수업 주제: 위치 번호 시스템의 산술 연산.

9학년

수업 목표:

남을 가르치고 싶어하는: 학생들에게 이진법의 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈을 익히고 이러한 작업을 수행하는 기술의 기본 실습을 수행합니다.

교육적인: 새로운 것을 배우는 것에 대한 학생들의 관심을 개발하고 계산에 대한 비표준 접근 방식의 가능성을 보여줍니다.

개발 중: 주의력, 사고의 엄격함, 추론 능력을 개발하십시오.

수업 구조.

오르그모멘트 -1 분.

구두시험으로 숙제 확인하기 -15 분.

숙제 -2분.

소재의 동시분석과 독자개발로 문제점 해결 -25분

수업 요약 -2분.

수업 중

조직적 순간.

숙제 확인(구술 시험) .

교사는 질문을 순서대로 읽습니다. 학생들은 질문을 작성하지 않고 주의 깊게 경청합니다. 답변만 녹음되며 매우 간략합니다. (한 단어로 답할 수 있는 경우 이 단어만 녹음됩니다.)

숫자 시스템이란 무엇입니까? (-이것은 숫자라고 불리는 일부 알파벳의 문자를 사용하여 특정 규칙에 따라 숫자를 쓰는 기호 시스템입니다. )

어떤 숫자 체계를 알고 있습니까?( 비 위치 및 위치 )

위치가 아닌 시스템이라고 하는 시스템은 무엇입니까? (숫자에 있는 숫자의 양적 등가물(정량적 값)이 숫자 표기법에서의 위치에 의존하지 않는 경우 SCH는 위치가 아닌 것입니다. ).

위치 SSC의 기반은 무엇입니까? (알파벳을 구성하는 자릿수와 동일 )

10진수 NSC에서 다른 정수로 정수를 변환하려면 어떤 수학 연산을 사용해야 합니까? (분할 )

숫자를 10진수에서 2진수로 변환하려면 어떻게 해야 합니까? (지속적으로 2로 나눕니다. )

11.1이라는 숫자는 몇 번이나 줄어들 것인가 2 쉼표를 왼쪽으로 한 문자 이동할 때? (2 배 )

이제 비범한 소녀에 대한 구절을 듣고 질문에 답해 봅시다. (시처럼 들린다 )

비범한 소녀

그녀는 천백세였다
그녀는 백 일등석에 갔고,
나는 내 포트폴리오에 백 권의 책을 가지고 다녔다.
이 모든 것은 헛소리가 아니라 사실입니다.

십여 발로 먼지를 털고 있을 때,
그녀는 길을 따라 걸었다.
그녀는 항상 강아지가 뒤따랐다
꼬리는 하나지만 다리는 백 개입니다.

그녀는 모든 소리를 잡았습니다
열 개의 귀로
그리고 그을린 열 개의 손
그들은 서류 가방과 가죽 끈을 들고 있었습니다.

그리고 열 개의 짙은 푸른 눈
습관적으로 세상을 생각하고,
그러나 모든 것이 아주 정상이 될 것입니다.
내 이야기를 이해했을 때.

/ N. 스타리코프 /

그리고 그 소녀는 몇 살이었습니까? (12 살 ) 그녀는 어떤 반에 갔습니까? (5 학년 ) 그녀의 팔과 다리는 몇 개였습니까? (2개의 팔, 2개의 다리 ) 강아지의 다리는 어떻게 100개입니까? (4발 )

시험이 끝나면 학생들이 스스로 답을 발음하고 자가진단을 하고 스스로 점수를 매긴다.

표준:

10개의 정답(작은 결함일 수 있음) - "5";

9 또는 8 - "4";

7, 6 – “3”;

나머지는 "2"입니다.

Ⅱ. 숙제 (2분)

10111 2 - 1011 2 = ? ( 1100 2 )
10111 2 + 1011 2 = ? ( 100010 2 )
10111 2 * 1011 2 = ? ( 11111101 2 ))

III. 새로운 재료로 작업

이진 시스템의 산술 연산.

이진수 시스템의 산술은 숫자의 덧셈, 뺄셈 및 곱셈 테이블의 사용을 기반으로 합니다. 산술 피연산자는 테이블의 맨 위 행과 첫 번째 열에 있으며 결과는 열과 행의 교차점에 있습니다.

0

1

1

1

덧셈.

이진 덧셈 테이블은 매우 간단합니다. 1 + 1을 더할 때 한 가지 경우에만 최상위 비트로의 전송이 발생합니다.

1001 + 1010 = 10011

1101 + 1011 = 11000

11111 + 1 = 100000

1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101

10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )

빼기.

빼기 연산을 할 때 절대값은 항상 큰 숫자에서 작은 숫자를 빼서 해당 부호를 붙입니다. 빼기 표에서 막대가 있는 1은 고차 대출을 의미합니다. 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0

101011111 – 110101101 = – 1001110

100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )

곱셈

곱셈 연산은 10진수 시스템에서 사용되는 일반적인 방식에 따라 곱셈표를 사용하여 곱셈기의 다음 자릿수로 승수를 연속적으로 곱하여 수행됩니다. 11001 * 1101 = 101000101

11001,01 * 11,01 = 1010010,0001

곱셈은 ​​피승수와 덧셈의 시프트로 축소됩니다.

111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )

V. 수업 요약

학생들의 추가 작업을 위한 카드.

산술 연산 수행:

가) 1110 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );

10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );

101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );

나) 1110 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );

덧셈. 이진수 시스템에서 숫자의 덧셈은 한 자리 이진수의 덧셈 테이블(표 6)을 기반으로 합니다.

두 단위를 추가할 때 가장 높은 자리로 이체된다는 사실에 주의하는 것이 중요합니다. 이것은 숫자의 값이 숫자 체계의 밑수보다 크거나 같을 때 발생합니다.

여러 자리 이진수의 추가는 낮은 자리에서 높은 자리로의 가능한 전송을 고려하여 위의 추가 표에 따라 수행됩니다. 예를 들어 열에 이진수를 추가해 보겠습니다.

십진수 체계에서 덧셈에 의한 계산의 정확성을 확인합시다. 2진수를 10진수 시스템으로 변환하고 추가해 보겠습니다.

빼기. 이진수의 빼기는 한 자리 이진수의 빼기 표(표 7)를 기반으로 합니다.

작은 수(0)에서 큰 수(1)를 빼면 가장 높은 차수부터 대출이 이루어집니다. 표에서 대출은 막대와 함께 1로 표시됩니다.

여러 자릿수 이진수의 빼기는 고위 자릿수의 가능한 대출을 고려하여 이 표에 따라 구현됩니다.

예를 들어 이진수를 빼보겠습니다.

곱셈. 곱셈은 ​​한 자리 이진수의 곱셈표를 기반으로 합니다(표 8).

여러 자릿수 이진수의 곱셈은 10진수 시스템에서 사용되는 일반적인 방식에 따라 이 곱셈 표에 따라 수행되며 승수의 다음 자릿수로 승수를 연속적으로 곱합니다. 이진 곱셈의 예를 고려하십시오.

참고: 1과 동일한 두 숫자를 더할 때 이 숫자에서 0이 얻어지고 첫 번째 숫자가 최상위 숫자로 전송됩니다.

