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합리적 지수와 비합리적 지수가 있는 차수가 그 예입니다. 번호의 정도: 정의, 지정, 예


이 기사에서 우리는 무엇인지 이해할 것입니다 정도. 여기에서는 자연 지수로 시작하여 비합리적인 지수로 끝나는 정도의 모든 가능한 지수를 자세히 고려하면서 숫자의 정도에 대한 정의를 제공합니다. 이 자료에서 발생하는 모든 미묘함을 다루는 정도의 많은 예를 찾을 수 있습니다.

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자연 지수가 있는 차수, 숫자의 제곱, 숫자의 세제곱

부터 시작하겠습니다. 앞으로 자연 지수 n의 차수의 정의가 에 대해 주어졌다고 가정해 봅시다. 학위의 기초, 그리고 우리가 부를 n 멱지수. 또한 자연지표가 있는 정도는 곱을 통해 결정되므로 아래 자료를 이해하려면 숫자의 곱셈에 대한 개념이 필요합니다.

정의.

자연 지수 n의 거듭제곱는 n 형식의 표현이며, 그 값은 n 인수의 곱과 같으며 각각은 a 와 같습니다. 즉, .
특히, 지수가 1인 숫자 a의 차수는 숫자 a 자체, 즉 a 1 =a입니다.

즉시 학위 읽기 규칙을 언급할 가치가 있습니다. 보편적인 방법항목 a n을 읽는 것은 "n의 거듭제곱"입니다. 어떤 경우에는 "a의 n제곱" 및 "n제곱 a"와 같은 옵션도 허용됩니다. 예를 들어, 8 12의 거듭제곱을 보겠습니다. 이것은 "8의 12제곱" 또는 "8의 12제곱" 또는 "12의 8제곱"입니다.

숫자의 두 번째 거듭제곱과 숫자의 세 번째 거듭제곱에는 고유한 이름이 있습니다. 숫자의 두 번째 거듭 제곱이라고합니다. 숫자의 제곱예를 들어 7 2는 "일곱 제곱" 또는 "숫자 7의 제곱"으로 읽습니다. 숫자의 세 번째 거듭 제곱이라고합니다. 큐브 번호예를 들어, 5 3은 "5 세제곱"으로 읽거나 "숫자 5의 큐브"라고 말할 수 있습니다.

가져올 시간이야 물리적 지표가 있는 정도의 예. 5 7 의 거듭제곱부터 시작해 보겠습니다. 여기서 5는 거듭제곱의 밑이고 7은 지수입니다. 다른 예를 들어보겠습니다. 4.32는 밑수이고 자연수 9는 지수 (4.32) 9 입니다.

마지막 예에서 차수 4.32의 기수는 대괄호로 표시됩니다. 불일치를 피하기 위해 자연수와 다른 차수의 모든 기수를 대괄호로 묶습니다. 예를 들어 자연 지표로 다음과 같은 정도를 부여합니다. , 그들의 밑은 자연수가 아니므로 괄호 안에 기록됩니다. 글쎄, 이 시점에서 완전한 명확성을 위해, 우리는 (−2) 3 과 −2 3 형식의 레코드에 포함된 차이점을 보여줄 것입니다. 식 (-2) 3 은 자연 지수가 3인 −2의 거듭제곱이고, 식 −2 3 (-(2 3) 로 쓸 수 있음)은 2 3 제곱의 값인 숫자에 해당합니다.

a^n 형식의 지수 n이 있는 정도에 대한 표기법이 있습니다. 또한 n이 다중값 자연수이면 지수는 괄호 안에 표시됩니다. 예를 들어, 4^9 는 4 9 의 거듭제곱에 대한 또 다른 표기법입니다. 그리고 다음은 "^" 기호를 사용하여 도를 쓰는 더 많은 예입니다: 14^(21) , (−2,1)^(155) . 다음에서 우리는 주로 a n 형식의 차수 표기법을 사용할 것입니다.

자연 지수에 대한 지수의 역 문제 중 하나는 차수의 밑을 구하는 문제입니다. 알려진 값학위 및 알려진 지수. 이 작업은 로 이어집니다.

유리수 집합은 정수와 분수로 구성되며 각각 분수양수 또는 음수로 나타낼 수 있습니다 공통 분수. 우리는 이전 단락에서 정수 지수로 차수를 정의했으므로 차수 정의를 완료하기 위해 합리적인 지표, 분수 지수 m / n으로 숫자 a의 정도의 의미를 제공해야합니다. 여기서 m은 정수이고 n은 자연수입니다. 해보자

형식의 분수 지수가 있는 차수를 고려하십시오. 정도의 속성이 유효한 상태를 유지하려면 평등이 유지되어야 합니다. . 결과 평등과 정의한 방식을 고려하면 주어진 m, n 및 a에 대해 표현식이 의미가 있는 경우 수용하는 것이 논리적입니다.

정수 지수가 있는 차수의 모든 속성이 다음과 같이 유효한지 확인하는 것은 쉽습니다(이는 유리 지수가 있는 차수의 속성에 대한 섹션에서 수행됨).

위의 추론을 통해 다음을 할 수 있습니다. 결론: 주어진 m, n 및 a 식이 의미가 있는 경우 분수 지수 m / n이 있는 숫자 a의 거듭제곱은 m의 거듭제곱에 대한 a의 n차 근입니다.

