27/27=1.

Pomislimo, kako si navadni ulomki, katerih števec je večji ali enak imenovalcu, zaslužijo takšno ime – »napačni«.

Vzemimo za primer nepravilni ulomek 9/9. Ta ulomek pomeni, da je vzetih devet delov predmeta, ki je sestavljen iz devetih delov. Se pravi, iz razpoložljivih devetih delnic lahko sestavimo cel subjekt. To pomeni, da nepravilni ulomek 9/9 v bistvu daje cel predmet, to je 9/9=1. Na splošno nepravi ulomki s števcem, enakim imenovalcu, označujejo en cel predmet in tak ulomek lahko nadomestimo z naravnim številom 1.

Zdaj razmislite o nepravilnih ulomkih 7/3 in 12/4. Povsem očitno je, da lahko iz teh sedmih tretjin naredimo dva cela objekta (en cel objekt so 3 deleži, potem za sestavo dveh celih objektov potrebujemo 3 + 3 = 6 deležev) in še vedno bo ena tretjina. Se pravi, nepravi ulomek 7/3 v bistvu pomeni 2 artikla in celo 1/3 deleža takega elementa. In iz dvanajstih četrtin lahko naredimo tri cele predmete (tri predmete s štirimi deli). To pomeni, da ulomek 12/4 v bistvu pomeni 3 cele predmete.

Obravnavani primeri nas pripeljejo do naslednje ugotovitve: neprave ulomke lahko nadomestimo bodisi z naravnimi števili, ko števec v celoti delimo z imenovalcem (npr. 9/9=1 in 12/4=3), bodisi vsoto naravno število in pravi ulomek, kadar števec ni enakomerno deljiv z imenovalcem (npr. 7/3=2+1/3 ). Morda si ravno to nepravilni ulomki zaslužijo tako ime - "napačni".

Posebej zanimiva je predstavitev nepravilnega ulomka kot vsote naravnega števila in pravega ulomka (7/3=2+1/3). Ta postopek se imenuje ekstrakcija celega dela iz nepravilnega ulomka in si zasluži ločeno in natančnejšo obravnavo.

Omeniti velja tudi, da obstaja zelo tesna povezava med nepravilnimi ulomki in mešanimi števili.

Pozitivni in negativni ulomki

Vsak navaden ulomek ustreza pozitivnemu ulomku (glej članek pozitivna in negativna števila). To so navadni ulomki pozitivni ulomki. Na primer, navadni ulomki 1/5, 56/18, 35/144 so pozitivni ulomki. Ko je treba poudariti pozitivnost ulomka, se pred njim postavi znak plus, na primer +3/4, +72/34.

Če postavite znak minus pred navaden ulomek, bo ta vnos ustrezal negativnemu ulomku. V tem primeru lahko govorimo o negativni ulomki. Tukaj je nekaj primerov negativnih ulomkov: −6/10 , −65/13 , −1/18 .

Pozitivni in negativni ulomki m/n in −m/n sta nasprotni števili. Na primer, ulomka 5/7 in −5/7 sta nasprotna ulomka.

Pozitivni ulomki, kot na splošno pozitivna števila, označujejo povečanje, dohodek, spremembo neke vrednosti navzgor itd. Negativni ulomki ustrezajo izdatkom, dolgu, spremembi katere koli vrednosti v smeri zmanjšanja. Na primer, negativni ulomek -3/4 se lahko razlaga kot dolg, katerega vrednost je 3/4.

Na vodoravni in desno usmerjeni negativni ulomki se nahajajo levo od referenčne točke. Točki koordinatne premice, katerih koordinate so pozitivni ulomek m/n in negativni ulomek −m/n, se nahajajo na enaki razdalji od izhodišča, vendar na nasprotnih straneh točke O .

Tukaj velja omeniti ulomke oblike 0/n. Ti ulomki so enaki številu nič, to je 0/n=0.

Pozitivni ulomki, negativni ulomki in ulomki 0/n se združijo v racionalna števila.

Dejanja z ulomki

Eno dejanje z navadnimi ulomki - primerjava ulomkov - smo že obravnavali zgoraj. Določene so še štiri aritmetike operacije z ulomki- seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje ulomkov. Zadržimo se na vsakem od njih.

Splošno bistvo dejanj z ulomki je podobno bistvu ustreznih dejanj z naravnimi števili. Povlecimo analogijo.

Množenje ulomkov lahko obravnavamo kot dejanje, pri katerem se iz ulomka najde ulomek. Za pojasnitev vzemimo primer. Recimo, da imamo 1/6 jabolka in ga moramo vzeti 2/3. Del, ki ga potrebujemo, je rezultat množenja ulomkov 1/6 in 2/3. Rezultat množenja dveh navadnih ulomkov je navadni ulomek (ki je v posameznem primeru enak naravnemu številu). Nadalje priporočamo, da preučite informacije o članku množenje ulomkov - pravila, primeri in rešitve.

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika: učbenik za 5 celic. izobraževalne ustanove.
• Vilenkin N.Y. itd. Matematika. 6. razred: učbenik za izobraževalne ustanove.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priročnik za kandidate za tehnične šole).

Del enote ali več njenih delov imenujemo preprost ali navaden ulomek. Število enakih delov, na katere je enota razdeljena, se imenuje imenovalec, število vzetih delov pa števec. Ulomek je zapisan kot:

V tem primeru je a števec, b imenovalec.

Če je števec manjši od imenovalca, potem je ulomek manjši od 1 in se imenuje pravi ulomek. Če je števec večji od imenovalca, potem je ulomek večji od 1, potem se ulomek imenuje nepravi ulomek.

Če sta števec in imenovalec ulomka enaka, potem je ulomek enak.

1. Če je števec mogoče deliti z imenovalcem, potem je ta ulomek enak količniku deljenja:

Če se deljenje izvaja z ostankom, potem lahko ta nepravilni ulomek predstavimo z mešanim številom, na primer:

Potem je 9 nepopoln količnik (celoštevilski del mešanega števila),
1 - ostanek (števec delnega dela),
5 je imenovalec.

Če želite mešano število pretvoriti v ulomek, pomnožite celo število mešanega števila z imenovalcem in dodajte števec ulomka.

Dobljeni rezultat bo števec navadnega ulomka, imenovalec pa bo ostal enak.

Dejanja z ulomki

Razširitev ulomkov. Vrednost ulomka se ne spremeni, če njegov števec in imenovalec pomnožimo z istim številom, ki ni nič.
Na primer:

Zmanjšanje frakcije. Vrednost ulomka se ne spremeni, če njegov števec in imenovalec delimo z istim številom, ki ni nič.
Na primer:

Primerjava ulomkov. Od dveh ulomkov z enakim števcem je večji tisti z manjšim imenovalcem:

Od dveh ulomkov z enakima imenovalcema je večji tisti z večjim števcem:

Za primerjavo ulomkov, ki imajo različne števce in imenovalce, jih je treba razširiti, torej pripeljati do skupnega imenovalca. Upoštevajte na primer naslednje ulomke:

Seštevanje in odštevanje ulomkov.Če so imenovalci ulomkov enaki, je treba za seštevanje ulomkov sešteti njihove števce, za odštevanje ulomkov pa je treba odšteti njihove števce. Dobljena vsota ali razlika bo števec rezultata, imenovalec pa bo ostal enak. Če sta imenovalca ulomkov različna, morate ulomke najprej zreducirati na skupni imenovalec. Pri seštevanju mešanih števil se ločeno seštejeta njihov celi in ulomek. Ko odštevate mešana števila, jih morate najprej pretvoriti v obliko nepravilnih ulomkov, nato odšteti enega od drugega in nato rezultat ponovno, če je potrebno, v obliki mešanega števila.

Množenje ulomkov. Če želite pomnožiti ulomke, morate ločeno pomnožiti njihove števce in imenovalce ter prvi produkt deliti z drugim.

Delitev ulomkov. Če želite število deliti z ulomkom, morate to število pomnožiti z njegovo recipročno vrednostjo.

decimalno je rezultat deljenja ena z deset, sto, tisoč itd. deli. Najprej se zapiše celi del števila, nato se na desni postavi decimalna vejica. Prva številka za decimalno vejico pomeni število desetin, druga - število stotink, tretja - število tisočink itd. Številke za decimalno vejico imenujemo decimalna mesta.

