Tabel de conversie a funcțiilor trigonometrice. Formule trigonometrice de bază

Trigonometria este una dintre ramurile matematicii, al cărei accent este pus pe unghiuri și relațiile dintre ele. Bazele științei sunt puse în anii școlari, când sunt introduse definiții ale funcțiilor unghiulare. În viitor, baza rezultată este utilizată în dezvoltarea astronomiei, instrumentației, arhitecturii și a altor domenii de cunoaștere. Ca orice știință exactă, trigonometria nu este completă fără formule. Uz practic a găsit expresii pentru definirea unui argument dublu. De exemplu, recurgând la ecuația corespunzătoare, se poate afla cu ușurință unghi dublu sinusului.

Expresie trigonometrică pentru calcul

Expresia este pur și simplu scrisă și reținută: sinusul unui unghi dublu este calculat ca produsul dublu al sinusului și cosinusului unui singur argument.

Această formulă este derivată din expresia pentru sinusul sumei unghiurilor ( Q 1 + Q 2 ) :

păcat( Q 1 + Q 2) = păcat Q 1* cos Q 1+ păcat Q 2*cos Q 2 .

Asumand unghiuri date egale între ele, formula este scrisă în forma obișnuită.

Puteți folosi o expresie pentru orice valoare a argumentului funcției. Calcularea unghiului dublu al sinusului este destul de simplă, exemplele de mai jos vă vor ajuta să verificați acest lucru.

Exemplu de utilizare

Iată câteva ilustrații ale aplicării formulei rezultate. Să fie necesar să se calculeze valoarea funcției trigonometrice a sinusului unui unghi egal cu 60 de grade. Unghiul unic corespunzător ar fi de 30 de grade. Deoarece sinusul și cosinusul unui unghi de 30 de grade sunt cunoscute, unghiul dublu al sinusului va fi sin 60 = 2 * sin 30 * cos 30.

Formula este folosită nu numai pentru calcularea „manual”, puteți găsi și valori folosind pachete matematice sau tabele MS Excel.

În ciuda simplității identității trigonometrice, provoacă dificultăți absolvenților de școală. Exact pe asta se bazează dezvoltatorii sarcinilor USE, oferind teste pentru verificarea formulelor de bază. Concluzie - formula pentru a calcula unghiul dublu al sinusului, trebuie să o știți pe de rost!

Cele mai frecvente întrebări

Este posibil să faceți un sigiliu pe un document conform eșantionului furnizat? Răspuns Da este posibil. Trimiteți o copie sau o fotografie scanată la adresa noastră de e-mail calitate bunăși vom face duplicatul necesar.

Ce tipuri de plată acceptați? Răspuns Puteti achita documentul in momentul primirii de catre curier, dupa ce verificati corectitudinea completarii si calitatea diplomei. Acest lucru se poate face și la biroul companiilor poștale care oferă servicii de ramburs.
Toate condițiile de livrare și de plată a documentelor sunt descrise în secțiunea „Plată și Livrare”. De asemenea, suntem gata să ascultăm sugestiile dumneavoastră cu privire la condițiile de livrare și de plată a documentului.

Pot fi sigur că după plasarea unei comenzi nu vei dispărea cu banii mei? Răspuns Avem o experiență destul de lungă în domeniul producerii de diplome. Avem mai multe site-uri care sunt actualizate constant. Specialiștii noștri lucrează în diferite părți ale țării, producând peste 10 documente pe zi. De-a lungul anilor, documentele noastre au ajutat mulți oameni să rezolve problemele de angajare sau să treacă la mai multe loc de muncă bine plătit. Ne-am câștigat încredere și recunoaștere în rândul clienților, așa că nu există absolut niciun motiv să facem acest lucru. Mai mult, este pur și simplu imposibil să o faci fizic: plătești comanda în momentul în care o primești în mâinile tale, nu există nicio plată în avans.

Pot comanda o diplomă de la orice universitate? Răspuns În general, da. Lucrăm în acest domeniu de aproape 12 ani. În acest timp s-a format o bază de date aproape completă de documente emise de aproape toate universitățile din țară și din străinătate. ani diferiti emitere. Tot ce aveți nevoie este să alegeți o universitate, o specialitate, un document și să completați un formular de comandă.

Ce ar trebui să fac dacă găsesc greșeli de tipar și erori într-un document? Răspuns Când primiți un document de la compania noastră de curierat sau poștal, vă recomandăm să verificați cu atenție toate detaliile. Dacă se constată o greșeală de tipar, o eroare sau o inexactitate, aveți dreptul să nu luați diploma și trebuie să indicați personal curierului sau în scris prin trimiterea unei scrisori către e-mail.
În cel mai scurt timp posibil, vom corecta documentul și îl vom retrimite la adresa specificată. Desigur, transportul va fi plătit de compania noastră.
Pentru a evita astfel de neînțelegeri, înainte de a completa formularul original, trimitem un aspect al viitorului document către poșta clientului pentru verificare și aprobare. versiunea finala. Înainte de a trimite un document prin curier sau poștă, facem și noi fotografie suplimentarăși video (inclusiv în lumină ultravioletă), astfel încât să aveți o idee vizuală despre ceea ce obțineți în final.