예_21: 101(2)번과 11(2)번이 주어진다. 이 숫자의 합을 찾으십시오.

여기서 101(2) = 5(10) , 11(2) = 3(10) , 1000(2) = 8(10) 입니다.

확인: 5+3=8.

0에서 1을 뺄 때 0과 다른 가장 가까운 가장 높은 자리에서 단위를 가져옵니다. 동시에 가장 높은 자리에 있는 단위는 최하위 자리에 2 단위를 제공하고 가장 높은 자리 사이의 모든 자리에 1 단위를 제공합니다. 그리고 최저.

예_22: 101(2)번과 11(2)번이 주어진다. 이 숫자의 차이를 찾으십시오.

여기서 101(2) =5(10) , 11(2) =3(10) , 10(2) =2(10) 입니다.

확인: 5-3=2.

곱셈 연산은 반복되는 시프트와 덧셈으로 축소됩니다.

예_23: 11(2)번과 10(2)번이 주어진다. 이 숫자의 곱을 찾으십시오.

여기서 11(2) =3(10) , 10(2) =2(10) , 110(2) =6(10) 입니다.

확인: 3*2=6.

8진수 시스템의 산술 연산

합이 8인 두 개의 숫자를 더할 때 이 범주에서 0이 얻어지고 1번째가 가장 높은 순서로 전송됩니다.

예_24: 165(8)번과 13(8)번이 주어진다. 이 숫자의 합을 찾으십시오.

여기서 165(8) = 117(10) , 13(8) = 11(10) , 200(8) = 128(10) 입니다.

더 작은 수에서 더 큰 수를 뺄 때 0과 다른 가장 가까운 가장 가까운 자릿수에서 단위를 가져옵니다. 동시에 가장 높은 자릿수에 있는 단위는 최하위 자릿수에 8을 제공합니다.

예_25: 114(8)과 15(8)이 주어진다. 이 숫자의 차이를 찾으십시오.

여기서 114(8) =76(10) , 15(8) =13(10) , 77(8) =63(10) 입니다.

16진수 시스템의 산술 연산

두 수를 더하면 총 16이 되고, 이 범주에는 0이 쓰여지고 1이 가장 높은 순서로 옮겨집니다.

예_26: 번호 1B5(16) 및 53(16)이 제공됩니다. 이 숫자의 합을 찾으십시오.

여기서 1B5(16) = 437(10) , 53(16) = 83(10) , 208(16) = 520(10) 입니다.

더 작은 수에서 더 큰 수를 뺄 때 0이 아닌 가장 가까운 가장 가까운 자릿수에서 단위를 가져옵니다. 동시에 가장 높은 자릿수에 있는 단위는 최하위 자릿수에 16을 제공합니다.

예_27: 번호 11A(16) 및 2C(16)가 제공됩니다. 이 숫자의 차이를 찾으십시오.

여기서 11A(16) = 282(10) , 2C(16) = 44(10) , EE(16) = 238(10) 입니다.

컴퓨터 데이터 인코딩

컴퓨터의 데이터는 서로 다른 시퀀스의 1과 0으로 구성된 코드로 표현됩니다.

코드– 정보를 표시하기 위한 기호 집합입니다. 인코딩은 정보를 코드 형태로 표현하는 프로세스입니다.

번호 코드

컴퓨터에서 산술 연산을 수행할 때 다음을 사용합니다. 직접, 역 그리고 추가의 번호 코드.

직접 코드

똑바로이진수의 코드(부호가 있는 절대값 형식의 표현)는 이진수 자체이며, 그 값을 나타내는 모든 숫자는 수학 표기법과 같이 작성되고 숫자의 부호는 다음과 같이 작성됩니다. 이진수.

정수는 기호가 있거나 없는 컴퓨터에서 나타낼 수 있습니다.

부호 없는 정수는 일반적으로 1바이트 또는 2바이트의 메모리를 차지합니다. 부호 있는 정수를 저장하기 위해 1, 2 또는 4바이트가 할당되고 최상위(가장 왼쪽) 비트는 숫자의 부호 아래에 할당됩니다. 숫자가 양수이면 이 비트에 0이 기록되고 음수이면 1이 기록됩니다.

예_28:

1 (10) =0 000 0001 (2) , -1 (10) =1 000 0001 (2)

컴퓨터의 양수는 항상 직접 코드를 사용하여 표시됩니다. 번호의 직접 코드는 기계의 셀에 번호 자체를 입력하는 것과 완전히 일치합니다. 음수의 다이렉트 코드는 부호 비트의 내용에서만 해당 양수의 다이렉트 코드와 다릅니다.

직접코드는 곱셈과 나눗셈을 할 때 뿐만 아니라 컴퓨터 메모리에 숫자를 저장할 때도 사용되지만, 직접코드로 숫자를 표현하는 형식은 양수와 음수의 덧셈과 뺄셈을 하기 때문에 계산에 사용하기 불편하다. 따라서 부호 피연산자 비트를 분석해야 합니다. 따라서 ALU의 정수에 대한 산술 연산을 구현할 때 직접 코드는 실제로 사용되지 않습니다. 그러나 음의 정수는 직접 코드로 컴퓨터에 표시되지 않습니다. 이 형식 대신 숫자를 역순으로 나타내는 형식과 추가 코드가 널리 보급되었습니다.

역 코드

역 코드양수 중 양수는 직접수와 일치하며, 음수를 쓸 때 부호를 나타내는 자릿수를 제외한 모든 자릿수는 반대 자릿수로 대체됩니다(0은 1로, 1은 0으로 대체) ).

예_29:

예_30:

역 부호에서 음수의 직접 부호를 복원하려면 숫자의 부호를 나타내는 숫자를 제외한 모든 숫자를 반대의 숫자로 바꿔야 합니다.

추가 코드

추가 코드양수의 부호는 직접 부호와 일치하고 음수의 부호는 역 부호에 1을 더하여 구성됩니다.

예_31:

예_32:

예_33:

정수 -32(10)의 경우 추가 코드를 작성합니다.

1. 숫자 32(10)를 이진수 시스템으로 변환하면 다음을 얻습니다.

32 (10) =100000 (2) .

2. 양수 32(10)의 직접 코드는 0010 0000입니다.

3. 음수 -32(10)의 경우 직접 코드는 1010 0000입니다.

4. 숫자 -32(10)의 역코드는 1101 1111입니다.

5. 숫자 -32(10)의 추가 코드는 1110 0000입니다.

예_34:

숫자의 추가 코드는 0011 1011입니다. 숫자의 값을 10진수 표기법으로 찾으십시오.

1. 숫자의 첫 번째(기호) 자리 0 011 1011은 0이므로 양수입니다.

2. 양수의 경우 추가, 역 및 직접 코드가 동일합니다.

3. 이진법의 숫자는 직접 코드의 기록에서 얻습니다 - 111011 (2) (우리는 가장 높은 자리에서 0을 버립니다).

4. 111011(2)은 십진수로 환산하면 59(10)이 된다.

예_35:

숫자의 추가 코드는 1011 1011입니다. 숫자의 값을 십진수 표기법으로 찾으십시오.

1. 숫자의 부호 자리 1 011 1011은 1이므로 음수입니다.

2. 번호의 역 코드를 결정하려면 추가 코드에서 1을 뺍니다. 역 코드는 1 011 1010.

3. 직접 코드는 숫자의 모든 2진수를 반대 숫자(0은 1, 1은 0)로 바꾸어 역에서 얻습니다. 번호의 직접 코드는 1 100 0101(부호 비트에서 1을 씁니다).

4. 이진법의 숫자는 직접 코드의 기록에서 얻습니다 - -100 0101 (2).

4. 십진수로 변환한 후의 숫자 -1000101(2)은 -69(10)와 같습니다.

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이진 산술

우리가 사용하는 익숙한 숫자를 십진수라고 하고 우리가 사용하는 산술을 십진수라고도 합니다. 이는 각 숫자가 "0123456789"라는 10개의 문자를 포함하는 일련의 숫자로 구성될 수 있기 때문입니다.

수학은 이 집합이 주요 집합이 되는 방식으로 발전했지만 소수 산술만이 유일한 집합은 아닙니다. 5자리만 취하면 이를 기반으로 7자리에서 7배로 5중 산술을 작성할 수 있습니다. 컴퓨터 기술과 관련된 지식 영역에서 숫자가 각각 16자리로 구성된 산술이 자주 사용되며, 이 산술을 16진수라고 합니다. 십진법이 아닌 산술에서 숫자가 무엇인지 이해하기 위해 먼저 십진법에서 숫자가 무엇인지 알아봅니다.

예를 들어 숫자 246을 사용합니다. 이 항목은 숫자에 2 백, 4 십 및 6이 있음을 의미합니다. 따라서 다음과 같은 평등을 작성할 수 있습니다.

246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0

여기에서 등호는 같은 숫자를 쓰는 세 가지 방법을 구분합니다. 지금 우리에게 가장 흥미로운 것은 세 번째 쓰기 형식입니다: 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0. 다음과 같이 구성됩니다.

세 개의 숫자가 있습니다. 가장 높은 숫자 "2"는 숫자 3입니다. 따라서 10을 2승으로 곱합니다. 다음 숫자 "4"는 일련 번호 2를 가지며 첫 번째 숫자에서 10을 곱합니다. 숫자에 10을 곱하여 숫자의 서수보다 1의 거듭제곱을 뺀 것을 이미 알 수 있습니다. 말한 내용을 이해하면 십진수를 나타내는 일반 공식을 쓸 수 있습니다. N자리 숫자가 있다고 하자. i번째 자리를 i로 표시합니다. 그러면 숫자는 다음과 같은 형식으로 쓸 수 있습니다. a n an n-1 ….a 2 a 1 . 이것은 첫 번째 양식이며 세 번째 입력 양식은 다음과 같습니다.

아나 n-1 … + a 2 * 10 1 + a 1 * 10 0

여기서 i는 "0123456789" 세트의 문자입니다.

이 항목에서 10의 역할은 매우 명확하게 볼 수 있습니다. 10은 숫자 형성의 기초입니다. 그건 그렇고, 그것을 "숫자 체계의 기초"라고 부르며 숫자 체계 자체라고 부르기 때문에 "소수"라고합니다. 물론 숫자 10에는 특별한 속성이 없습니다. 10을 다른 숫자로 쉽게 바꿀 수 있습니다. 예를 들어, 5자리 숫자 체계의 숫자는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

아나 n-1 ….a 2 에이 1 = 엔 * 5 n-1 + 엔-1 * 5 n-2 + … + 2 * 5 1 + 1 * 5 0

여기서 i는 "01234" 세트의 문자입니다.

일반적으로 우리는 10을 다른 숫자로 바꾸고 완전히 다른 숫자 체계와 다른 산술을 얻습니다. 10을 2로 바꾸면 가장 간단한 산술이 얻어집니다. 결과 숫자 체계를 이진수라고 하며 그 안의 숫자는 다음과 같이 정의됩니다.

아나 n-1 … + 에이 2 * 2 1 + 에이 1 * 2 0

여기서 i는 "01" 세트의 문자입니다.

이 시스템은 모든 숫자가 두 자리 0과 1로만 구성되기 때문에 가능한 모든 것 중 가장 간단합니다. 더 간단한 곳은 없다는 것이 분명합니다. 이진수의 예: 10, 111, 101.

매우 중요한 질문입니다. 2진수를 10진수로 나타낼 수 있고 그 반대로 나타낼 수 있습니까? 10진수를 2진수로 나타낼 수 있습니까?

이진수에서 십진수로. 아주 간단합니다. 그러한 번역의 방법은 우리가 숫자를 쓰는 방식을 제공합니다. 예를 들어 다음 이진수 1011을 살펴보겠습니다. 이를 2의 거듭제곱으로 확장해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다.

1011 = 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0

기록된 모든 작업을 수행하고 다음을 얻습니다.

1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0 = 8 + 0+ 2 + 1 = 11. 따라서 1011(2진법) = 11(십진법)이 됩니다. 바이너리 시스템의 약간의 불편함을 즉시 확인할 수 있습니다. 10진법에서 이진법으로 한 문자로 기록되는 동일한 숫자를 기록하려면 4자가 필요합니다. 그러나 이것은 단순함을 위한 대가입니다(아무것도 무료로 발생하지 않음). 그러나 이진법은 산술 연산에서 엄청난 이득을 줍니다. 그러면 우리는 그것을 보게 될 것입니다.

다음 이진수를 십진수로 표현하십시오.

a) 10010 b) 11101 c) 1010 c) 1110 d) 100011 e) 1100111 f) 1001110

이진수의 추가.

열에 의한 더하기 방법은 일반적으로 십진수와 동일합니다. 즉, 덧셈은 최하위 자릿수부터 비트 단위로 수행됩니다. 두 자리를 더한 결과 합계가 9보다 큰 경우 숫자 = SUM-10이 기록되고 가장 높은 자리에 전체 부분(SUM / 10)이 추가됩니다. (열에 몇 개의 숫자를 추가하고 이것이 어떻게 수행되는지 기억하십시오.) 따라서 이진수도 마찬가지입니다. 가장 낮은 자리부터 시작하여 비트 단위로 더합니다. 1 이상이면 1이 쓰여지고 1이 최상위 숫자에 추가됩니다("미쳤습니다"라고 함).

10011 + 10001과 같은 예를 실행해 보겠습니다.

1순위: 1+1 = 2. 0과 1이 떠오른다고 적습니다.

2순위: 1+0+1(기억단위) =2. 우리는 0과 1을 적어 둡니다.

3순위: 0+0+1(기억단위) = 1. 1을 씁니다.

네 번째 순위 0+0=0. 우리는 0을 씁니다.

5위 1+1=2. 우리는 0을 쓰고 여섯 번째 비트에 1을 더합니다.

세 숫자를 모두 십진법으로 변환하고 더하기의 정확성을 확인합시다.

10011 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16 + 2 + 1 =19

10001 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 16 + 1 = 17

100100 = 1*2 5 + 0*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 =32+4=36

17 + 19 = 36 올바른 평등

독립 솔루션의 예:

a) 11001 +101 =

b) 11001 +11001 =

다) 1001 + 111 =

e) 10011 + 101 =

f) 11011 + 1111 =

e) 11111 + 10011 =

십진수를 이진수로 변환하는 방법. 다음 작업은 빼기입니다. 그러나 우리는 이 연산을 조금 후에 다룰 것이고 이제 우리는 십진수를 이진수로 변환하는 방법을 고려할 것입니다.

10진수를 2진수로 변환하려면 2의 거듭제곱으로 확장해야 합니다. 그러나 십의 거듭제곱의 확장이 즉시 얻어지면, 두의 거듭제곱으로 확장하는 방법은 약간의 생각이 필요합니다. 먼저 선택 방법으로 이를 수행하는 방법을 살펴보겠습니다. 십진수 12를 취합시다.

1단계. 2 2 \u003d 4, 이것으로는 충분하지 않습니다. 그것은 또한 작고 2 3 \u003d 8이고 2 4 \u003d 16은 이미 많습니다. 따라서 2 3 =8로 둡니다. 12 - 8 = 4. 이제 4를 2의 거듭제곱으로 나타내야 합니다.

2단계. 4 = 2 2 .

그런 다음 숫자 12 = 2 3 + 2 2 입니다. 가장 높은 자리는 숫자 4, 가장 높은 차수 = 3이므로 1과 0의 2승을 갖는 항이 있어야 합니다. 그러나 우리는 그것들이 필요하지 않으므로 불필요한 차수를 제거하고 필요한 만큼 남겨둡니다. 하나, 우리는 다음과 같이 숫자를 씁니다. 1 * 2 3 + 1 * 2 2 +0*2 1 + 0*2 0 = 1100 - 이것은 숫자 12의 이진 표현입니다. 각 다음 거듭제곱이 확장할 수보다 작은 2의 가장 큰 거듭제곱입니다. 방법을 수정하기 위해 다른 예를 살펴보겠습니다. 23번.

1단계. 2의 가장 가까운 거듭제곱은 2 4 = 16입니다. 23 -16 = 7입니다.

2단계. 2의 가장 가까운 거듭제곱은 2 2 = 4입니다. 7 - 4 = 3

3단계. 2의 가장 가까운 거듭제곱은 2 1 = 2입니다. 3 - 2 = 1

4단계. 2의 가장 가까운 거듭제곱 2 0 =1 1 - 1 =0

우리는 다음과 같은 분해를 얻습니다: 1*2 4 + 0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0

그리고 우리가 원하는 이진수는 10111입니다.

위에서 고찰한 방법은 그 앞에 놓인 문제를 잘 풀지만, 훨씬 더 잘 알고리즘화된 방법이 있다. 이 방법의 알고리즘은 다음과 같습니다.

NUMBER가 0보다 크면

NEXT DIGIT \u003d NUMBER를 2로 나눈 나머지

NUMBER = NUMBER의 정수 부분을 2로 나눈 값

이 알고리즘이 작업을 완료하면 계산된 REGULAR DIGITS의 시퀀스가 ​​이진수를 나타냅니다. 예를 들어 숫자 19로 작업해 보겠습니다.

알고리즘 시작 NUMBER = 19

다음 숫자 = 1

다음 숫자 = 1

다음 숫자 = 0

다음 숫자 = 0

다음 숫자 = 1

결과적으로 다음 숫자 10011이 있습니다. 고려된 두 가지 방법은 다음 숫자를 얻는 순서가 다릅니다. 첫 번째 방법에서는 수신된 첫 번째 숫자가 이진수의 가장 높은 자리이고, 두 번째 방법에서는 반대로 수신된 첫 번째 숫자가 가장 낮습니다.

두 가지 방법으로 십진수를 이진수로 변환

a) 14 b) 29 c) 134 d) 158 f) 1190 g) 2019

소수 부분을 십진수로 변환하는 방법.

모든 유리수는 소수 및 일반 분수로 나타낼 수 있음이 알려져 있습니다. 일반 분수, 즉 A / B 형식의 분수는 규칙적이고 부적절 할 수 있습니다. A<В и неправильной если А>입력.

유리수가 부적절한 분수로 표시되고 동시에 분수의 분자가 분모로 완전히 나뉘면이 유리수가 정수이고 다른 모든 경우에는 분수 부분이 나타납니다. 분수 부분은 종종 매우 긴 숫자이고 심지어 무한대(예: 20/6과 같은 무한 주기적인 분수)입니다. 따라서 분수 부분의 경우 하나의 표현을 다른 표현으로 번역하는 작업뿐만 아니라 특정 정확도로.

정확도 규칙. 최대 N자리의 소수로 나타낼 수 있는 소수가 주어진다고 가정합니다. 해당 이진수가 동일한 정밀도를 가지려면 M - 문자를 써야 합니다.

이제 번역 규칙을 살펴보고 먼저 예제 5,401을 살펴보겠습니다.

해결책:

우리는 이미 알려진 규칙에 따라 정수 부분을 얻을 것이며 이진수 101과 같습니다. 그리고 분수 부분을 2의 거듭제곱으로 확장합니다.

1 단계: 2 -2 = 0.25; 0.401 - 0.25 = 0.151. 나머지입니다.

2 단계:이제 0.151을 2의 거듭제곱으로 나타내야 합니다. 이렇게 합시다: 2 -3 = 0.125; 0.151 - 0.125 = 0.026

따라서 원래 소수 부분은 2 -2 +2 -3 으로 나타낼 수 있습니다. 0.011과 같은 이진수로 같은 것을 쓸 수 있습니다. 첫 번째 소수 자릿수는 0입니다. 이는 분해에 차수가 2 -1이 아니기 때문입니다.

첫 번째 단계와 두 번째 단계에서 이 표현이 정확하지 않으며 분해를 계속하는 것이 바람직할 수 있음이 분명합니다. 다시 규칙으로 돌아가자. 10 3 이 2 M보다 작도록 M의 부호가 너무 많이 필요하다는 것입니다. 즉, 1000<2 M . То есть в двоичном разложении у нас должно быть не менее десяти знаков, так как 2 9 = 512 и только 2 10 = 1024. Продолжим процесс.

3단계:이제 우리는 0.026이라는 숫자로 작업하고 있습니다. 이 숫자에 가장 가까운 2의 거듭제곱은 2 -6 \u003d 0.015625입니다. 0.026 - 0.015625 = 0.010375 이제 더 정확한 이진수는 0.011001입니다. 소수점 뒤에 이미 소수점 여섯 자리가 있지만 아직 충분하지 않으므로 한 단계 더 수행합니다.

4단계:이제 우리는 숫자 0.010375로 작업하고 있습니다. 이 숫자에 가장 가까운 2의 거듭제곱은 2 -7 \u003d 0.0078125입니다.

0,010375 - 0,0078125 = 0,0025625

5단계:이제 우리는 0.0025625라는 숫자로 작업하고 있습니다. 이 숫자에 가장 가까운 2의 거듭제곱은 2 -9 \u003d 0.001953125입니다.

0,0025625 - 0,001953125 = 0,000609375

마지막 결과 나머지는 2 -10보다 작으며 원래 숫자에 계속 접근하려면 2 -11이 필요하지만 이는 이미 필요한 정확도를 초과하므로 계산을 중지하고 최종 이진 표현을 분수 부분을 쓸 수 있습니다.

