Definiție.Triunghi dreptunghic - triunghi, unul dintre unghiurile căruia este drept (egal).

Un triunghi dreptunghic este un caz special al unui triunghi obișnuit. Prin urmare, toate proprietățile triunghiurilor obișnuite pentru cele dreptunghiulare sunt păstrate. Dar există unele proprietăți particulare datorate prezenței unui unghi drept.

Notație comună (fig. 1):

- unghi drept;

- ipotenuză;

- picioare;

.

Orez. unu.

DINproprietățile triunghiului dreptunghic.

Proprietatea 1. Suma unghiurilor și a unui triunghi dreptunghic este .

Dovada. Amintiți-vă că suma unghiurilor oricărui triunghi este . Având în vedere faptul că , obținem că suma celor două unghiuri rămase este Adică,

Proprietatea 2. Într-un triunghi dreptunghic ipotenuză mai mult decât oricare dintre picioare(este cea mai mare parte).

Dovada. Amintiți-vă că într-un triunghi opus unghiului mai mare se află latura mai mare (și invers). Din proprietatea 1 demonstrată mai sus rezultă că suma unghiurilor și a triunghiului dreptunghic este egală cu . Deoarece unghiul unui triunghi nu poate fi 0, fiecare dintre ele este mai mic decât . Aceasta înseamnă că este cea mai mare, ceea ce înseamnă că cea mai mare latură a triunghiului se află vizavi. Prin urmare, ipotenuza este cea mai mare latură a unui triunghi dreptunghic, adică:.

Proprietatea 3. Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este mai mică decât suma catetelor.

Dovada. Această proprietate devine clară dacă ne amintim inegalitatea triunghiulară.

inegalitatea triunghiulară

În orice triunghi, suma oricăror două laturi este mai mare decât a treia latură.

Proprietatea 3 decurge imediat din această inegalitate.

Notă:în ciuda faptului că fiecare catete individual este mai mic decât ipotenuza, suma lor se dovedește a fi mai mare. Într-un exemplu numeric, arată astfel: , dar .

în:

Primul semn (pe 2 laturi și unghiul dintre ele): dacă două triunghiuri au laturile egale și unghiul dintre ele, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Al doilea semn (pe lateral și două unghiuri adiacente): dacă triunghiurile au latura egală și două unghiuri adiacente unei laturi date, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente. Notă: folosind faptul că suma unghiurilor unui triunghi este constantă și egală cu , este ușor de demonstrat că nu este necesară condiția de „adiacență” a unghiurilor, adică semnul va fi adevărat în următoarea formulare: „... o latură și două unghiuri sunt egale, atunci...”.

Al treilea semn (pe 3 laturi): dacă toate cele trei laturi ale unui triunghi sunt egale, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Desigur, toate aceste semne rămân adevărate pentru triunghiuri dreptunghiulare. Cu toate acestea, triunghiurile dreptunghiulare au o caracteristică esențială - au întotdeauna o pereche de unghiuri drepte egale. Prin urmare, aceste semne sunt simplificate pentru ei. Deci, să formulăm semnele de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare:

Primul semn (pe două picioare): dacă catetele triunghiului dreptunghic sunt egale în perechi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale între ele (Fig. 2).

Dat:

Orez. 2. Ilustrarea primului semn de egalitate a triunghiurilor dreptunghice

Dovedi:

Dovada:în triunghiuri dreptunghiulare: . Deci, putem folosi primul semn de egalitate al triunghiurilor (pe 2 laturi și unghiul dintre ele) și obținem: .

2-al-lea semn (pe picior și unghi): dacă cateta și unghiul ascuțit al unui triunghi dreptunghic sunt egale cu cateta și unghiul ascuțit al altui triunghi dreptunghic, atunci astfel de triunghiuri sunt egale între ele (Fig. 3).

