Formule de bază ale trigonometriei. Identitatea trigonometrică de bază
Formulele de reducere sunt rapoarte care vă permit să treceți de la sinus, cosinus, tangentă și cotangentă cu unghiuri `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` la aceleași funcții ale unghiului `\alpha`, care se află în primul sfert al cercului unitar. Astfel, formulele de reducere ne „determină” să lucrăm cu unghiuri în intervalul de la 0 la 90 de grade, ceea ce este foarte convenabil.
Toate împreună există 32 de formule de reducere. Fără îndoială că vor veni la îndemână la examen, examene, teste. Dar vă vom avertiza imediat că nu este nevoie să le memorați! Trebuie să petreceți puțin timp și să înțelegeți algoritmul pentru aplicarea lor, atunci nu vă va fi dificil să obțineți egalitatea necesară la momentul potrivit.
Mai întâi, să notăm toate formulele de reducere:
Pentru unghiul (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) sau (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;`` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Pentru unghi (`\pi \pm \alpha`) sau (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;`` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;`` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;`` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Pentru unghiul (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) sau (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;`` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Pentru unghi (`2\pi \pm \alpha`) sau (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;`` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;`` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;`` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Puteți găsi adesea formule de reducere sub forma unui tabel, unde unghiurile sunt scrise în radiani:
Pentru a-l folosi, trebuie să selectați rândul cu funcția de care avem nevoie și coloana cu argumentul dorit. De exemplu, pentru a folosi un tabel pentru a afla care va fi ` sin(\pi + \alpha)`, este suficient să găsiți răspunsul la intersecția rândului ` sin \beta` și a coloanei ` \pi + \ alfa`. Obținem ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.
Și al doilea tabel similar, unde unghiurile sunt scrise în grade:
Regula mnemonică a formulelor de turnare sau cum să le amintim
După cum am menționat deja, nu este necesar să memorați toate rapoartele de mai sus. Dacă te-ai uitat atent la ele, probabil că ai observat câteva modele. Ele ne permit să formulăm o regulă mnemonică (mnemonică - amintiți-vă), cu care puteți obține cu ușurință oricare dintre formulele de reducere.
Observăm imediat că, pentru a aplica această regulă, trebuie să fii capabil să determine (sau să reții) semnele funcțiilor trigonometrice în diferite sferturi ale cercului unitar. 
Grefa în sine conține 3 etape:
- Argumentul funcției trebuie să aibă forma `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, unde `\alpha` este întotdeauna un unghi ascuțit (de la 0 la 90 de grade).
- Pentru argumentele `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` functie trigonometrica a expresiei convertite se schimbă într-o cofuncție, adică invers (sinus la cosinus, tangentă la cotangentă și invers). Pentru argumentele `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` funcția nu se modifică.
- Se determină semnul funcției inițiale. Funcția rezultată din partea dreaptă va avea același semn.
Pentru a vedea cum poate fi aplicată această regulă în practică, să transformăm câteva expresii:
1. `cos(\pi + \alpha)`.
Funcția nu este inversată. Unghiul ` \pi + \alpha` este în al treilea cadran, cosinusul din acest cadran are semnul „-”, deci funcția convertită va avea și semnul „-”.
Răspuns: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`
2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)`.
Conform regula mnemonică funcția va fi inversată. Unghiul `\frac (3\pi)2 - \alpha` este în al treilea cadran, sinusul aici are semnul „-”, deci rezultatul va fi și cu semnul „-”.
Răspuns: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`
3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)`.
`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\alpha))`. Să reprezentăm `3\pi` ca `2\pi+\pi`. `2\pi` este perioada funcției.
Important: Funcțiile `cos \alpha` și `sin \alpha` au o perioadă de `2\pi` sau `360^\circ`, valorile lor nu se vor schimba dacă argumentul este mărit sau micșorat cu aceste valori.
Pe baza acestui lucru, expresia noastră poate fi scrisă astfel: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Aplicând regula mnemonică de două ori, obținem: `cos (\pi+(\frac(\). pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.
Răspuns: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.
regula calului
Al doilea punct al regulii mnemonice de mai sus se mai numește și regula calului a formulelor de reducere. Mă întreb de ce cai?
Deci avem funcții cu argumente `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, punctele `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` sunt puncte cheie, sunt situate pe axele de coordonate. `\pi` și `2\pi` sunt pe axa x orizontală, iar `\frac (\pi)2` și `\frac (3\pi)2` sunt pe axa verticală y.
Ne punem întrebarea: „Funcția se schimbă într-o cofuncție?”. Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să vă mișcați capul de-a lungul axei pe care se află punctul cheie.
Adică, pentru argumentele cu puncte cheie situate pe axa orizontală, răspundem „nu” dând din cap în lateral. Iar pentru colțurile cu puncte cheie situate pe axa verticală, răspundem „da” dând din cap de sus în jos, ca un cal 🙂
Vă recomandăm să urmăriți un tutorial video în care autorul explică în detaliu cum să memorați formulele de reducere fără să le memorați.
Exemple practice de utilizare a formulelor de turnare
Utilizarea formulelor de reducere începe în clasele a IX-a și a X-a. O mulțime de sarcini cu utilizarea lor sunt supuse examenului. Iată câteva dintre sarcinile în care va trebui să aplicați aceste formule:
- sarcini pentru rezolvarea unui triunghi dreptunghic;
- conversia expresiilor trigonometrice numerice și alfabetice, calculul valorilor acestora;
- probleme stereometrice.
Exemplul 1. Folosiți formulele de reducere pentru a calcula a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.
Rezolvare: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;
c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;
d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.
Exemplul 2. După ce a exprimat cosinusul prin sinus folosind formulele de reducere, comparați numerele: 1) `sin \frac (9\pi)8` și `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` și `cos \frac (3\pi)10`.
Rezolvare: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`
`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`
`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`
`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.
2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`
`sin \frac (\pi)8 `sin \frac (\pi)8 Să demonstrăm mai întâi două formule pentru sinusul și cosinusul argumentului `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` și ` cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`. Restul sunt derivate din ele. Luați un cerc unitar și punctul A pe el cu coordonatele (1,0). Lasă după pornire Din definiția tangentei și cotangentei, obținem ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\pi) )2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` și ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (\frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, ceea ce demonstrează reducerea formule pentru tangenta si cotangenta unghiului `\frac (\pi)2 + \alpha`. Pentru a demonstra formule cu argumentul `\frac (\pi)2 - \alpha`, este suficient să-l reprezentăm ca `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` și să urmați aceeași cale ca mai sus. De exemplu, `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`. Unghiurile `\pi + \alpha` și `\pi - \alpha` pot fi reprezentate ca `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` și `\frac (\pi) ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)`, respectiv. Și `\frac (3\pi)2 + \alpha` și `\frac (3\pi)2 - \alpha` ca `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` și `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`. În acest articol, vom arunca o privire cuprinzătoare asupra . Identitățile trigonometrice de bază sunt egalități care stabilesc o relație între sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi și vă permit să găsiți oricare dintre aceste funcții trigonometrice printr-un altul cunoscut. Enumerăm imediat principalele identități trigonometrice, pe care le vom analiza în acest articol. Le notăm într-un tabel, iar mai jos dăm derivarea acestor formule și dăm explicațiile necesare. Navigare în pagină. Uneori vorbesc nu despre principalele identități trigonometrice enumerate în tabelul de mai sus, ci despre una singură identitate trigonometrică de bază drăguț Adică, egalitatea prezintă un interes deosebit, căreia i s-a dat numele identității trigonometrice principale. Înainte de a demonstra identitatea trigonometrică de bază, dăm formularea acesteia: suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi este identic egală cu unu. Acum să demonstrăm. Identitatea trigonometrică de bază este foarte des folosită în transformarea expresiilor trigonometrice. Acesta permite ca suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi să fie înlocuită cu unul. Nu mai rar, identitatea trigonometrică de bază este utilizată în ordine inversă: unitatea este înlocuită cu suma pătratelor sinusului și cosinusului oricărui unghi. Identități care leagă tangenta și cotangenta cu sinusul și cosinusul unui unghi al formei și Datorită acestei evidenţe a identităţilor şi Pentru a încheia această secțiune, trebuie remarcat faptul că identitățile și O identitate trigonometrică și mai evidentă decât cele două anterioare este identitatea care leagă tangentei și cotangentei unui unghi al formei Dovada formulei Deci, tangenta și cotangenta unui unghi, la care au sens, este. Sunt date rapoartele dintre principalele funcții trigonometrice - sinus, cosinus, tangentă și cotangentă formule trigonometrice. Și din moment ce există destul de multe conexiuni între funcțiile trigonometrice, acest lucru explică și abundența formulelor trigonometrice. Unele formule conectează funcțiile trigonometrice ale aceluiași unghi, altele - funcțiile unui unghi multiplu, altele - vă permit să scădeți gradul, al patrulea - să exprimați toate funcțiile prin tangenta unui jumătate de unghi etc. În acest articol, enumeram în ordine toate formulele trigonometrice de bază, care sunt suficiente pentru a rezolva marea majoritate a problemelor de trigonometrie. Pentru ușurință de memorare și utilizare, le vom grupa în funcție de scopul lor și le vom introduce în tabele. Navigare în pagină. Identități trigonometrice de bază stabiliți relația dintre sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi. Ele decurg din definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, precum și a conceptului de cerc unitar. Vă permit să exprimați o funcție trigonometrică prin oricare alta. Pentru o descriere detaliată a acestor formule de trigonometrie, derivarea lor și exemple de aplicare, consultați articolul. Formule turnate rezultă din proprietățile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, adică reflectă proprietatea de periodicitate a funcțiilor trigonometrice, proprietatea simetriei și, de asemenea, proprietatea deplasării cu un unghi dat. Aceste formule trigonometrice vă permit să treceți de la lucrul cu unghiuri arbitrare la lucrul cu unghiuri cuprinse între zero și 90 de grade. Rațiunea acestor formule, o regulă mnemonică pentru memorarea lor și exemple de aplicare a lor pot fi studiate în articol. Formule trigonometrice de adunare arată cum funcțiile trigonometrice ale sumei sau diferenței a două unghiuri sunt exprimate în termenii funcțiilor trigonometrice ale acestor unghiuri. Aceste formule servesc drept bază pentru derivarea următoarelor formule trigonometrice. Formule pentru dublu, triplu etc. unghiul (se mai numesc și formule cu unghiuri multiple) arată cum funcțiile trigonometrice dublu, triplu etc. unghiurile () sunt exprimate în termeni de funcții trigonometrice ale unui singur unghi. Derivarea lor se bazează pe formule de adunare. Informații mai detaliate sunt colectate în formulele articolului pentru dublu, triplu etc. unghi . Formule cu jumătate de unghi arătați cum funcțiile trigonometrice ale unui semiunghi sunt exprimate în termeni de cosinus al unui unghi întreg. Aceste formule trigonometrice decurg din formulele cu unghi dublu. Concluzia lor și exemple de aplicare pot fi găsite în articol. Formule trigonometrice pentru grade descrescătoare sunt concepute pentru a facilita trecerea de la puterile naturale ale funcțiilor trigonometrice la sinusuri și cosinusuri de gradul întâi, dar unghiuri multiple. Cu alte cuvinte, ele permit reducerea puterilor funcțiilor trigonometrice la prima. destinatia principala formule de sumă și diferență pentru funcțiile trigonometrice constă în trecerea la produsul funcțiilor, ceea ce este foarte util la simplificarea expresiilor trigonometrice. Aceste formule sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, deoarece permit factorizarea sumei și diferențelor sinusurilor și cosinusurilor. Trecerea de la produsul funcțiilor trigonometrice la sumă sau diferență se realizează prin formulele pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus. Drepturi de autor de către studenți inteligenți Toate drepturile rezervate. Identități trigonometrice sunt egalități care stabilesc o relație între sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi, ceea ce vă permite să găsiți oricare dintre aceste funcții, cu condiția ca oricare alta să fie cunoscută. tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha) tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1 Această identitate spune că suma pătratului sinusului unui unghi și pătratul cosinusului unui unghi este egală cu unu, ceea ce face posibilă calcularea sinusului unui unghi atunci când cosinusul lui este cunoscut și invers. . La conversia expresiilor trigonometrice, se folosește foarte des această identitate, ceea ce vă permite să înlocuiți suma pătratelor cosinusului și sinusului unui unghi cu unul și, de asemenea, să efectuați operația de înlocuire în ordine inversă. tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace Aceste identități sunt formate din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. La urma urmei, dacă te uiți, atunci, prin definiție, ordonata lui y este sinusul, iar abscisa lui x este cosinusul. Atunci tangenta va fi egală cu raportul \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), și raportul \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- va fi o cotangentă. Adăugăm că numai pentru astfel de unghiuri \alpha pentru care funcțiile trigonometrice incluse în ele au sens, identitățile vor avea loc, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). De exemplu: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) este valabil pentru unghiurile \alpha care sunt diferite de \frac(\pi)(2)+\pi z, dar ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- pentru un unghi \alpha altul decât \pi z , z este un număr întreg. tg \alpha \cdot ctg \alpha=1 Această identitate este valabilă numai pentru unghiurile \alpha care sunt diferite de \frac(\pi)(2) z. În caz contrar, nici cotangenta, fie tangenta nu vor fi determinate. Pe baza punctelor de mai sus, obținem asta tg \alpha = \frac(y)(x), dar ctg\alpha=\frac(x)(y). De aici rezultă că tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Astfel, tangenta și cotangenta unui unghi la care au sens sunt numere reciproc reciproce. tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- suma pătratului tangentei unghiului \alpha și 1 este egală cu pătratul invers al cosinusului acestui unghi. Această identitate este valabilă pentru toate \alpha, altele decât \frac(\pi)(2)+ \pi z. 1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- suma lui 1 și pătratul cotangentei unghiului \alpha , este egal cu pătratul invers al sinusului unghiului dat. Această identitate este valabilă pentru orice \alpha, altul decât \pi z . Găsiți \sin \alpha și tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12Și \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
; Afișează soluția Soluţie Funcțiile \sin \alpha și \cos \alpha sunt legate prin formulă \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Înlocuind în această formulă \cos \alpha = -\frac12, primim: \sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1 Această ecuație are 2 soluții: \sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2) După condiție \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
. În al doilea trimestru, sinusul este pozitiv, deci \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2). Pentru a găsi tg \alpha , folosim formula tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3 Găsiți \cos \alpha și ctg \alpha dacă și \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
. Afișează soluția Soluţie Înlocuind în formulă \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 număr condiționat \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), primim \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Această ecuație are două soluții \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14. După condiție \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
. În al doilea trimestru, cosinusul este negativ, deci \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12. Pentru a găsi ctg \alpha , folosim formula ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Cunoaștem valorile corespunzătoare. ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3). Aceasta este ultima și cea mai importantă lecție necesară pentru a rezolva problemele B11. Știm deja cum să convertim unghiurile din măsura radianilor în măsura gradului (vezi lecția „ Radianul și măsura gradului unui unghi”) și știm, de asemenea, cum să determinăm semnul unei funcții trigonometrice, concentrându-ne pe sferturi de coordonate (vezi lecția „ Semne a funcţiilor trigonometrice"). Problema rămâne mică: pentru a calcula valoarea funcției în sine - chiar numărul care este scris în răspuns. Aici identitatea trigonometrică de bază vine în ajutor. Identitatea trigonometrică de bază. Pentru orice unghi α, afirmația este adevărată: sin 2 α + cos 2 α = 1. Această formulă raportează sinusul și cosinusul unui unghi. Acum, cunoscând sinusul, putem găsi cu ușurință cosinusul - și invers. Este suficient să luați rădăcina pătrată: Observați semnul „±” în fața rădăcinilor. Cert este că din identitatea trigonometrică de bază nu este clar care au fost sinusul și cosinusul original: pozitiv sau negativ. La urma urmei, pătratul este o funcție uniformă care „arde” toate minusurile (dacă există). De aceea, în toate sarcinile B11 care se găsesc în USE în matematică, există neapărat condiții suplimentare care ajută la scăparea de incertitudine cu semne. De obicei, aceasta este o indicație a sfertului de coordonate prin care poate fi determinat semnul. Un cititor atent va întreba cu siguranță: „Ce zici de tangentă și cotangentă?” Este imposibil să se calculeze direct aceste funcții din formulele de mai sus. Cu toate acestea, există corolare importante din identitatea trigonometrică de bază care conțin deja tangente și cotangente. Și anume: Un corolar important: pentru orice unghi α, identitatea trigonometrică de bază poate fi rescrisă după cum urmează: Aceste ecuații sunt ușor de dedus din identitatea de bază - este suficient să împărțim ambele părți la cos 2 α (pentru a obține o tangentă) sau la sin 2 α (pentru o cotangentă). Să ne uităm la toate acestea cu exemple specifice. Următoarele sunt probleme reale B11 luate din studiile Mathematics USE din 2012. Știm cosinusul, dar nu cunoaștem sinusul. Identitatea trigonometrică principală (în forma sa „pură”) conectează doar aceste funcții, așa că vom lucra cu ea. Avem: sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1. Pentru a rezolva problema, rămâne să găsiți semnul sinusului. Deoarece unghiul α ∈ (π /2; π ), atunci în măsură de grade se scrie astfel: α ∈ (90°; 180°). Prin urmare, unghiul α se află în sfertul de coordonate II - toate sinusurile de acolo sunt pozitive. Prin urmare sin α = 0,1. Deci, cunoaștem sinusul, dar trebuie să găsim cosinusul. Ambele funcții sunt în identitatea trigonometrică de bază. Inlocuim: sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5. Rămâne să ne ocupăm de semnul din fața fracției. Ce să alegi: plus sau minus? Prin condiție, unghiul α aparține intervalului (π 3π /2). Să convertim unghiurile din măsura radianilor în măsura gradului - obținem: α ∈ (180°; 270°). Evident, acesta este trimestrul de coordonate III, unde toate cosinusurile sunt negative. Prin urmare cosα = −0,5. O sarcină. Găsiți tg α dacă știți următoarele: Tangenta și cosinusul sunt legate printr-o ecuație care urmează din identitatea trigonometrică de bază: Se obține: tg α = ±3. Semnul tangentei este determinat de unghiul α. Se știe că α ∈ (3π /2; 2π ). Să convertim unghiurile din măsura radianilor în măsura gradului - obținem α ∈ (270°; 360°). Evident, acesta este trimestrul de coordonate IV, unde toate tangentele sunt negative. Prin urmare, tgα = −3. O sarcină. Găsiți cos α dacă știți următoarele: Din nou, sinusul este cunoscut și cosinusul este necunoscut. Notăm principala identitate trigonometrică: sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6. Semnul este determinat de unghi. Avem: α ∈ (3π /2; 2π ). Să transformăm unghiurile din grade în radiani: α ∈ (270°; 360°) este sfert de coordonate IV, cosinusurile sunt pozitive acolo. Prin urmare, cos α = 0,6. O sarcină. Găsiți sin α dacă știți următoarele: Să scriem o formulă care decurge din identitatea trigonometrică de bază și conectează direct sinusul și cotangentei: De aici obținem că sin 2 α = 1/25, adică. sin α = ±1/5 = ±0,2. Se știe că unghiul α ∈ (0; π /2). În grade, aceasta se scrie astfel: α ∈ (0°; 90°) - I sfert de coordonate. Deci, unghiul este în sfertul de coordonate I - toate funcțiile trigonometrice sunt pozitive acolo, prin urmare sin α \u003d 0,2.
colțul `\alpha` va merge la punctul `A_1(x, y)`, iar după ce se întoarce prin unghiul `\frac (\pi)2 + \alpha` până la punctul `A_2(-y,x)` . Scăzând perpendicularele din aceste puncte către dreapta OX, vedem că triunghiurile `OA_1H_1` și `OA_2H_2` sunt egale, deoarece ipotenuzele și unghiurile adiacente sunt egale. Apoi, pe baza definițiilor sinusului și cosinusului, putem scrie `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. De unde se poate scrie că ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` și ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, ceea ce dovedește formulele de reducere pentru sinusul și cosinusul unghiului `\frac (\pi)2 + \alpha`.Relația dintre sinus și cosinus unui unghi
. Explicația pentru acest fapt este destul de simplă: egalitățile sunt obținute din identitatea trigonometrică de bază după împărțirea ambelor părți la și, respectiv, și egalitățile 
Și 
rezultă din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. Vom discuta acest lucru mai detaliat în paragrafele următoare.Tangenta si cotangenta prin sinus si cosinus
urmează imediat din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. Într-adevăr, prin definiție, sinusul este ordonata lui y, cosinusul este abscisa lui x, tangenta este raportul dintre ordonata și abscisa, adică 
, iar cotangenta este raportul dintre abscisă și ordonată, adică 
.adesea definițiile tangentei și cotangentei sunt date nu prin raportul dintre abscisă și ordonată, ci prin raportul dintre sinus și cosinus. Deci tangenta unui unghi este raportul dintre sinus și cosinusul acestui unghi, iar cotangenta este raportul dintre cosinus și sinus.Ține loc pentru toate astfel de unghiuri pentru care funcțiile trigonometrice din ele au sens. Deci formula este valabilă pentru orice altceva decât (în caz contrar, numitorul va fi zero și nu am definit împărțirea cu zero), iar formula - for all , diferit de , unde z este oricare .Relația dintre tangentă și cotangentă
. Este clar că are loc pentru orice alt unghi decât , altfel nici tangenta, fie cotangenta nu sunt definite.foarte simplu. Prin definiție și de unde 
. Dovada ar fi putut fi realizată într-un mod ușor diferit. Din moment ce și , apoi 
.Identități trigonometrice de bază
Formule turnate
Formule de adunare
Formule pentru dublu, triplu etc. unghi
Formule cu jumătate de unghi
Formule de reducere
Formule pentru suma și diferența funcțiilor trigonometrice
Formule pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus
Protejat de legea dreptului de autor. Nicio parte a site-ului www.site, inclusiv materialele interne și designul extern, nu poate fi reprodusă sub nicio formă sau utilizată fără permisiunea prealabilă scrisă a deținătorului drepturilor de autor.Găsirea tangentei și cotangentei prin sinus și cosinus
Relația dintre tangentă și cotangentă
Relații dintre tangentă și cosinus, cotangentă și sinus
Exemple cu soluții la probleme folosind identități trigonometrice
Exemplul 1
Exemplul 2
Recomandăm și noi
Se încarcă...