Formule de turnare cu grade explicație completă. Formule de reducere: dovadă, exemple, regulă mnemonică

Subiectul lecției

• Modificarea sinusului, cosinusului și tangentei pe măsură ce unghiul crește.

Obiectivele lecției

• Familiarizați-vă cu noi definiții și amintiți-vă unele deja studiate.
• Familiarizați-vă cu modelul de modificări ale valorilor sinusului, cosinusului și tangentei cu unghiul crescând.
• Dezvoltarea - pentru a dezvolta atenția elevilor, perseverența, perseverența, gandire logica, discurs matematic.
• Educativ - printr-o lecție, de a cultiva o atitudine atentă unul față de celălalt, de a insufla capacitatea de ascultare a camarazilor, asistență reciprocă, independență.

Obiectivele lecției

• Testați cunoștințele elevilor.

Planul lecției

1. Repetarea materialului învățat anterior.
2. Sarcini repetitive.
3. Modificarea sinusului, cosinusului și tangentei pe măsură ce unghiul crește.
4. Uz practic.

Repetarea materialului studiat anterior

Să începem de la început și să ne amintim ce va fi util pentru a vă împrospăta memoria. Ce este sinus, cosinus și tangentă și cărei secțiuni de geometrie aparțin aceste concepte.

Trigonometrie- este atât de complicat cuvânt grecesc: trigonon - triunghi, metrou - masura. Prin urmare, în greacă înseamnă: măsurat prin triunghiuri.

Subiecte > Matematică > Matematică Clasa a 8-a

Trigonometrie Formule de reducere.

Formulele de turnare nu trebuie predate, ele trebuie înțelese. Înțelegeți algoritmul pentru rezultatul lor. Este foarte ușor!

Să luăm un cerc unitar și să plasăm pe el toate măsurile de grade (0°; 90°; 180°; 270°; 360°).

Să analizăm funcțiile sin(a) și cos(a) în fiecare trimestru.

Amintiți-vă că ne uităm la funcția sin (a) de-a lungul axei Y și la funcția cos (a) de-a lungul axei X.

În primul trimestru, se poate observa că funcția sin(a)>0
Și funcționalitate cos(a)>0
Primul trimestru poate fi descris printr-o măsură a gradului, ca (90-α) sau (360+α).

În al doilea trimestru, se poate observa că funcția sin(a)>0, deoarece axa y este pozitivă în acel trimestru.
O functie cos(a) deoarece axa x este negativă în acel trimestru.
Al doilea trimestru poate fi descris printr-o măsură a gradului, ca (90+α) sau (180-α).

În al treilea trimestru, se poate observa că funcțiile păcat(a) Al treilea trimestru poate fi descris în termeni de grade ca (180+α) sau (270-α).

În al patrulea trimestru, se poate observa că funcția sin(a) deoarece axa y este negativă în acel trimestru.
O functie cos(a)>0, deoarece axa x este pozitivă în acel trimestru.
Al patrulea trimestru poate fi descris în termeni de grade ca (270+α) sau (360-α).

Acum să ne uităm la formulele de reducere în sine.

Să ne amintim un simplu algoritm:
1. Sfert.(Uită-te mereu la ce trimestru te afli).
2. Semn.(Pentru un sfert, a se vedea funcțiile cosinus sau sinus pozitiv sau negativ).
3. Dacă aveți (90° sau π/2) și (270° sau 3π/2) între paranteze, atunci modificări ale funcției.

Și așa începem să dezasamblam acest algoritm în sferturi.

Aflați cu ce va fi egală expresia cos(90-α).
Să vorbim despre algoritm:
1. Sfertul unu.


Voi cos(90-α) = sin(α)

Aflați cu ce va fi egală expresia sin (90-α).
Să vorbim despre algoritm:
1. Sfertul unu.


Voi sin(90-α) = cos(α)

Aflați cu ce va fi egală expresia cos(360+α).
Să vorbim despre algoritm:
1. Sfertul unu.
2. În primul trimestru, semnul funcției cosinus este pozitiv.

Voi cos(360+α) = cos(α)

Aflați cu ce va fi egală expresia sin (360 + α).
Să vorbim despre algoritm:
1. Sfertul unu.
2. În primul trimestru, semnul funcției sinus este pozitiv.
3. Nu există (90° sau π/2) și (270° sau 3π/2) între paranteze, atunci funcția nu se schimbă.
Voi sin(360+α) = sin(α)

Aflați cu ce va fi egală expresia cos(90+α).
Să vorbim despre algoritm:
1. Sfertul doi.

3. Există (90 ° sau π / 2) între paranteze, apoi funcția se schimbă de la cosinus la sinus.
Voi cos(90+α) = -sin(α)

Aflați cu ce va fi egală expresia sin (90 + α).
Să vorbim despre algoritm:
1. Sfertul doi.

