Równania irracjonalne i sposoby ich rozwiązywania. Równania irracjonalne

Odpowiedź: x = 3.

8 metoda. Zastosowanie pochodnej do rozwiązywania równań niewymiernych

Najczęściej przy rozwiązywaniu równań metodą pochodnych stosuje się metodę estymacji.

PRZYKŁAD 15:

Rozwiąż równanie: (1)

Rozwiązanie: Od https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29"> lub (2). Rozważ funkcję ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> w ogóle i dlatego wzrasta. Dlatego równanie jest odpowiednikiem równania, którego pierwiastek jest pierwiastkiem pierwotnego równania.

Odpowiedź:

PRZYKŁAD 16:

Rozwiąż irracjonalne równanie:

Domeną definicji funkcji jest segment. Znajdź największy i najmniejsza wartość wartości tej funkcji w przedziale . Aby to zrobić, znajdujemy pochodną funkcji F(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19"> Znajdźmy wartości funkcji F(x) na końcach segmentu i w punkcie: Tak, ale, a zatem równość jest możliwa tylko pod warunkiem https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 " height="19 src=" > Weryfikacja pokazuje, że liczba 3 jest pierwiastkiem tego równania.

Odpowiedź: x = 3.

9 metoda. Funkcjonalny

Na egzaminach proponują czasem rozwiązywanie równań, które można zapisać w postaci , gdzie jest określona funkcja.

Na przykład niektóre równania: 1) 2) . Rzeczywiście, w pierwszym przypadku , w drugim przypadku . Dlatego rozwiązuj irracjonalne równania za pomocą następującego zdania: jeśli funkcja ściśle rośnie na zbiorze x a dla dowolnego , to równania itd. są równoważne na zbiorze x .

Rozwiąż irracjonalne równanie: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> ściśle rosnąca na planie R, oraz https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > które ma unikalny pierwiastek Dlatego równoważne równanie (1) ma również unikalny pierwiastek

Odpowiedź: x = 3.

PRZYKŁAD 18:

Rozwiąż irracjonalne równanie: (1)

Na mocy definicji pierwiastka kwadratowego otrzymujemy, że jeżeli równanie (1) ma pierwiastki, to należą one do zbioru DIV_ADBLOCK166">

. (2)

Rozważ funkcję https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> ściśle zwiększającą się w tym zestawie dla dowolnego ..gif" width="100" wysokość ="41"> który ma pojedynczy pierwiastek Dlatego i równoważny mu na zbiorze x równanie (1) ma jeden pierwiastek

Odpowiedź: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Rozwiązanie: To równanie jest równoważne systemowi mieszanemu

Jeśli równanie zawiera zmienną pod pierwiastkiem kwadratowym, to równanie nazywa się irracjonalne.
Rozważ irracjonalne równanie

Ta równość, z definicji pierwiastka kwadratowego, oznacza, że ​​2x + 1 = 32. W rzeczywistości przeszliśmy od podanego irracjonalnego równania do wymiernego równania 2x + 1 = 9 przez podniesienie do kwadratu obu stron irracjonalnego równania. Metoda podniesienia do kwadratu obu stron równania jest główną metodą rozwiązywania równań nieracjonalnych. Jest to jednak zrozumiałe: jak inaczej pozbyć się znaku pierwiastka kwadratowego? Z równania 2x + 1 = 9 znajdujemy x = 4.
Jest to zarówno pierwiastek równania 2x + 1 = 9, jak i dane irracjonalne równanie.
Metoda kwadratury jest technicznie prosta, ale czasami prowadzi do kłopotów. Rozważmy na przykład irracjonalne równanie

Dopasowując obie strony do kwadratu, otrzymujemy

Dalej mamy:
2x-4x = -7 +5; -2x = -2; x = 1.
Ale wartość x-1, będąca pierwiastkiem wymiernego równania 2x-5 = 4x-7, nie jest pierwiastkiem danego niewymiernego równania. Czemu? Podstawiając 1 zamiast x w danym irracjonalnym równaniu, otrzymujemy . Jak możemy mówić o spełnieniu się równości liczbowej, jeśli zarówno jej lewa, jak i prawa część zawierają wyrażenia, które nie mają sensu? W takich przypadkach mówią: x \u003d 1 jest pierwiastkiem obcym dla danego irracjonalnego równania. Okazuje się, że dane irracjonalne równanie nie ma pierwiastków.
Rozwiążmy irracjonalne równanie

-
Korzenie tego równania można znaleźć ustnie, tak jak to zrobiliśmy na końcu poprzedniego akapitu: ich iloczyn wynosi – 38, a suma – 17; łatwo się domyślić, że są to liczby 2
i - 19. Tak więc x 1 \u003d 2, x 2 \u003d - 19.
Podstawiając wartość 2 zamiast x w danym niewymiernym równaniu, otrzymujemy

To nie jest prawda.
Podstawiając wartość - 19 zamiast x w danym irracjonalnym równaniu, otrzymujemy

To również jest niepoprawne.
Jaki jest wniosek? Obie znalezione wartości to obce korzenie. Innymi słowy, dane irracjonalne równanie, podobnie jak poprzednie, nie ma pierwiastków.
Obcy pierwiastek nie jest dla ciebie nowym pojęciem, obce pierwiastki zostały już napotkane podczas rozwiązywania równań wymiernych, sprawdzanie pomaga je wykryć. W przypadku nieracjonalnych równań sprawdzanie jest obowiązkowym etapem rozwiązywania równania, co pomoże wykryć obce korzenie, jeśli takie istnieją, i je odrzucić (zazwyczaj mówią „odchwaszczanie”).

Tak więc irracjonalne równanie jest rozwiązywane przez podniesienie do kwadratu obu jego części; po rozwiązaniu powstałego równania racjonalnego konieczne jest sprawdzenie, eliminując możliwe obce korzenie.

Korzystając z tego wyprowadzenia, spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład 1 Rozwiązać równanie

Rozwiązanie. Podnieśmy do kwadratu obie strony równania (1):

Następnie sukcesywnie mamy

5x - 16 \u003d x 2 - 4x + 4;
x 2 - 4x + 4 - 5x + 16 = 0;
x 2 - 9x + 20 = 0;
x 1 = 5, x 2 = 4.
Badanie. Zastępując x \u003d 5 równaniem (1), otrzymujemy - prawidłową równość. Zastępując x \u003d 4 równaniem (1), otrzymujemy - prawidłową równość. Stąd obie znalezione wartości są pierwiastkami równania (1).
W dniu: 4; pięć.

Przykład 2 Rozwiązać równanie
(spotkaliśmy się z tym równaniem w § 22 i „odkładaliśmy” jego rozwiązanie na lepsze czasy.) równania niewymiernego, otrzymujemy
2x2 + 8* + 16 = (44 - 2x) 2 .
Potem będzie
2x 2 + 8x + 16 \u003d 1936 - 176x + 4x 2;
- 2x 2 + 184x - 1920 = 0;
x 2 - 92x + 960 = 0;
x 1 = 80, x 2 = 12.
Badanie. Podstawiając x = 80 do danego irracjonalnego równania, otrzymujemy

Jest to oczywiście niepoprawna równość, ponieważ jego prawa strona zawiera liczbę ujemną, a jej lewa strona zawiera liczbę dodatnią. Zatem x = 80 jest pierwiastkiem obcym dla tego równania.

Podstawiając x = 12 do danego irracjonalnego równania, otrzymujemy

tj. . = 20, to prawidłowa równość. Dlatego x = 12 jest pierwiastkiem tego równania.
Odpowiedź: 12.

Dzielimy obie części ostatniego członu równania przez człon przez 2:

Badanie. Podstawiając wartość x = 14 do równania (2) otrzymujemy jest nieprawidłową równością, więc x = 14 jest obcym pierwiastkiem.
Podstawiając wartość x = -1 do równania (2) otrzymujemy
- prawdziwa równość. Dlatego x = -1 jest pierwiastkiem równania (2).
A n t e t : - 1.

Przykład 4 Rozwiązać równanie

Rozwiązanie. Oczywiście możesz rozwiązać to równanie w taki sam sposób, jak w poprzednich przykładach: przepisz równanie jako

Podnieś do kwadratu obie strony tego równania, rozwiąż otrzymane równanie wymierne i sprawdź znalezione pierwiastki, zastępując je
oryginalne irracjonalne równanie.

Ale użyjemy bardziej eleganckiego sposobu: wprowadzamy nową zmienną y = . Następnie otrzymujemy 2y 2 + y - 3 \u003d 0 - równanie kwadratowe w odniesieniu do zmiennej y. Znajdźmy jego pierwiastki: y 1 = 1, y 2 = -. Tym samym zadanie zostało zredukowane do rozwiązania dwóch

Z pierwszego równania znajdujemy x \u003d 1, drugie równanie nie ma pierwiastków (pamiętasz, że przyjmuje tylko wartości nieujemne).
Odpowiedź 1.
Kończymy tę sekcję dość poważną dyskusją teoretyczną. Chodzi o to. Masz już pewne doświadczenie w rozwiązywaniu różnych równań: liniowych, kwadratowych, wymiernych, irracjonalnych. Wiesz, że przy rozwiązywaniu równań wykonywane są różne przekształcenia,
na przykład: element równania jest przenoszony z jednej części równania do drugiej z przeciwnym znakiem; obie strony równania są mnożone lub dzielone przez tę samą niezerową liczbę; pozbyć się mianownika, tj. zastąpić równanie = 0 równaniem p (x) = 0; Obie strony równania są do kwadratu.

Oczywiście zauważyłeś, że w wyniku niektórych przekształceń mogą pojawić się obce korzenie, dlatego musiałeś zachować czujność: sprawdź wszystkie znalezione korzenie. Postaramy się więc teraz to wszystko pojąć z teoretycznego punktu widzenia.

Definicja. Dwa równania f (x) = g (x) i r (x) = s (x) są nazywane równoważnymi, jeśli mają te same pierwiastki (lub, w szczególności, jeśli oba równania nie mają pierwiastków).

Zwykle przy rozwiązywaniu równania starają się zastąpić to równanie prostszym, ale równoważnym z nim. Taka zmiana nazywana jest równoważną transformacją równania.

Następujące przekształcenia są równoważnymi przekształceniami równania:

1. Przeniesienie wyrazów równania z jednej części równania do drugiej o przeciwnych znakach.
Na przykład zastąpienie równania 2x + 5 = 7x - 8 równaniem 2x - 7x = - 8 - 5 jest równoważnym przekształceniem równania. To znaczy, że

równania 2x + 5 = 7x -8 i 2x - 7x = -8 - 5 są równoważne.

2. Mnożenie lub dzielenie obu stron równania przez tę samą liczbę niezerową.
Na przykład zastąpienie równania 0,5x 2 - 0,3x \u003d 2 równaniem 5x 2 - Zx \u003d 20
(obie części równania zostały pomnożone człon przez człon przez 10) jest równoważną transformacją równania.

Przekształceniami nierównoważnymi równania są następujące przekształcenia:

1. Zwolnienie z mianowników zawierających zmienne.
Na przykład zastąpienie równania równaniem x 2 \u003d 4 jest nierównoważną transformacją równania. Faktem jest, że równanie x 2 \u003d 4 ma dwa pierwiastki: 2 i - 2 oraz podane równanie wartość x = 2 nie może spełnić (znika mianownik). W takich przypadkach powiedzieliśmy tak: x \u003d 2 to obcy korzeń.

2. Podniesienie do kwadratu obu stron równania.
Nie będziemy podawać przykładów, ponieważ w tym akapicie było ich całkiem sporo.
Jeśli w procesie rozwiązywania równania zastosowano jedną ze wskazanych transformacji nierównoważnych, wszystkie znalezione pierwiastki należy sprawdzić, podstawiając do pierwotnego równania, ponieważ wśród nich mogą znajdować się obce pierwiastki.

Temat: „Iracjonalne równania postaci , .»

(Rozwój metodologiczny.)

Podstawowe koncepcje

Równania irracjonalne zwane równaniami, w których zmienna jest zawarta pod znakiem pierwiastka (rodnik) lub znakiem podniesienia do potęgi ułamkowej.

Równanie postaci f(x)=g(x), gdzie przynajmniej jedno z wyrażeń f(x) lub g(x) jest niewymierne irracjonalne równanie.

Podstawowe właściwości rodników:

• Wszystkie radykały nawet stopień są arytmetyka, tych. jeśli radykalne wyrażenie jest negatywne, to radykał nie ma sensu (nie istnieje); jeśli wyrażenie pierwiastkowe jest równe zero, to rodnik jest również zero; jeśli radykalne wyrażenie jest pozytywne, to wartość radykału istnieje i jest pozytywna.
• Wszystkie radykały nieparzysty stopień są zdefiniowane dla dowolnej wartości radykalnego wyrażenia. Co więcej, rodnik jest negatywny, jeśli wyrażenie radykalne jest negatywne; ma wartość zero, jeśli wyrażenie root ma wartość zero; jest dodatnia, jeśli podporządkowana ekspresja jest dodatnia.

Metody rozwiązywania równań niewymiernych

Rozwiąż irracjonalne równanie - oznacza znalezienie wszystkich rzeczywistych wartości zmiennej, podstawiając je do pierwotnego równania, zamienia się w prawidłową równość liczbową lub udowodnienie, że takie wartości nie istnieją. Równania niewymierne są rozwiązywane na zbiorze liczb rzeczywistych R.

Zakres prawidłowych wartości równania składa się z tych wartości zmiennej, dla których wszystkie wyrażenia pod znakiem rodników równego stopnia są nieujemne.

Główne metody rozwiązywania nieracjonalnych równań są:

a) sposób podniesienia obu części równania do tej samej potęgi;

b) sposób wprowadzania nowych zmiennych (metoda podstawień);

c) sztuczne metody rozwiązywania równań niewymiernych.

W tym artykule skupimy się na rozpatrzeniu równań o postaci zdefiniowanej powyżej i przedstawimy 6 metod rozwiązywania takich równań.

1 metoda. Sześcian.

Metoda ta wymaga użycia skróconych wzorów mnożenia i nie zawiera „pułapek”, czyli nie prowadzi do pojawienia się obcych korzeni.

Przykład 1 Rozwiązać równanie

Rozwiązanie:

Przepisujemy równanie w postaci i kostkę po obu stronach. Otrzymujemy równanie równoważne temu równaniu ,

Odpowiedź: x=2, x=11.

Przykład 2. Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie:

Przepiszmy równanie w postaci i wznieśmy obie jego strony do sześcianu. Otrzymujemy równanie równoważne temu równaniu

i rozważ otrzymane równanie jako kwadratowe w odniesieniu do jednego z pierwiastków

w związku z tym dyskryminatorem jest 0, a równanie może mieć rozwiązanie x=-2.

Badanie:

Odpowiedź: x=-2.

Komentarz: Sprawdzenie można pominąć, jeśli równanie kwadratowe zostało zakończone.

2 metoda. Kostka za pomocą formuły.

Będziemy dalej sześcienować równanie, ale jednocześnie będziemy używać zmodyfikowanych wzorów na skrócone mnożenie.

Wykorzystajmy formuły:

(drobna modyfikacja znana formuła), następnie

Przykład3. Rozwiązać równanie .

Rozwiązanie:

Ułóżmy równanie w kostkę, korzystając z podanych wyżej wzorów.

Ale wyrażenie musi być równy prawej stronie. Dlatego mamy:

.

Teraz po sześciennie otrzymujemy zwykłe równanie kwadratowe:

, i jego dwa korzenie

Obie wartości, jak pokazał test, są prawidłowe.

Odpowiedź: x=2, x=-33.

Ale czy wszystkie przekształcenia tutaj są równoważne? Zanim odpowiemy na to pytanie, rozwiążmy jeszcze jedno równanie.

Przykład 4. Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie:

Podnosząc, jak poprzednio, obie części do trzeciej potęgi, mamy:

Skąd (biorąc pod uwagę, że wyrażenie w nawiasach to ), otrzymujemy:

Otrzymujemy, .Zróbmy sprawdzenie i upewnijmy się, że x=0 jest obcym pierwiastkiem.

Odpowiedź: .

Odpowiedzmy na pytanie: „Dlaczego powstały obce korzenie?”

Równość prowadzi do równości . Zastępując z -s, otrzymujemy:

Łatwo jest sprawdzić tożsamość

Więc jeśli , to albo , albo . Równanie można przedstawić jako , .

Zastępując z -s, otrzymujemy: if , to albo , albo

Dlatego korzystając z tej metody rozwiązania, konieczne jest sprawdzenie i upewnienie się, że nie ma obcych korzeni.

3 metoda. Metoda systemowa.

Przykład 5 Rozwiązać równanie .

Rozwiązanie:

Niech będzie ,. Następnie:

Jak to oczywiste, że

Drugie równanie układu otrzymuje się w taki sposób, że liniowa kombinacja wyrażeń pierwiastkowych nie zależy od zmiennej pierwotnej.

Łatwo zauważyć, że układ nie ma rozwiązania, a zatem pierwotne równanie nie ma rozwiązania.

Odpowiedź: Bez korzeni.

Przykład 6 Rozwiązać równanie .

Rozwiązanie:

Wprowadzamy zastąpienie, komponujemy i rozwiązujemy układ równań.

Niech będzie ,. Następnie

Wracając do pierwotnej zmiennej mamy:

Odpowiedź: x=0.

4 metoda. Wykorzystanie monotoniczności funkcji.

Zanim zastosujemy tę metodę, przejdźmy do teorii.

Będziemy potrzebować następujących właściwości:

Przykład 7 Rozwiązać równanie .

Rozwiązanie:

Lewa strona równania to funkcja rosnąca, a prawa strona to liczba, tj. stała, dlatego równanie ma nie więcej niż jeden pierwiastek, który wybieramy: x \u003d 9. Sprawdzenie, aby upewnić się, że korzeń jest odpowiedni.

Równania nazywane są irracjonalnymi, jeśli zawierają nieznaną ilość pod znakiem pierwiastka. Są to na przykład równania

W wielu przypadkach, stosując jednorazowo lub wielokrotnie potęgowanie obu części równania, można zredukować równanie niewymierne do równania algebraicznego jednego lub drugiego stopnia (co jest konsekwencją pierwotnego równania). Skoro podnosząc równanie do potęgi, mogą pojawić się rozwiązania obce, to po rozwiązaniu równania algebraicznego, do którego sprowadziliśmy to irracjonalne równanie, należy sprawdzić znalezione pierwiastki, podstawiając do pierwotnego równania i zapisać tylko te, które je spełniają, i odrzuć resztę - obcą.

Rozwiązując irracjonalne równania, ograniczamy się tylko do ich rzeczywistych korzeni; wszystkie pierwiastki równego stopnia w zapisie równań są rozumiane w sensie arytmetycznym.

Rozważ kilka typowe przykłady irracjonalne równania.

A. Równania zawierające niewiadomą pod pierwiastkiem kwadratowym. Jeśli to równanie zawiera tylko jeden Pierwiastek kwadratowy, pod znakiem którego jest nieznana, to ten korzeń należy wyizolować, to znaczy umieścić w jednej części równania, a wszystkie inne terminy należy przenieść do innej części. Po podniesieniu do kwadratu obu stron równania uwolniliśmy się już od irracjonalności i uzyskaliśmy równanie algebraiczne dla

Przykład 1. Rozwiąż równanie.

Rozwiązanie. Izolujemy pierwiastek po lewej stronie równania;

Otrzymane równanie do kwadratu:

Znajdujemy pierwiastki tego równania:

Weryfikacja pokazuje, że spełnia tylko pierwotne równanie.

Jeśli równanie zawiera dwa lub więcej pierwiastków zawierających x, to podnoszenie do kwadratu musi być powtórzone kilka razy.

Przykład 2. Rozwiąż następujące równania:

Rozwiązanie, a) Podnosimy obie strony równania do kwadratu:

Oddzielamy korzeń:

Otrzymane równanie jest ponownie podnoszone do kwadratu:

Po przekształceniach otrzymujemy równanie kwadratowe dla:

rozwiązać:

Podstawiając do pierwotnego równania, upewniamy się, że istnieje jego pierwiastek, ale jest to dla niego pierwiastek obcy.

b) Przykład można rozwiązać w ten sam sposób, w jaki rozwiązano przykład a). Jednak korzystając z faktu, że prawa strona tego równania nie zawiera nieznanej wielkości, postąpimy inaczej. Równanie mnożymy przez wyrażenie sprzężone z jego lewą stroną; dostajemy

Po prawej stronie znajduje się iloczyn sumy i różnicy, czyli różnicy kwadratów. Stąd

Po lewej stronie tego równania była suma pierwiastków kwadratowych; po lewej stronie otrzymanego równania jest różnica tych samych pierwiastków. Zapiszmy podane i otrzymane równania:

Biorąc sumę tych równań, otrzymujemy

Podnosimy do kwadratu ostatnie równanie i po uproszczeniach otrzymujemy

Stąd znajdujemy . Sprawdzając, jesteśmy przekonani, że tylko liczba służy jako pierwiastek tego równania. Przykład 3. Rozwiąż równanie

Tutaj, już pod radykalnym znakiem, mamy trójmiany kwadratowe.

Rozwiązanie. Równanie mnożymy przez wyrażenie sprzężone z jego lewą stroną:

Odejmij ostatnie równanie od podanego:

Podnieśmy do kwadratu to równanie:

Z ostatniego równania znajdujemy . Sprawdzając, jesteśmy przekonani, że tylko liczba x \u003d 1 służy jako pierwiastek tego równania.

B. Równania zawierające pierwiastki trzeciego stopnia. Układy równań niewymiernych. Ograniczamy się do pojedynczych przykładów takich równań i układów.

Przykład 4. Rozwiąż równanie

Rozwiązanie. Pokażmy dwa sposoby rozwiązania równania (70.1). Pierwszy sposób. Ułóżmy sześcian po obu stronach tego równania (patrz wzór (20.8)):

(tu podmieniliśmy sumę korzenie kostki numer 4, używając równania).

Więc mamy

czyli po uproszczeniach,

skąd oba pierwiastki spełniają pierwotne równanie.

Drugi sposób. Włóżmy

Równanie (70.1) zostanie zapisane jako . Co więcej, jasne jest, że . Z równania (70.1) przeszliśmy do układu

Dzieląc pierwsze równanie wyrazu układu przez wyraz przez drugie, otrzymujemy

Równanie irracjonalne to dowolne równanie, które zawiera funkcję pod znakiem pierwiastka. Na przykład:

Takie równania są zawsze rozwiązywane w 3 krokach:

1. Oddziel korzeń. Innymi słowy, jeśli na lewo od znaku równości oprócz pierwiastka znajdują się inne liczby lub funkcje, wszystko to należy przesunąć w prawo, zmieniając znak. Jednocześnie po lewej stronie powinien pozostać tylko radykał – bez żadnych współczynników.
2. 2. Podnosimy obie strony równania do kwadratu. Jednocześnie pamiętaj, że zakres pierwiastka to wszystkie liczby nieujemne. Stąd funkcja po prawej stronie irracjonalne równanie musi być również nieujemna: g (x) ≥ 0.
3. Trzeci krok wynika logicznie z drugiego: musisz przeprowadzić kontrolę. Faktem jest, że w drugim kroku moglibyśmy mieć dodatkowe korzenie. Aby je odciąć, konieczne jest podstawienie otrzymanych liczb kandydujących do pierwotnego równania i sprawdzenie: czy rzeczywiście uzyskano poprawną równość liczbową?

Rozwiązywanie irracjonalnego równania

Zajmijmy się naszym irracjonalnym równaniem podanym na samym początku lekcji. Tutaj korzeń jest już odosobniony: na lewo od znaku równości nie ma nic oprócz korzenia. Policzmy obie strony do kwadratu:

2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
x 2 - 4x - 12 = 0

Otrzymane równanie kwadratowe rozwiązujemy za pomocą wyróżnika:

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 \u003d -2

Pozostaje tylko podstawić te liczby w pierwotnym równaniu, tj. przeprowadzić kontrolę. Ale nawet tutaj możesz zrobić właściwą rzecz, aby uprościć ostateczną decyzję.

Jak uprościć decyzję

Zastanówmy się: dlaczego w ogóle sprawdzamy na końcu rozwiązywania irracjonalnego równania? Chcemy mieć pewność, że przy podstawieniu naszych pierwiastków po prawej stronie znaku równości pojawi się liczba nieujemna. Przecież wiemy już na pewno, że jest to liczba nieujemna po lewej stronie, ponieważ arytmetyczny pierwiastek kwadratowy (z powodu którego nasze równanie nazywa się irracjonalnym) z definicji nie może być mniejszy od zera.

Dlatego wystarczy sprawdzić, czy funkcja g ( x ) = 5 − x , która znajduje się na prawo od znaku równości, jest nieujemna:

g(x) ≥ 0

Wstawiamy nasze korzenie w tę funkcję i otrzymujemy:

g (x 1) \u003d g (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Z uzyskanych wartości wynika, że ​​pierwiastek x 1 = 6 nam nie odpowiada, ponieważ zastępując prawą stronę pierwotnego równania, otrzymujemy liczbę ujemną. Ale pierwiastek x 2 \u003d -2 jest dla nas całkiem odpowiedni, ponieważ:

1. Ten pierwiastek jest rozwiązaniem równania kwadratowego uzyskanego przez podniesienie obu stron irracjonalne równanie w kwadrat.
2. Prawa strona pierwotnego irracjonalnego równania, gdy podstawi się pierwiastek x 2 = -2, zamienia się w liczbę dodatnią, tj. zakres pierwiastek arytmetyczny nie zepsute.

To cały algorytm! Jak widać, rozwiązywanie równań z pierwiastkami nie jest takie trudne. Najważniejsze, aby nie zapomnieć o sprawdzeniu otrzymanych korzeni, w przeciwnym razie bardzo prawdopodobne jest uzyskanie dodatkowych odpowiedzi.