이 진술은 분수 지수가 있는 정도의 정의에 가까워집니다. m, n 및 a 표현식이 의미가 있는 것을 설명하는 것만 남아 있습니다. m , n 및 a 에 부과된 제한 사항에 따라 두 가지 주요 접근 방식이 있습니다.

    a를 구속하는 가장 쉬운 방법은 양수 m에 대해 a≥0, 음수 m에 대해 a>0으로 가정하는 것입니다(m≤0은 0m의 거듭제곱이 없기 때문에). 그런 다음 분수 지수를 사용하여 차수에 대한 다음 정의를 얻습니다.

    정의.

    분수 지수 m/n이 있는 양수 a의 거듭제곱, 여기서 m은 정수이고 n은 자연수이며 m의 거듭제곱에 대한 숫자 a의 n번째 루트, 즉 .

    0의 분수 차수는 지수가 양수여야 한다는 유일한 주의 사항과 함께 정의됩니다.

    정의.

    분수 양의 지수 m/n이 있는 0의 거듭제곱, 여기서 m은 양의 정수이고 n은 자연수이며 다음과 같이 정의됩니다. .
    차수가 정의되지 않은 경우, 즉 소수 음수 지수가 있는 숫자 0의 차수는 의미가 없습니다.

    분수 지수가 있는 정도의 정의에는 하나의 뉘앙스가 있습니다. 일부 음수 a 및 일부 m 및 n에 대해 표현이 의미가 있으며 a≥0 조건을 도입하여 이러한 경우를 폐기했습니다. 예를 들어 다음과 같이 쓰는 것이 합리적입니다. 또는 , 그리고 위의 정의는 다음 형식의 분수 지수가 있는 정도를 말하도록 강요합니다. 밑이 음수가 아니어야 하므로 의미가 없습니다.

    분수 지수 m / n으로 차수를 결정하는 또 다른 방법은 루트의 짝수 지수와 홀수 지수를 별도로 고려하는 것입니다. 이 접근 방식에는 다음이 필요합니다. 추가 조건: 지수가 인 숫자의 차수는 지수가 해당 기약 분수인 숫자의 차수로 간주됩니다(이 조건의 중요성은 아래에서 설명됨). 즉, m/n이 기약분수이면 임의의 자연수 k에 대해 차수가 먼저 로 대체됩니다.

    짝수 n과 양수 m에 대해 이 식은 음수가 아닌 a에 대해 의미가 있으며(음수에서 짝수 차수의 근은 의미가 없음), 음수 m에 대해 숫자 a는 여전히 0과 달라야 합니다(그렇지 않으면 0으로 나눈 값이 됩니다.) 그리고 홀수 n과 양수 m의 경우 숫자 a는 무엇이든 될 수 있습니다(홀수 차수의 근은 임의의 경우에 대해 정의됩니다. 실수), 음수 m의 경우 숫자 a는 0과 달라야 합니다(0으로 나누기가 없도록).

    위의 추론은 분수 지수를 사용하는 정도의 정의로 이어집니다.

    정의.

    m/n을 기약분수, m을 정수, n을 자연수라고 하자. 모든 축소 가능한 일반 분수의 경우 차수는 로 대체됩니다. 기약 분수 지수 m / n의 거듭제곱은 다음과 같습니다.

    기약 지수가 있는 차수가 먼저 기약 지수가 있는 차수로 대체되는 이유를 설명하겠습니다. 단순히 차수를 로 정의하고 분수 m / n 의 기약성에 대해 예약하지 않은 경우 다음과 유사한 상황이 발생합니다. 6/10=3/5 이후, 평등 , 하지만 , ㅏ .

비디오 수업 "합리적인 지표가있는 정도"에는 시각적 개체가 포함되어 있습니다. 교육 자료이 주제에 대해 가르칩니다. 비디오 자습서에는 합리적인 지수가 있는 정도의 개념, 그러한 정도의 속성 및 실제 문제를 해결하기 위한 교육 자료의 사용을 설명하는 예에 대한 정보가 포함되어 있습니다. 이 비디오 수업의 과제는 교육 자료를 시각적으로 명확하게 제시하고, 학생들의 개발 및 암기를 촉진하고, 배운 개념을 사용하여 문제를 해결하는 능력을 형성하는 것입니다.

비디오 수업의 주요 장점은 시각적 변환 및 계산 기능, 학습 효율성을 향상시키기 위해 애니메이션 효과를 사용하는 기능입니다. 음성 반주는 올바른 수학적 말하기를 개발하는 데 도움이되며 교사의 설명을 대체하여 개별 작업을 자유롭게 할 수 있습니다.

비디오 자습서는 주제를 소개하는 것으로 시작됩니다. 연결 연구 새로운 주제이전에 연구된 재료를 사용하여 n √ a는 자연 n 및 양수 a에 대해 1/n으로 표시됨을 상기하는 것이 좋습니다. n-루트의 이 표현이 화면에 표시됩니다. 또한, a가 양수이고 m/n이 일부 분수인 식 a m/n이 의미하는 바를 고려하는 것이 제안됩니다. 상자에 강조 표시된 정도의 정의는 m/n = n √ a m 과 같은 유리 지수와 함께 제공됩니다. n은 자연수일 수 있고 m은 정수일 수 있습니다.

합리적인 지수로 차수를 결정한 후 그 의미는 예를 통해 알 수 있습니다. (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . 소수로 표시되는 거듭제곱을 공통 분수로 변환하여 근으로 표시하는 예도 나와 있습니다. (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 그리고 의 예 음수 값도: 3 -1/8 \u003d 8 √3 -1.

이와 별도로 차수의 밑이 0일 때 특정한 경우의 특징을 나타낸다. 이 정도는 양의 분수 지수에서만 의미가 있습니다. 이 경우 그 값은 0과 같습니다: 0 m/n =0.

유리 지수가 있는 차수의 또 다른 특징은 분수 지수가 있는 차수를 분수 지수로 고려할 수 없다는 점입니다. 정도의 잘못된 표기법의 예는 다음과 같습니다. (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

비디오 수업에서 더 나아가 합리적인 지수를 가진 차수의 속성이 고려됩니다. 정수 지수가 있는 차수의 속성은 유리 지수가 있는 차수에도 유효합니다. 이 경우에도 유효한 속성 목록을 불러오는 것이 좋습니다.

  1. 에 힘을 곱할 때 같은 근거지표를 합산하면 a p a q =a p+q 입니다.
  2. 동일한 밑수를 사용하는 도의 나눗셈은 주어진 밑수와 지수 차이가 있는 정도로 축소됩니다. a p:a q =a p-q .
  3. 거듭제곱을 특정 거듭제곱으로 올리면 결과적으로 주어진 밑수와 지수의 곱으로 거듭제곱을 얻습니다. (a p) q =a pq .

이 모든 속성은 유리 지수 p, q 및 양수 밑이 a>0인 거듭제곱에 대해 유효합니다. 또한 괄호를 열 때 차수 변환은 그대로 유지됩니다.

  1. (ab) p = a p b p - 합리적인 지수를 사용하여 두 숫자의 곱을 특정 거듭제곱으로 올리는 것은 숫자의 곱으로 축소되며, 각 숫자는 주어진 거듭제곱으로 올라갑니다.
  2. (a/b) p =a p /b p - 분수의 유리 지수를 사용한 지수는 분자와 분모가 주어진 거듭제곱으로 올라간 분수로 축소됩니다.

비디오 자습서에서는 합리적인 지수와 함께 고려된 각도 속성을 사용하는 예제의 솔루션에 대해 설명합니다. 첫 번째 예에서는 변수 x를 분수 거듭제곱으로 포함하는 표현식의 값을 찾는 것이 제안됩니다. (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). 표현식의 복잡성에도 불구하고 도의 속성을 사용하면 아주 간단하게 해결됩니다. 작업의 솔루션은 합리적인 지수로 거듭제곱을 거듭제곱하고 동일한 밑수로 거듭제곱을 곱하는 규칙을 사용하는 식의 단순화로 시작됩니다. 주어진 값 x=8을 단순화된 표현 x 1/3 +48에 대입하면 값 - 50을 얻기 쉽습니다.

두 번째 예에서는 분자와 분모에 거듭제곱이 포함된 분수를 합리적인 지수로 줄여야 합니다. 차수의 속성을 사용하여 차이에서 인수 x 1/3을 선택하고 분자와 분모에서 감소하고 제곱의 차이 공식을 사용하여 분자를 인수로 분해하여 더 많은 감소를 제공합니다. 분자와 분모의 요소는 동일합니다. 이러한 변환의 결과는 짧은 분수 x 1/4 +3입니다.

수업의 새로운 주제를 설명하는 교사 대신 비디오 수업 "합리적인 지표가있는 정도"를 사용할 수 있습니다. 또한 이 설명서에는 다음을 위한 충분한 정보가 포함되어 있습니다. 독학학생. 이 자료는 원격 학습에 유용할 수 있습니다.

MBOU "시도르스카야

종합 학교»

계획개요 개발 공개 수업

주제에 대한 11 학년 대수학 :

준비 및 실시

수학 선생님

이스카코바 E.F.

11학년 대수학 공개 수업의 개요.

주제 : "합리적인 지수가 있는 정도".

수업 유형 : 새로운 자료를 배우다

수업 목표:

    학생들에게 이전에 연구한 자료(정수 지표가 있는 학위)를 기반으로 합리적인 지표와 주요 속성이 있는 정도의 개념을 익히도록 합니다.

    계산 기술과 숫자를 합리적인 지수로 변환하고 비교할 수 있는 능력을 개발합니다.

    학생들의 수학적 소양과 수학적 관심을 함양한다.

장비 : 과제 카드, 정수 표시기가 있는 학위에 대한 학생 프레젠테이션, 합리적인 표시기가 있는 학위에 대한 교사 프레젠테이션, 랩톱, 멀티미디어 프로젝터, 스크린.

수업 중:

    조직 시간.

개별 작업 카드에서 다루는 주제의 동화를 확인합니다.

작업 번호 1.

=2;

비) = x + 5;

시스템을 해결 무리한 방정식: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

작업 번호 2.

비합리적인 방정식을 풉니다. = - 3;

비) = x - 2;

무리한 연립방정식 풀기: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

    수업의 주제와 목표의 발표.

오늘 수업의 주제 합리적인 지수가 있는 차수».

    이전에 연구한 예에 대한 새로운 자료에 대한 설명.

정수 지수가 있는 차수의 개념에 이미 익숙합니다. 누가 그들을 기억하도록 도와줄 수 있습니까?

프레젠테이션을 통한 반복 정수 지수가 있는 차수».

임의의 숫자 a , b 및 임의의 정수 m 및 n에 대해 등식은 참입니다.

m * n = m + n ;

a m: an n = a m-n(a ≠ 0);

(오전) n = mn ;

(a b) n = a n * b n ;

(a/b) n = a n / b n (b ≠ 0) ;

1 = 에이 ; 0 = 1(a ≠ 0)

오늘 우리는 숫자의 차수 개념을 일반화하고 분수 지수가 있는 표현에 의미를 부여할 것입니다. 소개하자 정의합리적인 지표가 있는 정도(프레젠테이션 "합리적인 지표가 있는 정도"):

정도 > 합리적인 지수가 있는 0 아르 자형 = , 어디 중 는 정수이고 N - 자연스러운 ( N > 1), 전화번호 중 .

