다른 뿌리를 내려 놓으십시오. 뿌리 빼기 규칙
숫자의 제곱근 엑스전화번호 ㅏ, 자신을 증식시키는 과정에서 ( A*A) 숫자를 줄 수 있습니다 엑스.
저것들. A * A = A 2 = X, 그리고 √X = A.
제곱근 이상( √x), 다른 숫자와 마찬가지로 빼기 및 더하기와 같은 산술 연산을 수행할 수 있습니다. 근을 빼고 더하려면 이러한 작업에 해당하는 기호를 사용하여 연결해야 합니다(예: √x- √y
).
그런 다음 그들에게 뿌리를 가져옵니다. 가장 단순한 형태- 그들 사이에 유사한 것이 있으면 캐스트를해야합니다. 해당 항의 부호가 있는 유사한 항의 계수를 취한 다음 대괄호로 묶고 공통 근이 승수 대괄호 외부에 표시된다는 사실로 구성됩니다. 우리가 얻은 계수는 일반적인 규칙에 따라 단순화됩니다.
1단계. 제곱근 추출
먼저 제곱근을 추가하려면 먼저 이 근을 추출해야 합니다. 이것은 근 기호 아래의 숫자가 완전제곱수인 경우 수행할 수 있습니다. 예를 들어, 주어진 표현식을 취하십시오 √4 + √9
. 첫 번째 숫자 4
숫자의 제곱이다 2
. 두 번째 숫자 9
숫자의 제곱이다 3
. 따라서 다음과 같은 평등을 얻을 수 있습니다. √4 + √9 = 2 + 3 = 5
.
모든 것, 예제가 해결되었습니다. 그러나 항상 그런 것은 아닙니다.
2단계. 루트 아래에서 숫자의 승수 빼기
루트 기호 아래에 완전한 사각형이 없으면 루트 기호 아래에서 숫자의 승수를 빼려고 할 수 있습니다. 예를 들어, √24 + √54 .
숫자를 인수분해해 보겠습니다.
24 = 2 * 2 * 2 * 3
,
54 = 2 * 3 * 3 * 3
.
목록에 있음 24 우리는 승수가있다 4 , 제곱근 기호 아래에서 꺼낼 수 있습니다. 목록에 있음 54 우리는 승수가있다 9 .
우리는 평등을 얻습니다.
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6
.
이 예를 고려하여 루트 기호 아래에서 요소를 제거하여 주어진 표현식을 단순화합니다.
3단계. 분모 줄이기
다음 상황을 고려하십시오. 두 제곱근의 합은 분수의 분모입니다. 예를 들어, A / (√a + √b).
이제 우리는 "분모의 불합리성을 제거"하는 작업에 직면 해 있습니다.
다음 방법을 사용합시다. 분수의 분자와 분모에 표현식을 곱합니다. √a - √b.
이제 분모에서 약식 곱셈 공식을 얻습니다.
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.
유사하게, 분모에 근의 차이가 포함된 경우: √a - √b, 분수의 분자와 분모에 식을 곱합니다. √a + √b.
분수를 예로 들어 보겠습니다.
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3)
.
복소분모 축소의 예
이제 충분히 고려해보자 복잡한 예분모의 불합리성을 제거합니다.
분수를 예로 들어 보겠습니다. 12 / (√2 + √3 + √5)
.
분자와 분모를 취하여 식을 곱해야 합니다. √2 + √3 - √5
.
우리는 다음을 얻습니다:
12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
4단계. 계산기에서 대략적인 값 계산
근사값만 필요한 경우 계산기에서 제곱근 값을 계산하여 수행할 수 있습니다. 별도로 각 숫자에 대해 소수점 이하 자릿수로 결정되는 필요한 정확도로 값을 계산하고 기록합니다. 또한 일반 번호와 마찬가지로 필요한 모든 작업이 수행됩니다.
추정 계산 예
이 식의 대략적인 값을 계산할 필요가 있습니다. √7 + √5 .
결과적으로 다음을 얻습니다.
√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .
참고: 어떤 경우에도 제곱근을 소수로 추가하면 안 됩니다. 이는 완전히 허용되지 않습니다. 즉, 추가하면 제곱근 5에서 3에서 8의 제곱근을 얻을 수 없습니다.
