Teorema sinusului este egală cu două raze. Demonstrarea teoremei sinusului

Construim un triunghi arbitrar înscris într-un cerc. Să-l notăm ca ABC.
Pentru a demonstra întreaga teoremă, întrucât dimensiunile triunghiului sunt alese arbitrar, este suficient să demonstrăm că raportul dintre o latură arbitrară și unghiul opus acesteia este egal cu 2R. Fie 2R = a / sin α, adică dacă luăm 2R = BC / sin A conform desenului.

Desenați diametrul BD pentru cercul circumscris. Triunghiul rezultat BCD este dreptunghic deoarece ipotenuza sa se află pe diametrul cercului circumscris (o proprietate a unghiurilor înscrise într-un cerc).

Deoarece unghiurile înscrise într-un cerc, bazate pe același arc, sunt egale, atunci unghiul CDB este fie egal cu unghiul CAB (dacă punctele A și D se află de aceeași parte a dreptei BC), fie egal cu π - CAB (altfel) .

Să ne uităm la proprietăți funcții trigonometrice. Deoarece sin(π − α) = sin α, atunci opțiunile indicate pentru construirea unui triunghi vor duce în continuare la același rezultat.

Calculați valoarea 2R = a / sin α, conform desenului 2R = BC / sin A. Pentru a face acest lucru, înlocuiți sin A cu raportul laturilor corespunzătoare ale unui triunghi dreptunghic.

2R=BC/sin A
2R=BC/(BC/DB)
2R=DB

Și, deoarece DB a fost construit ca diametrul unui cerc, atunci egalitatea este adevărată.
Repetând același raționament pentru celelalte două laturi ale triunghiului, obținem:

Teorema sinusului a fost demonstrată.

Teorema sinusului

Notă. Aceasta face parte din lecția cu probleme de geometrie (secțiunea teoremei sinusului). Dacă trebuie să rezolvați o problemă de geometrie, care nu este aici - scrieți despre ea pe forum. În sarcini, în locul simbolului „rădăcină pătrată” se folosește funcția sqrt (), în care sqrt este simbolul rădăcină pătrată, iar între paranteze este expresia rădăcină.

Teorema sinusului:
Laturile unui triunghi sunt proporționale cu sinusurile unghiurilor opuse sau, într-o formulare extinsă:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R
unde R este raza cercului circumscris

Teorie - pentru formularea și demonstrarea teoremei, vezi capitolul „Teorema sinusurilor” în detaliu .

Sarcină

În triunghiul XYZ unghiul X=30 unghiul Z=15. Perpendiculara YQ pe ZY împarte latura XZ în părți XQ și QZ. Aflați XY dacă QZ=1,5m

Decizie.
Înălțimea a format două triunghiuri dreptunghiulare XYQ și ZYQ.
Pentru a rezolva problema, folosim teorema sinusului.
QZ / sin(QYZ) = QY / sin(QZY)

QZY = 15 grade, în consecință, QYZ = 180 - 90 - 15 = 75

Deoarece lungimea înălțimii triunghiului este acum cunoscută, găsim XY folosind aceeași teoremă sinusului.

QY / sin(30) = XY / sin(90)

Să luăm în considerare valorile tabulare ale unor funcții trigonometrice:

sinusul de 30 de grade este sin(30) = 1 / 2
sinusul de 90 de grade este sin(90) = 1

QY = XY sin(30)
3/2 (√3 - 1) / (√3 + 1) = 1/2XY
XY = 3 (√3 - 1) / (√3 + 1) ≈ 0,8 m

Răspuns: 0,8 m sau 3 (√3 - 1) / (√3 + 1)

Teorema sinusurilor (partea 2)

Notă. Aceasta face parte din lecția cu probleme de geometrie (secțiunea teoremei sinusului). Dacă trebuie să rezolvați o problemă de geometrie, care nu este aici - scrieți despre ea pe forum .

Vezi teoria în detaliu în capitolul „Teorema sinusurilor” .

Sarcină

Latura AB a triunghiului ABC este de 16 cm. Unghiul A este de 30 de grade. Unghiul B este de 105 grade. Calculați lungimea laturii BC.