따라서 정의에 따라 다음을 얻습니다. = 중 .

작업을 수행할 때 이 정의를 적용해 보겠습니다.

실시예 #1

I 수식의 근으로 표현:

하지만) 비) 에) .

이제 이 정의를 반대로 적용해 보겠습니다.

II 합리적인 지수를 사용하여 거듭제곱으로 식을 표현합니다.

하지만) 2 비) 에) 5 .

0의 거듭제곱은 양의 지수에 대해서만 정의됩니다.

0 아르 자형= 0 아르 자형> 0.

이 정의를 사용하여, 집에서#428 및 #429를 완료합니다.

이제 합리적인 지수가 있는 차수의 위 정의가 모든 지수에 대해 참인 차수의 기본 속성을 보존한다는 것을 보여줍시다.

유리수 r 및 s 및 양수 a 및 b에 대해 등식은 참입니다.

1 0 . ㅏ 아르 자형 ㅏ 에스 =아 r+s ;

예시: *

이십 . a r: a s = a r-s ;

예시: :

3 0 . (a r ) s = a rs ;

예시: ( -2/3

4 0 . ( ab) 아르 자형 = ㅏ 아르 자형 비 아르 자형 ; 5 0 . ( = .

예: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

한 번에 여러 속성을 사용하는 예: * : .

    피즈쿨트미누트카.

우리는 책상에 펜을 놓고 등을 곧게 펴고 이제 앞으로 손을 뻗어 보드를 만지고 싶습니다. 그리고 이제 우리는 오른쪽, 왼쪽, 앞으로, 뒤로 들어 올려 기울였습니다. 그들은 나에게 펜을 보여 주었고 이제 당신의 손가락이 어떻게 춤을 출 수 있는지 보여줍니다.

    재료 작업

합리적인 지수가 있는 거듭제곱의 두 가지 속성에 주목합니다.

60 . 허락하다 r은 유리수이고 0< a < b . Тогда

ㅏ 아르 자형 < b 아르 자형~에 아르 자형> 0,

ㅏ 아르 자형 < b 아르 자형~에 아르 자형< 0.

7 0 . 임의의 유리수에 대해아르 자형그리고 에스불평등으로부터 아르 자형> 에스다음을 따른다

ㅏ 아르 자형> 에이 아르 자형> 1의 경우,

ㅏ 아르 자형 < а 아르 자형 0에서< а < 1.

예: 숫자 비교:

그리고 ; 2 300 그리고 3 200 .

    수업 요약:

오늘 수업에서 우리는 정수 지수를 사용하여 차수의 속성을 기억하고 합리적인 지수로 차수의 정의와 기본 속성을 배웠으며 이것의 적용을 고려했습니다. 이론적 자료연습 중 연습. "합리적인 지표가있는 정도"라는 주제가 필수 항목이라는 사실에주의를 기울이고 싶습니다. USE 할당. 숙제를 준비할 때 428호 및 429호


숫자의 정도가 결정된 후, 그것에 대해 이야기하는 것이 논리적입니다. 학위 속성. 이 기사에서는 가능한 모든 지수를 다루면서 숫자 차수의 기본 속성을 제공합니다. 여기에서 우리는 학위의 모든 속성에 대한 증명을 제공하고 예제를 풀 때 이러한 속성이 어떻게 적용되는지 보여줍니다.

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자연 지표가 있는 도의 속성

자연 지수가 있는 차수의 정의에 따르면 n의 차수는 n 인자의 곱이며 각각은 a 와 같습니다. 이 정의를 바탕으로 실수 곱셈 속성, 우리는 다음을 얻고 정당화할 수 있습니다 자연 지수가 있는 차수의 속성:

  1. 차수의 주요 속성 a m ·a n =a m+n , 일반화 ;
  2. 밑이 같은 부분 거듭제곱의 속성 a m:a n =a m−n ;
  3. 제품도 속성 (a b) n =a n b n , 확장 ;
  4. 몫 속성 현물 (a:b) n =a n:b n ;
  5. 지수(am) n =am n , 일반화 (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
  6. 학위를 0과 비교:
    • a>0 이면 모든 자연 n에 대해 n >0입니다.
    • a=0 이면 n =0 ;
    • 만약<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0이면<0 и показатель степени есть 홀수 2 m−1 , 다음은 2 m−1<0 ;
  7. 와 b가 양수이고
  8. m과 n이 정수, 그 m>n , 0에 대해 0 부등식 a m > an n은 참입니다.

우리는 즉시 모든 서면 평등이 동일한지정된 조건에서 좌우 부품을 교환할 수 있습니다. 예를 들어, 분수 a m a n = a m + n의 주요 속성은 다음과 같습니다. 표현의 단순화종종 a m+n = a m a n 형식으로 사용됩니다.

이제 각각에 대해 자세히 살펴보겠습니다.

    밑이 같은 두 거듭제곱의 곱의 속성부터 시작하겠습니다. 학위의 주요 속성: 임의의 실수 a와 임의의 자연수 m 및 n에 대해 등식 a m ·a n =a m+n은 참입니다.