유용한 조언: 숫자를 인수분해하기로 결정한 경우 루트 기호 아래에서 제곱을 유도하려면 역 확인을 수행해야 합니다. 수학적 계산은 원래 주어진 숫자여야 합니다.
수학에서 근은 제곱, 입방 또는 다른 지수(승수)를 가질 수 있으며 이는 근 기호 위의 왼쪽에 기록됩니다. 루트 기호 아래의 표현식을 루트 표현식이라고 합니다. 루트 추가는 항 추가와 유사합니다. 대수식즉, 유사한 루트의 정의가 필요합니다.
단계
1/2부: 뿌리 찾기루트 지정.어근() 아래의 표현은 이 표현에서 어느 정도의 어근을 추출할 필요가 있음을 의미합니다.
- 루트는 기호로 표시됩니다.
- 루트의 인덱스(도)는 루트 기호 위 왼쪽에 기록됩니다. 예를 들어, 27의 세제곱근은 다음과 같이 작성됩니다. (27)
- 루트의 지수(차수)가 없으면 지수는 2로 간주됩니다. 즉, 제곱근(또는 두 번째 차수의 루트)입니다.
- 루트 기호 앞에 쓰여진 숫자를 승수(즉, 이 숫자에 루트를 곱함)라고 합니다(예: 5(2)).
- 근 앞에 인수가 없으면 1과 같습니다(1을 곱한 숫자는 자기 자신과 같음).
- 근을 처음 사용하는 경우 혼동되지 않고 목적을 더 잘 이해할 수 있도록 근의 승수와 지수에 대해 적절한 메모를 하십시오.
접힐 수 있는 뿌리와 접을 수 없는 뿌리를 기억하십시오. 2a + 2b 4ab와 같이 표현식의 다른 항을 추가할 수 없는 것처럼 다른 근을 추가할 수 없습니다.
유사한 뿌리를 식별하고 그룹화하십시오.유사한 루트는 동일한 지수와 동일한 루트 표현식을 갖는 루트입니다. 예를 들어 다음 표현식을 고려하십시오.
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)
- 먼저 지수가 같은 근이 직렬이 되도록 식을 다시 작성합니다.
2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81) - 그런 다음 같은 지수와 같은 루트 표현식을 가진 루트가 직렬이 되도록 표현식을 다시 작성하십시오.
2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)
뿌리를 단순화하십시오.이렇게 하려면 급진적 표현을 (가능한 경우) 두 가지 요소로 분해하고 그 중 하나는 루트 아래에서 가져옵니다. 이 경우 렌더링된 수와 루트 요소가 곱해집니다.
유사한 뿌리의 요인을 추가하십시오.이 예에는 2의 유사한 제곱근(추가 가능)과 3의 유사한 제곱근(추가 가능)이 있습니다. ~에 큐브 루트 3 중 그러한 뿌리는 없습니다.
- 식에서 어근을 쓰는 순서에 대해 일반적으로 허용되는 규칙은 없습니다. 따라서 지수의 오름차순과 급진적 표현의 오름차순으로 근을 쓸 수 있습니다.
주의, 오늘만!
모든 흥미로운
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루트 표현식에 변수가 있는 수학 연산 세트가 포함되어 있으면 단순화의 결과로 비교적 간단한 값을 얻을 수 있으며 그 중 일부는 루트 아래에서 가져올 수 있습니다. 이 단순화는 유용합니다 ...
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숫자의 제곱근 엑스전화번호 ㅏ, 자신을 증식시키는 과정에서 ( A*A) 숫자를 줄 수 있습니다 엑스.
저것들. A * A = A 2 = X, 그리고 √X = A.
제곱근 이상( √x), 다른 숫자와 마찬가지로 빼기 및 더하기와 같은 산술 연산을 수행할 수 있습니다. 근을 빼고 더하려면 이러한 작업에 해당하는 기호를 사용하여 연결해야 합니다(예: √x - √y
).
