Primul nivel

cerc circumscris. Ghid vizual (2019)

Prima întrebare care poate apărea este: descris - în jurul a ce?

Ei bine, de fapt, uneori se întâmplă în jurul oricărui lucru și vom vorbi despre un cerc circumscris în jurul (uneori se spune „despre”) unui triunghi. Ce este?

Și acum, imaginați-vă, are loc un fapt uimitor:

De ce este acest fapt uimitor?

Dar triunghiurile sunt diferite!

Și pentru toată lumea există un cerc care va trece prin toate cele trei vârfuri, adică cercul circumscris.

Dovada acestui fapt uimitor poate fi găsită în următoarele niveluri de teorie, dar aici observăm doar că, dacă luăm, de exemplu, un patrulater, atunci deloc pentru toată lumea există un cerc care trece prin patru vârfuri. Aici, să spunem, un paralelogram este un patrulater excelent, dar un cerc care trece prin toate cele patru vârfuri nu este!

Și există doar pentru un dreptunghi:

Bine, și fiecare triunghi are întotdeauna propriul său cerc circumscris!Și chiar este întotdeauna destul de ușor să găsești centrul acestui cerc.

Știi ce este midperpendicular?

Acum să vedem ce se întâmplă dacă luăm în considerare până la trei bisectoare perpendiculare pe laturile triunghiului.

Se dovedește (și tocmai asta trebuie dovedit, deși nu vom face) că Toate cele trei perpendiculare se intersectează într-un punct. Priviți imaginea - toate cele trei perpendiculare mediane se intersectează într-un punct.

Crezi că centrul cercului circumscris se află întotdeauna în interiorul triunghiului? Imaginați-vă - nu întotdeauna!

Dar dacă unghi ascuțit, apoi - în interior:

Ce să faci cu un triunghi dreptunghic?

Și cu un bonus suplimentar:

Întrucât vorbim despre raza cercului circumscris: cu ce este egală pentru un triunghi arbitrar? Și există un răspuns la această întrebare: așa-numitul.

Și anume:

Și, desigur,

1. Existenta si centrul cercului circumscris

Aici apare întrebarea: există un astfel de cerc pentru vreun triunghi? Se dovedește că da, pentru toată lumea. Și mai mult, vom formula acum o teoremă care răspunde și la întrebarea unde este centrul cercului circumscris.

Uite asa:

Să ne adunăm curaj și să demonstrăm această teoremă. Dacă ați citit deja subiectul „”, v-ați dat seama de ce cele trei bisectoare se intersectează la un moment dat, atunci vă va fi mai ușor, dar dacă nu l-ați citit, nu vă faceți griji: acum ne vom da seama de toate afară.

Vom efectua demonstrația folosind conceptul de locus al punctelor (LPT).

Ei bine, de exemplu, setul de bile este un „loc geometric” al obiectelor rotunde? Nu, desigur, pentru că există... pepeni rotunzi. Dar este un set de oameni, un „loc geometric”, capabil să vorbească? Nici, pentru că sunt bebeluși care nu pot vorbi. În viață, este în general dificil să găsești un exemplu de „loc geometric al punctelor”. Geometria este mai ușoară. Iată, de exemplu, exact ceea ce avem nevoie:

Aici mulțimea este perpendiculara mijlocie, iar proprietatea „” este „să fie echidistant (punctul) de la capetele segmentului”.

Sa verificam? Deci, trebuie să vă asigurați de două lucruri:

1. Orice punct care este echidistant de capetele unui segment se află pe bisectoarea perpendiculară pe acesta.

Conectați-vă cu și cu. Atunci linia este mediana și înălțimea în. Deci, - isoscel, - ne-am asigurat că orice punct situat pe bisectoarea perpendiculară este la fel de îndepărtat de punctele și.

Luați - mijlocul și conectați și. Am primit mediana. Dar - isoscel după condiție, nu numai mediana, ci și înălțimea, adică mediana perpendiculară. Aceasta înseamnă că punctul se află exact pe bisectoarea perpendiculară.

