", 즉 1차 방정식입니다. 이 강의에서는 탐구할 것입니다. 이차 방정식이란 무엇입니까그리고 그것을 해결하는 방법.

이차 방정식이란 무엇입니까

중요한!

방정식의 차수는 미지수가 나타내는 가장 높은 차수에 의해 결정됩니다.

미지수의 최대 차수가 "2"이면 이차 방정식이 생깁니다.

이차 방정식의 예

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• -x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0.25x = 0
• x 2 − 8 = 0

중요한! 이차 방정식의 일반적인 형태는 다음과 같습니다.

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" 및 "c" - 주어진 숫자.

• "a" - 첫 번째 또는 상위 계수;
• "b" - 두 번째 계수;
• "c"는 무료 회원입니다.

"a", "b" 및 "c"를 찾으려면 방정식을 이차 방정식 "ax 2 + bx + c \u003d 0"의 일반 형식과 비교해야 합니다.

이차 방정식에서 계수 "a", "b" 및 "c"를 결정하는 것을 연습해 보겠습니다.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 -x 2 + x +

방정식	승산
a=5 b = -14 c = 17
a = -7 b = -13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0.25x = 0

• 에이 = 1
• b = 0.25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• 에이 = 1
• b = 0
• c = -8

이차 방정식을 푸는 방법

풀기 위한 선형 방정식과 달리 이차 방정식특별한 뿌리를 찾는 공식.

기억하다!

이차 방정식을 풀려면 다음이 필요합니다.

• 이차 방정식을 "ax 2 + bx + c \u003d 0"의 일반 형식으로 가져옵니다. 즉, "0"만 오른쪽에 남아 있어야 합니다.
• 뿌리에 대한 공식을 사용하십시오.

이차 방정식의 근을 찾기 위해 공식을 적용하는 방법을 알아보기 위해 예를 사용하겠습니다. 이차방정식을 풀어봅시다.

X 2 - 3x - 4 = 0

방정식 "x 2 - 3x - 4 = 0"은 이미 일반 형식 "ax 2 + bx + c = 0"으로 축소되었으며 추가 단순화가 필요하지 않습니다. 그것을 해결하려면 적용 만하면됩니다. 이차 방정식의 근을 찾는 공식.

이 방정식에 대한 계수 "a", "b" 및 "c"를 정의합시다.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

그것의 도움으로 모든 이차 방정식이 해결됩니다.

공식 "x 1; 2 \u003d"에서 루트 표현식은 종종 대체됩니다.
"b 2 − 4ac"를 문자 "D"로 바꾸고 판별식이라고 합니다. 판별식의 개념은 " 판별식이란 무엇입니까 ?" 단원에서 더 자세히 설명합니다 .

이차 방정식의 다른 예를 고려하십시오.

x 2 + 9 + x = 7x

이 형식에서는 계수 "a", "b" 및 "c"를 결정하기가 다소 어렵습니다. 먼저 방정식을 "ax 2 + bx + c \u003d 0"이라는 일반 형식으로 가져오겠습니다.

X 2 + 9 + X = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

이제 뿌리에 대한 공식을 사용할 수 있습니다.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
답: x = 3

이차 방정식에 근이 없는 경우가 있습니다. 이 상황은 루트 아래 수식에 음수가 나타날 때 발생합니다.

우리는 주제를 계속 연구합니다 방정식의 해". 우리는 이미 선형 방정식에 대해 알게 되었고 이제 다음과 같이 알게 될 것입니다. 이차 방정식.

먼저 이차 방정식이 무엇인지, 어떻게 작성되는지 분석합니다. 일반보기, 관련 정의를 제공합니다. 그런 다음 예제를 사용하여 불완전한 이차 방정식을 푸는 방법을 자세히 분석합니다. 다음으로 완전한 방정식 풀기, 근에 대한 공식 구하기, 2차 방정식의 판별식에 대해 익히고 일반적인 예에 ​​대한 솔루션을 살펴보겠습니다. 마지막으로 근과 계수 간의 연결을 추적합니다.

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이차 방정식이란 무엇입니까? 그들의 유형

먼저 이차 방정식이 무엇인지 명확하게 이해해야 합니다. 따라서 이차 방정식의 정의와 관련 정의로 이차 방정식에 대해 이야기하는 것이 논리적입니다. 그 후, 이차 방정식의 주요 유형인 축소 및 비 축소, 완전 및 불완전 방정식을 고려할 수 있습니다.

이차 방정식의 정의와 예

정의.

이차 방정식형식의 방정식입니다 a x 2 +b x+c=0, 여기서 x는 변수이고, a, b 및 c는 일부 숫자이며 0과 다릅니다.

2차 방정식을 종종 2차 방정식이라고 부릅니다. 이것은 이차 방정식이 대수 방정식 두번째 등급.

정확한 정의를 통해 이차 방정식의 예를 제공할 수 있습니다. 따라서 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 등입니다. 이차 방정식입니다.

정의.

숫자 a , b 및 c 라고 합니다 이차 방정식의 계수 a x 2 + b x + c \u003d 0이고 계수 a는 첫 번째 또는 선임 또는 x 2의 계수, b는 x의 두 번째 계수 또는 계수이고 c는 자유 구성원입니다.

예를 들어, 5 x 2 −2 x−3=0 형식의 이차 방정식을 가정해 보겠습니다. 여기서 선행 계수는 5, 두 번째 계수는 -2, 자유 항은 -3입니다. 방금 주어진 예에서와 같이 계수 b 및/또는 c가 음수이면 짧은 형식 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0 가 아닌 5 x 2 −2 x−3=0 형식의 이차 방정식을 작성합니다.

계수 a 및 / 또는 b가 1 또는 -1과 같을 때 일반적으로 이러한 표기법의 특성으로 인해 2차 방정식의 표기법에 명시적으로 나타나지 않습니다. 예를 들어, 이차 방정식 y 2 −y+3=0에서 선행 계수는 1이고 y에서의 계수는 -1입니다.

기약 및 비기약 이차 방정식

선행 계수의 값에 따라 축소 및 비 축소 이차 방정식이 구별됩니다. 해당하는 정의를 내리자.

정의.

선행 계수가 1인 이차 방정식을 감소된 이차 방정식. 그렇지 않으면 이차 방정식은 환원되지 않은.

이 정의에 따르면 이차 방정식 x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 등입니다. - 감소, 각각의 첫 번째 계수 하나와 같은. 그리고 5 x 2 −x−1=0 등. - 환원되지 않은 이차 방정식의 선행 계수는 1과 다릅니다.

기약되지 않은 이차 방정식에서 두 부분을 선행 계수로 나누어 기약 된 것으로 이동할 수 있습니다. 이 동작은 등가 변환입니다. 즉, 이러한 방식으로 얻은 기약 이차 방정식은 원래의 비기약 이차 방정식과 같은 근을 갖거나 마찬가지로 근이 없습니다.

기약 이차 방정식에서 기약 이차 방정식으로의 전환이 어떻게 수행되는지 예를 들어 보겠습니다.

예시.

방정식 3 x 2 +12 x−7=0에서 해당 기약 2차 방정식으로 이동합니다.

결정.

원래 방정식의 두 부분을 선행 계수 3으로 나누는 것으로 충분하며 0이 아니므로 이 작업을 수행할 수 있습니다. (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 이며, 이는 (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 과 같은 식으로 계속됩니다(3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , 어디서 . 그래서 우리는 원래의 것과 동일한 감소된 이차 방정식을 얻었습니다.

답변:

완전 및 불완전 이차 방정식

이차 방정식의 정의에는 a≠0이라는 조건이 있습니다. 이 조건은 방정식 a x 2 +b x+c=0 이 정확히 제곱이 되기 위해 필요합니다. a=0 이면 실제로 b x+c=0 형식의 선형 방정식이 되기 때문입니다.

