Exemple de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice. Ecuații trigonometrice

Metode de rezolvare ecuații trigonometrice

Introducere 2

Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice 5

algebric 5

Rezolvarea ecuațiilor folosind condiția de egalitate a funcțiilor trigonometrice cu același nume 7

Factorizarea 8

Reducerea la o ecuație omogenă 10

Introducerea unghiului auxiliar 11

Transformați produsul în suma 14

Substituția universală 14

Concluzia 17

Introducere

Până în clasa a zecea, ordinea acțiunilor multor exerciții care conduc la obiectiv, de regulă, este definită fără ambiguitate. De exemplu, ecuații și inecuații liniare și pătratice, ecuații fracționaleși ecuații reductibile la pătratice etc. Fără a analiza în detaliu principiul rezolvării fiecăruia dintre exemplele menționate, reținem lucrul general necesar pentru soluționarea cu succes a acestora.

În cele mai multe cazuri, trebuie să determinați ce tip de sarcină este, să vă amintiți succesiunea de acțiuni care duc la obiectiv și să efectuați aceste acțiuni. Este evident că succesul sau eșecul elevului în stăpânirea metodelor de rezolvare a ecuațiilor depinde în principal de cât de mult va fi capabil să determine corect tipul de ecuație și să-și amintească succesiunea tuturor etapelor rezolvării acesteia. Desigur, acest lucru presupune că studentul are abilitățile de a performa transformări identiceși de calcul.

O situație complet diferită apare atunci când un elev întâlnește ecuații trigonometrice. În același timp, nu este greu de stabilit faptul că ecuația este trigonometrică. Apar dificultăți în găsirea unui curs de acțiune care ar duce la rezultat pozitiv. Și aici studentul se confruntă cu două probleme. De aspect ecuațiile sunt dificil de determinat tipul. Și fără a cunoaște tipul, este aproape imposibil să alegi formula dorită dintre cele câteva zeci disponibile.

Pentru a-i ajuta pe elevi să-și găsească drumul prin labirintul complex de ecuații trigonometrice, li se introduc mai întâi ecuațiile, care, după introducerea unei noi variabile, sunt reduse la pătrate. Apoi rezolvați ecuații omogene și reduse la ele. Totul se termină, de regulă, cu ecuații, pentru a căror soluție este necesară factorizarea părții stângi, echivalând apoi fiecare dintre factori la zero.

Dându-și seama că cele o duzină și jumătate de ecuații analizate în lecții nu sunt în mod clar suficiente pentru a-l lăsa pe elev să navigheze independent pe „marea” trigonometrică, profesorul mai adaugă câteva recomandări de la sine.

Pentru a rezolva ecuația trigonometrică, trebuie să încercăm:

Aduceți toate funcțiile incluse în ecuație la „aceleași unghiuri”;

Aduceți ecuația la „aceleași funcții”;

Factorizați partea stângă a ecuației etc.

Dar, în ciuda cunoașterii principalelor tipuri de ecuații trigonometrice și a mai multor principii pentru găsirea soluției acestora, mulți studenți se găsesc în continuare într-o fundătură în fața fiecărei ecuații care diferă ușor de cele care au fost rezolvate anterior. Rămâne neclar pentru ce ar trebui să se străduiască, având această sau acea ecuație, de ce într-un caz este necesar să se aplice formulele unghi dublu, în alta - jumătate, iar în a treia - formule de adunare etc.

Definiția 1. O ecuație trigonometrică este o ecuație în care necunoscutul este conținut sub semnul funcțiilor trigonometrice.

Definiția 2. Se spune că o ecuație trigonometrică are aceleași unghiuri dacă toate funcțiile trigonometrice incluse în ea au argumente egale. Se spune că o ecuație trigonometrică are aceleași funcții dacă conține doar una dintre funcțiile trigonometrice.

Definiția 3. Gradul unui monom care conține funcții trigonometrice este suma exponenților puterilor funcțiilor trigonometrice incluse în acesta.

Definiția 4. O ecuație se numește omogenă dacă toate monomiile din ea au același grad. Acest grad se numește ordinea ecuației.

Definiția 5. Ecuație trigonometrică care conține numai funcții păcatȘi cos, se numește omogen dacă toate monomiile în raport cu funcțiile trigonometrice au același grad, iar funcțiile trigonometrice în sine au unghiuri egale și numărul monomiilor este cu 1 mai mare decât ordinul ecuației.

Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice constă în două etape: transformarea ecuației pentru a obține forma sa cea mai simplă și rezolvarea celei mai simple ecuații trigonometrice rezultate. Există șapte metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

eu. metoda algebrică. Această metodă este bine cunoscută din algebră. (Metoda de înlocuire a variabilelor și substituție).

Rezolvați ecuații.

Să introducem notația X=2 păcat3 t, primim

Rezolvând această ecuație, obținem:
sau

acestea. poate fi scris

La scrierea soluţiei obţinute datorită prezenţei semnelor grad
nu are rost sa scrii.

Răspuns:

Denota

Primim ecuație pătratică
. Rădăcinile sale sunt numerele
Și
. Prin urmare, această ecuație se reduce la cele mai simple ecuații trigonometrice
Și
. Rezolvându-le, aflăm că
sau
.

Răspuns:
;
.

Denota

nu satisface conditia

Mijloace

Răspuns:

Să transformăm partea stângă a ecuației:

Astfel, această ecuație inițială poate fi scrisă astfel:

, adică

Denotand
, primim
Rezolvând această ecuație pătratică, avem:

nu satisface conditia

Scriem soluția ecuației inițiale:

Răspuns:

Substituţie
reduce această ecuație la o ecuație pătratică
. Rădăcinile sale sunt numerele
Și
. pentru că
, apoi ecuația dată nu are rădăcini.

Răspuns: fără rădăcini.

II. Rezolvarea ecuațiilor folosind condiția de egalitate a funcțiilor trigonometrice cu același nume.

dar)
, dacă

b)
, dacă

în)
, dacă

Folosind aceste condiții, luați în considerare soluția următoarelor ecuații:

Folosind cele spuse la punctul a), constatăm că ecuația are o soluție dacă și numai dacă
.

Rezolvând această ecuație, găsim
.

Avem două grupe de soluții:

.

7) Rezolvați ecuația:
.

Folosind condiția din partea b) deducem că
.

Rezolvând aceste ecuații pătratice, obținem:

8) Rezolvați ecuația
.

Din această ecuație deducem că . Rezolvând această ecuație pătratică, aflăm că

.

III. Factorizarea.

Considerăm această metodă cu exemple.

9) Rezolvați ecuația
.

Soluţie. Să mutăm toți termenii ecuației la stânga: .

Transformăm și factorizăm expresia din partea stângă a ecuației:
.

1)
2)

pentru că
Și
nu luați valoarea nulă

în același timp, apoi separăm ambele părți

ecuatii pentru
,

Răspuns:

10) Rezolvați ecuația:

Soluţie.

Răspuns:

11) Rezolvați ecuația

Soluţie:

1)
2)
3)

Răspuns:

IV. Reducerea la o ecuație omogenă.

Pentru a rezolva o ecuație omogenă, aveți nevoie de:

Mutați toți membrii săi în partea stângă;

Scoateți toți factorii comuni dintre paranteze;

Echivalează toți factorii și parantezele la zero;

Parantezele egalate cu zero dau o ecuație omogenă de grad mai mic, care ar trebui împărțită la
(sau
) în gradul superior;

Rezolvați primit ecuație algebrică relativ
.

Luați în considerare exemple:

12) Rezolvați ecuația:

Soluţie.

Împărțiți ambele părți ale ecuației la
,

Introducerea notației
, Nume

rădăcinile acestei ecuații sunt:

de aici 1)
2)

Răspuns:

13) Rezolvați ecuația:

Soluţie. Folosind formulele cu unghi dublu și identitatea trigonometrică de bază, reducem această ecuație la jumătate de argument:

După reducerea termenilor similari, avem:

Împărțirea ultimei ecuații omogene la
, primim

voi desemna
, obținem ecuația pătratică
, ale căror rădăcini sunt numere

În acest fel

Expresie
dispare la
, adică la
,
.

Soluția noastră a ecuației nu include aceste numere.

Răspuns:
, .

V. Introducerea unui unghi auxiliar.

Luați în considerare o ecuație de formă

Unde a, b, c- coeficienți, X- necunoscut.

Împărțiți ambele părți ale acestei ecuații la

Acum, coeficienții ecuației au proprietățile sinusului și cosinusului, și anume: modulul fiecăruia dintre ei nu depășește unul, iar suma pătratelor lor este egală cu 1.