Tot! Am verificat pe deplin faptul că bisectoarea perpendiculară pe un segment este locul punctelor echidistante de capetele segmentului.

Asta e bine și bine, dar am uitat de cercul circumscris? Deloc, doar ne-am pregătit un „cap de pod pentru atac”.

Luați în considerare un triunghi. Să desenăm două perpendiculare mediane și, să zicem, la segmentele și. Se vor intersecta la un moment dat, pe care îl vom numi.

Și acum, atenție!

Punctul se află pe bisectoarea perpendiculară;
punctul se află pe bisectoarea perpendiculară.
Și asta înseamnă și.

De aici decurg mai multe lucruri:

În primul rând, punctul trebuie să se afle pe a treia bisectoare perpendiculară, pe segment.

Adică bisectoarea perpendiculară trebuie să treacă și ea prin punct și toate cele trei bisectoare perpendiculare se intersectează într-un punct.

În al doilea rând: dacă desenăm un cerc cu un centru într-un punct și o rază, atunci acest cerc va trece și prin punct și prin punct, adică va fi cercul descris. Aceasta înseamnă că există deja că intersecția celor trei bisectoare perpendiculare este centrul cercului circumscris pentru orice triunghi.

Și ultimul lucru: despre unicitate. Este clar (aproape) că punctul poate fi obținut într-un mod unic și, prin urmare, cercul este unic. Ei bine, „aproape” – vă lăsăm în seama dumneavoastră. Aici am demonstrat teorema. Puteți striga „Hura!”.

Și dacă problema este întrebarea „găsește raza cercului circumscris”? Sau invers, raza este dată, dar vrei să găsești altceva? Există o formulă care să raporteze raza cercului circumscris la celelalte elemente ale unui triunghi?

Rețineți că teorema sinusului spune că pentru a găsi raza cercului circumscris, aveți nevoie de o latură (orice!) și unghiul opus acesteia. Si asta e!

3. Centrul cercului - interior sau exterior

Și acum întrebarea este: poate centrul cercului circumscris să se afle în afara triunghiului?
Răspuns: pe cât posibil. Mai mult, acesta este întotdeauna cazul într-un triunghi obtuz.

Și în general vorbind:

CERCUL. SCURT DESPRE PRINCIPALA

1. Cerc circumscris unui triunghi

Acesta este un cerc care trece prin toate cele trei vârfuri ale acestui triunghi.

2. Existenta si centrul cercului circumscris

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, atunci ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă ai citit până la capăt, atunci ești în 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ți-ai dat seama de teoria pe această temă. Și, repet, este... pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru promovarea cu succes a examenului, pentru admiterea la institut la buget și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că în fața lor se deschid mult mai multe oportunități și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examen și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

UMPLȚI-VĂ MÂNA, REzolVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

La examen nu vi se va cere teorie.

Vei avea nevoie rezolva problemele la timp.

Și, dacă nu le-ai rezolvat (MULTE!), cu siguranță vei face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu vei reuși la timp.

Este ca în sport - trebuie să repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți o colecție oriunde doriți neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (nu este necesar) și cu siguranță le recomandăm.

Pentru a obține o mână de lucru cu ajutorul sarcinilor noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din acest articol - 299 rub.
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse în toate cele 99 de articole din tutorial - 499 rub.

Da, avem 99 de astfel de articole în manual și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

In concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri cu teorie.

„Înțeles” și „Știu să rezolv” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați!

Se vede că fiecare parte triunghi, perpendiculara trasă din mijlocul ei și segmentele care leagă punctul de intersecție al perpendicularelor cu vârfurile formează două dreptunghiuri egale triunghi. Segmentele MA, MB, MS sunt egale.

Ți se dă un triunghi. Găsiți mijlocul fiecărei părți - luați o riglă și măsurați laturile acesteia. Împărțiți dimensiunile rezultate în jumătate. Puneți deoparte de vârfuri pe fiecare jumătate a dimensiunii sale. Marcați rezultatele cu puncte.