그런 다음 뿌리를 가장 단순한 형태로 가져 오십시오. 뿌리 사이에 비슷한 것이 있으면 캐스트를 만들어야합니다. 해당 항의 부호가 있는 유사한 항의 계수를 취한 다음 대괄호로 묶고 공통 근이 승수 대괄호 외부에 표시된다는 사실로 구성됩니다. 우리가 얻은 계수는 일반적인 규칙에 따라 단순화됩니다.
1단계. 제곱근 추출
먼저 제곱근을 추가하려면 먼저 이 근을 추출해야 합니다. 이것은 근 기호 아래의 숫자가 완전제곱수인 경우 수행할 수 있습니다. 예를 들어, 주어진 표현식을 취하십시오 √4 + √9
. 첫 번째 숫자 4
숫자의 제곱이다 2
. 두 번째 숫자 9
숫자의 제곱이다 3
. 따라서 다음과 같은 평등을 얻을 수 있습니다. √4 + √9 = 2 + 3 = 5
.
모든 것, 예제가 해결되었습니다. 그러나 항상 그런 것은 아닙니다.
2단계. 루트 아래에서 숫자의 승수 빼기
루트 기호 아래에 완전한 사각형이 없으면 루트 기호 아래에서 숫자의 승수를 빼려고 할 수 있습니다. 예를 들어, √24 + √54 .
숫자를 인수분해해 보겠습니다.
24 = 2 * 2 * 2 * 3
,
54 = 2 * 3 * 3 * 3
.
목록에 있음 24 우리는 승수가있다 4 , 제곱근 기호 아래에서 꺼낼 수 있습니다. 목록에 있음 54 우리는 승수가있다 9 .
우리는 평등을 얻습니다.
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6
.
이 예를 고려하여 루트 기호 아래에서 요소를 제거하여 주어진 표현식을 단순화합니다.
3단계. 분모 줄이기
다음 상황을 고려하십시오. 두 제곱근의 합은 분수의 분모입니다. 예를 들어, A / (√a + √b).
이제 우리는 "분모의 불합리성을 제거"하는 작업에 직면 해 있습니다.
다음 방법을 사용합시다. 분수의 분자와 분모에 표현식을 곱합니다. √a - √b.
이제 분모에서 약식 곱셈 공식을 얻습니다.
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.
유사하게, 분모에 근의 차이가 포함된 경우: √a - √b, 분수의 분자와 분모에 식을 곱합니다. √a + √b.
분수를 예로 들어 보겠습니다.
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3)
.
복소분모 축소의 예
이제 우리는 분모에서 비합리성을 제거하는 다소 복잡한 예를 고려할 것입니다.
분수를 예로 들어 보겠습니다. 12 / (√2 + √3 + √5)
.
분자와 분모를 취하여 식을 곱해야 합니다. √2 + √3 — √5
.
12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.
4단계. 계산기에서 대략적인 값 계산
근사값만 필요한 경우 계산기에서 제곱근 값을 계산하여 수행할 수 있습니다. 별도로 각 숫자에 대해 소수점 이하 자릿수로 결정되는 필요한 정확도로 값을 계산하고 기록합니다. 또한 일반 번호와 마찬가지로 필요한 모든 작업이 수행됩니다.
추정 계산 예
이 식의 대략적인 값을 계산할 필요가 있습니다. √7 + √5 .
결과적으로 다음을 얻습니다.
√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .
참고: 어떤 경우에도 제곱근을 소수로 추가하면 안 됩니다. 이는 완전히 허용되지 않습니다. 즉, 5와 3의 제곱근을 더하면 8의 제곱근을 얻을 수 없습니다.
유용한 조언: 숫자를 인수분해하기로 결정한 경우 루트 기호 아래에서 제곱을 유도하려면 역 확인을 수행해야 합니다. 수학적 계산은 원래 주어진 숫자여야 합니다.
뿌리 빼기 규칙
1. 음수가 아닌 숫자의 곱에서 차수의 근은 요인에서 같은 차수의 근을 곱한 것과 같습니다. 여기서 (곱에서 근을 추출하는 규칙).
2. 이면 y(분수에서 근을 추출하는 규칙).
3. 그렇다면 (루트에서 루트를 추출하는 규칙).
4. 그렇다면 루트를 권력으로 키우는 규칙).