Apoi le putem eticheta în consecință
(Aici - unghi auxiliar) iar ecuația noastră ia forma: .

Apoi

Și decizia lui

Rețineți că notația introdusă este interschimbabilă.

14) Rezolvați ecuația:

Soluţie. Aici
, deci împărțim ambele părți ale ecuației cu

Răspuns:

15) Rezolvați ecuația

Soluţie. pentru că
, atunci această ecuație este echivalentă cu ecuația

pentru că
, atunci există un unghi astfel încât
,
(acestea.
).

Avem

pentru că
, apoi obținem în sfârșit:

Rețineți că o ecuație de formă are o soluție dacă și numai dacă

16) Rezolvați ecuația:

Pentru a rezolva această ecuație, grupăm funcțiile trigonometrice cu aceleași argumente

Împărțiți ambele părți ale ecuației la două

Transformăm suma funcțiilor trigonometrice într-un produs:

Răspuns:

VI. Convertiți produsul în sumă.

Formulele corespunzătoare sunt folosite aici.

17) Rezolvați ecuația:

Soluţie. Să transformăm partea stângă într-o sumă:

VII.Substituție universală.

aceste formule sunt valabile pentru toți

Substituţie
numit universal.

18) Rezolvați ecuația:

Soluție: Înlocuiți și
la exprimarea lor prin
si denota
.

Obținem o ecuație rațională
, care este convertit în pătrat
.

Rădăcinile acestei ecuații sunt numerele
.

Prin urmare, problema a fost redusă la rezolvarea a două ecuații
.

Găsim că
.

Vedeți valoarea
nu satisface ecuația inițială, care se verifică prin verificare - substituție valoare dată t la ecuația inițială.

Răspuns:
.

Cometariu. Ecuația 18 ar putea fi rezolvată într-un mod diferit.

Împărțiți ambele părți ale acestei ecuații la 5 (adică cu
):
.

pentru că
, apoi există un număr
, ce
Și
. Deci ecuația devine:
sau
. De aici aflăm că
Unde
.

19) Rezolvați ecuația
.

Soluţie. Din moment ce funcţiile
Și
avea cea mai mare valoare egal cu 1, atunci suma lor este egală cu 2 dacă
Și
, în același timp, adică
.

Răspuns:
.

La rezolvarea acestei ecuații, s-a folosit mărginirea funcțiilor și.

Concluzie.

Lucrând la tema „Soluții de ecuații trigonometrice”, este util ca fiecare profesor să urmeze următoarele recomandări:

Sistematizarea metodelor de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

Alegeți singuri pașii pentru a efectua analiza ecuației și semnele oportunității utilizării uneia sau altei metode de soluție.

Să se gândească la modalități de autocontrol al activității de implementare a metodei.

Învață să faci ecuațiile „voastre” pentru fiecare dintre metodele studiate.

Cererea nr. 1

Rezolvați ecuații omogene sau reductibile.

1.	Reprezentant.
	Reprezentant.

	Reprezentant.
5.	Reprezentant.
	Reprezentant.
7.	Reprezentant.
	Reprezentant.

Cursul video „Obțineți un A” include toate subiectele de care aveți nevoie livrare cu succes UTILIZAȚI la matematică pentru 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 examen de profil matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea USE de bază în matematică. Dacă vrei să treci examenul cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru examen pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce ai nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student de o sută de puncte, nici un umanist nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Căi rapide soluții, capcane și secrete ale examenului. Au fost analizate toate sarcinile relevante din partea 1 din sarcinile Băncii FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele USE-2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen. Probleme de text și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini USE. Stereometrie. Trucuri complicate soluții, cheat sheets utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero - la sarcina 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicarea vizuală a conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. Baza pentru solutie sarcini provocatoare 2 părți ale examenului.

Conceptul de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică, convertiți-o într-una sau mai multe ecuații trigonometrice de bază. Rezolvarea ecuației trigonometrice se reduce în cele din urmă la rezolvarea celor patru ecuații trigonometrice de bază.

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de bază.