Dat:

Orez. 3. Ilustrarea celui de-al doilea semn de egalitate a triunghiurilor dreptunghiulare

Dovedi:

Dovada: observăm imediat că faptul că unghiurile adiacente catetelor egale sunt egale nu este fundamental. Într-adevăr, suma unghiurilor acute ale unui triunghi dreptunghic (prin proprietatea 1) este egală cu . Prin urmare, dacă o pereche de aceste unghiuri este egală, atunci cealaltă este egală (deoarece sumele lor sunt aceleași).

Dovada acestei caracteristici se rezumă la utilizare al doilea semn al egalității triunghiurilor(la 2 colturi si laterale). Într-adevăr, după condiție, picioarele și o pereche de unghiuri adiacente acestora sunt egale. Dar a doua pereche de unghiuri adiacente lor constă din unghiuri . Deci, putem folosi al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor și obținem: .

Al treilea semn (după ipotenuză și unghi): dacă ipotenuza și unghiul ascuțit al unui triunghi dreptunghic sunt egale cu ipotenuza și unghiul ascuțit al altui triunghi dreptunghic, atunci astfel de triunghiuri sunt egale între ele (fig. 4).

Dat:

Orez. 4. Ilustrarea celui de-al treilea semn de egalitate a triunghiurilor dreptunghiulare

Dovedi:

Dovada: pentru a dovedi acest semn, puteți utiliza imediat al doilea semn al egalității triunghiurilor- de latura si doua unghiuri (mai precis, de consecinta, care spune ca unghiurile nu trebuie sa fie adiacente laturii). Într-adevăr, prin condiția: , , și din proprietățile triunghiurilor dreptunghic rezultă că . Deci, putem folosi al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor și obținem: .

Al 4-lea semn (după ipotenuză și catet): dacă ipotenuza și catetul unui triunghi dreptunghic sunt egale, respectiv, cu ipotenuza și catetul altui triunghi dreptunghic, atunci astfel de triunghiuri sunt egale între ele (Fig. 5).

Dat:

Orez. 5. Ilustrarea celui de-al patrulea semn de egalitate a triunghiurilor dreptunghiulare

Dovedi:

Dovada: Pentru a demonstra acest semn, vom folosi semnul egalității triunghiurilor, pe care l-am formulat și demonstrat în ultima lecție și anume: dacă triunghiurile au două laturi egale și un unghi mai mare, atunci astfel de triunghiuri sunt egale. Într-adevăr, prin condiție avem două laturi egale. În plus, prin proprietatea triunghiurilor dreptunghiulare: . Rămâne de demonstrat că unghiul drept este cel mai mare din triunghi. Să presupunem că nu este cazul, ceea ce înseamnă că trebuie să mai existe cel puțin un unghi mai mare decât . Dar atunci suma unghiurilor triunghiului va fi deja mai mare. Dar acest lucru este imposibil, ceea ce înseamnă că un astfel de unghi nu poate exista într-un triunghi. Prin urmare, unghiul drept este cel mai mare dintr-un triunghi dreptunghic. Deci, puteți folosi semnul formulat mai sus și obțineți: .

Formulăm acum încă o proprietate, care este caracteristică doar pentru triunghiuri dreptunghiulare.

Proprietate

Catpul opus unghiului la este de 2 ori mai mic decât ipotenuza(Fig. 6).

Dat:

Orez. 6.

Dovedi:AB

Dovada: efectuați o construcție suplimentară: extindeți linia dincolo de punct cu un segment egal cu . Să obținem un punct. Deoarece unghiurile și sunt adiacente, suma lor este egală cu . Din moment ce , atunci unghiul .

Deci triunghiuri dreptunghiulare (prin două catete: - general, - prin construcție) - primul semn al egalității triunghiurilor dreptunghiulare.

Din egalitatea triunghiurilor rezultă egalitatea tuturor elementelor corespunzătoare. Mijloace, . Unde: . În plus, (din egalitatea tuturor acelorași triunghiuri). Aceasta înseamnă că triunghiul este isoscel (deoarece are unghiuri egale la bază), dar un triunghi isoscel, unul dintre unghiurile căruia este egal, este echilateral. De aici rezultă, în special, că .

Proprietatea piciorului opus unghiului in

Este de remarcat faptul că afirmația inversă este și adevărată: dacă într-un triunghi dreptunghic ipotenuza este de două ori mai mare decât unul dintre catete, atunci unghiul ascuțit opus acestui catete este egal cu.

Notă: semnînseamnă că dacă o afirmație este adevărată, atunci triunghiul este un triunghi dreptunghic. Adică, caracteristica vă permite să identificați un triunghi dreptunghic.

Este important să nu confundați semnul cu proprietate- adică dacă triunghiul este dreptunghic, atunci are astfel de proprietăți ... Adesea semnele și proprietățile sunt reciproc inverse, dar nu întotdeauna. De exemplu, proprietatea unui triunghi echilateral: un triunghi echilateral are un unghi. Dar acesta nu va fi un semn al unui triunghi echilateral, deoarece nu orice triunghi care are un unghi, este echilaterală.

Rezolvarea problemelor geometrice necesită o cantitate imensă de cunoștințe. Una dintre definițiile fundamentale ale acestei științe este triunghiul dreptunghic.

Acest concept înseamnă format din trei colțuri și

laturi, iar valoarea unuia dintre unghiuri este de 90 de grade. Laturile care formează un unghi drept se numesc catete, în timp ce a treia latură care este opusă se numește ipotenuză.

Dacă catetele dintr-o astfel de figură sunt egale, se numește triunghi dreptunghic isoscel. În acest caz, există o apartenență la două, ceea ce înseamnă că sunt respectate proprietățile ambelor grupuri. Amintiți-vă că unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt absolut întotdeauna egale, prin urmare, unghiurile acute ale unei astfel de figuri vor include 45 de grade fiecare.

Prezența uneia dintre următoarele proprietăți ne permite să afirmăm că un triunghi dreptunghic este egal cu altul:

1. catetele a două triunghiuri sunt egale;
2. figurile au aceeași ipotenuză și unul dintre catete;
3. ipotenuza și oricare dintre unghiurile ascuțite sunt egale;
4. se respecta conditia de egalitate a piciorului si a unghiului ascutit.

Aria unui triunghi dreptunghic poate fi calculată cu ușurință atât folosind formule standard, cât și ca valoare egală cu jumătate din produsul catetelor sale.

Într-un triunghi dreptunghic se observă următoarele relații:

1. catetul nu este altceva decât media proporțională cu ipotenuză și proiecția acesteia pe ea;
2. dacă descrii un cerc în jurul unui triunghi dreptunghic, centrul acestuia va fi în mijlocul ipotenuzei;
3. înălțimea trasată din unghiul drept este media proporțională cu proiecțiile catetelor triunghiului asupra ipotenuzei sale.

Este interesant că indiferent care este triunghiul dreptunghic, aceste proprietăți sunt întotdeauna respectate.

teorema lui Pitagora

În plus față de proprietățile de mai sus, triunghiurile dreptunghiulare sunt caracterizate de următoarea condiție:

Această teoremă este numită după fondatorul ei - teorema lui Pitagora. El a descoperit această relație când studia proprietățile pătratelor pe care se construiesc

Pentru a demonstra teorema, construim un triunghi ABC, ale cărui catete le notăm a și b, și ipotenuza c. În continuare, vom construi două pătrate. O parte va fi ipotenuza, cealaltă suma a două catete.

Apoi, aria primului pătrat poate fi găsită în două moduri: ca sumă a ariilor celor patru triunghiuri ABC și a celui de-al doilea pătrat sau ca pătrat al laturii, desigur, aceste rapoarte vor fi egale. adica:

cu 2 + 4 (ab/2) = (a + b) 2 , transformăm expresia rezultată:

c 2 +2 ab = a 2 + b 2 + 2 ab

Ca rezultat, obținem: c 2 \u003d a 2 + b 2

Astfel, figura geometrică a unui triunghi dreptunghic corespunde nu numai tuturor proprietăților caracteristice triunghiurilor. Prezența unui unghi drept duce la faptul că figura are alte relații unice. Studiul lor este util nu numai în știință, ci și în viața de zi cu zi, deoarece o astfel de figură ca un triunghi dreptunghic se găsește peste tot.

Nivel mediu

Triunghi dreptunghic. Ghid ilustrat complet (2019)

TRIUNGHI DREPTUNGHIC. PRIMUL NIVEL.

În probleme, un unghi drept nu este deloc necesar - cel din stânga jos, așa că trebuie să învățați cum să recunoașteți un triunghi dreptunghic sub această formă,

si in asa ceva

si in asa ceva

Ce este bun la un triunghi dreptunghic? Ei bine... în primul rând, există nume deosebite frumoase pentru petrecerile lui.

Atentie la desen!

Amintiți-vă și nu confundați: catete - două, iar ipotenuza - doar una(singura, unică și cea mai lungă)!

Ei bine, am discutat despre nume, acum cel mai important lucru: Teorema lui Pitagora.

Teorema lui Pitagora.

Această teoremă este cheia pentru rezolvarea multor probleme care implică un triunghi dreptunghic. A fost dovedit de Pitagora în vremuri cu totul imemoriale, iar de atunci a adus multe beneficii celor care îl cunosc. Și cel mai bun lucru la ea este că este simplă.

Asa de, Teorema lui Pitagora:

Îți amintești gluma: „Pantalonii pitagoreici sunt egali din toate părțile!”?

Să desenăm acești pantaloni foarte pitagoreici și să ne uităm la ei.

Chiar arată ca niște pantaloni scurți? Ei bine, în ce părți și unde sunt egale? De ce și de unde a venit gluma? Și această glumă este legată tocmai de teorema lui Pitagora, mai exact de modul în care Pitagora însuși și-a formulat teorema. Și a formulat astfel:

"Sumă suprafata de patrate, construit pe picioare, este egal cu suprafata patrata construit pe ipotenuză.

Nu sună puțin diferit, nu-i așa? Și așa, atunci când Pitagora a desenat enunțul teoremei sale, s-a dovedit o astfel de imagine.

În această imagine, suma suprafețelor pătratelor mici este egală cu aria pătratului mare. Și pentru ca copiii să-și amintească mai bine că suma pătratelor picioarelor este egală cu pătratul ipotenuzei, cineva plin de duh a inventat această glumă despre pantalonii pitagoreici.

De ce formulăm acum teorema lui Pitagora?

A suferit Pitagora și a vorbit despre pătrate?

Vezi tu, în vremurile străvechi nu exista... algebră! Nu erau semne și așa mai departe. Nu existau inscripții. Vă puteți imagina cât de groaznic a fost pentru bieții studenți antici să memoreze totul cu cuvinte?! Și ne putem bucura că avem o formulare simplă a teoremei lui Pitagora. Să o repetăm ​​din nou pentru a ne aminti mai bine:

Acum ar trebui să fie ușor:

Pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

Ei bine, a fost discutată cea mai importantă teoremă despre un triunghi dreptunghic. Dacă sunteți interesat de modul în care se dovedește, citiți următoarele niveluri de teorie și acum să trecem mai departe... în pădurea întunecată... a trigonometriei! La cuvintele teribile sinus, cosinus, tangent și cotangent.

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă într-un triunghi dreptunghic.

De fapt, totul nu este deloc atât de înfricoșător. Desigur, definiția „reala” a sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei ar trebui să fie analizată în articol. Dar chiar nu vrei, nu? Ne putem bucura: pentru a rezolva probleme despre un triunghi dreptunghic, puteți completa pur și simplu următoarele lucruri simple:

De ce este totul despre colț? Unde este coltul? Pentru a înțelege acest lucru, trebuie să știți cum sunt scrise afirmațiile 1 - 4 în cuvinte. Priviți, înțelegeți și amintiți-vă!

1.
De fapt sună așa:

Dar unghiul? Există un picior care este opus colțului, adică piciorul opus (pentru colț)? Bineînțeles că au! Acesta este un catet!

Dar ce zici de unghi? Privește cu atenție. Care picior este adiacent colțului? Desigur, pisica. Deci, pentru unghi, piciorul este adiacent și

Și acum, atenție! Uite ce avem:

Vezi ce grozav este:

Acum să trecem la tangentă și cotangentă.

Cum să o exprim în cuvinte acum? Ce este piciorul în raport cu colțul? Vizavi, desigur - „se află” vizavi de colț. Și catetul? Adiacent colțului. Deci ce am primit?

Vedeți cum sunt inversate numărătorul și numitorul?

Și acum din nou colțurile și am făcut schimbul:

rezumat

Să scriem pe scurt ce am învățat.

Teorema lui Pitagora:

Teorema principală a triunghiului dreptunghic este teorema lui Pitagora.

teorema lui Pitagora

Apropo, vă amintiți bine ce sunt catetele și ipotenuza? Dacă nu, atunci uită-te la imagine - reîmprospătează-ți cunoștințele

Este posibil să fi folosit deja teorema lui Pitagora de multe ori, dar te-ai întrebat vreodată de ce o astfel de teoremă este adevărată. Cum ai dovedi asta? Să facem ca grecii antici. Să desenăm un pătrat cu o latură.

Vezi cât de viclean i-am împărțit laturile în segmente de lungimi și!

Acum să conectăm punctele marcate

Aici, însă, am notat altceva, dar tu însuți te uiți la poză și te gândești de ce.

Care este aria pătratului mai mare?

Dreapta, .

Dar zona mai mică?

Cu siguranță, .

Suprafața totală a celor patru colțuri rămâne. Imaginează-ți că am luat doi dintre ei și ne-am sprijinit unul de celălalt cu ipotenuze.

Ce s-a întâmplat? Două dreptunghiuri. Deci, aria „butașilor” este egală.

Să punem totul împreună acum.

Să transformăm:

Așa că l-am vizitat pe Pitagora - i-am demonstrat teorema într-un mod antic.

Triunghi dreptunghic și trigonometrie

Pentru un triunghi dreptunghic sunt valabile următoarele relații:

Sinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză

Cosinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul catetei adiacente și ipotenuză.

Tangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre catetul opus și catetul adiacent.

Cotangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre piciorul adiacent și cel opus.

Și încă o dată, toate acestea sub formă de farfurie:

Este foarte convenabil!

Semne de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare

I. Pe două picioare

II. Prin catenă și ipotenuză

III. Prin ipotenuză și unghi ascuțit

IV. De-a lungul piciorului și unghi ascuțit

A)

b)

Atenţie! Aici este foarte important ca picioarele să fie „corespondente”. De exemplu, dacă merge așa:

ATUNCI TRIANGULILE NU SUNT EGALE, în ciuda faptului că au un unghi ascuțit identic.

Trebuie sa în ambele triunghiuri piciorul era adiacent, sau în ambele - opuse.

Ați observat cum diferă semnele de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare de semnele obișnuite de egalitate ale triunghiurilor?

Priviți subiectul „și acordați atenție faptului că pentru egalitatea triunghiurilor „obișnuite”, aveți nevoie de egalitatea celor trei elemente ale acestora: două laturi și un unghi între ele, două unghiuri și o latură între ele sau trei laturi.

Dar pentru egalitatea triunghiurilor dreptunghiulare sunt suficiente doar două elemente corespunzătoare. E grozav, nu?

Aproximativ aceeași situație cu semne de asemănare a triunghiurilor dreptunghiulare.

Semne de asemănare ale triunghiurilor dreptunghiulare

I. Colţ acut

II. Pe două picioare

III. Prin catenă și ipotenuză

Mediana într-un triunghi dreptunghic

De ce este așa?

Luați în considerare un dreptunghi întreg în loc de un triunghi dreptunghic.

Să desenăm o diagonală și să luăm în considerare un punct - punctul de intersecție al diagonalelor. Ce știi despre diagonalele unui dreptunghi?

Și ce rezultă din asta?

Deci s-a întâmplat că

1. - mediana:

Amintiți-vă acest fapt! Ajută mult!

Ceea ce este și mai surprinzător este că și invers este adevărat.

La ce se poate câștiga din faptul că mediana trasată la ipotenuză este egală cu jumătate din ipotenuză? Să ne uităm la poză

Privește cu atenție. Avem: , adică distanțele de la punct la toate cele trei vârfuri ale triunghiului s-au dovedit a fi egale. Dar într-un triunghi există un singur punct, distanțele de la care aproximativ toate cele trei vârfuri ale triunghiului sunt egale, iar acesta este CENTRUL CIRCULUI descris. Deci ce s-a întâmplat?

Deci, să începem cu acest „în afară de...”.

Să ne uităm la eu.

Dar în triunghiuri similare toate unghiurile sunt egale!

Același lucru se poate spune despre și

Acum să o desenăm împreună:

Ce folos se poate trage din această asemănare „trilă”.

Ei bine, de exemplu - două formule pentru înălțimea unui triunghi dreptunghic.

Scriem relațiile părților corespunzătoare:

Pentru a găsi înălțimea, rezolvăm proporția și obținem prima formulă „Înălțimea într-un triunghi dreptunghic”:

Deci, să aplicăm asemănarea: .

Ce se va întâmpla acum?

Din nou rezolvăm proporția și obținem a doua formulă:

Ambele formule trebuie amintite foarte bine și cea care este mai convenabilă de aplicat.

Să le scriem din nou.

Teorema lui Pitagora:

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor:.

Semne de egalitate a triunghiurilor dreptunghiulare:

• pe doua picioare:
• de-a lungul catetei și ipotenuzei: or
• de-a lungul piciorului și unghiului ascuțit adiacent: sau
• de-a lungul piciorului și unghiului acut opus: or
• prin ipotenuză şi unghi ascuţit: or.

Semne de asemănare ale triunghiurilor dreptunghiulare:

• un colţ ascuţit: sau
• din proporționalitatea celor două picioare:
• din proporționalitatea catetei și ipotenuzei: or.

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă într-un triunghi dreptunghic

• Sinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și ipotenuză:
• Cosinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul catetei adiacente la ipotenuză:
• Tangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și cel alăturat:
• Cotangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și opusul:.

Înălțimea unui triunghi dreptunghic: sau.

Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasă din vârful unghiului drept este egală cu jumătate din ipotenuză: .

Aria unui triunghi dreptunghic:

• prin catetere:
• prin picior si un unghi ascutit: .

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, atunci ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă ai citit până la capăt, atunci ești în 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ți-ai dat seama de teoria pe această temă. Și, repet, este... pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru promovarea cu succes a examenului, pentru admiterea la institut la buget și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că în fața lor se deschid mult mai multe oportunități și viața devine mai strălucitoare? Nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examen și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

UMPLȚI-VĂ MÂNA, REzolVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

La examen nu vi se va cere teorie.

Vei avea nevoie rezolva problemele la timp.

Și, dacă nu le-ai rezolvat (MULTE!), cu siguranță vei face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu vei reuși la timp.

Este ca în sport - trebuie să repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți o colecție oriunde doriți neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (nu este necesar) și cu siguranță le recomandăm.

Pentru a obține o mână de lucru cu ajutorul sarcinilor noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din acest articol - 299 rub.
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse în toate cele 99 de articole din tutorial - 499 rub.

Da, avem 99 de astfel de articole în manual și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

În concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri cu teorie.

„Înțeles” și „Știu să rezolv” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați!

Latură A poate fi identificat ca adiacent coltului BȘi colțul opus A, și lateral b- Cum adiacent coltului AȘi colțul opus B.

Tipuri de triunghiuri dreptunghiulare

• Dacă lungimile tuturor celor trei laturi ale unui triunghi dreptunghic sunt numere întregi, atunci triunghiul se numește Triunghiul lui Pitagora, iar lungimile laturilor sale formează așa-numita triplă pitagoreică.

Proprietăți

Înălţime

Înălțimea unui triunghi dreptunghic.

Relații trigonometrice

Lasa hȘi s (h>s) de laturile a două pătrate înscrise într-un triunghi dreptunghic cu ipotenuză c. Apoi:

Perimetrul unui triunghi dreptunghic este egal cu suma razelor cercului înscris și a celor trei cercuri circumscrise.

Note

Legături

• Weisstein, Eric W. Triunghi drept (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld.
• Wentworth G.A. O carte text de geometrie. - Ginn & Co., 1895.

Fundația Wikimedia. 2010 .

• cuboid
• Costuri directe

Vezi ce înseamnă „Triunghi drept” în alte dicționare:

triunghi dreptunghic- — Subiecte industria petrolului și gazelor EN triunghi dreptunghic … Manualul Traducătorului Tehnic

TRIUNGHI- și (simplu) triunghi, triunghi, soț. 1. O figură geometrică delimitată de trei drepte care se intersectează reciproc formând trei unghiuri interne (mat.). Triunghi obtuz. Triunghi acut. Triunghi dreptunghic.… … Dicționar explicativ al lui Ushakov

DREPTUNGHIULAR- DREPTUNGULAR, dreptunghiular, dreptunghiular (geom.). Avand un unghi drept (sau unghiuri drepte). Triunghi dreptunghic. Figuri dreptunghiulare. Dicționar explicativ al lui Ushakov. D.N. Uşakov. 1935 1940... Dicționar explicativ al lui Ushakov

Triunghi- Acest termen are alte semnificații, vezi Triunghi (sensuri). Un triunghi (în spațiul euclidian) este o figură geometrică formată din trei segmente de dreaptă care leagă trei puncte neliniare. Trei puncte, ...... Wikipedia

triunghi- ▲ un poligon având, trei, triunghi unghiular este cel mai simplu poligon; este dat de 3 puncte care nu se află pe aceeași dreaptă. triunghiular. unghi ascutit. unghiular acut. triunghi dreptunghic: picior. ipotenuză. triunghi isoscel. ▼… … Dicționar ideologic al limbii ruse

TRIUNGHI- UN TRIUNGHI, un, soţ. 1. Figura geometrică este un poligon cu trei colțuri, precum și orice obiect, un dispozitiv de această formă. T dreptunghiular T. lemn (pentru desen). Soldier's t. (scrisoare de soldat fără plic, împăturită într-un colț; colocvial). 2… Dicționar explicativ al lui Ozhegov

Triunghi (poligon)- Triunghiuri: 1 acut, dreptunghiular si obtuz; 2 regulate (echilaterale) și isoscele; 3 bisectoare; 4 mediane și centrul de greutate; 5 înălțimi; 6 ortocentru; 7 linia de mijloc. TRIANGUL, poligon cu 3 laturi. Uneori sub... Dicţionar Enciclopedic Ilustrat

triunghi Dicţionar enciclopedic

triunghi- dar; m. 1) a) O figură geometrică delimitată de trei drepte care se intersectează care formează trei unghiuri interne. Triunghi dreptunghiular, isoscel/in. Calculați aria triunghiului. b) resp. ce sau cu def. O figură sau obiect de o astfel de formă. ...... Dicționar cu multe expresii

Triunghi- dar; m. 1. O figură geometrică delimitată de trei drepte care se intersectează care formează trei unghiuri interne. Dreptunghiular, isoscel m. Calculați aria triunghiului. // ce sau cu def. O figură sau un obiect de o astfel de formă. T. acoperiş. T.… … Dicţionar enciclopedic

Triunghi dreptunghic - un triunghi, al cărui unghi este drept (egal cu 90 0). Prin urmare, celelalte două unghiuri însumează 90 0 .

Laturile unui triunghi dreptunghic

Latura opusă unghiului de nouăzeci de grade se numește ipotenuză. Celelalte două părți se numesc picioare. Ipotenuza este întotdeauna mai lungă decât catetele, dar mai scurtă decât suma lor.

Triunghi dreptunghic. Proprietățile triunghiului

Dacă catetul este opus unui unghi de treizeci de grade, atunci lungimea lui corespunde cu jumătate din lungimea ipotenuzei. De aici rezultă că unghiul opus catetei, a cărui lungime corespunde cu jumătate din ipotenuză, este egal cu treizeci de grade. Catonul este egal cu media proporțională cu ipotenuza și cu proiecția pe care catetul o dă ipotenuzei.

teorema lui Pitagora

Orice triunghi dreptunghic respectă teorema lui Pitagora. Această teoremă afirmă că suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei. Dacă presupunem că catetele sunt egale cu a și b, iar ipotenuza este c, atunci scriem: a 2 + b 2 \u003d c 2. Teorema lui Pitagora este folosită pentru a rezolva toate problemele geometrice în care apar triunghiuri dreptunghiulare. De asemenea, va ajuta să desenați un unghi drept în absența instrumentelor necesare.

Înălțimea și mediana

Un triunghi dreptunghic se caracterizează prin faptul că cele două înălțimi ale sale sunt combinate cu picioarele. Pentru a găsi a treia latură, trebuie să găsiți suma proiecțiilor catetelor pe ipotenuză și să împărțiți la doi. Dacă desenați o mediană de la vârful unui unghi drept, atunci se va dovedi a fi raza cercului care a fost descris în jurul triunghiului. Centrul acestui cerc va fi punctul de mijloc al ipotenuzei.

Triunghi dreptunghic. Aria și calculul acesteia

Aria triunghiurilor dreptunghiulare se calculează folosind orice formulă pentru a găsi aria unui triunghi. În plus, puteți folosi o altă formulă: S \u003d a * b / 2, care spune că pentru a găsi aria, trebuie să împărțiți produsul lungimii picioarelor cu două.

Cosinus, sinus și tangentă triunghi dreptunghic

Cosinusul unui unghi ascuțit este raportul dintre catetul adiacent unghiului și ipotenuză. Este întotdeauna mai puțin de unu. Sinusul este raportul catetului opus unghiului față de ipotenuză. Tangenta este raportul dintre piciorul opus colțului și piciorul adiacent acestui colț. Cotangenta este raportul dintre piciorul adiacent colțului și piciorul opus colțului. Cosinus, sinus, tangentă și cotangentă nu depind de dimensiunea triunghiului. Valoarea lor este afectată doar de gradul de măsură a unghiului.

Soluție triunghiulară

Pentru a calcula valoarea catetului opus unghiului, trebuie să înmulțiți lungimea ipotenuzei cu sinusul acestui unghi sau dimensiunea celui de-al doilea catet cu tangentei unghiului. Pentru a găsi catetul adiacent unghiului, este necesar să se calculeze produsul ipotenuzei și cosinusul unghiului.

Triunghi dreptunghic isoscel

Dacă un triunghi are unghi drept și catete egale, atunci se numește triunghi dreptunghic isoscel. Unghiurile ascuțite ale unui astfel de triunghi sunt, de asemenea, egale - 45 0 fiecare. Mediana, bisectoarea și înălțimea trase din unghiul drept al unui triunghi dreptunghic isoscel sunt aceleași.