계수 b와 c는 별도로 또는 함께 0과 같을 수 있습니다. 이러한 경우 이차 방정식을 불완전이라고 합니다.

정의.

이차 방정식 a x 2 +b x+c=0이 호출됩니다. 불완전한, 계수 b 중 하나 이상이면 c는 0입니다.

차례대로

정의.

완전한 이차 방정식모든 계수가 0이 아닌 방정식입니다.

이 이름은 우연히 주어진 것이 아닙니다. 이것은 다음 논의에서 분명해질 것이다.

계수 b가 0과 같으면 이차 방정식은 a x 2 +0 x+c=0 형식을 취하고 방정식 a x 2 +c=0 과 같습니다. c=0 , 즉 이차 방정식의 형식이 a x 2 +b x+0=0 이면 a x 2 +b x=0 으로 다시 쓸 수 있습니다. 그리고 b=0 및 c=0일 때 우리는 이차 방정식 a·x 2 =0을 얻습니다. 결과 방정식은 좌변에 변수 x가 있는 항이나 자유 항 또는 둘 다를 포함하지 않는다는 점에서 완전 이차 방정식과 다릅니다. 따라서 그들의 이름은 불완전한 이차 방정식입니다.

따라서 방정식 x 2 +x+1=0 및 −2 x 2 −5 x+0,2=0은 완전한 이차 방정식의 예이고 x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 은 불완전한 이차 방정식입니다.

불완전한 이차 방정식 풀기

이전 단락의 정보에 따르면 다음과 같습니다. 세 종류의 불완전 이차 방정식:

• a x 2 =0 , 계수 b=0 및 c=0은 이에 해당합니다.
• b=0일 때 a x 2 +c=0 ;
• c=0 일 때 a x 2 +b x=0 입니다.

이러한 각 유형의 불완전한 이차 방정식이 어떻게 해결되는지 순서대로 분석해 보겠습니다.

x 2 \u003d 0

계수 b와 c가 0인 불완전한 이차 방정식, 즉 a x 2 =0 형식의 방정식을 푸는 것으로 시작하겠습니다. 방정식 a·x 2 =0은 방정식 x 2 =0과 동일하며, 원본에서 두 부분을 0이 아닌 숫자 a로 나누어 얻습니다. 분명히 방정식 x 2 \u003d 0의 근은 0 2 \u003d 0이므로 0입니다. 이 방정식에는 다른 근이 없으므로 실제로 0이 아닌 숫자 p에 대해 부등식 p 2 >0이 발생합니다. 이는 p≠0에 대해 같음 p 2 =0이 결코 달성되지 않는다는 것을 의미합니다.

따라서 불완전한 이차 방정식 a x 2 \u003d 0에는 단일 루트 x \u003d 0이 있습니다.

예를 들어, 불완전한 이차 방정식 −4·x 2 =0의 해를 제공합니다. 방정식 x 2 \u003d 0과 동일하며 유일한 루트는 x \u003d 0이므로 원래 방정식에는 단일 루트 0이 있습니다.

이 경우 짧은 해결책은 다음과 같이 발행할 수 있습니다.
-4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

이제 계수 b가 0이고 c≠0, 즉 a x 2 +c=0 형식의 방정식인 불완전한 이차 방정식이 해결되는 방법을 고려하십시오. 반대 부호를 사용하여 방정식의 한 변에서 다른 변으로 항을 옮기고 방정식의 양변을 0이 아닌 숫자로 나누면 등가 방정식이 제공된다는 것을 알고 있습니다. 따라서 불완전 이차 방정식 a x 2 +c=0에 대해 다음과 같은 등가 변환을 수행할 수 있습니다.

• c를 오른쪽으로 이동하여 방정식 a x 2 =−c를 제공합니다.
• 두 부분을 모두 로 나누면 .

결과 방정식을 통해 그 뿌리에 대한 결론을 도출할 수 있습니다. a 및 c의 값에 따라 표현식의 값은 음수(예: a=1 및 c=2 인 경우) 또는 양수(예: a=−2 및 c=6인 경우)일 수 있습니다. , ), 조건 c≠0 에 따라 0이 아닙니다. 경우와 .을 별도로 분석하겠습니다.

이면 방정식에 근이 없습니다. 이 진술은 임의의 수의 제곱이 음수가 아니라는 사실에서 비롯됩니다. 이로부터 , 어떤 수 p에 대해 평등은 참일 수 없습니다.

이면 방정식의 근이 있는 상황이 다릅니다. 이 경우에 대해 기억하면 방정식의 근이 즉시 명백해집니다. 그것은 숫자이기 때문입니다. 숫자가 방정식의 근이기도 하다는 것을 쉽게 추측할 수 있습니다. 이 방정식에는 예를 들어 모순으로 나타낼 수 있는 다른 근이 없습니다. 해보자

방정식의 유성근을 x 1 및 −x 1 로 표시합시다. 방정식에 표시된 근 x 1 및 −x 1 과 다른 또 다른 근 x 2가 있다고 가정합니다. 근의 x 대신 방정식으로 대입하면 방정식이 진정한 수치 평등으로 바뀌는 것으로 알려져 있습니다. x 1 과 −x 1 의 경우 , x 2 의 경우 . 수치 평등의 속성을 통해 진정한 수치 평등의 항목별 뺄셈을 수행할 수 있으므로 등식의 해당 부분을 빼면 x 1 2 − x 2 2 =0이 됩니다. 숫자 연산의 속성을 통해 결과 평등을 (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 으로 다시 작성할 수 있습니다. 두 숫자의 곱은 둘 중 하나 이상이 0인 경우에만 0과 같다는 것을 알고 있습니다. 따라서 얻은 등식에서 x 1 −x 2 =0 및/또는 x 1 +x 2 =0 , x 2 =x 1 및/또는 x 2 = −x 1 입니다. 처음에 방정식 x 2 의 근이 x 1 및 −x 1 과 다르다고 말했기 때문에 우리는 모순에 이르렀습니다. 이것은 방정식에 및 이외의 다른 근이 없음을 증명합니다.

이 단락의 정보를 요약해 보겠습니다. 불완전한 이차 방정식 a x 2 +c=0은 다음 방정식과 같습니다.

• 이면 뿌리가 없다.
• 에는 두 개의 뿌리와 if 가 있습니다.

a·x 2 +c=0 형식의 불완전한 이차 방정식을 푸는 예를 고려하십시오.

이차 방정식 9 x 2 +7=0 부터 시작하겠습니다. 자유 항을 방정식의 오른쪽으로 옮기면 9·x 2 =−7의 형식을 취합니다. 결과 방정식의 양변을 9로 나누면 에 도달합니다. 우변에서 음수가 얻어지기 때문에 이 방정식에는 근이 없으므로 원래 불완전 이차 방정식 9 x 2 +7=0에는 근이 없습니다.

불완전한 이차 방정식 −x 2 +9=0을 하나 더 풀어 보겠습니다. 9를 오른쪽으로 옮깁니다: -x 2 \u003d -9. 이제 두 부분을 −1로 나누면 x 2 =9가 됩니다. 오른쪽은 양수를 포함하며 여기서 또는 . 최종 답을 작성한 후: 불완전한 이차 방정식 −x 2 +9=0은 x=3 또는 x=−3의 두 개의 근을 갖습니다.

a x 2 +b x=0

c=0 에 대한 마지막 유형의 불완전한 이차 방정식의 해를 처리해야 합니다. a x 2 +b x=0 형식의 불완전한 이차 방정식을 사용하면 다음을 풀 수 있습니다. 인수분해 방법. 분명히, 우리는 방정식의 왼쪽에 위치할 수 있으며, 대괄호에서 공통 인자 x를 빼는 것으로 충분합니다. 이를 통해 원래의 불완전한 이차 방정식에서 x·(a·x+b)=0 형식의 등가 방정식으로 이동할 수 있습니다. 그리고 이 방정식은 두 방정식 x=0 및 a x+b=0 의 집합과 동일하며, 마지막 방정식은 선형이고 근이 x=−b/a 입니다.

따라서 불완전한 이차 방정식 a x 2 +b x=0은 x=0과 x=−b/a의 두 근을 갖습니다.

자료를 통합하기 위해 특정 예의 솔루션을 분석합니다.

예시.

방정식을 풉니다.

결정.

대괄호에서 x를 빼면 방정식이 나옵니다. 두 방정식 x=0 및 . 결과 선형 방정식을 풀고 혼합 수를 다음으로 나눕니다. 공통 분수, 우리는 찾는다 . 따라서 원래 방정식의 근은 x=0이고 .

필요한 연습을 한 후 이러한 방정식의 솔루션을 간략하게 작성할 수 있습니다.

답변:

x=0, .

판별식, 이차 방정식의 근 공식

이차 방정식을 풀기 위해 근 공식이 있습니다. 적어보자 이차 방정식의 근의 공식: , 어디 D=b 2 −4 c- 소위 이차 방정식의 판별식. 표기법은 본질적으로 .

근 공식이 어떻게 구해졌으며 이 공식이 이차 방정식의 근을 찾는 데 어떻게 적용되는지 아는 것이 유용합니다. 이것을 처리합시다.

이차 방정식의 근 공식 유도

이차 방정식 a·x 2 +b·x+c=0 을 풀어야 합니다. 몇 가지 동등한 변환을 수행해 보겠습니다.

• 이 방정식의 두 부분을 0이 아닌 숫자 a로 나눌 수 있으며 결과적으로 축소된 이차 방정식을 얻습니다.
• 지금 완전한 정사각형을 선택하십시오왼쪽: . 그 후, 방정식은 형식을 취합니다.
• 이 단계에서 마지막 두 항을 반대 기호로 오른쪽으로 옮기는 것이 가능합니다.
• 그리고 오른쪽의 표현식도 변환해 보겠습니다: .

결과적으로 원래의 이차 방정식 a·x 2 +b·x+c=0 과 동일한 방정식에 도달합니다.

우리는 분석할 때 이전 단락에서 형식이 유사한 방정식을 이미 풀었습니다. 이를 통해 방정식의 근과 관련하여 다음과 같은 결론을 도출할 수 있습니다.

• 이면 방정식에는 실제 솔루션이 없습니다.
• 이면 방정식은 , 따라서 , 형식을 갖습니다. 여기서 유일한 루트가 표시됩니다.
• if , then or 는 or 와 동일합니다. 즉, 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.

따라서 방정식의 근의 존재 여부, 따라서 원래의 이차 방정식의 존재 여부는 오른쪽에 있는 식의 부호에 따라 달라집니다. 차례로, 이 식의 부호는 분자의 부호에 의해 결정됩니다. 분모 4 a 2 는 항상 양수, 즉 식 b 2 −4 a c 의 부호이기 때문입니다. 이 표현은 b 2 −4 a c라고 합니다. 이차 방정식의 판별식그리고 문자로 표시한 디. 여기에서 판별식의 본질은 명확합니다. 그 값과 부호에 따라 이차 방정식에 실제 근이 있는지 여부가 결정되고, 그렇다면 그 수는 1 또는 2입니다.

방정식으로 돌아가서 판별식의 표기법을 사용하여 다시 작성합니다. . 그리고 우리는 다음과 같이 결론을 내립니다.

• 만약 D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• D=0이면 이 방정식은 단일 근을 갖습니다.
• 마지막으로 D>0이면 방정식은 두 개의 근 또는 를 가지며, 또는 형식으로 다시 작성할 수 있으며 분수를 공통 분모로 확장 및 축소한 후 .

그래서 우리는 2차 방정식의 근에 대한 공식을 도출했습니다. 그들은 처럼 보입니다. 여기서 판별식 D는 공식 D=b 2 −4 a c 에 의해 계산됩니다.

그들의 도움으로 양의 판별식을 사용하여 이차 방정식의 두 실수근을 모두 계산할 수 있습니다. 판별식이 0일 때 두 공식은 이차 방정식의 유일한 해에 해당하는 동일한 근값을 제공합니다. 그리고 음의 판별식을 사용하여 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용하려고 할 때 음수에서 제곱근을 추출해야 하는 문제에 직면하게 되며, 이는 학교 커리큘럼의 범위를 벗어납니다. 음의 판별식을 사용하면 이차 방정식에는 실수근이 없지만 쌍이 있습니다. 복잡한 켤레우리가 얻은 것과 동일한 루트 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

근 공식을 사용하여 이차 방정식을 푸는 알고리즘

실제로 이차 방정식을 풀 때 루트 공식을 즉시 사용하여 값을 계산할 수 있습니다. 그러나 이것은 복잡한 뿌리를 찾는 것에 관한 것입니다.

그러나 학교 대수학 과정에서는 일반적으로 우리는 얘기하고있다복소수에 관한 것이 아니라 이차 방정식의 실제 근에 관한 것입니다. 이 경우 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용하기 전에 먼저 판별식을 찾고 음수가 아닌지 확인하는 것이 좋습니다(그렇지 않으면 방정식에 실수근이 없다는 결론을 내릴 수 있음). 뿌리의 값을 계산하십시오.

위의 추론을 통해 다음을 작성할 수 있습니다. 이차 방정식을 푸는 알고리즘. 이차 방정식 a x 2 + b x + c \u003d 0을 풀려면 다음이 필요합니다.

• 판별식 D=b 2 −4 a c를 사용하여 그 값을 계산합니다.
• 판별식이 음수이면 이차 방정식에 실수근이 없다는 결론을 내립니다.
• D=0인 경우 공식을 사용하여 방정식의 유일한 근을 계산합니다.
• 판별식이 양수이면 근 공식을 사용하여 이차 방정식의 두 실수근을 찾습니다.

여기서 우리는 판별식이 0과 같으면 공식도 사용할 수 있으며 와 동일한 값을 제공한다는 점에 유의합니다.

이차 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 적용하는 예제로 넘어갈 수 있습니다.

이차 방정식 풀기의 예

양수, 음수 및 영판별자. 그들의 솔루션을 다루면 유추에 의해 다른 이차 방정식을 푸는 것이 가능할 것입니다. 시작하자.

예시.

방정식 x 2 +2 x−6=0 의 근을 찾습니다.

결정.

이 경우 이차 방정식의 계수는 다음과 같습니다. a=1 , b=2 및 c=−6 . 알고리즘에 따르면 먼저 판별식을 계산해야 합니다. 이를 위해 표시된, b 및 c를 판별식으로 대입합니다. D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. 28>0, 즉 판별식이 0보다 크므로 이차 방정식은 두 개의 실수근을 갖습니다. 의 공식으로 그것들을 찾자, 우리는 , 여기서 우리는 루트의 부호를 빼내다다음에 분수 감소:

답변:

다음 전형적인 예를 살펴보겠습니다.

예시.

이차 방정식 −4 x 2 +28 x−49=0 을 풉니다.

결정.

판별식을 찾는 것으로 시작합니다. D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. 따라서 이 2차 방정식은 단일 근을 가지며, 이는 , 즉,

답변:

x=3.5 .

음의 판별식이 있는 이차 방정식의 해를 고려해야 합니다.

예시.

방정식 5 y 2 +6 y+2=0 을 풉니다.

결정.

다음은 이차 방정식의 계수입니다. a=5 , b=6 및 c=2 . 이 값을 판별 공식에 대입하면 D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. 판별식은 음수이므로 이 2차 방정식에는 실수근이 없습니다.

복소수 근을 지정해야 하는 경우 이차 방정식의 근에 대해 잘 알려진 공식을 사용하고 다음을 수행합니다. 복소수 연산:

답변:

실제 뿌리는 없으며 복잡한 뿌리는 다음과 같습니다.

다시 한 번, 2차 방정식의 판별식이 음수이면 학교는 일반적으로 실제 근이 없음을 나타내는 답을 즉시 기록하고 복소수 근을 찾지 못한다는 점에 주목합니다.

짝수 초 계수에 대한 근 공식

2차 방정식의 근에 대한 공식 , 여기서 D=b 2 −4 a c는 x에서 짝수 계수(또는 단순히 2 n , 예를 들어, 또는 14 ln5=2 7 ln5 ). 그녀를 꺼내자.

a x 2 +2 n x + c=0 형식의 이차 방정식을 풀어야 한다고 가정해 보겠습니다. 우리가 알고 있는 공식을 이용하여 그 뿌리를 찾아보자. 이를 위해 판별식을 계산합니다. D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), 루트 공식을 사용합니다.

식 n 2 − a c를 D 1로 표시합니다(때로는 D "로 표시됨). 그런 다음 두 번째 계수 2 n을 갖는 고려된 이차 방정식의 근에 대한 공식은 다음 형식을 취합니다 , 여기서 D 1 = n 2 -a c .

D=4·D 1 또는 D 1 =D/4 임을 쉽게 알 수 있습니다. 즉, D1은 판별식의 네 번째 부분입니다. D 1 의 부호가 D 의 부호와 같다는 것은 분명합니다. 즉, 부호 D1은 이차방정식의 근의 유무를 나타내는 지표이기도 하다.

따라서 두 번째 계수가 2n인 이차 방정식을 풀려면 다음이 필요합니다.

• D 1 = n 2 −a·c를 계산하고 ;
• 만약 D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 =0이면 공식을 사용하여 방정식의 유일한 근을 계산합니다.
• D 1 >0이면 공식을 사용하여 두 개의 실수근을 찾습니다.

이 단락에서 얻은 루트 공식을 사용하여 예제의 솔루션을 고려하십시오.

예시.

2차 방정식 5 x 2 −6 x−32=0 을 풉니다.

결정.

이 방정식의 두 번째 계수는 2·(-3) 로 나타낼 수 있습니다. 즉, 원래의 이차 방정식을 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 형식으로 다시 작성할 수 있습니다. 여기에서 a=5 , n=−3 및 c=−32 이고 4번째 부분을 계산합니다. 판별자: D 1 = n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. 값이 양수이므로 방정식에는 두 개의 실수근이 있습니다. 해당 루트 공식을 사용하여 찾습니다.

이차 방정식의 근에 대해 일반적인 공식을 사용할 수 있었지만 이 경우 더 많은 계산 작업이 수행되어야 합니다.

답변:

이차 방정식 형태의 단순화

때로는 공식을 사용하여 이차 방정식의 근 계산을 시작하기 전에 "이 방정식의 형식을 단순화할 수 있습니까?"라는 질문을 하는 것이 나쁘지 않습니다. 계산 측면에서 1100 x 2 −400 x−600=0 보다 2차 방정식 11 x 2 −4 x −6=0 을 푸는 것이 더 쉽다는 데 동의합니다.

일반적으로 이차 방정식 형식의 단순화는 양변에 어떤 숫자를 곱하거나 나눔으로써 달성됩니다. 예를 들어, 이전 단락에서 양변을 100으로 나누어 방정식 1100 x 2 −400 x −600=0의 단순화를 달성했습니다.

유사한 변환이 2차 방정식으로 수행되며, 그 계수는 . 이 경우 방정식의 두 부분은 일반적으로 계수의 절대 값으로 나뉩니다. 예를 들어, 이차 방정식 12 x 2 −42 x+48=0을 가정해 보겠습니다. 계수의 절대값: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . 원래 이차 방정식의 두 부분을 6으로 나누면 등가 이차 방정식 2 x 2 −7 x+8=0 에 도달합니다.

그리고 이차 방정식의 두 부분의 곱은 일반적으로 분수 계수를 제거하기 위해 수행됩니다. 이 경우 곱셈은 계수의 분모에 대해 수행됩니다. 예를 들어, 이차 방정식의 두 부분에 LCM(6, 3, 1)=6 을 곱하면 더 간단한 형식 x 2 +4 x−18=0 가 됩니다.

이 단락의 결론에서 우리는 거의 항상 모든 항의 부호를 변경하여 이차 방정식의 가장 높은 계수에서 빼기를 제거한다는 점에 주목합니다. 이는 두 부분을 -1로 곱(또는 나누기)하는 것에 해당합니다. 예를 들어, 일반적으로 이차 방정식 −2·x 2 −3·x+7=0 에서 해 2·x 2 +3·x−7=0 으로 이동합니다.

이차방정식의 근과 계수의 관계

이차 방정식의 근에 대한 공식은 방정식의 근을 계수로 표현합니다. 근의 공식을 기반으로 근과 계수 사이의 다른 관계를 얻을 수 있습니다.

형태의 비에타 정리에서 가장 잘 알려지고 적용 가능한 공식 및 . 특히, 주어진 이차 방정식의 경우 근의 합은 부호가 반대인 두 번째 계수와 같으며 근의 곱은 자유항입니다. 예를 들어, 이차 방정식 3 x 2 −7 x+22=0의 형식으로 근의 합은 7/3이고 근의 곱은 22/3이라고 즉시 말할 수 있습니다.

이미 작성된 공식을 사용하여 이차 방정식의 근과 계수 사이의 여러 다른 관계를 얻을 수 있습니다. 예를 들어, 계수로 이차 방정식의 근의 제곱의 합을 표현할 수 있습니다.

서지.

• 대수학:교과서 8셀용. 일반 교육 기관 / [유. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; 에드. S. A. Telyakovsky. - 16판. - 남 : 교육, 2008. - 271 p. : 아픈. - ISBN 978-5-09-019243-9.
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이차 방정식에 대한 문제도 다음에서 연구됩니다. 학교 커리큘럼그리고 대학에서. 그들은 a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 형식의 방정식으로 이해됩니다. 여기서 엑스-변수, a,b,c – 상수; ㅏ<>0 . 문제는 방정식의 근을 찾는 것입니다.

이차 방정식의 기하학적 의미

이차 방정식으로 표현되는 함수의 그래프는 포물선입니다. 이차 방정식의 해(근)는 포물선과 x축의 교차점입니다. 세 가지 가능한 경우가 있습니다.
1) 포물선은 x축과 교차점이 없습니다. 이것은 분기가 있는 위쪽 평면 또는 아래쪽 분기가 있는 아래쪽 평면에 있음을 의미합니다. 이러한 경우 이차 방정식에는 실수근이 없습니다(복소수 2개 있음).

2) 포물선은 축 Ox와의 교차점이 하나 있습니다. 이러한 점을 포물선의 꼭짓점이라고하며 그 안의 이차 방정식은 최소값 또는 최대값을 얻습니다. 이 경우 이차 방정식은 하나의 실수근(또는 두 개의 동일한 근)을 갖습니다.

3) 마지막 경우는 실제로 더 흥미롭습니다. 포물선과 가로축의 교차점이 두 개 있습니다. 이것은 방정식의 실제 근이 두 개 있음을 의미합니다.

변수의 거듭제곱에서 계수의 분석을 기반으로 포물선의 배치에 대해 흥미로운 결론을 도출할 수 있습니다.

1) 계수 a가 0보다 크면 포물선이 위쪽으로 향하고 음수이면 포물선의 가지가 아래쪽으로 향합니다.

2) 계수 b가 0보다 크면 포물선의 꼭짓점이 왼쪽 반평면에 있고 음수 값을 취하면 오른쪽에 있습니다.

이차 방정식 풀기 공식 유도

이차 방정식에서 상수를 전송하자

등호에 대해 식을 얻습니다.

양변에 4a를 곱합니다.

왼쪽에 완전한 정사각형을 얻으려면 두 부분에 b ^ 2를 추가하고 변환을 수행하십시오.

여기에서 우리는

판별식의 공식과 이차 방정식의 근

판별식은 급진적 표현의 값입니다.양수이면 공식에 의해 계산된 두 개의 실수근이 있는 방정식입니다. 판별식이 0일 때 이차 방정식은 하나의 해(두 개의 일치 근)를 가지므로 위의 D=0 공식에서 쉽게 구할 수 있으며 판별식이 음수이면 실수근이 없습니다. 그러나 복소 평면에서 이차 방정식의 해를 연구하고 그 값은 다음 공식으로 계산됩니다.

비에타의 정리

이차 방정식의 두 근을 고려하고 이를 기반으로 이차 방정식을 구성합니다. Vieta 정리 자체는 다음과 같은 표기법에서 쉽게 따릅니다. 그 근의 합은 반대 부호로 취한 계수 p와 같고 방정식의 근의 곱은 자유 항 q와 같습니다. 위의 공식은 다음과 같습니다. 고전 방정식의 상수가 0이 아니면 전체 방정식을 이 값으로 나눈 다음 Vieta 정리를 적용해야 합니다.

요인에 대한 이차 방정식의 일정

작업을 설정합니다. 이차 방정식을 인수로 분해합니다. 이를 수행하기 위해 먼저 방정식을 풉니다(근 찾기). 다음으로 구한 근을 이차방정식의 전개식에 대입하면 이 문제가 해결됩니다.

이차 방정식에 대한 작업

작업 1. 이차 방정식의 근 찾기

x^2-26x+120=0 .

솔루션: 계수를 기록하고 판별식에 대입

의 뿌리 주어진 가치 14와 같으면 계산기로 쉽게 찾거나 자주 사용하여 기억할 수 있지만 편의를 위해 기사 끝에서 이러한 작업에서 자주 찾을 수있는 숫자 제곱 목록을 제공합니다 .
찾은 값은 루트 공식으로 대체됩니다.

그리고 우리는 얻는다

작업 2. 방정식을 풀다

2x2+x-3=0.

솔루션: 완전한 이차 방정식이 있고 계수를 작성하고 판별식을 찾습니다.


에 의해 알려진 공식이차 방정식의 근을 구하다

작업 3. 방정식을 풀다

9x2 -12x+4=0.

솔루션: 완전한 이차 방정식이 있습니다. 판별식 결정

우리는 뿌리가 일치하는 경우를 얻었습니다. 우리는 공식에 의해 뿌리의 값을 찾습니다

작업 4. 방정식을 풀다

x^2+x-6=0 .

솔루션: x에 대한 계수가 작은 경우 Vieta 정리를 적용하는 것이 좋습니다. 조건에 따라 두 개의 방정식을 얻습니다.

두 번째 조건에서 우리는 곱이 -6과 같아야 함을 얻습니다. 이것은 뿌리 중 하나가 음수임을 의미합니다. 다음과 같은 가능한 솔루션 쌍이 있습니다(-3;2), (3;-2) . 첫 번째 조건을 고려하여 두 번째 솔루션 쌍을 거부합니다.
방정식의 근은

작업 5. 둘레가 18cm이고 면적이 77cm2인 경우 직사각형의 변의 길이를 구하십시오.

솔루션: 직사각형의 둘레의 절반은 인접한 변의 합과 같습니다. x를 나타내자 - 큰면, 18-x는 작은 변입니다. 직사각형의 면적은 다음 길이의 곱과 같습니다.
x(18x)=77;
또는
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
방정식의 판별식 찾기

우리는 방정식의 근을 계산합니다.

만약 x=11,그 다음에 18x=7 ,그 반대의 경우도 마찬가지입니다(x=7이면 21-x=9).

문제 6. 이차 10x 2 -11x+3=0 방정식을 인수분해합니다.

솔루션: 방정식의 근을 계산합니다. 이를 위해 판별식을 찾습니다.

찾은 값을 근의 공식에 대입하고 계산합니다.

근의 관점에서 이차 방정식을 확장하는 공식을 적용합니다.

대괄호를 확장하면 정체성을 얻습니다.

매개변수가 있는 이차 방정식

예 1. 매개 변수의 값 ㅏ ,방정식 (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0에 하나의 루트가 있습니까?

솔루션: 값=3을 직접 대입하면 솔루션이 없음을 알 수 있습니다. 또한 판별식이 0이면 방정식에 다중도 2의 근이 하나 있다는 사실을 사용할 것입니다. 판별식을 쓰자

그것을 단순화하고 0과 동일시

우리는 매개변수 a에 대한 2차 방정식을 얻었고, 그 해는 Vieta 정리를 사용하여 쉽게 얻을 수 있습니다. 근의 합은 7이고 곱은 12입니다. 간단한 열거를 통해 우리는 숫자 3.4가 방정식의 근이 될 것임을 확립합니다. 계산 초기에 솔루션=3을 이미 거부했기 때문에 올바른 것은 - ㄱ=4.따라서 = 4의 경우 방정식에는 하나의 근이 있습니다.

예 2. 매개 변수의 값 ㅏ ,방정식 a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0하나 이상의 루트가 있습니까?

솔루션: 먼저 특이점을 고려하면 a=0 및 a=-3 값이 됩니다. a=0일 때 방정식은 6x-9=0 형식으로 단순화됩니다. x=3/2이고 하나의 루트가 있습니다. a= -3 의 경우 0=0 이라는 ID를 얻습니다.
판별식 계산

양수인 값을 찾습니다.

첫 번째 조건에서 우리는 >3을 얻습니다. 두 번째로, 우리는 판별식과 방정식의 근을 찾습니다.


함수가 양수 값을 취하는 간격을 정의해 보겠습니다. 점 = 0을 대입하면 다음을 얻습니다. 3>0 . 따라서 간격(-3, 1/3) 외부에서 함수는 음수입니다. 점을 잊지 마세요 a=0원래 방정식에는 하나의 근이 있기 때문에 제외되어야 합니다.
결과적으로 문제의 조건을 만족하는 두 개의 구간을 얻습니다.

실제로 유사한 작업이 많이 있으므로 작업을 직접 처리하고 상호 배타적인 조건을 고려하는 것을 잊지 마십시오. 이차 방정식을 푸는 공식을 잘 연구하십시오. 다양한 문제와 과학의 계산에 종종 필요합니다.

이 주제는 간단하지 않은 많은 공식으로 인해 처음에는 복잡해 보일 수 있습니다. 이차 방정식 자체에 긴 항목이 있을 뿐만 아니라 근도 판별식을 통해 찾습니다. 총 3개의 새로운 공식이 있습니다. 기억하기가 쉽지 않습니다. 이것은 그러한 방정식의 빈번한 솔루션 후에만 가능합니다. 그러면 모든 공식이 저절로 기억될 것입니다.

이차 방정식의 일반 보기

여기에서 가장 큰 학위가 먼저 쓰여진 다음 내림차순으로 쓰여질 때 명시적인 표기법이 제안됩니다. 종종 용어가 서로 다른 상황이 있습니다. 그런 다음 방정식을 변수의 차수 내림차순으로 다시 작성하는 것이 좋습니다.

표기법을 소개합니다. 아래 표에 나와 있습니다.

이러한 표기법을 수용하면 모든 이차 방정식은 다음 표기법으로 축소됩니다.

또한 계수 a ≠ 0입니다. 이 공식을 숫자 1로 표시합니다.

방정식이 주어졌을 때 답에 근이 몇 개인지 명확하지 않습니다. 세 가지 옵션 중 하나가 항상 가능하기 때문에:

• 솔루션에는 두 개의 루트가 있습니다.
• 대답은 하나의 숫자가 될 것입니다.
• 방정식에는 뿌리가 전혀 없습니다.

그리고 결정이 끝나지는 않았지만 특정 경우에 어떤 옵션이 빠질지 이해하기 어렵습니다.

이차 방정식의 레코드 유형

작업에는 다른 항목이 있을 수 있습니다. 그것들은 항상 이차 방정식의 일반 공식처럼 보이지는 않습니다. 때로는 일부 용어가 부족합니다. 위에 쓰여진 것은 완전한 방정식. 두 번째 또는 세 번째 용어를 제거하면 다른 결과가 나타납니다. 이러한 레코드는 이차 방정식이라고도 하며 불완전합니다.

또한 계수 "b"와 "c"가 사라질 수 있는 항만 표시됩니다. 숫자 "a"는 어떤 경우에도 0이 될 수 없습니다. 이 경우 공식이 선형 방정식으로 바뀌기 때문입니다. 방정식의 불완전한 형태에 대한 공식은 다음과 같습니다.

따라서 완전한 것 외에도 두 가지 유형만 있으며 불완전한 이차 방정식도 있습니다. 첫 번째 공식을 숫자 2로, 두 번째 공식을 숫자 3으로 설정합니다.

판별식과 그 값에 대한 근 수의 의존성

방정식의 근을 계산하려면 이 숫자를 알아야 합니다. 이차 방정식의 공식이 무엇이든 상관없이 항상 계산할 수 있습니다. 판별식을 계산하려면 아래에 쓰여진 등식을 사용해야 하며 숫자 4가 됩니다.

계수 값을 이 공식에 대입하면 다음을 사용하여 숫자를 얻을 수 있습니다. 다른 징후. 대답이 '예'이면 방정식에 대한 답은 두 개의 다른 근이 됩니다. 음수를 사용하면 이차 방정식의 근이 없습니다. 0이면 답은 1이 됩니다.

완전 이차 방정식은 어떻게 해결됩니까?

사실, 이 문제에 대한 고려는 이미 시작되었습니다. 먼저 판별식을 찾아야 하기 때문입니다. 이차 방정식의 근이 있다는 것이 명확해지고 그 수를 알고 나면 변수에 대한 공식을 사용해야 합니다. 두 개의 뿌리가 있으면 그러한 공식을 적용해야합니다.

"±" 기호가 포함되어 있으므로 두 개의 값이 있습니다. 제곱근 기호 아래의 식은 판별식입니다. 따라서 수식은 다른 방식으로 다시 작성할 수 있습니다.

포뮬러 5. 동일한 레코드에서 판별식이 0이면 두 근이 동일한 값을 취함을 알 수 있습니다.

이차 방정식의 해가 아직 해결되지 않은 경우 판별식 및 변수식을 적용하기 전에 모든 계수의 값을 기록하는 것이 좋습니다. 나중에이 순간은 어려움을 일으키지 않을 것입니다. 그러나 처음에는 혼란이 있습니다.

불완전한 이차 방정식은 어떻게 풀 수 있습니까?

모든 것이 여기에서 훨씬 간단합니다. 심지어 추가 공식이 필요하지 않습니다. 그리고 판별식과 미지의 것을 위해 이미 작성된 것들은 필요하지 않을 것입니다.

먼저 고려 불완전한 방정식 2번에서. 이 평등에서는 대괄호에서 미지의 양을 꺼내고 대괄호에 남아 있을 선형 방정식을 풀어야 합니다. 답은 두 개의 뿌리를 가질 것입니다. 변수 자체로 구성된 요인이 있기 때문에 첫 번째 값은 반드시 0과 같습니다. 두 번째는 선형 방정식을 풀어서 얻습니다.

3번의 불완전 방정식은 방정식의 왼쪽에서 오른쪽으로 숫자를 옮겨서 풉니다. 그런 다음 미지수 앞의 계수로 나누어야 합니다. 제곱근을 추출하는 것만 남아 있으며 반대 기호로 두 번 쓰는 것을 잊지 마십시오.

다음은 이차 방정식으로 바뀌는 모든 종류의 방정식을 푸는 방법을 배우는 데 도움이 되는 몇 가지 작업입니다. 그들은 부주의로 인한 실수를 피하도록 학생을 도울 것입니다. 이러한 단점은 광범위한 주제인 "2차 방정식(8학년)"을 공부할 때 낮은 성적의 원인입니다. 결과적으로 이러한 작업을 지속적으로 수행할 필요가 없습니다. 안정적인 습관이 생길 것이기 때문입니다.

• 먼저 방정식을 표준 형식으로 작성해야 합니다. 즉, 변수의 차수가 가장 큰 항을 먼저 사용하고 차수와 마지막 항목 없이 숫자만 사용합니다.

• 계수 "a" 앞에 빼기가 나타나면 초보자가 이차 방정식을 연구하는 작업을 복잡하게 만들 수 있습니다. 제거하는 것이 좋습니다. 이를 위해 모든 평등에 "-1"을 곱해야 합니다. 이것은 모든 항이 부호를 반대 방향으로 변경한다는 것을 의미합니다.

• 같은 방식으로 분수를 제거하는 것이 좋습니다. 분모가 상쇄되도록 방정식에 적절한 인수를 곱하기만 하면 됩니다.

예

다음 이차 방정식을 푸는 데 필요합니다.

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

첫 번째 방정식: x 2 - 7x \u003d 0. 불완전하므로 공식 2번에서 설명한 대로 풀립니다.

브라케팅 후 x (x - 7) \u003d 0으로 밝혀졌습니다.

첫 번째 루트는 x 1 \u003d 0 값을 취합니다. 두 번째 루트는 선형 방정식 x - 7 \u003d 0에서 찾을 수 있습니다. x 2 \u003d 7임을 쉽게 알 수 있습니다.

두 번째 방정식: 5x2 + 30 = 0. 다시 불완전합니다. 세 번째 공식에 대해 설명한 대로만 풀립니다.

30을 방정식의 오른쪽으로 옮긴 후: 5x 2 = 30. 이제 5로 나누어야 합니다. 결과는 x 2 = 6입니다. 답은 숫자가 됩니다. x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

세 번째 방정식: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. 여기와 아래에서 이차 방정식의 해는 표준 형식으로 다시 작성하여 시작됩니다. - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. 이제 두 번째 방정식을 사용할 시간입니다. 유용한 조언모든 것에 마이너스 1을 곱합니다. x 2 + 2x - 15 \u003d 0이 나옵니다. 네 번째 공식에 따르면 판별식을 계산해야 합니다. D \u003d 2 2 - 4 * (-15) \u003d 4 + 60 \u003d 64입니다. 정수. 위에서 말한 것에서 방정식에는 두 개의 근이 있음이 밝혀졌습니다. 다섯 번째 공식에 따라 계산해야 합니다. 그것에 따르면 x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2입니다. 그런 다음 x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5입니다.

네 번째 방정식 x 2 + 8 + 3x \u003d 0은 x 2 + 3x + 8 \u003d 0으로 변환됩니다. 판별식은 -23 값과 같습니다. 이 숫자는 음수이므로 이 작업에 대한 대답은 "뿌리가 없습니다."라는 항목이 됩니다.

다섯 번째 방정식 12x + x 2 + 36 = 0은 다음과 같이 다시 작성해야 합니다. x 2 + 12x + 36 = 0. 판별식에 대한 공식을 적용한 후 숫자 0을 얻습니다. 이것은 하나의 루트, 즉 x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6이 있음을 의미합니다.

여섯 번째 방정식 (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2)는 괄호를 열기 전에 같은 항을 가져와야 한다는 사실로 구성된 변환이 필요합니다. 첫 번째 것 대신에 다음과 같은 표현식이 있을 것입니다: x 2 + 2x + 1. 평등 후에, 이 항목이 나타날 것입니다: x 2 + 3x + 2. 유사한 항을 세고 나면, 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다: x 2 - x \u003d 0. 불완전해졌습니다. 그것과 유사하게 이미 조금 더 높은 것으로 간주되었습니다. 이것의 근은 숫자 0과 1이 될 것입니다.

이차 방정식. 판별자. 솔루션, 예.

주목!
추가로 있습니다
특별 섹션 555의 자료.
강하게 "별로..."
그리고 "매우 ..."하는 사람들을 위해)

이차 방정식의 종류

이차 방정식이란 무엇입니까? 어떻게 생겼나요? 기간에 이차 방정식키워드는 "정사각형".방정식에서 필연적으로 x 제곱이 있어야 합니다. 그 외에도 방정식에는 x가 있을 수 있습니다(또는 없을 수도 있습니다!). x(1차)와 숫자 (무료 회원).그리고 2보다 큰 차수에 x가 있어서는 안 됩니다.

수학적 용어로 이차 방정식은 다음 형식의 방정식입니다.

여기 a, b 및 c- 몇 가지 숫자. b와 c- 절대적으로, 그러나 ㅏ- 0이 아닌 모든 것. 예를 들어:

여기 ㅏ =1; 비 = 3; 씨 = -4

여기 ㅏ =2; 비 = -0,5; 씨 = 2,2

여기 ㅏ =-3; 비 = 6; 씨 = -18

글쎄, 당신은 아이디어를 얻을 ...

이 2차 방정식에서 왼쪽에는 풀세트회원. 계수로 제곱한 x ㅏ, x의 계수가 있는 첫 번째 거듭제곱 비그리고 무료 회원

이러한 이차 방정식은 완벽한.

그리고 만약 비= 0, 우리는 무엇을 얻을 것인가? 우리는 X는 1단계에서 사라질 것입니다.이것은 0을 곱하여 발생합니다.) 예를 들면 다음과 같습니다.

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

등. 그리고 두 계수가 모두 비그리고 씨 0과 같으면 더 간단합니다.

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

무언가가 빠진 그러한 방정식은 불완전한 이차 방정식.이것은 매우 논리적입니다.) x 제곱은 모든 방정식에 존재한다는 점에 유의하십시오.

그런데 왜 ㅏ제로가 될 수 없다? 그리고 당신은 대신 ㅏ 0.) 사각형의 X가 사라집니다! 방정식은 선형이 됩니다. 그리고 그것은 다르게 이루어졌습니다 ...

이것이 이차 방정식의 모든 주요 유형입니다. 완전하고 불완전합니다.

이차 방정식의 해.

완전한 이차 방정식의 해.

이차 방정식은 풀기 쉽습니다. 공식과 명확한 간단한 규칙. 첫 번째 단계에서 필요한 주어진 방정식에 이르다 표준 양식, 즉. 보기에:

방정식이 이미이 형식으로 제공되면 첫 번째 단계를 수행 할 필요가 없습니다.) 가장 중요한 것은 모든 계수를 올바르게 결정하는 것입니다. ㅏ, 비그리고 씨.

이차 방정식의 근을 찾는 공식은 다음과 같습니다.

루트 기호 아래의 표현식은 판별자. 그러나 아래에 그에 대한 자세한 내용이 있습니다. 보시다시피 x를 찾기 위해 다음을 사용합니다. 오직, b, c. 저것들. 이차 방정식의 계수. 값을 신중하게 대체하십시오. a, b 및 c이 공식에 넣고 계산합니다. 대리자 당신의 표시와 함께! 예를 들어, 방정식에서:

ㅏ =1; 비 = 3; 씨= -4. 여기에 다음과 같이 씁니다.

거의 해결된 예:

이것이 답이다.

모든 것이 매우 간단합니다. 그리고 당신은 어떻게 생각합니까, 당신은 잘못 될 수 없습니다? 그래, 어떻게...

가장 흔한 실수는 값의 부호와의 혼동입니다. a, b 및 c. 또는 오히려, 그들의 표시가 아니라(혼동할 곳이 어디 있습니까?), 그러나 대체와 함께 음수 값근을 계산하는 공식으로. 여기에 특정 숫자가 포함된 공식의 자세한 기록이 저장됩니다. 계산에 문제가 있는 경우, 그래서 해!

다음 예를 해결해야 한다고 가정합니다.

여기 ㅏ = -6; 비 = -5; 씨 = -1

처음에는 거의 답을 얻지 못한다는 것을 알고 있다고 가정해 보겠습니다.

글쎄, 게으르지 마십시오. 한 줄을 더 작성하는 데 30초가 소요되며 오류 수 급격히 떨어질 것이다. 그래서 우리는 모든 대괄호와 기호를 사용하여 자세히 씁니다.

이렇게 세심하게 칠하는 것은 정말 어려운 일인 것 같습니다. 그러나 그것은 단지 보인다. 시도 해봐. 글쎄, 또는 선택하십시오. 어느 것이 더 낫고 빠르며 맞습니까? 게다가, 나는 당신을 행복하게 만들 것입니다. 잠시 후 모든 것을 그렇게 조심스럽게 칠할 필요가 없습니다. 그것은 바로 나타날 것입니다. 특히 아래에 설명된 실용적인 기술을 적용하는 경우. 마이너스가 많은 이 사악한 예는 오류 없이 쉽게 해결될 것입니다!

그러나 종종 이차 방정식은 약간 다르게 보입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

알고 계셨나요?) 네! 이것은 불완전한 이차 방정식.

불완전한 이차 방정식의 해.

일반 공식으로도 풀 수 있습니다. 여기에서 동일한 것이 무엇인지 정확하게 파악하면 됩니다. a, b 및 c.

알았어? 첫 번째 예에서 a = 1; b = -4;ㅏ 씨? 그것은 전혀 존재하지 않습니다! 네, 맞습니다. 수학에서 이것은 다음을 의미합니다. c = 0 ! 그게 다야. 대신 공식에 0을 대입하십시오. 씨,모든 것이 우리를 위해 잘 될 것입니다. 두 번째 예와 유사합니다. 여기에 없는 제로만 ~와 함께, ㅏ 비 !

그러나 불완전한 이차 방정식은 훨씬 쉽게 풀 수 있습니다. 어떤 공식도 없이. 첫 번째 불완전 방정식을 고려하십시오. 왼쪽에서 무엇을 할 수 있습니까? 대괄호에서 X를 빼낼 수 있습니다! 꺼내자.

그리고 이것에서 무엇을? 그리고 곱이 0과 같다는 사실은 요인 중 하나라도 0과 같을 때만 가능합니다! 안믿어? 그럼, 곱하면 0이 되는 두 개의 0이 아닌 숫자를 생각해 보세요!
작동하지 않습니까? 무엇...
따라서 다음과 같이 자신 있게 작성할 수 있습니다. x 1 = 0, x 2 = 4.

모든 것. 이것들은 우리 방정식의 뿌리가 될 것입니다. 둘 다 맞습니다. 그들 중 하나를 원래 방정식에 대입하면 올바른 항등식 0 = 0을 얻습니다. 보시다시피 솔루션은 일반 공식보다 훨씬 간단합니다. 그건 그렇고, 어떤 X가 첫 번째가 될 것이고 어떤 것이 두 번째가 될 것인지 - 그것은 절대적으로 무관심합니다. 순서대로 쓰기 쉬움 x 1- 둘 중 더 적은 것 x 2- 그 이상.

두 번째 방정식도 쉽게 풀 수 있습니다. 9를 오른쪽으로 이동합니다. 우리는 다음을 얻습니다.

9에서 루트를 추출하는 것이 남아 있습니다. 그게 전부입니다. 얻다:

또한 두 개의 뿌리 . x 1 = -3, x 2 = 3.

이것이 모든 불완전한 이차 방정식을 푸는 방법입니다. 대괄호에서 x를 빼거나 단순 송금오른쪽으로 숫자를 입력하고 루트 추출이 이어집니다.
이러한 방법을 혼동하는 것은 매우 어렵습니다. 단순히 첫 번째 경우에는 X에서 루트를 추출해야 하는데, 이는 어떻게 든 이해할 수 없고 두 번째 경우에는 대괄호에서 빼낼 것이 없기 때문입니다...