Din fiecare punct, așezați o perpendiculară pe lateral. Punctul de intersecție al acestor perpendiculare va fi centrul cercului circumscris. Două perpendiculare sunt suficiente pentru a găsi centrul cercului. Al treilea este construit pentru autotestare.

Atenție - într-un triunghi în care toate unghiurile sunt acute, intersecții în interior triunghi. Într-un triunghi dreptunghic, se află pe ipotenuză. B este în afara ei. Mai mult, perpendiculara pe latura opusă unghiului obtuz nu este pe centru triunghi, dar afară.

Notă

Există o teoremă sinusului care stabilește relația dintre laturile unui triunghi, unghiurile sale și razele cercului circumscris. Această dependență se exprimă prin formula: a/sina = b/sinb = с/sinc = 2R, unde a, b, c sunt laturile triunghiului; sina, sinb, sinc sunt sinusurile unghiurilor opuse acestor laturi; R este raza cercului care poate fi circumscris triunghiului.

Surse:

• cum se descrie circumferința unui patrulater

Conform definiției descrise cerc trebuie să treacă prin toate vârfurile de colț ale poligonului dat. Nu contează deloc ce fel de poligon este - un triunghi, un pătrat, un dreptunghi, un trapez sau altceva. De asemenea, nu contează dacă este un poligon regulat sau neregulat. Trebuie doar să ținem cont că există poligoane în jurul cărora cerc nu poate fi descris. poate fi întotdeauna descris cercîn jurul triunghiului. Cât despre patrulatere, cerc poate fi descris despre un pătrat sau dreptunghi sau un trapez isoscel.

Vei avea nevoie

• Poligon dat
• Rigla
• pătrat
• Creion
• Busolă
• Raportor
• Tabelele sinusurilor și cosinusurilor
• Concepte și formule matematice
• teorema lui Pitagora
• Teorema sinusului
• Teorema cosinusului
• Semne de asemănare ale triunghiurilor

Instruire

Construiți un poligon cu parametrii dați și dacă este posibil să îl circumscrieți cerc. Dacă vi se oferă un patrulater, calculați suma unghiurilor sale opuse. Fiecare dintre ele ar trebui să fie egal cu 180 °.

A descrie cerc, trebuie să-i calculați raza. Amintiți-vă unde se află centrul cercului în diferite poligoane. Într-un triunghi, acesta se află în punctul de intersecție al tuturor altitudinilor triunghiului dat. Într-un pătrat și dreptunghiuri - în punctul de intersecție al diagonalelor, pentru un trapez - în punctul de intersecție al axei de simetrie cu linia care leagă punctele medii ale laturilor și pentru orice alt poligon convex - în punctul de intersecție al bisectoare perpendiculare pe laturi.

Calculați diametrul unui cerc circumscris unui pătrat și unui dreptunghi folosind teorema lui Pitagora. Va fi egal cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor laturilor dreptunghiului. Pentru un pătrat cu toate laturile egale, diagonala este egală cu rădăcina pătrată de două ori pătratul laturii. Împărțiți diametrul cu 2 pentru a obține raza.

Calculați raza cercului circumscris triunghiului. Deoarece parametrii triunghiului sunt dați în condiții, calculați raza folosind formula R = a/(2 sinA), unde a este una dintre laturile triunghiului, ? este unghiul opus. În loc de această latură, puteți lua latura și unghiul opus.

Calculați raza unui cerc circumscris în jurul unui trapez. R = a*d*c / 4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c)) 2*(a+d+c) . Calculați valorile lipsă. Înălțimea poate fi calculată folosind teorema sinusului sau cosinusului, lungimile laturilor trapezului și unghiurile sunt date în condiții. Cunoscând înălțimea și ținând cont de asemănările triunghiurilor, calculează diagonala. După aceea, rămâne să calculați raza folosind formula de mai sus.

Videoclipuri asemănătoare

Sfaturi utile

Pentru a calcula raza unui cerc circumscris altui poligon, efectuați o serie de construcții suplimentare. Obțineți cifre mai simple ai căror parametri îi cunoașteți.

Sfatul 3: Cum să desenați un triunghi dreptunghic dintr-un unghi ascuțit și o ipotenuză

Un triunghi dreptunghic este un triunghi al cărui unghi la unul dintre vârfurile sale este de 90°. Latura opusă acestui unghi se numește ipotenuză, iar laturile opuse celor două unghiuri ascuțite ale triunghiului se numesc catete. Dacă lungimea ipotenuzei și valoarea unuia dintre unghiurile ascuțite sunt cunoscute, atunci aceste date sunt suficiente pentru a construi un triunghi în cel puțin două moduri.

Tema „Cercuri înscrise și circumscrise în triunghiuri” este una dintre cele mai dificile din cursul de geometrie. Ea petrece foarte puțin timp în clasă.

Problemele geometrice ale acestei teme sunt incluse în partea a doua a lucrării de examen pentru examenul pentru cursul de liceu. Finalizarea cu succes a acestor sarcini necesită o cunoaștere solidă a faptelor geometrice de bază și o anumită experiență în rezolvarea problemelor geometrice.
Există un singur cerc circumscris pentru fiecare triunghi. Acesta este un cerc pe care se află toate cele trei vârfuri ale unui triunghi cu parametri dați. Găsirea razei sale poate fi necesară nu numai într-o lecție de geometrie. Designerii, tăietorii, lăcătușii și reprezentanții multor alte profesii trebuie să se ocupe constant de asta. Pentru a-i găsi raza, trebuie să cunoașteți parametrii triunghiului și proprietățile acestuia. Centrul cercului circumscris este în punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare ale triunghiului.
Vă aduc în atenție toate formulele de aflare a razei cercului circumscris și nu numai a triunghiului. Pot fi vizualizate formule pentru cercul înscris.

a, b. cu - laturile unui triunghi

α - unghi partea opusăA,
S-aria unui triunghi,

p- semiperimetrul.

Apoi pentru a găsi raza ( R) din cercul circumscris folosiți formulele:

La rândul său, aria unui triunghi poate fi calculată folosind una dintre următoarele formule:

Și iată mai multe formule.

1. Raza cercului circumferitor în jurul unui triunghi regulat. În cazul în care un A latura triunghiului, atunci

2. Raza cercului circumscris în jurul unui triunghi isoscel. Lasa a, b sunt laturile triunghiului, atunci

Demonstrații de teoreme privind proprietățile unui cerc circumscris unui triunghi

Perpendicular la mijloc pe segment

Definiția 1 . Perpendicular la mijloc pe segment numită dreptă perpendiculară pe acest segment și care trece prin mijlocul acestuia (fig. 1).

Teorema 1. Fiecare punct al bisectoarei perpendiculare pe segment este la aceeași distanță de capete acest segment.

Dovada . Luați în considerare un punct arbitrar D situat pe bisectoarea perpendiculară pe segmentul AB (Fig. 2) și demonstrați că triunghiurile ADC și BDC sunt egale.

Într-adevăr, aceste triunghiuri sunt triunghiuri dreptunghiulare ale căror catete AC și BC sunt egale, în timp ce catetele DC sunt comune. Din egalitatea triunghiurilor ADC și BDC urmează egalitatea segmentelor AD și DB. Teorema 1 este demonstrată.

Teorema 2 (Inversa la Teorema 1). Dacă un punct se află la aceeași distanță de capetele unui segment, atunci se află pe bisectoarea perpendiculară pe acest segment.

Dovada . Să demonstrăm teorema 2 prin metoda „prin contradicție”. În acest scop, să presupunem că un punct E este la aceeași distanță de capetele segmentului, dar nu se află pe bisectoarea perpendiculară pe acest segment. Să aducem această presupunere într-o contradicție. Să luăm mai întâi în considerare cazul când punctele E și A se află pe părți opuse ale bisectoarei perpendiculare (Fig. 3). În acest caz, segmentul EA intersectează bisectoarea perpendiculară la un moment dat, pe care o vom nota cu litera D.