    학위의 주요 속성을 증명합시다. 자연 지수가 있는 차수의 정의에 의해 a m n 형식의 같은 밑을 가진 거듭제곱의 곱은 곱으로 쓸 수 있습니다. 곱셈의 속성으로 인해 결과 표현식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. , 그리고 이 곱은 자연 지수 m+n 의 거듭제곱, 즉 m+n 입니다. 이것으로 증명이 완료됩니다.

    학위의 주요 속성을 확인하는 예를 들어 보겠습니다. 동일한 밑수 2와 자연 거듭제곱 2와 3으로 차수를 취합시다. 차수의 주요 속성에 따라 등식 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 를 쓸 수 있습니다. 표현식 2 2 ·2 3 및 2 5 의 값을 계산하는 유효성을 확인합시다. 지수화를 수행하면 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32및 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, 동일한 값이 얻어지기 때문에 평등 2 2 2 3 \u003d 2 5가 정확하고 정도의 주요 속성을 확인합니다.

    곱셈의 속성에 기반한 차수의 주요 속성은 동일한 밑수와 자연 지수를 갖는 3승 이상의 곱으로 일반화할 수 있습니다. 따라서 임의의 수 k의 자연수 n 1 , n 2 , ..., n k에 대해 평등 an 1 an 2 an k =an 1 +n 2 +…+n k.

    예를 들어, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

    자연 표시기를 사용하여 다음 속성으로 이동할 수 있습니다. 동일한 기반을 가진 부분 권력의 속성: 0이 아닌 실수 a와 임의의 자연수 m과 n이 조건 m>n을 충족하는 경우, a m:a n =a m−n이 참입니다.

    이 속성을 증명하기 전에 설명에서 추가 조건의 의미를 논의합시다. a≠0 조건은 0 n =0이므로 0으로 나누는 것을 피하기 위해 필요하며, 나눗셈에 대해 알게 되었을 때 0으로 나누는 것은 불가능하다는 데 동의했습니다. 조건 m>n은 자연 지수를 넘지 않도록 도입되었습니다. 실제로, m>n에 대해 지수 a m-n은 자연수이고, 그렇지 않으면 0(m-n에 대해 발생) 또는 음수(m에 대해 발생)가 됩니다.

    증거. 분수의 주요 속성을 사용하면 평등을 쓸 수 있습니다. a m−n n =a (m−n)+n =a m. 얻어진 등식으로부터 a m−n ·a n =a m 그리고 그로부터 a m−n 은 a m 과 an n 의 거듭제곱의 몫입니다. 이것은 동일한 기반을 가진 부분 권력의 속성을 증명합니다.

    예를 들어 보겠습니다. 동일한 밑수 π와 자연 지수 5와 2로 2개의 도를 취하겠습니다. 도의 고려된 속성은 평등 π 5에 해당합니다. π 2 = π 5−3 = π 3.

    이제 고려 제품 학위 속성: 임의의 두 실수 a와 b의 곱의 자연 차수 n은 차수 an과 bn의 곱과 같습니다. 즉, (a b) n =a n b n 입니다.

    실제로, 자연 지수가 있는 차수의 정의에 의해, 우리는 . 곱셈의 속성을 기반으로 하는 마지막 곱은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다. , 이는 n b n 과 같습니다.

    다음은 예입니다. .

    이 속성은 3개 이상의 요인의 곱의 정도까지 확장됩니다. 즉, k 요인의 곱의 자연 전력 속성 n은 다음과 같이 작성됩니다. (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n.

    명확성을 위해 이 속성을 예제로 보여줍니다. 7의 거듭제곱에 대한 세 가지 요인의 곱의 경우 .

    다음 속성은 자연 재산: 실수 a 와 b 의 몫, b≠0 대 자연 거듭제곱 n 은 a n 과 b n 의 몫, 즉 (a:b) n =a n:b n 입니다.

    증명은 이전 속성을 사용하여 수행할 수 있습니다. 그래서 (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, 그리고 등식 (a:b) n b n =a n 은 (a:b) n 이 a n 을 b n 으로 나눈 몫임을 의미합니다.

    특정 숫자의 예를 사용하여 이 속성을 작성해 보겠습니다. .

    이제 목소리를 내자 지수 속성: 임의의 실수 a와 임의의 자연수 m 및 n에 대해 n의 거듭제곱에 대한 a의 거듭제곱은 지수가 m·n인 a의 거듭제곱과 같습니다. 즉, (a m) n =a m·n 입니다.

    예를 들어, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

    힘 속성의 정도에 대한 증명은 다음과 같은 등식 사슬입니다. .

    고려되는 속성은 차수 내 차수 등으로 확장될 수 있습니다. 예를 들어, 임의의 자연수 p, q, r 및 s에 대해 같음 . 더 명확하게 하기 위해 다음은 특정 숫자가 있는 예입니다. (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

    차수를 자연 지수와 비교하는 속성에 대해서는 여전히 남아 있습니다.

    자연 지수를 사용하여 0과 거듭제곱의 비교 속성을 증명하는 것으로 시작합니다.

    먼저, 임의의 a>0 에 대해 n >0 임을 정당화해 보겠습니다.

    두 양수의 곱은 곱셈의 정의에서 다음과 같이 양수입니다. 이 사실과 곱셈의 속성을 통해 임의의 수의 양수를 곱한 결과도 양수가 될 것이라고 주장할 수 있습니다. 자연 지수 n의 거듭제곱은 정의에 따라 n 인수의 곱이며, 각각은 다음과 같습니다. 이러한 인수를 통해 양수 a에 대해 n의 차수가 양수임을 주장할 수 있습니다. 입증된 속성으로 인해 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 및 .

    a=0인 모든 자연 n에 대해 n의 차수가 0이라는 것은 매우 분명합니다. 실제로 0 n =0·0·…·0=0 입니다. 예를 들어, 0 3 =0 및 0 762 =0 입니다.

    음수 기준으로 넘어 갑시다.

    지수가 짝수인 경우부터 시작하여 2m 으로 표시합니다. 여기서 m은 자연수입니다. 그 다음에 . a·a 형식의 각 제품에 대해 숫자 및 모듈의 곱과 같으므로 양수입니다. 따라서 제품도 긍정적입니다. 및 학위 a 2 m . 다음은 예입니다: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 및 .

    마지막으로, a의 밑이 음수이고 지수가 홀수 2m-1일 때, . 모든 곱 a·a는 양수이고 이 양수의 곱도 양수이며 나머지 음수를 곱하면 음수가 됩니다. 이 속성으로 인해 (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

    우리는 동일한 자연 지수를 사용하여 차수를 비교하는 속성으로 전환합니다. 이 공식은 다음과 같습니다. 동일한 자연 지수를 사용하는 두 차수의 n은 밑이 작은 것보다 작고 밑이 큰 것보다 큽니다. 증명해 봅시다.

    불평등 n 불평등의 속성 n 형식으로 증명되는 부등식 (2,2) 7 및 .

    자연 지수를 사용하여 나열된 거듭 제곱 속성 중 마지막 속성을 증명하는 것이 남아 있습니다. 공식화하자. 자연 지표와 동일한 양의 염기가있는 두 가지 정도 중 1보다 작 으면 정도가 더 크고 지표가 더 작습니다. 자연 지표와 1보다 큰 동일한 기본을 갖는 2도 중 도는 더 크고, 그 지표는 더 큽니다. 우리는 이 속성의 증거로 돌아갑니다.

    m>n이고 0임을 증명합시다. 초기 조건 m>n으로 인해 0, 0에서 다음을 따릅니다.

    재산의 두 번째 부분을 증명하는 것이 남아 있습니다. m>n 및 a>1에 대해 a m>a n이 참임을 증명합시다. 대괄호에서 n을 빼낸 후의 차이 a m −an 은 a n ·(a m−n −1) 형식을 취합니다. 이 곱은 양수입니다. 왜냐하면 >1의 경우 a n의 차수가 양수이고 차이 a m−n -1이 양수이기 때문입니다. 초기 조건으로 인해 m−n>0이고 >1인 경우, m-n의 차수는 1보다 큽니다. 따라서 a m − an n >0 및 a m > an n을 증명해야 했습니다. 이 속성은 부등식 3 7 >3 2 로 설명됩니다.

정수 지수가 있는 도의 속성

양의 정수는 자연수이므로 양의 정수 지수가 있는 거듭제곱의 모든 속성은 이전 단락에서 나열되고 증명된 자연 지수의 거듭제곱의 속성과 정확히 일치합니다.

음의 정수 지수가 있는 차수와 지수가 0인 차수는 등식으로 표현되는 자연 지수가 있는 차수의 모든 속성이 유효하게 유지되는 방식으로 정의했습니다. 따라서 이러한 모든 속성은 0 지수와 음수 지수 모두에 유효하며, 물론 도의 밑은 0이 아닙니다.

따라서 모든 실수 및 0이 아닌 숫자 a 및 b, 그리고 모든 정수 m 및 n에 대해 다음이 참입니다. 정수 지수가 있는 도의 속성:

  1. m n \u003d m + n;
  2. a m: an n = a m-n ;
  3. (a b) n = a n b n ;
  4. (a:b) n =a n:b n ;
  5. (a m) n = m n ;
  6. n이 양의 정수인 경우 및 b는 양수이고 a b-n;
  7. m과 n이 정수이고 m>n이면 0에서 1 부등식 a m > an n이 충족됩니다.

a=0의 경우 m과 n의 거듭제곱은 m과 n이 모두 양의 정수, 즉 자연수인 경우에만 의미가 있습니다. 따라서 방금 작성한 속성은 a=0이고 숫자 m과 n이 양의 정수인 경우에도 유효합니다.

이러한 각 속성을 증명하는 것은 어렵지 않습니다. 이를 위해 자연 및 정수 지수의 정도 정의와 실수의 동작 속성을 사용하는 것으로 충분합니다. 예를 들어, 거듭제곱 속성이 양의 정수와 양의 정수가 아닌 정수 모두에 적용된다는 것을 증명해 보겠습니다. 이렇게 하려면 p가 0 또는 자연수이고 q가 0 또는 자연수이면 등식 (ap) q =ap q , (a − p) q =a (−p) q , (ap ) −q = ap (−q) 및 (a−p)−q =a (−p) (−q). 해보자

양의 p와 q의 경우, 등식(a p) q = a p·q는 이전 하위 섹션에서 증명되었습니다. p=0 이면 (a 0) q =1 q =1 및 a 0 q =a 0 =1 이므로 (a 0) q =a 0 q 입니다. 유사하게, q=0 이면 (ap) 0 =1이고 a p 0 =a 0 =1 이면 (ap) 0 =ap 0 입니다. p=0 및 q=0 이면 (a 0) 0 =1 0 =1 및 a 0 0 =a 0 =1 이며, 여기서 (a 0) 0 =a 0 0 입니다.

이제 (a −p) q =a (−p) q 임을 증명합시다. 음의 정수 지수를 갖는 차수의 정의에 의해, 다음 . 차수의 몫의 속성에 의해, 우리는 . 1 p =1·1·…·1=1이므로 , 그러면 . 마지막 표현은 정의에 따라 a −(p q) 형식의 거듭제곱이며, 곱셈 규칙에 따라 a (−p) q 로 쓸 수 있습니다.

비슷하게 .

그리고 .

같은 원리로 등식 형식으로 작성된 정수 지수를 사용하여 차수의 다른 모든 속성을 증명할 수 있습니다.

기록된 속성의 끝에서 두 번째에서 부등식 a −n >b −n 의 증명에 대해 논의할 가치가 있습니다. 이는 모든 음의 정수 −n 및 조건 a에 해당하는 모든 양의 a 및 b에 대해 참입니다. . 조건에 의해 0 . 곱 a n ·b n 도 양수 a n 과 b n 의 곱으로 양수입니다. 그러면 결과 분수는 양수 b n − a n 과 a n b n 의 몫으로 양수입니다. 따라서 a −n >b −n 은 증명되어야 했습니다.

정수 지수가 있는 도의 마지막 속성은 자연 지수가 있는 도의 유사 속성과 같은 방식으로 증명됩니다.

합리적인 지수를 가진 거듭제곱의 속성

정수 지수가 있는 차수의 속성을 확장하여 분수 지수로 차수를 정의했습니다. 즉, 분수 지수가 있는 도는 정수 지수가 있는 도와 동일한 속성을 갖습니다. 즉:

분수 지수가 있는 차수의 속성 증명은 분수 지수가 있는 차수의 정의와 정수 지수가 있는 차수의 속성에 기반합니다. 증거를 제시합시다.

분수 지수와 차수의 정의에 의해 , 다음 . 산술 근의 속성을 통해 다음과 같은 등식을 작성할 수 있습니다. 또한 정수 지수가 있는 차수의 속성을 사용하여 , 분수 지수가 있는 차수의 정의에 의해 다음을 얻습니다. , 그리고 얻어진 차수의 지수는 다음과 같이 변환될 수 있다: . 이것으로 증명이 완료됩니다.

분수 지수가 있는 거듭제곱의 두 번째 속성은 정확히 같은 방식으로 증명됩니다.

나머지 평등은 유사한 원칙에 의해 증명됩니다.

다음 속성의 증명으로 넘어가겠습니다. 임의의 양수 및 b에 대해 a 피 . 유리수 p를 m/n으로 씁니다. 여기서 m은 정수이고 n은 자연수입니다. 조건 피<0 и p>이 경우 0은 조건 m과 동일합니다.<0 и m>각각 0. m>0 및 a의 경우

마찬가지로 m에 대해<0 имеем a m >b m , whence , 즉 a p >b p .

나열된 속성 중 마지막 속성을 증명하는 것이 남아 있습니다. 유리수 p와 q에 대해 0에 대해 p>q임을 증명합시다. 0 - 부등식 a p >a q . 유리수 p와 q를 공통 분모로 항상 줄일 수 있고 일반 분수를 구하고 m 1 과 m 2는 정수이고 n은 자연수입니다. 이 경우 조건 p>q는 m 1 > m 2 조건에 해당하며, 이는 에서 뒤따릅니다. 그런 다음 0에서 동일한 밑수와 자연 지수의 거듭 제곱을 비교하는 속성에 의해 1 - 부등식 a m 1 > a m 2 . 근의 속성에 관한 이러한 부등식은 각각 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다. 그리고 . 그리고 합리적인 지수로 정도를 정의하면 불평등과 각각을 전달할 수 있습니다. 이것으로부터 우리는 p>q 및 0에 대한 최종 결론을 도출합니다. 0 - 부등식 a p >a q .

비합리적인 지수가 있는 도의 속성

비합리적인 지수가 있는 차수를 정의하는 방법에서 합리적 지수가 있는 차수의 모든 속성을 가지고 있다고 결론을 내릴 수 있습니다. 따라서 >0 , b>0 및 무리수피와 q 비합리적인 지수가 있는 도의 속성:

  1. ap q = ap + q ;
  2. a p:a q = a p−q ;
  3. (a b) p = a p b p ;
  4. (a:b) p =a p:b p ;
  5. (피) q = 피 q ;
  6. 임의의 양수 및 b에 대해 a 0 부등식 p 피 ;
  7. 무리수 p 및 q의 경우 0에서 p>q 0 - 부등식 a p >a q .

이것으로부터 우리는 >0에 대한 실수 지수 p와 q를 갖는 거듭제곱이 동일한 속성을 갖는다는 결론을 내릴 수 있습니다.

서지.

  • Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 5 셀에 대한 수학 Zh 교과서. 교육 기관.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. 대수학: 7개의 셀에 대한 교과서. 교육 기관.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. 대수학: 8개의 셀에 대한 교과서. 교육 기관.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. 대수학: 9개의 셀에 대한 교과서. 교육 기관.
  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. 대수와 분석의 시작: 일반 교육 기관의 10-11학년을 위한 교과서.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. 수학(기술 학교 지원자를 위한 매뉴얼).

합리적인 지수가 있는 차수

카시아노바 T.G.,

수학 선생님

제시된 자료는 "합리적인 지표가있는 학위"주제를 공부할 때 수학 교사에게 유용합니다.

제시된 자료의 목적 : "합리적인 지표가있는 학위"주제에 대한 수업을 수행 한 경험 공개 작업 프로그램학문 "수학".

수업의 방법론은 새로운 지식의 연구 및 기본 통합의 수업과 같은 유형에 해당합니다. 기본 지식과 기술은 이전에 얻은 경험을 기반으로 업데이트되었습니다. 새로운 정보의 기본 암기, 통합 및 적용. 새로운 재료의 통합 및 적용은 내가 테스트한 다양한 복잡성의 문제를 해결하는 형태로 이루어졌습니다. 긍정적인 결과주제 마스터하기.

수업이 시작될 때 저는 학생들을 위해 교육적, 개발적, 교육적 목표를 설정했습니다. 수업시간에 사용했던 다양한 방법활동: 정면, 개인, 스팀 룸, 독립, 테스트. 과제를 차별화하여 수업의 각 단계에서 지식의 동화 정도를 식별할 수 있게 하였다. 작업의 양과 복잡성은 다음과 같습니다. 연령 특성재학생. 내 경험에서 - 숙제, 에서 해결된 문제와 유사 교실습득한 지식과 기술을 안전하게 통합할 수 있습니다. 수업이 끝나면 성찰이 이루어지고 개별 학생의 작업이 평가되었습니다.

목표가 달성되었습니다. 학생들은 합리적인 지수로 학위의 개념과 속성을 공부하고 이러한 속성을 실제 문제 해결에 사용하는 방법을 배웠습니다. 당 독립적 인 일성적은 다음 수업에서 발표됩니다.

나는 수학 수업을 진행하기 위해 내가 사용하는 방법론을 수학 교사들이 적용할 수 있다고 믿습니다.

수업 주제: 합리적인 지표가 있는 정도

수업의 목적:

복잡한 지식과 기술에 대한 학생들의 마스터링 수준 식별 및 이를 기반으로 교육 과정을 개선하기 위한 특정 솔루션의 적용.

수업 목표:

튜토리얼:합리적인 지표로 학위를 결정하기위한 기본 개념, 규칙, 법률, 표준 조건, 변경 및 비표준 조건에서 지식을 독립적으로 적용하는 능력의 학생들 사이에 새로운 지식을 형성합니다.

개발 중:논리적으로 생각하고 실행 창의적인 기술;

교육자:수학에 대한 관심을 형성하고, 새로운 용어로 어휘를 보충하고, 추가 정보주변 세계에 대해. 인내, 인내, 어려움을 극복하는 능력을 배양하십시오.

    정리 시간

    기본 지식 업데이트

    동일한 밑수로 거듭제곱을 곱하면 지수가 추가되고 밑은 동일하게 유지됩니다.

예를 들어,

2. 밑이 같은 거듭제곱을 나눌 때 지수는 빼고 밑은 그대로 유지합니다.


예를 들어,

3. 차수를 거듭제곱할 때 지수는 곱해지고 밑은 동일하게 유지됩니다.


예를 들어,

4. 곱의 정도는 요인의 거듭제곱의 곱과 같습니다.

예를 들어,

5. 몫의 차수는 피제수와 제수의 거듭제곱의 몫과 같습니다.


예를 들어,

솔루션 연습

표현식의 값 찾기:

해결책:

이 경우 자연 지수가 있는 차수의 속성은 명시적으로 적용될 수 없습니다. 다른 근거. 다른 형식으로 몇 가지 학위를 작성해 보겠습니다.

(곱의 정도는 요인의 정도의 곱과 같습니다);


(같은 밑수로 거듭제곱하면 지수가 더해지고 밑은 그대로 유지되고, 차수를 거듭제곱하면 지수가 곱해지지만 밑은 그대로 유지됩니다.)

그런 다음 우리는 다음을 얻습니다.

에 이 예자연 지수가 있는 차수의 처음 네 가지 속성이 사용되었습니다.

산술 제곱근
제곱은 음이 아닌 숫자입니다.ㅏ,
. ~에
- 표현
정의되지 않았기 때문에 제곱이 음수인 실수는 없습니다ㅏ.

수학 받아쓰기(8-10분)

    옵션

Ⅱ. 옵션

1. 표현식의 값 찾기

ㅏ)

비)

1. 표현식의 값 찾기

ㅏ)

비)

2. 계산

ㅏ)

비)

에)

2. 계산

ㅏ)

비)

안에)

자가 진단(라펠 보드에):

응답 매트릭스:

№ 옵션/작업

작업 1

작업 2

옵션 1

가) 2

나) 2

가) 0.5

비)

안에)

옵션 2

가) 1.5

비)

ㅏ)

비)

4시에

II. 새로운 지식의 형성

식의 의미를 고려하십시오. 여기서 - 양수– 분수 및 m-정수, n-자연(n>1)

정의: 유리수 지수가 있는 a›0의 차수아르 자형 = , 중-전부의, N- 자연스러운 ( N›1) 번호가 호출됩니다.

그래서:

예를 들어:

메모:

1. 양수 및 유리수 r에 대해 숫자 전적으로.

2. 언제
숫자의 합리적인 힘ㅏ정의되지 않았습니다.

다음과 같은 표현
말이 안 된다.

3.만약 분수 양수
.

만약 분수 음수, 그럼 -의미가 없습니다.

예를 들어: - 말이 안 된다.

합리적인 지수로 차수의 속성을 고려하십시오.

>0, в>0으로 두십시오. r, s - 모든 유리수. 그러면 유리 지수가 있는 차수는 다음과 같은 속성을 갖습니다.

1.
2.
3.
4.
5.

III. 강화. 새로운 기술과 능력의 형성.

작업 카드는 테스트의 형태로 소그룹으로 작동합니다.

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