Decizie.
Conform teoremei sinusului, laturile unui triunghi sunt proporționale cu sinusurile unghiurilor opuse:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ

Prin urmare
BC / sin α = AB / sin γ

Găsim valoarea unghiului C, pe baza faptului că suma unghiurilor unui triunghi este de 180 de grade.
C \u003d 180 - 30 -105 \u003d 45 de grade.

Unde:
BC / sin 30° = 16 / sin 45°

BC = 16 sin 30° / sin 45°

Referindu-ne la tabelul funcțiilor trigonometrice, găsim:

BC = (16 * 1 / 2) / √2/2 = 16 / √2 ≈ 11,3 cm

Răspuns: 16 / √2

Sarcină.
În triunghiul ABC, unghiul A \u003d α, unghiul C \u003d β, BC \u003d 7cm, BH este înălțimea triunghiului.
Găsiți AN

Prima parte a teoremei: laturile unui triunghi arbitrar proporționale cu sinusurile colțuri opuse, adică:

A doua parte a teoremei: fiecare fracție este egală cu diametrul cercului circumscris triunghiului dat, adică: .

Comentariul profesorului de matematică: utilizarea celei de-a doua părți a teoremei sinusului este prevăzută în aproape fiecare a doua problemă competitivă pentru un cerc. De ce? Faptul este că egalitatea vă permite să găsiți raza unui cerc având doar două elemente ale triunghiului. Acesta este foarte des folosit de compilatorii de probleme puternice, care selectează în mod specific condiția în așa fel încât să nu fie localizate deloc alte elemente ale triunghiului (și întreaga imagine! „Imaginea” va pluti. Această împrejurare complică foarte mult munca la examen, deoarece nu face posibilă ocolirea proprietății inerente.

Demonstrarea teoremei sinusului:

conform manualului lui Atanasyan
Să demonstrăm că pentru orice triunghi cu laturile a, b, c și unghiuri opuse A, B și C, egalitatea este adevărată: .
Desenați o înălțime BH din vârful B. Sunt posibile două cazuri:
1) Punctul H se află pe partea AC (acest lucru este posibil când și sunt acute).
Prin definiția sinusului unui unghi ascuțit în triunghi dreptunghic ABH scriem

În mod similar, în triunghiul CBH avem . Echivalând expresiile pentru BH între ele, obținem:
2)Fie H să se afle pe prelungirea laturii AC (de exemplu, la stânga lui A). Acest lucru se va întâmpla dacă - prost. În mod similar, conform definiției sinusului unui unghi ascuțit A în triunghiul ABH, scriem egalitatea , dar întrucât sinusurile unghiurilor adiacente sunt egale, înlocuind această egalitate cu , obținem ca în primul caz. Prin urmare, indiferent de unghiurile A și C, egalitatea este adevărată.
După împărțirea ambelor părți la obținem . Egalitatea celei de-a doua perechi de fracții este demonstrată în mod similar

Demonstrarea teoremei sinusului conform manualului lui Pogorelov:

Aplicați formula ariei triunghiului pentru două unghiuri A și C:

După echivalarea părților potrivite și reducerea la obținem aceeași egalitate ca în demonstrația prin prima metodă. Din ea, în același mod, obținem egalitatea fracțiilor.

Demonstrarea celei de-a doua părți a teoremei sinusului:

Să descriem un cerc în jurul triunghiului dat și să trasăm diametrul lui BD prin B. Deoarece unghiurile D și C se bazează pe același arc, ele sunt egale (o consecință a teoremei unghiurilor înscrise). Apoi . Să aplicăm definiția sinusului unghiului D în triunghiul ABD: Iată ceea ce s-a cerut să fie demonstrat.

Sarcini pentru a doua parte a teoremei sinusului:
1) Un trapez este înscris într-un cerc cu raza 15. Lungimile diagonalei și înălțimile trapezului sunt, respectiv, 20 și respectiv 6. Aflați latura.
2) Raza cercului circumscris în jurul trapezului este de 25, iar cosinusul unghiului său obtuz este -0,28 (minus!!!). Diagonala unui trapez formează un unghi cu baza. Aflați înălțimea trapezului.
3) Un trapez este înscris într-un cerc cu raza 10. Lungimile diagonalei și liniei mediane ale trapezului sunt 15 și, respectiv, 12. Aflați lungimea laturii laterale a trapezului.
4) Jocurile Olimpice în Academia Financiară 2009 Coardele cercului se intersectează în punctul Q. Se știe că raza cercului este de 4 cm. Aflați lungimea coardei PN. Olimpiada la Academia Financiară 2009
5) În triunghi PST . Un cerc cu o rază de 8 cm este circumscris în jurul punctului de intersecție a bisectoarelor sale și a vârfurilor P și T. Găsiți raza cercului circumscris triunghiului PST (problema autorului).

Un tutore de matematică vă va ajuta întotdeauna să analizați teorema sinusului în detaliu și să obțineți practica necesară pentru a o folosi în sarcini. Studiul ei școlar planificat se desfășoară la cursul de geometrie de clasa a IX-a la tema rezolvării triunghiurilor (pentru toate programele). Daca trebuie sa te pregatesti pentru examenul de matematica pentru a promova examenul cu minim 70 de puncte, va trebui sa te antrenezi in rezolvarea unor probleme planimetrice puternice din numere C4. În ele, teorema sinusului este adesea aplicată triunghiurilor înscrise având în vedere relația. Tine minte asta!

Cu stimă, Kolpakov Alexander Nikolaevici,
profesor de matematică

Absolvenții care se pregătesc să susțină examenul de matematică și doresc să obțină scoruri destul de mari trebuie să stăpânească cu siguranță principiul rezolvării problemelor folosind teorema sinusurilor și cosinusurilor. Practica pe termen lung arată că astfel de sarcini din secțiunea „Geometrie pe un avion” sunt o parte obligatorie a programului de testare de certificare. Prin urmare, dacă unul dintre dumneavoastră puncte slabe sunt sarcini pe teorema cosinusurilor și sinusurilor, vă recomandăm să repetați cu siguranță teoria de bază pe această temă.

Pregătiți-vă pentru examen cu portalul educațional „Shkolkovo”

Prinderea din urmă înainte promovarea examenului, mulți absolvenți se confruntă cu problema găsirii teoriei de bază necesare rezolvării problemelor practice privind aplicarea teoremei sinusurilor și cosinusurilor.

Manualul nu este întotdeauna la îndemână la momentul potrivit. Și găsirea formulelor necesare este uneori destul de problematică chiar și pe Internet.

Pregătirea pentru testul de certificare cu portal educațional Shkolkovo va fi de cea mai înaltă calitate și eficiență. Pentru a face sarcinile cu privire la teorema sinusurilor și cosinusurilor, vă recomandăm să reîmprospătați memoria întregii teorii pe această temă. Experții noștri au pregătit acest material pe baza unei experiențe bogate și l-au prezentat într-o formă ușor de înțeles. Îl găsiți în secțiunea „Referință teoretică”.

Cunoașterea teoremelor și definițiilor de bază este jumătate din succesul la trecerea testului de certificare. Exercițiile adecvate vă permit să vă îmbunătățiți abilitatea de a rezolva exemple. Pentru a le găsi, trebuie doar să accesați secțiunea Catalog de pe site-ul educațional Shkolkovo. Există o listă mare de sarcini. diferite niveluri complexitate, care este suplimentată și actualizată în mod constant.

Sarcini privind teoremele sinusurilor și cosinusurilor, similare cu cele găsite în examenul de stat unificat la matematică, studenții pot efectua online, în timp ce se află la Moscova sau în orice alt oraș rusesc.

Dacă este necesar, orice exercițiu, de exemplu, poate fi salvat în secțiunea „Favorite”. Acest lucru vă va permite să reveniți la acesta în viitor pentru a analiza din nou algoritmul pentru găsirea răspunsului corect și a discuta cu un profesor de la școală sau cu un tutore.

Trigonometria este utilizată pe scară largă nu numai în secțiunea de algebră - începutul analizei, ci și în geometrie. În acest sens, este rezonabil să presupunem existența teoremelor și a demonstrațiilor lor legate de funcțiile trigonometrice. Într-adevăr, teoremele cosinusului și sinusului derivă relații foarte interesante și, cel mai important, utile între laturile și unghiurile triunghiurilor.

Folosind această formulă, puteți obține oricare dintre laturile triunghiului:

Dovada afirmației este derivată pe baza teoremei lui Pitagora: pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

Luați în considerare un triunghi arbitrar ABC. De la vârful C coborâm înălțimea h până la baza figurii, în acest caz lungimea sa nu este absolut importantă. Acum, dacă luăm în considerare un triunghi arbitrar ACB, atunci putem exprima coordonatele punctului C prin trigonometric funcţiile cosși păcatul.

Amintiți-vă definiția cosinusului și scrieți raportul laturilor triunghiului ACD: cos α = AD/AC | înmulțiți ambele părți ale egalității cu AC; AD = AC * cos α.

Să luăm lungimea AC ca b și să obținem expresia pentru prima coordonată a punctului C:
x = b * cos⁡α. În mod similar, găsim valoarea ordonatei C: y = b * sin α. Apoi, aplicăm teorema lui Pitagora și exprimăm alternativ h pentru triunghiul ACD și DCB:

Evident, ambele expresii (1) și (2) sunt egale între ele. Echivalăm părțile din dreapta și dăm altele similare:

La practică formula dată vă permite să aflați lungimea laturii necunoscute a triunghiului prin unghiuri date. Teorema cosinusului are trei consecințe: pentru un unghi drept, acut și obtuz al unui triunghi.

Să înlocuim valoarea lui cos α cu variabila obișnuită x, apoi pentru unghiul ascuțit al triunghiului ABC obținem:

Dacă unghiul se dovedește a fi corect, atunci 2bx va dispărea din expresie, deoarece cos 90 ° \u003d 0. Grafic, a doua consecință poate fi reprezentată după cum urmează:

În cazul unui unghi obtuz, semnul „-” din fața argumentului dublu din formulă se va schimba în „+”:

După cum puteți vedea din explicație, nu este nimic complicat în raporturi. Teorema cosinusului nu este altceva decât un aranjament al teoremei lui Pitagora în mărimi trigonometrice.

Aplicarea practică a teoremei

Exercitiul 1. Dat un triunghi ABC cu latura BC = a = 4 cm, AC = b = 5 cm și cos α = ½. Aflați lungimea laturii AB.

Pentru a calcula corect, trebuie să determinați unghiul α. Pentru a face acest lucru, consultați tabelul de valori pentru funcțiile trigonometrice, conform căruia arcul cosinus este 1/2 pentru un unghi de 60 °. Pe baza acestui lucru, folosim formula primului corolar al teoremei:

Sarcina 2. Pentru triunghiul ABC toate laturile sunt cunoscute: AB =4√2,BC=5,AC=7. Este necesar să găsiți toate unghiurile figurii.

În acest caz, nu puteți face fără un desen al condițiilor problemei.

Deoarece valorile unghiurilor rămân necunoscute, ar trebui să se folosească formula completa pentru un unghi ascuțit.

Prin analogie, nu este dificil să formulați și să calculați valorile altor unghiuri:

În concluzie, cele trei unghiuri ale triunghiului ar trebui să fie de 180 °: 53 + 82 + 45 = 180, prin urmare, soluția este găsită.

Teorema sinusului

Teorema afirmă că toate laturile unui triunghi arbitrar sunt proporționale cu sinusurile unghiurilor opuse. Raporturile sunt scrise sub forma unei egalități triple:

Dovada clasică a afirmației se realizează pe exemplul unei figuri înscrise într-un cerc.

Pentru a verifica veridicitatea afirmației folosind exemplul triunghiului ABC din figură, este necesar să confirmăm faptul că 2R = BC / sin A. Apoi demonstrați că și celelalte laturi corespund sinusurilor unghiurilor opuse, cum ar fi 2R sau D unui cerc.

Pentru a face acest lucru, desenăm diametrul cercului de la vârful B. Din proprietățile unghiurilor înscrise într-un cerc, ∠GCB este o linie dreaptă, iar ∠CGB este fie egal cu ∠CAB, fie (π - ∠CAB). În cazul unui sinus, această din urmă împrejurare nu este semnificativă, deoarece sin (π -α) \u003d sin α. Pe baza concluziilor de mai sus, se poate afirma că:

sin ∠CGB = BC/ BG sau sin A = BC/2R,

Dacă luăm în considerare alte unghiuri ale figurii, obținem formula extinsă a teoremei sinusului: