Determinarea funcției inverse a proprietăților sale și grafic. Funcții reciproc inverse

Să fie incluse seturile $X$ și $Y$ în mulțimea numerelor reale. Să introducem conceptul de funcție inversabilă.

Definiția 1

O funcție $f:X\la Y$ care mapează o mulțime $X$ într-o mulțime $Y$ este numită inversabilă dacă pentru orice elemente $x_1,x_2\în X$ rezultă din faptul că $x_1\ne x_2$ că $f(x_1 )\ne f(x_2)$.

Acum putem introduce noțiunea de funcție inversă.

Definiția 2

Fie ca funcția $f:X\la Y$ care mapează setul $X$ în mulțimea $Y$ să fie inversabilă. Apoi funcția $f^(-1):Y\to X$ mapează mulțimea $Y$ în mulțimea $X$ și este definită de condiția $f^(-1)\left(y\right)=x$ se numește inversul pentru $f( x)$.

Să formulăm teorema:

Teorema 1

Fie definită funcția $y=f(x)$, monoton crescător (descrescător) și continuă într-un interval $X$. Apoi, în intervalul corespunzător $Y$ de valori ale acestei funcții, are o funcție inversă, care este, de asemenea, monoton crescătoare (descrescătoare) și continuă pe intervalul $Y$.

Să introducem acum în mod direct conceptul de funcții reciproc inverse.

Definiția 3

În cadrul Definiției 2, funcțiile $f(x)$ și $f^(-1)\left(y\right)$ sunt numite funcții reciproc inverse.

Proprietăți ale funcțiilor reciproc inverse

Fie ca funcțiile $y=f(x)$ și $x=g(y)$ să fie reciproc inverse, atunci

$y=f(g\stânga(y\dreapta))$ și $x=g(f(x))$

Domeniul funcției $y=f(x)$ este egal cu domeniul valorii funcției $\ x=g(y)$. Și domeniul funcției $x=g(y)$ este egal cu domeniul valorii funcției $\ y=f(x)$.

Graficele funcțiilor $y=f(x)$ și $x=g(y)$ sunt simetrice față de dreapta $y=x$.

Dacă una dintre funcții crește (descrește), atunci și cealaltă funcție crește (descrește).

Găsirea funcției inverse

Se rezolvă ecuația $y=f(x)$ față de variabila $x$.

Din rădăcinile obţinute se găsesc cele care aparţin intervalului $X$.

$x$ găsite sunt alocate numărului $y$.

Exemplul 1

Găsiți funcția inversă, pentru funcția $y=x^2$ pe intervalul $X=[-1,0]$

Deoarece această funcție este descrescătoare și continuă pe intervalul $X$, atunci pe intervalul $Y=$, care este tot descrescător și continuu pe acest interval (Teorema 1).

Calculați $x$:

\ \

Alegeți $x$ potrivit:

Răspuns: funcția inversă $y=-\sqrt(x)$.

Probleme pentru găsirea funcțiilor inverse

În această parte, luăm în considerare funcțiile inverse pentru unele funcții elementare. Sarcinile vor fi rezolvate conform schemei prezentate mai sus.

Exemplul 2

Găsiți funcția inversă pentru funcția $y=x+4$

Găsiți $x$ din ecuația $y=x+4$:

Exemplul 3

Găsiți funcția inversă pentru funcția $y=x^3$

Soluţie.

Deoarece funcția este crescătoare și continuă pe întregul domeniu de definiție, atunci, prin teorema 1, are o funcție inversă continuă și crescătoare asupra ei.

Găsiți $x$ din ecuația $y=x^3$:

Găsirea valorilor potrivite de $x$

Valoarea în cazul nostru este potrivită (deoarece domeniul de aplicare sunt toate numerele)

Redefinind variabilele, obținem că funcția inversă are forma

Exemplul 4

Găsiți funcția inversă pentru funcția $y=cosx$ pe intervalul $$

Soluţie.

Se consideră funcția $y=cosx$ pe mulțimea $X=\left$. Este continuă și descrescătoare pe mulțimea $X$ și mapează mulțimea $X=\left$ pe mulțimea $Y=[-1,1]$, prin urmare, prin teorema privind existența unei funcții monotone continue inverse, funcția $y=cosx$ în mulțimea $ Y$ există o funcție inversă, care este de asemenea continuă și crește în mulțimea $Y=[-1,1]$ și mapează mulțimea $[-1,1]$ la setul $\left$.