0,401 = 0,011001101

보시다시피 십진수의 소수 부분을 이진수로 변환하는 것은 정수 부분을 변환하는 것보다 약간 더 복잡합니다. 강의 마지막에 있는 2의 거듭제곱 표.

이제 변환 알고리즘을 작성합니다.

알고리즘의 초기 데이터: A를 통해 소수 형식으로 작성된 원래의 고유 소수를 표시합니다. 이 분수에 N 기호가 포함되도록 하십시오.

연산

조치 1. 부등식 10N에서 필요한 이진 문자 M의 수를 결정합니다.< 2 M

2단계: 이진 표현의 자릿수(0 뒤의 자릿수)를 계산합니다. 자릿수는 기호 K로 표시됩니다.

1. 숫자 = 1
2. 2 -K > A인 경우

그런 다음 이진수 표기법에 0을 추가합니다.

• 이진수에 1 더하기
• A \u003d A - 2 -K

1. K = K + 1
2. K > M인 경우

• 그러면 알고리즘이 완료됩니다.
• 그렇지 않으면 2단계로 이동합니다.

십진수를 이진수로 변환

a) 3.6 b) 12.0112 c) 0.231 d) 0.121 e) 23.0091

이진수 빼기. 우리는 또한 숫자를 뺄 것입니다. 우리는 또한 열을 사용할 것이며 일반적인 규칙은 십진수와 동일합니다. 빼기는 비트 단위로 수행되며 비트에 단위가 충분하지 않으면 이전 단위에 사용됩니다. 다음 예제를 해결해 보겠습니다.

일등. 1 - 0 =1. 우리는 1을 씁니다.

2순위 0-1. 유닛이 없습니다. 우리는 그것을 시니어 카테고리로 가져갑니다. 가장 높은 숫자의 단위는 두 단위와 같이 가장 어린 단위로 이동합니다(가장 높은 숫자는 더 큰 차수의 2로 표시되기 때문에) 2-1 \u003d 1. 우리는 1을 씁니다.

3순위. 이 숫자의 단위를 차지했으므로 이제 숫자 0에서 최상위 숫자의 단위를 차지할 필요가 있습니다. 2-1=1. 우리는 1을 씁니다.

십진법으로 결과를 확인하자

1101 - 110 = 13 - 6 = 7 (111) 진정한 평등.

뺄셈을 수행하는 또 다른 흥미로운 방법은 뺄셈을 덧셈으로 줄일 수 있는 2의 보수 개념과 관련이 있습니다. 추가 코드의 숫자는 매우 간단합니다. 숫자를 가져 와서 0을 1로 바꾸고 그 반대로 1을 0으로 바꾸고 최하위 숫자에 1을 추가합니다. 예를 들어, 10010은 2의 보수 코드에서 011011이 됩니다.

2의 보수 뺄셈 규칙은 뺄셈이 2의 보수 코드에서 숫자로 대체되는 경우 뺄셈을 덧셈으로 대체할 수 있다고 명시합니다.

예: 34 - 22 = 12

이 예제를 이진 형식으로 작성해 보겠습니다. 100010 - 10110 = 1100

숫자 10110에 대한 추가 코드는 다음과 같습니다.

01001 + 00001 = 01010. 그러면 원래 예제는 다음과 같이 덧셈으로 대체될 수 있습니다. 이렇게하면 001100을 얻습니다. 중요하지 않은 0을 버리고 1100을 얻습니다. 즉, 예제가 올바르게 해결되었습니다.

뺄셈을 하세요. 일반적인 방법과 추가 코드에서 이전에 십진수를 이진수로 변환한 경우:

이진 결과를 십진수로 변환하여 확인하십시오.

이진수 시스템의 곱셈.

다음과 같은 흥미로운 사실부터 시작하겠습니다. 이진수에 2를 곱하려면(십진수 2는 이진수로 10) 왼쪽의 곱한 숫자에 0을 하나 더하면 충분합니다.

예시. 10101 * 10 = 101010

시험.

10101 = 1*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 +1*2 0 = 16 + 4 + 1 = 21

101010 =1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 32 + 8 + 2 = 42

모든 이진수가 2의 거듭제곱으로 확장될 수 있다는 것을 기억한다면 이진수 시스템의 곱셈은 10의 곱셈(즉, 10진수 2)으로 축소되며, 따라서 곱셈은 일련의 연속적인 교대. 일반적인 규칙은 10진수와 마찬가지로 이진 곱셈이 비트 단위로 수행된다는 것입니다. 그리고 두 번째 승수의 각 자릿수에 대해 첫 번째 승수의 오른쪽에 하나의 0이 추가됩니다. 예(아직 열이 아님):

1011 * 101 이 곱셈은 3개의 비트 곱셈의 합으로 줄일 수 있습니다.

1011 * 1 + 1011 * 0 + 1011 * 100 \u003d 1011 + 101100 \u003d 110111 같은 것을 다음과 같은 열에 쓸 수 있습니다.

시험:

101 = 5(십진수)

1011 = 11(십진수)

110111 = 55(십진수)

5*11 = 55 올바른 평등

스스로 결정

a) 1101 * 1110 =

b) 1010 * 110 =

e) 101011 * 1101 =

f) 10010 * 1001 =

참고: 그런데 이진법의 곱셈표는 1 * 1 = 1 항목 하나만으로 구성됩니다.

이진법의 나눗셈.

우리는 이미 세 가지 작업을 고려했으며 일반적으로 이진수에 대한 작업이 십진수에 대한 작업과 거의 다르지 않다는 것이 이미 분명하다고 생각합니다. 차이점은 10이 아닌 2자리 숫자가 있다는 사실에서만 나타나지만 이는 산술 연산을 단순화할 뿐입니다. 나눗셈도 마찬가지지만 나눗셈 알고리즘에 대한 이해를 돕기 위해 좀 더 자세히 분석해 보겠습니다. 예를 들어 234를 7로 나눈 것처럼 두 개의 십진수를 나누어야 한다고 가정합니다. 어떻게 할까요?

우리는 결과 숫자가 가능한 한 작고 동시에 제수보다 많은 자릿수를 (가장 중요한 자릿수부터) 오른쪽에 할당합니다. 2는 제수보다 작으므로 필요한 숫자는 23입니다. 그런 다음 결과 숫자를 나머지가 있는 제수로 나눕니다. 다음 결과를 얻습니다.

설명된 연산은 결과 나머지가 제수보다 작을 때까지 반복됩니다. 이 경우 막대 아래에서 얻은 숫자가 몫이고 마지막 나머지가 연산의 나머지입니다. 따라서 이진수를 나누는 작업은 정확히 같은 방식으로 수행됩니다. 해보자

예시: 10010111 / 101

우리는 가장 높은 순서에서 첫 번째가 제수보다 큰 숫자를 찾고 있습니다. 4자리 숫자 1001입니다. 굵게 표시됩니다. 이제 선택한 숫자에 대한 제수를 찾아야 합니다. 그리고 여기서 우리는 십진법과 비교하여 다시 승리합니다. 사실 선택된 제수는 반드시 숫자이고 우리는 두 자리만 가지고 있습니다. 1001은 분명히 101보다 크므로 제수로 모든 것이 명확합니다. 이것은 1입니다. 연산 단계를 수행합시다.

따라서 나머지 연산은 100입니다. 이것은 101보다 작으므로 두 번째 나눗셈 단계를 수행하려면 다음 숫자를 100에 추가해야 합니다. 이것은 숫자 0입니다. 이제 다음 숫자가 있습니다.

1000은 101보다 크므로 두 번째 단계에서 다시 개인 숫자에 1을 추가하고 다음 결과를 얻습니다(공간 절약을 위해 다음 숫자를 즉시 ​​생략함).

세 번째 단계입니다. 결과 숫자 110은 101보다 크므로 이 단계에서 몫 1에 씁니다. 결과는 다음과 같습니다.

결과 숫자 11은 101보다 작으므로 개인 숫자 0에 쓰고 다음 숫자를 내립니다. 다음과 같이 나타납니다.

결과 숫자는 101보다 크므로 숫자 1을 몫에 쓰고 작업을 다시 수행합니다. 이 사진이 나옵니다.

1

0

결과 나머지 10은 101보다 작지만 피제수에서 숫자가 부족하므로 10이 최종 나머지이고 1110이 원하는 몫입니다.

소수점 확인

이것으로 이진 산술을 사용하기 위해 알아야 할 가장 간단한 산술 연산에 대한 설명을 마치고 이제 "왜 이진 산술이 필요한가요?"라는 질문에 답하려고 합니다. 물론 위에서 이미 이진법으로 숫자를 쓰면 산술연산이 크게 단순화된다는 것을 보여주었지만, 동시에 기록 자체가 훨씬 길어져 얻은 단순화의 가치가 떨어지므로 다음을 살펴볼 필요가 있다. 이러한 문제의 경우 이진수에서 솔루션이 훨씬 간단합니다.

작업 1: 모든 샘플 가져오기

매우 자주 주어진 항목 세트에서 가능한 모든 조합을 구축할 수 있어야 하는 작업이 있습니다. 예를 들어, 다음과 같은 작업:

큰 돌더미가 주어졌을 때 이 두 더미의 질량이 가능한 한 같도록 돌을 두 더미로 배열하십시오.

이 작업은 다음과 같이 공식화할 수 있습니다.

전체 질량이 큰 더미의 질량의 절반과 가능한 한 적게 달라지도록 큰 더미에서 돌의 샘플을 찾으십시오.

이런 종류의 작업이 꽤 있습니다. 그리고 그것들은 모두 이미 언급했듯이 주어진 요소 집합에서 가능한 모든 조합(아래에서 선택 항목이라고 함)을 얻을 수 있는 기능으로 귀결됩니다. 이제 우리는 이진 덧셈 연산을 사용하여 가능한 모든 샘플을 얻는 일반적인 방법을 고려할 것입니다. 예를 들어 시작하겠습니다. 세 가지 항목의 집합이 있다고 하자. 가능한 모든 샘플을 구성합니다. 항목은 일련 번호로 표시됩니다. 즉, 1, 2, 3 항목이 있습니다.

샘플: (0, 0, 1); (0, 1, 0); (0, 1, 1); (백); (1, 0, 1); (1, 1, 0); (1, 1, 1);

다음 번호가 있는 위치에 하나가 있으면 이 위치와 같은 번호를 가진 요소가 선택 항목에 있고 0이 있으면 요소가 없는 것입니다. 예를 들어, 샘플(0, 1, 0); 숫자가 2인 하나의 요소로 구성되며 샘플은 (1, 1, 0)입니다. 숫자 1과 2의 두 요소로 구성됩니다.

이 예는 샘플이 이진수로 표시될 수 있음을 명확하게 보여줍니다. 또한, 가능한 모든 1, 2, 3자리 이진수가 위에 쓰여져 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다.

001; 010; 011; 100; 101; 110; 111

1; 10; 11; 100; 101; 110; 111

우리는 일련의 연속 이진수를 받았으며, 각각은 이전 숫자에서 1을 추가하여 얻은 것입니다. 확인하실 수 있습니다. 이 관찰된 규칙성을 사용하여 샘플을 얻기 위한 다음 알고리즘을 구성할 수 있습니다.

알고리즘의 초기 데이터

주어진 항목 세트 N - 조각. 다음 내용에서 이 집합을 초기 요소 집합이라고 합니다. 원래 집합의 모든 요소에 1부터 N까지 번호를 매기자. N개의 무의미한 0에서 이진수를 만들어 봅시다. 0000… 0 N 이 0 이진수는 샘플링 프로세스가 시작될 0 샘플을 나타냅니다. 숫자의 자릿수는 오른쪽에서 왼쪽으로 계산됩니다. 즉, 맨 왼쪽 자릿수가 가장 중요합니다.

이 이진수를 대문자 BINARY로 표시하는 데 동의합시다.

연산

BINARY 숫자가 완전히 1로 구성된 경우

그런 다음 알고리즘을 중지합니다.

• 이진 산술 규칙에 따라 BINARY 숫자에 1을 추가합니다.
• 수신된 BINARY 번호에서 위에서 설명한 대로 다음 샘플을 구성합니다.

작업 2: 큰 소수 찾기

첫째, 소수는 1과 자기 자신으로만 나누어 떨어지는 자연수라는 것을 기억하십시오. 소수의 예: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31

큰 소수를 찾는 것은 매우 중요한 수학 문제입니다. 일부 암호화 알고리즘으로 메시지를 안전하게 암호화하려면 큰 소수가 필요합니다. 그리고 많은 숫자뿐만 아니라 매우 큰 숫자도 필요합니다. 숫자가 클수록 해당 숫자를 기반으로 하는 암호가 더 안전합니다.

메모. 강력한 암호는 해독하는 데 매우 오랜 시간이 걸리는 암호입니다.

왜요? 소수는 암호화와 복호화에서 키 역할을 합니다. 또한, 우리는 자연수 시리즈에서 소수가 자주 발생하지 않는다는 것을 알고 있습니다. 처음 1000명 중에는 꽤 많은 수가 있고 그 다음에는 그 수가 급격히 감소하기 시작합니다. 따라서 그다지 크지 않은 숫자를 키로 사용하는 경우 암호 해독기는 매우 빠르지 않은 컴퓨터를 사용하여 제한된 시간에 (모든 소수를 키로 차례로 정렬하여) 해당 값에 도달할 수 있습니다.

예를 들어 150자의 간단한 코드를 사용하면 상당히 안정적인 코드를 얻을 수 있습니다. 그러나 그러한 간단한 것을 찾는 것이 그렇게 쉬운 일이 아닙니다. 어떤 숫자 A(매우 큰)가 소수에 대해 테스트되어야 한다고 가정해 봅시다. 이것은 제수를 찾는 것과 같습니다. 2와 A의 제곱근 사이의 약수를 찾을 수 있으면 소수가 아닙니다. 숫자 A를 나누는 능력을 확인하기 위해 확인해야 하는 숫자의 수를 추정해 봅시다.

숫자 A에 150자리가 있다고 가정합니다. 제곱근에는 최소 75자가 포함됩니다. 가능한 많은 수의 제수를 분류하려면 매우 강력한 컴퓨터와 많은 시간이 필요합니다. 이는 문제를 실질적으로 해결할 수 없음을 의미합니다.

그것을 다루는 방법.

첫째, 한 숫자가 다른 숫자로 나누어 떨어지는지 빠르게 확인하는 방법을 배울 수 있고, 둘째, 높은 확률로 단순하게 숫자 A를 선택하려고 시도할 수 있습니다. 이것이 가능하다는 것이 밝혀졌습니다. 수학자 Mersen은 다음 형식의 숫자를 발견했습니다.

높은 확률로 단순합니다.

위에 쓰여진 문구를 이해하기 위해 처음 1000에 몇 개의 소수가 있고 같은 1000에 몇 개의 메르센 숫자가 소수인지 세어 봅시다. 따라서 처음 1000개의 메르센 수는 다음과 같습니다.

2 1 - 1 = 1 ; 2 2 -1 = 3 ; 2 3 - 1 = 7 ; 2 4 - 1 = 15; 2 5 - 1 = 31 ; 2 6 -1 = 63;

2 7 - 1 =127 ; 2 8 -1 = 255; 2 9 - 1 = 511;

소수는 굵게 표시됩니다. 9개의 메르센 수에는 총 5개의 소수가 있습니다. 백분율로 표시하면 5/9 * 100 \u003d 55.6%입니다. 동시에 처음 1000개의 자연수에 대한 소수는 169개뿐입니다. 백분율로 표시하면 169/1000 * 100 = 16.9%입니다. 즉, 백분율로 따지면 메르센 수 중에서 소수가 단순한 자연수보다 거의 4배 더 많이 발견됩니다.

___________________________________________________________

이제 특정 메르센 수(예: 2 4 - 1)를 취하겠습니다. 이를 이진수로 작성해 보겠습니다.

2 4 - 1 = 10000 - 1 = 1111

다음 Mersen 수 2 5 -1을 취하여 이진수로 작성해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다.

2 5 -1 = 100000 - 1 = 11111

모든 메르센 수는 1의 수열이라는 것은 이미 분명하며 이 사실만으로도 큰 이득을 얻을 수 있습니다. 첫째, 이진법에서는 다음 Mersenne 수를 얻는 것이 매우 쉽고 다음 수에 1을 더하는 것으로 충분하며 두 번째로 십진법보다 이진법에서 제수를 찾는 것이 훨씬 쉽습니다.

빠른 십진법에서 이진법으로의 변환

이진수 시스템을 사용할 때의 주요 문제 중 하나는 십진수를 이진수로 변환하는 데 어려움이 있다는 것입니다. 이것은 다소 힘든 작업입니다. 물론 3~4자리의 작은 숫자를 번역하는 것은 그리 어렵지 않지만, 5자리 이상의 십진수의 경우에는 이미 어렵다. 즉, 큰 십진수를 이진 표현으로 빠르게 변환하는 방법이 필요합니다.

이 방법은 프랑스 수학자 르장드르에 의해 발명되었습니다. 예를 들어 숫자 11183445를 64로 나누고 나머지 21과 몫 174741을 얻습니다. 이 숫자를 다시 64로 나누고 나머지 21과 몫 2730을 얻습니다. 마지막으로 2730을 다음으로 나눕니다. 64는 나머지 42와 몫 42를 제공하지만 이진수로 64는 1000000, 이진수로 21은 10101, 42는 101010이므로 원래 숫자는 다음과 같이 이진수로 작성됩니다.

101010 101010 010101 010101

더 명확하게 하기 위해 더 작은 숫자의 또 다른 예입니다. 숫자 235의 이진 표현을 번역해 보겠습니다. 235를 나머지로 64로 나눕니다. 우리는 다음을 얻습니다:

PRIVATE = 3, 2진수 11 또는 000011

해상도 = 43, 바이너리 101011

그런 다음 235 = 11101011, 이 결과를 확인하십시오.

11101011 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 1 + 2 0 = 128+64+32+8+2+1 = 235

메모:

1. 최종 이진수에 모든 나머지가 포함되어 있고 마지막 단계에서 나머지와 몫이 모두 포함되어 있음을 쉽게 알 수 있습니다.
2. 몫은 나머지 앞에 씁니다.
3. 결과 몫 또는 나머지가 이진 표현에서 6자리 미만인 경우(6개의 0에는 숫자 64 = 1000000의 이진 표현이 포함됨) 중요하지 않은 0이 추가됩니다.

그리고 또 다른 어려운 예. 번호 25678425.

1단계: 25678425를 64로 나눈 값

비공개 = 401225

나머지 = 25 = 011001

2단계: 401225를 64로 나눈 값

비공개 = 6269

나머지 = 9 = 001001

3단계: 6269를 64로 나눈 값

개인 = 97

나머지 = 61 = 111101

4단계: 97을 64로 나눈 값

개인 = 1 = 000001

나머지 = 33 = 100001

숫자 결과 = 1.100001.111101.001001.011001

이 숫자에서 점은 포함된 중간 결과를 구분합니다.

숫자의 이진 표현으로 변환:

부록: 표 1

		0,015625
		0,0078125
		0,00390625
		0,001953125
		0,0009765625
		0,00048828125
		0,000244140625
		0,0001220703125
		0,00006103515625
		0,000030517578125
		0,0000152587890625
		0,00000762939453125
		0,000003814697265625
		0,0000019073486328125
		0,00000095367431640625
		0,000000476837158203125

1. 수업 장소 : 학습 섹션의 9 학년 -3 수업
2. 학습 주제: 이진 시스템의 산술 연산.

클래스 유형: 강의, 대화, 독립 작업.

수업 목표:

남을 가르치고 싶어하는: 이진수 시스템에서 산술 연산(덧셈, 곱셈, 뺄셈)을 수행하는 규칙을 소개합니다.

교육적인: 작업에서 독립 기술 교육, 정확성 교육, 규율.

개발 중: 주의력 발달, 학생 기억력, 받은 정보를 비교하는 능력 발달.

학제 간 연결:수학:

교육 장비(장비) 수업:프로젝터, 테이블, 작업 카드.

수업의 방법론적 지원:PowerPoint에서 프레젠테이션.

강의 계획

1. 조직적 순간(2분).
2. 반복 (10)
3. 새로운 자료에 대한 설명(15분)
4. 커버된 재료의 통합(10분)
5. 숙제
6. 반성(2분)
7. 요약(2분)

수업 중

1. 정리 시간
2. 지식 업데이트.우리는 숫자 체계의 주제를 계속 연구하고 오늘 수업의 목표는 이진수 체계에서 산술 연산을 수행하는 방법을 배우는 것입니다. 즉, 더하기, 빼기, 곱셈, 나눗셈.
3. 지식 확인 (전면 조사).

기억합시다:

1. 번호 체계는 무엇입니까?
2. 숫자 체계의 기초는 무엇입니까?
3. 이진수 시스템의 기본은 무엇입니까?
4. 어떤 숫자가 오류가 있는지 표시하고 답을 정당화하십시오.
   123 8, 3006 2, 12ААС09 20, 13476 10,
5. 10, 21, 201, 1201과 같이 숫자를 쓸 수 있는 경우 숫자 체계가 갖추어야 하는 최소 기수는 얼마입니까?
6. 짝수 이진수의 끝은 무엇입니까?
   홀수 이진수로 끝나는 숫자는?

4 . 새로운 자료에 대한 연구에는 프레젠테이션이 수반됩니다.

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교사는 프레젠테이션 슬라이드에서 새로운 주제를 설명하고 학생들은 노트에 메모하고 교사가 제안한 과제를 노트북에 완료합니다.

모든 위치 시스템 중에서 이진수 시스템은 특히 간단합니다. 이진수에 대한 기본 산술 연산을 수행하는 것을 고려하십시오.

모든 위치 숫자 시스템은 "동일"합니다. 즉, 모두 동일한 규칙에 따라 산술 연산이 수행됩니다.

하나 . 동일한 산술 법칙이 유효합니다. 교환, 결합, 분배;

2. 열에 의한 덧셈, 뺄셈 및 곱셈의 규칙은 공정합니다.

3. 산술 연산을 수행하기 위한 규칙은 덧셈과 곱셈 테이블을 기반으로 합니다.

덧셈

추가 예를 고려하십시오.

모든 위치 시스템과 마찬가지로 이진수 시스템에서 오른쪽에서 왼쪽으로 두 자리 열을 추가할 때 하나만 다음 비트로 이동할 수 있습니다.

두 개의 양수를 더한 결과는 두 항의 최대값과 같은 자릿수를 가지거나 한 자릿수를 더 갖지만 이 자릿수는 하나만 될 수 있습니다.

1011022+111112=?

1110112+110112=?

빼기

자료를 통합하기 위해 노트북에서 학생들의 독립적 인 작업

101101 2 -11111 2 =?

110011 2 -10101 2 =?
곱셈
곱셈의 예를 고려하십시오.

곱셈 연산은 승수의 다음 자릿수로 승수를 연속적으로 곱하는 일반적인 방식(십진수 시스템에서 사용)에 따라 곱셈 테이블을 사용하여 수행됩니다.
곱셈 예제 고려
예 2에서 곱셈을 수행할 때 해당 자릿수에 3단위 1+1+1=11을 더하고 1을 쓰고 다른 단위는 가장 높은 자릿수로 전송합니다.
이진수 시스템에서 곱셈 연산은 피승수의 이동과 중간 결과의 추가로 축소됩니다.
분할

나눗셈 연산은 십진법의 나눗셈 연산 알고리즘과 유사한 알고리즘에 따라 수행됩니다.

분할 예를 고려하십시오.

통합 (카드에 대한 학생의 독립적 인 작업은 노트북에서 수행됨) / 부록 2 /

단기간에 독립적인 작업을 완료한 학생에게는 추가 과제가 제공됩니다.

5. 숙제

2. 이진수 시스템에서 산술 연산을 수행하는 규칙을 배우고 덧셈, 뺄셈, 곱셈 테이블을 배웁니다.

3. 이 단계를 따르세요:

110010+111,01

11110000111-110110001

10101,101*111

6 반사

오늘 수업에서 나에게 가장 유익한 것은 ...

나는 놀랐다…

오늘 수업시간에 배운 내용을 적용해볼 수 있는...

7. 수업 요약

오늘 우리는 이진수 시스템에서 산술 연산을 수행하는 방법을 배웠습니다(수업을 위한 채점).

슬라이드 캡션:

수업 주제 : "위치 번호 시스템의 산술 연산"컴퓨터 과학 교사 Marina Valentinovna Fedorchenko MOU Berezovskaya 중등 학교와 Berezovka Taishet 지구, 이르쿠츠크 지역 기억합시다 : 숫자 시스템이란 무엇입니까? 숫자 시스템의 기초는 무엇입니까? 이진수 체계의 밑수? 숫자는 오류로 작성되었으며 답을 정당화합니다: 1238, 30062, 12AAC0920, 1347610, 숫자를 쓸 수 있는 경우 숫자 체계가 갖추어야 하는 최소 밑수는 얼마입니까: 10, 21, 201 , 1201 짝수로 끝나는 이진수와 홀수인 이진수로 끝나는 자릿수는?
라플라스는 위대한 수학자 라이프니츠의 이진법(이진법) 체계에 대한 자신의 태도에 대해 이렇게 썼습니다. “라이프니츠는 그의 이진 산술에서 창조의 원형을 보았습니다. 그에게 단위는 신적 원리를 나타내고 영-비존재는 그의 체계에서 1과 0이 모든 수를 표현하는 것과 똑같은 방식으로 비존재로부터 모든 것을 창조하는 것처럼 보였다. 이 단어는 두 글자로 구성된 알파벳의 보편성을 강조합니다. 모든 위치 숫자 시스템은 "동일"합니다. 즉, 산술 연산은 동일한 규칙에 따라 모두 수행됩니다.
동일한 산술 법칙이 유효합니다. --가환(변위) m + n = n + mm n = n m 결합(결합) (m + n) + k = m + (n + k) = m + n + k ( mn) k = m(nk) = mnk 분포(분배) (m + n) k = mk + nk
열에 의한 더하기, 빼기 및 곱하기 규칙이 유효합니다.
산술 연산을 수행하기 위한 규칙은 덧셈 및 곱셈 테이블을 기반으로 합니다.
위치 수 시스템의 추가 모든 위치 시스템 중에서 이진수 시스템은 특히 간단합니다. 이진수에 대한 기본 산술 연산을 수행하는 것을 고려하십시오. 모든 위치 숫자 체계는 "동일"합니다. 즉, 산술 연산은 동일한 규칙에 따라 모두에서 수행됩니다. 유효, 산술 연산을 수행하기 위한 규칙은 덧셈 및 곱셈 테이블을 기반으로 합니다.
모든 위치 시스템과 마찬가지로 이진수 시스템에서 오른쪽에서 왼쪽으로 두 자리 열을 추가할 때 하나만 다음 비트로 이동할 수 있습니다. 두 개의 양수를 더한 결과는 두 항의 최대값과 같은 자릿수를 가지거나 한 자릿수를 더 갖지만 이 자릿수는 하나만 될 수 있습니다. 예제를 고려하십시오. 예제를 직접 해결하십시오.
1011012 + 111112
1110112 + 110112
1001100
1010110
빼기 연산을 수행할 때 절대값이 큰 숫자에서 항상 작은 숫자를 빼서 결과에 해당 부호를 붙입니다.
빼기 예를 고려하십시오. 예:
1011012– 111112
1100112– 101012
1110
11110
위치 숫자 시스템의 곱셈 곱셈 연산은 곱셈의 다음 자릿수로 피승수를 연속적으로 곱하는 일반적인 방식(십진수 시스템에서 사용)에 따라 곱셈표를 사용하여 수행됩니다. 곱셈의 예를 살펴보겠습니다. 예제를 살펴보겠습니다 분할 예제를 살펴보겠습니다
예제를 해결해 보겠습니다.
11012 1112

111102:1102=
1011011
101
숙제 1.&3.1.22 이진법에서 산술 연산을 수행하는 규칙을 배우고 더하기, 빼기, 곱하기 표를 배우십시오.3. 다음을 수행하십시오. 110010+111.0111110000111-11011000110101.101*111 반성 오늘 수업에서 나에게 가장 유익한 것은 ... 놀랐습니다 ... 오늘 수업에서 얻은 지식을 적용 할 수 있습니다 ...