5. If then where, 즉, 루트 인덱스와 라디칼 표현 인덱스는 같은 수를 곱할 수 있습니다.
6. 그렇다면 0, 즉 더 큰 양의 라디칼 표현은 더 큰 루트 값에 해당합니다.
7. 위의 모든 공식은 다음에서 자주 사용됩니다. 역순으로(즉, 오른쪽에서 왼쪽으로). 예를 들어,
(근의 곱셈 규칙);
(뿌리를 나누는 규칙);
8. 루트의 부호 아래에서 승수를 빼는 규칙. ~에
9. 역 문제 - 근의 부호 아래에 요인을 도입합니다. 예를 들어,
10. 분수의 분모에서 비합리성의 파괴.
몇 가지 전형적인 경우를 생각해 봅시다.
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예를 들어,
11. 산술 근이 있는 연산에 약식 곱셈 항등식 적용:
12. 근 앞에 있는 인수를 계수라고 합니다. 예를 들어 여기 3은 요인입니다.
13. 근(근수)은 근 지수와 근수 표현이 같지만 계수만 다를 경우 유사하다고 합니다. 이 어근(급수)이 유사한지 여부를 판단하려면 가장 단순한 형태로 줄여야 합니다.
예를 들어, 및 유사하기 때문에
솔루션이 있는 운동
1. 표현을 단순화하십시오:
결정. 1) 각 인자가 정수의 제곱을 나타내므로 근식을 곱하는 것은 의미가 없습니다. 제품에서 루트를 추출하는 규칙을 사용합시다.
앞으로 이러한 조치는 구두로 수행됩니다.
2) 가능하면 각각이 정수의 세제곱인 요인의 곱으로 급진적 표현을 표현하고 곱의 근에 대한 규칙을 적용해 보겠습니다.
2. 표현식의 값을 찾습니다.
결정. 1) 분수에서 근을 추출하는 규칙에 따르면 다음과 같습니다.
3) 급진적 표현을 변환하고 루트를 추출합니다.
3. 언제 단순화
결정. 루트에서 루트를 추출할 때 루트의 인덱스가 곱해지고 루트 표현식은 변경되지 않습니다.
루트 아래 루트 앞에 계수가 있으면 루트 추출 작업을 수행하기 전에이 계수가 앞에있는 라디칼의 부호 아래에 입력됩니다.
위의 규칙에 따라 마지막 두 루트를 추출합니다.
4. 힘을 키우다:
결정. 루트를 거듭제곱할 때 루트 지수는 변경되지 않고 유지되며 급진적 표현 지수에 지수를 곱합니다.
(정의되어 있으므로 );
만약 주어진 루트계수가 있는 경우 이 계수는 별도로 거듭제곱되고 결과는 루트에 계수로 기록됩니다.
여기서 우리는 루트의 인덱스와 급진적 표현의 인덱스에 같은 수를 곱할 수 있다는 규칙을 사용했습니다(우리는 곱하기 즉, 2로 나눕니다).
예를 들어, 또는
4) 두 개의 서로 다른 라디칼의 합을 나타내는 괄호 안의 표현은 다음과 같이 세제곱되어 단순화됩니다.
우리가 가지고 있기 때문에:
5. 분모의 비합리성을 제거하십시오.
결정. 분수의 분모에서 비합리성을 제거(파괴)하려면 분모가 있는 곱에서 다음을 제공하는 가장 간단한 표현을 찾아야 합니다. 합리적인 표현, 이 분수의 분자와 분모에 찾은 인수를 곱합니다.
예를 들어, 분수의 분모에 이항식이 있는 경우 분수의 분자와 분모에 분모에 대한 켤레 식을 곱해야 합니다.
더에서 어려운 경우즉시가 아니라 여러 단계로 불합리성을 파괴하십시오.
1) 표현식은 다음을 포함해야 합니다.
분수의 분자와 분모를 곱하면 다음을 얻습니다.
2) 분수의 분자와 분모에 불완전 제곱을 곱하면 다음을 얻습니다.
3) 분수를 공통 분모로 가져오자:
이 예제를 풀 때 각 분수에는 의미가 있음을 명심해야 합니다. 즉, 각 분수의 분모는 0과 다릅니다. 게다가,
급수가 포함된 표현식을 변환할 때 종종 실수가 발생합니다. 이는 산술근의 개념(정의)과 절대값을 올바르게 적용하지 못하기 때문에 발생합니다.
뿌리 빼기 규칙
표현식 값 계산
결정.
설명.
루트 표현식을 축소하기 위해 루트 표현식의 두 번째 요소에서 숫자 31을 15+16의 합으로 표현해 보겠습니다. (라인 2)
변환 후, 두 번째 근수식의 합은 약식 곱셈식을 이용하여 합의 제곱으로 나타낼 수 있음을 알 수 있다. (라인 3)
이제 주어진 곱의 각 근을 차수로 표현해 보겠습니다. (라인 4)
표현식을 단순화하십시오(5행).
곱의 검정력은 각 요인의 검정력의 곱과 같으므로 이에 따라 이를 나타냅니다(6행).
보시다시피, 약식 곱셈의 공식에 따르면 두 숫자의 제곱의 차이가 있습니다. 식의 값을 어디서부터 계산하고 계산합니까(7행).
식의 값을 계산합니다.
결정.
설명.
우리는 루트의 속성을 사용합니다. 임의의 개인 숫자 거듭제곱의 루트는 이러한 숫자의 루트의 개인과 동일합니다(라인 2).
같은 차수의 임의 거듭제곱의 근은 이 숫자와 같습니다(라인 3).
첫 번째 승수의 대괄호에서 빼기를 제거합시다. 이 경우 대괄호 안의 모든 문자가 반전됩니다(4행).
분수를 줄이자(5행)
숫자 729를 숫자 27의 제곱으로 표현하고 숫자 27을 숫자 3의 세제곱으로 표현합시다. 여기서 우리는 급진적 표현의 값을 얻습니다.
제곱근. 첫 번째 수준입니다.
당신의 강점을 테스트하고 통합 국가 시험 또는 OGE에 대한 준비의 결과를 알아보시겠습니까?
1. 산술 제곱근의 개념 소개
음이 아닌 숫자의 제곱근(산술 제곱근)은 제곱이 같은 음이 아닌 숫자입니다.
.
루트 기호 아래의 숫자 또는 표현식은 음수가 아니어야 합니다.
2. 정사각형 테이블
3. 산술 제곱근의 속성
산술 제곱근 개념 소개
"뿌리"가 어떤 개념이고 "무엇과 함께 먹는지"에 대해 알아 봅시다. 이렇게 하려면 수업에서 이미 접한 예를 고려하십시오(아니면 이 문제에 직면해야 합니다).
예를 들어 방정식이 있습니다. 해결 방법이 무엇입니까 주어진 방정식? 제곱하여 동시에 얻을 수 있는 숫자는 무엇입니까? 구구단을 기억하면 답을 쉽게 줄 수 있습니다. 그리고 (두 개의 음수를 곱하면 양수가 나오기 때문입니다)! 단순화하기 위해 수학자들은 제곱근이라는 특별한 개념을 도입하고 특별한 기호를 할당했습니다.
산술 제곱근을 정의합시다.
숫자가 음수가 아니어야 하는 이유는 무엇입니까? 예를 들어, 같음은 무엇입니까? 자, 알아내도록 합시다. 아마 3개? 확인합시다. 아마도, ? 다시 확인하십시오. 글쎄, 그것은 선택되지 않았습니까? 이것은 예상된 것입니다. 제곱할 때 음수가 되는 숫자가 없기 때문입니다!
그러나 정의에 "숫자는 제곱이 같은 음수가 아닌 숫자"의 제곱근의 해가 있다고 이미 명시되어 있음을 눈치채셨을 것입니다. 그리고 맨 처음에 우리는 제곱하고 동시에 얻을 수있는 선택된 숫자의 예를 분석했습니다. 대답은 and, 여기에서는 일종의 "음수가 아닌 숫자"에 대해 이야기하고 있습니다! 그러한 지적은 매우 적절합니다. 여기서 단순히 이차 방정식의 개념과 숫자의 산술 제곱근을 구별하는 것이 필요합니다. 예를 들어 표현식과 동일하지 않습니다.
그리고 그 뒤를 따릅니다.
물론 이것은 매우 혼란스럽습니다. 그러나 기호는 방정식을 푼 결과라는 것을 기억해야 합니다. 방정식을 풀 때 원래 방정식에 대입할 때 올바른 값을 줄 모든 x를 기록해야 하기 때문입니다. 결과. 우리의 2차 방정식에서 and는 둘 다 맞습니다.
하지만, 무언가의 제곱근을 취하면 항상 음이 아닌 결과를 얻습니다..
이제 이 방정식을 풀어보십시오. 모든 것이 그렇게 간단하고 매끄럽지 않습니까? 숫자를 정렬해 보세요. 뭔가 타버릴까요?
맨 처음부터 시작해 보겠습니다. - 맞지 않습니다. 계속 진행하십시오. - 3개 미만일 경우 옆으로 닦기도 합니다. 하지만 만약 그렇다면? 확인합시다 : - 또한 적합하지 않습니다. 왜냐하면 3개 이상입니다. 음수를 사용하면 같은 이야기가 나옵니다. 이제 무엇을 해야 할까요? 검색 결과 아무것도 나오지 않았습니까? 전혀 그렇지 않습니다. 이제 우리는 답이 and 사이뿐만 아니라 and 사이에 있을 것이라는 것을 확실히 압니다. 또한 솔루션이 정수가 아닐 것이 분명합니다. 게다가 그들은 합리적이지 않습니다. 다음은 무엇입니까? 함수의 그래프를 만들고 그 위에 솔루션을 표시해 보겠습니다.
시스템을 속여 계산기를 이용해 답을 구해보자! 사업의 뿌리를 내리자! Oh-oh-oh, 그런 숫자는 결코 끝나지 않는다는 것이 밝혀졌습니다. 시험에 계산기가 없을 것이기 때문에 이것을 어떻게 기억할 수 있습니까!? 모든 것이 매우 간단합니다. 기억할 필요도 없고 대략적인 값을 기억해야 합니다(또는 빠르게 추정할 수 있어야 함). 그리고 답 자체. 이러한 수를 무리수라고 하며, 이러한 수의 표기를 단순화하기 위해 제곱근의 개념이 도입되었습니다.
강화할 다른 예를 살펴보겠습니다. 다음 문제를 분석해 보겠습니다. 한 변이 km인 정사각형 들판을 대각선으로 건너야 합니다. 몇 km를 가야 합니까?
여기서 가장 분명한 것은 삼각형을 별도로 고려하고 피타고라스 정리를 사용하는 것입니다. 따라서, . 여기서 필요한 거리는 얼마입니까? 분명히, 거리는 음수가 될 수 없습니다. 우리는 그것을 얻습니다. 2의 근은 거의 같지만 앞에서 언급했듯이 이미 완전한 답입니다.
뿌리 추출
예를 뿌리로 풀어서 문제를 일으키지 않으려면 그것을 보고 인식해야 합니다. 이렇게 하려면 최소한 ~에서까지의 숫자의 제곱을 알아야 하고 이를 인식할 수 있어야 합니다.
즉, 제곱이 무엇인지, 반대로 제곱이 무엇인지 알아야 합니다. 처음에는 이 표가 루트 추출에 도움이 될 것입니다.
충분한 수의 예제를 해결하자마자 그 필요성은 자동으로 사라집니다.
다음 표현식에서 제곱근을 직접 추출해 보십시오.
글쎄, 그것은 어떻게 작동 했습니까? 이제 다음 예를 살펴보겠습니다.
산술 제곱근의 속성
이제 근을 추출하는 방법을 알았고 산술 제곱근의 속성에 대해 알아볼 시간입니다. 그 중 3개만 있습니다.
- 곱셈;
- 분할;
- 지수화.
글쎄, 그들은이 표와 물론 훈련의 도움으로 매우 쉽게 기억할 수 있습니다.
결정 방법
이차 방정식
이전 수업에서 "일차방정식 풀이 방법", 즉 1차 방정식을 분석했습니다. 이번 강의에서는 이차 방정식이란 무엇입니까그리고 그것을 해결하는 방법.
이차 방정식이란 무엇입니까
방정식의 차수는 미지수가 나타내는 가장 높은 차수에 의해 결정됩니다.
미지수의 최대 차수가 "2"이면 이차 방정식이 있습니다.
이차 방정식의 예
- 5x2 - 14x + 17 = 0
- -x 2 + x +
"a", "b" 및 "c"를 찾으려면 방정식을 2차 방정식 "ax 2 + bx + c = 0"의 일반 형식과 비교해야 합니다.
이차 방정식에서 계수 "a", "b" 및 "c"를 결정하는 것을 연습해 보겠습니다.
- a=5
- b = -14
- c = 17
- a = -7
- b = -13
- c = 8
- a = -1
- b = 1
- 에이 = 1
- b = 0.25
- c = 0
- 에이 = 1
- b = 0
- c = -8
이차 방정식을 푸는 방법
같지 않은 선형 방정식이차 방정식을 풀기 위해 특별한 뿌리를 찾는 공식.
이차 방정식을 풀려면 다음이 필요합니다.
- 이차 방정식을 가져옵니다 일반보기" 도끼 2 + bx + c = 0 ". 즉, "0"만 오른쪽에 남아 있어야 합니다.
- 뿌리에 대한 공식을 사용하십시오.
이차 방정식의 근을 찾기 위해 공식을 적용하는 방법을 알아보기 위해 예를 사용하겠습니다. 이차방정식을 풀어봅시다.
방정식 "x 2 − 3x − 4 = 0"은 이미 일반 형식 "ax 2 + bx + c = 0"으로 축소되었으며 추가 단순화가 필요하지 않습니다. 그것을 해결하려면 적용 만하면됩니다. 이차 방정식의 근을 찾는 공식.
이 방정식에 대한 계수 "a", "b" 및 "c"를 정의합시다.
- 에이 = 1
- b = -3
- c = -4
공식에 대입하고 뿌리를 찾으십시오.
뿌리를 찾는 공식을 반드시 외우십시오.
그것의 도움으로 모든 이차 방정식이 해결됩니다.
이차 방정식의 다른 예를 고려하십시오.
이 형식에서는 계수 "a", "b" 및 "c"를 결정하기가 매우 어렵습니다. 먼저 방정식을 일반 형식 "ax 2 + bx + c = 0"으로 가져오겠습니다.
이제 뿌리에 대한 공식을 사용할 수 있습니다.
이차 방정식에 근이 없는 경우가 있습니다. 이 상황은 루트 아래 수식에 음수가 나타날 때 발생합니다.
제곱근의 정의에서 음수의 제곱근을 사용할 수 없다는 것을 기억합니다.
근이 없는 이차 방정식의 예를 고려하십시오.
그래서 루트 아래에 음수가 있는 상황이 발생했습니다. 이것은 방정식에 근이 없다는 것을 의미합니다. 그래서 이에 대한 답으로 "진짜 뿌리는 없다"라고 적었다.
"진짜 뿌리가 없다"는 말은 무엇을 의미합니까? 왜 "뿌리 없음"이라고 쓸 수 없습니까?
사실 그러한 경우에 뿌리가 있지만, 그 틀 안에서 학교 커리큘럼그들은 전달되지 않았으므로 이에 대한 응답으로 우리는 다음과 같이 기록합니다. 실수뿌리가 없습니다. 즉, "진짜 뿌리는 없다."
불완전한 이차 방정식
때때로 명시적 계수 "b" 및/또는 "c"가 없는 이차 방정식이 있습니다. 예를 들어, 이 방정식에서:
이러한 방정식을 불완전이라고 합니다. 이차 방정식. 그것들을 푸는 방법은 "불완전한 이차 방정식" 단원에서 논의됩니다.
숫자의 제곱근을 추출하는 것은 이 수학적 현상으로 수행할 수 있는 유일한 작업이 아닙니다. 일반 숫자와 마찬가지로 제곱근은 더하고 뺄 수 있습니다.
Yandex.RTB R-A-339285-1
제곱근의 덧셈과 뺄셈 규칙
정의 1제곱근의 덧셈과 뺄셈과 같은 동작은 루트 표현식이 동일한 경우에만 가능합니다.
실시예 1
표현식을 더하거나 뺄 수 있습니다 2 3 그리고 6 3, 하지만 5 6 그리고 9 4 . 식을 단순화하여 같은 근수를 가진 근으로 가져오는 것이 가능하면 단순화한 다음 더하거나 빼십시오.
루트 작업: 기본 사항
실시예 26 50 - 2 8 + 5 12
액션 알고리즘:
- 루트 표현식 단순화. 이렇게하려면 루트 표현식을 2 개의 요소로 분해해야하며 그 중 하나는 제곱수 (전체 제곱근이 추출되는 숫자, 예를 들어 25 또는 9)입니다.
- 그런 다음에서 루트를 추출해야합니다. 제곱수 루트 기호 앞에 결과 값을 씁니다. 두 번째 요소는 루트 기호 아래에 입력됩니다.
- 단순화 과정 후에 동일한 급진적 표현으로 뿌리에 밑줄을 긋는 것이 필요합니다. 뿌리는 더하고 빼기만 하면 됩니다.
- 근수 표현이 같은 근의 경우 근 기호 앞에 오는 요소를 더하거나 빼야 합니다. 루트 표현식은 변경되지 않습니다. 루트 번호를 더하거나 빼지 마십시오!
팁 1
당신이 가진 예가 있다면 많은 분량동일한 급진적 표현은 계산 과정을 용이하게 하기 위해 단일, 이중 및 삼중 선으로 이러한 표현에 밑줄을 긋습니다.
실시예 3
다음 예를 시도해 보겠습니다.
6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . 먼저 50을 2개의 인수 25와 2로 분해한 다음 25의 근, 즉 5를 취하여 근 아래에서 5를 빼야 합니다. 그 후, 5를 6(루트의 승수)으로 곱하고 30 2 를 얻어야 합니다.
2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . 먼저 8을 4와 2의 2개의 인수로 분해해야 합니다. 그런 다음 4에서 2와 동일한 루트를 추출하고 루트 아래에서 2를 꺼냅니다. 그런 다음 2에 2(근의 인수)를 곱하고 4 2 를 얻어야 합니다.
5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . 먼저 12를 2개의 인수(4와 3)로 분해해야 합니다. 그런 다음 4에서 루트(2)를 추출하고 루트 아래에서 빼냅니다. 그런 다음 2에 5(근의 인수)를 곱하고 10 3 을 얻어야 합니다.
단순화 결과: 30 2 - 4 2 + 10 3
30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .
그 결과 동일한 급진적 표현이 얼마나 많이 포함되어 있는지 확인했습니다. 이 예. 이제 다른 예제로 연습해 봅시다.
실시예 4
- 단순화(45) . 우리는 45를 인수분해합니다: (45) = (9 × 5) ;
- 우리는 루트 (9 \u003d 3)에서 3을 꺼냅니다. 45 \u003d 3 5;
- 루트에 인수를 추가합니다. 3 5 + 4 5 = 7 5 .
실시예 5
6 40 - 3 10 + 5:
- 단순화 6 40 . 우리는 40을 인수분해합니다: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
- 우리는 루트 (4 \u003d 2) 아래에서 2를 꺼냅니다. 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
- 루트 앞에 있는 인수를 곱합니다. 12 10;
- 우리는 표현식을 단순화 된 형태로 씁니다. 12 10 - 3 10 + 5;
- 처음 두 항의 근수는 같으므로 (12 - 3) 10 = 9 10 + 5로 뺄 수 있습니다.
실시예 6
보시다시피, 근수를 단순화하는 것은 불가능하므로 예제에서 동일한 근수를 가진 구성원을 찾고 수학 연산(더하기, 빼기 등)을 수행하고 결과를 작성합니다.
(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .
조언:
- 더하거나 빼기 전에 급진적 표현을 (가능한 경우) 단순화하는 것이 필수적입니다.
- 루트 표현식이 다른 루트를 더하거나 빼는 것은 엄격히 금지됩니다.
- 정수 또는 제곱근을 더하거나 빼지 마십시오: 3 + (2 x) 1 / 2 .
- 분수로 작업을 수행할 때 각 분모로 완전히 나눌 수 있는 숫자를 찾은 다음 분수를 공통 분모로 가져온 다음 분자를 더하고 분모를 변경하지 않은 상태로 두어야 합니다.
텍스트에서 실수를 발견하면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.
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