Găsiți $x$ din ecuația $y=cosx$:

Găsirea valorilor potrivite de $x$

Redefinind variabilele, obținem că funcția inversă are forma

Exemplul 5

Găsiți funcția inversă pentru funcția $y=tgx$ pe intervalul $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$.

Soluţie.

Se consideră funcția $y=tgx$ pe mulțimea $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$. Este continuă și crescătoare pe mulțimea $X$ și mapează mulțimea $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ pe mulțimea $Y =R$, deci, prin teorema privind existența unei funcții monotone continue inverse, funcția $y=tgx$ din mulțimea $Y$ are o funcție inversă, care este și ea continuă și crește în mulțimea $Y=R $ și mapează setul $R$ pe mulțimea $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$

Găsiți $x$ din ecuația $y=tgx$:

Găsirea valorilor potrivite de $x$

Redefinind variabilele, obținem că funcția inversă are forma

Ce este o funcție inversă? Cum să găsiți inversul funcției uneia date?

Definiție .

Fie funcția y=f(x) definită pe mulțimea D și E mulțimea valorilor sale. Funcția inversă față de funcția y=f(x) este o funcție x=g(y), care este definită pe mulțimea E și atribuie fiecărui y∈E o astfel de valoare x∈D încât f(x)=y.

Astfel, domeniul funcției y=f(x) este domeniul funcției inverse, iar domeniul y=f(x) este domeniul funcției inverse.

Pentru a găsi funcția inversă a funcției date y=f(x), trebuie :

1) În formula funcției, în loc de y, înlocuiți x, în loc de x - y:

2) Din egalitatea rezultată, exprimă y în termeni de x:

Aflați funcția inversă a funcției y=2x-6.

Funcțiile y=2x-6 și y=0,5x+3 sunt reciproc inverse.

Graficele funcțiilor directe și inverse sunt simetrice față de linia directă y=x(bisectoare ale sferturilor de coordonate I și III).

y=2x-6 și y=0,5x+3 - . Graficul unei funcții liniare este . Pentru a trasa o linie dreaptă, luăm două puncte.

Este posibil să se exprimi în mod unic y în termeni de x atunci când ecuația x=f(y) are o soluție unică. Acest lucru se poate face dacă funcția y=f(x) ia fiecare dintre valorile sale într-un singur punct al domeniului său de definiție (o astfel de funcție se numește reversibil).

Teoremă (condiție necesară și suficientă pentru ca o funcție să fie inversabilă)

Dacă funcția y=f(x) este definită și continuă pe un interval numeric, atunci pentru ca funcția să fie inversabilă este necesar și suficient ca f(x) să fie strict monoton.

Mai mult, dacă y=f(x) crește pe interval, atunci și funcția inversă acestuia crește pe acest interval; dacă y=f(x) este în scădere, atunci și funcția inversă este descrescătoare.

Dacă condiția de reversibilitate nu este satisfăcută pe întregul domeniu de definiție, se poate evidenția un interval în care funcția doar crește sau doar scade și pe acest interval găsim o funcție inversă celei date.

Exemplul clasic este . Intre

E (y) \u003d [-π / 2; π / 2]

y (-x) \u003d arcsin (-x) \u003d - arcsin x - funcție impară, graficul este simetric față de punctul O (0; 0).

arcsin x = 0 la x = 0.

arcsin x > 0 la x є (0; 1]

arcsin x< 0 при х є [-1;0)

y \u003d arcsin x crește pentru orice x є [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.

Arc cosinus

Funcția cosinus scade pe segment și ia toate valorile de la -1 la 1. Prin urmare, pentru orice număr a astfel încât |a|1, există o singură rădăcină în ecuația cosx=a pe segment. Acest număr în se numește arccosinus al numărului a și se notează arcos a.

Definiție . Arccosinusul numărului a, unde -1 a 1, este un număr din segmentul al cărui cosinus este egal cu a.

Proprietăți.

E(y) =
y (-x) \u003d arccos (-x) \u003d π - arccos x - funcția nu este nici pară, nici impară.
arccos x = 0 la x = 1
arccos x > 0 la x є [-1; 1)

arccos x< 0 – нет решений

y \u003d arccos x scade pentru orice x є [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1 ≥ arcsin x 2 - în scădere.

Arctangent

Funcția tangentă crește pe segmentul -
, prin urmare, conform teoremei rădăcinii, ecuația tgx \u003d a, unde a este orice număr real, are o rădăcină unică x pe intervalul -. Această rădăcină se numește arc tangentă a numărului a și se notează cu arctga.

Definiție. Arc tangentă a unui număr AR acest număr se numește x , a cărui tangentă este a.