판별자. 판별식.

마법의 단어 판별자 ! 드문 고등학생은이 단어를 들어 본 적이 없습니다! "판별자를 통해 결정"이라는 문구는 안심하고 안심할 수 있습니다. 판별자의 트릭을 기다릴 필요가 없기 때문입니다! 취급이 간편하고 문제가 없습니다.) 가장 기억에 남습니다 일반식솔루션을 위해 어느이차 방정식:

루트 기호 아래의 표현식을 판별식이라고 합니다. 판별자는 일반적으로 문자로 표시됩니다. 디. 판별 공식:

D = b 2 - 4ac

그리고 이 표현의 특별한 점은 무엇입니까? 특별한 이름이 필요한 이유는 무엇입니까? 뭐 판별자의 의미는?결국 -비,또는 2a이 공식에서 그들은 구체적으로 이름을 지정하지 않습니다 ... 문자와 문자.

요점은 이것입니다. 이 공식을 사용하여 이차 방정식을 풀 때 다음이 가능합니다. 단 세 가지 경우.

1. 판별식이 양수입니다.이것은 당신이 그것에서 루트를 추출할 수 있음을 의미합니다. 뿌리가 잘 뽑혔는지 나쁘게 뽑혔는지는 또 다른 문제입니다. 원칙적으로 무엇을 추출하느냐가 중요합니다. 그런 다음 이차 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 두 가지 다른 솔루션.

2. 판별식은 0입니다.그러면 한 가지 해결책이 있습니다. 분자에서 0을 더하거나 빼도 아무 것도 변경되지 않기 때문입니다. 엄밀히 말하면 이것은 하나의 뿌리가 아니지만, 두 개의 동일한. 그러나 단순화 된 버전에서는 다음과 같이 말하는 것이 일반적입니다. 하나의 솔루션입니다.

3. 판별식이 음수입니다.음수는 제곱근을 사용하지 않습니다. 글쎄, 알았어. 이것은 해결책이 없다는 것을 의미합니다.

솔직히 말해서, 간단한 솔루션이차 방정식에서 판별식의 개념은 특별히 필요하지 않습니다. 우리는 공식의 계수 값을 대체하고 고려합니다. 거기에서 모든 것이 그 자체로 밝혀지고 두 개의 뿌리와 하나가 아닌 하나의 뿌리가 나타납니다. 그러나 더 많은 문제를 풀 때 어려운 작업, 모른 채 의미와 판별식부족한. 특히 - 매개변수가 있는 방정식에서. 이러한 방정식은 GIA 및 통합 국가 시험에 대한 곡예 비행입니다!)

그래서, 이차 방정식을 푸는 방법당신이 기억하는 판별식을 통해. 또는 배운 것도 나쁘지 않습니다.) 올바르게 식별하는 방법을 알고 있습니다. a, b 및 c. 당신은 방법을 알고 있습니까 주의 깊게그것들을 루트 공식으로 대체하고 주의 깊게결과를 계산합니다. 여기서 핵심 단어는 - 주의 깊게?

이제 오류 수를 획기적으로 줄이는 실용적인 기술에 주목하십시오. 부주의로 인한 바로 그 것들 ... 고통스럽고 모욕적 인 것 ...

첫 접수 . 표준 형식으로 가져오기 위해 이차 방정식을 풀기 전에 게으르지 마십시오. 이것은 무엇을 의미 하는가?
변환 후에 다음 방정식을 얻는다고 가정합니다.

뿌리의 공식을 쓰기 위해 서두르지 마십시오! 당신은 거의 확실히 확률을 섞을 것입니다 a, b 및 c.예제를 올바르게 작성하십시오. 먼저 x의 제곱을 제곱한 다음 제곱을 사용하지 않은 다음 자유 구성원입니다. 이와 같이:

그리고 다시, 서두르지 마십시오! x 제곱 앞의 빼기는 당신을 많이 화나게 할 수 있습니다. 잊어버리기 쉽습니다... 마이너스는 버리세요. 어떻게? 예, 이전 주제에서 배운 대로! 전체 방정식에 -1을 곱해야 합니다. 우리는 다음을 얻습니다.

이제 근에 대한 공식을 안전하게 기록하고 판별식을 계산하고 예제를 완료할 수 있습니다. 스스로 결정하십시오. 루트 2와 -1로 끝나야 합니다.

두 번째 리셉션. 당신의 뿌리를 확인하십시오! Vieta의 정리에 따르면. 내가 다 설명해줄 테니 걱정마! 확인 중 마지막 것방정식. 저것들. 우리가 뿌리의 공식을 기록한 것입니다. (이 예에서와 같이) 계수가 에이 = 1, 뿌리를 쉽게 확인하십시오. 그것들을 곱하는 것으로 충분합니다. 무료 기간을 받아야 합니다. 우리의 경우 -2. 2가 아니라 -2에 주의하세요! 무료 회원 당신의 기호로 . 작동하지 않으면 이미 어딘가에서 엉망이되었음을 의미합니다. 오류를 찾습니다.

그것이 효과가 있다면 뿌리를 접어야합니다. 마지막이자 마지막 점검. 비율이어야 한다 비~와 함께 반대 징후. 우리의 경우 -1+2 = +1입니다. 계수 비, x 앞에 있는 는 -1과 같습니다. 모든 것이 맞습니다!
x 제곱이 순수하고 계수가 있는 예에 대해서만 너무 단순하다는 것은 유감입니다. 에이 = 1.그러나 적어도 그러한 방정식을 확인하십시오! 모든 것 적은 실수할 것이다.

접수 3차 . 방정식에 분수 계수가 있는 경우 분수를 제거하십시오! "방정식을 푸는 방법? 항등 변환" 단원에서 설명한 대로 방정식에 공통 분모를 곱합니다. 어떤 이유로 분수, 오류로 작업 할 때 등반 ...

그건 그렇고, 나는 단순화하기 위해 많은 마이너스가있는 나쁜 예를 약속했습니다. 물론이죠! 그가 있다.

마이너스에서 혼동하지 않기 위해 방정식에 -1을 곱합니다. 우리는 다음을 얻습니다.

그게 다야! 결정하는 것은 즐겁다!

이제 주제를 요약해 보겠습니다.

실용적인 팁:

1. 풀기 전에 이차 방정식을 표준 형식으로 가져와서 작성합니다. 오른쪽.

2. 정사각형의 x 앞에 음의 계수가 있으면 전체 방정식에 -1을 곱하여 제거합니다.

3. 계수가 분수이면 전체 방정식에 해당 계수를 곱하여 분수를 제거합니다.

4. x 제곱이 순수하고 이에 대한 계수가 1이면 Vieta의 정리를 사용하여 솔루션을 쉽게 확인할 수 있습니다. 해!

이제 결정할 수 있습니다.)

방정식 풀기:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

답변(무질서한 상태):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0.5

x - 임의의 숫자

x 1 = -3
x 2 = 3

해결책이 없다

x 1 = 0.25
x 2 \u003d 0.5

모든 것이 적합합니까? 괜찮은! 이차 방정식은 당신의 것이 아닙니다 두통. 처음 세 개는 나왔지만 나머지는 그렇지 않았습니까? 그렇다면 문제는 이차 방정식에 있지 않습니다. 문제는 방정식의 동일한 변환에 있습니다. 링크를 보시면 도움이 됩니다.

꽤 작동하지 않습니까? 아니면 전혀 작동하지 않습니까? 그러면 Section 555가 도움이 될 것입니다. 전시 기본솔루션의 오류. 물론 사용에 대해서도 이야기합니다. 동일한 변형다양한 방정식을 풀 때. 많은 도움이 됩니다!

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