Ce trebuie să faci pentru a comanda o diplomă de la compania ta? Răspuns Pentru a comanda un document (certificat, diplomă, certificat academic etc.), trebuie să completați un formular de comandă online pe site-ul nostru sau să ne furnizați adresa de e-mail, astfel încât să vă trimitem un formular de chestionar, pe care trebuie să îl completați și să îl trimiteți înapoi la noi.
Dacă nu știți ce să indicați în niciun câmp al formularului de comandă/chestionar, lăsați-le necompletate. Prin urmare, vom clarifica toate informațiile lipsă prin telefon.

Ultimele recenzii

Valentine:

L-ai salvat pe fiul nostru de la concediere! Cert este că, după ce a abandonat școala, fiul a intrat în armată. Și când s-a întors, nu a vrut să-și revină. A lucrat fără diplomă. Dar recent au început să-i concedieze pe toți cei care nu au o „crusta”. Prin urmare, am decis să vă contactăm și nu am regretat! Acum lucrează calm și nu se teme de nimic! Mulțumiri!

Formulele unghiului dublu sunt folosite pentru a exprima sinusurile, cosinusurile, tangentele, cotangentele unui unghi cu valoarea 2 α folosind funcțiile trigonometrice ale unghiului α . Acest articol va introduce toate formulele cu unghi dublu cu dovezi. Se vor lua în considerare exemple de aplicare a formulelor. În partea finală vor fi afișate formulele pentru unghiurile triple și cvadruple.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Lista formulelor cu unghi dublu

Pentru a converti formulele cu unghi dublu, amintiți-vă că unghiurile din trigonometrie au forma n α notație, unde n este numar natural, valoarea expresiei este scrisă fără paranteze. Astfel, sin n α este considerat a avea același sens ca sin (n α) . Cu notația sin n α avem o notație similară (sin α) n . Utilizarea înregistrării este aplicabilă tuturor funcții trigonometrice cu puteri de n.

Următoarele sunt formulele unghiului dublu:

sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 tg 2 α = 2 tg α 1 - tg 2 α ctg 2 α - ctg 2 α - 1 2 ctg α

Rețineți că aceste formule sin și cos sunt aplicabile cu orice valoare a unghiului α. Formula pentru tangentei unui unghi dublu este valabilă pentru orice valoare a lui α, unde t g 2 α are sens, adică α ≠ π 4 + π 2 · z, z este orice număr întreg. Cotangenta unui unghi dublu există pentru orice α , unde c t g 2 α este definită pe α ≠ π 2 · z .

Cosinusul unui unghi dublu are o notație triplă a unui unghi dublu. Toate sunt aplicabile.

Dovada formulelor cu unghi dublu

Dovada formulelor provine din formulele de adunare. Aplicam formulele pentru sinusul sumei:

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β și cosinusul sumei cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β. Să presupunem că β = α , atunci obținem asta

sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α și cos (α + α) = cos α cos α - sin α sin α = cos 2 α - sin2α

Astfel, sunt dovedite formulele pentru sinusul și cosinusul unghiului dublu sin 2 α \u003d 2 sin α cos α și cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α.

Odihnă formulele cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α și cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 duc la forma cos 2 α \u003d cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, când se înlocuiește 1 cu suma de pătrate după identitatea principală sin 2 α + cos 2 α = 1 . Obținem că sin 2 α + cos 2 α = 1. Deci 1 - 2 sin 2 α \u003d sin 2 α + cos 2 α - 2 sin 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α și 2 cos 2 α - 1 \u003d 2 cos 2 α - (sin 2 α + cos 2 α) \u003d cos 2 α - sin 2 α.

Pentru a demonstra formulele pentru unghiul dublu de tangentă și cotangente, aplicăm egalitățile t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α și c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α. După transformare, obținem că tan 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α - sin 2 α și ctg 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α 2 · sin α · cos α . Împărțiți expresia la cos 2 α unde cos 2 α ≠ 0 cu orice valoare a α când este definită t g α. Împărțiți o altă expresie la sin 2 α , unde sin 2 α ≠ 0 cu orice valoare a lui α , când c t g 2 α are sens. Pentru a demonstra formula unghiului dublu pentru tangentă și cotangentă, înlocuim și obținem:

- sigur vor fi sarcini în trigonometrie. Trigonometria este adesea antipatică pentru că trebuie să înghesuiți o cantitate imensă de formule dificile pline de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente. Site-ul a oferit deja o dată sfaturi despre cum să vă amintiți o formulă uitată, folosind exemplul formulelor Euler și Peel.

Și în acest articol vom încerca să arătăm că este suficient să cunoaștem cu fermitate doar cinci dintre cele mai simple formule trigonometrice, și despre restul pentru a avea o idee generală și a le afișa pe parcurs. Este ca și în cazul ADN-ului: desenele complete ale unei ființe vii terminate nu sunt stocate în moleculă. Conține, mai degrabă, instrucțiuni de asamblare din aminoacizii disponibili. Deci este în trigonometrie, știind ceva principii generale, vom obține toate formulele necesare dintr-un mic set dintre cele care trebuie reținute.

Ne vom baza pe următoarele formule:

Din formulele pentru sinus și cosinus ale sumelor, știind că funcția cosinus este pară și că funcția sinus este impară, înlocuind -b cu b, obținem formule pentru diferențe:

1. Sinus al diferenței: păcat(a-b) = păcatAcos(-b)+cosApăcat(-b) = păcatAcosb-cosApăcatb
2. diferența de cosinus: cos(a-b) = cosAcos(-b)-păcatApăcat(-b) = cosAcosb+păcatApăcatb

Punând a \u003d b în aceleași formule, obținem formulele pentru sinusul și cosinusul unghiurilor duble:

1. Sinusul unui unghi dublu: păcat2a = păcat(a+a) = păcatAcosA+cosApăcatA = 2păcatAcosA
2. Cosinusul unui unghi dublu: cos2a = cos(a+a) = cosAcosA-păcatApăcatA = cos2a-păcat2a

Formulele pentru alte unghiuri multiple se obțin în mod similar:

1. Sinusul unui unghi triplu: păcat3a = păcat(2a+a) = păcat2acosA+cos2apăcatA = (2păcatAcosA)cosA+(cos2a-păcat2a)păcatA = 2păcatAcos2a+păcatAcos2a-păcat 3 a = 3 păcatAcos2a-păcat 3 a = 3 păcatA(1-păcat2a)-păcat 3 a = 3 păcatA-4păcat 3a
2. Cosinusul unui unghi triplu: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosA-păcat2apăcatA = (cos2a-păcat2a)cosA-(2păcatAcosA)păcatA = cos 3a- păcat2acosA-2păcat2acosA = cos 3a-3 păcat2acosA = cos 3 a-3(1- cos2a)cosA = 4cos 3a-3 cosA

Înainte de a trece mai departe, să luăm în considerare o problemă.
Dat: unghiul este ascuțit.
Găsiți-i cosinusul dacă
Soluție dată de un elev:
pentru că , apoi păcatA= 3,a cosA = 4.
(Din umor matematic)

Deci, definiția tangentei conectează această funcție atât cu sinus, cât și cu cosinus. Dar puteți obține o formulă care oferă legătura tangentei doar cu cosinusul. Pentru a o deriva, luăm principalul identitate trigonometrică: păcat 2 A+cos 2 A= 1 și împărțiți-l la cos 2 A. Primim:

Deci soluția la această problemă ar fi:

(Deoarece unghiul este acut, semnul + este luat la extragerea rădăcinii)

Formula pentru tangenta sumei este o alta care este greu de retinut. Să-l scoatem astfel:

ieșire imediată și

Din formula cosinus pentru un unghi dublu, puteți obține formulele sinus și cosinus pentru o jumătate de unghi. Pentru a face acest lucru, în partea stângă a formulei cosinus cu unghi dublu:
cos2 A = cos 2 A-păcat 2 A
adăugăm o unitate, iar în dreapta - o unitate trigonometrică, i.e. suma pătratelor sinusului și cosinusului.
cos2a+1 = cos2a-păcat2a+cos2a+păcat2a
2cos 2 A = cos2 A+1
exprimând cosA peste cos2 Ași efectuând o schimbare de variabile, obținem:

Semnul se ia în funcție de cadran.

În mod similar, scăzând unul din partea stângă a egalității și suma pătratelor sinusului și cosinusului din partea dreaptă, obținem:
cos2a-1 = cos2a-păcat2a-cos2a-păcat2a
2păcat 2 A = 1-cos2 A

Și, în sfârșit, pentru a converti suma funcțiilor trigonometrice într-un produs, folosim următorul truc. Să presupunem că trebuie să reprezentăm suma sinusurilor ca produs păcatA+păcatb. Să introducem variabilele x și y astfel încât a = x+y, b+x-y. Apoi
păcatA+păcatb = păcat(x+y)+ păcat(x-y) = păcat X cos y+ cos X păcat y+ păcat X cos y- cos X păcat y=2 păcat X cos y. Să exprimăm acum x și y în termenii a și b.

Deoarece a = x+y, b = x-y, atunci . De aceea

Vă puteți retrage imediat

1. Formula de partiție produse de sinus și cosinusîn Cantitate: păcatAcosb = 0.5(păcat(a+b)+păcat(a-b))

Vă recomandăm să practicați și să obțineți formule pentru conversia produsului diferenței sinusurilor și suma și diferența cosinusurilor într-un produs, precum și pentru împărțirea produselor sinusurilor și cosinusurilor într-o sumă. După ce ați făcut aceste exerciții, veți stăpâni temeinic abilitatea de a deriva formule trigonometrice și nu vă veți pierde nici măcar în cel mai dificil control, olimpiada sau testare.