Na primer:

Decimalne lastnosti

Lastnosti:

• Decimalni ulomek se ne spremeni, če na desni strani dodamo ničle: 4,5 = 4,5000.
• Decimalni ulomek se ne spremeni, če odstranimo ničle na koncu decimalnega ulomka: 0,0560000 = 0,056.
• Decimalka se poveča pri 10, 100, 1000 itd. krat, če premaknete decimalno vejico na ena, dva, tri itd. položaji na desno: 4,5 45 (ulomek se je povečal 10-krat).
• Decimalno število se zmanjša za 10, 100, 1000 itd. krat, če premaknete decimalno vejico na ena, dva, tri itd. položaji levo: 4,5 0,45 (ulomek se je zmanjšal 10-krat).

Periodična decimalka vsebuje neskončno ponavljajočo se skupino števk, imenovano pika: 0,321321321321…=0,(321)

Operacije z decimalkami

Seštevanje in odštevanje decimalk poteka na enak način kot seštevanje in odštevanje celih števil, le ustrezna decimalna mesta morate zapisati drugo pod drugo.
Na primer:

Množenje decimalnih ulomkov poteka v več fazah:

• Decimalke množimo kot cela števila, ne da bi upoštevali decimalno vejico.
• Velja pravilo: število decimalnih mest v zmnožku je enako vsoti decimalnih mest vseh faktorjev.

Na primer:

Vsota števil decimalnih mest v faktorjih je: 2+1=3. Zdaj morate prešteti 3 števke od konca dobljene številke in postaviti decimalno vejico: 0,675.

Deljenje decimalnih mest. Deljenje decimalke s celim številom: če je dividenda manjša od delitelja, morate v celoštevilski del količnika napisati nič in za njo postaviti decimalno vejico. Nato, ne da bi upoštevali decimalno vejico dividende, dodajte naslednjo številko delnega dela njegovemu celemu delu in znova primerjajte dobljeni celoštevilčni del dividende z deliteljem. Če je novo število ponovno manjše od delitelja, je treba operacijo ponoviti. Ta postopek se ponavlja, dokler dobljena dividenda ni večja od delitelja. Nato se izvede deljenje kot pri celih številih. Če je dividenda večja ali enaka delitelju, najprej delimo njen celi del, rezultat deljenja zapišemo v količnik in postavimo decimalno vejico. Po tem se deljenje nadaljuje, kot pri celih številih.

Delitev enega decimalnega ulomka na drugega: najprej se decimalne vejice v dividendu in delitelju prenesejo s številom decimalnih mest v delitelju, to pomeni, da delitelj naredimo celo število in izvedemo zgoraj opisana dejanja.

Da bi decimalni ulomek pretvorili v navadnega, je treba za števec vzeti število za decimalno vejico, za imenovalec pa k-to potenco desetice (k je število decimalnih mest). Celo število, ki ni nič, se ohrani v navadnem ulomku; ničelni celoštevilski del je izpuščen.
Na primer:

Za pretvorbo navadnega ulomka v decimalko je treba števec deliti z imenovalcem v skladu s pravili deljenja.

Odstotek je stotinka enote, na primer: 5 % pomeni 0,05. Razmerje je količnik deljenja enega števila z drugim. Razmerje je enakost dveh razmerij.

Na primer:

Glavna lastnost razmerja: produkt skrajnih členov deleža je enak produktu njegovih srednjih členov, to je 5x30 = 6x25. Dve medsebojno odvisni količini se imenujeta sorazmerni, če ostane razmerje njunih količin nespremenjeno (proporcionalni koeficient).

Tako so razkrite naslednje aritmetične operacije.
Na primer:

Množica racionalnih števil vključuje pozitivna in negativna števila (cela in ulomka) ter ničlo. Natančnejša definicija racionalnih števil, sprejeta v matematiki, je naslednja: število se imenuje racionalno, če ga je mogoče predstaviti kot navaden nezmanjšani ulomek oblike:, kjer sta a in b cela števila.

Za negativno število je absolutna vrednost (modul) pozitivno število, ki ga dobimo s spremembo predznaka iz "-" v "+"; za pozitivno število in ničlo samo število. Za označevanje modula števila se uporabljata dve ravni črti, znotraj katerih je zapisano to število, na primer: |–5|=5.

Lastnosti absolutne vrednosti

Naj bo podan modul števila , za katere veljajo lastnosti:

Monom je zmnožek dveh ali več faktorjev, od katerih je vsak številka, črka ali potenca črke: 3 x a x b. Koeficient najpogosteje imenujemo le numerični faktor. Za monome pravimo, da so podobni, če so enaki ali se razlikujejo le v koeficientih. Stopnja monoma je vsota eksponentov vseh njegovih črk. Če med vsoto monomov obstajajo podobni, potem lahko vsoto zmanjšamo na preprostejšo obliko: 3 x a x b + 6 x a \u003d 3 x a x (b + 2). Ta operacija se imenuje prisiljevanje podobnih izrazov ali oklepajev.

Polinom je algebraična vsota monomov. Stopnja polinoma je največja od stopenj monomov, vključenih v dani polinom.

Obstajajo naslednje formule za skrajšano množenje:

Metode faktoringa:

Algebraični ulomek je izraz v obliki , kjer sta A in B lahko število, monom, polinom.

Če sta dva izraza (številski in črkovni) povezana z znakom "=", potem pravimo, da tvorita enakost. Vsaka resnična enakost, veljavna za vse dopustne številske vrednosti črk, ki so v njej vključene, se imenuje identiteta.

Enačba je dobesedna enakost, ki velja za določene vrednosti črk, ki so v njej vključene. Te črke imenujemo neznanke (spremenljivke), njihove vrednosti, pri katerih dana enačba postane identiteta, pa koreni enačbe.

Rešiti enačbo pomeni najti vse njene korenine. Za dve ali več enačb pravimo, da so enakovredne, če imajo enake korenine.

• ničla je bila koren enačbe;
• Enačba ima samo končno število korenin.

Glavne vrste algebraičnih enačb:

Linearna enačba ima ax + b = 0:

• če je a x 0, obstaja en sam koren x = -b/a;
• če je a = 0, b ≠ 0, ni korenin;
• če je a = 0, b = 0, je koren poljubno realno število.

Enačba xn = a, n N:

• če je n liho število, ima pravi koren, ki je enak a/n za vsak a;
• če je n sodo število, potem za 0, potem ima dva korena.

Osnovne identične transformacije: zamenjava enega izraza z drugim, njemu identično enakim; prenos členov enačbe z ene strani na drugo z nasprotnimi predznaki; množenje ali deljenje obeh delov enačbe z istim izrazom (številom), ki ni nič.

Linearna enačba z eno neznanko je enačba oblike: ax+b=0, kjer sta a in b znani števili, x pa neznana vrednost.

Sistemi dveh linearnih enačb z dvema neznankama imajo obliko:

Kjer so a, b, c, d, e, f podane številke; x, y nista znana.

Števila a, b, c, d - koeficienti za neznanke; e, f - prosti člani. Rešitev tega sistema enačb lahko najdemo z dvema glavnima metodama: z metodo substitucije: iz ene enačbe izrazimo eno od neznank s koeficienti in drugo neznanko, nato pa jo nadomestimo v drugo enačbo in tako rešimo zadnjo enačbo. , najprej poiščemo eno neznanko, nato najdeno vrednost nadomestimo v prvo enačbo in poiščemo drugo neznanko; metoda seštevanja ali odštevanja ene enačbe od druge.

Operacije s koreninami:

Aritmetični koren n-te stopnje nenegativnega števila a je nenegativno število, katerega n-ta potenca je enaka a. Algebraični koren n-te stopnje iz danega števila je množica vseh korenov iz tega števila.

Iracionalnih števil za razliko od racionalnih ni mogoče predstaviti kot navaden nezmanjšljiv ulomek oblike m/n, kjer sta m in n celi števili. To so števila nove vrste, ki jih je mogoče izračunati s poljubno natančnostjo, vendar jih ni mogoče nadomestiti z racionalnim številom. Lahko se pojavijo kot rezultat geometrijskih meritev, na primer: razmerje med dolžino diagonale kvadrata in dolžino njegove stranice je enako.

Kvadratna enačba je algebrska enačba druge stopnje ax2+bx+c=0, kjer so a, b, c podani številski ali abecedni koeficienti, x je neznanka. Če vse člene te enačbe delimo z a, dobimo x2+px+q=0 - reducirano enačbo p=b/a, q=c/a. Njegove korenine najdemo po formuli:

Če b2-4ac>0, potem obstajata dva različna korena, b2-4ac=0, potem obstajata dva enak koren; b2-4ac Enačbe, ki vsebujejo module

Glavne vrste enačb, ki vsebujejo module:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, kjer so f(x), g(x), fk(x), gk(x) dane funkcije.