Diagrama sinusurilor și cosinusurilor. Proprietățile tangentoidului și cotangentoidului

Trigonometria este o ramură a matematicii care studiază funcțiile trigonometrice și utilizarea lor în geometrie. Dezvoltarea trigonometriei a început în zilele Greciei antice. În timpul Evului Mediu, oamenii de știință din Orientul Mijlociu și India au adus o contribuție importantă la dezvoltarea acestei științe.

Acest articol este dedicat conceptelor și definițiilor de bază ale trigonometriei. Se discută definițiile principale funcții trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Se explică și se ilustrează semnificația lor în contextul geometriei.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Inițial, definițiile funcțiilor trigonometrice, al căror argument este un unghi, au fost exprimate prin raportul laturilor unui triunghi dreptunghic.

Definiții ale funcțiilor trigonometrice

Sinusul unui unghi (sin α) este raportul catetului opus acestui unghi față de ipotenuză.

Cosinusul unghiului (cos α) este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.

Tangenta unghiului (t g α) este raportul catetului opus față de cel alăturat.

Cotangenta unghiului (c t g α) este raportul dintre catetul adiacent și cel opus.

Aceste definiții sunt date pentru un unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic!

Să dăm o ilustrare.

În triunghiul ABC cu unghi drept C, sinusul unghiului A este egal cu raportul dintre catetul BC și ipotenuza AB.

Definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei fac posibilă calcularea valorilor acestor funcții din lungimile cunoscute ale laturilor unui triunghi.

Important de reținut!

Gama de valori sinus și cosinus: de la -1 la 1. Cu alte cuvinte, sinus și cosinus iau valori de la -1 la 1. Gama de valori tangente și cotangente este întreaga linie numerică, adică acestea funcțiile pot lua orice valoare.

Definițiile date mai sus se referă la unghiuri ascuțite. În trigonometrie, este introdus conceptul de unghi de rotație, a cărui valoare, spre deosebire de un unghi ascuțit, nu este limitată de cadre de la grade 0 la 90. Unghiul de rotație în grade sau radiani este exprimat prin orice număr real din - ∞ la + ∞.

În acest context, se poate defini sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi de mărime arbitrară. Imaginează-ți un cerc unitar centrat la originea sistemului de coordonate carteziene.

Punctul de pornire A cu coordonatele (1 , 0) se rotește în jurul centrului cercului unitar cu un anumit unghi α și merge la punctul A 1 . Definiția este dată prin coordonatele punctului A 1 (x, y).

Sinus (sin) al unghiului de rotație

Sinusul unghiului de rotație α este ordonata punctului A 1 (x, y). sinα = y

Cosinus (cos) al unghiului de rotație

Cosinusul unghiului de rotație α este abscisa punctului A 1 (x, y). cos α = x

Tangenta (tg) unghiului de rotație

Tangenta unghiului de rotație α este raportul dintre ordonata punctului A 1 (x, y) și abscisa acestuia. t g α = y x

Cotangente (ctg) unghiului de rotație

Cotangenta unghiului de rotație α este raportul dintre abscisa punctului A 1 (x, y) și ordonata sa. c t g α = x y

Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi de rotație. Acest lucru este logic, deoarece abscisa și ordonata punctului după rotație pot fi determinate în orice unghi. Situația este diferită cu tangenta și cotangenta. Tangenta nu este definită atunci când punctul de după rotație merge la punctul cu abscisă zero (0 , 1) și (0 , - 1). În astfel de cazuri, expresia pentru tangenta t g α = y x pur și simplu nu are sens, deoarece conține împărțirea la zero. Situația este similară cu cotangenta. Diferența este că cotangenta nu este definită în cazurile în care ordonata punctului dispare.

Important de reținut!

Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi α.

Tangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Cotangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

La hotărâre exemple practice nu spune „sinusul unghiului de rotație α”. Cuvintele „unghi de rotație” sunt pur și simplu omise, ceea ce înseamnă că din context este deja clar ce este în joc.

Numerele

Dar definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr și nu unghiului de rotație?

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă a unui număr

Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui număr t se numește un număr, care este, respectiv, egal cu sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta în t radian.

De exemplu, sinusul lui 10 π egal cu sinusul unghi de rotație de 10 π rad.

Există o altă abordare a definiției sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr. Să o luăm în considerare mai detaliat.

Oricine numar real t un punct de pe cercul unitar este pus în corespondență cu centrul de la originea sistemului de coordonate carteziene dreptunghiulare. Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt definite în funcție de coordonatele acestui punct.

Punctul de pornire al cercului este punctul A cu coordonatele (1, 0).

număr pozitiv t

Număr negativ t corespunde punctului în care se va deplasa punctul de plecare dacă se deplasează în sens invers acelor de ceasornic în jurul cercului și trece pe calea t .

Acum că s-a stabilit legătura dintre număr și punctul de pe cerc, trecem la definirea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei.

Sinusul (păcatul) al numărului t

Sinusul unui număr t- ordonata punctului cercului unitar corespunzatoare numarului t. sin t = y

Cosinus (cos) al lui t

Cosinusul unui număr t- abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t. cos t = x

Tangenta (tg) a lui t

Tangenta unui număr t- raportul ordonatei la abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t. t g t = y x = sin t cos t

Aceste din urmă definiții sunt în concordanță cu și nu contrazic definiția dată la începutul acestei secțiuni. Punct pe un cerc corespunzător unui număr t, coincide cu punctul la care trece punctul de plecare după întoarcerea prin unghi t radian.

Funcții trigonometrice ale argumentului unghiular și numeric

Fiecare valoare a unghiului α îi corespunde o anumită valoare sinusul și cosinusul acestui unghi. La fel ca toate unghiurile α, altele decât α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) corespunde unei anumite valori a tangentei. Cotangenta, așa cum sa menționat mai sus, este definită pentru toate α, cu excepția α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Putem spune că sin α , cos α , t g α , c t g α sunt funcții ale unghiului alfa, sau funcții ale argumentului unghiular.

În mod similar, se poate vorbi de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă ca funcții ale unui argument numeric. Fiecare număr real t corespunde unei valori specifice a sinusului sau cosinusului unui număr t. Toate numerele, altele decât π 2 + π · k , k ∈ Z, corespund valorii tangentei. Cotangenta este definită în mod similar pentru toate numerele, cu excepția π · k , k ∈ Z.

Funcții de bază ale trigonometriei

Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt funcțiile trigonometrice de bază.

De obicei, din context este clar cu ce argument al funcției trigonometrice (argument unghiular sau argument numeric) avem de-a face.

Să revenim la datele de la începutul definițiilor și la unghiul alfa, care se află în intervalul de la 0 la 90 de grade. Definițiile trigonometrice ale sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei sunt în deplin acord cu definițiile geometrice date de rapoartele laturilor unui triunghi dreptunghic. Să o arătăm.

Luați un cerc unitar centrat pe un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare. Să rotim punctul de pornire A (1, 0) cu un unghi de până la 90 de grade și să tragem din punctul rezultat A 1 (x, y) perpendicular pe axa x. În triunghiul dreptunghic rezultat, unghiul A 1 O H este egal cu unghiul de rotație α, lungimea catetei O H este egală cu abscisa punctului A 1 (x, y) . Lungimea catetului opus colțului este egală cu ordonata punctului A 1 (x, y), iar lungimea ipotenuzei este egală cu unu, deoarece este raza cercului unitar.

În conformitate cu definiția din geometrie, sinusul unghiului α este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Aceasta înseamnă că definiția sinusului unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic prin raportul de aspect este echivalentă cu definiția sinusului unghiului de rotație α, cu alfa situată în intervalul de la 0 la 90 de grade.

În mod similar, corespondența definițiilor poate fi arătată pentru cosinus, tangentă și cotangentă.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Acolo unde s-au luat în considerare sarcinile pentru rezolvarea unui triunghi dreptunghic, am promis să prezint o tehnică de memorare a definițiilor sinusului și cosinusului. Folosind-o, vă veți aminti întotdeauna rapid ce catete aparține ipotenuzei (adiacent sau opus). Am decis să nu o amân la infinit, materialul necesar mai jos, vezi

Cert este că am observat în mod repetat cum elevii din clasele 10-11 au dificultăți în a-și aminti aceste definiții. Ei își amintesc foarte bine că piciorul se referă la ipotenuză, dar care- uita si confuz. Prețul unei greșeli, după cum știți la examen, este un punctaj pierdut.

Informațiile pe care le voi prezenta direct la matematică nu au nicio legătură. Este asociat cu gândirea figurativă și cu metodele de conectare verbal-logică. Așa e, eu însumi mi-am amintit odată pentru totdeaunadate de definiție. Dacă tot le uitați, atunci cu ajutorul tehnicilor prezentate este întotdeauna ușor de reținut.

Permiteți-mi să vă reamintesc definițiile sinusului și cosinusului într-un triunghi dreptunghic:

Cosinus Unghiul ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză:

Sinusul Unghiul ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și ipotenuză:

Deci, ce asocieri evocă cuvântul cosinus în tine?

Probabil fiecare le are pe ale luiAmintiți-vă linkul:

Astfel, vei avea imediat o expresie în memoria ta -

«… raportul catetei ADJACENT la ipotenuză».

Problema cu definiția cosinusului este rezolvată.

Dacă trebuie să vă amintiți definiția sinusului într-un triunghi dreptunghic, apoi amintindu-vă definiția cosinusului, puteți stabili cu ușurință că sinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și ipotenuză. La urma urmei, există doar două picioare, dacă piciorul adiacent este „ocupat” de cosinus, atunci rămâne doar partea opusă pentru sinus.

Dar tangenta si cotangenta? Aceeași confuzie. Elevii știu că acesta este raportul dintre picioare, dar problema este să ne amintim care dintre ele se referă la care - fie opus cu adiacent, fie invers.

Definitii:

Tangentă un unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și cel alăturat:

Cotangentă Unghiul ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și opusul:

Cum să-ți amintești? Există două moduri. Unul folosește și o conexiune verbal-logică, celălalt - una matematică.

METODĂ MATEMATICĂ

Există o astfel de definiție - tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre sinusul unui unghi și cosinusul său:

* Ținând minte formula, puteți determina întotdeauna că tangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul catetului opus față de cel adiacent.

De asemenea.Cotangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre cosinusul unui unghi și sinusul său:

Asa de! Reținând aceste formule, puteți determina întotdeauna că:

- tangenta unui unghi ascutit intr-un triunghi dreptunghic este raportul catetului opus fata de cel adiacent

- cotangenta unui unghi ascutit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul catetei adiacente la cel opus.

METODĂ VERBAL-LOGICĂ

Despre tangenta. Amintiți-vă linkul:

Adică, dacă trebuie să vă amintiți definiția tangentei, folosind această conexiune logică, vă puteți aminti cu ușurință ce este

„... raportul dintre piciorul opus și cel adiacent”

Dacă vine vorba de cotangente, atunci amintindu-ți definiția tangentei, poți exprima cu ușurință definiția cotangentei -

„... raportul dintre piciorul adiacent și opusul”

Există o tehnică interesantă de memorare a tangentei și cotangentei pe site " Tandem matematic " , uite.

METODĂ UNIVERSALĂ

Puteți pur și simplu să măcinați.Dar, așa cum arată practica, datorită conexiunilor verbale-logice, o persoană își amintește informațiile mult timp, și nu numai matematice.

Sper că materialul ți-a fost de folos.

Cu stimă, Alexander Krutitskikh

P.S: Aș fi recunoscător dacă ai spune despre site în rețelele de socializare.

Trigonometria, ca știință, își are originea în Orientul Antic. Primele rapoarte trigonometrice au fost dezvoltate de astronomi pentru a crea un calendar precis și o orientare a stelelor. Aceste calcule s-au referit la trigonometria sferică, în timp ce la cursul școlar se studiază raportul dintre laturile și unghiul unui triunghi plat.

Trigonometria este o ramură a matematicii care se ocupă cu proprietățile funcțiilor trigonometrice și cu relația dintre laturile și unghiurile triunghiurilor.

În perioada de glorie a culturii și științei din mileniul I d.Hr., cunoștințele s-au răspândit din Orientul Antic până în Grecia. Dar principalele descoperiri ale trigonometriei sunt meritul soților Califatul Arab. În special, omul de știință turkmen al-Marazvi a introdus funcții precum tangenta și cotangenta, a compilat primele tabele de valori pentru sinusuri, tangente și cotangente. Conceptul de sinus și cosinus a fost introdus de oamenii de știință indieni. O mare atenție este dedicată trigonometriei în lucrările unor figuri atât de mari ale antichității precum Euclid, Arhimede și Eratostene.

Mărimi de bază ale trigonometriei

Funcțiile trigonometrice de bază ale unui argument numeric sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Fiecare dintre ele are propriul grafic: sinus, cosinus, tangentă și cotangentă.

Formulele pentru calcularea valorilor acestor mărimi se bazează pe teorema lui Pitagora. Este mai bine cunoscut școlarilor în formula: „Pantaloni pitagoreici, egali în toate direcțiile”, deoarece dovada este dată pe exemplul unui triunghi dreptunghic isoscel.

Sinusul, cosinusul și alte dependențe stabilesc o relație între unghiurile ascuțite și laturile oricărui triunghi dreptunghic. Oferim formule pentru calcularea acestor mărimi pentru unghiul A și urmărim relația funcțiilor trigonometrice:

După cum puteți vedea, tg și ctg sunt funcții inverse. Dacă reprezentăm catetul a ca produsul dintre sin A și ipotenuza c și catetul b ca cos A * c, atunci obținem următoarele formule pentru tangentă și cotangentă:

cerc trigonometric

Grafic, raportul dintre cantitățile menționate poate fi reprezentat astfel:

Cercul, în acest caz, este tot valori posibile unghiul α — de la 0° la 360°. După cum se poate observa din figură, fiecare funcție ia o valoare negativă sau pozitivă în funcție de unghi. De exemplu, sin α va avea semnul „+” dacă α aparține sferturilor I și II ale cercului, adică se află în intervalul de la 0 ° la 180 °. Cu α de la 180° la 360° (sferturile III și IV), sin α poate fi doar o valoare negativă.

Să încercăm să construim tabele trigonometrice pentru anumite unghiuri și să aflăm semnificația cantităților.

Valorile lui α egale cu 30°, 45°, 60°, 90°, 180° și așa mai departe se numesc cazuri speciale. Valorile funcțiilor trigonometrice pentru acestea sunt calculate și prezentate sub formă de tabele speciale.

Aceste unghiuri nu au fost alese întâmplător. Denumirea π din tabele este pentru radiani. Rad este unghiul la care lungimea unui arc de cerc corespunde razei acestuia. Această valoare a fost introdusă pentru a stabili o relație universală; la calcularea în radiani, lungimea reală a razei în cm nu contează.

Unghiurile din tabele pentru funcțiile trigonometrice corespund valorilor radianilor:

Deci, nu este greu de ghicit că 2π este cerc complet sau 360°.

Proprietățile funcțiilor trigonometrice: sinus și cosinus

Pentru a considera și compara proprietățile de bază ale sinusului și cosinusului, tangentei și cotangentei, este necesar să le trasăm funcțiile. Acest lucru se poate face sub forma unei curbe situate într-un sistem de coordonate bidimensional.

Considera tabel comparativ proprietăți pentru unda sinusoidală și cosinus:

sinusoid	unde cosinus
y = sin x	y = cos x
ODZ [-1; unu]	ODZ [-1; unu]
sin x = 0, pentru x = πk, unde k ϵ Z	cos x = 0, pentru x = π/2 + πk, unde k ϵ Z
sin x = 1, pentru x = π/2 + 2πk, unde k ϵ Z	cos x = 1, pentru x = 2πk, unde k ϵ Z
sin x = - 1, la x = 3π/2 + 2πk, unde k ϵ Z	cos x = - 1, pentru x = π + 2πk, unde k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, adică funcție impară	cos (-x) = cos x, adică funcția este pară
	funcția este periodică, cea mai mică perioadă este 2π
sin x › 0, cu x aparținând sferturilor I și II sau de la 0° la 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, cu x aparținând sferturilor I și IV sau de la 270° la 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, cu x aparținând sferturilor III și IV sau de la 180° la 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, cu x aparținând sferturilor II și III sau de la 90° la 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
crește pe intervalul [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	crește pe intervalul [-π + 2πk, 2πk]
scade pe intervalele [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	scade pe intervale
derivată (sin x)' = cos x	derivată (cos x)’ = - sin x

Determinarea dacă o funcție este pară sau nu este foarte simplă. Este suficient să vă imaginați un cerc trigonometric cu semne de mărimi trigonometrice și să „pliați” mental graficul în raport cu axa OX. Dacă semnele sunt aceleași, funcția este pară; în caz contrar, este impară.

Introducerea radianilor și enumerarea principalelor proprietăți ale undei sinusoide și cosinus ne permit să aducem următorul model:

Este foarte ușor să verificați corectitudinea formulei. De exemplu, pentru x = π/2, sinusul este egal cu 1, la fel și cosinusul lui x = 0. Verificarea se poate face prin examinarea tabelelor sau prin trasarea curbelor funcției pentru valori date.

Proprietățile tangentoidului și cotangentoidului

Graficele funcțiilor tangente și cotangente diferă semnificativ de unda sinusoidă și cosinus. Valorile tg și ctg sunt inverse una față de cealaltă.

1. Y = tgx.
2. Tangenta tinde spre valorile lui y la x = π/2 + πk, dar nu le atinge niciodată.
3. Cea mai mică perioadă pozitivă a tangentoidului este π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, adică funcția este impară.
5. Tg x = 0, pentru x = πk.
6. Funcția este în creștere.
7. Tg x › 0, pentru x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, pentru x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Derivată (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Luați în considerare reprezentarea grafică a cotangentoidului de mai jos în text.

Principalele proprietăți ale cotangentoidului:

1. Y = ctgx.
2. Spre deosebire de funcțiile sinus și cosinus, în tangentoidul Y poate prelua valorile mulțimii tuturor numerelor reale.
3. Cotangentoidul tinde spre valorile lui y la x = πk, dar nu le atinge niciodată.
4. Cea mai mică perioadă pozitivă a cotangentoidului este π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, adică funcția este impară.
6. Ctg x = 0, pentru x = π/2 + πk.
7. Funcția este în scădere.
8. Ctg x › 0, pentru x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, pentru x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Derivată (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Fix

Sunt date rapoartele dintre principalele funcții trigonometrice - sinus, cosinus, tangentă și cotangentă formule trigonometrice. Și din moment ce există destul de multe conexiuni între funcțiile trigonometrice, acest lucru explică și abundența formulelor trigonometrice. Unele formule conectează funcțiile trigonometrice ale aceluiași unghi, altele - funcțiile unui unghi multiplu, altele - vă permit să scădeți gradul, al patrulea - să exprimați toate funcțiile prin tangenta unui jumătate de unghi etc.

În acest articol, enumeram în ordine toate formulele trigonometrice de bază, care sunt suficiente pentru a rezolva marea majoritate a problemelor de trigonometrie. Pentru ușurință de memorare și utilizare, le vom grupa în funcție de scopul lor și le vom introduce în tabele.

Navigare în pagină.

Identități trigonometrice de bază

Principal identități trigonometrice stabiliți relația dintre sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi. Ele decurg din definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, precum și a conceptului de cerc unitar. Vă permit să exprimați o funcție trigonometrică prin oricare alta.

Pentru o descriere detaliată a acestor formule de trigonometrie, derivarea lor și exemple de aplicare, consultați articolul.

Formule turnate

Formule turnate rezultă din proprietățile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, adică reflectă proprietatea de periodicitate a funcțiilor trigonometrice, proprietatea simetriei și, de asemenea, proprietatea deplasării cu un unghi dat. Aceste formule trigonometrice vă permit să treceți de la lucrul cu unghiuri arbitrare la lucrul cu unghiuri cuprinse între zero și 90 de grade.

Justificarea acestor formule, regula mnemonică pentru memorarea lor și exemple de aplicare a lor pot fi studiate în articol.

Formule de adunare

Formule trigonometrice de adunare arată cum funcțiile trigonometrice ale sumei sau diferenței a două unghiuri sunt exprimate în termenii funcțiilor trigonometrice ale acestor unghiuri. Aceste formule servesc drept bază pentru derivarea următoarelor formule trigonometrice.

Formule pentru dublu, triplu etc. unghi

Formule pentru dublu, triplu etc. unghiul (se mai numesc și formule cu unghiuri multiple) arată cum funcțiile trigonometrice dublu, triplu etc. unghiurile () sunt exprimate în termeni de funcții trigonometrice ale unui singur unghi. Derivarea lor se bazează pe formule de adunare.

Informații mai detaliate sunt colectate în formulele articolului pentru dublu, triplu etc. unghi .

Formule cu jumătate de unghi

Formule cu jumătate de unghi arătați cum funcțiile trigonometrice ale unui semiunghi sunt exprimate în termeni de cosinus al unui unghi întreg. Aceste formule trigonometrice decurg din formulele cu unghi dublu.

Concluzia lor și exemple de aplicare pot fi găsite în articol.

Formule de reducere

Formule trigonometrice pentru grade descrescătoare sunt concepute pentru a facilita trecerea de la puterile naturale ale funcțiilor trigonometrice la sinusuri și cosinusuri de gradul întâi, dar unghiuri multiple. Cu alte cuvinte, ele permit reducerea puterilor funcțiilor trigonometrice la prima.

Formule pentru suma și diferența funcțiilor trigonometrice

Scopul principal formule de sumă și diferență pentru funcțiile trigonometrice constă în trecerea la produsul funcțiilor, ceea ce este foarte util la simplificarea expresiilor trigonometrice. Aceste formule sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă în rezolvare ecuații trigonometrice, deoarece permit factorizarea sumei și diferențelor sinusurilor și cosinusurilor.

Formule pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus

Trecerea de la produsul funcțiilor trigonometrice la sumă sau diferență se realizează prin formulele pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus.

Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Iluminismul, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova.- ed. a XIV-a- M.: Iluminismul, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Drepturi de autor de către studenți inteligenți

Toate drepturile rezervate.
Protejat de legea dreptului de autor. Nicio parte din www.site-ul web, inclusiv materialele interneși design exterior nu poate fi reprodus sub nicio formă sau utilizat fără permisiunea prealabilă scrisă a deținătorului drepturilor de autor.

1. Funcții trigonometrice sunt funcţii elementare al căror argument este injecţie. Funcțiile trigonometrice descriu relațiile dintre laturile și unghiurile ascuțite dintr-un triunghi dreptunghic. Domeniile de aplicare a funcțiilor trigonometrice sunt extrem de diverse. Deci, de exemplu, orice proces periodic poate fi reprezentat ca o sumă de funcții trigonometrice (seria Fourier). Aceste funcții apar adesea la rezolvarea ecuațiilor diferențiale și funcționale.

2. Funcțiile trigonometrice includ următoarele 6 funcții: sinusurilor, cosinus, tangentă,cotangentă, secantăși cosecant. Pentru fiecare dintre aceste funcții, există o funcție trigonometrică inversă.

3. Definiție geometrică funcțiile trigonometrice sunt introduse convenabil folosind cerc unitar. Figura de mai jos prezintă un cerc cu raza r=1. Punctul M(x,y) este marcat pe cerc. Unghiul dintre vectorul rază OM și direcția pozitivă a axei Ox este α.

4. sinusurilor unghiul α este raportul dintre ordonata y a punctului M(x,y) și raza r:
sinα=y/r.
Deoarece r=1, atunci sinusul este egal cu ordonata punctului M(x,y).

5. cosinus unghiul α este raportul dintre abscisa x punctului M(x,y) și raza r:
cosα=x/r

6. tangentă unghiul α este raportul dintre ordonata y a punctului M(x,y) și abscisa sa x:
tanα=y/x,x≠0

7. Cotangentă unghiul α este raportul dintre abscisa x a punctului M(x,y) și ordonata y:
cotα=x/y,y≠0

8. Secantă unghiul α este raportul dintre raza r și abscisa x a punctului M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Cosecant unghiul α este raportul dintre raza r și ordonata y a punctului M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. În cercul unitar al proiecției x, y, punctele M(x,y) și raza r formează un triunghi dreptunghic, în care x,y sunt catetele și r este ipotenuza. Prin urmare, definițiile de mai sus ale funcțiilor trigonometrice aplicate la triunghi dreptunghic sunt formulate astfel:
sinusurilor unghiul α este raportul dintre catetul opus și ipotenuză.
cosinus unghiul α este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.
tangentă unghiul α se numește catete opus celui alăturat.
Cotangentă unghiul α se numește cateta adiacentă opusului.
Secantă unghiul α este raportul dintre ipotenuză și catetul adiacent.
Cosecant unghiul α este raportul dintre ipotenuză și catetul opus.

11. graficul funcției sinus
y=sinx, domeniu: x∈R, domeniu: −1≤sinx≤1

12. Graficul funcției cosinus
y=cosx, domeniu: x∈R, interval: −1≤cosx≤1

13. graficul funcției tangente
y=tanx, domeniu: x∈R,x≠(2k+1)π/2, domeniu: −∞

14. Graficul funcției cotangente
y=cotx, domeniu: x∈R,x≠kπ, domeniu: −∞

15. Graficul funcției secante
y=secx, domeniu: x∈R,x≠(2k+1)π/2, domeniu: secx∈(−∞,−1]∪∪)