Există 4 tipuri de ecuații trigonometrice de bază:
sin x = a; cos x = a
tan x = a; ctg x = a
Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de bază implică examinarea diferitelor poziții x pe cercul unității, precum și utilizarea unui tabel de conversie (sau calculator).
Exemplul 1. sin x = 0,866. Folosind un tabel de conversie (sau un calculator), obțineți răspunsul: x = π/3. Cercul unitar dă un alt răspuns: 2π/3. Rețineți: toate funcțiile trigonometrice sunt periodice, adică valorile lor se repetă. De exemplu, periodicitatea lui sin x și cos x este 2πn, iar periodicitatea lui tg x și ctg x este πn. Deci raspunsul este scris asa:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Exemplul 2 cos x = -1/2. Folosind un tabel de conversie (sau un calculator), obțineți răspunsul: x = 2π/3. Cercul unitar dă un alt răspuns: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
Exemplul 3. tg (x - π/4) = 0.
Răspuns: x \u003d π / 4 + πn.
Exemplul 4. ctg 2x = 1.732.
Răspuns: x \u003d π / 12 + πn.

Transformări utilizate în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

Pentru transformarea ecuațiilor trigonometrice se folosesc transformări algebrice (factorizare, reducere membri omogene etc.) și identități trigonometrice.
Exemplul 5. Folosind identități trigonometrice, ecuația sin x + sin 2x + sin 3x = 0 este convertită în ecuația 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Astfel, următoarele ecuații trigonometrice de bază trebuie rezolvate: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Găsirea unghiurilor prin valori cunoscute funcții.
- Înainte de a învăța cum să rezolvi ecuațiile trigonometrice, trebuie să înveți cum să găsești unghiuri din valorile cunoscute ale funcțiilor. Acest lucru se poate face folosind un tabel de conversie sau un calculator.
- Exemplu: cos x = 0,732. Calculatorul va da răspunsul x = 42,95 grade. Cercul unitar va da unghiuri suplimentare, al căror cosinus este, de asemenea, egal cu 0,732.
Pune deoparte soluția pe cercul unității.
- Puteți pune soluții pentru ecuația trigonometrică pe cercul unității. Soluțiile ecuației trigonometrice pe cercul unitar sunt vârfurile unui poligon regulat.
- Exemplu: Soluțiile x = π/3 + πn/2 pe cercul unitar sunt vârfurile pătratului.
- Exemplu: Soluțiile x = π/4 + πn/3 de pe cercul unitar sunt vârfurile unui hexagon regulat.
Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.
- Dacă o ecuație trigonometrică dată conține doar una functie trigonometrica, rezolvați această ecuație ca o ecuație trigonometrică de bază. Dacă o ecuație dată include două sau mai multe funcții trigonometrice, atunci există 2 metode de rezolvare a unei astfel de ecuații (în funcție de posibilitatea transformării acesteia).
  - Metoda 1
- Transformați această ecuație într-o ecuație de forma: f(x)*g(x)*h(x) = 0, unde f(x), g(x), h(x) sunt ecuațiile trigonometrice de bază.
- Exemplul 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Soluţie. Folosind formula unghiului dublu sin 2x = 2*sin x*cos x, înlocuiți sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Rezolvați acum două ecuații trigonometrice de bază: cos x = 0 și (sin x + 1) = 0.
- Exemplul 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Rezolvare: Folosind identități trigonometrice, transformați această ecuație într-o ecuație de forma: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Rezolvați acum două ecuații trigonometrice de bază: cos 2x = 0 și (2cos x + 1) = 0.
- Exemplul 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
- Rezolvare: Folosind identități trigonometrice, transformați această ecuație într-o ecuație de forma: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Rezolvați acum două ecuații trigonometrice de bază: cos 2x = 0 și (2sin x + 1) = 0.
  - Metoda 2
- Convertiți ecuația trigonometrică dată într-o ecuație care conține o singură funcție trigonometrică. Apoi înlocuiți această funcție trigonometrică cu o necunoscută, de exemplu, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t etc.).
- Exemplul 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Soluţie. ÎN ecuația datăînlocuiți (cos^2 x) cu (1 - sin^2 x) (după identitate). Ecuația transformată arată astfel:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Înlocuiți sin x cu t. Acum, ecuația arată astfel: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Aceasta este o ecuație pătratică cu două rădăcini: t1 = -1 și t2 = 9/5. A doua rădăcină t2 nu satisface domeniul funcției (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Exemplul 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Soluţie. Înlocuiți tg x cu t. Rescrieți ecuația inițială după cum urmează: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Acum găsiți t și apoi găsiți x pentru t = tg x.

Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice.

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de orice nivel de complexitate se reduce în cele din urmă la rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice. Și în acest sens, cercul trigonometric se dovedește din nou a fi cel mai bun ajutor.

Amintiți-vă definițiile cosinusului și sinusului.

Cosinusul unui unghi este abscisa (adică coordonatele de-a lungul axei) a unui punct de pe cercul unitar corespunzător rotației cu un unghi dat.

Sinusul unui unghi este ordonata (adică coordonata de-a lungul axei) a unui punct de pe cercul unitar corespunzător rotației printr-un unghi dat.

Direcția pozitivă a mișcării de-a lungul cercului trigonometric este considerată a fi mișcarea în sens invers acelor de ceasornic. O rotație de 0 grade (sau 0 radiani) corespunde unui punct cu coordonatele (1; 0)

Folosim aceste definiții pentru a rezolva cele mai simple ecuații trigonometrice.

1. Rezolvați ecuația

Această ecuație este satisfăcută de toate aceste valori ale unghiului de rotație, care corespund punctelor cercului, a căror ordonată este egală cu .

Să marchem un punct cu ordonată pe axa y:

Să cheltuim linie orizontală paralel cu axa x până se intersectează cu cercul. Vom obține două puncte situate pe un cerc și având o ordonată. Aceste puncte corespund unghiurilor de rotație ale și radianilor:

Dacă, lasând punctul corespunzător unghiului de rotație pe radian, ocolim un cerc complet, atunci vom ajunge la un punct corespunzător unghiului de rotație pe radian și având aceeași ordonată. Adică, acest unghi de rotație satisface și ecuația noastră. Putem face oricâte viraje „inactiv” ne dorim, revenind la același punct, iar toate aceste valori ale unghiului ne vor satisface ecuația. Numărul de rotații „în gol” este notat cu litera (sau). Deoarece putem face aceste revoluții atât în direcții pozitive, cât și în direcții negative, (sau ) poate lua orice valoare întreagă.

Adică, prima serie de soluții la ecuația originală are forma:

, , - set de numere întregi (1)

În mod similar, a doua serie de soluții are forma:

, Unde , . (2)

După cum ați ghicit, această serie de soluții se bazează pe punctul cercului corespunzător unghiului de rotație cu .

Aceste două serii de soluții pot fi combinate într-o singură intrare:

Dacă luăm această intrare (adică chiar), atunci vom obține prima serie de soluții.

Dacă luăm această intrare (adică impar), atunci vom obține a doua serie de soluții.

2. Acum să rezolvăm ecuația

Întrucât abscisa punctului cercului unitar este obținută prin rotirea prin unghi, marchem pe axă un punct cu abscisa:

Desenați o linie verticală paralelă cu axa până când se intersectează cu cercul. Vom obține două puncte situate pe un cerc și având o abscisă. Aceste puncte corespund unghiurilor de rotație de și radiani. Amintiți-vă că atunci când ne deplasăm în sensul acelor de ceasornic, obținem un unghi negativ de rotație:

Scriem două serii de soluții:

(Cadem în punctul dorit, mergând de la cercul complet principal, adică .

Să combinăm aceste două serii într-o singură postare:

3. Rezolvați ecuația

Linia tangentelor trece prin punctul cu coordonatele (1,0) ale cercului unitar paralel cu axa OY

Marcați un punct pe el cu o ordonată egală cu 1 (căutăm tangenta a cărei unghiuri este 1):

Conectați acest punct la origine cu o linie dreaptă și marcați punctele de intersecție ale dreptei cu cercul unitar. Punctele de intersecție ale dreptei și cercului corespund unghiurilor de rotație pe și:

Deoarece punctele corespunzătoare unghiurilor de rotație care satisfac ecuația noastră se află la o distanță de radiani, putem scrie soluția după cum urmează:

4. Rezolvați ecuația

Linia cotangentelor trece prin punctul cu coordonatele cercului unitar paralel cu axa.

Marcam un punct cu abscisa -1 pe linia cotangentelor:

Conectați acest punct la originea dreptei și continuați-l până când se intersectează cu cercul. Această linie va intersecta cercul în puncte corespunzătoare unghiurilor de rotație ale și radianilor:

Deoarece aceste puncte sunt separate unul de celălalt printr-o distanță egală cu , atunci decizie comună Putem scrie această ecuație după cum urmează: