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이차 방정식의 근을 찾는 알고리즘이 제공됩니다. 이차 방정식을 푸는 알고리즘을 작성해 봅시다.

1. 판별식 찾기 디공식에 따라 D= -4ac.

2.D라면<0, то квадратное уравнение не имеет корней.

3. D=0이면 방정식에는 하나의 근이 있습니다.

4. D>0이면 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.

이제 방정식 풀이를 시작해 보겠습니다. 3 -10x+3=0,

여기서 =3, b=-10 및 c=3.

판별식 찾기:

D= -4*3*3=64

D>0이므로 이 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 우리는 그들을 찾습니다:

; .

따라서 다항식의 근 f(x)=3 -10+3 숫자 3 및 입니다.

호너의 계획

호너의 계획(또는 Horner의 규칙, Horner의 방법) - 주어진 변수 값에 대해 다항식(단항식)의 합으로 작성된 다항식 값을 계산하는 알고리즘 . 그녀는 차례로 숫자가 주어진 다항식의 근인지 여부를 알아내는 데 도움을 줍니다.

먼저 다항식을 나누는 방법을 고려하십시오. f(x) 이항으로 지(x).

이것은 다음과 같이 작성할 수 있습니다. f(x):g(x)=n(x),어디 f(x)-피제수, 지(x)-제수 n(x)-사적인.

그러나 다음의 경우 f(x)로 나눌 수 없는 지(x)표현의 일반적인 표기법이 있습니다

여기서 차수 r(x)< deg s(x), в таком случае можно сказать, что делится на с остатком .

다항식을 이항식으로 나누는 것을 고려하십시오. 하자

,

우리는 얻는다

여기서 r은 숫자이기 때문에 r의 차수는 (x-c)의 차수보다 작아야 합니다.

곱해보자 에스(x)에 그리고 얻을

따라서 이항으로 나눌 때 얻은 공식에서 몫의 계수를 결정할 수 있습니다. 계수를 결정하는 이 방법을 Horner의 계획이라고 합니다.

...
+ ...
씨 ... 아르 자형

이제 Horner의 계획을 적용한 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

예시. 다항식 나누기 수행 f(x)=에 x+3.

결정.처음에는 작성이 필요합니다. x+3)처럼 ( 엑스-(-3)), 정확히 -3이 계획 자체에 참여하기 때문에 맨 윗줄에는 계수를, 맨 아래 줄에는 조치 결과를 씁니다.


f(x)=(x-2)(1)+16.

Horner의 계획에 따라 뿌리 찾기. 루트 유형

Horner의 계획에 따르면 다항식의 정수 근을 찾을 수 있습니다. f(x). 이를 예를 들어 살펴보겠습니다.

예시. 다항식의 모든 정수근 찾기 f(x)= , Horner 방식을 사용합니다.

결정.이 다항식의 계수는 정수입니다. 최고 학위 이전의 계수(이전의 경우)는 1과 같습니다. 따라서 우리는 자유 항의 제수(15개 있음) 중에서 다항식의 정수 근을 찾을 것입니다. 다음은 숫자입니다.

숫자 1부터 시작하겠습니다.

1 번 테이블

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38

결과 테이블에서 =1에 대해 다항식의 다항식이 있음을 알 수 있습니다. f(x)= , 0이 아닌 나머지 r=192를 얻었습니다. 이는 단위가 루트가 아님을 의미합니다. 따라서 =-1에서 검사를 계속합니다. 이를 위해 우리는 새 테이블을 생성하지 않고 이전 테이블에서 계속 진행하고 더 이상 필요하지 않은 데이터를 삭제합니다.

테이블 번호 2

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22

표에서 볼 수 있듯이 마지막 셀은 0으로 판명되었으며 이는 r=0을 의미합니다. 따라서? 숫자 -1은 이 다항식의 근입니다. 다항식 다항식 나누기 f(x)= on ()=x+1 다항식을 얻었습니다.

f(x)=(x+1)(),

표 2의 세 번째 줄에서 가져온 계수.

우리는 또한 동등한 표기법을 만들 수 있습니다

(x+1)(). 그를 태그 (1)

이제 정수 근에 대한 검색을 계속할 필요가 있지만 이제 우리는 이미 다항식의 근을 찾을 것입니다. 우리는 다항식의 자유 항인 숫자 45에서 이러한 근을 찾을 것입니다.

숫자 -1을 다시 확인합시다.

표 #3

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22

따라서 숫자 -1은 다항식의 근이며 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

평등(2)을 고려하여 평등(1)을 다음 형식으로 쓸 수 있습니다.

이제 우리는 자유 항의 제수 중에서 다항식의 근을 찾습니다. 숫자 -1을 다시 확인합시다.

표 4

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21

표에 따르면 숫자 -1이 다항식의 근임을 알 수 있습니다.

(3*)이 주어지면 평등(2*)을 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

이제 우리는 에 대한 루트를 찾을 것입니다. 다시 우리는 자유 항의 제수를 봅니다. 숫자 -1부터 다시 확인해보자.

테이블 번호 5

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19

우리는 0이 아닌 나머지를 얻었습니다. 이는 숫자 -1이 다항식의 근이 아님을 의미합니다. 다음 숫자 1을 확인합시다.

표 6

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19
+ -21
-21

그리고 우리는 그것이 적합하지 않다는 것을 다시 확인합니다. 나머지는 r(x) = 24입니다. 우리는 새로운 숫자를 취합니다.

숫자 3을 확인합시다.

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19
+ -21
-21
+ -45
-15

테이블 번호 7

r(x)= 0, 이것은 숫자 3이 다항식의 근임을 의미합니다. 이 다항식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

=(x-3)( )

결과 표현식이 주어지면 다음과 같이 등식(5)을 작성할 수 있습니다.

(x-3)( ) (6)

이제 다항식을 확인합시다.

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19
+ -21
-21
+ -45
-15
+

표 8

표를 기반으로 숫자 3이 다항식의 근임을 알 수 있습니다. . 이제 다음을 작성해 보겠습니다.

결과 표현식을 고려하여 다음과 같이 등식(5*)을 씁니다.

(x-3)()= = .

자유 항의 제수 중에서 이항식의 근을 찾습니다.

숫자 5를 가져 가자

표 9

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19
+ -21
-21
+ -45
-15
+
+ -5
-5

r(x)=0이므로 5는 이항식의 근입니다.

따라서 우리는 쓸 수 있습니다

결정 이 예테이블 번호 8이 될 것입니다.

표에서 알 수 있듯이 숫자 -1, 3, 5는 다항식의 근입니다.

이제 직접 가보자 뿌리의 종류.

대괄호(x + 1)가 3차에 있으므로 1은 3차의 근입니다.

3- 2차 루트, 2차 대괄호(x-3);

5는 1차의 근, 즉 단순입니다.

중요 참고 사항!
1. 수식 대신 abracadabra가 표시되면 캐시를 지웁니다. 브라우저에서 수행하는 방법은 다음과 같습니다.
2. 기사를 읽기 전에 내비게이터에 가장 주의를 기울이십시오. 유용한 리소스~을 위한

"2차 방정식"이라는 용어에서 키워드는 "2차"입니다. 이것은 방정식이 반드시 정사각형에 변수(동일한 X)를 포함해야 하며 동시에 3차(또는 그 이상)에 X가 있어서는 안 된다는 것을 의미합니다.

많은 방정식의 해는 이차 방정식의 해로 축소됩니다.

다른 것이 아니라 이차 방정식이 있는지 확인하는 방법을 알아보겠습니다.

실시예 1

분모를 제거하고 방정식의 각 항에 다음을 곱합니다.

모든 것을 왼쪽으로 옮기고 x의 거듭제곱의 내림차순으로 항을 배열합시다.

이제 우리는 다음과 같이 자신있게 말할 수 있습니다. 주어진 방정식정사각형이다!

실시예 2

왼쪽과 오른쪽을 곱합니다.

이 방정식은 원래 그 안에 있었지만 정사각형이 아닙니다!

실시예 3

모든 것을 다음과 같이 곱합시다.

무서운? 네 번째 및 두 번째도 ... 그러나 교체하면 간단한 이차 방정식이 있음을 알 수 있습니다.

실시예 4

그럴 것 같지만 좀 더 자세히 살펴보겠습니다. 모든 것을 왼쪽으로 이동합시다.

축소되었습니다. 이제 간단한 선형 방정식입니다!

이제 다음 방정식 중 어느 것이 2차이고 어떤 방정식이 아닌지 스스로 결정하십시오.

예:

대답:

  1. 정사각형;
  2. 정사각형;
  3. 정사각형이 아닙니다.
  4. 정사각형이 아닙니다.
  5. 정사각형이 아닙니다.
  6. 정사각형;
  7. 정사각형이 아닙니다.
  8. 정사각형.

수학자들은 조건부로 모든 이차 방정식을 다음 유형으로 나눕니다.

  • 완전한 이차 방정식- 계수 및 자유 항 c가 0이 아닌 방정식(예제에서와 같이). 또한 완전한 이차 방정식 중 다음이 있습니다. 주어진계수가 있는 방정식입니다(예제 1의 방정식은 완전할 뿐만 아니라 축소됩니다!)
  • 불완전한 이차 방정식- 계수 및/또는 자유항 c가 0인 방정식:

    일부 요소가 누락되어 불완전합니다. 그러나 방정식은 항상 x제곱을 포함해야 합니다!!! 그렇지 않으면 더 이상 2차 방정식이 아니라 다른 방정식이 됩니다.

왜 그들은 그러한 구분을 생각해 냈습니까? X 제곱이 있는 것 같으며 괜찮습니다. 이러한 구분은 해결 방법 때문입니다. 각각에 대해 더 자세히 살펴 보겠습니다.

불완전한 이차 방정식 풀기

먼저 불완전한 이차 방정식을 푸는 데 집중합시다. 훨씬 간단합니다!

불완전 이차 방정식의 유형은 다음과 같습니다.

  1. , 이 방정식에서 계수는 동일합니다.
  2. , 이 방정식에서 자유 항은 다음과 같습니다.
  3. , 이 방정식에서 계수와 자유항은 동일합니다.

1. 나. 추출하는 방법을 알고 있기 때문에 제곱근, 다음 이 방정식에서 표현하자

식은 음수 또는 양수일 수 있습니다. 제곱수는 음수가 될 수 없습니다. 두 개의 음수 또는 두 개의 양수를 곱하면 결과가 항상 양수가 되기 때문에 방정식에 해가 없습니다.

그리고 만약 그렇다면 우리는 두 개의 뿌리를 얻습니다. 이 공식은 외울 필요가 없습니다. 가장 중요한 것은 항상 더 적을 수 없다는 것을 알고 기억해야 한다는 것입니다.

몇 가지 예를 해결해 보겠습니다.

예 5:

방정식 풀기

이제 왼쪽과 오른쪽 부분에서 루트를 추출해야 합니다. 결국, 뿌리를 추출하는 방법을 기억하십니까?

답변:

음수 부호가 있는 뿌리를 절대 잊지 마세요!!!

예 6:

방정식 풀기

답변:

예 7:

방정식 풀기

아야! 숫자의 제곱은 음수일 수 없습니다. 즉, 방정식은

뿌리가 없다!

근이 없는 방정식의 경우 수학자들은 특별한 아이콘(빈 세트)을 생각해 냈습니다. 그리고 답은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

답변:

따라서 이 2차 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 루트를 추출하지 않았기 때문에 여기에는 제한이 없습니다.
예 8:

방정식 풀기

대괄호에서 공통 요소를 제거해 보겠습니다.

따라서,

이 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.

답변:

가장 간단한 유형의 불완전한 이차 방정식(모두 간단하지만 맞습니까?). 분명히 이 방정식에는 항상 하나의 근만 있습니다.

여기서 우리는 예없이 할 것입니다.

완전한 이차 방정식 풀기

완전한 이차 방정식은 다음과 같은 형식 방정식의 방정식임을 상기시킵니다.

완전한 이차 방정식을 푸는 것은 주어진 것보다 조금 더 복잡합니다.

기억하다, 판별식을 사용하여 모든 이차 방정식을 풀 수 있습니다! 심지어 불완전하다.

나머지 방법은 더 빠르게 수행하는 데 도움이 되지만 2차 방정식에 문제가 있는 경우 먼저 판별식을 사용하여 솔루션을 마스터하십시오.

1. 판별식을 사용하여 이차 방정식을 풉니다.

이 방법으로 이차 방정식을 푸는 것은 매우 간단합니다. 가장 중요한 것은 일련의 동작과 몇 가지 공식을 기억하는 것입니다.

그렇다면 방정식에 근이 있습니다. 특별한 주의단계를 그립니다. 판별식()은 방정식의 근의 수를 알려줍니다.

  • 그렇다면 단계의 공식은 로 축소됩니다. 따라서 방정식에는 근만 있습니다.
  • 그렇다면 단계에서 판별자의 근을 추출할 수 없습니다. 이는 방정식에 근이 없음을 나타냅니다.

방정식으로 돌아가서 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

예 9:

방정식 풀기

1 단계건너 뛰기.

2 단계

판별식 찾기:

따라서 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.

3단계

답변:

실시예 10:

방정식 풀기

방정식은 표준 형식이므로 1 단계건너 뛰기.

2 단계

판별식 찾기:

따라서 방정식에는 하나의 근이 있습니다.

답변:

실시예 11:

방정식 풀기

방정식은 표준 형식이므로 1 단계건너 뛰기.

2 단계

판별식 찾기:

이것은 우리가 판별식에서 근을 추출할 수 없다는 것을 의미합니다. 방정식의 근은 없습니다.

이제 우리는 그러한 답변을 올바르게 작성하는 방법을 알고 있습니다.

답변:뿌리가 없다

2. Vieta 정리를 사용한 이차 방정식의 해.

기억한다면 축소라고하는 방정식 유형이 있습니다 (계수가 다음과 같을 때).

이러한 방정식은 Vieta의 정리를 사용하여 풀기가 매우 쉽습니다.

뿌리의 합 주어진 이차 방정식는 동일하고 근의 곱은 동일합니다.

실시예 12:

방정식 풀기

이 방정식은 Vieta의 정리를 사용하는 솔루션에 적합합니다. .

방정식의 근의 합은 즉, 우리는 첫 번째 방정식을 얻습니다.

그리고 제품은:

시스템을 만들고 해결해 보겠습니다.

  • 그리고. 합계는;
  • 그리고. 합계는;
  • 그리고. 금액은 동일합니다.

시스템의 솔루션은 다음과 같습니다.

답변: ; .

실시예 13:

방정식 풀기

답변:

실시예 14:

방정식 풀기

방정식은 다음을 의미합니다.

답변:

이차 방정식. 중급

이차 방정식이란 무엇입니까?

즉, 2차 방정식은 - 미지수, - 또한 일부 숫자가 있는 형식의 방정식입니다.

가장 높은 숫자 또는 첫 번째 계수이차 방정식, - 두 번째 계수, ㅏ - 무료 회원.

왜요? 왜냐하면 방정식이 즉시 선형이 되기 때문입니다. 사라질 것이다.

이 경우 및 0과 같을 수 있습니다. 이 대변 방정식에서 불완전이라고합니다. 모든 항이 제자리에 있으면 방정식이 완료됩니다.

다양한 유형의 이차 방정식에 대한 솔루션

불완전한 이차 방정식을 푸는 방법:

우선, 불완전한 이차 방정식을 푸는 방법을 분석합니다. 더 간단합니다.

다음 유형의 방정식을 구별할 수 있습니다.

I. , 이 방정식에서 계수와 자유항은 동일합니다.

Ⅱ. , 이 방정식에서 계수는 동일합니다.

III. , 이 방정식에서 자유 항은 다음과 같습니다.

이제 이러한 각 하위 유형의 솔루션을 고려하십시오.

분명히 이 방정식에는 항상 하나의 근만 있습니다.

제곱된 숫자는 음수가 될 수 없습니다. 두 개의 음수 또는 두 개의 양수를 곱하면 결과가 항상 양수가 되기 때문입니다. 그래서:

그렇다면 방정식에는 솔루션이 없습니다.

우리에게 두 개의 뿌리가 있다면

이 공식은 외울 필요가 없습니다. 기억해야 할 가장 중요한 것은 더 적을 수 없다는 것입니다.

예:

솔루션:

답변:

음수 부호가있는 뿌리를 잊지 마십시오!

숫자의 제곱은 음수일 수 없습니다. 즉, 방정식은

뿌리가 없습니다.

문제에 해결책이 없다는 것을 간단히 쓰기 위해 빈 집합 아이콘을 사용합니다.

답변:

따라서 이 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.

답변:

대괄호에서 공통 요소를 제거해 보겠습니다.

요인 중 하나 이상이면 제품은 0입니다. 영. 이는 다음과 같은 경우 방정식에 해가 있음을 의미합니다.

따라서 이 2차 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.

예시:

방정식을 풉니다.

결정:

방정식의 좌변을 인수분해하고 근을 찾습니다.

답변:

완전한 이차 방정식을 푸는 방법:

1. 판별식

이 방법으로 이차 방정식을 푸는 것은 쉽습니다. 가장 중요한 것은 일련의 동작과 몇 가지 공식을 기억하는 것입니다. 판별식을 사용하여 모든 이차 방정식을 풀 수 있음을 기억하십시오! 심지어 불완전하다.

근 공식에서 판별식의 근을 눈치채셨나요? 그러나 판별식은 음수일 수 있습니다. 무엇을 할까요? 우리는 2단계에 특별한 주의를 기울일 필요가 있습니다. 판별식은 방정식의 근의 수를 알려줍니다.

  • 그렇다면 방정식에 근이 있습니다.
  • 그렇다면 방정식은 동일한 근을 갖지만 실제로는 하나의 근을 갖습니다.

    이러한 뿌리를 이중근이라고 합니다.

  • 그렇다면 판별식의 근은 추출되지 않습니다. 이는 방정식에 근이 없음을 나타냅니다.

뿌리의 수가 다른 이유는 무엇입니까? 이차 방정식의 기하학적 의미로 돌아가 봅시다. 함수의 그래프는 포물선입니다.

2차 방정식인 특정한 경우, . 그리고 이것은 이차방정식의 근이 x축(축)과의 교점임을 의미합니다. 포물선은 축과 전혀 교차하지 않거나 한 점(포물선의 상단이 축 위에 있을 때) 또는 두 점에서 교차할 수 있습니다.

또한 계수는 포물선의 가지 방향을 담당합니다. 그렇다면 포물선의 가지가 위쪽으로 향하고 if - 그러면 아래쪽으로 향합니다.