Să demonstrăm că segmentul AE este mai lung decât segmentul EB. Într-adevăr,

Astfel, în cazul în care punctele E și A se află pe laturi opuse ale bisectoarei perpendiculare, am obținut o contradicție.

Acum luați în considerare cazul în care punctele E și A se află de aceeași parte a bisectoarei perpendiculare (Fig. 4). Să demonstrăm că segmentul EB este mai lung decât segmentul AE. Într-adevăr,

Contradicția rezultată completează demonstrația teoremei 2

Cerc care circumscrie un triunghi

Definiția 2 . Un cerc care circumscrie un triunghi, numiți cercul care trece prin toate cele trei vârfuri ale triunghiului (Fig. 5). În acest caz se numește triunghiul un triunghi înscris într-un cerc sau triunghi înscris.

Proprietățile unui cerc circumscris unui triunghi. Teorema sinusului

Figura	Imagine	Proprietate
Perpendiculare medii pe laturile triunghiului		se intersectează la un punct .
Centru circumscrisă unui triunghi ascuțit al unui cerc		Centrul descris despre unghiular acut interior triunghi.
Centru cerc circumscris unui triunghi dreptunghic		Centrul descris despre dreptunghiular punctul de mijloc al ipotenuzei .
Centru circumscrisă unui triunghi obtuz al unui cerc		Centrul descris despre obtuz cerc triunghi minciuni in afara triunghi.
		,
Pătrat triunghi		S= 2R 2 păcat A păcat B păcat C ,
Raza cercului circumscris		Pentru orice triunghi, egalitatea este adevărată:

Perpendiculare medii pe laturile unui triunghi

Toate bisectoarele perpendiculare atras de laturile unui triunghi arbitrar, se intersectează la un punct .

Cerc care circumscrie un triunghi

Orice triunghi poate fi circumscris unui cerc. . Centrul cercului circumscris triunghiului este punctul în care se intersectează toate bisectoarele perpendiculare trasate pe laturile triunghiului.

Centrul unui cerc circumscris unui triunghi ascuțit

Centrul descris despre unghiular acut cerc triunghi minciuni interior triunghi.

Centrul unui cerc circumscris unui triunghi dreptunghic

Centrul descris despre dreptunghiular triunghi cerc este punctul de mijloc al ipotenuzei .

Centrul unui cerc circumscris unui triunghi obtuz

Centrul descris despre obtuz cerc triunghi minciuni in afara triunghi.

Pentru orice triunghi, egalitățile sunt valabile (teorema sinusurilor): , unde a, b, c sunt laturile triunghiului, A, B, C sunt unghiurile triunghiului, R este raza cercului circumscris.

Aria unui triunghi

Pentru orice triunghi, egalitatea este adevărată: S= 2R 2 păcat A păcat B păcat C , unde A, B, C sunt unghiurile triunghiului, S este aria triunghiului, R este raza cercului circumscris.

Raza cercului circumscris

Pentru orice triunghi, egalitatea este adevărată: unde a, b, c sunt laturile triunghiului, S este aria triunghiului, R este raza cercului circumscris.

Demonstrații de teoreme privind proprietățile unui cerc circumscris unui triunghi

Teorema 3. Toate perpendicularele medii desenate pe laturile unui triunghi arbitrar se intersectează într-un punct.

Dovada . Luați în considerare două bisectoare perpendiculare trasate pe laturile AC și AB ale triunghiului ABC și notați punctul de intersecție a acestora cu litera O (Fig. 6).

Deoarece punctul O se află pe bisectoarea perpendiculară pe segmentul AC , atunci, în virtutea teoremei 1, este valabilă următoarea egalitate:

Deoarece punctul O se află pe bisectoarea perpendiculară pe segmentul AB , atunci, în virtutea teoremei 1, este valabilă următoarea egalitate:

Prin urmare, egalitatea este adevărată:

de unde, folosind teorema 2, concluzionăm că punctul O se află pe bisectoarea perpendiculară pe segmentul BC. Astfel, toate cele trei bisectoare perpendiculare trec prin același punct, ceea ce urma să fie demonstrat.

Consecinţă. Orice triunghi poate fi circumscris unui cerc. . Centrul cercului circumscris triunghiului este punctul în care se intersectează toate bisectoarele perpendiculare trasate pe laturile triunghiului.

Dovada . Să considerăm punctul O, în care se intersectează toate bisectoarele perpendiculare trasate pe laturile triunghiului ABC (Fig. 6).

La demonstrarea teoremei 3 s-a obținut următoarea egalitate:

din care rezultă că cercul centrat în punctul O și razele OA , OB , OC trece prin toate cele trei vârfuri ale triunghiului ABC , ceea ce urma să fie demonstrat.

Primul nivel

cerc circumscris. Ghid vizual (2019)

Prima întrebare care poate apărea este: descris - în jurul a ce?

Ei bine, de fapt, uneori se întâmplă în jurul oricărui lucru și vom vorbi despre un cerc circumscris în jurul (uneori se spune „despre”) unui triunghi. Ce este?

Și acum, imaginați-vă, are loc un fapt uimitor:

De ce este acest fapt uimitor?

Dar triunghiurile sunt diferite!

Și pentru toată lumea există un cerc care va trece prin toate cele trei vârfuri, adică cercul circumscris.

Dovada acestui fapt uimitor poate fi găsită în următoarele niveluri de teorie, dar aici observăm doar că, dacă luăm, de exemplu, un patrulater, atunci deloc pentru toată lumea există un cerc care trece prin patru vârfuri. Aici, să spunem, un paralelogram este un patrulater excelent, dar un cerc care trece prin toate cele patru vârfuri nu este!

Și există doar pentru un dreptunghi:

Bine, și fiecare triunghi are întotdeauna propriul său cerc circumscris!Și chiar este întotdeauna destul de ușor să găsești centrul acestui cerc.

Știi ce este midperpendicular?

Acum să vedem ce se întâmplă dacă luăm în considerare până la trei bisectoare perpendiculare pe laturile triunghiului.

Se dovedește (și tocmai asta trebuie dovedit, deși nu vom face) că Toate cele trei perpendiculare se intersectează într-un punct. Priviți imaginea - toate cele trei perpendiculare mediane se intersectează într-un punct.

Crezi că centrul cercului circumscris se află întotdeauna în interiorul triunghiului? Imaginați-vă - nu întotdeauna!

Dar dacă unghi ascuțit, apoi - în interior:

Ce să faci cu un triunghi dreptunghic?

Și cu un bonus suplimentar:

Întrucât vorbim despre raza cercului circumscris: cu ce este egală pentru un triunghi arbitrar? Și există un răspuns la această întrebare: așa-numitul.

Și anume:

Și, desigur,

1. Existenta si centrul cercului circumscris

Aici apare întrebarea: există un astfel de cerc pentru vreun triunghi? Se dovedește că da, pentru toată lumea. Și mai mult, vom formula acum o teoremă care răspunde și la întrebarea unde este centrul cercului circumscris.

Uite asa:

Să ne adunăm curaj și să demonstrăm această teoremă. Dacă ați citit deja subiectul „”, v-ați dat seama de ce cele trei bisectoare se intersectează la un moment dat, atunci vă va fi mai ușor, dar dacă nu l-ați citit, nu vă faceți griji: acum ne vom da seama de toate afară.

Vom efectua demonstrația folosind conceptul de locus al punctelor (LPT).

Ei bine, de exemplu, setul de bile este un „loc geometric” al obiectelor rotunde? Nu, desigur, pentru că există... pepeni rotunzi. Dar este un set de oameni, un „loc geometric”, capabil să vorbească? Nici, pentru că sunt bebeluși care nu pot vorbi. În viață, este în general dificil să găsești un exemplu de „loc geometric al punctelor”. Geometria este mai ușoară. Iată, de exemplu, exact ceea ce avem nevoie:

Aici mulțimea este perpendiculara mijlocie, iar proprietatea „” este „să fie echidistant (punctul) de la capetele segmentului”.

Sa verificam? Deci, trebuie să vă asigurați de două lucruri:

1. Orice punct care este echidistant de capetele unui segment se află pe bisectoarea perpendiculară pe acesta.

Conectați-vă cu și cu. Atunci linia este mediana și înălțimea în. Deci, - isoscel, - ne-am asigurat că orice punct situat pe bisectoarea perpendiculară este la fel de îndepărtat de punctele și.

Luați - mijlocul și conectați și. Am primit mediana. Dar - isoscel după condiție, nu numai mediana, ci și înălțimea, adică mediana perpendiculară. Aceasta înseamnă că punctul se află exact pe bisectoarea perpendiculară.

Tot! Am verificat pe deplin faptul că bisectoarea perpendiculară pe un segment este locul punctelor echidistante de capetele segmentului.

Asta e bine și bine, dar am uitat de cercul circumscris? Deloc, doar ne-am pregătit un „cap de pod pentru atac”.

Luați în considerare un triunghi. Să desenăm două perpendiculare mediane și, să zicem, la segmentele și. Se vor intersecta la un moment dat, pe care îl vom numi.

Și acum, atenție!

Punctul se află pe bisectoarea perpendiculară;
punctul se află pe bisectoarea perpendiculară.
Și asta înseamnă și.

De aici decurg mai multe lucruri:

În primul rând, punctul trebuie să se afle pe a treia bisectoare perpendiculară, pe segment.

Adică bisectoarea perpendiculară trebuie să treacă și ea prin punct și toate cele trei bisectoare perpendiculare se intersectează într-un punct.

În al doilea rând: dacă desenăm un cerc cu un centru într-un punct și o rază, atunci acest cerc va trece și prin punct și prin punct, adică va fi cercul descris. Aceasta înseamnă că există deja că intersecția celor trei bisectoare perpendiculare este centrul cercului circumscris pentru orice triunghi.

Și ultimul lucru: despre unicitate. Este clar (aproape) că punctul poate fi obținut într-un mod unic și, prin urmare, cercul este unic. Ei bine, „aproape” – vă lăsăm în seama dumneavoastră. Aici am demonstrat teorema. Puteți striga „Hura!”.

Și dacă problema este întrebarea „găsește raza cercului circumscris”? Sau invers, raza este dată, dar vrei să găsești altceva? Există o formulă care să raporteze raza cercului circumscris la celelalte elemente ale unui triunghi?

Rețineți că teorema sinusului spune că pentru a găsi raza cercului circumscris, aveți nevoie de o latură (orice!) și unghiul opus acesteia. Si asta e!

3. Centrul cercului - interior sau exterior

Și acum întrebarea este: poate centrul cercului circumscris să se afle în afara triunghiului?
Răspuns: pe cât posibil. Mai mult, acesta este întotdeauna cazul într-un triunghi obtuz.

Și în general vorbind:

CERCUL. SCURT DESPRE PRINCIPALA

1. Cerc circumscris unui triunghi

Acesta este un cerc care trece prin toate cele trei vârfuri ale acestui triunghi.

2. Existenta si centrul cercului circumscris

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, atunci ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă ai citit până la capăt, atunci ești în 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ți-ai dat seama de teoria pe această temă. Și, repet, este... pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru promovarea cu succes a examenului, pentru admiterea la institut la buget și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că în fața lor se deschid mult mai multe oportunități și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examen și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

UMPLȚI-VĂ MÂNA, REzolVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

La examen nu vi se va cere teorie.

Vei avea nevoie rezolva problemele la timp.

Și, dacă nu le-ai rezolvat (MULTE!), cu siguranță vei face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu vei reuși la timp.

Este ca în sport - trebuie să repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți o colecție oriunde doriți neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (nu este necesar) și cu siguranță le recomandăm.

Pentru a obține o mână de lucru cu ajutorul sarcinilor noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din acest articol - 299 rub.
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse în toate cele 99 de articole din tutorial - 499 rub.

Da, avem 99 de astfel de articole în manual și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

In concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri cu teorie.

„Înțeles” și „Știu să rezolv” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați!