Dom > Matematyka

Stopień z opcją wskaźnika racjonalnego 3. Stopień liczby: definicje, oznaczenie, przykłady

Z wykładników całkowitych liczby a nasuwa się przejście do wykładnika wymiernego. Poniżej definiujemy stopień z wykładnikiem wymiernym i zrobimy to w taki sposób, aby zachowane zostały wszystkie właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym. Jest to konieczne, ponieważ liczby całkowite są częścią liczb wymiernych.

Wiadomo, że zbiór liczb wymiernych składa się z liczb całkowitych i ułamkowych, a każda liczba ułamkowa może być reprezentowana jako dodatnia lub ujemna wspólny ułamek. W poprzednim akapicie zdefiniowaliśmy stopień wykładnikiem całkowitym, dlatego aby uzupełnić definicję stopnia wykładnikiem wymiernym, musimy podać znaczenie stopnia liczby a z ułamkiem m/n, gdzie m jest liczbą całkowitą i n- naturalny. Zróbmy to.

Rozważ stopień z ułamkowym wykładnikiem postaci . Aby własność stopnia w stopniu pozostała ważna, równość musi być zachowana . Jeśli weźmiemy pod uwagę wynikową równość i sposób, w jaki wyznaczyliśmy pierwiastek n-tego stopnia, to logiczne jest przyjęcie, pod warunkiem, że z danymi m, n I a wyrażenie ma sens.

Łatwo jest sprawdzić, czy wszystkie właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym są prawidłowe dla as (jest to zrobione w sekcji dotyczącej właściwości stopnia z wykładnikiem wymiernym).

Powyższe rozumowanie pozwala nam na następujące: wyjście: jeśli podano m, n I a wyrażenie ma sens, to potęga liczby a z ułamkiem m/n zwany korzeń n stopień a w stopniu m.

To stwierdzenie zbliża nas do definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym. Pozostaje tylko opisać pod czym m, n I a wyrażenie ma sens. W zależności od ograniczeń nałożonych na m, n I a istnieją dwa główne podejścia.

1. Najprostszym sposobem jest nałożenie ograniczenia na a, akceptuję a≥0 dla pozytywnych m I a>0 dla negatywu m(ponieważ w m≤0 stopień 0 mln niezdeterminowany). Następnie otrzymujemy następującą definicję stopnia z wykładnikiem ułamkowym.

Definicja.

Stopień liczby dodatniej a z ułamkiem m/n , gdzie m jest całością i n jest liczbą naturalną, zwaną pierwiastkiem n-ty spośród a w stopniu m, tj, .



Ułamkowy stopień zero jest również zdefiniowany z jedynym zastrzeżeniem, że wykładnik musi być dodatni.

Definicja.

Potęga zera z ułamkowym wykładnikiem dodatnim m/n , gdzie m jest dodatnią liczbą całkowitą, i n jest liczbą naturalną, zdefiniowaną jako .
Gdy stopień nie jest zdefiniowany, to znaczy stopień liczby zero z ułamkowym wykładnikiem ujemnym nie ma sensu.

Należy zauważyć, że przy takiej definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym istnieje jeden niuans: dla niektórych negatywnych a a niektóre m I n wyrażenie ma sens i odrzuciliśmy te przypadki, wprowadzając warunek a≥0. Na przykład warto pisać lub , a powyższa definicja zmusza nas do stwierdzenia, że ​​stopnie z ułamkowym wykładnikiem postaci są bez znaczenia, ponieważ podstawa nie może być ujemna.

2. Inne podejście do określania stopnia z wykładnikiem ułamkowym m/n polega na oddzielnym rozważeniu parzystych i nieparzystych wykładników pierwiastka. Takie podejście wymaga dodatkowy warunek: stopień a, którego wskaźnikiem jest zmniejszony ułamek zwykły, jest uważany za potęgę liczby a, którego wskaźnikiem jest odpowiedni ułamek nieredukowalny (znaczenie tego warunku zostanie wyjaśnione poniżej). To znaczy, jeśli m/n jest ułamkiem nieredukowalnym, to dla dowolnej liczby naturalnej k stopień zostaje wstępnie zastąpiony przez .

Nawet n i pozytywne m wyrażenie ma sens dla każdego nieujemnego a(pierwiastek parzystego stopnia liczby ujemnej nie ma sensu), z liczbą ujemną m numer a musi być różna od zera (w przeciwnym razie będzie to dzielenie przez zero). I na dziwo n i pozytywne m numer a może być dowolna (pierwiastek nieparzystego stopnia jest zdefiniowany dla dowolnej liczby rzeczywistej), a dla ujemnej m numer a musi być różna od zera (aby nie było dzielenia przez zero).

Powyższe rozumowanie prowadzi nas do takiej definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym.

Definicja.

Zostawiać m/n- frakcja nieredukowalna m jest całością i n- Liczba naturalna. W przypadku dowolnej redukowalnej frakcji zwykłej stopień jest zastępowany przez . Stopień a z nieredukowalnym wykładnikiem ułamkowym m/n- to dla

o dowolna liczba rzeczywista a, liczba całkowita dodatnia m i dziwne naturalne n, na przykład, ;

o dowolna niezerowa liczba rzeczywista a, liczba całkowita ujemna m i dziwne n, na przykład, ;

o dowolna nieujemna liczba a, liczba całkowita dodatnia m i nawet n, na przykład, ;

o jakiekolwiek pozytywne a, liczba całkowita ujemna m i nawet n, na przykład, ;

o w innych przypadkach stopień z wykładnikiem ułamkowym nie jest zdefiniowany, ponieważ na przykład stopnie nie są zdefiniowane .a wpisy nie przypisujemy żadnego znaczenia, definiujemy stopień zera dla dodatnich wykładników ułamkowych m/n w jaki sposób , dla ujemnych wykładników ułamkowych stopień liczby zero nie jest zdefiniowany.

Na zakończenie tego akapitu zwróćmy uwagę na fakt, że wykładnik ułamkowy można zapisać jako ułamek dziesiętny lub liczbę mieszaną, na przykład . Aby obliczyć wartości tego rodzaju wyrażeń, należy zapisać wykładnik jako zwykły ułamek, a następnie użyć definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym. W przypadku tych przykładów mamy I


Po określeniu stopnia liczby logiczne jest, aby o tym mówić właściwości stopnia. W tym artykule podamy podstawowe własności stopnia liczby, dotykając wszystkich możliwych wykładników. Tutaj przedstawimy dowody wszystkich właściwości stopnia, a także pokażemy, jak te właściwości są stosowane podczas rozwiązywania przykładów.

Nawigacja po stronach.

Właściwości stopni z naturalnymi wskaźnikami

Zgodnie z definicją stopnia z wykładnikiem naturalnym stopień a n jest iloczynem n czynników, z których każdy jest równy a . Opierając się na tej definicji i używając właściwości mnożenia liczby rzeczywiste , możemy uzyskać i uzasadnić następujące właściwości stopnia z wykładnikiem naturalnym:

  1. główna własność stopnia a m ·a n =a m+n , jego uogólnienie ;
  2. własność potęg cząstkowych o tych samych podstawach a m:a n =a m−n ;
  3. własność stopnia produktu (a b) n =a n b n , jej rozszerzenie ;
  4. iloraz własności rzeczowej (a:b) n =a n:b n ;
  5. potęgowanie (a m) n =a m n , jego uogólnienie (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
  6. porównywanie stopnia z zerem:
    • jeśli a>0 , to a n >0 dla dowolnego naturalnego n ;
    • jeśli a=0 , to a n =0 ;
    • Jeśli<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 jeśli<0 и показатель степени есть liczba nieparzysta 2 m−1 , potem 2 m−1<0 ;
  7. jeśli a i b są liczbami dodatnimi, a a
  8. jeśli m i n są liczbami naturalnymi takimi, że m>n , to w 0 0 nierówność a m > a n jest prawdziwa.

Od razu zauważamy, że wszystkie zapisane równości są identyczny w określonych warunkach, a ich prawą i lewą część można zamienić. Na przykład główna właściwość ułamka a m a n = a m + n with uproszczenie wyrażeń często używany w postaci a m+n = a m a n .

Przyjrzyjmy się teraz szczegółowo każdemu z nich.

    Zacznijmy od własności iloczynu dwóch potęg o tych samych podstawach, którą nazywamy główna właściwość stopnia: dla dowolnej liczby rzeczywistej a i dowolnych liczb naturalnych m i n, równość a m ·a n =a m+n jest prawdziwa.

    Udowodnijmy główną właściwość stopnia. Z definicji stopnia z wykładnikiem naturalnym iloczyn potęg o tych samych podstawach postaci a m a n można zapisać jako iloczyn. Ze względu na właściwości mnożenia wynikowe wyrażenie można zapisać jako , a ten iloczyn jest potęgą a z wykładnikiem naturalnym m+n , czyli a m+n . To kończy dowód.

    Podajmy przykład, który potwierdza główną właściwość stopnia. Weźmy stopnie o tej samej podstawie 2 i potęgach naturalnych 2 i 3, zgodnie z główną własnością stopnia, możemy zapisać równość 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Sprawdźmy jego poprawność, dla której obliczamy wartości wyrażeń 2 2 ·2 3 i 2 5 . Wykonując potęgowanie, mamy 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 i 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, ponieważ uzyskuje się równe wartości, wówczas równość 2 2 2 3 \u003d 2 5 jest poprawna i potwierdza główną właściwość stopnia.

    Główną właściwość stopnia opartego na właściwościach mnożenia można uogólnić na iloczyn trzech lub więcej potęg o tych samych podstawach i naturalnych wykładnikach. Czyli dla dowolnej liczby k liczb naturalnych n 1 , n 2 , …, n k równość a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

    Na przykład, (2,1) 3 (2,1) 3 (2,1) 4 (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

    Możesz przejść do następnej właściwości stopni za pomocą naturalnego wskaźnika - własność potęg cząstkowych o tych samych podstawach: dla dowolnej niezerowej liczby rzeczywistej a i dowolnych liczb naturalnych m i n spełniających warunek m>n , równość a m:a n =a m−n jest prawdziwa.

    Zanim przedstawimy dowód tej własności, omówmy znaczenie dodatkowych warunków w oświadczeniu. Warunek a≠0 jest konieczny, aby uniknąć dzielenia przez zero, ponieważ 0 n =0, a po zapoznaniu się z dzieleniem uznaliśmy, że dzielenie przez zero jest niemożliwe. Warunek m>n został wprowadzony, aby nie wychodzić poza naturalne wykładniki. Rzeczywiście, dla m>n wykładnik a m−n wynosi Liczba naturalna, w przeciwnym razie będzie to zero (co ma miejsce, gdy m − n ) lub liczba ujemna (co ma miejsce, gdy m

    Dowód. Główna własność ułamka pozwala na zapisanie równości a m−n a n =a (m−n)+n =a m. Z otrzymanej równości a m−n ·a n =a m wynika, że ​​a m−n jest ilorazem potęg a m i a n . Dowodzi to własności potęg cząstkowych o tych samych podstawach.

    Weźmy przykład. Weźmy dwa stopnie o tych samych podstawach π i naturalnych wykładnikach 5 i 2, rozważana własność stopnia odpowiada równości π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

    Teraz rozważ właściwość stopnia produktu: naturalny stopień n iloczynu dowolnych dwóch liczb rzeczywistych a i b jest równy iloczynowi stopni a n i bn , czyli (a b) n =a n b n .

    Rzeczywiście, z definicji stopnia z wykładnikiem naturalnym mamy . Ostatni iloczyn, na podstawie właściwości mnożenia, można przepisać jako , który jest równy a n b n .

    Oto przykład: .

    Ta właściwość rozciąga się na stopień iloczynu trzech lub więcej czynników. Oznacza to, że właściwość potęgi naturalnej n iloczynu k czynników jest zapisana jako (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n.

    Dla jasności pokazujemy tę właściwość na przykładzie. Dla iloczynu trzech czynników do potęgi 7 mamy .

    Następna nieruchomość to własność przyrodnicza: iloraz liczb rzeczywistych aib , b≠0 do potęgi naturalnej n jest równy ilorazowi potęg a n i b n , czyli (a:b) n =a n:b n .

    Dowód można przeprowadzić przy użyciu poprzedniej właściwości. Więc (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, a równość (a:b) n b n =a n implikuje, że (a:b) n jest ilorazem a n podzielonego przez b n .

    Napiszmy tę właściwość na przykładzie konkretnych liczb: .

    Teraz zabierzmy głos właściwość potęgowania: dla dowolnej liczby rzeczywistej a i dowolnych liczb naturalnych m i n potęga a m do potęgi n jest równa potęgi a z wykładnikiem m·n , czyli (a m) n =a m·n .

    Na przykład (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

    Dowodem własności władzy w stopniu jest następujący łańcuch równości: .

    Rozważana właściwość może zostać rozszerzona o stopień w stopniu w stopniu i tak dalej. Na przykład dla dowolnych liczb naturalnych p, q, r i s, równość . Dla większej jasności, oto przykład z określonymi liczbami: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

    Pozostaje zastanowić się nad właściwościami porównywania stopni z naturalnym wykładnikiem.

    Zaczynamy od udowodnienia własności porównania zera i potęgi za pomocą naturalnego wykładnika.

    Najpierw uzasadnijmy, że a n >0 dla dowolnego a>0 .

    Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, jak wynika z definicji mnożenia. Ten fakt oraz właściwości mnożenia pozwalają stwierdzić, że wynik mnożenia dowolnej liczby liczb dodatnich będzie również liczbą dodatnią. A potęga a z wykładnikiem naturalnym n jest z definicji iloczynem n czynników, z których każdy jest równy a. Argumenty te pozwalają nam stwierdzić, że dla dowolnej dodatniej podstawy a stopień a n jest liczbą dodatnią. Na mocy udowodnionej własności 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 i .

    Jest całkiem oczywiste, że dla każdego naturalnego n przy a=0 stopień a n wynosi zero. Rzeczywiście, 0 n =0,0·…·0=0 . Na przykład 0 3 =0 i 0 762 =0 .

    Przejdźmy do podstaw ujemnych.

    Zacznijmy od przypadku, gdy wykładnik jest liczbą parzystą, oznaczmy go jako 2 m , gdzie m jest liczbą naturalną. Następnie . Ponieważ każdy z iloczynów postaci a·a jest równy iloczynowi modułów liczb a, a zatem a jest liczbą dodatnią. Dlatego produkt będzie również pozytywny. i stopień 2 m . Oto przykłady: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 i .

    Wreszcie, gdy podstawa a jest liczbą ujemną, a wykładnikiem jest liczba nieparzysta 2 m−1, to . Wszystkie iloczyny a·a są liczbami dodatnimi, iloczyn tych liczb dodatnich jest również dodatni, a jego pomnożenie przez pozostałą liczbę ujemną a daje liczbę ujemną. Ze względu na tę właściwość (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

    Zwracamy się do własności porównywania stopni z tymi samymi wykładnikami naturalnymi, która ma następujące sformułowanie: dwa stopnie z tymi samymi wykładnikami naturalnymi, n jest mniejsze niż ten, którego podstawa jest mniejsza, i więcej niż ten, którego podstawa jest większa. Udowodnijmy to.

    Nierówność a n własności nierówności udowodniono nierówność postaci a n (2,2) 7 i .

    Pozostaje udowodnić ostatnią z wymienionych właściwości potęg z wykładnikami naturalnymi. Sformułujmy to. Spośród dwóch stopni z naturalnymi wskaźnikami i tymi samymi pozytywnymi podstawami mniejszymi niż jeden stopień jest większy, którego wskaźnik jest mniejszy; i dwóch stopni z naturalnymi wskaźnikami i tymi samymi podstawami większymi niż jeden, stopień jest większy, którego wskaźnik jest większy. Zwracamy się do dowodu tej właściwości.

    Udowodnijmy, że dla m>n i 0 0 ze względu na warunek początkowy m>n , z czego wynika, że ​​przy 0

    Pozostaje udowodnić drugą część nieruchomości. Udowodnijmy, że dla m>n i a>1, a m >a n jest prawdziwe. Różnica a m −a n po wyjęciu n z nawiasów przyjmuje postać a n ·(a m−n −1) . Iloczyn ten jest dodatni, gdyż dla a>1 stopień an jest liczbą dodatnią, a różnica am−n−1 jest liczbą dodatnią, gdyż m−n>0 z powodu warunku początkowego, a dla a>1 stopień am−n jest większy niż jeden . Zatem a m − a n >0 i a m >a n , co miało być udowodnione. Własność tę ilustruje nierówność 3 7 >3 2 .

Własności stopni z wykładnikami całkowitymi

Ponieważ liczby całkowite dodatnie są liczbami naturalnymi, to wszystkie własności potęg z dodatnimi wykładnikami całkowitymi dokładnie pokrywają się z własnościami potęg z wykładnikami naturalnymi wymienionymi i udowodnionymi w poprzednim akapicie.

Stopień z ujemnym wykładnikiem całkowitym, jak również stopień z wykładnikiem zerowym, zdefiniowaliśmy w taki sposób, że wszystkie własności stopni z wykładnikami naturalnymi wyrażonymi przez równości pozostają ważne. Dlatego wszystkie te własności obowiązują zarówno dla wykładników zerowych, jak i dla wykładników ujemnych, podczas gdy oczywiście podstawy stopni są różne od zera.

Tak więc dla dowolnych liczb rzeczywistych i niezerowych a i b, a także dowolnych liczb całkowitych m i n, prawdziwe są następujące własności stopni z wykładnikami całkowitymi:

  1. za m za n \u003d za m + n;
  2. a m: a n = a m−n ;
  3. (a b) n = a n b n ;
  4. (a:b) n =a n:b n ;
  5. (a m) n = a m n ;
  6. jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, a i b są liczbami dodatnimi, a a b-n;
  7. jeśli m i n są liczbami całkowitymi, a m>n , to w 0 1 nierówność a m > a n jest spełniona.

Dla a=0 potęgi a m i a n mają sens tylko wtedy, gdy zarówno m, jak i n są dodatnimi liczbami całkowitymi, czyli liczbami naturalnymi. Tak więc opisane właśnie własności obowiązują również w przypadkach, gdy a=0, a liczby m i n są dodatnimi liczbami całkowitymi.

Nie jest trudno udowodnić każdą z tych własności, wystarczy do tego posłużyć się definicjami stopnia z wykładnikiem naturalnym i całkowitym oraz własności działań z liczbami rzeczywistymi. Jako przykład wykażmy, że własność potęgi obowiązuje zarówno dla liczb całkowitych dodatnich, jak i niedodatnich. Aby to zrobić, musimy pokazać, że jeśli p jest zerem lub liczbą naturalną i q jest zerem lub liczbą naturalną, to równości (ap) q =ap q , (a −p) q =a (−p) q , (ap ) −q =ap (−q) i (a-p)-q =a (-p) (-q). Zróbmy to.

Dla dodatnich p i q równość (a p) q =a p·q została udowodniona w poprzednim podrozdziale. Jeśli p=0 , to mamy (a 0) q =1 q =1 i a 0 q =a 0 =1 , skąd (a 0) q =a 0 q . Podobnie, jeśli q=0 , wtedy (a p) 0 =1 i a p 0 = a 0 =1 , skąd (a p) 0 = a p 0 . Jeśli zarówno p=0 i q=0 , wtedy (a 0) 0 =1 0 =1 i a 0 0 =a 0 =1 , skąd (a 0) 0 =a 0 0 .

Wykażmy teraz, że (a −p) q =a (−p) q . Z definicji stopnia z ujemnym wykładnikiem całkowitym , wtedy . Przez własność ilorazu w stopniu mamy . Ponieważ 1 p =1,1·…·1=1 i , to . To ostatnie wyrażenie jest z definicji potęgą postaci a −(p q) , którą na mocy zasad mnożenia można zapisać jako a (−p)q .

podobnie .

ORAZ .

Na tej samej zasadzie można udowodnić wszystkie inne własności stopnia za pomocą wykładnika całkowitego, zapisanego w postaci równości.

W przedostatnim z zapisanych własności warto zastanowić się nad dowodem nierówności a −n >b −n , który jest prawdziwy dla dowolnej ujemnej liczby całkowitej −n i dowolnej dodatniej a i b, dla której warunek a . Ponieważ według warunku a 0 . Iloczyn a n · b n jest również dodatni jako iloczyn liczb dodatnich a n i b n . Wtedy otrzymany ułamek jest dodatni jako iloraz liczb dodatnich b n − a n i a n b n . Stąd skąd a −n >b −n , co miało być udowodnione.

Ostatnią własność stopni z wykładnikami całkowitymi dowodzi się w taki sam sposób, jak analogiczną własność stopni z wykładnikami naturalnymi.

Własności potęg z wykładnikami wymiernymi

Zdefiniowaliśmy stopień z wykładnikiem ułamkowym, rozszerzając do niego właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym. Innymi słowy, stopnie z wykładnikami ułamkowymi mają te same właściwości, co stopnie z wykładnikami całkowitymi. Mianowicie:

Dowód własności stopni z wykładnikiem ułamkowym opiera się na definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym oraz na własności stopnia z wykładnikiem całkowitym. Dajmy dowód.

Z definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym i , wtedy . Własności pierwiastka arytmetycznego pozwalają nam napisać następujące równości. Dalej, używając własności degree z wykładnikiem całkowitym, otrzymujemy , skąd z definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym mamy , a wykładnik uzyskanego stopnia można przeliczyć w następujący sposób: . To kończy dowód.

Druga własność potęg z wykładnikami ułamkowymi jest udowodniona dokładnie w ten sam sposób:

Resztę równości dowodzą podobne zasady:

Przechodzimy do dowodu kolejnej własności. Udowodnijmy, że dla dowolnych dodatnich a i b , a b s . Zapiszmy Liczba wymierna p jako m/n , gdzie m jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną. Warunki p<0 и p>0 w tym przypadku będzie równoważne warunkom m<0 и m>0 odpowiednio. Dla m>0 i a

Podobnie dla m<0 имеем a m >b m , skąd , czyli i a p > b p .

Pozostaje udowodnić ostatnią z wymienionych właściwości. Udowodnijmy, że dla liczb wymiernych p i q , p>q dla 0 0 – nierówność a p >a q . Zawsze możemy zredukować liczby wymierne p i q do wspólnego mianownika, weźmy zwykłe ułamki i, gdzie m 1 i m 2 są liczbami całkowitymi, a n jest liczbą naturalną. W tym przypadku warunek p>q będzie odpowiadał warunkowi m 1 >m 2, który wynika z . Następnie przez własność porównywania potęg o tych samych podstawach i naturalnych wykładnikach przy 0 1 – nierówność a m 1 > a m 2 . Te nierówności pod względem właściwości pierwiastków można przepisać odpowiednio jako I . A definicja stopnia z racjonalnym wykładnikiem pozwala nam przejść do nierówności i odpowiednio. Z tego wyciągamy ostateczny wniosek: dla p>q i 0 0 – nierówność a p >a q .

Własności stopni z niewymiernymi wykładnikami

Z definicji stopnia z wykładnikiem irracjonalnym można wywnioskować, że posiada on wszystkie właściwości stopni z wykładnikiem racjonalnym. Czyli dla dowolnych a>0 , b>0 i niewymiernych liczb p i q prawdziwe są: właściwości stopni z irracjonalne wskaźniki :

  1. a pa q = a p + q ;
  2. a p:a q = a p−q ;
  3. (a b) p = a p b p ;
  4. (a:b) p =a p:b p ;
  5. (a p) q = a p q ;
  6. dla dowolnych liczb dodatnich a i b , a 0 nierówność a p bp ;
  7. dla liczb niewymiernych p i q , p>q w 0 0 – nierówność a p >a q .

Z tego możemy wywnioskować, że potęgi z dowolnymi wykładnikami rzeczywistymi p i q dla a>0 mają te same własności.

Bibliografia.

  • Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Podręcznik do matematyki Zh na 5 komórek. instytucje edukacyjne.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik na 7 komórek. instytucje edukacyjne.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik na 8 komórek. instytucje edukacyjne.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik na 9 komórek. instytucje edukacyjne.
  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnicyn Yu.P. i inne Algebra i początki analizy: podręcznik dla klas 10-11 ogólnych instytucji edukacyjnych.
  • Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych).

MBOU „Sidorskaja”

Szkoła ogólnokształcąca»

Opracowanie planu-zarysu lekcja otwarta

z algebry w klasie 11 na temat:

Przygotowane i przeprowadzone

nauczyciel matematyki

Iskhakova E.F.

Zarys otwartej lekcji algebry w klasie 11.

Temat : „Stopień z wymiernym wykładnikiem”.

Rodzaj lekcji : Nauka nowego materiału

Cele Lekcji:

    Zapoznanie studentów z pojęciem stopnia ze wskaźnikiem racjonalnym i jego głównymi właściwościami na podstawie wcześniej przestudiowanego materiału (stopień ze wskaźnikiem całkowitym).

    Rozwijaj umiejętności obliczeniowe oraz umiejętność konwertowania i porównywania liczb z wymiernym wykładnikiem.

    Kultywowanie umiejętności matematycznych i zainteresowań matematycznych uczniów.

Sprzęt : Karty zadań, prezentacja studenta na dyplomie ze wskaźnikiem całkowitym, prezentacja nauczyciela na dyplomie ze wskaźnikiem wymiernym, laptop, rzutnik multimedialny, ekran.

Podczas zajęć:

    Organizowanie czasu.

Sprawdzenie przyswojenia tematu objętego poszczególnymi kartami zadań.

Zadanie numer 1.

=2;

B) = x + 5;

Rozwiąż system irracjonalne równania: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Zadanie nr 2.

Rozwiąż irracjonalne równanie: = - 3;

B) = x-2;

Rozwiąż układ nieracjonalnych równań: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

    Prezentacja tematu i celów lekcji.

Temat naszej dzisiejszej lekcji Stopień z wykładnikiem wymiernym».

    Wyjaśnienie nowego materiału na przykładzie wcześniej badanego.

Znasz już pojęcie stopnia z wykładnikiem całkowitym. Kto może mi pomóc je zapamiętać?

Powtórzenie z prezentacją Stopień z wykładnikiem całkowitym».

Dla dowolnych liczb a , b i dowolnych liczb całkowitych m i n równości są prawdziwe:

am * a n = a m + n ;

a m: a n = a m-n (a 0);

(am) n = a mn ;

(a b) n = a n * b n ;

(a/b) n = a n / b n (b ≠ 0);

a 1 = a ; a 0 = 1 (a 0)

Dzisiaj uogólnimy pojęcie stopnia liczby i nadamy znaczenie wyrażeniom, które mają wykładnik ułamkowy. Przedstawmy się definicja stopnie ze wskaźnikiem racjonalnym (Prezentacja „Stopień ze wskaźnikiem racjonalnym”):

Stopień a > 0 z wykładnikiem wymiernym r = , gdzie m jest liczbą całkowitą i n - naturalny ( n > 1), zwany numerem m .

Tak więc z definicji otrzymujemy to = m .

Spróbujmy zastosować tę definicję podczas wykonywania zadania.

PRZYKŁAD 1

Jako pierwiastek liczby wyrażam wyrażenie:

ALE) B) W) .

Spróbujmy teraz zastosować tę definicję w odwrotnej kolejności

II Wyraź wyrażenie jako potęgę z wykładnikiem wymiernym:

ALE) 2 B) W) 5 .

Potęga 0 jest zdefiniowana tylko dla dodatnich wykładników.

0 r= 0 dla dowolnego r> 0.

Korzystając z tej definicji, Domy wypełnisz #428 i #429.

Pokażmy teraz, że powyższa definicja stopnia z wykładnikiem wymiernym zachowuje podstawowe własności stopni, które są prawdziwe dla każdego wykładnika.

Dla dowolnych liczb wymiernych r i s oraz dowolnych dodatnich aib, równości są prawdziwe:

1 0 . a r a s =a r+s ;

PRZYKŁAD: *

20 . a r: a s = a r-s ;

PRZYKŁAD: :

3 0 . (ar) s = ar ;

PRZYKŁAD: ( -2/3

4 0 . ( ab) r = a r b r ; 5 0 . ( = .

PRZYKŁAD: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

PRZYKŁAD użycia kilku właściwości jednocześnie: * : .

    Fizkultminutka.

Kładziemy długopisy na biurku, prostujemy grzbiety, a teraz wyciągamy rękę, chcemy dotknąć tablicy. A teraz podnosiliśmy się i pochylaliśmy w prawo, w lewo, do przodu, do tyłu. Pokazali mi długopisy, a teraz pokaż mi, jak twoje palce potrafią tańczyć.

    Pracuj nad materiałem

Odnotowujemy jeszcze dwie własności potęg z wykładnikami wymiernymi:

60 . Zostawiać r jest liczbą wymierną, a 0< a < b . Тогда

a r < b r w r> 0,

a r < b r w r< 0.

7 0 . Dla dowolnych liczb wymiernychr I s z nierówności r> s wynika z tego

a r> a r dla a > 1,

a r < а r o 0< а < 1.

PRZYKŁAD: Porównaj liczby:

ORAZ ; 2 300 i 3 200 .

    Podsumowanie lekcji:

Dziś na lekcji przypomnieliśmy sobie własności stopnia z wykładnikiem całkowitym, poznaliśmy definicję i podstawowe własności stopnia z wykładnikiem wymiernym, rozważaliśmy zastosowanie tego materiał teoretyczny w praktyce podczas ćwiczeń. Chcę zwrócić uwagę na fakt, że temat „Stopień z racjonalnym wskaźnikiem” jest obowiązkowy w UŻYWAJ zadań. W przygotowaniu Praca domowa ( nr 428 i nr 429

Lekcja wideo „Stopień z racjonalnym wskaźnikiem” zawiera wizualizację materiał edukacyjny uczyć na ten temat. Lekcja wideo zawiera informacje o pojęciu stopnia z wymiernym wykładnikiem, właściwościach, takich stopniach, a także przykłady opisujące wykorzystanie materiałów edukacyjnych do rozwiązywania praktycznych problemów. Zadaniem tej lekcji wideo jest jasne i jasne przedstawienie materiału edukacyjnego, ułatwienie jego opracowywania i zapamiętywania przez uczniów, kształtowanie umiejętności rozwiązywania problemów z wykorzystaniem poznanych pojęć.

Główne zalety lekcji wideo to możliwość dokonywania przekształceń wizualnych i obliczeń, możliwość wykorzystania efektów animacji w celu poprawy efektywności uczenia się. Akompaniament głosowy pomaga rozwijać poprawną mowę matematyczną, a także umożliwia zastąpienie wyjaśnień nauczyciela, uwalniając go do samodzielnej pracy.

Samouczek wideo zaczyna się od wprowadzenia tematu. Łączenie badania nowy temat W przypadku poprzednio badanego materiału sugeruje się przypomnieć, że n √ a jest inaczej oznaczane przez 1/n dla naturalnego n i dodatniego a. Ta reprezentacja n-root jest wyświetlana na ekranie. Ponadto proponuje się rozważenie, co oznacza wyrażenie a m / n, w którym a jest liczbą dodatnią, a m / n jest ułamkiem. Definicja stopnia wyróżnionego w ramce jest podana z wykładnikiem wymiernym jako a m/n = n √ a m . Należy zauważyć, że n może być liczbą naturalną, a m - liczbą całkowitą.

Po określeniu stopnia za pomocą wykładnika wymiernego jego znaczenie ujawniają przykłady: (5/100) 3/7 = 7 √(5//100) 3 . Pokazano również przykład, w którym potęga reprezentowana przez ułamek dziesiętny jest zamieniana na wspólny ułamek, który ma być reprezentowany jako pierwiastek: (1/7) 1,7 = (1/7) 17/10 = 10 √ (1/7) 17 i przykład z ujemna wartość stopnie: 3 -1/8 \u003d 8 √3 -1.

Osobno wskazana jest cecha konkretnego przypadku, gdy podstawa stopnia wynosi zero. Należy zauważyć, że ten stopień ma sens tylko z dodatnim wykładnikiem ułamkowym. W tym przypadku jego wartość jest równa zero: 0 m/n =0.

Zauważono inną cechę stopnia z wykładnikiem wymiernym - stopień z wykładnikiem ułamkowym nie może być rozpatrywany z wykładnikiem ułamkowym. Podano przykłady nieprawidłowego zapisu stopnia: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

W dalszej części lekcji wideo brane są pod uwagę właściwości stopnia z wymiernym wykładnikiem. Należy zauważyć, że właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym będą również ważne dla stopnia z wykładnikiem wymiernym. Proponuje się przywołanie listy właściwości, które obowiązują również w tym przypadku:

  1. Mnożąc moce z tymi samymi podstawami, ich wskaźniki są sumowane: a p a q \u003d a p + q.
  2. Podział stopni o tych samych podstawach sprowadza się do stopnia o danej podstawie i różnicy wykładników: a p:a q =a p-q .
  3. Jeśli podniesiemy potęgę do pewnej potęgi, to w rezultacie otrzymamy potęgę o danej podstawie i iloczynie wykładników: (a p) q =a pq .

Wszystkie te własności obowiązują dla potęg o wymiernych wykładnikach p, q i dodatniej podstawie a>0. Również transformacje stopni pozostają prawdziwe podczas otwierania nawiasów:

  1. (ab) p =a p b p - podniesienie iloczynu dwóch liczb do pewnej potęgi z wykładnikiem wymiernym sprowadza się do iloczynu liczb, z których każda jest podnoszona do określonej potęgi.
  2. (a/b) p =a p /b p - potęga z wykładnikiem wymiernym ułamka sprowadza się do ułamka, którego licznik i mianownik są podniesione do danej potęgi.

Samouczek wideo omawia rozwiązanie przykładów wykorzystujących rozważane właściwości stopni z wykładnikiem wymiernym. W pierwszym przykładzie proponuje się znaleźć wartość wyrażenia, które zawiera zmienne x do potęgi ułamkowej: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Pomimo złożoności wyrażenia, przy użyciu właściwości stopni, rozwiązuje się go dość prosto. Rozwiązanie zadania rozpoczyna się od uproszczenia wyrażenia, które wykorzystuje zasadę podnoszenia stopnia z wykładnikiem wymiernym do potęgi, a także mnożenia stopni przez ta sama baza. Po podstawieniu podanej wartości x=8 do uproszczonego wyrażenia x 1/3 +48, ​​łatwo uzyskać wartość - 50.

W drugim przykładzie wymagane jest zmniejszenie ułamka, którego licznik i mianownik zawierają potęgi z wykładnikiem wymiernym. Wykorzystując własności stopnia, z różnicy dobieramy czynnik x 1/3, który jest następnie redukowany w liczniku i mianowniku, i korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów, licznik jest rozkładany na czynniki, co daje większe redukcje stopnia te same czynniki w liczniku i mianowniku. Wynikiem takich przekształceń jest krótki ułamek x 1/4 +3.

Zamiast nauczyciela wyjaśniającego nowy temat lekcji można wykorzystać lekcję wideo „Stopień z racjonalnym wskaźnikiem”. Ponadto niniejsza instrukcja zawiera wystarczające informacje dotyczące: samokształcenie student. Materiał może być przydatny w nauce na odległość.

Polecamy również

Ładowanie...Ładowanie...