Jaka jest pochodna ułamka. Jak znaleźć pochodną ułamka

Absolutnie niemożliwe jest rozwiązywanie problemów fizycznych lub przykładów w matematyce bez znajomości pochodnej i metod jej obliczania. Pochodna jest jednym z najważniejszych pojęć Analiza matematyczna. Dzisiejszy artykuł postanowiliśmy poświęcić temu fundamentalnemu tematowi. Co to jest pochodna, jakie jest jej fizyczne i geometryczne znaczenie jak obliczyć pochodną funkcji? Wszystkie te pytania można połączyć w jedno: jak rozumieć pochodną?

Geometryczne i fizyczne znaczenie pochodnej

Niech będzie funkcja f(x) , podany w pewnym przedziale (a,b) . Punkty x i x0 należą do tego przedziału. Kiedy zmienia się x, zmienia się sama funkcja. Zmiana argumentu - różnica jego wartości x-x0 . Ta różnica jest zapisana jako delta x i nazywa się przyrostem argumentów. Zmiana lub przyrost funkcji to różnica między wartościami funkcji w dwóch punktach. Definicja pochodnej:

Pochodna funkcji w punkcie to granica stosunku przyrostu funkcji w danym punkcie do przyrostu argumentu, gdy ten ostatni dąży do zera.

W przeciwnym razie można to napisać tak:

Jaki jest sens w znajdowaniu takiej granicy? Ale który:

pochodna funkcji w punkcie jest równa stycznej kąta między osią OX i stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie.

fizyczne znaczenie pochodna: pochodna czasu toru jest równa prędkości ruchu prostoliniowego.

Rzeczywiście, od czasów szkolnych wszyscy wiedzą, że prędkość to prywatna ścieżka. x=f(t) i czas t . Średnia prędkość przez pewien okres czasu:

Aby dowiedzieć się, jaka jest prędkość ruchu na raz t0 musisz obliczyć limit:

Zasada pierwsza: usuń stałą

Stałą można wyprowadzić ze znaku pochodnej. Co więcej, trzeba to zrobić. Rozwiązując przykłady w matematyce, przyjmuj z reguły - jeśli możesz uprościć wyrażenie, pamiętaj o uproszczeniu .

Przykład. Obliczmy pochodną:

Zasada druga: pochodna sumy funkcji

Pochodna sumy dwóch funkcji jest równa sumie pochodnych tych funkcji. To samo dotyczy pochodnej różnicy funkcji.

Nie będziemy podawać dowodu tego twierdzenia, ale rozważymy praktyczny przykład.

Znajdź pochodną funkcji:

Zasada trzecia: pochodna iloczynu funkcji

Pochodną iloczynu dwóch funkcji różniczkowalnych oblicza się według wzoru:

Przykład: znajdź pochodną funkcji:

Decyzja:

Tutaj ważne jest, aby powiedzieć o obliczaniu pochodnych funkcji złożonych. Pochodna funkcji zespolonej jest równa iloczynowi pochodnej tej funkcji względem argumentu pośredniego przez pochodną argumentu pośredniego względem zmiennej niezależnej.

W powyższym przykładzie spotykamy wyrażenie:

W tym przypadku argumentem pośrednim jest 8x do potęgi piątej. Aby obliczyć pochodną takiego wyrażenia, najpierw rozważamy pochodną funkcji zewnętrznej względem argumentu pośredniego, a następnie mnożymy przez pochodną samego argumentu pośredniego względem zmiennej niezależnej.

Zasada czwarta: pochodna ilorazu dwóch funkcji

Wzór na pochodną ilorazu dwóch funkcji:

O derywatach dla manekinów staraliśmy się rozmawiać od podstaw. Ten temat nie jest tak prosty, jak się wydaje, więc uważaj: w przykładach często pojawiają się pułapki, więc bądź ostrożny przy obliczaniu instrumentów pochodnych.

W przypadku jakichkolwiek pytań dotyczących tego i innych tematów możesz skontaktować się z obsługą studentów. W krótkim czasie pomożemy Ci rozwiązać najtrudniejsze sterowanie i uporać się z zadaniami, nawet jeśli nigdy wcześniej nie zajmowałeś się obliczaniem pochodnych.

Definicja. Niech funkcja \(y = f(x) \) będzie zdefiniowana w pewnym przedziale zawierającym punkt \(x_0 \) wewnątrz. Zwiększmy \(\Delta x \) do argumentu, aby nie opuszczać tego przedziału. Znajdź odpowiedni przyrost funkcji \(\Delta y \) (przy przejściu z punktu \(x_0 \) do punktu \(x_0 + \Delta x \)) i ułóż relację \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Jeżeli istnieje granica tej relacji w \(\Delta x \rightarrow 0 \), to wskazana granica jest nazywana funkcja pochodna\(y=f(x) \) w punkcie \(x_0 \) i oznacza \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Symbol y jest często używany do oznaczenia pochodnej. Zauważ, że y" = f(x) is Nowa cecha, ale naturalnie związane z funkcją y = f(x) zdefiniowaną we wszystkich punktach x, w których istnieje powyższa granica. Ta funkcja nazywa się tak: pochodna funkcji y \u003d f (x).

Geometryczne znaczenie pochodnej składa się z następujących elementów. Jeśli styczną, która nie jest równoległa do osi y, można narysować na wykresie funkcji y \u003d f (x) w punkcie z odciętą x \u003d a, to f (a) wyraża nachylenie stycznej:
\(k = f"(a)\)

Ponieważ \(k = tg(a) \), równość \(f"(a) = tg(a) \) jest prawdziwa.

A teraz interpretujemy definicję pochodnej w kategoriach przybliżonych równości. Niech funkcja \(y = f(x) \) ma pochodną w określonym punkcie \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Oznacza to, że w pobliżu punktu x, przybliżona równość \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \ok f"(x) \), tj. \(\Delta y \ok f"(x) \cdot \Deltax\). Znaczące znaczenie uzyskanej przybliżonej równości jest następujące: przyrost funkcji jest „prawie proporcjonalny” do przyrostu argumentu, a współczynnik proporcjonalności jest wartością pochodnej w dany punkt X. Na przykład dla funkcji \(y = x^2 \) przybliżona równość \(\Delta y \ok 2x \cdot \Delta x \) jest prawdziwa. Jeśli dokładnie przeanalizujemy definicję pochodnej, odkryjemy, że zawiera ona algorytm jej znajdowania.

Sformułujmy to.

Jak znaleźć pochodną funkcji y \u003d f (x) ?

1. Napraw wartość \(x \), znajdź \(f(x) \)
2. Zwiększ \(x \) argument \(\Delta x \), przejdź do nowego punktu \(x+ \Delta x \), znajdź \(f(x+ \Delta x) \)
3. Znajdź przyrost funkcji: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Skomponuj relację \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Oblicz $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ta granica jest pochodną funkcji w punkcie x.

Jeżeli funkcja y = f(x) ma pochodną w punkcie x, to nazywa się ją różniczkowalną w punkcie x. Nazywa się procedurę znajdowania pochodnej funkcji y \u003d f (x) różnicowanie funkcje y = f(x).

Zastanówmy się nad pytaniem: jak wiąże się ciągłość i różniczkowalność funkcji w punkcie?

Niech funkcja y = f(x) będzie różniczkowalna w punkcie x. Wtedy styczną można narysować do wykresu funkcji w punkcie M (x; f (x)) i pamiętajmy, że nachylenie stycznej jest równe f "(x). Taki wykres nie może się "łamać" w punkt M, czyli funkcja musi być ciągła w x.

To było rozumowanie „na palcach”. Przedstawmy bardziej rygorystyczny argument. Jeśli funkcja y = f(x) jest różniczkowalna w punkcie x, to przybliżona równość \(\Delta y \ok f"(x) \cdot \Delta x \) jest równa zero, wtedy \(\Delta y \ ) będzie również dążył do zera i jest to warunek ciągłości funkcji w punkcie.

Więc, jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie x, to w tym punkcie jest również ciągła.

Odwrotność nie jest prawdą. Na przykład: funkcja y = |x| jest wszędzie ciągła, w szczególności w punkcie x = 0, ale styczna do wykresu funkcji w „wspólnym punkcie” (0; 0) nie istnieje. Jeżeli w pewnym momencie nie da się narysować stycznej do wykresu funkcji, to w tym miejscu nie ma pochodnej.

Jeszcze jeden przykład. Funkcja \(y=\sqrt(x) \) jest ciągła na całej osi liczbowej, w tym w punkcie x = 0. A styczna do wykresu funkcji istnieje w dowolnym punkcie, w tym w punkcie x = 0 Ale w tym momencie styczna pokrywa się z osią y, to znaczy jest prostopadła do osi odciętej, jej równanie ma postać x \u003d 0. Dla takiej linii prostej nie ma nachylenia, co oznacza, że ​​\ ( f "(0) \) też nie istnieje

Zapoznaliśmy się więc z nową właściwością funkcji - różniczkowalnością. Jak rozpoznać, czy funkcja jest różniczkowalna z wykresu funkcji?

Odpowiedź jest właściwie podana powyżej. Jeśli w pewnym momencie można narysować styczną do wykresu funkcji, która nie jest prostopadła do osi x, to w tym momencie funkcja jest różniczkowalna. Jeżeli w pewnym momencie styczna do wykresu funkcji nie istnieje lub jest prostopadła do osi x, to w tym momencie funkcja nie jest różniczkowalna.

Zasady różnicowania

Operacja znajdowania pochodnej nazywa się różnicowanie. Podczas wykonywania tej operacji często trzeba pracować z ilorazami, sumami, iloczynami funkcji, a także z „funkcjami funkcji”, czyli funkcjami złożonymi. Na podstawie definicji pochodnej możemy wyprowadzić reguły różniczkowania, które ułatwiają tę pracę. Jeśli C jest liczbą stałą, a f=f(x), g=g(x) to niektóre funkcje różniczkowalne, wtedy prawdziwe są następujące zasady różnicowania:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Pochodna funkcji złożonej:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabela pochodnych niektórych funkcji

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $ Obliczanie pochodne jest jedną z najważniejszych operacji w rachunku różniczkowym. Poniżej znajduje się tabela do wyszukiwania instrumentów pochodnych proste funkcje. Więcej złożonych reguł różnicowania znajdziesz w innych lekcjach:

• Tabela pochodnych funkcji wykładniczych i logarytmicznych

Użyj podanych wzorów jako wartości odniesienia. Pomogą w rozwiązywaniu równań i problemów różniczkowych. Na obrazku w tabeli pochodnych funkcji prostych znajduje się „ściągawka” głównych przypadków znalezienia pochodnej w postaci zrozumiałej do użycia, obok znajdują się wyjaśnienia dla każdego przypadku.

Pochodne funkcji prostych

1. Pochodna liczby zero
с´ = 0
Przykład:
5' = 0

Wyjaśnienie:
Pochodna pokazuje tempo, w jakim zmienia się wartość funkcji, gdy zmienia się argument. Ponieważ liczba nie zmienia się w żaden sposób w żadnych warunkach, tempo jej zmiany jest zawsze równe zeru.

2. Pochodna zmiennej równy jeden
x' = 1

Wyjaśnienie:
Z każdym wzrostem argumentu (x) o jeden, wartość funkcji (wynik obliczeń) wzrasta o tę samą wartość. Zatem tempo zmiany wartości funkcji y = x jest dokładnie równe tempu zmiany wartości argumentu.

3. Pochodna zmiennej i czynnika jest równa temu czynnikowi
сx´ = с
Przykład:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Wyjaśnienie:
W tym przypadku za każdym razem argument funkcji ( X) jego wartość (y) rośnie w z raz. Zatem tempo zmiany wartości funkcji względem tempa zmiany argumentu jest dokładnie równe wartości z.

Skąd wynika, że
(cx + b)" = c
czyli różniczka funkcji liniowej y=kx+b jest równa współczynnik kątowy nachylenie linii prostej (k).

4. Pochodna modulo zmiennej jest równy ilorazowi tej zmiennej do jej modułu
|x|"= x / |x| pod warunkiem, że x ≠ 0
Wyjaśnienie:
Ponieważ pochodna zmiennej (patrz wzór 2) jest równa jedynce, pochodna modułu różni się tylko tym, że wartość szybkości zmian funkcji zmienia się na przeciwną po przejściu przez punkt początkowy (spróbuj narysowaćwykres funkcji y = |x| i przekonaj się sam. To jest dokładnie wartość i zwraca wyrażenie x / |x| Kiedy x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - jeden. To znaczy w wartości ujemne zmiennej x, przy każdym wzroście zmiany argumentu wartość funkcji maleje o dokładnie taką samą wartość, a dla dodatnich przeciwnie, zwiększa się, ale o dokładnie tę samą wartość.

5. Pochodna potęgowa zmiennej jest równy iloczynowi liczby tej potęgi i zmiennej potęgi, pomniejszonej o jeden
(x c)"= cx c-1 pod warunkiem, że x c ​​i cx c-1 są zdefiniowane oraz c ≠ 0
Przykład:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Aby zapamiętać formułę:
Weź wykładnik zmiennej „w dół” jako mnożnik, a następnie zmniejsz sam wykładnik o jeden. Na przykład dla x 2 - dwa były przed x, a zmniejszona moc (2-1=1) dała nam tylko 2x. To samo stało się z x 3 - obniżamy trójkę, zmniejszamy o jeden i zamiast sześcianu mamy kwadrat, czyli 3x 2 . Trochę „nienaukowy”, ale bardzo łatwy do zapamiętania.

6.Pochodna ułamkowa 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Przykład:
Ponieważ ułamek można przedstawić jako podniesienie do potęgi ujemnej
(1/x)" = (x -1)" , możesz zastosować wzór z reguły 5 tabeli pochodnych
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Pochodna ułamkowa ze zmienną o dowolnym stopniu w mianowniku
(1/x c)" = - c / x c+1
Przykład:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. pochodna korzeniowa(pochodna zmiennej pod pierwiastek kwadratowy)
(√x)" = 1 / (2√x) lub 1/2 x -1/2
Przykład:
(√x)" = (x 1/2)" więc możesz zastosować wzór z reguły 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Pochodna zmiennej pod pierwiastek dowolnego stopnia
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)