Proprietăți.

E (y) \u003d (-π / 2; π / 2)

y(-x) \u003d y \u003d arctg (-x) \u003d - arctg x - funcția este impară, graficul este simetric față de punctul O (0; 0).

arctg x = 0 la x = 0

Funcția crește pentru orice x є R

-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>arctg x 1< arctg х 2

Arc tangentă

Funcția cotangentă pe intervalul (0;) scade și ia toate valorile de la R. Prin urmare, pentru orice număr a din intervalul (0;) există o singură rădăcină a ecuației ctg x = a. Acest număr a se numește arc tangentă a numărului a și este notat cu arcctg a.

Definiție. Arc-tangente a unui număr a, unde R, este un astfel de număr din intervalul (0;) , a cărui cotangentă este a.

Proprietăți.

E(y) = (0; π)

y (-x) \u003d arcctg (-x) \u003d π - arcctg x - funcția nu este nici pară, nici impară.

arcctg x = 0- nu exista.

Funcţie y = arcctg x scade pentru orice х є R

-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>arcctg x 1 > arcctg x 2

Funcția este continuă pentru orice x є R.

2.3 Transformări identitare ale expresiilor care conțin funcții trigonometrice inverse

Exemplul 1. Simplificați expresia:

dar)
Unde

Soluţie. Sa punem
. Apoi
Și
A găsi
, folosim relația
Primim
Dar . Pe acest segment, cosinusul ia doar valori pozitive. În acest fel,
, adică
Unde
.

Soluţie.

în)

Soluţie. Sa punem
. Apoi
Și
Să găsim mai întâi, pentru care folosim formula
, Unde
Deoarece cosinusul ia doar valori pozitive pe acest interval, atunci
.

Obiectivele lecției:

Educational:

să formeze cunoștințe pe o temă nouă în conformitate cu materialul programului;
să studieze proprietatea inversibilității unei funcții și să învețe cum să găsească o funcție inversă uneia date;

În curs de dezvoltare:

dezvoltarea abilităților de autocontrol, vorbirea subiectului;
stăpânește conceptul de funcție inversă și învață metodele de găsire a unei funcții inverse;

Educațional: pentru a forma competență comunicativă.

Echipament: computer, proiector, ecran, tablă interactivă SMART Board, fișă (lucrare independentă) pentru lucru în grup.

În timpul orelor.

1. Moment organizatoric.

Ţintă – pregătirea elevilor pentru lucrul la clasă:

Definiția absent,

Atitudinea elevilor față de muncă, organizarea atenției;

Mesaj despre subiectul și scopul lecției.

2. Actualizarea cunoștințelor de bază ale elevilor. sondaj frontal.

țintă - pentru a stabili corectitudinea si constientizarea materialului teoretic studiat, repetarea materialului parcurs.<Приложение 1 >

Un grafic al funcției este afișat pe tabla interactivă pentru studenți. Profesorul formulează sarcina - să ia în considerare graficul funcției și să enumere proprietățile studiate ale funcției. Elevii listează proprietățile unei funcții în conformitate cu proiectul de cercetare. Profesorul, în dreapta graficului funcției, notează proprietățile numite cu un marker pe tabla interactivă.

Proprietățile funcției:

La sfârșitul studiului, profesorul raportează că astăzi la lecție se vor familiariza cu încă o proprietate a unei funcții - reversibilitatea. Pentru un studiu semnificativ al materialului nou, profesorul îi invită pe copii să se familiarizeze cu principalele întrebări la care elevii trebuie să răspundă la sfârșitul lecției. Întrebările sunt scrise pe o tablă obișnuită și fiecare elev are o fișă (distribuită înainte de lecție)

Ce este o funcție reversibilă?
Fiecare funcție este reversibilă?
Care este funcția dată inversă?
Cum sunt legate domeniul de definiție și setul de valori ale unei funcții și funcția sa inversă?
Dacă funcția este dată analitic, cum definiți funcția inversă cu o formulă?
Dacă o funcție este dată grafic, cum se trasează funcția inversă?

3. Explicarea materialului nou.

Ţintă - să formeze cunoștințe pe o temă nouă în conformitate cu materialul programului; să studieze proprietatea inversibilității unei funcții și să învețe cum să găsească o funcție inversă uneia date; dezvolta subiectul.

Profesorul efectuează o prezentare a materialului în conformitate cu materialul din paragraf. Pe tabla interactivă, profesorul compară graficele a două funcții ale căror domenii de definiție și seturi de valori sunt aceleași, dar una dintre funcții este monotonă, iar cealaltă nu, aducând astfel elevii sub conceptul de funcție inversabilă. .