예:

솔루션:

답변:

답변: .

답변:

이것은 해결책이 없다는 것을 의미합니다.

답변: .

2. 비에타의 정리

Vieta 정리를 사용하는 것은 매우 쉽습니다. 곱이 방정식의 자유 항과 같고 합이 반대 부호로 취한 두 번째 계수와 같은 숫자 쌍을 선택하기만 하면 됩니다.

Vieta의 정리는 다음에만 적용될 수 있음을 기억하는 것이 중요합니다. 주어진 이차 방정식 ().

몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

예 #1:

방정식을 풉니다.

결정:

이 방정식은 Vieta의 정리를 사용하는 솔루션에 적합합니다. . 기타 계수: ; .

방정식의 근의 합은 다음과 같습니다.

그리고 제품은:

곱이 같은 숫자 쌍을 선택하고 합이 같은지 확인합니다.

  • 그리고. 합계는;
  • 그리고. 합계는;
  • 그리고. 금액은 동일합니다.

시스템의 솔루션은 다음과 같습니다.

따라서 및 는 우리 방정식의 근입니다.

답변: ; .

예 #2:

결정:

우리는 제품에 제공되는 이러한 숫자 쌍을 선택한 다음 합계가 같은지 확인합니다.

및: 합계를 제공합니다.

및: 합계를 제공합니다. 그것을 얻으려면 주장되는 뿌리의 표시를 변경하면됩니다. 결국 작업.

답변:

예 #3:

결정:

방정식의 자유항은 음수이므로 근의 곱은 음수입니다. 이것은 뿌리 중 하나가 음수이고 다른 하나가 양수인 경우에만 가능합니다. 따라서 근의 합은 모듈의 차이점.

우리는 제품에 제공되는 숫자 쌍을 선택하고 그 차이는 다음과 같습니다.

그리고: 그들의 차이점은 - 적합하지 않습니다.

및: - 적합하지 않음;

및: - 적합하지 않음;

및: - 적합합니다. 뿌리 중 하나가 음수라는 것을 기억하는 것만 남아 있습니다. 합이 같아야 하므로 절대값이 작은 근은 음수여야 합니다. 우리는 다음을 확인합니다:

답변:

예 #4:

방정식을 풉니다.

결정:

방정식은 다음을 의미합니다.

자유 항은 음수이므로 근의 곱은 음수입니다. 그리고 이것은 방정식의 한 근이 음수이고 다른 근이 양수일 때만 가능합니다.

곱이 같은 숫자 쌍을 선택한 다음 음수 부호를 가져야 하는 근을 결정합니다.

분명히 뿌리와 첫 번째 조건에 적합합니다.

답변:

예 #5:

방정식을 풉니다.

결정:

방정식은 다음을 의미합니다.

근의 합은 음수이며, 이는 근 중 하나 이상이 음수임을 의미합니다. 그러나 그들의 곱이 양수이므로 두 근이 모두 음수임을 의미합니다.

우리는 다음과 같은 숫자 쌍을 선택합니다.

분명히, 뿌리는 숫자와입니다.

답변:

동의하십시오.이 불쾌한 판별자를 계산하는 대신 구두로 뿌리를 발명하는 것이 매우 편리합니다. 가능한 한 자주 Vieta의 정리를 사용하십시오.

그러나 근을 찾는 것을 촉진하고 속도를 높이려면 비에타 정리가 필요합니다. 그것을 사용하여 수익성을 얻으려면 작업을 자동으로 가져와야합니다. 그리고 이를 위해 다섯 가지 예를 더 풀어보세요. 그러나 속임수를 사용하지 마십시오. 판별자를 사용할 수 없습니다! Vieta의 정리만:

독립적인 작업을 위한 솔루션:

작업 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Vieta의 정리에 따르면:

평소와 같이 제품 선택을 시작합니다.

금액 때문에 적합하지 않습니다.

: 필요한 금액입니다.

답변: ; .

작업 2.

그리고 다시, 우리가 가장 좋아하는 Vieta 정리: 합은 맞아야 하지만 곱은 같습니다.

그러나 그것이 아니어야하기 때문에 뿌리의 부호를 변경합니다. 및 (전체).

답변: ; .

작업 3.

흠..어디야?

모든 조건을 한 부분으로 옮겨야 합니다.

근의 합은 곱과 같습니다.

그래, 그만! 방정식은 제공되지 않습니다. 그러나 Vieta의 정리는 주어진 방정식에서만 적용 가능합니다. 따라서 먼저 방정식을 가져와야 합니다. 제기할 수 없으면 이 아이디어를 버리고 다른 방법(예: 판별식을 통해)으로 해결하십시오. 이차 방정식을 가져오는 것은 선행 계수를 다음과 같게 만드는 것을 의미한다는 것을 상기시켜 드리겠습니다.

괜찮은. 그런 다음 뿌리의 합은 같고 곱은 같습니다.

여기에서 선택하는 것이 더 쉽습니다. 결국 - 소수(동어반복어 죄송합니다).

답변: ; .

작업 4.

자유 기간은 음수입니다. 무엇이 그렇게 특별한가요? 그리고 뿌리가 다른 표시가 될 것이라는 사실. 이제 선택하는 동안 루트의 합이 아니라 모듈 간의 차이를 확인합니다. 이 차이는 동일하지만 제품입니다.

따라서 뿌리는 동일하지만 그 중 하나는 마이너스입니다. Vieta의 정리는 근의 합이 반대 부호를 가진 두 번째 계수, 즉 반대와 같다는 것을 알려줍니다. 이것은 더 작은 루트가 마이너스: 및, 이후를 갖는다는 것을 의미합니다.

답변: ; .

작업 5.

가장 먼저 해야 할 일은 무엇입니까? 맞습니다. 방정식을 지정하십시오.

다시: 우리는 숫자의 요인을 선택하고 그 차이는 다음과 같아야 합니다.

뿌리는 같지만 그 중 하나는 마이너스입니다. 어느? 그들의 합은 같아야합니다. 즉, 마이너스가 있으면 더 큰 루트가 있음을 의미합니다.

답변: ; .

요약하자면:
  1. Vieta의 정리는 주어진 이차 방정식에서만 사용됩니다.
  2. Vieta 정리를 사용하여 구두로 선택하여 뿌리를 찾을 수 있습니다.
  3. 방정식이 주어지지 않거나 자유 항의 적절한 인수 쌍이 발견되지 않으면 정수 근이 없으며 다른 방법(예: 판별식을 통해)으로 풀어야 합니다.

3. 완전제곱식 선택 방법

미지수를 포함하는 모든 항이 약식 곱셈의 공식(합 또는 차의 제곱)에서 항으로 표시되는 경우 변수 변경 후 방정식은 유형의 불완전한 이차 방정식으로 표시될 수 있습니다.

예를 들어:

예 1:

방정식 풀기: .

결정:

답변:

예 2:

방정식 풀기: .

결정:

답변:

에 일반보기변환은 다음과 같습니다.

이것은 다음을 의미합니다.

뭔가 생각나지 않으세요? 판별식입니다! 이것이 바로 판별식을 얻은 방법입니다.

이차 방정식. 메인에 대해 간략히

이차 방정식는 미지수, 는 이차 방정식의 계수, 는 자유항 형식의 방정식입니다.

완전한 이차 방정식- 계수가 0이 아닌 방정식.

기약 이차 방정식- 계수, 즉: .

불완전한 이차 방정식- 계수 및/또는 자유항 c가 0인 방정식:

  • 계수인 경우 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
  • 자유 항인 경우 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
  • 이면 방정식의 형식은 .

1. 불완전한 이차 방정식을 푸는 알고리즘

1.1. 다음 형식의 불완전한 이차 방정식:

1) 미지의 표현: ,

2) 식의 부호를 확인합니다.

  • 방정식에 해가 없는 경우
  • 그렇다면 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.

1.2. 다음 형식의 불완전한 이차 방정식:

1) 대괄호에서 공통 요소를 빼자: ,

2) 요인 중 하나 이상이 0인 경우 곱은 0과 같습니다. 따라서 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.

1.3. 형식의 불완전한 이차 방정식, 여기서:

이 방정식에는 항상 하나의 근만 있습니다. .

2. 다음 형식의 완전한 이차 방정식을 푸는 알고리즘

2.1. 판별식을 사용한 해

1) 우리는 방정식을 다음과 같이 가져옵니다. 표준 보기: ,

2) 공식을 사용하여 판별식을 계산합니다. , 이는 방정식의 근 수를 나타냅니다.

3) 방정식의 근을 찾습니다.

  • 그렇다면 방정식에는 다음 공식에 의해 발견되는 루트가 있습니다.
  • 그렇다면 방정식에는 다음 공식으로 찾은 루트가 있습니다.
  • 그렇다면 방정식에는 근이 없습니다.

2.2. Vieta의 정리를 사용한 솔루션

기약 2차 방정식(여기서 형식의 방정식)의 근의 합은 동일하고 근의 곱은 동일합니다. 즉, , ㅏ.

2.3. 풀 스퀘어 솔루션

형식의 이차 방정식에 근이 있으면 다음 형식으로 작성할 수 있습니다.

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슬라이드 2

A.G.의 교과서에 따른 8학년 대수학 수업의 이차 방정식 주기. 모르드코비치

교사 MBOU Grushevskaya 중등 학교 Kireeva T.A.

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목표: 이차 방정식의 근인 이차 방정식의 개념을 소개합니다. 이차 방정식의 해를 보여줍니다. 이차 방정식을 푸는 능력을 형성하기 위해; 이차 방정식의 근 공식을 사용하여 완전한 이차 방정식을 푸는 방법을 보여줍니다.

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약간의 역사 고대 바빌론의 이차 방정식. 고대에도 1차 방정식뿐만 아니라 2차 방정식도 풀어야 하는 필요성은 토지의 면적을 구하는 문제와 토공천문학과 수학 자체의 발전뿐만 아니라 군사적 성격. 바빌론 사람들은 우리 믿음보다 약 2000년 전에 이차 방정식을 푸는 방법을 알고 있었습니다. 현대 대수 표기법을 적용하면 설형 문자 텍스트에는 불완전한 것 외에도 예를 들어 완전한 이차 방정식이 있다고 말할 수 있습니다.

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바빌로니아 문헌에 나와 있는 이 방정식을 푸는 규칙은 현대와 일치하지만 바빌론 사람들이 어떻게 이 규칙을 갖게 되었는지는 알려져 있지 않습니다. 지금까지 발견된 거의 모든 설형 문자 텍스트는 어떻게 발견되었는지에 대한 표시 없이 조리법의 형태로 제시된 해결책에 대한 문제만 제공합니다. 에도 불구하고 높은 레벨바빌로니아 대수학의 발전, 음수의 개념과 이차 방정식을 푸는 일반적인 방법은 설형 문자 텍스트에 없습니다.

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정의 1. 이차 방정식은 계수 a, b, c가 다음과 같은 형식의 방정식입니다. 실수, 다항식을 제곱 삼항식이라고 합니다. a는 첫 번째 또는 가장 높은 계수입니다. c는 두 번째 계수입니다. c는 자유항입니다.

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정의 2. 이차 방정식의 선행 계수가 1이면 축소 방정식이라고 합니다. 선행 계수가 1과 다른 경우 이차 방정식을 미기약이라고 합니다. 예. 2 - 5 + 3 = 0 - 기약 이차 방정식 - 기약 이차 방정식

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정의 3. 완전한 이차 방정식은 세 항이 모두 존재하는 이차 방정식입니다. a + in + c \u003d 0 불완전한 이차 방정식은 세 항이 모두 존재하지 않는 방정식입니다. 는 c의 계수 중 적어도 하나가 0인 방정식입니다.

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불완전한 이차 방정식을 푸는 방법.

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과제 번호 24.16 (a, b) 풀기 방정식 풀기: 또는 답. 또는 답변.

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정의 4 이차 방정식의 근은 제곱 삼항식이 사라지는 변수 x의 값입니다. 이러한 변수 x의 값을 제곱삼항식의 근이라고도 합니다. 이차 방정식을 푸는 것은 모든 근을 찾거나 근이 없음을 확인하는 것을 의미합니다.

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이차 방정식의 판별식 D 0 D=0 방정식에 근이 없음 방정식에 근이 두 개 방정식에 근이 하나 있음 이차 방정식의 근에 대한 공식

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D>0 2차 방정식에는 두 개의 근이 있으며 이는 공식 예제에서 찾을 수 있습니다. 방정식 솔루션을 풉니다. a \u003d 3, b \u003d 8, c \u003d -11, 답: 1; -삼

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2차 방정식을 푸는 알고리즘 1. 공식 D = 2를 사용하여 판별식 D를 계산합니다. D 0이면 이차 방정식에 두 개의 근이 있습니다.

프로그래밍거지 학생들을 위해.

수업 번호 12.

이차 방정식의 해.

마티친 이고르 블라디미로비치

수학과 컴퓨터 과학 교사

MBOU 중등 학교와 함께. 미혼 여성

목적: 입력이 주어지면 이차 방정식을 푸는 프로그램을 작성합니다.

소녀 2013.

이차 방정식은 가장 일반적인 학교 과정 방정식 중 하나입니다. 아주 쉽게 풀 수 있지만 때로는 답을 확인해야 합니다. 이를 위해 다음을 사용할 수 있습니다. 간단한 프로그램. 작성하는 데 오랜 시간이 걸리지 않습니다.

이차 방정식 자체부터 시작해야 합니다. 대수학 과정에서 우리는 이차 방정식이 다음 형식의 방정식이라는 것을 압니다.도끼 2 + bx + 씨 =0, 여기서엑스 - 변수,ㅏ , 비 및 c는 일부 숫자이고ㅏ .

방정식에서 계수만 변한다는 정의에서 알 수 있습니다.ㅏ , 비 그리고씨 . 이것은 우리가 프로그램에 입력할 매개변수이며 이를 위해 구성 요소에서 세 개의 입력 필드를 만듭니다.

그림 14.1 계수에 대한 입력 필드.

라는 정의에서도 나온다.ㅏ . 이 경우 방정식은 이차적이지 않습니다. 그리고 먼저 이 조건을 확인하겠습니다. 연산자를 사용하여 "해결" 버튼과 해당 이벤트 개발자를 만들어 보겠습니다.만약 상태를 확인ㅏ . 그리고 만약ㅏ =0 우리는 우리의 방정식이 2차적이지 않다고 말합니다.다음은 버튼에 대한 이벤트 핸들러입니다.절차 TForm1.Button1Click(발신자: TObject); var a,b,c:실제; 시작 a:=strtofloat(edit1.Text); b:=strtofloat(edit2.Text); c:=strtofloat(edit3.Text); if a=0 then Label4.Caption:="방정식은 정사각형이 아닙니다";끝;

쌀. 14.2 방정식의 존재 여부 테스트.

이제 방정식이 2차이면 어떻게 되는지 설명할 필요가 있습니다. 이것은 또한 같은 진술에있을 것입니다만약 단어 뒤에또 다른 복합 연산자를 사용할 때.

방정식이 2차이면 판별식의 공식과 2차 방정식의 근을 사용하여 즉시 풉니다.

다음 공식으로 판별식을 찾습니다.디 := 비 * 비 – 4* ㅏ * 씨 ;

판별식이 0보다 작으면 방정식에 해가 없습니다. 다음과 같이 설명됩니다.

만약 d 그 다음에상표 4. 표제 :='방정식에는 해가 없습니다'또 다른 …

그리고또 다른 공식을 사용하여 방정식의 근을 직접 검색합니다.

X1:=(-b+제곱(D))/2*a;

X2:=(-b-제곱(D))/2*a;

다음은 전체 연산자 코드입니다.만약 :

if=0 then Label4.Caption:="방정식은 정사각형이 아닙니다." else

시작하다

D:=b*b-4*a*c;

만약 d

시작하다

X1:=(-b+제곱(D))/2*a;

X2:=(-b-제곱(D))/2*a;

Label4.Caption:="X1="+floattostr(x1)+" X2="+floattostr(x2);

끝;

끝;

쌀. 14.3 프로그램 이차 방정식의 작업 창.

이차 방정식은 a*x^2 +b*x+c=0 형식의 방정식으로, 여기서 a,b,c는 임의의 실수(실수)이고 x는 변수입니다. 그리고 숫자 a=0입니다.

숫자 a,b,c를 계수라고 합니다. 숫자 a -는 선행 계수, 숫자 b는 x에서의 계수, 숫자 c는 자유 멤버라고 합니다.

이차 방정식 풀기

이차 방정식을 푸는 것은 모든 근을 찾거나 이차 방정식에 근이 없다는 사실을 확립하는 것을 의미합니다. 이차 방정식 a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0의 근은 다음과 같은 변수 x의 값입니다. 제곱 삼항 a*x^2 +b*x+c가 사라집니다. 때때로 이러한 x 값을 제곱 삼항식의 근이라고 합니다.

이차 방정식을 푸는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 가장 다재다능한 그 중 하나를 고려하십시오. 모든 이차 방정식을 푸는 데 사용할 수 있습니다.

이차 방정식 풀기 공식

이차 방정식의 근에 대한 공식은 a*x^2 +b*x+c=0입니다.

x=(-b±√D)/(2*a), 여기서 D =b^2-4*a*c.

이 공식은 이항의 제곱을 강조 표시하여 일반 형식의 방정식 a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0을 풀어서 얻습니다.

이차 방정식의 근 공식에서 식 D(b^2-4*a*c)는 이차 방정식 a*x^2 +b*x+c=0의 판별식이라고 합니다. 이 이름은 라틴어, 번역에서 "구별자". 판별식의 값에 따라 이차 방정식은 2개 또는 1개의 근을 갖거나 근이 전혀 없을 것입니다.

판별식이 0보다 크면,그러면 이차 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. (x=(-b±√D)/(2*a))

판별식이 0이면,그러면 이차 방정식은 하나의 근을 갖습니다. (x=(-b/(2*a))

판별식이 음수이면,그러면 이차 방정식에는 근이 없습니다.

이차 방정식을 풀기 위한 일반 알고리즘

전술한 내용을 기반으로 다음 공식을 사용하여 이차 방정식 a*x^2 +b*x+c=0을 풀기 위한 일반 알고리즘을 공식화합니다.

1. 공식 D =b^2-4*a*c를 사용하여 판별식의 값을 찾습니다.

2. 판별식의 값에 따라 다음 공식을 사용하여 근을 계산합니다.

디<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

이 알고리즘은 보편적이며 모든 이차 방정식을 푸는 데 적합합니다. 완전한 것과 불완전한 것, 인용된 것과 인용되지 않은 것.

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