3. Există (90 ° sau π / 2) între paranteze, apoi funcția se schimbă de la sinus la cosinus.
Voi sin(90+α) = cos(α)

Aflați cu ce va fi egală expresia cos(180-α).
Să vorbim despre algoritm:
1. Sfertul doi.
2. În al doilea trimestru, semnul funcției cosinus este negativ.
3. Nu există (90° sau π/2) și (270° sau 3π/2) între paranteze, atunci funcția nu se schimbă.
Voi cos(180-α) = cos(α)

Aflați cu ce va fi egală expresia sin (180-α).
Să vorbim despre algoritm:
1. Sfertul doi.
2. În al doilea trimestru, semnul funcției sinus este pozitiv.
3. Nu există (90° sau π/2) și (270° sau 3π/2) între paranteze, atunci funcția nu se schimbă.
Voi sin(180-α) = sin(α)

Vorbesc despre al treilea și al patrulea trimestru într-un mod similar, vom face un tabel:

Abonati-va pe canalul de pe YOUTUBEși urmăriți videoclipul, pregătiți-vă pentru examenele de matematică și geometrie cu noi.

Definiție. Formulele de reducere sunt formule care vă permit să treceți de la funcții trigonometrice amabil cu funcțiile de argument. Cu ajutorul lor, sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi arbitrar pot fi reduse la sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi de la 0 la 90 de grade (de la 0 la radiani). Astfel, formulele de reducere ne permit să trecem la lucrul cu unghiuri în 90 de grade, ceea ce este, fără îndoială, foarte convenabil.

Formule de turnare:

Există două reguli pentru utilizarea formulelor de turnare.

1. Dacă unghiul poate fi reprezentat ca (π/2 ±a) sau (3*π/2 ±a), atunci se modifică numele funcției sin la cos, cos la sin, tg la ctg, ctg la tg. Dacă unghiul poate fi reprezentat ca (π ±a) sau (2*π ±a), atunci numele funcției rămâne neschimbat.

Priviți figura de mai jos, arată schematic când trebuie schimbat semnul și când nu.

2. Semn de funcție redus rămâne la fel. Dacă funcția originală avea semnul plus, atunci funcția redusă are și semnul plus. Dacă funcția inițială avea semnul minus, atunci funcția redusă are și semnul minus.

În figura de mai jos sunt prezentate semnele principalelor funcții trigonometrice în funcție de trimestru.

Exemplu:

calculati

Să folosim formulele de reducere:

Sin(150˚) este în al doilea trimestru, putem vedea din figură că semnul păcatului în acest trimestru este egal cu „+”. Aceasta înseamnă că funcția de mai sus va avea și semnul „+”. Am aplicat a doua regulă.

Acum 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ este π/2. Adică avem de-a face cu cazul π / 2 + 60, prin urmare, conform primei reguli, schimbăm funcția din sin în cos. Ca rezultat, obținem Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Lecție și prezentare pe tema: „Aplicarea formulelor de reducere în rezolvarea problemelor”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre. Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a 10-a
1C: Scoala. Sarcini de construcție interactive pentru clasele 7-10
1C: Scoala. Rezolvăm probleme de geometrie. Sarcini interactive pentru construirea în spațiu pentru clasele 10-11

Ce vom studia:
1. Să repetăm ​​puțin.
2. Reguli pentru formulele de reducere.
3. Tabel de transformări pentru formulele de reducere.
4. Exemple.

Repetarea funcțiilor trigonometrice

Băieți, ați întâlnit deja formule fantomă, dar încă nu s-au numit așa. Tu unde crezi?

Uită-te la desenele noastre. Corect, când au introdus definițiile funcțiilor trigonometrice.

Regula pentru formulele de reducere

Să introducem regula de bază: dacă semnul funcției trigonometrice conține un număr de forma π×n/2 + t, unde n este orice număr întreg, atunci funcția noastră trigonometrică poate fi redusă la mai mult la vedere, care va conține doar argumentul t. Astfel de formule sunt numite formule fantomă.

Să ne amintim câteva formule:

• sin(t + 2π*k) = sin(t)
• cos(t + 2π*k) = cos(t)
• sin(t + π) = -sin(t)
• cos(t + π) = -cos(t)
• sin(t + π/2) = cos(t)
• cos(t + π/2) = -sin(t)
• tg(t + π*k) = tg(x)
• ctg(t + π*k) = ctg(x)

există o mulțime de formule fantomă, să facem o regulă prin care vom determina funcțiile noastre trigonometrice atunci când folosim formule fantomă:

• Dacă semnul funcției trigonometrice conține numere de forma: π + t, π - t, 2π + t și 2π - t, atunci funcția nu se va schimba, adică, de exemplu, sinusul va rămâne sinus, cotangent va rămâne cotangent.
• Dacă semnul funcției trigonometrice conține numere de forma: π/2 + t, π/2 - t,
  3π/2 + t și 3π/2 - t, apoi funcția se va schimba cu una înrudită, adică sinusul va deveni cosinus, cotangenta va deveni tangentă.
• Înainte de funcția rezultată, trebuie să puneți semnul pe care l-ar avea funcția convertită dacă 0

Aceste reguli se aplică și atunci când argumentul funcției este în grade!

De asemenea, putem face un tabel de conversii ale funcțiilor trigonometrice:

Exemple de utilizare a formulelor de reducere

1. Să transformăm cos(π + t). Numele funcției rămâne, adică obținem cost(t). Apoi, să presupunem că π/2

2. Transformă sin(π/2 + t). Numele funcției este schimbat, adică obținem cost(t). Mai mult să presupunem că 0 sin(t + π/2) = cos(t)

3. Să transformăm tg(π + t). Numele funcției rămâne, adică obținem tg(t). Mai mult să presupunem că 0

4. Să transformăm ctg(270 0 + t). Numele funcției se schimbă, adică obținem tg(t). Mai mult să presupunem că 0

Probleme cu formulele de reducere pentru soluție independentă

Băieți, convertiți-vă folosind regulile noastre:

1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) ctg(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) ctg(3π + t),
6) sin(2π + t),
7) sin(π/2 + 5t),
8) sin(π/2 - t),
9) sin(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).

Ele aparțin secțiunii „trigonometrie” a matematicii. Esența lor este să aducă funcțiile trigonometrice ale unghiurilor într-o formă mai „simplu”. Se pot scrie multe despre importanța cunoștințelor lor. Există 32 dintre aceste formule!

Nu-ți face griji, nu trebuie să le înveți, ca multe alte formule din cursul de matematică. Nu trebuie să vă umpleți capul cu informații inutile, trebuie să memorați „cheile” sau legile, iar amintirea sau derivarea formulei dorite nu va fi o problemă. Apropo, când scriu în articole „... trebuie să înveți !!!” - asta înseamnă că este cu adevărat necesar să-l înveți.

Dacă nu sunteți familiarizat cu formulele de reducere, atunci simplitatea derivării lor vă va surprinde plăcut - există o „lege” cu care este ușor să faceți acest lucru. Și vei scrie oricare dintre cele 32 de formule în 5 secunde.

Voi enumera doar câteva dintre sarcinile care vor fi la examenul de matematică, unde fără a cunoaște aceste formule există o mare probabilitate de a eșua la soluție. De exemplu:

- sarcini pentru rezolvarea unui triunghi dreptunghic, unde vorbim despre un unghi extern, și sarcini pentru colțurile interne unele dintre aceste formule sunt de asemenea necesare.

- sarcini pentru calcularea valorilor expresiilor trigonometrice; transformări ale expresiilor trigonometrice numerice; transformări ale expresiilor trigonometrice literale.

– sarcini pentru tangentă și sens geometric tangentă, este necesară o formulă de reducere pentru tangentă, precum și alte sarcini.

- probleme stereometrice, în cursul rezolvării este adesea necesar să se determine sinusul sau cosinusul unui unghi care se află în intervalul de la 90 la 180 de grade.

Și acestea sunt doar acele puncte care se referă la examen. Și în cursul algebrei în sine există multe probleme, în soluția cărora, fără cunoașterea formulelor de reducere, este pur și simplu imposibil de realizat.

Deci, la ce duce și cum formulele stipulate ne simplifică rezolvarea problemelor?

De exemplu, trebuie să determinați sinusul, cosinusul, tangenta sau cotangenta oricărui unghi între 0 și 450 de grade:

unghiul alfa variază de la 0 la 90 de grade

* * *

Deci, este necesar să înțelegeți „legea” care funcționează aici:

1. Determinați semnul funcției în trimestrul corespunzător.

Să le reamintesc:

2. Amintiți-vă următoarele:

funcția se schimbă în cofuncție

funcția nu se schimbă în cofuncție

Ce înseamnă conceptul - o funcție se schimbă într-o cofuncție?

Răspuns: sinusul se schimbă în cosinus sau invers, tangentă la cotangentă sau invers.

Asta e tot!

Acum, conform legii prezentate, scriem mai multe formule de reducere independent:

Acest unghi se află în al treilea sfert, cosinusul în al treilea sfert este negativ. Nu schimbăm funcția pentru cofuncție, deoarece avem 180 de grade, ceea ce înseamnă:

Unghiul se află în primul sfert, sinusul în primul sfert este pozitiv. Nu schimbăm funcția într-o cofuncție, deoarece avem 360 de grade, ceea ce înseamnă:

Iată o altă confirmare suplimentară că sinusurile unghiurilor adiacente sunt egale:

Unghiul se află în al doilea sfert, sinusul în al doilea trimestru este pozitiv. Nu schimbăm funcția într-o cofuncție, deoarece avem 180 de grade, ceea ce înseamnă:

Lucrează fiecare formulă mental sau în scris și vei vedea că nu este nimic complicat.

***

În articolul despre soluție, a fost notat un astfel de fapt - sinusul unui unghi ascuțit în triunghi dreptunghic este egal cu cosinusul altui unghi ascuțit din el.