Profesorul formulează apoi definiția unei funcții inversabile și efectuează o demonstrație a teoremei funcției inversabile folosind graficul funcției monotone de pe tabla interactivă.

Definiția 1: Se numește funcția y=f(x), x X reversibil, dacă ia oricare dintre valorile sale numai într-un punct al setului X.

Teoremă: Dacă funcția y=f(x) este monotonă pe mulțimea X , atunci este inversabilă.

Dovada:

Lasă funcția y=f(x) creste cu X lăsați-l să plece x 1 ≠ x 2- două puncte ale setului X.
Pentru certitudine, lăsați x 1< x 2.
Apoi de la ce x 1< x 2 urmează că f(x 1) < f(x 2).
Astfel, diferite valori ale argumentului corespund diferitelor valori ale funcției, adică. functia este reversibila.

(În timpul demonstrării teoremei, profesorul face toate explicațiile necesare asupra desenului cu un marker)

Înainte de a formula definiția unei funcții inverse, profesorul le cere elevilor să determine care dintre funcțiile propuse este reversibilă? Tabla interactivă prezintă grafice ale funcțiilor și sunt scrise câteva funcții definite analitic:

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

Profesorul introduce definiția unei funcții inverse.

Definiția 2: Fie o funcție inversabilă y=f(x) definite pe platou XȘi E(f)=Y. Să potrivim fiecare y din Y atunci singurul sens X, la care f(x)=y. Apoi obținem o funcție care este definită pe Y, dar X este intervalul funcției

Aceasta functie este notata x=f -1 (y)și se numește inversul funcției y=f(x).

Elevii sunt invitați să tragă o concluzie despre relația dintre domeniul definiției și setul de valori ale funcțiilor inverse.

Pentru a lua în considerare întrebarea cum să găsiți funcția inversă a unui dat, profesorul a implicat doi elevi. Cu o zi înainte, copiii au primit sarcina de la profesor să analizeze în mod independent metodele analitice și grafice de găsire a funcției date inverse. Profesorul a acționat ca un consultant în pregătirea elevilor pentru lecție.

Mesaj de la primul student.

Notă: monotonitatea unei funcții este suficient condiție pentru existența unei funcții inverse. Dar nu este conditie necesara.

Elevul a dat exemple de diverse situații când funcția nu este monotonă, ci reversibilă, când funcția nu este monotonă și nu este reversibilă, când este monotonă și reversibilă

Apoi elevul prezintă elevilor metoda de găsire a funcției inverse dată analitic.

Algoritm de găsire

Asigurați-vă că funcția este monotonă.
Exprimați x în termeni de y.
Redenumiți variabilele. În loc de x \u003d f -1 (y), se scrie y \u003d f -1 (x)

Apoi rezolvă două exemple pentru a găsi funcția inversului dat.

Exemplul 1: Arătați că există o funcție inversă pentru funcția y=5x-3 și găsiți expresia ei analitică.

Soluţie. Funcția liniară y=5x-3 este definită pe R, crește pe R și intervalul ei este R. Prin urmare, funcția inversă există pe R. Pentru a găsi expresia ei analitică, rezolvăm ecuația y=5x-3 în raport cu X; obținem Aceasta este funcția inversă dorită. Este definită și crește cu R.

Exemplul 2: Arătați că există o funcție inversă pentru funcția y=x 2 , x≤0 și găsiți expresia ei analitică.

Funcția este continuă, monotonă în domeniul său de definire, prin urmare, este inversabilă. După ce s-au analizat domeniile de definiție și setul de valori ale funcției, se face o concluzie corespunzătoare despre expresia analitică pentru funcția inversă.

Al doilea elev face o prezentare despre grafic cum se află funcția inversă. În cursul explicației sale, studentul folosește capacitățile tablei interactive.

Pentru a obține graficul funcției y=f -1 (x), invers cu funcția y=f(x), este necesar să se transforme graficul funcției y=f(x) simetric față de dreapta y=x.

În timpul explicației pe tabla interactivă, se realizează următoarea sarcină:

Construiți un grafic al unei funcții și un grafic al funcției sale inverse în același sistem de coordonate. Scrieți o expresie analitică pentru funcția inversă.

4. Fixarea primară a noului material.

țintă - să stabilească corectitudinea și conștientizarea înțelegerii materialului studiat, să identifice lacune în înțelegerea primară a materialului, să le corecteze.

Elevii sunt împărțiți în perechi. Li se dau fișe cu sarcini în care lucrează în perechi. Timpul de finalizare a lucrării este limitat (5-7 minute). O pereche de elevi lucrează la computer, proiectorul este oprit pentru această perioadă, iar restul copiilor nu poate vedea cum lucrează elevii la computer.

La sfârșitul timpului (se presupune că majoritatea elevilor au finalizat lucrarea), tabla interactivă (proiectorul se aprinde din nou) arată munca elevilor, unde se clarifică în timpul testului că sarcina a fost finalizată în perechi. Dacă este necesar, profesorul efectuează lucrări corective, explicative.

Munca independentă în perechi<Anexa 2 >

5. Rezultatul lecției. La întrebările care au fost puse înainte de prelegere. Anunțarea notelor la lecție.

Tema pentru acasă §10. №№ 10.6(а,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

Algebra și începuturile analizei. Clasa 10 În 2 părți pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova și alții; ed. A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

Funcții reciproc inverse.

Fie ca funcția să fie strict monotonă (creștere sau descrescătoare) și continuă pe domeniul definiției, domeniul acestei funcții, apoi pe interval este definită o funcție continuă strict monotonă cu un interval de valori, care este invers pentru .

Cu alte cuvinte, este logic să vorbim despre funcția inversă pentru o funcție pe un anumit interval dacă fie crește, fie scade pe acest interval.

Funcții f Și g sunt numite reciproce.

De ce să luăm în considerare conceptul de funcții inverse?

Acest lucru este cauzat de problema rezolvării ecuațiilor. Soluțiile sunt doar scrise în termeni de funcții inverse.

Considera câteva exemple de găsire a funcțiilor inverse .

Să începem cu funcții liniare reciproc inverse.

Găsiți funcția inversă pentru.

Această funcție este liniară, graficul ei este o linie dreaptă. Prin urmare, funcția este monotonă pe întregul domeniu al definiției. Prin urmare, vom căuta funcția inversă acesteia pe întregul domeniu de definiție.

Expres X peste y (cu alte cuvinte, rezolvați ecuația pentru X ).

- aceasta este funcția inversă, adevărul este aici y este un argument, și X este funcția acestui argument. Pentru a nu rupe obiceiurile în notație (acest lucru nu are o importanță fundamentală), rearanjarea literelor X Și y , va scrie .

Astfel, și sunt funcții reciproc inverse.

Să dăm o ilustrare grafică a funcțiilor liniare reciproc inverse.

Evident, graficele sunt simetrice față de linia dreaptă. (bisectoare ale primului și al treilea trimestru). Aceasta este una dintre proprietățile funcțiilor reciproc inverse, care va fi discutată mai jos.

Găsiți funcția inversă.

Această funcție este pătrată, graficul este o parabolă cu vârf într-un punct.

Funcția crește pe măsură ce și scade pe măsură ce . Aceasta înseamnă că se poate căuta funcția inversă pentru una dată pe unul dintre cele două intervale.

Fie, deci, și, schimbând x și y, obținem o funcție inversă pe un interval dat: .

Găsiți funcția inversă.

Această funcție este cubică, graficul este o parabolă cubică cu vârf într-un punct.

Funcția crește la. Aceasta înseamnă că este posibil să căutați o funcție inversă pentru una dată pe întregul domeniu de definiție.

, iar prin schimbul x și y, obținem funcția inversă.

Să ilustrăm acest lucru pe un grafic.

Să facem o listă proprietăţile funcţiilor reciproc inverse Și.

Și.

Din prima proprietate se poate observa că sfera unei funcții coincide cu sfera funcției și invers.

Graficele funcțiilor reciproc inverse sunt simetrice față de o dreaptă.

Dacă crește, atunci crește; dacă scade, atunci scade.

Pentru o funcție dată, găsiți funcția inversă:

Pentru o funcție dată, găsiți inversul și reprezentați grafic funcțiile date și inverse:

Aflați dacă există o funcție inversă pentru funcția dată. Dacă da, atunci definiți funcția inversă analitic, reprezentați grafic funcția dată și inversă:

Găsiți domeniul și intervalul funcției invers față de funcție dacă:

Aflați intervalul fiecăreia dintre funcțiile reciproc inverse și, dacă intervalele lor sunt date:

Sunt funcțiile reciproc inverse dacă:

Găsiți funcția inversă celei date. Trasează pe același sistem de coordonate graficele acestor funcții reciproc inverse:
Este această funcție inversă față de ea însăși: Definiți o funcție inversă celei date și trasați graficul acesteia: